4 de hoc sinh gioi toan 7 va dap an tham khao

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN LỚP 7
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý:
200

1000

1
1
a)   và  
 16 

2

b) (-32)27 và (-18)39

Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết:
a) (2x-1)4 = 16
b) (2x+1)4 = (2x+1)6

c) x + 3 − 8 = 20

Bài 3: (1,5 điểm): Tìm các số x, y, z biết :
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
b)

x y z
= = và x2 + y2 + z2 = 116
2 3 4

Bài 4: (1,5 điểm):
Cho đa thức :
A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2)
a) Xác định bậc của A.
b) Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z.
Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: M =

x
y
z
t
+
+
+
có giá trị khơng
x+y+z x+y+t y+z+t x+z+t

phải là số tự nhiên.( x, y, z, t ∈ N * ).
Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất
kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường
thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
a) BH = AI.
b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi.
c) Đường thẳng DN vng góc với AC.
d) IM là phân giác của góc HIC.

/>
Hotline: 0125 868 0640

Page 1

Đáp án Toán 7
Bài 1: (1,5 điểm):
200

1
1
a) Cách 1:   =  
 16 

4. 200

1
= 
2

2

200

800

1000

1
>  
2

200

5. 200

1000

1
1
1
1
Cách 2:   >   =   =  
 16 
 32 
2
2
27
135
156
4.39
5 27
b) 32 = (2 ) = 2
< 2 = 2 = 1639 < 1839
27
39
27
39
⇒ -32 > -18
⇒ (-32) > (-18)

(0,75điểm)
(0, 5điểm)

(0,25điểm)

Bài 2: (1,5 điểm):
a) (2x-1)4 = 16 . Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5
b) (2x+1)4 = (2x+1)6. Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15
c) x + 3 − 8 = 20 ⇒ x + 3 − 8 = 20 ; x + 3 − 8 = −20
x + 3 − 8 = 20 ⇒ x + 3 = 28 ⇒ x = 25; x = - 31

(0,25điểm)
(0,25điểm)

x + 3 − 8 = −20 ⇒ x + 3 = −12 : vô nghiệm

Bài 3: (1,5 điểm):
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0
⇒ 3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0

b)

⇒ x=z=

(0,5điểm)
(0,5điểm)

(0,25điểm)
5
;y = -1;y = 1
3

(0,5điểm)

x y z
= = và x2 + y2 + z2 = 116
2 3 4

2
2
2
2
2
2
Từ giả thiết ⇒ x = y = z = x + y + z = 116 = 4
4

9

16

4 + 9 + 16

29

Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 )
Bài 4: (1,5 điểm):
a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2
⇒ A có bậc 4
b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z )
⇒ A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z
Bài 5: (1 điểm):

x
x
x
Ta có:
<
<
x+y+z+t x+y+z x+y
y
y
y
<
<
x+ y+z+t x+ y+t x+ y
z
z
z
<
<
x+y+z+t y+z+t z+t
t
t
t
<
<
x+y+z+t x+z+t z+t
x+ y+z+t
x
y
z
t

⇒
+
)+(
+
)
x+ y+z+t
x+y x+y
z+t z+t

/>
Hotline: 0125 868 0640

(0,25điểm)
(0,5điểm)
(0,5điểm)
(0,725điểm)
(0,25điểm)

(0,25điểm)

(0,25điểm)
Page 2


hay: 1 < M < 2 . Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên
Bài 6: (3 điểm):
a. ∆AIC = ∆BHA ⇒ BH = AI
b. BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2
c. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N ⇒ N là trực tâm ⇒ DN ⊥ AC

d. ∆BHM = ∆AIM ⇒ HM = MI và ∠BMH = ∠IMA
mà : ∠ IMA + ∠BMI = 900 ⇒ ∠BMH + ∠BMI = 900
⇒ ∆HMI vuông cân ⇒ ∠HIM = 450
mà : ∠HIC = 900 ⇒∠HIM =∠MIC= 450 ⇒ IM là phân giác ∠HIC
B

(0,25điểm)
(0,5điểm)
(0,75điểm)
(0,75điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)

H
D

M
I

N
A

/>
C

Hotline: 0125 868 0640

Page 3

TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học : 2005 - 2006
Mơn : TỐN - Khối lớp: 7
Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (2điểm)

Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và c( b + d)

= 2bd . Chứng minh (
Bài 2 (2điểm)

a+c 8
a8 + c8
) = 8 8
b+d
b +d

a/ Tìm x biết:
3
4

2
3

5. − x - 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 . 0,25 + (-0,25)2}
b/ Tìm x , y biết: 3 + y + 2 x + y = 0
Bài 3 (2điểm)

a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x2 - 35x + 42
b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và
a ≠ 0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7.
Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7.

Bài 4 (2điểm)

a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41
b/ Biết x ∈ Q và 0 < x < 1. Chứng minh xn < x với n ∈ N, n > 2

Bài 5 (2điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và
AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC.
Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE.
a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau.
b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD.
--------------------------------

/>
Hotline: 0125 868 0640

Page 4


ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Bài 1 (2đ)

Từ c( b+d ) = 2bd suy ra b + d =

2bd
c

(0,5đ)

a+c
2bc
c
=
=
b+d
2bd
d
a
c
a+c
Suy ra =
=
b
d
b+d

(0,5đ)

Viết

(0,5đ)

Biến đổi để có điều phải chứng minh

Bài 2 (2đ)

(0,5đ)

a/ Tính được

1
3 2
− x =
4
4 3

(0,5đ)

Tìm được x =

3
3
,x=
4
2

(0,5đ)

b/ Nêu 3 + y > 0 và 2 x + y > 0

(0,25đ)

Để có 3 + y + 2 x + y > 0

(0,25đ)

Suy ra 3 + y = 0 và 2 x + y = 0

(0,25đ)

Tìm được x =

3
và y = -3
2

(0,25đ)

Bài 3 (2đ)

a/ Viết được 7x2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2)
Tìm được x = 3 , x = 2 và trả lời
b/ Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 7
f(1) và f(-1) chia hết cho 7 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 7
Suy ra 2a + 2c chia hết cho 7 để có a chia hết cho 7.
Suy ra b chia hết cho 7

(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

Bài 4 (2đ)

a/ Viết được (x+1)2 = 42 + 8y2
Suy ra (x+1)2 là số chẵn, để có (x+1)2 chia hết cho 4
Nêu 42 + 8y2 không chia hết cho 4.
Kết luận: khơng có số ngun x, y nào thõa mãn đề bài
b/ Xét xn – x = x ( xn-1 - 1 )
+ 0 < x < 1 nên xn-1 < 0 và x > 0
Suy ra: xn - x < 0
+ Suy ra điều phải chứng minh

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

/>
Hotline: 0125 868 0640

Page 5


Bài 5 (2đ)

a/ Nêu được AK ⊥ MC
Suy ra hai góc KAH và MCB bằng nhau

b/ Chứng minh CE = MN
Viết được AB - AC > BD - CE. Suy ra: BM > BD – MN
Hạ MI ⊥ BD và chứng minh BM > BI
Kết luận AB + CE > AC + BD

/>
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

Hotline: 0125 868 0640

Page 6


Sở GD & ĐT Đà Nẵng
Trường THCS Nguyễn Khuyến
-------------

KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII
Năm học 2007 – 2008
Môn: Toán 7
Thời gian: 90 phút
-------------------------

x 3 − x 2 + 03y
1

Bài 1: (1,5 điểm) Cho A =
biết x = ; y là số nguyên âm lớn nhất
2
x −y
2

Bài 2: (2 điểm) Cho

x + 16 y − 25 z + 9
9 − x 11 − x
=
=
và
+
= 2 .Tìm x+y+z
9
16
25
7
9

Bài 3: (1,5 điểm)
Tìm x, y ∈ Z biết 2xy+3x = 4
16

- 72

+ 90.

Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1

a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức.
b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vng tại A(ABAE = AB. Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F.
a/ Chứng minh tam giác BFC
b/ Biết góc ACB bằng 300.Chứng minh tam giác BFE đều.

/>
Hotline: 0125 868 0640

Page 7


GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII ĐÁP ÁN TOÁN 7
Bài1: (1,5 điểm)
; y = -1

(0,5đ)

+ Với x = - ; y = -1 ⇒ A = -

(0,5đ)

+ Với x = ; y = -1 ⇒ A= -

(0,5đ)

+ Tìm được: x =

Bài 2: (2 điểm)
+ Từ

= 2 ⇔ (2 – x)( + ) = 0 ⇔ x = 2

+

+ Thay x = 2 ⇒

=

=

=

=

(0,75đ)

= 2. (1đ)

+ ⇒ x + y + z = 100

(0,25đ)

Bài 3: (2 điểm)
+ Biến đổi được: x(2y + 3) = 4

(0,5đ)

+ Chỉ ra được x, y Z ⇒ x Ư(4) và 2y + 3 lẻ

(0,5đ)

+ Lập bảng.

(1đ)

x

-4

-2

-1

1

2

4

2y + 3

-1

-2

-4

4

2

1

y

-2

loại

loại

loại

loại

-1

Bài 4: (2 điểm).
a) Chỉ được; a + b + c + d = 0 ⇒ đpcm.
(hoặc tính được P(1) = 0 ⇒ đpcm).
b)
+ Rút được: + x = 3 (1) (0,25đ)
+ Biến đổi được P = (3 + 3 ) + ( + x) – 9x + 1
= 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1

(0,5đ)

(1đ)

+ Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ)
(Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm)

/>
Hotline: 0125 868 0640

Page 8


Bài 5: (2,5 điểm)
+ Hình vẽ (phục vụ được câu 1):
a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 trung trực của ∆ BEC
⇒ F trung trực BC ⇒ ∆BFC cân
(học sinh có thể chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm).

(0,25đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
K

b) + Tính được EBC = 15 .
+ Hạ FK AB ⇒ ∆FKB = ∆FHC (ch + cgv)
⇒∆BFC vuông cân ⇒ FBC = 45 .
+ Kết luận ∆BFE đều.

(0,5đ)
(0,75đ)
(0,25đ)

(0,25đ)

B

A

/>
F

F

H

Hotline: 0125 868 0640

C

Page 9


Sở GD & ĐT Đà Nẵng
Trường THCS Nguyễn Khuyến
-------------

Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz biết:
Bài 2: (1 điểm) Biết a 2 + ab +
và a

KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VII
Năm học 2006 – 2007

Mơn: Tốn 7
Thời gian: 90 phút
-------------------------

x 2 y 2 z2
=
=
, và x – y + z = 4
4
9 25

b2
b2
= 25 ; c 2 +
=9
3
3

0; c ≠ 0; a ≠ -c. Chứng minh rằng:

; a 2 + ac + c 2 = 16

2c b + c
=
.
a a+c

Bài 3: (2,5 điểm0
a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:
f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + 7 x2 - 9

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90.

Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5.
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và
góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I
trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.
a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.
b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.

/>
Hotline: 0125 868 0640

Page 10


ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Bài 1: (1điểm)
0,5đ
0,25đ
0,25đ

x 2 y 2 z2
x y z
=
=
và x, y, z ∈ N, x ≠ 0 ⇒ = =
4
9 25
2 3 5
x y z x−y+z 4

⇒ = = =
= =1
2 3 5 2−3+5 4
⇒x = 2; y = 3; z = 5. Vậy xyz = 235

Bài 2: (1,5 điểm)
b2
b2
2
2
2
Ta có: c + + a + ac + c = a + ab +
(vì 9 + 16 = 25)
3
3
2

Suy ra: 2c2= a(b – c)

2c b − c
=
(vì a ≠ 0; c ≠ 0)
a
c
2c b − c 2c + b − c b + c
⇒
=
=
=
(vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0)

a
c
a+c
a+c

⇒

0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ

Bài 3: (2,5điểm)
a/ (1 điểm) f(x) = ( m2- 25)x4 + (20 + 4m)x3 + 7x2 - 9 là đa thức bậc 3
biến x khi: m2 - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0
⇒ m = ± 5 và m ≠ -5
Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x.

0,5đ
0,25đ
0,25đ

b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 =(4x2 )2 - 2.4 x2.9 + 92 + 9
g(x) = (4x2 – 9)2 + 9
Với mọi giá trị của x ta có: = (4x2 – 9)2 ≥ 0 ⇒ g(x) = (4x2 – 9)2 + 9 ≥ 9.
Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9
Khi và chỉ khi (4x2 – 9)2 = 0

0,25đ
0,25đ

⇒ 4x2 - 9 = 0 ⇒ 4x2 = 9 ⇒x2 =

0,25đ
0,25đ

9
3
⇒x= ± .
4
2

0,5đ

Bài 4: (2 điểm)
Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r)
Ta có: * 112 = 5a + r
⇒ 5a < 112 ⇒ a 22 (1)
*a > r ⇒ 5a + r < 5a + a
/>
0,5đ

Hotline: 0125 868 0640

Page 11


112 < 6a
a > 112 : 6
a ≥ 19 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ a = 19; 20; 21; 22
lập bảng số:

0,5đ

a

19

20

21

22

r = 112 – 5a

17

12

7

2

Bài 5: (3 điểm)
a/ (1,5 điểm) - Chứng minh ∆CHO = ∆ CFO (cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra: CH = CF. Kết luận ∆ FCH cân tại C.
-Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh ∆ FIG cân tại I.
- Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK.

- Chứng minh ∆ AHK = ∆ IGK (g-c-g).
- Suy ra AK = KI..
b/ (1,5 điểm)
Vẽ OE ⊥ AB tại E. Tương tự câu a ta có: ∆ AEH, ∆ BEF thứ tự cân tại A, B.
Suy ra: BE = BF và AE = AH.
BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra: ∆ ABI cân tại B.
Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của ∆ ABI nên: B,
O, K là ba điểm thẳng hàng.

0,5đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ

A
E

H
K
O

B

G
F

I

/>
C

Hotline: 0125 868 0640

Page 12