Nghiên cứu thiết kế chế tạo các robot thông minh phục vụ cho các ứng dụng quan trọng 4

BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
CHƯƠNG TRÌNH KC.03
YZ YZ YZ YZ YZ YZY YZ YZ YZY YZ YZ YZY




“NGHIÊN CỨU THIẾT KẾ, CHẾ TẠO CÁC ROBOT THÔNG
MINH PHỤC VỤ CHO CÁC ỨNG DỤNG QUAN TRỌNG”
MÃ SỐ: KC.03.08






BÁO CÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
THEO NHIỆM VỤ 3 - ĐỀ TÀI KC.03.08
Nhãm s¶n phÈm robot re

HÀ NỘI 2006

1
MC LC
I. Gii thiu chung
3
II. Tng quan v k thut tỏi hin ngc v nhng vn c bn v mụ
phng cỏc ng cong, mt cong khụng gian
7
2.1. Giới thiệu chung về kỹ thuật tái hiện ngợc 7
2.1.1. Quá trình thiết kế 7
2.1.2. Quá trình sản xuất ngợc 8
2.1.3. Quá trình kỹ thuật tái hiện ngợc 8
2.1.4. ứng dụng kỹ thuật tái hiện ngợc
9
2.1.5. Các loại đầu dò số hóa 10
2.1.6. Các máy đo phục vụ kỹ thuật tái hiện ngợc 11
2.2. Phơng pháp mô tả đờng cong trên máy tính 14
2.2.1. Các phép nội suy và xấp xỉ đờng cong 14
2.3. Phơng pháp mô tả các mặt cong trên máy tính 31
2.3.1. Giới thiệu chung về mặt cong 31
2.3.2. Các mặt cong tự do 32
2.4. Đặt vấn đề về nội dung nghiên cứu 37
III. Nghiờn cu, thit k, ch to Robot RE
38
3.1. Nghiên cứu thiết kế, chế tạo Robot RE 38

3.1.1. Giới thiệu chung 38
3.1.2. Động học Robot RE-01 42
3.1.3. Chơng trình tính toán động học Robot RE-02 43
3.1.4. Hệ phơng trình động học của robot RE-01 44
3.1.5. Phơng án chế thử Robot RE-01 55

2
3.2. Thiết kế Robot RE - 02 56
3.2.1. Phân tích kết cấu 56
3.2.2. Thiết kế cơ cấu dạng pantograph 57
3.2.3. Tính toán cơ cấu tay máy pantograph 58
3.3. Tính toán về độ chính xác của robot RE - 02 73
3.3.1. Tổng quan về sai số phép đo dùng cơ cấu tay đo 73
3.3.2. Tính toán sai số của robot RE 74
IV. Nghiên cứu, thiết kế, chế tạo Robot RE-03 hoạt động theo tọa độ trụ 81
4.1. Giới thiệu chung 81
4.2. Các môđun hợp thành Robot RE-03 82
V. Xây dựng các chơng trình phần mềm tái hiện bề mặt cong không gian 100
5.1. Cơ sở thuật toán xây dựng các đờng cong và mặt cong không
gian
100
5.1.1. Các thuật toán xây dựng đờng cong 100
5.1.2. Phơng pháp xác định điểm tựa và lu trữ dữ liệu của
đờng cong
104
5.1.3. Một số ví dụ tái hiện đờng cong 105
5.1.4. Một số kết quả tái hiện đờng cong đợc thực hiện bằng
robot RE
107
5.2. Cơ sở thuật toán xây dựng mặt cong không gian 109

5.3. Thuật toán quả bóng rơi 123
5.4. Xây dựng chơng trình máy tính 127
5.5. Chơng trình phần mềm tái hiện các bề mặt cong phức tạp 133
VI. Kết luận 143
Tài liệu tham khảo 145

3
báo cáo tóm tắt Các kết quả nghiên cứu
nhiệm vụ 3 đề tài kc.03.08
nhóm sản phẩm robot re

I. Giới thiệu chung

Robot RE l gi tt tờn mt nhúm robot phc v k thut tỏi hin
ngc (Reverse Engineering). Nhn xột rng, c cu ca cỏc mỏy o to
CMM (Coordinate Measuring Machines) rt quen bit trong cụng nghip,
cng nh c cu ca cỏc thit b tay o hoc CMM cm tay (Portable
coordinate measuring machine - PCMM) u cú cu trỳc ng hc nh cỏc
loi c cu robot. Trờn c s nhn xột ú hon ton cú th vn dng v phỏt
trin cỏc ph
ng phỏp nghiờn cu k thut robot nghiờn cu cỏc thit b
o CNC, k c phn cng v phn mm. Cỏc phng phỏp hin i trong
k thut robot t ra cú nhiu u im ni tri so vi cỏc phng phỏp kinh
in khi vn hnh khai thỏc cỏc thit b CMM. Nh ó bit cỏc thit b
CMM kinh in, cỏc rt t tin. Nhiu xớ nghip ang cú nhu cu bc sỳc
trang b
cỏc thit b ny.
Trờn hỡnh 1 l vớ d v mỏy CMM v khi c lp thờm loi u o
cú th quay nghiờng so vi trc thng ng, vớ d u o hỡnh 2. Trong
trng hp ny s ng ca mỏy CMM ngoi 3 bc t do chuyn dch

theo 3 trc to cũn cú cỏc bc t do b sung to cỏc nghiờng ca
trc u o.

4

Hình 1 Máy đo CMM

Hình 2. Đầu đo quay nghiêng được
Còn trên hình 3 là một kiểu PCMM để bàn. Đó là tay đo 6 bậc tự do
Spin Arm của hãng Mitutoyo. Ngoài ra còn có Micro Scribe 3D, Stringer
PCMM, 3000i của Cim Core. Sơ đồ động của các thiết bị này đều là những
cơ cấu chuỗi hở, như nhiều loại cơ cấu tay máy robot thường gặp.

5

Hình 3. Máy PCMM để bàn
Một vấn đề quan trọng của thiết bị CMM là nâng cao độ chính xác đo
lường. Ngày nay có xu thế không đơn thuần nỗ lực nâng cao độ chính xác
chế tạo thiết bị, vì đó là những việc rất khó khăn và rất đắt tiền. Vì thế
người ta còn đồng thời nghiên cứu đề xuất những phần mềm có thể suy luận
của phép đo với số làn đo ít nhất có th
ể.
Với cách đặt vấn đề như trên, Đề tài đã triển khai đề mục nghiên cứu
các nhóm sản phẩm robot RE với các nội sung sau:
1. Vận dụng các phương pháp của robotics để nghiên cứu các đặc
tính hình động học, nhất là độ chính xác của các cơ cấu máy CMM
2. Xây dựng các chương trình phần mềm tái hiện các bề mặt phức tạp
với số phép đo tối thiểu.
3. Nghiên cứu cải tiến các c
ơ cấu thiết bị CMM để có khả năng hiện

thực trong điều kiện chỉ có các trang bị thông thường cho công nghệ chế tạo.

6
Trong lĩnh vực này Đề tài đã nhận được các kết quả qua:
1. So với các phương pháp kinh điển thì vận dụng các phương pháp
hiện đại trong robotics tỏ ra hiệu quả hơn khi giải các bài toán động học
thuận, động học ngược và bài toán di chuyển nhỏ liên quan đến độ chính
xác cơ cấu tay đo, nhất là đối với trường hợp cơ cấu nhiều khâu phức tạp.
2. Xây dựng được chươ
ng trình phần mềm tái hiện các bề mặt phức
tạp với số phép đo giảm thiểu và đã được cấp giấy bản quyền tác giả.
3. Đề xuất và tạo dựng thành công một loại thiết bị CMM kiểu mới
(hình 4), hoạt động theo tọa độ trụ Z = Z (r, ϕ), có độ chính xác đảm bảo,
mà giá thành thấp.

Hình 4 Thiết bị CMM kiểu mới hoạt động theo tọa độ trụ


7
II. TỔNG QUAN VỀ TÁI HIỆN NGƯỢC VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ
BẢN VỀ MÔ PHỎNG CÁC ĐƯỜNG CONG, MẶT CONG KHÔNG
GIAN.
2.1. Giới thiệu chung về kỹ thuật tái hiện ngược (Reverse Engineering)

“Kỹ thuật tái hiện ngược” là một khái niệm được dịch từ một thuật
ngữ tiếng Anh là Reverse Engineering (RE). Nhiều khi nó còn được hiểu và
dịch với các tên gọi khác nhau như “kỹ thuật đảo chiều” hay là “kỹ thuật
ngược”. Đây là một khái niệm còn tương đối mới mẻ không những ở nước
ta mà còn với nhiều nước trên thế giới. Thuật ngữ này xuất hiện và có bản
ch

ất từ bài toán kỹ thuật lấy mẫu các chi tiết và vật thể với sự trợ giúp của
máy tính. Từ các mẫu vật đã có sẵn như là các tác phẩm điêu khác, các chi
tiết cần gia công nhưng không còn bản vẽ chi tiết v.v. Bài toán đặt ra là làm
sao để chế tạo được các chi tiết giống hệt với các mẫu đó. Với mục tiêu như
vậy dẫn đến ý tưởng là dựng lại mô hình bằng cách xác đị
nh tọa độ các
điểm trên bề mặt của vật thể. Tuy nhiên ta không thể đo được tất cả các
điểm của vật thể đó, vì như vậy số điểm đo sẽ rất lớn và khó có thể kiểm
soát được. Vấn đề ở đây là số điểm đo nhỏ nhất nhưng vẫn đủ để dựng lại
chính xác hình dáng hình học c
ủa vật thể. Có rất nhiều thuật toán và
phương pháp xây dựng các đường và bề mặt không gian dựa trên các điểm
tựa. Sau đây ta sẽ tìm hiểu chung về các thuật toán đó và xây dựng phần
mềm tái hiện các đường và bề mặt không gian qua các điểm tựa.
2.1.1. Quá trình thiết kế

Trong thiết kế kỹ thuật thông thường người thiết kế sẽ xuất phát từ ý
tưởng của mình về sản phẩm trong tương lai. Khái niệm ban đầu ấy được
xuất phát từ những yêu cầu cụ thể của một nhiệm vụ kỹ thuật nào đó. Với
mục đích đã được xác định ý tưởng thiết kế sẽ nảy sinh và một hình hài của

8
sản phẩm được định hình sơ bộ trong óc người thiết kế. Nó có hình dáng ra
sao, kích thước lớn nhỏ thế nào v.v. sẽ là những khái niệm đầu tiên. Với
những ý tưởng như vậy nó sẽ đựoc kết hợp với quan niệm của người thiết
kế để từng bước hình thành nên sản phẩm. Cũng như ý tưởng ban đầu thì
quan niệm của mỗi người thiết kế sẽ r
ất khác nhau. Từ quan niệm của mình
sẽ đi đến thiết kế chi tiết. Trong bước này các kích thước, hình dáng sẽ
được xác định và thể hiện thông qua các bản vẽ chi tiết CAD/CAM và các

chương trình gia công CNC. Bước tiếp theo của quá trình thiết kế là khâu
sản xuất dựa trên những bản vẽ chi tiết hoặc các chương trình CNC đã được
thiết lập. Kết thúc khâu sản xuất sẽ cho ta một sản phẩm hoàn thiện của qúa
trình thi
ết kế này.
2.1.2. Quá trình “sản xuất ngược”
Trong phần trên ta đã chỉ ra một quá trình thiết kế và sản xuất truyền
thống với quy trình được mô tả sơ lược như sau:
Ý tưởng → Quan niệm thiết kế → Thiết kế chi tiết CAD/CAM/CNC
→ Sản xuất → Sản phẩm hoàn thiện.
Trong sơ đồ này bước khởi đầu là ý tưởng về sản phẩm rồi qua các
bướ
c tiếp theo để đi đến sản xuất ra sản phẩm cuối cùng. Quá trình “sản
xuất ngược” (tức là ngược lại quá trình sản xuất) sẽ có điểm xuất phát từ
một sản phẩm cụ thể đã có sẵn rồi thông qua sản phẩm này để quay lại quá
trình sản xuất ra nó. Lược đồ của quá trình này như sau:
Sản xuất

↓
Start
→
Sản phẩm hoàn chỉnh
2.1.3. Quá trình kỹ thuật tái hiện ngược

9
Quá trình này cũng có điểm xuất phát là một sản phẩm hoàn chỉnh và
nó được xem như một vật mẫu. Nhưng ở đây không như quá trình sản xuất
ngược là quay lại ngay sản xuất, mà đối với kỹ thuật tái hiện ngược còn qua
khâu thiết kế chi tiết CAD/CAM/CNC. Nghĩa là mẫu sản phẩm hoàn chỉnh
sẽ được tái hiện lại thông qua chương trình mô phỏng CAD/CAM hoặc

chương trình gia công CNC rồi từ đ
ó sản xuất ra sản phẩm hoàn chỉnh.
Sơ đồ của quá trình kỹ thuật tái hiện ngựoc có thể được mô tả như
sau:
Thiết kế chi tiết
CAD/CAM/CNC
↓
Kỹ thuật
Sản xuất tái hiện ngựoc
↓
Start
→
Sản phẩm hoàn chỉnh

2.1.4. Ứng dụng kỹ thuật tái hiện ngược
Đúng như tên gọi của phương pháp: kỹ thuật tái hiện ngược, bài toán
đặt ra ở đây là đã có một sản phẩm hoàn chỉnh nào đó và ta cần phải dựng
lại mô hình của nó thông qua hệ thống CAD/CAM hoặc chương trình CNC.
Tiến đến việc sản xuất ra các phiên bản là sự sao chép y hệt với nguyên bản
ban
đầu của nó. Với đặc điểm của phương pháp như đã nêu, kỹ thuật tái
hiện ngược có thể được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán kỹ thuật như:
- Thiết kế chi tiết dựa vào mẫu đã có
- Lưu giữ hình dáng, tính chất của mẫu vật hoặc nguyên mẫu ban đầu.
- Phục hồi những thiết kế không còn bản vẽ

10
- Đánh bóng sản phẩm
- Tạo mẫu nhanh
2.1.5. Các loại đầu dò số hóa

Qua các đặc điểm của kỹ thuật tái hiện ngược ta có thể thấy nhiệm vụ
của bài toán này là dựng lại mô hình của vật mẫu. Như vậy ta phải nắm bắt
được tọa độ các điểm trên bề mặt vật thể bằng cách đo với các phương pháp
đo tọa độ
trong không gian 3 chiều. Tuy nhiên ta không thể đo được tất cả
tọa độ các điểm trên bề mặt vật thể. Vì vậy vấn đề đặt ra là với một số
lượng hạn chế các điểm đo ta vẫn dựng lại được chính xác mô hình của vật
thể thông qua các chương trình phần mềm.
Để nắm bắt được tọa độ các điểm trên bề mặt vật th
ể ở đây người ta
dùng phương pháp quét số hóa. Đây là phương pháp tập hợp thông tin về
hình dạng của các vật thể 2 hoặc 3 chiều. Tập dữ liệu điểm thu được có thể
dùng để thiết lập các chương trình gia công NC hoặc làm dữ liệu đầu ra của
hệ thống CAD. Các loại sensor sẽ là công cụ thực hiện việc quét số hóa này.
Sau đây ta tìm hiểu một số loại sensor thường
được dùng trong kỹ thuật này.
2.1.5.1. Đầu dò điểm tiếp xúc
Với loại sensor này khi thực hiện thao tác đo, đầu dò sẽ tiếp xúc trực
tiếp với bề mặt cần đo. Tiếp điểm của đầu đo và bề mặt là tọa độ cần xác
định của phép đo.
Ưu điểm của loại sensor này là độ chính xác cao, giá thành thấp, lực
tiếp cận nhỏ. Còn nhược
điểm là tốc độ xác định dữ liệu điểm chậm
2.1.5.2. Đầu quét liên tục
Đây cũng là loại đầu dò tiếp xúc, nhưng khác với loại trên chỉ ghi
nhận dữ liệu điểm khi có lệnh của người thao tác. Còn với loại sensor này

11
dữ liệu sẽ được ghi liên tục khi đầu quét di trượt trên bề mặt đo. Vì vậy tập
dữ liệu chứa một số lượng rất lớn điểm đo.

Ưu điểm của phương pháp đo này là độ chính xác tương đối cao, dữ
liệu liên tục. Nhược điểm là đầu dò có thể chệch hướng khi đo.
2.1.5.3. Đầu quét laser
Không như hai loại đầu quét kể
trên là có sự tiếp xúc của đầu đo với
bề mặt cần đo. Ở đây đầu đo sẽ sử dụng kỹ thuật laser để bắt các điểm đo.
Các tia laser với cường độ lớn sẽ được phát ra đến bề mặt đo vì vậy sẽ đo
được các bề mặt lớn với khoảng cách tương đối xa. Đặc điểm nổi b
ật của
phương pháp này là bắt dữ liệu nhanh, đầu đo không tiếp xúc cơ học với bề
mặt, do vậy có thể đo được các bề mặt với chất liệu mềm.
Nhược điểm của phương pháp là:
- Sự giới hạn phạm vi theo chiều trục z
- Không đo được bề mặt phản xạ
- Yêu cầu bề mặt đ
o phải thẳng góc
2.1.6. Các máy đo phục vụ kỹ thuật tái hiện ngược
Trên đây ta đã biết đến các loại đầu dò dùng để bắt tọa độ các điểm.
Tuy nhiên nó cần phải được gắn với một thiết bị nào đó để thực hiện tốt các
thao tác của phép đo. Tùy thuộc vào độ mềm dẻo của thiết bị sẽ cho phép
các thao tác đo càng dễ dàng thực hiệ
n, điều này phụ thuộc vào cấu trúc và
số bậc tự do của thiết bị đó. Trong thực tế các thiết bị có thể dùng để thao
tác đo rất đa dạng, nó có thể là chuyên dụng hoặc đa năng. Sau đây ta sẽ xét
đến các loại thiết bị có thể dùng cho bài toán tái hiện ngược.
2.1.6.1. Máy công cụ số hóa

12
õy l loi mỏy c thit k ch yu phc v vic gia cụng. Tuy
nhiờn trong nhng mu mỏy mi cú trang b thờm thit b kt hp lm

nhim v tỏi hin ngc. Bn cht ca nú l mỏy gia cụng chi tit c khớ
vi u mang dao thụng thng cú 3 chuyn ng tnh tin theo 3 chiu ca
h trc ta cỏc. Nh vy nu ta thay th u dao gia cụng b
ng mt
u dũ v t chi tit cn ly mu lờn bn mỏy thỡ lỳc ny ta ó cú mt mỏy
vi cụng dng tng ng vi mỏy o ta 3 chiu. u dũ s quột trờn
b mt ca vt mu v ghi li ta ca cỏc im cn o. u im ca
phng phỏp ny l:
- Tn dng mỏy ó cú sn
- S thao tỏc vi mỏy ó quen thu
c
- Nhanh chúng hũa nhp vi mỏy
- Vựng quột khỏ rng
Bờn cnh ú cng tn ti nhng nhc im nh:
- Chim dng thi gian lm vic ca mỏy
- Lm vic chm vi u dũ tip xỳc trc tip
2.1.6.2. Mỏy o ta (Coordinate Measuring Machine: CMM)
Qua tên gọi ta cũng dễ dàng thấy đợc công dụng chính của máy.
Đây là một loại máy chuyên dụng đợc thiết kế để xác định toạ độ Đề các
của các điểm đo. Đầu dò thờng dùng loại tiếp xúc và có 3 chuyển động
theo 3 trục X, Y, Z trong hệ toạ độ Đề các. Máy đợc kết nối với máy tính
PC và có phần mềm xử lý dữ liệu kèm theo. Toạ độ các điểm đo sẽ đợc lu
trữ trong bộ nhớ của máy tính sau đó đợc xử lý bằng phần mềm. Kết quả
thu đợc sẽ là đầu ra của các hệ thống CAD/CAM mô phỏng lại bề mặt với
độ chính xác cao tuỳ thuộc vào độ chính xác của phép đo cũng nh
thuật

13
toán và phần mềm làm việc với dữ liệu. Vì đây là máy chuyên dụng cho việc
số hoá bề mặt nên nó có rất nhiều u điểm nổi bật nh:

- Máy có dung lợng bộ nhớ lu trữ dữ liệu lớn.
- Có vùng quét rộng.
- Kết nối và truyền dữ liệu trực tiếp cho máy gia công.
- Độ chính xác rất cao.
Máy dùng loại đầu đo tiếp xúc trực tiếp nên nó cũng tồn tại những
nhợc điểm của loại thiết bị này nh:
- Lấy dữ liệu chậm.
- Mức độ cơ động thấp
2.1.6.3- Máy quét.
Cũng giống nh các loại máy đo toạ độ ở trên. Máy quét này là một
thiết bị chuyên dùng cho việc số hoá bề mặt, nhng có sự khác biệt ở đây là
dùng loại đầu dò không tiếp xúc. Do vậy tốc độ lấy dữ liệu nhanh, tiếp cận
đợc với những vị trí khó khăn, những hoạ tiết nhỏ trên bề mặt chi tiết. Máy
đợc kết nối máy tính và có phần mềm thao tác với dữ liệu nên sẽ cho phép
dễ dàng tái hiện lại bề mặt cũng nh xuất kết quả sang các máy gia công số.
2.1.6.4- Máy đo toạ độ kiểu tay quay.
Đây là một loại thiết bị số hoá bề mặt chuyên dụng có cấu tạo phỏng
sinh nh một cánh tay có 5 bậc tự do với liên kết là các khớp bản lề. Tại mỗi
khớp đợc gắn với một encorder ghi lại chuyển động quay tơng đối của 2
khâu. Khi làm việc đầu dò di trợt trên bề mặt của vật thể làm cho các khớp
quay và các encorder sẽ ghi lại trị số góc quay của từng khớp tơng ứng.
Sau đó qua các chơng trình phần mềm kèm theo sẽ tính toán chuyển đổi

14
thành toạ độ điểm 3 chiều của đầu đo. Tập hợp các điểm đo này sẽ đợc xử
lý giống nh đối với các máy đo khác đã tìm hiểu ở trên.
2.2- Phơng pháp mô tả các đờng cong trên máy tính.
2.2.1- Các phép nội suy và xấp xỉ đờng cong.
Các đờng cong sử dụng trong mô hình hoá hình học có thể đơn giản
hoá chỉ là đờng thẳng hoặc đờng tròn. Tuy nhiên trong các ứng dụng kỹ

thuật đòi hỏi phải có các đờng cong phức tạp hơn. Đờng cong bất kỳ có
thể biểu diễn bằng ma trận các điểm, tuy vậy nó đòi hỏi sự lu trữ lớn và
không thể biểu diễn chính xác hình dạng của đờng cong. Vì vậy các
phơng trình toán học, cụ thể là các hàm đa thức thờng đợc dùng để thể
hiện các đờng cong. Đa thức thể hiện các u điểm nổi bật nh về sự đơn
giản trong tính toán các giá trị thực (chỉ dùng các phép tính nhân và cộng)
và đặc biệt thuận lợi cho việc tính toán bằng máy tính. Bên cạnh đó các ứng
dụng trong đồ hoạ máy tính thờng đòi hỏi xác định các tiếp tuyến và pháp
tuyến của đờng cong, do vậy phơng trình đa thức hiển nhiên là sự lựa
chọn tốt nhất cho việc tính vi, tích phân đờng cong.
Trong kỹ thuật các phơng pháp toán học dùng để biểu diễn các
đờng cong thờng dựa trên các lý thuyết nội suy hoặc xấp xỉ. Lý thuyết nội
suy là bài toán thiết kế đờng cong đi qua tập hợp các dữ liệu điểm. Phép
nội suy đợc sử dụng để tính toán giá trị các điểm lân cận. Các phép nội suy
thờng đợc dùng nh: nội suy tuyến tính từng khúc (độ chính xác thấp),
nội suy đa thức Lagrange, đờng cong tham số bậc 3 (Hermite), đờng cong
spline bậc 3 ... Còn trong lý thuyết xấp xỉ, đờng cong đợc thiết kế mà
không cần quan tâm đến chất lợng của phép nội suy, tiêu chuẩn quan trọng
nhất ở đây là độ trơn, là sự thay đổi cục bộ trong thiết kế. Do vậy phơng
pháp biểu diễn đờng cong xấp xỉ sẽ tạo ra đờng cong trơn xấp xỉ các điểm
cho sẵn chứ không đi qua chính xác tất cả các điểm đó.

15
2.2.1.1- Các phép nội suy.
a. Đa thức Lagrange.

Xét một dãy các điểm trên mặt phẳng: (x
0
, y
0

), (x
1
, y
1
), ... (x
n
, y
n
)
trong đó x
i
< y
j
với i < j. Đa thức nội suy bậc n có thể xác định nh sau:


=
=
n
i
niin
xLyxf
0
,
)()(
(2.1)
trong đó

=


=
n
ij
j
ji
j
i
xx
xx
L
0
(2.2)
Có thể thấy rằng thừa số y
i
= 1 khi x = x
i
nhng sẽ bằng 0 khi x bằng
bất kỳ giá trị toạ độ nào khác. Với n = 1 ta đợc phơng trình đờng thẳng
đi qua 2 điểm:

0
11
01010
01 10 01
() ( )
n
x x

xx xx
fx y y y y y
x xxx xx



==+




+ Nhợc điểm của đa thức Lagrange là bậc của đa thức phụ thuộc vào
số lợng các điểm sử dụng. Nếu cần độ chính xác cao hơn thì số lợng điểm
sử dụng tăng, tạo ra 1 đa thức bậc cao hơn dẫn đến có sự dao động lớn về
hình dạng đờng cong (hình 2.1). Trong các ứng dụng kĩ thuật thì các dao
động này không đợc chấp nhận.





16






Hình 2.1 Sự dao động đáng kể hình dạng đờng cong của phép nội suy khi tăng số
điểm sử dụng.

Hình 2.2. Một điểm trên đờng cong tham số bậc ba
b. Đờng cong tham số bậc ba (Hermite).
Đờng cong tham số bậc ba đợc định nghĩa nh sau:
10;)(
3
0
=

=
ttatp
i
i
i
(2.3)
x
y
x
y
y
z

x
P(t)

17
trong đó P(t) là một điểm trên đờng cong (Hình 2.2)
Các hệ số đại số a
i
trong (2.3) có thể biểu diễn rõ ràng theo các điều
kiện biên, các điểm cuối và các véc tơ tiếp tuyến nh sau:
a
0
= p(0) , a
2
= -3p(0) + 3p(1) - 2p'(0) - p'(1)
a
1
= p'(0) , a
3
= 2p(0) - 2p(1) + p'(0) + p'(1)
Thay a
i
vào (1.3) và sắp xếp lại ta có:
p(t) = (2t
3
- 3t
2
+ 1)p(0) + (-2t
3
+ 3t
2

)p(1) +(t
3
- 2t
2
+ t)p'(0) + (t
3
- t
2
)p'(1) (2.4)
Phơng trình (2.4) này đúng cho mỗi phân đoạn tham số bậc 3 của
tập hợp các phân đoạn (Hình 2.3).
Tóm lại đờng cong tham số bậc 3 đợc biểu diễn bằng các đa thức
bậc 3 từng khúc với liên tục vị trí và độ nghiêng. Các giá trị tham số t biến
thiên từ 0 đến 1 đối với mỗi phân đoạn.

[]

=
)1('
)0('
)1(
)0(
0001
0100
1233
1122
1)(
23
p
p
p
p
ttttp
(2.5)
p(0), p(1), p'(0), p'(1): hệ số hình học.

Hình 2.3.Phép nội suy tham số bậc ba từng khúc

2

3
4
5

P

1

P

P
P

P

18
c. Đờng cong spline bậc 3.
ý tởng của đờng cong spline dựa trên việc sử dụng một thanh cong
spline dẻo, mỏng để vẽ đờng cong trơn đi qua một loạt các điểm. Thanh
spline tự nhiên đợc tạo dáng bằng cách liên kết các vật chặn nặng với
thanh trợt dẻo. Nếu các vật chặn trong thanh spline hoạt động giống nh

các gối tựa đơn giản thì đờng cong trở thành đa thức bậc 3 từng khúc, có
đạo hàm bậc 2 liên tục tại mỗi gối tựa, nghĩa là liên tục vị trí, liên tục tiếp
tuyến và liên tục độ cong.
Các đờng cong spline bậc 3 từng khúc có nhiều u điểm khi sử dụng
trong các bài toán kỹ thuật, đặc biệt khi giá trị dữ liệu tơng đối chính xác
và có số lợng lớn, ví dụ nh kết quả đo cơ tính vật liệu(khối lợng riêng,
modun đàn hồi,), tái hiện lại các đờng cong, mặt cong khi biết đợc một
số hữu hạn các điểm của chúng.
Thuật ngữ spline trong đồ hoạ máy tính và mô hình hoá hình học
dùng để chỉ sự biểu diễn tham số từng khúc một cách tổng quát với mức độ
đặc biệt của sự liên tục tham số. Đờng cong spline bậc ba đợc biểu diễn
bởi 1 đa thức bậc 3 có đạo hàm bậc 2 liên tục tại các điểm nối chung giữa
các phân đoạn. ý tởng liên tục tham số đợc biểu diễn bằng chữ C in hoa
với các chỉ số ở trên là 0, 1, 2, tơng ứng với các cấp độ liên tục của
đờng cong. Dạng đơn giản nhất của tính liên tục là sự liên tục về vị trí, và
đợc gọi là tính liên tục C
0
, nó bảo đảm rằng không có sự gián đoạn hoặc
bớc nhảy trên đờng cong. ở mức độ liên tục C
1
, đờng cong sẽ có độ dốc
hoặc là đạo hàm bậc nhất liên tục. ở mức độ liên tục C
2
, đờng cong sẽ bị
uốn cong hoặc là có đạo hàm bậc 2 liên tục và tơng tự nh vậy ở các cấp
độ cao hơn. Chú ý rằng các điều kiện liên tục này liên quan đến các phơng
trình tham số nên đợc gọi là điều kiện liên tục tham số. Bên cạnh đó còn

19
tồn tại các điều kiện liên tục khác nh là liên tục hình học mà ta không xét

đến ở đây.
Nếu các phân đoạn của đờng cong spline bậc 3 đợc tham số hoá 1
cách riêng rẽ, sao cho tham số t biến thiên từ 0 đến 1 đối với tất cả các phân
đoạn thì đờng cong spline bậc 3 chuẩn này là trờng hợp đặc biệt của phép
nội suy Hermite. Phép nội suy này đảm bảo tính liên tục của đạo hàm bậc
nhất giữa các phân đoạn. Trong đờng cong spline bậc 3 này, các giá trị đạo
hàm bậc nhất đợc chọn sao cho nó cũng trùng với đạo hàm bậc 2 .
Ma trận hàm liên kết trơn cho đờng cong spline chuẩn (t=0->1)
trong trờng hợp này giống nh ma trận dùng trong phép nội suy Hermite:

[]














0001
0100
1233
1122
1

23
ttt
(2.6)
Hàm số đờng cong spline bậc 3 đối với mỗi phân đoạn đợc xác
định bởi phơng trình:

[]

=
)1('
)0('
)1(
)0(
0001
0100
1233
1122
1)(
23
p
p
p
p
ttttp
(2.7)
p(0), p(1), p'(0), p'(1): hệ số hình học.
hoặc: P(t) = [t][M]
H
[G]
H
(2.8)
ở đây ma trận [t] và [M]
H
là bất biến đối với tất cả các phân đoạn của đờng
cong spline bậc 3. Các thay đổi chỉ xuất hiện trong ma trận hình học [G]

H
,
và khác nhau trong từng phân đoạn. Trong ma trận [G]
H
các véc tơ điểm
cuối đã đợc biết cho từng phân đoạn bậc 3, nhng các véc tơ tiếp tuyến

20
phải đợc xác định sao cho tính liên tục của đạo hàm bậc 2 phải đợc bảo
đảm. Do đó tại mỗi điểm P
i
của phân đoạn các giá trị phải đợc lựa chọn sao
cho đạo hàm bậc 2 tại điểm cuối của 1 phân đoạn trùng với đạo hàm bậc 2
của điểm bắt đầu của phân đoạn kế tiếp. Biểu diễn toán học của nó nh sau:
P
i-1
(1) = P
i
(0) (2.9)
Đối với đa thức bậc 3:
P
i
(t) = a
3i
t
3
+ a
2i
t
2

+ a
1i
t
1
+ a
0i
(2.10)
đạo hàm bậc 2 là:
P
i
(t) = 6a
3i
t + 2a
2i
(2.11)
Thay biểu thức (2.11) vào (2.9) với các giá trị tham số tơng ứng, ta có:
6a
3(i-1)
+ 2a
2(i-1)
= 2a
2i
(2.12)
Các giá trị a
2
và a
3
đợc tính trong phép nội suy Hermite đợc thay
vào (2.12), cộng với tính liên tục vị trí C
0

, biến đổi ta đợc:
P
i-1
+ 4P
i
+ P
i+1
= 3(P
i+1
- P
i-1
) (2.13)
với lu ý ở đây P
i
và P
i
đã đợc biểu diễn thay thế cho P
i
(0) và P
i
(0) nhằm
đơn giản hoá cách viết.
Sử dụng lặp lại nhiều lần phơng trình (2.13) cho tất cả các phân đoạn
của spline bậc 3 cho phép tính đợc tất cả các véc tơ tiếp tuyến trong. Giả sử
đờng cong spline bậc 3 có n-1 phân đoạn, từ P
0
đến P
n-1
, nội suy n điểm.
Trong trờng hợp này có n-2 điểm nối bên trong, dẫn đến n-2 phơng trình

(2.13). Vì cần n véc tơ tiếp tuyến nên cần phải có các điều kiện ràng buộc
cho đờng spline bậc ba. Hai điều kiện ràng buộc thờng sử dụng là:
1. Biết các véc tơ tiếp tuyến P
0
và P
n-1
tại các điểm cuối.

21
2. Đạo hàm bậc 2 tại 2 điểm cuối P
0
và P
n-1
đều bằng 0. Đây gọi là đờng
cong spline bậc 3 tự nhiên.
Trờng hợp 1: Sử dụng đệ quy phơng trình (2.13) cho tất cả các
phân đoạn đờng spline và các véc tơ tiếp tuyến đã biết tại 2 điểm cuối của
đờng cong bậc 3, ta có thể biểu diễn ở dạng ma trận nh sau:

=

1
31

02
0
1
1
0
)(3
.
.
)(3
.
.
.
100...
1410..
......
.01410
..0141
....01
n
nn
n
P
PP
PP
P
P
P
P
(2.14)
Giải phơng trình ma trận này sẽ tính đợc tất cả các véc tơ tiếp

tuyến:

=

1
31
02
0
1
1
1
0
)(3
.
.
)(3
100...
1410..
......
.01410
..0141
....01

.
.
.
n
nn
n
P
PP
PP
P
P
P
P
(2.15)
hoặc:
[P
i
] = [M]
S
-1
[G]
S
(2.16)
Chú ý rằng ở đây ma trận [M]
S
là ma trận 3 đờng chéo. Do đó dễ
dàng tính phép nghịch đảo của ma trận này. Hệ n phơng trình với n ẩn số
này có thể giải bằng phép khử Gauss, hoặc dùng các phần mềm thông dụng
để giải.
Trờng hợp 2: Phơng trình (2.14) đợc sử dụng lần nữa và đạo hàm

bậc 2 đợc gán bằng 0 tại 2 điểm đầu và cuối của đờng cong spline bậc 3.

22
Tại điểm đầu tiên, P
0
(tham số t=0), đạo hàm bậc 2 theo phơng trình (2.11)
trở thành a
2i
=0.
Thay giá trị a
2i
vào phơng trình trong đờng cong Hermite, ta có:
2P
0
+ P
1
= 3(P
1
-P
0
) (2.17)
Gán giá trị của đạo hàm bậc 2 tại điểm cuối P
n-1
(tham số t=1) =0, sau
đó thay vào phơng trình (2.11), rút gọn cuối cùng ta đợc:
P
n-2
+ 2P
n-1
= 3(P

n-1
-P
n-2
) (2.18)
Hệ n phơng trình với n ẩn số đợc biểu diễn ở dạng ma trận nh sau:

=

)(3
)(3
.
)(3
)(3
)(3
.
.
.
210...
1410..
......
.01410

..0141
....12
21
31
13
02
01
1
1
0
nn
nn
n
PP
PP
PP
PP
PP
P
P
P
(2.19)
Khi các giá trị P
i
đã tìm đợc bằng trờng hợp 1 hoặc 2 thì các điểm
trên đờng cong spline bậc 3 sẽ tìm đợc bằng phơng trình (2.8).
2.2.1.2- Các phép xấp xỉ.
Các phơng pháp toán học dùng để biểu diễn các đờng cong trong
CAD và các phần mềm phát triển trên nền CAD dựa trên lý thuyết nội suy
hoặc xấp xỉ. Nếu là bài toán thiết kế đờng cong đi qua tập hợp các dữ liệu

điểm, thì có thể sử dụng các phép nội suy cổ điển đã đợc mô tả ở trên. Tuy
nhiên trong thực tế kĩ thuật có nhiều bài toán không thể sử dụng đợc
phơng pháp này, ví dụ nh phần chuyển tiếp giữa thân và cánh máy bay,
thân tàu thuỷ, vỏ xe ôtô,... chúng đợc mô tả bằng các mặt cong có hình
dạng tự do, mà không thể biểu diễn bằng các mặt cong giải tích nh mặt

23
phẳng, mặt trụ,... Thiết kế các đờng cong và mặt cong có hình dạng tự do
là phần quan trọng bậc nhất trong các bài toán thiết kế kỹ thuật.
Theo phơng pháp truyền thống, các bài toán thiết kế này đợc thực
hiện bằng các phơng pháp hình học hoạ hình. Ví dụ các mặt cong đợc
phân ra thành các mặt phẳng và các đờng đặc tính. Với những thông tin
này các mô hình chính đợc tạo ra, và từ đó chế tạo ra khuôn dập.
Sự xuất hiện máy tính đã thay đổi hoàn toàn quá trình này. Mô hình
máy tính đợc tạo ra bằng quá trình số hoá các đờng và mặt cong định sẵn,
từ đó phát ra các chỉ thị điều khiển máy gia công. Nh vậy mô hình và bản
vẽ chính đã đợc thay bằng các mô hình máy tính có dạng các mặt cong tự
do.
Trong CAD, đặc biệt là trong các bài toán thiết kế mô tả ở trên, tiêu
chuẩn quan trọng nhất là độ trơn của đờng cong hoặc mặt cong. Có nghĩa
là ngời thiết kế phải chấp nhận không quan tâm đến chất lợng của phép
nội suy. Một điều quan trọng nữa là bất kỳ thay đổi nào khi thiết kế đều chỉ
là cục bộ, do đó các chỉnh sửa trong 1 vùng quy định không ảnh hởng đến
hình dáng tổng thể của đờng cong hoặc mặt cong. Do vậy các phơng pháp
xấp xỉ đợc thiết kế để thoả mãn phần nào các yêu cầu này. Phơng pháp
biểu diễn đờng cong xấp xỉ tạo ra đờng cong trơn xấp xỉ các điểm cho sẵn,
chứ không đi qua chính xác tất cả các điểm đó. Hai phơng pháp xấp xỉ
thông dụng nhất trong các hệ thống CAD hiện nay là Bezier và B-spline
a_ Đờng cong Bezier.
Đờng cong Bezier có các điểm tựa hoặc đỉnh tựa là 1 tập hợp theo

thứ tự các điểm (V
0
,... V
n
), dựa vào đó để xấp xỉ đờng cong (hình 2.4). Các
điểm này có thể đợc biểu diễn trên màn hình đồ hoạ, và cho phép ngời sử

24
dụng điều khiển hình dạng đờng cong. Đờng cong Bezier dựa trên các
hàm đa thức, thờng dùng để biểu diễn các đờng cong hình dạng tự do.






Hình 2.4. Đờng cong xấp xỉ các điểm tựa chứ không đi qua chính xác các
điểm này.
Đờng cong Bezier bậc n đợc xác định bởi n+1 điểm điều khiển, là
phơng trình tham số có dạng sau:

=
=
n
i
nii
tBVtQ
0
,
)()(

(2.20)
trong đó véc tơ V
i
biểu diễn n+1 điểm điều khiển.
hàm B
i,n
(t) là hàm liên kết trơn của đờng cong Bezier, và đợc mô tả
bằng đa thức Bernstein nh sau:
B
i,n
(t) = (
i
n
)(t)
i
(1- t)
n-i

10 t
(2.21)
trong đó n là bậc của đa thức và:
)!(!
!
ini
n
i
n

=

i=0,...n (2.22)
là hệ số nhị thức.
Các hàm liên kết trơn này thoả mãn các điều kiện sau:
B
i,n
(t) >= 0, với mọi i,
10 t

V
0

V
V
V
V
1

2
3
4