CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT
1.1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
1.1.1. Phép thử và không gian mẫu
Trong cuộc sống có những thí nghiệm hay quan sát trong cùng một điều kiện
xác định như nhau có thể cho những kết quả khác nhau mà không thể chắc chắn kết
quả nào sẽ xuất hiện. Chẳng hạn, khi gieo một con súc sắc cùng một điều kiện như
nhau nhưng kết quả mỗi lần gieo là khác nhau và chúng ta không chắc là kết quả nào
sẽ xuất hiện. Hay giá của một mã chứng khoán trong một phiên giao dịch. Số cơn
bão xuất hiện trong sáu tháng đầu của năm sau… Trong những thí nghiệm hay quan
sát đó, mặc dù ta khơng biết chính xác kết quả nào sẽ xảy ra nhưng chúng ta có thể
mơ tả tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của chúng. Ta gọi những thí nghiệm
hay quan sát đó là phép thử ngẫu nhiên hay phép thử.
Định nghĩa 1.1. Phép thử là một thí nghiệm hay quan sát nào đó mà trước khi tiến
hành ta không biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra nhưng ta có thể mơ tả tập hợp tất cả
các kết quả có thể xảy ra. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được
gọi là không gian mẫu của phép thử (gọi tắt là không gian mẫu), được ký hiệu là Ω .
Mỗi phần tử của không gian mẫu là một kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra
trong một phép thử được gọi là một biến cố sơ cấp và ký hiệu là ω . Do đó, khơng
gian mẫu Ω cịn được gọi là khơng gian các biến cố sơ cấp.
Ví dụ 1.1.

Gieo một đồng xu là một phép thử, không gian mẫu bao gồm hai biến

cố sơ cấp: S: “mặt sấp xuất hiện” và N: “mặt ngửa xuất hiện”, Ω = {S , N } .
Ví dụ 1.2.

Gieo một con súc sắc, đó là một phép thử. Ký hiệu k là kết quả “xuất

hiện mặt k chấm”, k = 1, 2, 3, 4,5, 6 . Khi đó không gian mẫu là Ω = {1; 2;3; 4;5; 6} .

Mỗi kết quả k là một biến cố sơ cấp.
Ví dụ 1.3. Bắn một viên đạn vào bia cũng là một phép thử. Các kết quả của phép
thử là “Viên đạn trúng vòng k điểm trên bia”, k = 0,1, 2,...,10. Không gian mẫu là

Ω = {0;1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9;10} . Mỗi kết quả k là một biến cố sơ cấp.
Ví dụ 1.4. Bắn một viên đạn vào một mục tiêu xác định cũng là một phép thử.
Phép thử này có hai biến cố sơ cấp là “Viên đạn trúng bia” và “Viên đạn khơng trúng
bia”.
Ví dụ 1.5.

Quan sát nhiệt độ ngoài trời tại một thời điểm cũng là một phép thử.

Kết quả của phép thử là: “Nhiệt độ đo được là t o C”, t là một số thực nào đó. Khơng
gian mẫu của phép thử là Ω = (a ,b ) trong đó a ,b là các số thực nào đó.

7


Ví dụ 1.6. Đo chiều cao của một cây cơng nghiệp được chọn ngẫu nhiên trong nơng
trường. Đó là một phép thử. Kết quả của phép thử này là: “Cây được chọn có chiều
cao t m”, t là một số thực nằm trong khoảng (a ,b ) nào đó.
1.1.2. Biến cố:
Khi tiến hành một phép thử người ta thường không quan tâm đến một biến cố
sơ cấp cụ thể mà thường quan tâm đến một kết quả liên quan đến một số các biến cố
sơ cấp. Chẳng hạn, khi gieo một con súc sắc người ta quan tâm đến những kết quả có
số chấm lớn hơn 3, nó có thể là mặt 4, 5 hoặc 6, xuất hiện. Và chỉ khi nào một trong
3 kết quả 4, 5 hoặc 6 xuất hiện ta nói kết quả quan tâm đã xảy ra. Những kết quả mà
nó xảy ra khi một số biến cố sơ cấp nào đó xảy ra được gọi là một biến cố.
Định nghĩa 1.2. Một biến cố là một kết quả nào đó có thể xảy ra hoặc không xảy ra
trong một phép thử tùy theo một số biến cố sơ cấp nào đó có xảy ra hay không. Ta ký

hiệu biến cố bằng chữ cái in hoa như A, B ,C ,...
Một biến cố là một tập con của khơng gian mẫu và do đó nó bao gồm một số
biến cố sơ cấp nào đó. Nếu một biến cố sơ cấp ω nằm trong biến cố A thì ta nói ω
là biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A .
Biến cố không là biến cố không bao giờ xảy ra trong một phép thử, được ký
hiệu là ∅ . Nó chính là tập rỗng.
Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra trong một phép thử, được ký hiệu là
Ω . Nó chính là không gian mẫu của phép thử.
Đối với một biến cố ta có thể mơ tả bằng lời như một mệnh đề cũng có thể
biểu diễn nó như một tập con của khơng gian mẫu.
Ví dụ 1.7. Xét lại Ví dụ 1.2, biến cố một trong các mặt 2, 4 hoặc 6 xuất hiện được
mô tả A: “Mặt chẵn xuất hiện” hoặc được biểu diễn A = {2, 4, 6} .

Hình 1. 1

Hình 1. 2

Ví dụ 1.8. Một hộp có 12 quả cầu trong đó có 4 quả đỏ đánh số 1,2,3; 4 quả cầu
xanh được đánh số 4, 5, 6, 7 và 5 quả cầu màu vàng được đánh số là 8, 9, 10, 11, 12.
Từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 quả cầu. Khi đó khơng gian mẫu Ω = {1, 2,..., 12} và

8


các biến cố A, B, C tương ứng là: lấy được quả cầu màu đỏ, xanh, vàng được biểu
diễn dạng tập hợp là A = {1, 2,3} ; B = {4, 5, 6, 7} và C = {8,9,10,11,12} .
Ví dụ 1.9. Gieo con súc sắc hai lần. Hãy mô tả không gian mẫu và liệt kê các phần
tử của các biến cố sau:
a) A : “Tổng số chấm trên hai lần gieo bằng 8”.
b) B : “Hai lần gieo có số chấm bằng nhau”.

Giải
Gọi i là kết quả lần gieo thứ nhất, j là kết quả lần gieo thứ hai. Khi đó

Ω = {(i , j ) , i , j = 1, 2,..., 6} .
a) A = {( 2, 6 ) , ( 6, 2 ) , ( 3,5 ) , ( 5,3 ) , ( 4, 4 )}
b) B = {(1,1) , ( 2, 2 ) , ( 3,3) , ( 4, 4 ) , ( 5,5 ) , ( 6, 6 )} .
1.1.3. Mối quan hệ giữa các biến cố
- Quan hệ kéo theo (hay bao hàm): Một biến cố A được gọi là kéo theo biến
cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra, khi đó ta viết A ⊂ B (hay A ⇒ B ).
Như vậy, nếu biến cố A kéo theo biến cố B thì mọi biến cố sơ cấp thuận lợi
cho A cũng là biến cố sơ cấp thuận lợi cho B . Về mặt tập hợp A chính là tập con
của tập B.
Ví dụ 1.10. Gieo một con súc sắc biến cố A : “xuất hiện mặt chẵn” biến cố B :
“Xuất hiện mặt 2 hoặc 4”. Khi đó, nếu biến cố B xảy ra thì biến cố A cũng xảy ra
tức là B ⊂ A .
- Quan hệ tương đương (hay bằng nhau): Hai biến cố A và B được gọi là
tương đương hay bằng nhau nếu A xảy ra khi và chỉ khi B xảy ra, ta viết A = B
(hay A ⇔ B ).
Ví dụ 1.11. Khi gieo một con súc sắc, biến cố A: “ xuất hiện mặt chẵn lớn hơn 3”
và biến cố B: “xuất hiện mặt 4 hoặc mặt 6” là hai biến cố tương đương.
1.1.4. Các phép toán giữa các biến cố
a)Biến cố đối lập:
Định nghĩa 1.3. Cho biến cố A , biến cố đối lập của A ký hiệu là A là biến cố xảy
ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
Về mặt tập hợp A chính là phần bù của A trong không gian mẫu Ω , tức là
A = Ω \A.

9

Hình 1. 3

Ví dụ 1.12. Xét phép thử giao con súc sắc đặt A : “Con súc sắc xuất hiện số chẵn”,

B : “Con súc sắc xuất hiện mặt lớn hơn 3”. Khi đó biến cố đối của A là A : “Con
súc sắc xuất hiện mặt lẻ” và biến cố đối của B là B : “Con súc sắc xuất hiện mặt bé
hơn hoặc bằng 3”.
b) Giao (tích) của các biến cố, biến cố xung khắc, hiệu hai biến cố
Định nghĩa 1.4. Giao (tích) của hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là
A ∩ B (hay AB ) là một biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra.
Về mặt mơ tả ta nói biến cố AB là biến cố “ A và B cùng xảy ra”. Về mặt
tập hợp AB chính là tập giao của A và B . Nó chính là tập hợp tất cả các biến cố sơ
cấp thuận lợi cho cả A và B .
Định nghĩa 1.5. Khi A và B không bao giờ cùng xảy ra tức là AB = ∅ ta nói A và
B là hai biến cố xung khắc.
Phép giao biến cố có thể mở rộng cho nhiều hơn hai biến cố. Cụ thể, giao
(hay tích) của n biến cố A1 , A2 ,..., An là một biến cố xảy ra khi cả n biến cố
A1 , A2 ,..., An cùng xảy ra. Ký hiệu là A1A2 ...An .

Nếu trong hệ A1 , A2 ,..., An có hai biến cố bất kỳ ln xung khắc thì ta nói hệ
đó là từng đôi xung khắc. Hiển nhiên hệ A1 , A2 ,..., An là từng đơi xung khắc thì

AA
1 2 ...An = ∅ nhưng nếu AA
1 2 ...An = ∅ thì chưa chắc A1 , A2 ,..., An là từng đơi xung
khắc.

Hình 1. 4

10

Ví dụ 1.13. Xét lại Ví dụ 1.11, với A : “Con súc sắc xuất hiện số chẵn”, B : “Con
súc sắc xuất hiện mặt lớn hơn 3”. Khi đó AB = {4, 6} và được mô tả là “Con súc sắc
xuất hiện mặt chẵn lớn hơn 3”.
c) Hiệu hai biến cố
Định nghĩa 1.6. Giao của biến cố A với biến cố đối của biến cố B được gọi là hiệu
của A và B , ký hiệu là A \ B hay AB . Biến cố A \ B có nghĩa là “ A xảy ra nhưng
B không xảy ra” hay “ A và B cùng xảy ra”.

B

AB

A\B

Hình 1. 5

d) Hợp (tổng) các biến cố, hệ đầy đủ các biến cố
Định nghĩa 1.7. Hợp (tổng) hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là A ∪ B (hay
A + B ) xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
Về mặt mơ tả ta có thể nói A ∪ B là biến cố “có từ một biến cố trong hai biến
cố A và B xảy ra” hay “có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra” hay “ A
hoặc B xảy ra”. Về mặt tập hợp, A ∪ B là hợp của hai tập hợp A và B . Nó chứa
các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A hoặc B .

Hình 1. 6

Phép hợp biến cố cũng được mở rộng cho nhiều biến cố. Cụ thể, cho n biến
n

cố A1 , A2 ,..., An , biến cố hợp của A1 , A2 ,..., An là một biến cố, ký hiệu là

∪A

i

i =1

∑

11

n
i =1

Ai ), xảy ra khi có ít nhất một trong n biến cố A1 , A2 ,..., An xảy ra.

(hay


Định nghĩa 1.8. Hệ A1 , A2 ,..., An được gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu hệ đó là xung
n

khắc từng đơi và

∪A = Ω .
i

i =1

Nói cách khác một hệ đầy đủ các biến cố là một hệ biến cố trong đó khơng có
hai biến cố nào cùng xảy ra nhưng chắc chắn phải có một biến cố nào đó xảy ra. Một
hệ đầy đủ các biến cố còn được gọi là một sự phân hoạch khơng gian mẫu.

{

}
thì hệ {AB , AB , AB , AB } là hệ đầy đủ các biến

Dễ thấy rằng với A là một biến cố bất kỳ thì hệ A, A cũng là hệ đầy đủ các
biến cố. Nếu có hai biến cố A và B
cố.

Ví dụ 1.14. Trong một kho hàng có ba loại sản phẩm A, B, C để lẫn lộn. Từ kho
hàng lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Đặt A, B ,C tương ứng là biến cố “Sản phẩm
lấy ra là loại A, B, C”. Khi đó một trong các biến cố A, B ,C chắc chắn phải xảy ra.
Đồng thời, hai trong ba biến cố đó khơng bao giờ cùng xảy ra. Bởi vì, khơng thể có
một sản phẩm vừa là loại A vừa là loại B. Như vậy, {A, B ,C } là hệ đầy đủ các biến
cố.
1.2. XÁC SUẤT
Đối với một biến cố chúng ta khơng thể biết chắc là nó có xảy ra hay khơng
như chúng ta có thể đánh giá khả năng xảy ra của nó bằng một số xác định được gọi
là xác suất của nó. Như vậy, xác suất của một biến cố là số đo khả năng xuất hiện
của một biến cố. Xác suất của một biến cố A được ký hiệu là P ( A) . Người ta có
các cách định nghĩa xác suất của biến cố như sau:
1.2.1. Định nghĩa xác suất (cổ điển)
Định nghĩa 1.9. Giả sử không gian mẫu Ω của một phép thử là hữu hạn và mỗi biến
cố sơ cấp có cùng khả năng xuất hiện. Khi đó xác suất của một biến cố A là tỉ số
giữa số phần tử của A và số phần tử của không gian mẫu Ω .

Tức là:
P ( A) =

n (A)
n (Ω)

(1.1)

với n ( A ) là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A và n ( Ω ) là số phần tử của khơng
gian mẫu Ω .
Ví dụ 1.15. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất, tính xác suất các biến cố sau:
A : “Con súc sắc xuất hiện mặt chẵn”.
B : “Con súc sắc xuất hiện mặt lớn hơn 3”.

Giải

12


Ta có khơng gian mẫu của phép thử là Ω = {1, 2,3, 4,5, 6} , n ( Ω ) = 6 . Vì con
súc sắc cân đối đồng chất nên mỗi kết quả xuất hiện là đồng khả năng. Ta có
3 1
A = {2, 3, 4} , n ( A ) = 3 và B = {4,5, 6} , n ( B ) = 3 . Do đó P ( A ) = =
và
6 2
1
P (B ) = .
2
Ví dụ 1.16. Gieo con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Ký hiệu (i , j ) là: “Lần đầu
tiên xuất hiện mặt i chấm và lần sau xuất hiện mặt j chấm” với Ai . Tính xác suất

các biến cố:
a) A : “Tổng hai lần gieo bằng 8”,
b) B : “Hai lần gieo có số chấm bằng nhau”,
c) C : “Tích hai lần gieo là số lẻ”.

Giải
Ta có không gian mẫu Ω = {(i , j ) , i , j = 1, 2,3, 4,5, 6} n ( Ω ) = 36 kết quả đồng
khả năng.
a) A = {( 2, 6 ) , ( 6, 2 ) , ( 3,5 ) , ( 5, 3) , ( 4, 4 )} , n ( A ) = 5 . Do đó P ( A) =

5
.
36

b) B = {(1,1) , ( 2, 2 ) , ( 3,3) , ( 4, 4 ) , ( 5,5 ) , ( 6, 6 )} , n ( B ) = 6 . Do đó,
P (B ) =

6 1
=
36 6

c) C = {(i , j ) , i , j = 1,3,5} , n (C ) = 9 . Do đó P (C ) =

9 1
= .
36 4

Ví dụ 1.17. Một lớp học có 10 bạn nam và 20 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 bạn làm
Ban cán bộ lớp. Tính xác suất:
a) Ban cán bộ có 1 bạn nam 3 bạn nữ.

b) Ban cán bộ có 2 nam hai nữ.
c) Ban cán bộ có ít nhất một bạn nam.

Giải
Chọn ngẫu nhiên 4 bạn từ 30 bạn, khơng gian mẫu có n ( Ω ) = C 304
Gọi Ak : “Ban cán bộ có k bạn nam”, k = 0,1, 2,3, 4
Ta có số biến cố sơ cấp thuận lợi cho Ak là: n ( Ak ) = C 10k .C 204−k , k = 0,1, 2,3, 4 .

13


a) Xác suất cần tính là P ( A1 ) =

3
C 101 .C 20
760
=
= 0, 4160
4
C 30
1827

C102 .C 202 190
=
= 0, 3120
b) P ( A2 ) =
C 304
609
c) Gọi C: “Ban cán bộ có ít nhất một bạn nam”.
Ta có n (C ) = n ( Ω ) − n ( A0 ) = C 304 − C104

Suy ra P (C ) = 1 −

C 104
259
= 1 − P ( A0 ) =
= 0, 9923 .
4
C 30
261

1.2.2. Định nghĩa xác suất theo thống kê
Định nghĩa 1.10. Trong một phép thử T biến cố A xuất hiện với xác suất là P ( A) .
Tiến hành phép thử T lặp đi lặp lại n lần gọi nA là số phép thử có biến cố A xuất
hiện. Đặt fA =

nA
và gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n lần thử. Khi đó:
n

P ( A ) = lim fA

(1.2)

n →∞

Nói cách khác, khi số phép thử càng tăng lên thì tần suất xuất hiện biến cố A
là fA có giá trị xấp xỉ xác suất biến cố đó. Trong thực tế khi n khá lớn ta dùng fA để
chỉ P ( A) .

Ví dụ 1.18. Để kết luận xác suất bắn trúng bia của một xạ thủ là 80% người ta ghi

nhận rất nhiều lần bắn của xạ thủ đó và tính tần suất bắn trúng bia của xạ thủ. Tần
suất này có giá trị xấp xỉ 0,8.
Các nhà tốn học Buffon và K. Pearson đã tiến hành các thí nghiệm gieo
đồng tiền và thấy kết quả sự hội tụ của tần suất về xác suất của biến cố “mặt sấp xuất
hiện”. Về mặt lý thuyết (giống như định nghĩa cổ điển về xác suất) xác suất xuất hiện
mặt sấp khi gieo một đồng tiền là 0,5. Thí nghiệm cho ta thấy rõ khi số lần gieo tăng
lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp càng xấp xỉ tốt hơn cho xác suất của biến cố.

Người thí nghiệm

Số lần gieo

Số lần sấp

Tần suất

Buffon

4040

2048

0,5080

Pearson

12000

6019

0,5016

Pearson

24000

12012

0,5005

Trong thực tế, người ta dùng tần suất xuất hiện của biến cố A khi số phép thử
khá lớn để chỉ xác suất của biến cố đó.

14


1.2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học
Có những phép thử khơng gian mẫu là một miền hình học có vơ hạn khơng
đếm được các biến cố sơ cấp. Chẳng hạn, quan sát tuổi thọ của một bóng đèn, đo
khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia, vị trí rơi của viên đạn trên một
một khu vực, vị trí của một phân tử trong chất lỏng;… Những trường hợp như thế
không thể dùng định cổ điển để tính xác suất được mà dựa vào định nghĩa hình học
về xác suất.

Định nghĩa 1.11. Giả sử khơng gian mẫu của phép thử là một miền hình học Ω đo
được, một biến cố A bất kỳ là một miền con của Ω . Khi đó xác suất của biến cố A
sẽ là:
P ( A) =

S ( A)

, trong đó S ( A ) là số đo miền A và S ( Ω ) là số đo của Ω với cùng
S (Ω)

một đơn vị đo. Số đo miền A có thể là độ dài, diện tích, hay thể tích tùy theo miền
hình học Ω là đoạn thẳng, hình phẳng hay khối khơng gian.

Ví dụ 1.19. Hai người hẹn gặp nhau vào khoảng từ 11 giờ đến 12 giờ. Họ quy ước
rằng người đến trước sẽ chỉ phải chờ 20 phút, nếu không gặp sẽ đi. Giả sử việc đến
điểm hẹn của mỗi người là ngẫu nhiên. Tìm xác suất để hai người gặp nhau.
Giải
Gọi x , y là thời điểm đến điểm hẹn của mỗi người. Ta biểu x , y lên mặt

phẳng tọa độ Oxy . Tập các kết cục có thể xảy ra nằm trong hình vng cạnh 60 (ta
lấy phúc là đơn vị)

0 ≤ x ≤ 60
0 ≤ y ≤ 60
Tập các điểm thuận lợi để hai người gặp nhau là
là sự kiện “Hai người gặp nhau”
Theo cơng thức xác suất theo hình học ta có

P ( A) =

15

S A 602 − 402 5
=
=
SB
602

9

{(x , y ) : x − y ≤ 20} . Gọi A


Hình 1. 7

1.2.4. Định nghĩa xác suất theo tiên đề
Năm 1929, nhà toán học người Nga, A. N. Kolmogorov đã xây dựng một lý
thuyết chắc chắn cho lý thuyết xác suất hiện đại bằng cách đề xuất ra hệ tiên đề cho
lý thuyết xác suất dựa trên cơ sở lý thuyết tập hợp và độ đo.

Định nghĩa 1.12. Cho Ω là không gian các biến cố sơ cấp, T là một hệ các tập
con của Ω thỏa các tính chất:
(i) Ω ∈ T
(ii) Nếu A ∈ T thì A ∈ T
(iii) Nếu Ai ∈ T , i = 1, 2,... thì

∩A ∈T
i

i

như vậy gọi là một σ − đại số hay ( σ − trường). Mỗi tập con

Họ T

A ∈ T được gọi là một biến cố và A là biến cố đối lập của A . Rõ ràng hệ thống
T ln khác rỗng vì ln có Ω ∈ T . Ngồi ra, từ (ii) ta có ∅ ∈ T . Ω được gọi
là biến cố chắc chắn và ∅ là biến cố không.

Định nghĩa 1.13. Cho Ω và một σ − đại số T
xác định trên T sao cho:

trên Ω . Xác suất P là một hàm

(i) P ( A) ≥ 0 với A ∈ T
(ii) P ( Ω ) = 1
(iii) Nếu A1 , A2 ,..., An

P

xung khắc nhau từng đôi Ai ∈ T , i = 1, 2,...

thì:

∞

( ∪ A ) = ∑ P (A ) .
∞

i =1

i

i

i =1

Bộ ba ( Ω, T , P ) được gọi là không gian xác suất.

Định nghĩa xác suất theo tiên đề bao hàm các định nghĩa khác về xác suất. Nó
là một sự hồn thiện của định nghĩa về xác suất làm cho lý thuyết xác suất có tính
chặt chẽ hơn. Do vậy, mặc dầu có nhiều cách định nghĩa khác nhau về xác suất
nhưng bản chất của nó là một và có các tính chất sau đây.

16


1.2.5. Các tính chất của xác suất
Tính chất 1.1. Xác suất của một biến cố là số không âm và khơng q 1:
(1.3)

0 ≤ P ( A) ≤ 1

Tính chất 1.2. Đối với hai biến cố xung khắc, xác suất biến cố tổng bằng tổng các
xác suất. Tức là:

AB = ∅ ⇒ P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )

(1.4)

Tính chất 1.3. Xác suất của biến cố đối:

( )

(1.5)

P A = 1 − P ( A)

Tính chất 1.4. Xác suất biến cố khơng bằng 0 và xác suất biến cố chắc chắn bằng 1:

P ( ∅ ) = 0 và P ( Ω ) = 1

(1.6)

Tính chất 1.5. Đối với hai biến cố bất kỳ ta có:

(

P ( B ) = P ( AB ) + P AB

Thật vậy, vì

(

)

(1.7)

B = AB + AB

mà

AB

và

AB

xung khắc nên:

)

P ( B ) = P ( AB ) + P AB .

Tính chất 1.6. Đối với hai biến cố A và B bất kỳ, từ công thức (1.5) ta có:

( )

P ( B \ A ) = P BA = P ( B ) − P ( AB )

Tính chất 1.7. Nếu A ⊂ B thì P ( A) ≤ P ( B )

(1.8)
(1.9)

1.3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
1.3.1. Cơng thức cộng xác suất
Đối với hai biến cố A và B bất kỳ ta có:

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )

( )

(1.10)

Thật vậy, ta có A ∪ B = A ∪ AB mà A với AB là xung khắc. Nên:

( )

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P AB = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB )

17


A
B
AB

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

Hình 1. 8

Ví dụ 1.20. Trong một đội tuyển có hai vận động viên A và B thi đấu. Biết xác suất
để A thắng trận là 0,8; xác suất cả hai người cùng thắng trận là 0, 48 ; còn xác suất để
A thua và B thắng là 0,06. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) B thắng trận.
b) Đội tuyển thắng ít nhất một trận.

Giải
Đặt A : “Vận động viên A thắng trận” và B : “Vận động viên B thắng trận”.

(

)

Theo đề bài ta có P ( A ) = 0,8 P ( AB ) = 0, 48 và P AB = 0, 06
a) Xác suất B thắng trận là:

(

)

P ( B ) = P ( AB ) + P AB = 0, 48 + 0, 06 = 0, 54 (áp dụng công thức (1.5))

b) Xác suất đội thắng ít nhất một trận:

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) = 0,8 + 0,54 − 0, 48 = 0,86 .
1.3.2. Xác suất điều kiện
Định nghĩa 1.14. Trong không gian mẫu Ω , cho biến cố B có P ( B ) > 0 và biến cố
A bất kỳ. Xác suất của A với điều kiện B , ký hiệu là P ( A / B ) , là khả năng xảy ra
của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra. Xác suất được tính bằng tỉ số:
P (A / B ) =

Tính chất:
i.

P (B / B ) = 1

ii. P ( Ω / B ) = 1

(

)

iii. P A / B = 1 − P ( A / B )

18

P ( AB )
P (B )

(1.11)


iv. P ( A ∪ B / C ) = P ( A / C ) + P ( B / C ) − P ( AB / C )

Chú ý 1.1: Thường thì P ( A / B ) có thể suy ra trực tiếp từ yêu cầu của bài tốn chứ
khơng cần phải tính qua cơng thức trên.

Ví dụ 1.21. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất giống nhau. Tính xác suất để
tổng số chấm thu được bằng 6, biết rằng tổng số đó là số chẵn.
Giải
Thí nghiệm có 36 kết cục đồng khả năng. Gọi A là biến cố “Tổng số chấm
thu được bằng 6”. B là biến cố “Tổng số chấm thu được là số chẵn”.
Các kết quả thuận lợi cho A là (1, 5 ) , ( 2, 4 ) , ( 3,3) , ( 4, 2 ) , ( 5,1) và dễ thấy

A ⊂ B do đó P ( A / B ) =

P ( AB ) P ( A) 5 / 36
5
=
=
= .
P ( B ) P ( B ) 18 / 36 18

Ví dụ 1.22. Một lớp chia làm 3 nhóm thực tập. Nhóm 1 có 7 nam và 5 nữ. Nhóm 2
có 6 nam và 6 nữ. Nhóm 3 có 5 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong
lớp. Tính xác suất sinh viên được chọn là nữ và thuộc nhóm 3.

Giải
Đặt A : “Sinh viên được chọn là nữ”. B : “Sinh viên được chọn thuộc
nhóm 3”.
Xác suất sinh viên được chọn là nữ và thuộc nhóm 3 là: P ( AB )
Ta có P ( A / B ) =

6
11
; P ( B ) = . Theo cơng thức xác suất điều kiện ta
11
35

có:

P (A / B ) =

P ( AB )
11 6
6
⇒ P ( AB ) = P ( B ) .P ( A / B ) = . = .
P (B )
35 11 35

Ví dụ 1.23. Một hộp có 3 quả cầu trắng và 4 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp
khơng hồn lại 2 quả cầu. Tính xác suất quả cầu lấy ra lần thứ hai màu trắng biết quả
cầu lấy ra lần đầu màu đỏ.
Giải
Đặt A : “Quả cầu lấy ra lần đầu màu đỏ”; B : “Quả cầu lấy ra lần thứ hai màu
trắng”. Ta cần tính xác suất P ( B / A ) , biến cố B / A nghĩa là lần thứ hai lấy được
quả cầu màu trắng với điều kiện lần thứ nhất đã lấy được quả cầu màu đỏ. Nếu A

xảy ra nghĩa là lần thứ nhất lấy được quả cầu màu đỏ khi đó trong hộp cịn có 6 quả
cầu trong đó có 3 quả cầu màu trắng. Như vậy

P ( B / A) =

19

3 1
=
6 2


3 trắng

A xảy ra

4 đỏ

3 trắng

3 đỏ

Lấy ra 1 đỏ
Hộp ban đầu

Hộp sau khi A xảy ra
Hình 1. 9

1.3.3. Cơng thức nhân xác suất
a) Công thức nhân xác suất hai biến cố

Cho hai biến cố A và B . Khi đó

P ( AB ) = P ( B ) P ( A / B )
P ( AB ) = P ( A ) P ( B / A )

(1.12)

Các công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.
Chú ý 1.2: Trong hai công thức nhân xác suất, ta có thể tính P ( AB ) dựa vào

P ( A / B ) hoặc P ( B / A ) . Tuy nhiên ta cần xem các biến cố A và B biến cố nào
xảy ra trước. Nếu A xảy ra trước thì ta tính theo cơng thức trên. Cịn nếu B xảy ra
trước thì ta tính theo cơng thức dưới.

Ví dụ 1.24. Một hộp có 3 quả cầu trắng và 4 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp
khơng hồn lại 2 quả cầu. Để hai quả cầu lấy ra đều màu đỏ.
Giải
Gọi A, B lần lượt là các biến cố “quả cầu lấy ra lần thứ nhất, lần thứ hai màu
4
. Nếu A xảy ra, tức là lấy ra một quả màu
7
đỏ thì trong hộp cịn 6 quả cầu trong đó có 3 trắng 3 đỏ (Xem Ví dụ 1.23). Do đó,
3 1
P (B / A) = = .
6 2

đỏ”. Ta cần tính P ( AB ) . Ta có P ( A ) =

Theo cơng thức nhân xác suất ta có:
4 3 2

P ( AB ) = P ( A) .P ( B / A ) = . = .
7 6 7

Ví dụ 1.25. Một chuồng có 5 con gà trống và 7 con gà mái. Người ta bắt ngẫu nhiên
lần lượt hai lần, mỗi lần một con để bán. Tính xác suất:
a) Cả hai con đều là gà mái.
b) Con bắt lần thứ hai là gà mái.

Giải

20


Đặt A : “Con gà bắt lần đầu là gà mái”. Ta có P ( A) =
B : “Con gà bắt lần thứ hai là gà mái” và P ( B / A ) =

7
và
12

6
.
11

a) Theo công thức nhân xác suất ta có:
P ( AB ) = P ( A) .P ( B / A ) =

7 6
7
. =

.
12 11 22

b) Xác suất cả hai con đều là gà mái.

(

)

Ta có B = B A + A = AB + AB

( ) (

)

Suy ra P ( B ) = P ( A ) P ( B / A) + P A P B / A =

7 6 5 7
7
. + . = .
12 11 12 11 12

b) Công thức nhân xác suất tổng quát
Cho n biến cố A1 , A2 ,..., An , khi đó

P ( AA
1 2 ...An ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / AA
1 2 ) ...P ( An / AA
1 2 ...An −1 )

(1.13)

Ví dụ 1.26. (Sơ đồ hộp Polya) Một hộp lúc đầu có chứa a quả cầu trắng, b cầu đỏ.
Sau mỗi lần chọn ngẫu nhiên một cầu ta trả quả cầu đó cùng c quả cầu cùng màu với
nó vào hộp. Tìm xác suất để các quả cầu được chọn ở ba lần đầu màu trắng.
Giải
Đặt Ai : “quả cầu được chọn ở lần thứ i màu trắng”, ( i = 1, 2, 3 ).
a
. Nếu A1 xảy ra thì ta trả vào
a +b
hộp quả cầu trắng vừa lấy ra và c quả cầu trắng nữa, tức là trong hộp sẽ có a + c quả
a +c
cầu trắng trong tổng số a + b + c quả cầu. Do đó, P ( A2 / A1 ) =
. Tương tự
a +b +c
nếu A1 , A2 xảy ra, tức là ta đã lấy ra lần lượt hai quả cầu màu trắng xong hoàn lại
Vậy ta cần tính P ( AA
1 2A3 ) . Ta có P ( A1 ) =

chúng và 2c quả màu trắng nữa. Như vậy, trong hộp sẽ có a + 2c quả cầu trắng
a + 2c
trong tổng số a + b + 2c quả cầu. Do đó, P ( A3 / AA
.
1 2) =
a + b + 2c
Theo công thức nhân xác suất:

P ( AA
1 2A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / AA
1 2)=

a
a +c
a + 2c
.
.
.
a + b a + b + c a + b + 2c

Ví dụ 1.27. Một lơ hàng có 9 sản phẩm giống nhau. Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn
ngẫu nhiên 3 sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lơ hàng. Tính xác suất để sau
3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm đều được kiểm tra.

21


Giải
Đặt Ai : “Lần kiểm tra thứ i gặp toàn sản phẩm chưa được kiểm tra”,
i = 1, 2, 3 .

Xác suất cần tính là P ( AA
1 2A3 ) ?
Ta có P ( A1 ) = 1 vì trong lơ hàng tồn sản phẩm chưa được kiểm tra.
Sau khi A1 đã xảy ra, tức là lơ hàng có 6 sản phẩm chưa được kiểm tra và 3
sản phẩm đã được kiểm tra, nên xác suất để lần thứ hai kiểm được 3 sản phẩm chưa

được kiểm tra là: P ( A2 / A1 ) =

C 63 5
.

=
C 93 21

Nếu A1 , A2 xảy ra, tức là ta đã kiểm tra được 6 sản phẩm và còn lại 3 sản
phẩm chưa được kiểm tra. Do đó, xác suất để lần thứ 3 chọn đúng 3 sản phẩm chưa

được kiểm tra là P ( A3 / AA
1 2) =

C 33 1
= .
C 93 84

Theo cơng thức nhân xác suất ta có:

P ( AA
1 2A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / AA
1 2 ) = 1.

5 1
5
. =
21 84 1764

Ví dụ 1.28. Để chọn ứng cử viên cho chức tổng giám đốc điều hành cơng ty tuyển
chọn thí sinh qua ba vịng. Vịng thứ nhất lấy 70% thí sinh; vịng thứ hai lấy 50% thí
sinh đã qua vịng thứ nhất và vịng thứ ba lấy 20% thí sinh đã qua vịng thứ hai. Để
trở thành ứng cử viên, thí sinh phải vượt qua được cả 3 vịng thi. Tính xác suất để
một thí sinh bất kỳ
a) Được trở thành ứng cử viên chức tổng giám đốc.

b) Bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại.

Giải
a) Gọi Ai là biến cố “Thí sinh qua vịng thứ i ”, i = 1, 2, 3 , A là biến cố “Thí
sinh được trở thành ứng cử viên chức tổng giám đốc”. Ta có: P ( A1 ) = 0, 7 ,

P ( A2 / A1 ) = 0,5 và P ( A3 / AA
1 2 ) = 0, 2 . Theo cơng thức nhân xác suất ta có:
P ( A) = P ( A1A2A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) .P ( A3 / A1A2 )
= 0, 7.0,5.0, 2 = 0, 07

.

b) Xác suất thí sinh bị loại ở vịng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại là

(

)

P A2 / A . Trong đó A là biến cố thí sinh bị loại. Xác suất thí sinh bị loại là:

( )

P A = 1 − P ( A) = 0,93

22


Theo cơng thức xác suất điều kiện ta có:

(

)

P A2 / A =

(

P A2A

( )

P A

) = P (A A ) = P (A ) P (A / A ) = 0, 7.0,5 = 0,3763
2

1

1

0,93

2

1

0, 93

0, 93

Ví dụ 1.29. Để dập tắt nạn dịch sâu hại lúa người ta tiến hành phun thuốc 3 lần liên
tiếp trong 1 tuần. Xác suất sâu bị chết ở lần đầu là 0,5. Nếu sâu sống sót thì khả năng
chết của sâu ở lần thứ hai là 0,7. Còn nếu sâu chưa chết ở lần thứ hai thì sâu sẽ chết ở
lần thứ ba với xác suất là 0,9. Tính xác suất sâu chết sau đợt phun thuốc.
Giải
Gọi Ai : “Sâu chết ở lần phun thuốc thứ i ”, i = 1, 2, 3 . A : “Sâu chết trong đợt
phun thuốc”. Ta có:

(

)

(

)

P ( A1 ) = 0,5 , P A2 / A1 = 0,8 ; P A3 / AA
1 2 = 0, 9 và A = A1 + AA
1 2 + AA
1 2A3 .
Suy ra:

( ) (

)

( ) (

) (

P ( A) = P ( A1 ) + P A1 P A2 / A1 + P A1 P A2 / A1 P A3 / A1A2

)

= 0, 5 + 0,5.0, 7 + 0,5. (1 − 0, 7 ) .0,9 = 0,5 + 0,35 + 0,135 = 0,985

Cách 2: Ta có:

( )

(

)

( ) (

) (

)

P A = P A1A2A3 = P A1 P A2 / A1 P A3 / A1A2 = 0, 5.0,3.0,1 = 0, 015

( )

Suy ra: P ( A) = 1 − P A = 0,985 .

c) Hai biến cố độc lập
Định nghĩa 1.15. Hai biến cố A và B trong một không gian xác suất được gọi là độc
lập nếu

P ( AB ) = P ( A) P ( B )

(1.14)

Ta hiểu hai biến cố A và B độc lập nếu như việc xảy ra của biến cố này
không ảnh hưởng đến biến cố kia và ngược lại. Như vậy, A, B độc lập nếu

P ( A / B ) = P ( A) hoặc P ( B / A) = P ( B ) .
Ví dụ 1.30. Có hai hộp đựng các quả cầu. Hộp 1 đựng 5 quả cầu xanh và 3 quả đỏ.
Hộp 2 đựng 2 quả cầu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ra một quả cầu.
Tính xác suất để:
a) Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh.
b) Hai quả cầu lấy ra cùng màu.

Giải
Đặt Ai : “Quả cầu lấy từ hộp thứ i màu xanh”, i = 1, 2

23


3
2
Ta có P ( A1 ) = ; P ( A2 ) = và A1 , A2 độc lập nhau.
8
8
a)

Xác suất hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh là:

3 2 3
P ( AA
. =
1 2 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) =
8 8 32
b)

(

Xác suất hai quả cầu lấy ra cùng màu:

)

(

P A1A2 + A1A2 = P ( A1A2 ) + P A1A2

=

)

3
3 5 6 18 9
+ P A1 P A2 =
+ . =
=
32
32 8 8 32 16

( ) ( )

Khái niệm độc lập cũng được mở rộng cho n (n > 2) biến cố.

d) Định nghĩa n biến cố độc lập
Định nghĩa 1.16. Các biến cố A1 , A2 ,..., An được gọi là độc lập nếu với mọi số
nguyên

m

từ 2 đến n và với mọi nhóm biến cố

Ak1 , Ak2 ,..., Akm

( 1 ≤ k1 < k 2 < ... < km ≤ n ), chúng ta có:
P (Ak1 . Ak2 ... Akm ) = P (Ak1 ). P (Ak2 )... P ( Akm ) .

Từ đó suy ra cơng thức nhân xác suất cho n biến cố độc lập là:

P ( AA
1 2 ...An ) = P ( A1 ) P ( A2 ) ....P ( An )

(1.15)

Ta hiểu các biến cố được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của một hay một số
biến cố trong đó khơng ảnh hưởng đến các biến cố cịn lại. Thơng thường, dựa vào
bản chất của phép thử, chúng ta mặc nhiên công nhận rằng các biến cố độc lập mà
không phải chứng minh. Chẳng hạn, xét việc lấy 2 sản phẩm xem gặp phế phẩm hay
chính phẩm. Nếu lấy lần lượt hai sản phẩm của một kiện hàng thì các biến cố “sản
phẩm thứ nhất là phế phẩm” và “sản phẩm thứ hai là phế phẩm” là khơng độc lập.
Cịn nếu lấy hai sản phẩm từ hai kiện khác nhau thì hai biến cố đó là độc lập nhau.

Bắn n viên đạn độc lập vào bia thì các biến cố Ai : “Viên thứ i trúng bia”,
i = 1, 2,..., n là độc lập nhau; lấy lần lượt có hồn lại từng sản phẩm ở cùng một hộp

thì các biến cố “Sản phẩm lấy ra lần thứ i là phế phẩm”, i = 1, 2, 3,... là các biến cố

độc lập nhau…
Định lí 1. 2.

Trong một không gian xác suất, xét ba biến cố A, B và C.

(i) Nếu A và B độc lập thì mỗi nhóm 2 biến cố sau đây đều độc lập
( A và B), (A và B ) và ( A và B ) cũng độc lập.
(ii) Nếu A, B và C độc lập thì mỗi nhóm 3 biến cố sau đây đều độc lập:

24


( A , B và C); (A, B và C); (A, B và C ); ( A , B và C); ( A , B và C ); ( A , B
và C ) và ( A , B và C ).
Ví dụ 1.31. Trong một đội tuyển có 3 vận động viên A, B và C thi đấu với xác suất
thắng trận lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Giả sử mỗi người thi đấu một trận độc lập nhau.
Tính xác suất để:
a) Đội tuyển thắng ít nhất một trận.
b) A thua trong trường hợp đội tuyển thắng 2 trận.

Giải
Đặt :
A : “vận động viên A thắng trận”,
B : “vận động viên B thắng trận”,
C : “vận động viên C thắng trận”

Ta có P ( A) = 0, 6 ; P ( B ) = 0, 7 ; P (C ) = 0,8 và A, B ,C độc lập nhau.
a) Gọi D : “Đội tuyển thắng ít nhất 1 trận”. Khi đó D : “Đội tuyển khơng
thắng trận nào”, D xảy ra khi cả A, B và C đều không xảy ra. Tức là D = ABC .
Áp dụng công thức biến cố đối và công thức nhân độc lập ta có:

(

)

P (D ) = 1 − P A.B .C = 1 − P (A)P (B )P (C ) = 1 − 0, 4.0, 3.0, 2 = 0,976

b) Gọi E : “ đội tuyển thắng 2 trận”

(

)

(

) (

P (E ) = P ABC + P ABC + P ABC

)
( )

= P ( A ) P ( B ) P (C ) + P ( A ) P ( B ) P (C ) + P A P ( B ) P (C )
= 0, 6.0, 7.0, 2 + 0, 6.0,3.0,8 + 0, 4.0, 7.0,8 = 0, 452

Xác suất A thua trong trường hợp đội tuyển thắng 2 trận:

(

)

P A/ E =

P (A.E ) P (ABC )
56
=
=
= 0, 4956 (Công thức xác suất điều
P (E )
P (E )
113

kiện)

Ví dụ 1.32. Hai vận động viên cùng bắn vào mục tiêu một cách độc lập nhau. Xác
suất trúng đích của vận động viên A là 0,8 còn của vận động viên B là 0,7. Tính xác
suất:
a) Vận động viên A bắn trúng đích trong 3 phát đầu.
b) Vận động viên B bắn trúng ngay từ phát thứ ba.
c) Hai người bắn trúng đích khi mỗi người đều bắn 1 phát.

25


d) Ít nhất một người bắn trúng đích khi mỗi người chỉ bắn 1 phát.

Giải
Đặt Ai : “Vận động viên A bắn trúng đích ở phát bắn thứ i ”, i = 1, 2, 3
B j : “Vận động viên B bắn trúng đích ở phát thứ j ”, j = 1, 2,3 . Theo đề bài ta
có Ai , B j là độc lập nhau, A1 , A2 , A3 độc lập nhau, B1 , B2 , B3 cũng độc lập nhau.
a) Đặt A : “Vận động viên A bắn trúng đích trong 3 phát đầu”. Ta có A : “vận
động viên A khơng bắn trúng đích trong ba phát đầu”. Ta có

( )

(

)

( ) ( ) ( )

P A = P A1A2A3 = P A1 P A2 P A3 = 0, 23

Theo công thức xác suất biến cố đối ta có:

( )

P ( A) = 1 − P A = 1 − 0, 23 = 0, 992
b) Xác suất vận động viên B bắn trúng đích ngay phát thứ 3:

P ( B1B2B3 ) = P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) = 0,3.0,3.0, 7 = 0, 063
c) Xác suất “Hai người bắn trúng đích khi mỗi người đều bắn 1 phát”:

P ( AB
1 1 ) = P ( A1 ) P ( B1 ) = 0,8.0, 7 = 0,56

d) Đặt D : “Ít nhất một người bắn trúng đích khi mỗi người chỉ bắn 1 phát”.
Ta có D : “khơng có người nào bắn trúng đích khi mỗi người chỉ bắn 1 phát”.

(

)

( )

P ( D ) = P AB
1 1 = P A1 P ( B1 ) = 0, 2.0,3 = 0, 06

Suy ra: P ( D ) = 1 − P ( D ) = 1 − 0, 06 = 0, 94 .

Ví dụ 1.33. Bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi có viên đạn trúng mục tiêu
thì dừng. Tính xác suất việc bắn dừng ở lần thứ tư, biết xác suất trúng của mỗi lần
bắn là như nhau và bằng 0,3.
Giải
Đặt Ai : “Viên thứ i trúng mục tiêu”, i = 1, 2,... Vì xác suất mỗi lần bắn như
nhau và bằng 0,3 nên có thể xem các Ai là độc lập nhau.
Xác suất việc bắn dừng ở lần thứ tư là:

(

)

( ) ( ) ( )

3

P AA
1 2A3A4 = P A1 P A2 P A3 P ( A4 ) = (1 − 0,3 ) .0,3 = 0,1029

Ví dụ 1.34. Tại một trại chăn ni lợn, lợn có thể mắc bệnh A với xác suất
0,7 và mắc bệnh B với xác suất 0,5. Biết rằng việc mắc bệnh A hay B là độc lập
nhau. Người ta dùng hai loại thuốc đặc hiệu có thể chữa khỏi hai loại bệnh nói trên.

26


Với thuốc T1 , khả năng chữa khỏi bệnh A, bệnh B và cả hai bệnh A, B lần lượt là
0,8; 0,6 và 0,3. Còn đối với thuốc T2 các khả năng đó lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,4.
a) Tính xác suất lợn bị mắc bệnh.
b) Tính xác suất lợn khỏi bệnh bằng thuốc T1 , T2 . Nên dùng loại thuốc nào

để hiệu quả chữa bệnh cao nhất?
Giải
Đặt A : “Lợn bị mắc bệnh A”; B “Lợn bị mắc bệnh B”. Ta có

P ( A) = 0, 7; P ( B ) = 0,5 ; A và B là hai biến cố độc lập.
a) Xác suất lợn bị mắc cả hai loại bệnh A và B là

P ( AB ) = P ( A) .P ( B ) = 0, 7.0,5 = 0, 35 .
Xác suất lợn bị mắc bệnh là:

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) = 0, 7 + 0,5 − 0, 35 = 0,85
b) Đặt K i : “Lợn mắc bệnh được chữa khỏi bằng thuốc Ti ”, i = 1, 2 .
Xác suất lợn bệnh được chữa khỏi bằng thuốc T1 là:

P ( ( A ∪ B ) K1 ) = P ( AK1 ∪ BK1 ) = P ( AK1 ) + P ( AK1 ) − P ( ABK1 )

= P ( A ) P ( K1 / A ) + P ( B ) P ( K1 / B ) − P ( AB ) P ( K1 / AB )
= 0, 7.0,8 + 0, 5.0, 6 − 0, 35.0, 3 = 0, 755
Xác suất lợn bệnh được chữa khỏi bằng thuốc T2 là:
P ( ( A ∪ B ) K 2 ) = P ( AK 2 ∪ BK 2 ) = P ( AK 2 ) + P ( AK 2 ) − P ( ABK 2 )
= P ( A ) P ( K 2 / A ) + P ( B ) P ( K 2 / B ) − P ( AB ) P ( K 2 / AB )
= 0, 7.0, 6 + 0,5.0, 7 − 0, 35.0, 4 = 0, 63
Vậy, khả năng lợn bệnh được chữa khỏi bằng thuốc T1 cao hơn thuốc T2 .
1.3.4. Hệ đầy đủ các biến cố – công thức xác suất đầy đủ - công thức Bayes
Định nghĩa 1.17. Các biến cố B1 , B2 ,..., Bn trong một không gian mẫu Ω được gọi
n

là hệ đầy đủ các biến cố nếu: Hệ B1 , B2 ,..., Bn là hệ từng đôi xung khắc và

∪B

i

= Ω.

i =1

Chú ý 1.3:

27

-

Cần phân biệt giữa hệ đầy đủ các biến cố với hệ từng đôi xung khắc.

-

Đối với một biến cố A bất kỳ thì hệ A, A cũng là hệ đầy đủ các biến cố.

{

}


- Đối với hệ đầy đủ các biến cố thì tổng xác suất các biến cố đó bằng 1 nhưng
nếu tổng xác suất các biến cố bằng 1 thì các biến cố đó chưa chắc là hệ đầy đủ
các biến cố.
Ví dụ 1.35. Giả sử một tỉnh A có 11 huyện là 1,2,….,11, chọn ngẫu nhiên một
người có quê trong tỉnh A đó. Đặt Bi : “Người được chọn quê ở huyện i ”,
i = 1, 2,...,11 . Khi đó hệ {B1 , B2 ,..., B11} là hệ đầy đủ các biến cố. Giả sử ở tỉnh A đó

có các cộng đồng Kinh, Khơ-me, Chăm, Hoa và các dân tộc khác. Với chú ý rằng,
mỗi người dân trong tỉnh A phải thuộc một và chỉ một trong 5 cộng đồng đó. Đặt D1 :
“người được chọn thuộc cộng đồng kinh”, D2 : “người được chọn thuộc cộng đồng
Khơ-me”; D3 : “người được chọn thuộc cộng đồng Chăm”; D4 : “người được chọn
thuộc cộng đồng Hoa” và D5 : “người được chọn thuộc cộng đồng các dân tộc khác”.
Khi đó ta cũng có {D1 , D2 , D3 , D4 , D5 } là hệ đầy đủ các biến cố.
Ví dụ 1.36. Một kho hàng có các ba loại sản phẩm A, B, C để lẫn lộn. Từ kho hàng
lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Đặt A : “Sản phẩm lấy ra thuộc loại A”; B : “Sản

phẩm lấy ra thuộc loại B” và C : “Sản phẩm lấy ra thuộc loại C”. Khi đó {A, B ,C }
là hệ đầy đủ các biến cố. Nếu lấy hai sản phẩm thì ta có hệ

{AA, BB ,CC , AB , AC , BC }

là hệ đầy đủ các biến cố.

Ví dụ 1.37. Gieo một đồng xu cân đối đồng chất hai lần. Hệ {SS , SN , NS , NN } là

hệ đầy đủ các biến cố. Còn nếu gieo đồng xu đó ba lần thì hệ đầy đủ các biến cố là:

{SSS , SSN , SNS , NSS , SNN , NSN , NNS , NNN }
b) Công thức xác suất đầy đủ:

Cho A biến cố bất kỳ và {B1 , B2 ,..., Bn } là hệ đầy đủ các biến cố. Khi đó:
n

P (A) =

∑ P (B ).P (A / B )
i

i

i =1

được gọi là công thức xác suất đầy đủ.
Ω
Bn
B1

Α

B2
B3

Hình 1. 10

Chứng minh

28

(1.16)


 n
 n
Ta có A = AΩ = A  ∑ Bi  = ∑ ABi , do {B1 , B2 ,..., Bn } là hệ đầy đủ các biến
 i =1  i =1
cố nên {AB1 , AB2 ,..., ABn } là hệ từng đơi xung khắc.
Do đó:
n
 n
 n
P ( A) = P  ∑ ABi  = ∑ P ( ABi ) = ∑ P ( Bi ) P ( A / Bi )
i =1
 i =1
 i =1

Chú ý 1.4: Công thức xác suất đầy đủ cịn được gọi là cơng thức xác suất tồn phần
hay công thức xác suất theo giả thiết.

Các xác suất P ( Bi ) và P ( A / Bi ) thường được biết trước khi thực hiện phép
thử và được gọi là các xác suất tiền nghiệm, còn các xác suất P (Bi / A) , cho biết
khả năng tham gia của Bi vào việc xảy ra biến cố A, được gọi là xác suất hậu
nghiệm. Chúng ta có thể tính xác suất hậu nghiệm từ các xác suất tiền nghiệm.

c) Cơng thức Bayes
Định lí 1. 2.

{B1 , B2 ,..., Bn }

(Định lý Bayes) Cho A là một biến cố bất kỳ có xác suất dương,
là hệ đầy đủ các biến cố. Khi đó với mỗi j ∈ {1, 2,..., n} ta có:

P ( B j / A) =

P ( B j ) P (A / Bj )

(1.1)

n

∑ P (B ) P ( A / B )
i

i

i =1

Chứng minh:

Theo công thức xác suất điều kiện ta có:

P ( B j / A) =

P ( AB j )

P ( A)

(1) .

Mà P ( ABj ) = P ( B j ) P ( A / B j )

n

( 2)

và P (A) =

∑ P (B ).P (A / B )
i

i

(3)

i =1

Thay (2) và (3) vào (1) ta được công thức cần chứng minh.
Ví dụ 1.38. Ba người cùng vào một cửa hàng. Mỗi người muốn mua một cái Tivi,
nhưng cửa hàng chỉ còn hai cái Tivi. Người bán hàng làm 3 lá thăm, trong đó có hai
lá được đánh dấu. Mỗi người lần lượt rút một lá thăm. Nếu ai rút được lá có đánh dấu
thì được mua Tivi. Chứng minh rằng cách làm trên là công bằng cho cả 3 người mua
hàng.
Giải
Đặt Ai : “Người thứ i rút được thăm có đánh dấu”.

29


Ta có P ( A1 ) =

{

2
.
3

}

Vì A1 , A1 là hệ đầy đủ các biến cố nên
2 1 1
2
P ( A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) + P A1 P A2 / A1 = . + .1 = .
3 2 3
3

( ) (

)

{

}

Khi người thứ nhất và thứ hai đã rút thăm thì hệ AA
là hệ đầy

1 2 , AA
1 2 , AA
1 2
đủ các biến cố,
2 1 1
P ( AA
. = ; P ( A3 / AA
1 2 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) =
1 2) = 0
3 2 3

2 1 1
P AA
. = ; P A3 / AA
1 2 = P ( A1 ) P A2 / A1 =
1 2 =1
3 2 3

(

)

(

)

(

)

1
1
P AA
.1 = ; P A3 / AA
1 2 = P A1 P A2 / A1 =
1 2 =1
3
3

(

)

( ) (

)

(

)

Do đó:

(

) (

)

(

) (

P ( A3 ) = P ( AA
1 2 ) P ( A3 / AA
1 2 ) + P AA
1 2 P A3 / AA
1 2 + P AA
1 2 P A3 / AA
1 2

)

1
1
1
2
= .0 + .1 + .1 =
3
3
3
3

Như vậy, P ( A1 ) = P ( A2 ) = P ( A3 ) nên cách làm trên là công bằng cho cả ba
người.

{

Chú ý 1.5: Để tính P ( A3 ) ta có thể dựa vào hệ AA
1 2 ; A1

}

vì A3 xảy ra khi hai

người đầu có một người khơng được thăm có đánh dấu, tức là A3 = AA
1 2 + A1 . Từ đó
2 1 1 2
P ( A3 ) = P ( A1 ) P A2 / A1 + P A1 = . + = . Cách tính này đơn giản tuy nhiên
3 2 3 3
chỉ áp dụng riêng cho ví dụ này. Trong trường hợp tổng quát, chẳng hạn có 10 là
thăm trong đó có 3 thăm được đánh dấu thì cơng thức đó khơng đúng nữa. Vì hệ trên
khơng phải là hệ đầy đủ các biến cố.

(

)

( )

Ví dụ 1.39. Một hộp có 10 là thăm trong đó có 3 lá thăm được đánh dấu. Ba người
mỗi người lần lượt rút một thăm. Tính xác suất rút trúng thăm đánh dấu của mỗi
người.
Giải
Đặt Ai : “Người thứ i rút được thăm có đánh dấu”.

30


Ta có P ( A1 ) =

3
. Khi người thứ nhất đã rút thăm thì A1 , A1 là hệ đầy đủ
10

{

}

các biến cố nên

( ) (

)

P ( A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) + P A1 P A2 / A1 =

3 2 7 3 1 7
3
. + . = +
= .
10 9 10 9 15 30 10

{

}

Khi người thứ nhất và thứ hai đã rút thăm thì hệ AA
là hệ
1 2 , AA

1 2 , AA
1 2 ; AA
1 2
đầy đủ các biến cố,

P ( AA
1 2 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) =

3 2 1
1
. = ; P ( A3 / AA
1 2) =
10 9 15
8

(

)

(

)

3 7 7
2
. = ; P A3 / AA
1 2 =
10 9 30
8

(

)

( ) (

)

7 3 7
2
. = ; P A3 / AA
1 2 =
10 9 30
8

(

)

( ) (

)

7 6 7
3
. = ; P A3 / AA
1 2 =
10 9 15
8

P AA
1 2 = P ( A1 ) P A2 / A1 =
P AA
1 2 = P A1 P A2 / A1 =
P AA
1 2 = P A1 P A2 / A1 =

(

)

(

)

(

)

Do đó:

(

) (
)
+ P ( AA ) P ( A / AA ) + P ( AA ) P ( A / AA )

P ( A3 ) = P ( AA
1 2 ) P ( A3 / AA
1 2 ) + P AA

1 2 P A3 / AA
1 2
1

=

2

3

1

2

1

2

3

1

2

1 1 7 2 7 2 7 3 3
. + . + . + . = .
15 8 30 8 30 8 15 8 10

{

}

Chú ý: Ở ví dụ này, ta tính P ( A3 ) dựa vào hệ AA
1 2 , AA
1 2 , AA
1 2 ; AA
1 2 , tuy nhiên

nếu đặt Bi : “Hai người đầu có i người được thăm có đánh dấu”, i = 0,1, 2 . Khi đó,

{B0 , B1 , B2 }
P ( A3 / Bi ) =

là

hệ

đầy

đủ

các

biến

c ố;

P ( Bi ) =

C 3iC 72−i

, i = 0,1, 2
C 102

và

3−i
. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
8
2

C 3i .C 72−i 3 − i 3
.
= . So sánh hai cách làm,
C102
8
10
i =0
2

P ( A3 ) = ∑ P ( Bi ) P ( A3 / Bi ) = ∑
i =0

cách sau trình bày gọn hơn do biến cố B1 = AA
1 2 + AA
1 2.
Ví dụ 1.40. Một lơ hạt giống gồm làm 3 loại để lẫn lộn. Loại 1 chiếm 2/3 số hạt,
loại 2 chiếm 1/4, còn lại là loại 3. Tỉ lệ nẩy mầm của loại 1, loại 2 và loại 3, theo thứ
tự, là 80%, 70% và 50%. Lấy ngẫu nhiên một hạt từ lơ hạt giống.

a) Tính xác suất để hạt giống lấy ra là nẩy mầm được. Ý nghĩa của xác suất

này đối với lô hạt giống là gì?

31