TUYỂN TẬP 176 BÀI TOÁN HÌNH 8 ÔN TẬP CHƯƠNG I

TUYỂN TẬP
176 BÀI TỐN HÌNH 8
ƠN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1.
a) Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M và N là hai điểm lần lượt trên các cạnh AB và AD

  450
sao cho chu vi AMN bằng 2. Chứng minh MCN
b) Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M , N là hai điểm lần lượt trên các cạnh AB và AD sao

  450 . Chứng minh AMN có chu vi bằng 2.
cho: MCN
c) Cho hình vng ABCD . Gọi N là trung điểm của AD và M thuộc cạnh AB sao cho: AM 

2
AB .
3

.
Chứng minh MC là phân giác của BMN
Bài 2.
a) Cho hình vng ABCD . Trên tia đối của tia CB lấy điểm M . Trên tia đối của tia DC lấy điểm N

  450 ( I  NM ). Gọi O là trung điểm của AC . Chứng
sao cho DN  BM . Vẽ tia AI sao cho NAI
minh B, O, D, I thẳng hàng.

 cắt cạnh BC tại
b) Cho hình vng ABCD . Lấy điểm E bất kỳ trên cạnh AB . Tia phân giác của CDE
K . Chứng minh rằng AE  KC  DE .

Bài 3.

Cho ABC ( 
A  900 ). Bên ngoài ABC vẽ ABD và ACE vuông cân tại A .

a) Chứng minh CD  BE .
b) Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BD, CE , BC . Chứng minh MNP là tam giác vuông cân.
Bài 4. Cho ABC ( AB  AC ), đường cao AH , gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB .
Chứng minh:
a) NP là trung trực của đoạn AH .

b) Tứ giác MNPH là hình thang cân.

Bài 5. Cho ABC cân ở A . Gọi I là một điểm bất kỳ thuộc đường cao AH . Gọi D là giao điểm của BI
và AC . E là giao điểm của CI và AB .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


a) CMR: AD  AE .
b) BEDC là hình gì ?
c) Xác định vị trí của I để BE  ED  DC
Bài 6. Cho ABC cân tại A ( 
A  400 ) có BM , CN là hai đường phân giác.
a) Chứng minh tứ giác BCMN là hình thang cân.
b) BE , CF là hai đường cao của ABC . Chứng minh EMNF là hình thang cân.
c) Chứng minh: MC  NB  MN  BC  MB  NC .
Bài 7. Cho ABC cân tại A , vẽ trung tuyến AM . Trên tia MB lấy MD  MA . Kẻ qua D một đường
thẳng vng góc với AC , cắt AM tại I .

  900 .

a) Chứng minh: BIC
b) Kẻ Mx và By cùng vuông góc với DI , cắt DA tại M ' và B ' . Chứng minh M ' A  M ' B ' .
c) Chứng minh: CI  AD .
d) Chứng minh A, I , B, D là 4 đỉnh của hình thang cân.
Bài 8. Cho ABC cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm D và trên tia đối của tia CA lấy điểm E , sao cho

BD  CE . Gọi M là trung điểm của DE . Chứng minh B , M , C thẳng hàng.
Bài 9. Cho ABC có AB  AC , AH là đường cao. Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của AB , AC và

BC .
a) Chứng minh tứ giác MNKH là hình thang cân.
b) Trên tia AH và AK lần lượt lấy điểm E và D sao cho H là trung điểm của AE và K là trung điểm
của AD . Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.
Bài 10. Cho ABC có AB  AC . Trên tia đối của tia BA lấy điểm D , trên tia đối của tia CA lấy điểm
E sao cho BD  CE . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của BC , CD, DE , EB .

a) Chứng minh MP  NQ .
  800 , CED
  400 . Khi đó hãy tính MNP
.
b) Cho biết BDE

.
c) Bỏ giả thiết ở câu b. Chứng minh MP song song với đường phân giác trong của BAC

d) ABC phải có thêm điều kiện gì để MP  NQ ?
Bài 11. Cho ABC có AD, BE , CF là các đường trung tuyến và trọng tâm G . Trên tia đối của tia EG
lấy điểm K sao cho: EG  EK . Trên tia đối của tia FG lấy điểm L sao cho FG  FL .
a) Chứng minh: tứ giác BCKL là hình bình hành.
b) Nếu ABC cân ở A thì tứ giác BCKL là hình gì ? Chứng minh.

Bài 12. Cho ABC có BM là phân giác. Vẽ MN / / BC ( N  AB ) . Vẽ NK / / AC ( K  BC ) .
a) Chứng minh BN  KC .
b) ABC phải có thêm điều kiện gì để N là trung điểm của AB ?
c) ABC phải có thêm điều kiện gì để CN  KM ?
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122


Bài 13. Cho ABC có đường cao AH . Gọi D, E , F lần lượt là trung điểm của AB  AC  HC . Vẽ

DK  BC

tại K

.

chứng

minh

tứ

giác

DEFK có:

DE / / KF , DK / / EF , DK  EF , DE  KF , DF  EK .

Bài 14. Cho ABC có hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm
của AB, AC , AH và O là giao điểm của các đường trung trực của ABC .
a) Chứng minh: tứ giác OMIN là hình bình hành.

b) ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác OMIN là hình chữ nhật ?
Bài 15. Cho ABC đều. Gọi D, E , F lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB . Gọi M là một điểm bất kỳ
trên cạnh BC ( M không trùng với B và C ). Gọi I , H , K lần lượt là trung điểm của MA, MB, MC .
Vẽ MP  AB tại P , MQ  AC tại Q . Chứng minh:
a) BCEF là thang cân.

b) DFIK là hình bình hành.

c) ID, FK , EH cắt nhau tại 1 điểm gọi là O . d) PID đều.
e) O là trung điểm của PQ .
Bài 16. Cho ABC đều. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao
cho: AD  AE . Gọi F , G, H , I lần lượt là trung điểm của CD, AE , AB, AC . Chứng minh:
a) Tứ giác BEDC là hình thang cân và BGDI là hình thang.
b) FGH đều.
Bài 17. Cho ABC nhọn ( AB  AC ). Bên ngồi ABC vẽ BAD vng cân ở A , ACE vuông cân ở
A. BE cắt CD tại I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của DE , BC . Chứng minh tứ giác AINM là

hình thang cân.
Bài 18. Cho ABC nhọn có 
A  450 , đường cao AH . Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB , E là
điểm đối xứng với H qua AC , K là giao điểm của DB và EC .
a) Chứng minh tứ giác ADKE là hình vng.
b) ABC phải có thêm điều kiện gì thì A, H , K thẳng hàng.
Bài 19. Cho ABC và 3 trung tuyến AD, BE , CF . Qua F kẻ đường song song với BE cắt DE kéo dài
tại G . Chứng minh:
a)

BEGF là hình bình hành.

b)

AD, BG, EF đồng qui.

c)

AD  CG

Bài 20. Cho ABC và H là trực tâm của nó. Các đường thẳng vng góc với AB tại B , vng góc với

AC tại C cắt nhau tại D .
a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.
 của tứ giác ABCD ?
b) Có nhận xét gì về quan hệ giữa 
A và D

c) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh H , M , D thẳng hàng.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


d) Gọi O là trung điểm của AD . Chứng minh AH  2OM .
e) Chứng minh OM  BC .
Bài 21. Cho ABC vng cân ở A , có AB  10 cm. Điểm M thuộc cạnh BC . Gọi D, E lần lượt là hình
chiếu của M xuống AB, AC .
a) Tứ giác ADME là hình gì ? Tính chu vi tứ giác đó.
b) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì đoạn thẳng DE có độ dài bé nhất. Tính độ dài nhỏ nhất của
DE .

Bài 22. Cho ABC vuông cân tại A . Ở phía ngồi ABC vẽ BCD vng cân tại B .
Tứ giác ABCD là hình gì ? Chứng minh.
Bài 23. Cho ABC vng tại A có AC  2 AB ; đường cao AH , trung tuyến AM . Vẽ phân giác At

của góc BAC , vẽ đường thẳng Bx vng góc với At lần lượt cắt AH , At , AM , AC ở P, I , Q, F . Vẽ

Cy  At tại E . Chứng minh:
a)

ABEF là hình thoi.

b) APEQ là hình thoi
Bài 24. Cho ABC , trên tia BA lấy D sao cho A là trung điểm BD . Trên tia CB lấy điểm E sao cho
B là trung điểm CE . Hai đường thẳng AC và DE cắt nhau tại I . Chứng minh rằng:

DI 

DE
3

Bài 25. Cho ABC . Kẻ lần lượt các tia phân giác ngồi Bx, Cy của các góc B và C . Kẻ AH  Bx tại
H , AK  Cy tại K .

a) Chứng minh tứ giác BCKH là hình thang.
b) ABC phải có thêm điều kiện gì để BCKH là hình thang cân?
Bài 26. Cho ABC . Trên cạnh AB lấy 2 điểm D , F sao cho AD  DF  FB . Các trung tuyến AE , BG
của ABC lần lượt cắt CD , CF tại H , K .
a) Chứng minh GH , EK , AB đồng qui.
b) Chứng minh AB  4 HK .
Bài 27. Cho ABC . Trên cạnh AB lấy D và F sao cho AD  DF  FB . Qua D, F lần lượt vẽ các
đường thẳng song song với BC , cắt AC tại E , G .
a) Chứng minh AE  EG  GC và DE  FG  BC .
b) Tính DE , FG nếu biết BC = 9cm.
Bài 28. Cho ABC . Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD  AB . Trên tia AB lây điểm E sao cho

AE  AC . Tứ giác BECD là hình gì ? Chứng minh.

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 29. Cho ABC . Vẽ Bx và By lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B ; Cz và Ct
lần lượt là phân giác trong và phân giác ngồi của góc C . Vẽ AD  Bx tại D , AE  By tại E ,

AF  Cz tại F , AG  Ct tại G .
a) Chứng minh: tứ giác AGCF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh: E , F , D, G thẳng hàng.
c) Chứng minh: chu vi ABC bằng 2EG .
Bài 30. Cho MNK cân tại M có đường phân giác MH . Gọi I là một điểm nằm giữa M và H . Tia
KI cắt MN tại A , tia NI cắt MK tại B .

a) Chứng minh tứ giác ABKN là hình thang cân.
b) Chứng minh MI vừa là trung trực của AB vừa là trung trực của KN .
Bài 31. Cho MNP . Gọi D, E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh NP, PM , MN . Gọi O là giao
điểm của MD và EF .
a) Chứng minh O là trung điểm của DM và EF .
b) Cho chu vi DEF là 12cm. Tính chu vi MNP .
c) Gọi I là trung điểm của MF , IE cắt đường thẳng NP tại K . Chứng minh PD  PK .
Bài 32. Cho B là một điểm nằm giữa đoạn thẳng AC . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC dựng các
hình vng ABDE và BCKH . Trên tia AB lấy điểm M , trên tia đối của tia DB lấy điểm P sao cho
DP  AM  HK . Chứng minh rằng:

a)

EM  KP .

b) EMKP là hình vng.
Bài 33. Cho đoạn thẳng AG và điểm D nằm giữa A và G . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AG , vẽ các
hình vuông ABCD, DEFG . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AG, EC . Gọi I , K lần lượt là tâm
đối xứng của các hình vng ABCD, DEFG .
a) Chứng minh: AE  CG và AE  CG tại H .
b) Chứng minh: IMKN là hình vuông.
c) Chứng minh: B, H , F thẳng hàng.
d) Gọi D là giao điểm của BF và CG . Chứng minh rằng độ dài TM không đổi khi D di động trên
đoạn thẳng AG cố định.
Bài 34. Cho đoạn thẳng AM . Trên đường vng góc với AM tại M , lấy điểm K sao cho
MK 

1
AM . Kẻ MB vng góc với AK ( B  AK ). Gọi C là điểm đối xứng với B qua M .
2

Đường vng góc với AB tại A và vng góc với BC tại C cắt nhau ở D . Chứng minh rằng

ABCD là hình vng.

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 35. Cho góc xOy và yOz kề bù có Om,On lần lượt là hai tia phân giác của hai góc đó. Từ một điểm
A trên tia Oy . Kẻ AB  Om, AC  On ( B  Om, C  On) . Chứng minh rằng:

a) AO  CB .
b) BC / / xz

  900 ). Ở phía ngồi hình bình hành, vẽ các tam giác vng cân
Bài 36. Cho hình bình hành ABCD ( B
tại B là ABE và CBF . Chứng minh rằng:
a) DB  EF .
b) DB  EF .

  600 , AD  2 AB . Gọi M là trung điểm của AD ; N là trung
Bài 37. Cho hình bình hành ABCD có A
điểm của BC . Từ C kẻ đường thẳng vng góc với MN ở E cắt AB ở F . Chứng minh:
a) MNCD là hình thoi;
b) MCF đều
c) E là trung điểm của CF ;
d) Ba điểm F , N , D thẳng hàng.

  1200 . Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm M
Bài 38. Cho hình bình hành ABCD có A
của cạnh AB .
a) Chứng minh AB  2 AD .
b) Vẽ AH  CD . Chứng minh DM  2 AH .
Bài 39. Cho hình bình hành ABCD có 2 AB  BC  2a, Bˆ  60 0 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AD và BC

Tứ giác AMNB là hình gì ? Vì sao ?
a) Chứng minh rằng : AN  ND ; AC  ND .
b) Tính diện tích của AND theo a.
Bài 40. Cho hình bình hành ABCD có AB  2 AD . Kẻ BE  AD tại E . Nối E với trung điểm của CD ,
FH  BE tại H , FH cắt AB tại K .

a) Tứ giác CFKB và tứ giác DFKA là hình gì ?
b) Chứng minh EFB cân.

.
c) Chứng minh: 
ADC  2 DEF
Bài 41. Cho hình bình hành ABCD có AB bằng đường chéo AC. Gọi O là trung điểm của BC và E là
điểm đối xứng của A qua O. Đường thẳng vng góc với AE tại E cắt đường thẳng AC tại F .
a) Chứng minh: tứ giác ABEC là hình thoi.
b) Chứng minh: tứ giác ADFE là hình chữ nhật.
c) Vẽ CG  AB tại G , CH  BE tại H . Chứng minh: GH / / AE .
d) Vẽ AI  CD tại I . Chứng minh rằng nếu AI  AO thì AC  BD và 
ABO  600 .
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 42.

Cho hình bình hành ABCD có BC  2 AB , 
A  600 . Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của

BC , AD . Gọi I là điểm đối xứng với A qua ABCD .

a) Tứ giác ABEF là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác AIEF là hình gì? Vì sao?
c) Tứ giác BICD là hình gì? Vì sao?
d) Tính số đo góc 
AED .
Bài 43. Cho hình bình hành ABCD trong đó có AD  2 AB . Kẻ CE  AB . Gọi M là trung điểm
của AD , nối EM , kẻ MF vng góc với CE ; MF cắt BC tại N .
a) Tứ giác MNCD là hình gì ?
b) MEC là tam giác gì ?

  2
c) Chứng minh rằng: BAD
AEM

Bài 44. Cho hình bình hành ABCD và một đường thẳng d (d khơng cắt cạnh nào của hình bình hành).
Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Gọi

A ', B ', C ', D ', O' lần lượt là hình chiếu của

A, B, C , D, O xuống d. Chứng minh rằng : AA ' BB ' CC ' DD '  4OO ' .

Bài 45.

Cho hình bình hành ABCD và một đường thẳng d đi qua D (hình bình hành nằm về một phía

, , , ,

của d). Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Gọi A , O , C , B là chân đường vuông góc kẻ từ
A, O, C , B đến d. CMR:

,

, ,

a) O là trung điểm của A C .

,

,

,

b) AA  CC  BB .
 cắt AB tại M , phân giác trong
Bài 46. Cho hình bình hành ABCD , đường phân giác trong của D
 cắt CD tại N . Chứng minh:
của B

a) AM  AD .
b) MBND là hình bình hành.
c) AC đi qua trung điểm O của MN .
d) ANCM là hình bình hành.
Bài 47. Cho hình bình hành ADBC , hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d1 và d 2 cùng đi
qua O và vng góc với nhau. Đường thẳng d1 cắt các cạnh AB và CD ở M và P . Đường
thẳng d 2 cắt các cạnh BC và AD ở N và Q .
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
b) Nếu ABCD là hình vng thì tứ giác MNPQ là hình gì? Chứng minh.

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 48. Cho hình bình hành ABCD , hai đường chéo cắt nhau tại O . Hai đường cao AM , DN của
cắt nhau tại E , hai đường cao CP, BQ của BOC cắt nhau tại F . Chứng minh:
a) AMCP, MNPQ là hình bình hành.
b) O là trung điểm của EF .
Bài 49. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Hai đường phân giác AE, DF của

AOD cắt nhau tại I , hai đường phân giác BH , CG của

BOC cắt nhau tại

K . Chứng minh:

a) EFGH là hình bình hành.
b) O là trung điểm của IK .
Bài 50. Cho hình bình hành ABCD , trên đường chéo AC lấy 2 điểm M và N sao cho AM  CN
a) Tứ giác BNDM là hình gì?
b) Hình bình hành ABCD phải thêm điều kiện gì? Thì BNDM là hình thoi.
c) BM cắt AD tại K . Xác định vị trí của M để K là trung điểm của AD .
d) Hình bình hành ABCD thoả mãn cả 2 điều kiện ở b; c thì phải thêm điều kiện gì để BNDM
là hình vng.
Bài 51. Cho hình bình hành

ABCD

. Các đường phân giác của các góc lầm lượt cắt nhau tại

E , F , G , H . Chứng minh:

a) EFGH là hình chữ nhật.
b) Đường chéo của hình chữ nhật EFGH song song với cạnh của hình bình hành ABCD .
c) Độ dài đường chéo hình chữ nhật

EFGH

bằng hiệu hai cạnh kề của hình bình hành

ABCD .
Bài 52. Cho hình bình hành ABCD. E , F thuộc đường chéo AC sao cho AE  EF  FC . Gọi M là
giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB . Chứng minh rằng:

a) M , N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB.
b) EMFN là hình bình hành.
Bài 53. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E là điểm đối xứng của A qua trung điểm M của BC.
a) Chứng minh ABEC là hình bình hành và D, E, C thẳng hàng.
b) Tam giác ABC phải có điều kiện gì thì ABEC trở thành hình thoi.
Bài 54. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD Đường
chéo BD cắt AF ở G và cắt CE ở H . Chứng minh rằng:

a) DG  GH  HB
b) Các tứ giác AECF , EGFH , AGCH là các hình bình hành.
Bài 55. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E , F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD .
a) Chứng minh : AF / /CE.
b) Gọi M , N theo thứ tự là giao điểm của BD với AF , CE .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Chứng minh: DM  MN  NB .
c) Chứng minh: AC , BD và EF đồng qui.
Bài 56. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M , N thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC , DM cắt

AC ở I , DN cắt AC ở K . Chứng minh rằng:
a) AI  IK  KC
b) IK 

2
MN .
3

Bài 57. Cho hình bình hành ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo ; E là điểm đối xứng
của A qua B ; F là giao điểm của BC và ED; G là giao điểm của BC và OE ; H là giao

điểm của EC và OF . Chứng minh rằng A, G, H thẳng hàng.
Bài 58. Cho hình bình hành ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Trên
AB lấy điểm E , trên CD lấy điểm F sao cho AE  CF .

a) Chứng minh E đối xứng với F qua O .
b) Từ E dựng Ex / / AC cắt BC tại I , dựng Fy / / AC cắt AD tại K . Chứng minh rằng:
EI  FK ; I và K đối xứng với nhau qua O.

Bài 59. Cho hình bình hành ABCD . Gọi O là tâm hình bình hành. Trên hai cạnh AB và CD , lấy
hai điểm M và N sao cho AB  3 AM , CD  3CN . BN cắt AC tại E , DM cắt AC tại F .
Chứng minh:
a) AF  FO  OE  EC .
b) AC , BD và MN đồng qui.
Bài 60. Cho hình bình hành ABCD . Gọi O là trung điểm của AC . Chứng minh rằng O cũng là
trung điểm của BD.
Bài 61. Cho hình bình hành

ABCD . Ở phía ngồi hình bình hành, vẽ các hình vng ABEF và

ADGH .
a) Chứng minh: AC  FH và AC  FH .
b) Gọi O là tâm đối xứng của hình vng ADGH . Chứng minh OF  OC và BH  CE .
c) Chứng minh: ECG vng cân.
Bài 62. Cho hình bình hành

ABCD . Trên đưởng chéo

AC

chọn hai điểm

AE  EF  FC .
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? .
b) Chứng minh AEB  CFD .
c) Chứng minh EAD  CFB .

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

E và

F

sao cho


Bài 63. Cho hình bình hành

ABCD . Trên đường chéo

BD

lấy các điểm

G, H sao cho

DG  GH  HB .
a) Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình bình hành.
b) Tia AH cắt cạnh BC tại M . Chứng minh rằng AH  2 HM .
Bài 64. Cho hình bình hành

ABCD . Trên đường chéo

BD

lấy hai điểm

E

và

F

sao cho

BE  DF . Kẻ EH  AB, FK  CD ( H  AB, K  CD ). Gọi O là trung điểm của EF . Chứng

minh rằng ba điểm H , O, K thẳng hàng.
Bài 65. Cho hình chữ nhật ABCD  AB  BC  có O là giao điểm của hai đường chéo. Trên tia đối của
tia CD lấy điểm E sao cho CE  CD . Gọi F là hình chiếu của của D trên BE ; I là giao
điểm của AB và CF ; K là giao điểm của AF và BC . Chứng minh rằng ba điểm O, K , I thẳng
hàng.
Bài 66. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  30cm; AD  20cm . Lấy các điểm E , F , G , H theo thứ
tự thuộc các cạnh AB, BC , CD, DA sao cho AE  AH  CF  CG  x Tính

x để EFGH

là hình

thoi.
Bài 67. Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Từ A hạ đường

vng góc xuống BD tại E . Từ C hạ đường vng góc xuống BD tại F .
a) Chứng minh AEF  CFE .

  DCE
.
b) Chứng minh BAF
Bài 68. Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, điểm E thuộc cạnh CD.
Đường vng góc với AE tại A cắt BC ở F . Gọi M là trung điểm của EF . Chứng minh rằng

OM là trung trực của AC .
Bài 69. Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn thẳng
OA, kẻ đường thẳng song song với BD , cắt AD và AB theo thứ tự ở E và F Gọi K là điểm

đối xứng của A qua I .
a) Chứng minh AFKE là hình chữ nhật.
b) Gọi H , M lần lượt là trung điểm của BE, DF . Chứng minh: BE, DF .
Bài 70. Cho hình chữ nhật ABCD , nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD , trên tia đối
của EC lấy điểm F sao cho EF  EC . Vẽ FH và FK lần lượt vng góc với AB và AD
. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật
b) AF song song với BD và KH song song với AC
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


c) Ba điểm E , H , K thẳng hàng.

Bài 71. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là hình chiếu của D trên AC , M là trung điểm của

HC . Đường vng góc với DM tại M cắt AB ở I .Chứng minh rằng AI  IB .
Bài 72. Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH  AC ( H  AC ). Gọi M là trung điểm của AH , N

là

trung điểm của CD . Chứng minh rằng: BM  MN .
Bài 73. Cho hình chữ nhật ABCD; E là điểm tùy ý trên đường chéo BD . Trên tia đối của tia EA ,
lấy điểm F sao cho EF  EA . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của F trên các đường thẳng

BC và CD . Chứng minh rằng ba điểm E , M , N thẳng hàng.
Bài 74. Cho hình thang ABCD

 AB / /CD  .

a) Chứng minh rằng nếu hai tia phân giác của hai góc A và D cùng đi qua trung điểm F của
cạnh bên BC thì cạnh bên AD bằng tổng hai đáy.
b) Chứng minh rằng nếu AD  AB  CD thì hai tia phân giác của hai góc A và D cắt nhau tại
trung điểm của cạnh bên BC.
.
Bài 75. Cho hình thang ABCD  AB / /CD  có DB là tia phân giác của D

a) Chứng minh AD  AB .
  600 . Chứng minh DB  BC.
b) Cho D

c) Biết AB  4cm . Tính chu vi hình thang ABCD .

Bài 76. Cho hình thang

ABCD  AB / /CD  có M là trung điểm BC và 
AMD  900 . Chứng minh

ADC .
DM là tia phân giác của 
Bài 77. Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , đáy AB  2CD . Hai tia AD và BC cắt nhau tại I . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD và K là giao điểm của hai đường chéo AC , BD . Chứng

minh:
a) Tứ giác ADCM , BCDM , CIDM là hình bình hành.
b) Bốn điểm M , N , I , K thẳng hàng.
Bài 78. Cho hình thang ABCD  AB / / CD  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và BD . Gọi
E , F là trung điểm của AD và BC. Chứng minh: M , N , E , F thẳng hàng và tính MN , NE theo độ dài

2 đáy.
Bài 79. Cho hình thang ABCD  AD / / BC  , 
A  900 , cạnh bên CD  BC  AD . Trên CD lấy một
điểm E sao cho CE  BC .Vẽ một đường thẳng vng góc với CD tại E cắt AB tại M . Chứng minh:
a) M là trung điểm của AB .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


b) Các tam giác

AEB và CMD là những tam giác vng.

 cắt BC tại E .
Bài 80. Cho hình thang ABCD  BC / / AD  . Tia phân giác của A

a) Chứng minh: AB  BE .

 cắt AE tại F . Chung minh BF  AE và FA  FE .
b) Tia phân giác của B

c) Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng đường thẳng MF cắt cạnh CD tại trung điểm

N của CD .
Bài 81. Cho hình thang ABCD cân có AB / /CD và AB  CD . Kẻ các đường cao AE , BF .
a) Chứng minh DE  CF .
b) Gọi I là giao điểm của 2 đường chéo hình thang ABCD . Chứng minh IA  IB .
c) Tia DA và tia CB cắt nhau tại O .Chứng minh OI vừa là trung trực của AB vừa là trung trực
của DC .
d) Tính các góc vủa hình thang ABCD biết: 
ABC  
ADC  800
Bài 82. Cho hình thang ABCD có AB / /CD ( AB  CD ) và là trung điểm M của AD . Qua M vẽ đường
thẳng song song với 2 đáy của hình thang cắt cạnh bên BC tại N và cắt 2 đường chéo BD và AC lần
lượt tại E và F .
a) Chứng minh N , E , F lần lượt là trung điểm của BC , BD và AC
b) Gọi I là trung điểm của AB . Đường thẳng vng góc với IE tại E và đường thẳng vng góc
với IF tại F cắt nhau ở K . Chứng minh: KC  KD
Bài 83. Cho hình thang ABCD có AB  4cm , CD  8cm , BC  5cm và AD  3cm . Chứng minh ABCD
là hình thang vng.
Bài 84. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ). Gọi E , F theo thứ tự là trung điểm của AB , CD . Gọi O là
trung điểm của EF . Qua O kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AD và BC theo thứ tự ở M và

N.
a) Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?
b) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình thoi?
c) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vng?
Bài 85. Cho hình thang ABCD có AB / /CD và AB  CD . Gọi M là giao điểm của AD và BC . Gọi H ,
E , F , G lần lượt là trung điểm của AM , BM , AC , BD . Chứng minh HEFG là hình thang.

Bài 86. Cho hình thang ABCD , đường cao AH . Cho AH  8, HC  6 . Tính độ dài cạnh BC để ABCD

là hình thang cân
Bài 87. Cho hình thang ABCD . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC , CD, DA
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?


b) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình thang cân thì MP là tia phân giác của góc QMN
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 88. Cho hình thang ABCD . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O
a) Xác định O để ABCD là hình bình hành.
b) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì để trở thành hình thoi.
c) Cho hình thoi ABCD có góc 
ABC  900 . Hỏi tứ giác ABCD đã trở thành hình gì? Vì sao?

  600 . Kẻ AE  BC , AF  CD .
Bài 89. Cho hình thoi ABCD có B
a) Chứng minh rằng: AE  AF
b) AEF đều.
c) Biết BD  16cm . Tính chu vi của AEF .
Bài 90. Cho

hình

thoi

ABCD

có

  900 .
B

Kẻ

BE  AD

tại

E;

BF  DC

tại

F;

DG  AB tại G ; DH  BC tại H , BE cắt DG tại M , BF cắt DH tại N .
a) Chứng minh các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của hình thoi ABCD
b) Chứng minh tứ giác BMDN là hình thoi.
c) Nếu cho biết chu vi của hình thoi BMDN là 24 cm và đường cao MT bằng 3 cm. Khi đó hãy
tính các góc của hình thoi ABCD

  600 . Kẻ AM  DC , AN  BC ( M  DC , N  BC ).
Bài 91. Cho hình thoi ABCD , có cạnh là a, D
a) Tính AM , AN , MN , AC , BD theo a.
b) Chứng minh rằng tam giác AMN đều.
Hướng dẫn
Bài 92. Cho hình thoi ABCD , O là giao điểm hai đường chéo. Các tia phân giác của bốn góc đỉnh O cắt
các cạnh AB, BC , CD, DA theo thứ tự ở E , F , G , H . Chứng minh rằng EFGH là hình vng.

Hướng dẫn
Bài 93. Cho hình thoi ABCD . Trên các cạnh AB, BC , CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M , N , P, Q
sao cho AM  CN  CP  QA . Chứng minh rằng :
a) Ba điểm M , O, P thẳng hàng và ba điểm N , O, Q thẳng hàng.
b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Hướng dẫn
Bài 94. Cho hình vng

ABCD , lấy các điểm E , F , K lần lượt trên cạnh AB, AD, DC sao cho:

AE  AF  DK .
a) Chứng minh: AK  BF tại giao điểm H .

  900
b) Chứng minh: EHC
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


c) Cho AB  3 , AE  2 . Gọi I là trung điểm FK , O là trung điểm EC . Chứng minh chu vi

HIO bằng

1
2





5  10  13 .

Hướng dẫn
Bài 95. Cho

hình

vng

ABCD .

Lấy

điểm

E

tùy

ý

trên

cạnh

BC .

Kẻ

tia

Ax  AE ; tia Ax cắt đường thẳng CD tại G . Gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAGH và
O là giao điểm của 2 đường chéo
a) Chứng minh: AEG vuông cân.
b) Chứng minh: D, O, B thẳng hàng.
c) M , N lần lượt là trung điểm của GH , EH , AM , AN cắt GE lần lượt tại Q , R . Qua Q và
R kẻ các đường vng góc với GE , chúng cắt AG và AE lần lượt tại T và S . Chứng minh

tứ giác TSRQ là hình vng.
d) A cắt CD tại I . Chứng minh chu vi EIC bằng 2 AB
Hướng dẫn
Bài 96. Cho hình vng ABCD có AB  12cm , trên cạnh CD lấy điểm E sao cho DE  5cm . Tia phân

 cắt BC ở F . Tính độ dài BF ?
giác của góc BAE
Hướng dẫn
Bài 97. Cho hình vng ABCD , M  đương chéo AC . Gọi E , F theo thứ tự là hình chiếu của M trên
AD , CD . Chứng minh rằng:

a) BM  EF
b) Các đường thẳng BM , AF , CE đồng quy.
Hướng dẫn
Bài 98. Cho hình vng ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Qua O kẻ các đường
thẳng lần lượt vuông góc với CD , BC , CD , DA tại E , G , F , H . Chứng minh rằng:
a) Ba điểm E , O , F thẳng hàng và ba điểm G , O , H thẳng hàng.
b) EGFH là hình vng.
Hướng dẫn
Bài 99. Cho hình vng ABCD . Gọi E là điểm đối xứng của điểm A qua D .
a) Chứng minh rằng ACE vuông cân.
b) Từ A hạ AH  BE , gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AH và HE . Chứng minh tứ giác

BMNC là hình bình hành.
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


c) Chứng minh M là trực tâm của tam giác ANB .
d) Chứng minh 
ANC  900 .
Hướng dẫn
Bài 100.

Cho hình vng ABCD . Gọi E , F , G lần lượt là trung điểm của AB , BC , DE . Vẽ BT

 EF tại T .
a) Chứng minh: AGT cân.
b) Chứng minh: CE  GT .
c) Gọi M là giao điểm của CE và DF . Chứng minh AM  AB .
Hướng dẫn
E

A

B

T
F

G
M
H
D

a) Chỉ ra BE  BF  T là trung điểm EF  GT 

C

DF
2

Chỉ ra AED  CFD  2cgv   DE  DF
Mà AG 

DE
( trung tuyến tam giác vuông) nên AG  GT
2

  450  B, T , D thẳng hàng nên ETD vuông.
Cách khác: Chỉ ra BEF vuông cân nên EBT
Suy ra AG  GT 

DE
( đường trung tuyến)
2

  FDC

c) Chỉ ra EBC  FCD  2cgv   ECB

  ECD
  900  FDC
  ECD

  900  EC  DF mà DF / / GT  EC  GT
mà ECB
d) Gọi H là trung điểm DM , suy ra GH / / EM  GH  DM .

  DEC
 ( đồng vị) mà DEC
  1800  EDC
  ECD
  1800  2.EDC

Ta có: DGH


  A, H , H
Tam giác GAE cân tại G  
AGE  1800  2 
AEG mà 
AEG  EDC
AGE  DGH
thẳng hàng.
Trong tam giác ADM có trung trực AH  ADM cân tại A  AM  AD  AB
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 101.

Cho hình vng ABCD . Gọi M là một điểm trên cạnh BC , N là một điểm trên cạnh

CD sao cho 
AMB  

AMN . Qua A kẻ AH  MN . Chứng minh rằng:
a) AMH  AMB

  450
b) MAN
Bài 102.

Cho hình vng ABCD . Lấy điểm M tùy ý trên cạnh BC . Từ M , vẽ một đường thẳng

  450
cắt cạnh CD tại K sao cho: 
AMB  
AMK . Chứng minh: KAM
Bài 103.

Cho hình vng ABCD . Trên các cạnh AB , BC , CD , DA lấy theo thứ tự các điểm E ,

K , P, Q sao cho AE  BK  CP  DQ . Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?

Bài 104.

Cho hình vng DEBC . Trên cạnh CD lấy điểm A , trên tia đối của tia DC lấy điểm K ,

trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho CA  DK  EM . Vẽ hình vng DKIH ( H
thuộc cạnh DE ). Chứng minh rằnh ABMI là hình vng,
Bài 105.

Cho M là một điểm nằm trong tứ giác

ABCD . Tìm vị trí của M để tổng:

MA  MB  MC  MD nhỏ nhất
Bài 106.

  900 ), các đường cao BD và CE . Kẻ đường vuông
Cho tam giác ABC cân tại A ( A

góc DH từ D đến BC . Đường thẳng đi qua H và song song với CE cắt DE ở K . Gọi O là
giao điểm của BD và HK . Chứng minh rằng:
a) OB  OH
b) BKDH là hình chữ nhật
Bài 107.

  900 ), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Tia
Cho tam giác ABC cân tại A ( A

phân giác của góc 
ACE cắt BD và AB theo thứ tự ở Q và N . Chứng minh rằng:
a) 
ABD  
ACE
b) BH  CH
c) BOC vng cân.
d) MNPQ là hình vuông.
Bài 108.

Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AD . Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung

điểm M của AC .
a) Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?

b) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì ADCE là hình vng?
c) Tứ giác ABDM là hình gì? Vì sao?
d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì ABDM là hình thang cân?
Bài 109.

Cho tam giác ABC cân tại A . Kẻ đường cao BH . Từ một điểm M trên đáy BC kẻ

MI  AC ; MK  AB ; MP  BH ,
a) Chứng minh MPHI là hình chữ nhật.
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


b) Chứng minh : MK  MI  BH
Bài 110.

Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E sao

cho AD  CE . Gọi O là trung điểm của DE , gọi K là giao điểm của AO và BC . Chứng minh
rằng ADKE là hình bình hành.

Bài 111.

Cho tam giác ABC cân tại A . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D , trên tia đối của tia

AB lấy điểm E sao co AD  AE . Tứ giác DECB là hình gí? Vì sao?

Bài 112.

Cho tam giác ABC có 
A  600 . Ở phía ngồi tam giác ABC , vẽ các tam giác đều ABD

và ACE . Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A , vẽ tam giác đều BCK . Chứng minh rằng
ADKE là hình bình hành.

Bài 113.

Cho tam giác ABC có AB
Vẽ đường cao AH của tam giác ABC . Tứ giác HMNP là hình gì?
Bài 114.

Cho tam giác ABC có AB  6, AC  8, BC  10 .

a) Xác định D sao cho BDCA là hình vng.
b) Tính độ dài DA .
c) Tính diện tích ABCD .
Bài 115.

Cho tam giác ABC có đường cao AH . Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M

của AB .
a) Chứng minh rằng ADBH là hình chữ nhật.
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để ADBH là hình vng.
Bài 116.

Cho tam giác ABC đều, có đường cao AD , H là trực tâm. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh

BC . Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của điểm M trên AB , AC ; gọi I là trung điểm của
AM .

a) Tứ giác DEIF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh rằng các đường thẳng MH , ID, EF đồng quy
c) Xác định vị trí của điểm M trên BC để EF có độ dài nhỏ nhất ?
Bài 117.

Cho tam giác ABC phía ngồi tam giác, ta dựng các hình vng ABDE và ACFG

a) Chứng minh BG  CE Và BG  CE .
b) Gọi M , N theo thứ tự là các trung điểm của các đường thẳng BC , EG và Q , N theo
thứ tự là tâm của các hình vng ABDE , ACFG . Chứng minh tứ giác MNPQ là hình
vng.
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 118.

Cho tam giác ABC và một điểm P thuộc miền trong của tam giác. Gọi M , N , Q theo

thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , AC , BC . Gọi A’ , B’ , C’ lần lượt là các điểm đối xứng
của P qua các điểm Q , N , M
a) Xét xem A , A’ đối xứng với nhau qua điểm nào? Gọi điểm ấy là điểm I .
b) Chứng tỏ hai điểm C , C’ dối xứng với nhau qua I

Bài 119.

Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E , F lần

lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , AC và L , M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn

OA , OB , OC . Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng EL , FM và DN đồng qui.

Bài 120.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A .Điểm M thuộc cạnh BC .Gọi E và F theo thứ tự là

hình chiêu của M trên AB , AC . Chứng minh rằng khi M chuyển động trên BC thì:
a) Chu vi của tứ giác MEAF khơng đổi.
b) Đường thẳng đi qua M và vng góc với EF luôn đi qua điểm K cố định.
c) Tam giác KEF có diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC .
Bài 121.

Cho ABC vuông cân tại A, AC  4cm , điểm M thuộc cạnh BC . Gọi D , E theo thứ tự là

chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC .
a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? Tính chu vi của tứ giác đó.
b) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất?
Bài 122.

Cho ABC vuông cân tại A , các đường trung tuyến BM , CN cắt nhau tại G . Gọi D là

điểm đối xứng với G qua M , E là điểm đối xứng với G qua N . Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?
Bài 123.

Cho ABC vuông cân tại A , điểm M thuộc cạnh BC có MA  a . Tính tổng MB 2  BC 2

theo a .
Bài 124.

Cho ABC vuông cân tại A , đường cao AH . Kẻ phân giác của các góc 
AHC cắt
AHB và 

AB, AC ở D và E .

a) Tứ giác ADHE là hình gì ? vì sao ?
b) Chứng minh DE / / BC .
Bài 125.

Cho ABC vuông cân tại A . Trên cạnh BC lấy các điểm H , G sao cho BH  HG  GC .

Qua H và G kẻ các đường vng góc với BC , chúng cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F . Tứ
giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Bài 126.

Cho ABC vng ở A  AB  AC  , đường cao AH . Gọi D là điểm đối xứng của A qua H

. Đường thẳng qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M và N .
a) Tứ giác ABDM là hình gì ? vì sao?.
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


b) Chứng minh M là trực tâm của ACD .

  900
c) Gọi I là trung điểm của MC , chứng minh HNI

Bài 127.

Cho ABC vuông tại A  AB  AC  , M là trung điểm BC , từ M kẻ đường thẳng song

song với AC , AB lần lượt cắt AB tạt E , cắt AC tại F .
a) Chứng minh EFCB là hình thang.
b) Chứng minh AEMF là hình chữ nhật
c) Gọi O là trung điểm AM . Chứng minh: E và F đối xứng qua.
d) Gọi D là trung điểm MC . Chứng minh: OMDF là hình thoi.
Bài 128.

Cho ABC vng tại A có đường trung tuyến AI . Gọi D là điểm đối xứng của I qua

AC ; ID cắt AC tại N . kẻ IM  AB tại M .

a) Chứng minh MN  AI .
b) Chứng minh ADCI là hình thoi.
c) Với điều kiện nào của ABC thì ADCI là hình vng?
Bài 129.

Cho ABC vng tại A , có đường cao AH . Vẽ HE  AB; HF  AC , ( E  AB; F  AC ) .

Gọi I là trung điểm của BC .
a) Chứng minh rằng: EF  AH .
b)

AI  EF .

c) Gọi M là trung điểm của HB, N là trung điểm của HC . Chứng minh rằng EMNF là hình thang

vng
Bài 130.

Cho ABC vng tại A , đường phân giác AD . Gọi M , N theo thứ tự là chân các đường

vng góc kẻ từ D đến AB, AC . Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vng.

Bài 131.

Cho ABC vng tại A , đường trung tuyến AM . Gọi H là điểm đối xứng với M qua

AB , E là giao điểm của MH và AB . Gọi K là điểm đối xứng với M qua AC , F là giao điểm của
MK và AC .
a) Xác định dạng của các tứ giác AEMF , AMBH , AMCK .
b) Chứng minh rằng H đối xứng với K qua A .
c) Tam giác vng ABC có thêm điều kiện gì thì AEMF là hình vng?

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 132.

Cho tam giác ABC vuông tại A . Điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D , E theo thứ tự là chân

các đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC .
a) Tứ giác ADME là hình gì?
b) Gọi I trung điểm của DE . Chứng minh rằng ba điểm A, I, M thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất.
d) Đặt AD  a; DB  b; AE  c; EC  d ; BM  m; MC  n . Chứng minh: mn  ab  cd
Bài 133.

Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ đường cao AH , dựng hình chữ nhật AHBD

và

AHCE . Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC . Chứng minh:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) PQ là trung trực của đoạn thẳng AH
c) Ba điểm D, P, H thẳng hàng.
d) DH vng góc EH
Bài 134.

Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ đường cao AH . Gọi D, E la các hình chiếu của H

trên AB, AC và M , N theo thứ tự là các trung điểm của các đường thẳng BH , CH
a) Chứng minh tứ giác MDEN là hình thang vng.
b) Gọi P là giao điểm của đường thẳng DE với đường cao AH và Q là trung điểm của
đường thẳng MN . Chứng minh PQ vng góc DE .
c) Chứng minh hệ thức 2PQ  MD  NE
Bài 135.

Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G . Vẽ các điểm M , N

sao cho D là trung điểm của GM , E là trung điểm của GN . Chứng minh rằng BNMC là hình
bình hành.
Bài 136.

Cho tam giác ABC , các trung tuyến BE , CF cắt nhau ở G . Gọi M , N theo thứ tự là trung

điểm của BG và CG .
a) Tứ giác MNEF là hình gì? Vì sao?
b) Tam giác ABC cần có điều kiện gì thì tứ giác MNEF là hình chữ nhật? là hình thoi?
Bài 137.

Cho tam giác ABC , đường trung bình B ' C ' . Đường trung tuyến AM
a) AB ' MC ' là hình gì.
b) Cho BC  8. Tính độ dài B ' C '
c) Khi nào thì AM  B ' C '

Bài 138.

Cho tam giác ABC , trung tuyến AM . Gọi D là trung điểm của AB, M ' là điểm đối xứng

với M qua D
a) Chứng minh điểm M ' đối xứng với M qua AB
b) Các tứ giác AEMC , AEBM là hình gì? Vì sao?

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


c) Cho BC  4(cm), tính chu vi tứ giác AM ' BM . Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì
để tứ giác AEBM là hình vng?
Bài 139.

Cho tam giác ABC , trung tuyến AM . Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB

ở E , qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F
a) Tứ giác AEMF là hình gì? Vì sao?
b) Tam giác ABC cần có điều kiện gì thì tứ giác AEMF là hình chữ nhật?
c) Nếu tam giác ABC vng cân ở A thì tứ giác AEMF là hình gì? Vì sao?
Bài 140.

Cho tam giác ABC . Gọi D, E , F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC , CA . Gọi

M , N , P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF , EF , ED
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chữ nhật?
c) Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi?

Bài 141.

Cho tam giác ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tứ giác BMNC là

hình gì? Vì sao?
a) Lấy điểm E đối xứng với M qua N . Chứng minh tứ giác AECM là hình bình hành.
b) Tứ giác BMEC là hình gì? Vì sao?
c) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì tứ giác AECM là hình vng? Vẽ hình minh
họa.
Bài 142.

Cho tam giác ABC . Qua điểm D thuộc cạnh BC , kẻ các đường thẳng song song với AB

và AC , cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Điểm D ở vị trí nào trên BC thì AEDF là hình thoi?
Bài 143.

Cho tam giác AEB vng ở A . Từ điểm C trên cạnh BE kẻ đường vuông góc với BE , cắt

tia đối của tia AB ở F , cắt AE ở D . Tia phân giác của góc E cắt AB , CD lần lượt ở M và P
. Tia phân giác của góc F cắt BC và DA lần lượt tại N và Q. Chứng minh rằng:
a) EM  FN
b) MPNQ là hình thoi.
Bài 144.

Cho tam giác đều ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh BC . Gọi E , F là chân đường vng

góc kẻ từ M đến AB, AC . Gọi I là trung điểm AM , D là trung điểm của BC
a) Tính số đo góc DIE và DIF .
b) Chứng minh rằng DEIF là hình thoi.
Bài 145.

Cho tam giác nhọn ABC , có AM , BN , CP là các trung tuyến. Qua N

kẻ đường thẳng

song song với CP cắt BC ở F . Các đường thẳng kẻ qua F song song với BN và kẻ qua B song
song với CP cắt nhau ở D .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


a) Tứ giác CPNE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh rằng BDFN là hình bình hành.
c) Chứng minh PNCD là hình thang.
d) Chứng minh AM  DN
Bài 146.

 cắt BE
Cho tam giác nhọn ABC . Vẽ hai đường cao AH và BE. Tia phân giác của HAC

 cắt AH và AC thứ tự ở M , N ; AK và
và BC theo thứ tự tại I và K . Tia phân giác của EBC

BN cắt nhau tại O . Chứng minh:

a) AK  BN
b) MINK là hình thoi.
Bài 121.

Cho tam giác nhọn ABC . Vẽ phía ngồi của tam giác hai hình vng ABDE và ACFH .

Gọi I và K lần lượt là tâm của hai hình vng nói trên, M là trung điểm của canh BC .
a) Chứng minh rằng: EC  BH và EC  BH
b) Gọi N là trung điểm của EH . Chứng minh tam giác MIK vng cân.
c) Tứ giác MINK là hình gì? Vì sao?
Bài 147.

  2 x  9o , A  8 x  9o và góc ngồi tại đỉnh A là 
Cho tứ giác ABCD có D
A1  3x  9o
a) Tứ giác ABCD là hình gì? Chứng minh.

 và C
 lớn hơn C
 cắt nhau ở I . Cho biết B
 là 32 o . Tính các góc của
b) Phân giác của B

BIC .
Bài 148.

  90o , các tia DA và CB cắt nhau tại E , các tia AB và
Cho tứ giác ABCD có 
AC

DC cắt nhau tại F
 F

a) Chứng minh rằng E
b) Tia phân giác của góc E cắt AB, CD theo thứ tự ở I và K . Chứng minh rằng GKHI
là hình thoi.
Bài 149.

  90o , CD  2 AB  2 AD
Cho tứ giác ABCD có 
AC
a) Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, BC. Chứng minh DMN vuông cân.

  90o sao cho tia Kx cắt BC tại I . Chứng
b) Gọi K là điểm nằm giữa A, B. Dựng DKx
minh DKI vuông cân.
Bài 150.

 C
  90o
Cho tứ giác ABCD có B
a) Tứ giác ABCD là hình gì?

 , biết A  8 x  6o và D
  3 x  9o
b) Tính số đo 
A và D

Bài 151.

 . Chứng
Cho tứ giác ABCD có AD  BC . Đường chéo AC là tia phân giác của DAB

minh ABCD là hình thang.
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 152.

Cho tứ giác ABCD

có BC  AD

và BC

khơng song song với AD , gọi

M , N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC , CD, DA, AC , BD
a) Chứng minh tứ giác MEPF là hình thoi.
b) Chứng minh các đoạn thẳng MP, NQ, EF cùng cắt nhau tại một điểm.
c) Tìm thêm điều kiện của tứ giác ABCD để N , E, F, Q thẳng hàng
Bài 153.

Cho tứ giác ABCD có góc ABC  120o . Tính góc BCD để ABCD là hình thang.

Bài 154.

  BCD
  120o . Tính số đo của hai góc cịn lại để ABCD là
Cho tứ giác ABCD có DAB

hình bình hành.
Bài 155.

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo và

cho biết 
AIB  120o . Gọi M , N, K, Q lần lượt là truung điểm của AB, BC , CD, DA .
a) Tứ giác MNKQ là hình gì? Chứng minh.
b) Trên cạnh KQ lấy điểm T , trên cạnh KN lấy điểm S . Chứng minh MTS đều.
c) MK cắt QN tại O . Gọi E , F , G , H lần lượt là hình chiếu của O đến các cạnh

MN , NK , KQ, QM . Tứ giác EFGH là hình gì? Chứng minh.
Bài 156.

Cho tứ giác ABCD có M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD, DA .
a) Tứ giác MNPQ là hình gì?

1
2

b) Gọi M là trung điểm của DB, AD=6, AB=8. Cho AM= DB . Tính QM .
Bài 157.

Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F , G , H

lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD, DA. Các

đường chéo AC , BD của tứ giác ABCD phải có điều kiện gì thì EFGH là:
a) Hình chữ nhật?

b) Hình thoi?
c) Hình vng?
Bài 158.

Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F , G , H lần lượt là trung điểm của BD, AB, AC và CD .
a) Chứng minh: EFGH là hình bình hành.
b) Cho AD  a, BC  b . Tính chu vi hình bình hành EFGH .
c) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh tứ giác MFNH là hình
bình hành.

Bài 159.

Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F , M , N , P, Q

lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, CD, CE, BF và DE . Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Bài 160.

Cho tứ giác

AB, BC , CD , AD, BD và

Bài 161.

ABCD . Gọi

M , N , P, Q , R , S

lần lượt là trung điểm của

AC chứng minh rằng MP, QN , RS đồng qui.

  6 x  4o , H
  3x  22o , G
  5x  14o và F
  5 x  14o
Cho tứ giác EFGH có E

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


a) Tứ giác ABCD là hình gì? Chứng minh?
b) Từ F kẻ đường thẳng song song với EH , cắt GH tại I . Chứng minh

EF  HI , EH  FG và EG  HF
Bài 162.

Chứng minh rằng các tian phân giác các góc cả hình bình hành cắt nhau tạo thành một hình

chữ nhật và đường chéo của hình chữ nhật này song song với cạnh của hình bình hành.
Bài 163.

Chứng minh r ằng nếu đoạn thẳng nối trung điểm của cặp cạnh đối diện của một tứ giác bằng

nửa tổng hai cạnh kia thì tứ giác đó là hình thang.
Bài 164.

Chứng minh rằng nếu hình thang có hai đáy khơng bằng nhau thì:
a) Tổng các cạnh bên lớn hơn hiệu hai đáy.

b) Hiệu các cạnh đáy lớn hơn hao cạnh bên.

Bài 165.

Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thang cân là các đỉnh của một hình thoi.

Bài 166.

Chứng minh: Trong hình thang, đoạn thẳng nới trung điểm của hai đường chéo thì song song

với hai đáy và có độ dài bằng nửa hiệu độ dài của hai đáy.
Bài 167.

Hình chữ nhật ABCD có AB  2 AD . Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD .

Gọi H là giao điểm của AQ và DP, K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK
là hình vng.
Bài 168.

Ở hình bên, cho biết E , F , G , H lần lượt là trung điểm 4 cạnh của hình chữ nhật

ABCD. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh cảu tứ giác EFGH . (có hình)
a) EFGH là hình gì? Chứng minh.
b) MNPQ là hình gì? Chứng minh.
c) Chứng minh A, M, P, C thẳng hàng.

  60o . Chứng minh EPQ đều.
d) Nếu cho biết EGH
e) Bỏ giả thiết ở câu d . Cho biết AB  8cm, AD  6cm. Khi đó hãy tính chu vi tứ giác

MNPQ.
Bài 169.

Ở phía ngồi hình vng ABCD , vẽ ADE cân ở E có góc đáy bằng 15o
a) Chứng minh: BEC đều.
b) Ở phía ngồi của hình vuông ABCD, vẽ DCF đều. Chứng minh A, E, F thẳng hàng.

Bài 170.

Qua đỉnh A của hình vng ABCD ta kẻ hai đường thẳng Ax, Ay vng góc với nhau.

Ax cắt cạnh BC tại điểm P và cắt tia đối của tia CD tại điểm Q. Ay cắt tia đối của tia BC tại
điểm R và cắt tia đối của tia DC tại điểm S .
a) Chứng minh các tam giác APS , AQR là các tam giác cân.
b) Gọi H là giao điểm của QR và PS ; M, N theo thứ tự là trung điểm của QR, PS .
Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 171.

Tam giác ABC có AM , BN là các trung tuyến, G là trọng tâm. Gọi E và F lần lượt là

trung điểm của GB và GA . Gọi I là điểm đối xứng với G qua M .
a) Chứng minh BICG và MNFE là hình bình hành.
b) Để MNFE là hình chữ nhật thì cần có thê điều kiện gì cho tam giác ABC ?
c) Khi BICG là hình thoi, hãy chứng minh tam giác ABC cân tại A.
Bài 172.

Trình độ dài đường trung bình của hình thang cân. Biết rằng hai đường chéo của nó vng

góc và đường cao hình thang cân bằng 10cm.
Bài 173.

Trên đoạn thẳng AE lấy điểm C (CA  CE ) . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AE , vẽ các

tam giác đều ABC , CDE . Gọi M , N , I , K theo thứ tự là trung điểm của BC , BE , DC và DA..
a) Chứng minh KCN đều.
b) Chứng minh MK / / AB và BD  2KN .
Bài 174.

  ECB
  15o . Trên nửa mặt phẳng bờ
Trong hình vng ABCD lấy điểm E sao cho EBC

CD không chứa điểm E vẽ tam giác đều CDF . Chứng minh rằng B, E , F thẳng hàng.
Bài 175.

  70o . Chứng minh rằng:
Tứ giác ABCD có AB  BC  AD, 
A  110o , C
a) DB là tia phân giác của góc D.
b) ABCD là hình thang cân.

Bài 176.

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với nhau. Gọi E , F , G, H theo thứ tự là

trung điểm các cạnh AB, BC , CD, DA . Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122