Tuyển chọn các bài toán MIN MAX ôn thi THPT quốc gia

TUY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH


MIN - MAX

C
ẨM NANG CHO M
ÙA THI

NGUY
ỄN HỮU BIỂN


Email:
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)



TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề

MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
1

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
1
x y z
+ + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của:
x y y z z x
P
xy z yz x zx y
+ + +

= + +
+ + +

Hướng dẫn
Ta có
1 1
+ + = ⇒ + = −
x y z x y z
, ta có:
1 1
1 (1 )(1 )
+ − −
= =
+ + − − − −
x y z z
xy z xy x y x y

1 1
1 (1 )(1 )
+ − −
= =
+ + − − − −
y z x x
yz x yz y z y z

1 1
1 (1 )(1 )
+ − −
= =
+ + − − − −

z x y y
zx y zx x z x z

Khi đó
+ + +
= + +
+ + +
x y y z z x
P
xy z yz x zx y
=
1
(1 )(1 )
−
− −
z
x y
+
1
(1 )(1 )
−
− −
x
y z
+
1
(1 )(1 )
−
− −
y

x z


3
1 1 1
3 . . 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
− − −
≥ =
− − − − − −
z x y
x y y z x z
.
Vậy
3
=
MinP
đạt được khi
1
3
= = =
x y z

Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3.
Chứng minh rằng với
1
a
∀ ≥
ta luôn có :
1 1 1

.
x y z x y z
x y z
a a a a a a
+ + ≥ + +

Hướng dẫn
* Với a = 1 ta thấy BĐT đúng .
* Ta xét khi a > 1.
Hàm số y =
1 1
t
t
y
a a
 
= =
 
 
nghịch biến với
t R
∀ ∈
, khi a > 1.
Khi đó ta có
Ta có :
1 1
( )( ) 0,
x y
x y
a a

− − ≤

, .
x y R
∀ ∈
Suy ra
x y y x
x y x y
a a a a
+ ≤ +
(1)
Chứng minh tương tự
y z y z
y z z y
a a a a
+ ≤ +
(2)
z x z x
z x x z
a a a a
+ ≤ +
(3)
Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được
2( )
x y z x y z
x y z y z z x x y
a a a a a a
+ + +
+ + ≤ + +
(4)

Cộng 2 vế của (4) với biểu thức
x y z
x y z
a a a
+ +
ta được

1 1 1
3( ) ( )( )
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
x y z
a a a a a a a a a
+ + + + + +
+ + ≤ + + = + + + +



TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG

CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
2

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Suy ra
1 1 1
.
x y z x y z
x y z
a a a a a a
+ + ≥ + +
( do x + y + z = 3 )
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1. (đpcm)
Bài 3: Cho
, ,
a b c
là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
3.

ab bc ca
+ + =

Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 1
.
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
a b c b c a c a b abc
+ + ≤
+ + + + + +

Hướng dẫn
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
2
3
3 3 ( ) 1
ab bc ca abc abc
= + + ≥ ⇒ ≤
.
Suy ra:
2 2
2
1 1
1 ( ) ( ) ( ) 3 (1).
1 ( ) 3
a b c abc a b c a ab bc ca a
a b c a
+ + ≥ + + = + + =
⇒

≤
+ +

Tương tự ta có:
2 2
1 1 1 1
(2), (3).
1 ( ) 3 1 ( ) 3b c a b c a b c
≤ ≤
+ + + +

Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3
ab bc ca
a b c b c a c a b c b c abc abc
+ +
+ + ≤ + + = =
+ + + + + +
□
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1, 3 1, ( , , 0).
abc ab bc ca a b c a b c
= + + = ⇒ = = = >

Bài 4: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
0,0,221221 >>+−<<−− zyx

và
1
−
=
+
+
z
y
x
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
222
)(8
1
)(
1
)(
1
zyzxyx
P
+−
+
+
+
+
=
.
Hướng dẫn
Ta có
222222

)1(8
1
)1(
1
)1(
1
)1(8
1
)1(
1
)1(
1
xzyxyz
P
+−
+
+
+
+
=
−−−
+
−−
+
−−
=
Ta sẽ chứng minh
yzzy
+
≥

+
+
+
1
1
)1(
1
)1(
1
22

Thật vậy:
222
22
)]1)(1[(])1()1)[(1(
1
1
)1(
1
)1(
1
yzyzyz
yzzy
++≥++++⇔
+
≥
+
+
+
.

222
)1()222)(1( yzzyyzyzyz +++≥+++++⇔

22
2
)()1)((2)1(
)1(2))(1()1(2)1)((2
yzzyyzzy
yzzyzyzyyzzyyz
++++++≥
++−++++++⇔
04)()1(242))(1(
22222
≥−−−+−+++−+⇔ yzzyyzzyyzzyzy

0)1()(
22
≥−+−⇔ yzzyyz
(hiển nhiên đúng).
Dấu “=” xảy ra khi
1
=
=
zy
.
Ta lại có
yz
zy
≥
+

2

4
)1(
4
)1(
2
22
2
xxzy
yz
+
=
−−
=






+
≤⇒



TUY
ỂN
T
ẬP 50

BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
3

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Do đó
2
2
22
)1(4
4

4
)1(
1
1
1
1
)1(
1
)1(
1
x
x
yzzy ++
=
+
+
≥
+
≥
+
+
+


22
)1(8
1
)1(4
4
+−

+
++
≥⇒
xx
P

Do
221221 +−<<−− x
nên
)8;0[)1(
2
∈+x
.
Đặt
)8;0[)1(
2
∈⇒+= txt
và
P
t
t
−
+
+
≥
8
1
4
4

Xét
t
t
tf
−
+
+
=
8
1
4
4
)(
với
)8;0[
∈
t .
22
2
22
)8()4(
240723
)8(
1
)4(
4
)('
tt
tt
tt

tf
−+
−+−
=
−
+
+
−=

20;402407230)('
2
==⇔=−+−⇔=
tttttf (loại)
Bảng biến thiên
t
0 4
8
f’(t) - 0 +
f(t)
8
9

∞
+



4
3

Do đó
4
3
)( ≥≥
tfP và
4
3
=
P khi



==
−=
⇔





−=++
==
=+
1
3
1
1
4)1(
2
zy

x
zyx
zy
x

Vậy
4
3
min =P khi 1,3
=
=
−
=
zyx
Bài 5: Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
(
)
(
)
3 3 2 2
( 1)( 1)
x y x y
P
x y
+ − +
=
− −

Hướng dẫn
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)

2
ta có
2
4
t
xy
≤

3 2
(3 2)
1
t t xy t
P
xy t
− − −
=
− +
. Do 3t - 2 > 0 và
2
4
t
xy
− ≥ −
nên ta có
2
3 2
2
2
(3 2)
4

2
1
4
t t
t t
t
P
t
t
t
−
− −
≥ =
−
− +

Xét hàm số
2 2
2
4
( ) ; '( ) ;
2 ( 2)
t t t
f t f t
t t
−
= =
− −
f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.

TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
4

NGUYỄN HỮU BIỂN -


t

2 4 +∞

f’(t) - 0 +
f(t)
+ ∞ +∞



8
Do đó min P =
(2; )
min ( )
f t
+∞
= f(4) = 8 đạt được khi
4 2
4 2
x y x
xy y
+ = =
 
⇔
 
= =
 

Bài 6 : Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
3
a b b c c a

ab c bc a ca b
+ + +
+ + ≥
+ + +

Hướng dẫn
* Biến đổi
1 1
1 (1 )(1 )
a b c c
ab c ab b a a b
+ − −
= =
+ + − − − −

* Từ đó
1 1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
VT
a b c a c b
− − −
= + +
− − − − − −

Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương
* Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được

3
1 1 1

3. . .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
VT
a b c a c b
− − −
≥
− − − − − −
=3 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
3
a b c
= = =

Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
1
yz zx xy
x y z
+ + =
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 1 1
1 1 1
A
x y z
= + +
− − −
.
Hướng dẫn

Đặt
, ,
yz zx xy
a b c
x y z
= = =
. Ta có a, b, c > 0 và
2 2 2
1
a b c
+ + =
. Ta có:
1 1 1
3
1 1 1 1 1 1
bc ca ab
A
bc ca ab bc ca ab
= + + = + + +
− − − − − −
. Dễ có:
( )
( )
2
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
4
1 2 2

1
2
b c
b c
bc b c
bc
b c b a c a b a c a
+
 
+
≤ = ≤ +
 
−
+ + + + + +
 
−



TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX

TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
5

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Tương tự có:
2 2
2 2 2 2
1
1 2
ca c a
ca
c b a b
 
≤ +
 
−
+ +

 
và
2 2
2 2 2 2
1
1 2
ab a b
ab
a c b c
 
≤ +
 
−
+ +
 

từ đó: A
3 9
3
2 2
≤ + =
. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1/3
Bài 8: Cho
, ,
a b c
là các số thực dương và
3
a b c
+ + =
.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )( )( )
3
2
3 1 1 1
abc
P
ab bc ca a b c
= +
+ + + + + +

Hướng dẫn
Áp dụng Bất đẳng thức:
2
( ) 3( )
x y z xy yz zx
+ + ≥ + + ,
, ,x y z
∀ ∈ℜ
ta có:
2
( ) 3 ( ) 9 0
ab bc ca abc a b c abc
+ + ≥ + + = >
3
ab bc ca abc
⇒ + + ≥
Ta có:
3
3

(1 )(1 )(1 ) (1 ) , , , 0
a b c abc a b c
+ + + ≥ + ∀ >
. Thật vậy:
( )( )( )
2 3
3 3
3
1 1 1 1 ( ) ( ) 1 3 3 ( ) (1 )
a b c a b c ab bc ca abc abc abc abc abc
+ + + = + + + + + + + ≥ + + + = +

Khi đó:
3
3
2
3(1 ) 1
abc
P Q
abc abc
≤ + =
+ +
(1).
Đặt
6
abc t
=
; vì a, b, c > 0 nên
3
0 1

3
a b c
abc
+ +
 
< ≤ =
 
 

Xét hàm số
(
]
2
3 2
2
, 0;1
3(1 ) 1
t
Q t
t t
= + ∈
+ +

(
)
(
)
( ) ( )
(
]

5
2 2
3 2
2 1 1
( ) 0, 0;1
1 1
t t t
Q t t
t t
− −
′
⇒ = ≥ ∀ ∈
+ +
.
Do đó hàm số đồng biến trên
(
]
0;1
( ) ( )
1
1
6
Q Q t Q
⇒ = ≤ =
(2). Từ (1) và (2):
1
6
P
≤
.

Vậy maxP =
1
6
, đạt được khi và và chi khi :
1
a b c
= = =
.
Bài 9: Cho
, ,
a b c
là các số dương và
3
a b c
+ + =
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 3 3
bc ca ab
a bc b ca c ab
P
+ +
+ + +
=
Hướng dẫn
Vì a + b + c = 3 ta có
3 ( ) ( )( )
bc bc bc
a bc a a b c bc a b a c
= =

+ + + + + +
1 1
2
bc
a b a c
 
≤ +
 
+ +
 

Vì theo BĐT Cô-Si:
1 1 2
( )( )
a b a c
a b a c
+ ≥
+ +
+ +
, dấu đẳng thức xảy ra
⇔
b = c
Tương tự
1 1
2
3
ca ca
b a b c
b ca
 

≤ +
 
+ +
+
 
và
1 1
2
3
ab ab
c a c b
c ab
 
≤ +
 
+ +
+
 

Suy ra P
3
2( ) 2( ) 2( ) 2 2
bc ca ab bc ab ca a b c
a b c a b c
+ + + + +
≤ + + = =
+ + +
,
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =
3

2
khi a = b = c = 1.


TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
6

NGUYỄN HỮU BIỂN -

Bài 10: Cho a, b, c là các số dương và
3
a b c
+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3 3
bc ca ab
P
a bc b ca c ab
= + +
+ + +
.
Hướng dẫn
Vì a + b + c = 3 ta có
3 ( ) ( )( )
bc bc bc
a bc a a b c bc a b a c
= =
+ + + + + +
1 1
2
bc
a b a c
 
≤ +
 
+ +
 

Vì theo BĐT Cô-Si:
1 1 2
( )( )
a b a c
a b a c
+ ≥
+ +
+ +
, dấu đẳng thức xảy ra
⇔
b = c
Tương tự
1 1
2
3
ca ca
b a b c
b ca
 
≤ +
 
+ +
+
 
và
1 1
2
3
ab ab

c a c b
c ab
 
≤ +
 
+ +
+
 

Suy ra P
3
2( ) 2( ) 2( ) 2 2
bc ca ab bc ab ca a b c
a b c a b c
+ + + + +
≤ + + = =
+ + +
,
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =
3
2
khi a = b = c = 1.
Bài 11: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a
2009
+ b
2009
+ c
2009
= 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a

4
+ b
4
+ c
4
.
Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a
2009
ta có:

2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4
2005
1 1 1 2009. . . . 2009. (1)
+ + + + + + + ≥ =

a a a a a a a a a

Tương tự:
2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4
2005
1 1 1 2009. . . . 2009. (2)
+ + + + + + + ≥ =

b b b b b b b b b


2009

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4
2005
1 1 1 2009. . . . 2009. (3)
+ + + + + + + ≥ =

c c c c c c c c c


Từ (1), (2), (3) ta được:
2009 2009 2009 4 4 4
6015 4( ) 2009( )
+ + + ≥ + +
a b c a b c

⇔
4 4 4
6027 2009( )
≥ + +
a b c
. Từ đó suy ra
4 4 4
3
= + + ≤
P a b c

Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3.
Bài 12: Cho x, y, z
0
≥
thoả mãn x + y + z > 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
3 3 3
3
16
x y z
P
x y z
+ +
=
+ +

Hướng dẫn
Trước hết ta có:
( )
3
3 3
4
x y
x y
+
+ ≥
(biến đổi tương đương)
( ) ( )
2
0
x y x y
⇔ ⇔ − + ≥

Đặt x + y + z = a. Khi đó

( ) ( )
( )
3 3
3 3
3
3
3 3
64 64
4 1 64
x y z a z z
P t t
a a
+ + − +
≥ = = − +

(với t =
z
a
,
0 1
t
≤ ≤
)


TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI

ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
7

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Xét hàm số f(t) = (1 – t)
3
+ 64t
3
với t
[
]

0;1
∈
. Có
( )
[ ]
2
2
1
'( ) 3 64 1 , '( ) 0 0;1
9
f t t t f t t
 
= − − = ⇔ = ∈
 

Lập bảng biến thiên
( )
[ ]
0;1
64
inf
81
t
M t
∈
⇒ = ⇒
GTNN của P là
16
81
đạt được khi x = y = 4z > 0

Bài 13: Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = 4 và xyz = 2.
Tìm GTNN của biểu thức: P = x
4
+ y
4
+ z
4

Hướng dẫn
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
2( )
= 2 2 2
= 16 2 2 16
P x y z x y y z z x
x y z xy yz zx xy yz zx xyz x y z
xy yz zx xy yz zx
= + + − + +
   
+ + − + + − + + − + +
   
− + + − + + −   
   

i

i
Đặt t = xy + yz + zx = x(y + z) + yz
+ Từ gt
2
4 ,y z x yz
x
⇒ + = − =

( )
2
2 2
4 4t x x x x
x x
⇒ = − + = − + +

+ Ta có:
( )
2
2 3 2
8
( ) 4 4 8 16 8 0
y z yz x x x x
x
+ ≥ ⇒ − ≥ ⇔ − + − ≥


(
)

(
)
2
2 6 4 0
x x x
⇔ − − + ≥
(*)
Giải BĐT (*) giao với điều kiện 0 < x < 4 ta đươc:
3 5 2
x
− ≤ ≤

+ Khảo sát hàm số t theo biến x với
3 5 2
x
− ≤ ≤
ta tìm được:
5 5 1
5
2
t
−
≤ ≤

i

( )
2
2 2
16 2 2( 16) 2 64 288

P t t t t= − − − = − +

Khảo sát hàm số : f(t) = 2t
2
– 64t + 288 với
5 5 1
5
2
t
−
≤ ≤
ta được:

5 5 1
Minf( ) 383 165 5 khi , ( ) 18 khi 5
2
t t Maxf t t
−
= − = = =

Suy ra:
min
383 165 5
P = −
đạt được chẳng hạn
1 5
3 5,
2
x y z
+

= − = =


max
18
P
=
đạt được chẳng hạn khi x = 2, y = z = 1
Bài 14: Cho các số thực
;
x y
thay đổi.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
2 1 2 1 2
P x y x x y x y
= + + + + + − + + −
.
Hướng dẫn
2 2 2 2
2 1 2 1 2
P x y x x y x y
= + + + + + − + + −

Xét các điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y). Ta có OM + ON ≥ MN
⇔
2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 4 4
x y x y y
− + + + + ≥ +

⇒
2
2 1 2 ( )
P y y f y
≥ + + − =



TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
8

NGUYỄN HỮU BIỂN -


TH1: y ≤ 2:
2
( ) 2 1 2
f y y y
= + + −
⇒
2
2
'( ) 1
1
y
f y
y
= −
+

2
2
0
3
'( ) 0 2 1
3
3 1

y
f y y y y
y
≥

= ⇔ = + ⇔ ⇔ =

=


L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên f(y)
⇒

( .2]
3
min ( ) 2 3
3
x
f y f
∈ −∞
 
= = +
 
 

TH2: y ≥ 2
:
2
( ) 2 1 2
f y y y
= + + −

≥

2 5 2 3
> +

V
ậ
y
2 3 ;
P x y
≥ + ∀ .
Do
đ
ó
2 3
MinP = +
khi x = 0 ; y =
3
3

Bài 15:

Cho các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng a,b,c th
ỏ
a a + b + c =3. Tính góc giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u
th
ứ
c
2 2 2
a bc b ca c ab
P
b ca c ab a bc
+ + +
= + +
+ + +

Hướng dẫn
Xét
2 2 2
1 a bc b ca c ab
P
3 3b 3ca 3c 3ab 3a 3bc
+ + +
= + +
+ + +

Ta có
3b 3ca b(a b c) 3ca b(a b c) ca 2ca
+ = + + + = + + + +
mà
2 2
a c 2ac
+ ≥
nên
2 2 2
3b 3ca ab b bc ca a c
+ ≤ + + + + +

Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
ta có:
2 2 2

3c 3ab ac c bc ab a b
+ ≤ + + + + +

2 2 2
3a 3bc a ab ac bc c b
+ ≤ + + + + +

Khi
đ
ó
2 2 2
2 2 2
1 a bc b ca c ab
P 1 P 3
3
ab b bc ca a c
+ + + + +
≥ = ⇔ ≥
+ + + + +

D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi a = b = c = 1.
V
ậ
y
MinP 3
=

khi a = b = c = 1.
Bài 16:
Cho 3 s
ố
d
ươ
ng x, y, z th
ỏ
a mãn xy + yz + zx = 3xyz.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
3
4
xy yz zx
x y x z y z y z y x z x z x z y x y
+ + ≤
+ + + + + + + + +

Hướng dẫn
Ta có : xy + yz + zx = 3xyz
1 1 1
3
⇔ + + =
x y z

V

ớ
i x >0; y > 0; z > 0 ta có x
3
+ y
3

≥
xy(x + y) ;
1 1 1 1
( )
4
≤ +
+
x y x y
;x
2
+ y
2

≥
2xy
3 3 2 2 2 2 2 2
1 1
4
xy xy xy
xy(x y)
x y x z y z xy(x y) (x y )z (x y )z
 
≤ ≤ +
 

+
+ + + + + + +
 

3 3 2 2 2 2
1 1 1 1 1
4 4 2
xy xy
(x y) (x y) z
x y x z y z (x y )z
 
 
⇒
≤ + ≤ +
 
 
+ +
+ + + +
 
 



TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V

Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
9

NGUYỄN HỮU BIỂN -


1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 2 16 8
x y z x y z
 
   
≤ + + = + +
 
   
   

 
(1)
Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
:
3 3 2 2
1 1 1 1
16 8
yz
y z x
y z y x z x
 
≤ + +
 
+ + +
 
(2)
3 3 2 2
1 1 1 1
16 8
zx
z x y
z x z y x y
 
≤ + +
 

+ + +
 
(3)
Công (1) ; (2); (3) theo v
ế
ta
đượ
c
đ
pcm
Đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi x = y = z = 1
Bài 17:
Cho các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng
, ,
x y z
th
ỏ
a mãn
2 2 2

5( ) 9( 2 )
x y z xy yz zx
+ + = + +
.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2 3
1
( )
x
P
y z x y z
= −
+ + +
.
Hướng dẫn
Theo gi
ả
thi

ế
t ta có
+ + = + + ⇔ + + = + + + + +
2 2 2 2
5( ) 9( 2 ) 5( ) 9( 2 ) 10( )
x y z xy yz zx x y z xy yz zx xy yz zx
⇔ + + = + + ≤ + + +
2 2
5( ) 19 ( ) 28 19 ( ) 7( )
x y z x y z yz x y z y z

 
⇔ + ≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ +
 
+ + +
 
19
5 1 7 2 2( )
x x x
x y z
y z y z y z

M
ặ
t khác ta có
+ ≤ + ⇔ + ≥ +
2 2 2 2 2 2
1
( ) 2( ) ( )
2

y z y z y z y z

Vì v
ậ
y
( )
+
≤ − = −
+
+
+ + +
+
3 3
2
2( ) 1 4 1
1
27( )
2( )
( )
2
y z
P
y z
y z
y z y z
y z

Đặ
t
− +

= + >
⇒
≤ − = − + ≤
2
3 3
4 1 (6 1) (2 1)
0 16 16
27 27
t t
t y z P
t
t t

V
ậ
y
=
min 16
P
; d
ấ
u b
ằ
ng
đạ
t t
ạ
i




= +
=



= ⇔
 
 
= =


+ =

1
2( )
3
1
1
12
6
x y z
x
y z
y z
y z

Bài 18:
Cho các s
ố

th
ự
c d
ươ
ng
,
x y
th
ỏ
a mãn
1
3 ln 9 3 3 .
3
x y
xy x y
xy
+ +
+ = − −

Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th

ứ
c:
2 2
3 3 1 1 1
( 1) ( 1)
x y
M
y x x y x y x y
= + + − − ⋅
+ + +

Hướng dẫn
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta suy ra
ln( 1) 3( 1) ln(3 ) 3.3
x y x y xy xy
+ + + + + = +
.


TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI

ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
10

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Xét hàm s
ố

( ) ln 3
g t t t
= +
trên

(0; )
+∞
, ta có
1
'( ) 3 0
g t
t
= + >
v
ớ
i
0
t
∀ >
, suy ra
( )
g t

đồ
ng bi
ế
n trên
(0; )
+∞
, t
ừ

đ
ó
( 1) (3 ) 1 3

g x y g xy x y xy
+ + = ⇔ + + =
(*)
Theo (*) ta có
3 1 2
xy x y xy
− = + ≥
.
Đặ
t
3 2 1 0 1.
t xy t t t
= ⇒ − − ≥ ⇒ ≥

2 2 2
2
3 3 3 ( 1) 3 ( 1) 36 27 3
.
( 1) ( 1) ( 1) 4
x y x y y x t t
y x x y xy xy x y t
+ + + − +
+ = =
+ + + + +
(2)
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 (3 1) 2 36 32 4
4
x y t t t t

x y x y t t
+ − − − + −
− − = − = − =
(3)
Theo Cô si
1 1 1
2
2
x y
xy
≤ ≤
+
(4). T
ừ
(2), (3), (4) ta có
2
5 1 1
4 2
t
M
t
−
≤ +
.
Xét hàm s
ố

2
5 1
( )

4
t
f t
t
−
=
trên
[1;+ )
∞
, ta có

2
4 3
5.4 (5 1)8 2 5
'( ) 0 1
16 4
t t t t
f t t
t t
− − −
= = < ∀ ≥
, suy ra
( )
f t
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
[1;+ )

∞
, b
ở
i v
ậ
y
max
[1; )
3
max ( ) (1) 1 1.
2
M f t f t x y
+∞
= = = ⇔ = ⇔ = =

Bài 19:
Cho x, y, z là các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng và th
ỏ
a mãn:
(
)
1
z z x y x y
− − = + +

.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :
4 4 6
3 9
3
( ).( ).( ) 4
x y
x yz y zx z xy
≤
+ + +
.
Hướng dẫn
Vì
(
)
1
z z x y x y
− − = + +

⇒
(z + 1)( x + y) = z
2
- 1 và do z > 0 nên ta có:
zyx
=
+

+
1
.
Khi
đ
ó T =
[ ]
3
44
)1)(1().1).().(1).(( ++++++ yxxyxyyx
yx
=
[ ]
4
2
44
)1)(1(.)(
+++
yxyx
yx



Áp d
ụ
ng B
Đ
T Côsi cho các s
ố
d

ươ
ng x, y ta có :
( )
27
.4
27
41
333
1
3
4
4
4
3
4
4
xxxxx
x =








≥







+++=+
;
( )
27
.4
27
41
333
1
3
4
4
4
3
4
4
yyyyy
y =








≥







+++=+
;
(
)
xyyx 4
2
≥+
.


Do
đ
ó
[
]
4
2
)1)(1(.)(
+++
yxyx

44
6
9

6
33
8

3
4
3
.
.4.4 yx
yx
xy
=≥
suy ra
9
6
4
3
≤
T
( * )

D
ấ
u “=”
ở
( * ) x
ả
y ra
7,3,3
1

1
33
===⇔





++=
==
⇔ zyx
yxz
yx
.
V
ậ
y b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c
đượ
c ch
ứ
ng minh.


TUY

ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
11

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Bài 20:
Cho x, y là hai s
ố

th
ự
c th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
24)(
3
≥++
xyyx
.
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ế
u th
ứ
c
2015)43()(2)(3

2222
+−−+−+=
xyxyyxyxP
.
Hướng dẫn
V
ớ
i m
ọ
i s
ố
th
ự
c x, y ta luôn có
2
(x y) 4xy
+ ≥
, nên t
ừ

đ
i
ề
u ki
ệ
n suy ra
3 2 3 3 2
( ) ( ) ( ) 4 2 ( ) ( ) 2 0 1
+ + + ≥ + + ≥
⇒

+ + + − ≥
⇒
+ ≥
x y x y x y xy x y x y x y


Ta bi
ế
n
đổ
i P nh
ư
sau
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
P (x y ) (x y ) 2(x y 2xy) xy(3xy 4) 2015
2 2
= + + + − + + − − +


2 2 2 4 4 2 2
3 3
(x y ) (x y ) 2(x y ) 2015
2 2
= + + + − + +
(3)
Do
2 2 2
4 4
(x y )

x y
2
+
+ ≥
nên t
ừ
(3) suy ra
2 2 2 2 2
9
P (x y ) 2(x y ) 2015
4
≥ + − + +

Đặ
t
2 2
x y t
+ =
thì
1
t
2
≥
(do
x y 1)
+ ≥
.
Xét hàm s
ố

2
9
f (t) t 2t 2015
4
= − +
v
ớ
i
1
t
2
≥
, có
9
f '(t) t 2 0
2
= − >
, v
ớ
i
1
t
2
≥
nên hàm s
ố

f(t)
đồ
ng bi

ế
n trên
1
;
2
 
+∞


 
. Suy ra
1
t ;
2
1 32233
min f (t) f
2 16
 
∈ +∞


 
 
= =
 
 
.
Do
đ
ó GTNN c

ủ
a P b
ằ
ng
16
32233
,
đạ
t
đượ
c khi và ch
ỉ
khi
2
1
== yx

Bài 21:
Cho a, b, c là
độ
dài 3 c
ạ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác.
Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng:
2
2.
3 3 2 3 3
a a a b c
a b a c a b c a c a b
+ + + + <
+ + + + + +

Hướng dẫn
+) Vì a, b, c là 3 c
ạ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác nên ta có:
; ;
a b c b c a c a b
+ > + > + >
.
T
ừ
(1),(2) và (3) ta có
2 2 2
2
x y z x y z
y z z x x y x y z
+ +

+ + < =
+ + + + +

⇒
(
đ
pcm).
+)
Đặ
t
; ; ( , , 0).
2 2
a b c a
x y z a x y z
+ +
= = = >
Ta có:
; ;
x y z y z x z x y
+ > + > + >
.

VT =
2 2 2 2
3 3 2 2 2 2 2 2 2
a c a b a x y z x y z
a b a c a b c y z z x x y y z z x x y
+ +
+ + = + + = + +
+ + + + + + + + + +

(1).

L
ạ
i có:
2z
( ) 2z( )
z
x y z z x y z x y
x y z x y
+ > ⇔ + + < + ⇔ >
+ + +
.
CM t
ươ
ng t
ự
ta có:
2 2
(2); (3).
x x y y
y z x y z z x x y z
< <
+ + + + + +





TUY

ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
12

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Bài 22 :
Cho ba s
ố

th
ự
c d
ươ
ng x, y, z th
ỏ
a mãn: xyz = 3.
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
= + + + + +
P x y z
2 2 2
3 3 3
log 1 log 1 log 1

Hướng dẫn
NX: nh
ữ
ng d

ạ
ng bài có d
ạ
ng
2 2 2 2
a b m n
+ + +
r
ấ
t có th
ể
s
ẽ
áp d
ụ
ng
đượ
c
ph
ươ
ng pháp B
Đ
T vec - t
ơ
.
- Trong mp(Oxy), g
ọ
i
a x b y c z
3 3 3

(log ;1), (log ;1), (log ;1)
= = =

 
, và
n a b c n
(1;3)
= + +
⇒
=

   

- Ta có:
a b c a b c x y z
2 2 2 2 2
3 3 3
log 1 log 1 log 1 1 3
+ + ≥ + + ⇒ + + + + + ≥ +
 
   

P
10
⇒
≥ , d
ấ
u = x
ả
y ra khi ba vecto

a b c
, ,

 
cùng h
ướ
ng và k
ế
t h
ợ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đề
bài ta
đượ
c x = y = z =
3
3

V
ậ
y minP =
10
khi x = y = z =
3

3


Bài 23:
Cho ba s
ố
th
ự
c a, b, c th
ỏ
a:
[
]
[
]
[
]
0;1 , 0;2 , 0;3
a b c∈ ∈ ∈
.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
(

)
( )
2 2 2
2 2
8
1 2 3 8
12 3 27 8
ab ac bc
b b
P
a b c b c b a c
a b c
+ +
−
= + +
+ + + + + + +
+ + +

Hướng dẫn
Ta có:
[
]
[
]
[
]
0;1 , 0;2 , 0;3
a b c∈ ∈ ∈

(

)
(
)
( )( )
1 0
2 3 2
2 2
2 0
a b c
b c ab ac
a b c ab bc ac
a c ab bc
b a c
− + ≥
+ ≥ +


⇒ ⇔ ⇒ + + ≥ + +
 
+ ≥ +
− + ≥




(
)
(
)
2 2 2 2

1 2 3 1 2
ab ac bc ab ac bc
a b c ab ac bc
+ + + +
⇒ ≤
+ + + + + +

M
ặ
t khác
(
)
b c a b c
+ ≥ +
( vì
[
]
0;1
a ∈
)
( ) ( ) ( )
8 8 8
8 8 2 8
b b b
b c b a c a b c b a c ab bc ac
− − −
⇒
≤ =
+ + + + + + + + + + +

V
ớ
i m
ọ
i s
ố
th
ự
c x, y, z, ta có

( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
0 2 2 2 2
3
x y y z y x x y z xy yz xz
x y z x y z
− + − + − ≥ ⇔ + + ≥ + +
⇔ + + ≥ + +

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
12 3 27 3 2 3 2 3 2 3 2

a b c a b c a b c a b c ab bc ac
 
⇒ + + = + + ≥ + + = + + ≥ + +
 

=>
2 2 2
2 8
12 3 27 8
b b
ab bc ac
a b c
≤
+ + +
+ + +

Suy ra
(
)
( )
2 2
8
1 2 2 8 2 8
2 2
8
1 2 2 8
ab bc ac
b b
P
ab bc ac ab bc ac ab bc ac

ab bc ac
P
ab bc ac ab bc ac
+ +
−
≤ + +
+ + + + + + + + +
+ +
⇒ ≤ +
+ + + + + +

Đặ
t t
[
]
2 0;13
ab bc ac t= + + ⇒ ∈



TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-

MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
13

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Xét hàm s
ố

( )
[ ]
2 8
, 0;13
1 8
t
f t t
t t
= + ∈

+ +

( )
( ) ( )
( )
2 2
2 8
' , ' 0 6
1 8
f t f t t
t t
= − = ⇔ =
+ +

( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
16 47 16
0 1; 6 ; 13 0;13
7 21 7
f f f f t t
= = = ⇒ ≤ ∀ ∈

Do
đ
ó:
16
7
P
≤
. Khi

2
1; 2;
3
a b c
= = =
thì
16
7
P
=
. V
ậ
y giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a P là
16
7

Bài 24:
Cho
x
là s
ố
th

ự
c thu
ộ
c
đ
o
ạ
n
5
[ 1, ]
4
−
.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t, giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
5 4 1
5 4 2 1 6

x x
P
x x
− − +
=
− + + +

Hướng dẫn
Đặ
t
5 4 , 1
a x b x
= − = +
thì
2 2
4 9,
a b
+ =
v
ớ
i
, 0
a b
≥

Do
đ
ó
đặ
t

[0, ]
2
π
α
∈
v
ớ
i
a=3sin ,2b=3cos
α α
. Khi
đ
ó:
3
3sin cos
2sin cos
2
2 6 3sin 3cos 6 2sin 2cos 4
a b
P
a b
α α
α α
α α α α
−
− −
= = =
+ + + + + +

Xét hàm s

ố

2sin cos
( )
2sin 2cos 4
x x
f x
x x
−
=
+ +
v
ớ
i
[0, ]
2
x
π
∈

Ta có
/
2
6 4sin 8cos
( ) 0, [0, ]
(2sin 2cos 4) 2
x x
f x x
x x
π

+ +
= > ∀ ∈
+ +

Suy ra hàm s
ố
f(x) luôn luôn
đồ
ng bi
ế
n trên
[0, ]
2
π

Do
đ
ó:
[0, ] [0, ]
2 2
1 1
min ( ) (0) ;max ( ) ( )
6 2 3
x x
f x f f x f
π π
π
∈ ∈
= = − = =

V
ậ
y
1 5
min
6 4
P khi x
−
= =

1
1
3
Max P khi x
= = −

Bài 25:
Cho 3 s
ố
th
ự
c d
ươ
ng
, ,
a b c
tho
ả
mãn
1

abc
=
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
1
2 2 2
a b c
b a c b a c
+ + ≥
+ + +
.
Hướng dẫn
Ta có
1
2 2
a a a
a ba
b a a ba
= ≥
+ +
+ +
, do
1 2
a a
+ ≥
.

T
ươ
ng t
ự
:
1
2
b b
b bc
c b
≥
+ +
+
;
1
2
c c
c ac
a c
≥
+ +
+
.
C
ộ
ng các v
ế
c
ủ
a các B

Đ
T trên ta có:


TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
14

NGUYỄN HỮU BIỂN -

1 1 1
2 2 2
a b c a b c
a ba b cb c ac
b a c b a c
+ + ≥ + +
+ + + + + +
+ + +

=
1
abc b cb
bc bca babc b cb b bc bac
+ +
+ + + + + +

=
1
1
1 1 1
b cb
bc b b cb b bc
+ + =
+ + + + + +
(
đ
i
ề

u ph
ả
i ch
ứ
ng minh).
D
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi a = b = c = 1
Bài 26:
Cho a, b, c là các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng tho
ả
mãn
a b c 3
+ + =
.
Tìm giá tr
ị
l

ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
( )( )( )
3
2
3 1 1 1
abc
P
ab bc ca a b c
= +
+ + + + + +

Hướng dẫn
Áp d
ụ
ng B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c

(
)
(
)
2
3 , , ,x y z xy yz zx x y z
+ + ≥ + + ∀ ∈
ℝ
ta có:

(
)
(
)
2
3 9abc 0
ab bc ca abc a b c
+ + ≥ + + = >

3
ab bc ca abc
⇒ + + ≥
Ta có:
( )( )( )
(
)
3
3
1 1 1 1 , , , 0.
a b c abc a b c

+ + + ≥ + ∀ >
Th
ậ
t v
ậ
y:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1
a b c a b c ab bc ca abc
+ + + = + + + + + + + ≥


( )
(
)
3
2
3 3
3
1 3 3 abc 1
abc abc abc

+ + + = +

Khi
đ
ó
( )
( )
3
3
2
1
1
3 1
abc
P Q
abc
abc
≤ + =
+
+

Đặ
t
6
abc t
=
. Vì
, , 0
a b c
>

nên
3
0 1
3
a b c
abc
+ +
 
< ≤ =
 
 

Xét hàm s
ố

( )
(
]
2
2
3
2
, t 0;1
1
3 1
t
Q
t
t
= + ∈

+
+

( )
(
)
(
)
( ) ( )
(
]
5
2 2
3 2
2 1 1
' 0, t 0;1
1 1
t t t
Q t
t t
− −
⇒
= ≥ ∀ ∈
+ +

Do hàm s
ố

đồ
ng bi

ế
n trên
(
]
0;1
nên
( ) ( ) ( )
5
1 2
6
Q Q t Q= ≤ =

T
ừ
(1) và (2) suy ra
5
6
P
≤

V
ậ
y
5
max
6
P
=
,
đạ

t
đượ
c khi và ch
ỉ
khi:
1
a b c
= = =
.
Bài 27:
Cho 3 s
ố
th
ự
c
, ,
x y z
khác 0 th
ỏ
a mãn:
x 5
y z
+ + =
và
. . 1
x y z
=
.Tìm giá tr
ị
l

ớ
n
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
1 1 1
P
x y z
= + +
.


TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG

CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
15

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Hướng dẫn
( )
1 1 1 1 1
5
y z
P x x
x y z x yz x
+
= + + = + = + −

Ta có:
( ) ( )
2 2
4

4 5 0 3 2 2 4 3 2 2
y z yz x x x x
x
+ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ < ∨ − ≤ ≤ ∨ ≥ +

Xét hàm s
ố
:
( ) ( ) ( )
2
1 1
5 5 2
x
f x x x f ' x
x
x
= + − ⇒ = − + −

V
ớ
i:
0 3 2 2 4 3 2 2
x x x< ∨ − ≤ ≤ ∨ ≥ +
( )
1
0 1 2 1 2
2
f ' x x x x= ⇔ = ∨ = − ∨ = +

L

ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên
đ
úng
Tính
đượ
c:
(
)
(
)
( ) ( )
1 2 3 2 2 1 4 2
1 2 3 2 2 1 4 2
− = + = −
+ = − = +
f f
f f

V
ậ
y giá tr
ị
l
ớ
n nh

ấ
t c
ủ
a P b
ằ
ng
1 4 2
+
D
ấ
u “=” khi :
1 2, 3 2 2 1 2, y 3 2 2
x y z hay x z= = + = − = = + = −

ho
ặ
c
3 2 2, 1 2 3 2 2, 1 2
x y z hay x z y= = − = + = = − = +

Bài 28:
Cho x, y, z là các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng.
Tìm giá tr
ị

nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
3
2 3
P
x xy xyz x y z
= −
+ + + +

Hướng dẫn
Ta có
3 3
1 1
2 .8 2 .8 .32
4 8
x xy xyz x x y x y z
+ + = + +

≤
( ) ( )
2 8 2 8 32 32 4

8 24 24 3
x y x y z
x x y z x y z
+ + +
+ + = + + = + +

Đặ
t
( )
2
3 2
; 0
2 3
t x y z t P f t
t t
= + + ≥ ⇒ ≥ = −

( ) ( )
3 2
3 1
; 0 1
f t f t t
t t
′ ′
= − + = ⇔ =

L
ậ
p b
ả

ng bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm f(t) ta
đượ
c
min
3
2
P
= −
t
ạ
i t=1
D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
16
21
1
4
2 8
21
2 32
1

21
x
x y z
x y y
x z
z

=

+ + =


 
= ⇒ =
 
 
=


=



Bài 29:
Cho a, b, c không âm và
2 2 2
3
a b c
+ + =
.

Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
5a 5 5 4
P ab bc ca b c
= + + + + + +

Hướng dẫn


TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-

MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
16

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Ta có
( )
(
)
2
2 2 2
3 3
a b c a b c
≤ + + ≤ + +


( )

2
3 9
a b c
⇔ ≤ + + ≤


3 3
a b c
⇔ ≤ + + ≤

Đặ
t
t a b c
= + +
v
ớ
i
3; 3
t
 
∈
 

Mà
( )
(
)
2
2 2 2
2

3
2 2
a b c a b c
t
ab bc ca
+ + − + +
−
+ + = =

Nên
( )
2
1 5
5
2 2
P t t t
= + +
.
( )
' 5 0, 3; 3
P t t t
 
= + > ∀ ∈
 
. L
ậ
p BBT ta có k
ế
t qu
ả

.
V
ậ
y
ax
22
m
P
=
v
ớ
i
3 1
t a b c
= ⇔ = = =

Bài 30:
Cho
cá
c s
ố
th
ự
c a, b, c
thỏ
a
mã
n
cba
≥

≥
và
5
222
=++
cba
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
4))()()((
−
≥
+
+
−
−
−
cabcabaccbba

Hướng dẫn
Ta
có
:
4))()()((
−
≥
+

+
−
−
−
cabcabaccbba


4))()()((
≤
+
+
−
−
−
=
⇔
cabcabcacbbaP

Do
cba
≥
≥
nên
N
ế
u
0
ab bc ca
+ + <
thì

40
<
≤
P
(
đú
ng)
N
ế
u
0
ab bc ca
+ + ≥
thì đặ
t
ab bc ca x
+ + =
0
≥

Á
p
dụ
ng B
Đ
T Côsi :
4
)(
))((
2

ca
cbba
−
≤−−

)1(
4
)(
))()((
3
ca
cacbba
−
≤−−−⇒

Á
p
dụ
ng B
Đ
T Bunhiacopski:
[
]
222
)()()(2 cacbba
−≥−+−

và
222222
)(2)(2)(2)(4 cacbbacabcabcba

−+−+−=−−−++


)2(
3
52
5
0)(3)5(4
)(2)()(4
2
22222
x
cavax
cax
cacacabcabcba
−
≤−≤⇒
≥−≥−⇔
−+−≥−−−++⇒
ɳ

T
ừ
(1)
và
(2) ta
có
:
3
3

)5(
9
32
.
4
)(
xxx
ca
P
−≤
−
≤

Xé
t
hà
m s
ố
[
]
5;0;)5()(
3
∈−=
xxxxf




=
=

⇔=−−=
5
2
0)(';)
2
5
5(5)('
x
x
xfxxxf

Ta
có
:
0)5(;36)2(;0)0(
===
fff



TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-

MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
17

NGUYỄN HỮU BIỂN -


[ ]
[
]
5;0;36)5()(36)(
3
5;0
∈∀≤−=⇒=
xxxxfxfMax

436.
9
32

≤⇔≤⇒
PP

D
ấ
u "="
xả
y ra





=
=
=
⇔







=++
−=
−=
=++
⇔








=++
=−
−=−
=
⇔
0
1
2
5
2
1
2
5
2
2
222222
c
b
a
cba
ac
ab
cabcab
cba

ca
cbba
x

Bài 31:
Cho các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng x, y, z.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2 2
yz xy
zx
P
x yz y zx z xy

= + +
+ + +

Hướng dẫn
Áp d
ụ
ng b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c AM – GM ta có

2
1 1
2 2
yz
x x
x y z
x yz x yz
= − ≤ −
+ +
+ +
(1)
T
ươ
ng t
ự
ta có

2
1 1
2 2
zx y y
x y z
y zx y zx
= − ≤ −
+ +
+ +
(2)

2
1 1
2 2
xy
z z
x y z
z xy z xy
= − ≤ −
+ +
+ +
(3)
C
ộ
ng 3 b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ

c cùng chi
ề
u (1), (2), (3) ta
đượ
c
2 2 1
P P
≤ ⇔ ≤

D
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra khi x = y = z.
V
ậ
y Max P = 1 khi x = y = z.
Bài 32:
Cho b
ố
n s
ố
d
ươ
ng a, b, c, d tho
ả
mãn a + b + c + d = 4
Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng:
a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
2
1 1 1 1
+ + + ≥
+ + + +

Hướng dẫn



TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề

THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
18

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Bài 33:
Cho a,b là hai s
ố
th
ự
c d
ươ
ng th
ỏ
a
5
2
4
a b
+ =

.
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 1
4
F
a b
= +

Hướng dẫn
Ta có :
2 1 2 1
8 4 (8 4 )
4 4
F a b a b
a b a b
= + = + + + − + =
2 1
8 4 5

4
a b
a b
+ + + −

B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Côsi cho :
2
8 8
a
a
+ ≥
và
1
4 2
4
b
b
+ ≥

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:

2
a ab c ab c ab c ab c ab abc
a a a a a

b c
1+b c b c
2 2
2
(1 )
(1)
2 4 4 4
2
1
+
= − ≥ − = − ≥ − = − −
+

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1

(
)
2
bc d
b bc d bc d bc d bc bcd
b b b b b
c d
1+c d c d
2 2
2
1
(2)
2 4 4 4
2
1

+
= − ≥ − = − ≥ − = − −
+


(
)
2
cd a
c cd a cd a cd a cd cda
c c c c c
d a
1+d a d a
2 2
2
1
(3)
2 4 4 4
2
1
+
= − ≥ − = − ≥ − = − −
+


(
)
2
da b
d da b da b da b da dab

d d d d d
a b
1+a b a b
2 2
2
1
(4)
2 4 4 4
2
1
+
= − ≥ − = − ≥ − = − −
+

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:

a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab
b c c d d a a b
2 2 2 2
4
4 4
1 1 1 1
+ + + + + +
+ + + ≥ − −
+ + + +

Mặt khác:

•
( )( )

a c b d
ab bc cd da a c b d
2
4
2
 
+ + +
+ + + = + + ≤ =
 
 
.
D
ấ
u "=" x
ả
y ra ⇔ a+c = b+d
•
( ) ( ) ( ) ( )
a b c d
abc bcd cda dab ab c d cd b a c d b a
2 2
2 2
   
+ +
+ + + = + + + ≤ + + +
   
   

⇔
( )( ) ( )( )

a b c d
abc bcd cda dab a b c d a b c d
4 4
 
+ +
+ + + ≤ + + + = + +
 
 


a b c d
abc bcd cda dab
2
4
2
 
+ + +
⇔ + + + ≤ =
 
 
. D
ấ
u "=" x
ả
y ra ⇔ a = b = c = d = 1.
V
ậ
y ta có:
a b c d
b c c d d a a b

2 2 2 2
4 4
4
4 4
1 1 1 1
+ + + ≥ − −
+ + + +


a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
2
1 1 1 1
⇔ + + + ≥
+ + + +

⇒

đ
pcm.


TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V

Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
19

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Suy ra
5
F
≥
.
5
MinF
=

đạ
t khi
2
8
1
1
4
2
4
1
5
2
4
4
, 0
a
a
a
b
b
b
a b
a b

=



=



=
 
⇔
 
 
=
+ =





>


Bài 34:
Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
(
)
(
)

3 3 2 2
( 1)( 1)
x y x y
P
x y
+ − +
=
− −

Hướng dẫn
Đặ
t t = x + y ; t > 2. Áp d
ụ
ng B
Đ
T 4xy ≤ (x + y)
2
ta có
2
4
t
xy
≤

3 2
(3 2)
1
t t xy t
P
xy t

− − −
=
− +
. Do 3t - 2 > 0 và
2
4
t
xy
− ≥ −
nên ta có
2
3 2
2
2
(3 2)
4
2
1
4
t t
t t
t
P
t
t
t
−
− −
≥ =
−

− +

Xét hàm s
ố

2 2
2
4
( ) ; '( ) ;
2 ( 2)
t t t
f t f t
t t
−
= =
− −
f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.
t
2 4 +∞

f’(t) - 0 +
f(t)
+ ∞ +∞



8

Do
đ

ó min P =
(2; )
min ( )
f t
+∞
= f(4) = 8
đạ
t
đượ
c khi
4 2
4 2
x y x
xy y
+ = =
 
⇔
 
= =
 

Bài 35:
Cho các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng a,b,c
đ

ôi m
ộ
t khác nhau th
ỏ
a mãn
2
a c
≤
và
2
2
ab bc c
+ =
.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
a b c
P
a b b c c a

= + +
− − −
.
Hướng dẫn
Theo gi
ả
thi
ế
t:
1
2 ên
2
a
a c n
c
≤ ≤
;
2
2
2 . 2 1
a b b a c
ab bc c
c c c c b
+ = ⇔ + = ⇔ = −

Vì
1
2
a
c

≤
nên
4
3
b
c
≥
.
Đặ
t
c
t
b
=
thì
3
0
4
t
< ≤

2
2
1 2 1 1 2 7
1
2 1 1 2(1 ) 2 1 6(1 )
1 1
a b
t t
c c

P
a b b a
t t t t t t
c c c c
−
= + + = + + = − +
− − − − + −
− − −



TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC

GIA
2015

Trang
20

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Xét hàm s
ố

2 7 3
( ) 1 , 0;
2 1 6(1 ) 4
f t t
t t
 
= − + ∈


+ −
 
. Ta có:
3
'( ) 0, 0;
4
f t t
 
> ∀ ∈



 
, do
đ
ó
( )
f t
đồ
ng bi
ế
n trên
3
0;
4
 


 

Do
đ
ó GTLN c
ủ
a hàm s
ố

đạ
t t
ạ

i
3
4
t
=
, suy ra
27
max
5
P
=

Đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi
2
2
8 3 4
2
ab bc c
a b c
a c

+ =
⇔ = =

=


, ch
ẳ
ng h
ạ
n ch
ọ
n
đượ
c (a,b,c)=(3,8,6).
Bài 36:
Cho
, ,
a b c
là các s
ố
d
ươ
ng và
3
a b c
+ + =
.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c

ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
3 3 3
bc ca ab
a bc b ca c ab
P
+ +
+ + +
=

Hướng dẫn
Vì a + b + c = 3 ta có
3 ( ) ( )( )
bc bc bc
a bc a a b c bc a b a c
= =
+ + + + + +
1 1
2
bc
a b a c
 
≤ +
 
+ +
 

Vì theo B
Đ
T Cô-Si:
1 1 2
( )( )
a b a c
a b a c
+ ≥
+ +
+ +
, d
ấ
u
đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra
⇔
b = c
T
ươ
ng t
ự

1 1
2
3

ca ca
b a b c
b ca
 
≤ +
 
+ +
+
 
và
1 1
2
3
ab ab
c a c b
c ab
 
≤ +
 
+ +
+
 

Suy ra P
3
2( ) 2( ) 2( ) 2 2
bc ca ab bc ab ca a b c
a b c a b c
+ + + + +
≤ + + = =

+ + +
,
Đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi a = b = c = 1. V
ậ
y max P =
3
2
khi a = b = c = 1.
Bài 37:
Cho hai s
ố
d
ươ
ng x, y tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n x + y = 4. Tìm giá tr
ị

nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u
th
ứ
c
3
3
1 1
1 1
 
 
= + + + + +
   
 
 
S x y
x y

Hướng dẫn
Theo b
ấ
t
đẳ

ng th
ứ
c Côsi cho ba s
ố
d
ươ
ng ta có:
3 3 3
1 7 7 7 7 1
1 3. . 1 (1)
2 2 2 2
       
+ + + + ≥ + +
       
       
x x
x x

3
3 3
1 7 7 7 7 1
1 3. . 1 (2)
2 2 2 2
   
   
+ + + + ≥ + +
       
   
   
y y

y y

C
ộ
ng t
ừ
ng v
ế
c
ủ
a (1), (2) ta có
3
3 2
3
1 1 7 7 1 1
1 1 3. 2
2 2
   
   
+ + + + + + ≥ + + + +
       
   
   
x y x y
x y x y

M
ặ
t khác ta l
ạ

i có
( )
1 1 1 1 1 4
4 . 4
 
+ + ≥ = ⇒ + ≥
 
+
 
x y xy
x y x y x y
xy
nên
3
3 2
3
1 1 7 7 4
1 1 3. 2
2 2
   
   
+ + + + + + ≥ + + +
       
+
   
   
x y x y
x y x y

TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
21

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Theo gi

ả
thi
ế
t x = y = 4 nên
2
3
7 7 343
3. .7
2 2 4
 
+ ≥ ⇔ ≥
 
 
S S

D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
1 7
1
2
1 7
1
2
2
4


+ + =



+ + =
⇔ = =


=


+ =

x
x
y
x y
y
x y
x y

V
ậ
y
343
min
4
=S

Bài 38:
Xét các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng x, y, z th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n x + y + z = 1.
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
2 2 2

x (y z) y (z x) z (x y)
P
yz zx xy
+ + +
= + +
.
Hướng dẫn
Ta có :
2 2 2 2 2 2
x x y y z z
P
y z z x x y
= + + + + +
(*)
Nh
ậ
n th
ấ
y : x
2
+ y
2
– xy ≥ xy ∀x, y ∈ R
Do
đ
ó : x
3
+ y
3
≥ xy(x + y) ∀x, y > 0 hay

2 2
x y
x y
y x
+ ≥ +
∀x, y > 0
T
ươ
ng t
ự
, ta có :
2 2
y z
y z
z y
+ ≥ +
∀y, z > 0
2 2
z x
z x
x z
+ ≥ +
∀x, z > 0
C
ộ
ng t
ừ
ng v
ế
ba b

ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c v
ừ
a nh
ậ
n
đượ
c
ở
trên, k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (*), ta
đượ
c:
P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1
H
ơ
n n
ữ
a, ta l
ạ
i có P = 2 khi x = y = z =

1
3
. Vì v
ậ
y, minP = 2.
Bài 39:
0, 0
x y
> >
th
ỏ
a mãn
2 2
3
x y xy x y xy
+ = + + . Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2
2 2

(1 2 ) 3
2
xy
P x y
xy
+ −
= + +

Hướng dẫn



TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU

ỐC
GIA
2015

Trang
22

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Hay giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a P b
ằ
ng
71
4
khi x = y = 2
Bài 40:
Cho x, y là hai s
ố
th
ự
c d

ươ
ng th
ỏ
a mãn
2 3 7
x y
+ ≤
. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u
th
ứ
c
2 2 2 2
3
2 5( ) 24 8( ) ( 3)
P xy y x y x y x y
= + + + − + − + +
.
Hướng dẫn
Ta có
2

2 2 3 3
6( 1)( 1) (2 2)(3 3) 36 5
2
x y
x y x y x y xy
+ + +
 
+ + = + + ≤ ≤ ⇒ + + ≤
 
 
.
Ta có
( )
2
2 2 2 2
5( ) 2 5( ) 2
x y x y x y x y
+ ≥ + ⇒ + ≥ +
và

2 2 2
2 2
( 3) 9 2 6 6 0
2( 3) 8( ) ( 3)
x y x y xy x y
x y xy x y x y
+ − = + + + − − ≥
⇔ + + + ≥ + − + +

Suy ra

3
2( ) 24 2( 3)
P xy x y x y xy
≥ + + − + + +

Đặ
t
(
]
, 0;5
t x y xy t= + + ∈
,
3
( ) 2 24 2 6
P f t t t
≥ = − +

Ta có
(
]
2
3
/
2 2
3 3
(2 6) 8
24.2
( ) 2 2 0, 0;5
3 (2 6) (2 6)
t

f t t
t t
+ −
= − = < ∀ ∈
+ +

V
ậ
y hàm s
ố
f(t) ngh
ị
ch bi
ế
n trên n
ữ
a kho
ả
ng
(
]
0;5
.
Suy ra
3
min ( ) (5) 10 48 2
= = −f t f
. V
ậ
y

3
2
min 10 48 2,
1
x
P khi
y
=

= −

=


Bài 41:
Xét các s
ố
th
ự
c không âm x, y, z tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2 2 2
3

x y z
+ + =
. Tìm giá
tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
P xy yz zx
= + + +
4
x y z
+ +

+ Ta có :
2 2
3
( ) 3 (1) 0, 0 ê 0
x y xy x y xy
xy x y x y xy do x y n n x y
+ = + +
⇔ + = + + > > + >

[ ][ ]
2
2 2
1 1 4
(1) 3 3 ( ) 3( ) 4 0
( ) 1 ( ) 4 0 4
1 3 3 1
(1) 1 1
1 3
ê ( ) 2 ( ) 1
x y x y x y
x y x y
x y x y x y
xy x y x y xy
N n P x y x y
xy x y
⇒ + = + + ≥ + ⇒ + − + − ≥
+
⇒ + + + − ≥ ⇒ + ≥
⇔ = + ⇔ − =
+ +
= + + − = + + +
+

+
Đặ
t
2
3

( 4) 1 ( )
x y t t P t f t
t
+ = ≥ ⇒ = + + =

+ Ta có
3
2 2
3 2 3
'( ) 2 0, 4
t
f t t t
t t
−
= − = > ∀ >
Nên f(t)
đồ
ng bi
ế
n trên
[
)
71
4; ( ) (4)
4
P f t f+∞ ⇒ = ≥ =



TUY

ỂN
T
ẬP 50
BÀI TỐN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
23

NGUYỄN HỮU BIỂN -


Hướng dẫn
( )
( )

(
)
( )
2
2
2 2 2
2
3
1
2 2
3
4
2
+ + −
 
+ + − + + =
 
+ + −
+
+ +
x y z
x y z x y z
x y z
x y z
Ta có: xy + yz + zx =
Do đó P=

( )
( )
( )

2 2 2
2
2
2
3
3
3 0 3 6
2
3 9. 3 3
≤ ≤ + + =
+ + −
≤ ≤ ⇔ ≤ + + − ≤
⇔ ≤ + + ≤ ≤ + + ≤
x y z
x y z
x y z
x y z x y z
Vì 0 xy + yz + zx
Nên 0
Suy ra

( )
2
2 3
2 2
3
3
3 4
3 3,
2

3 4 4 4
3 3,
2
' 0 4 4
−
≤ ≤ +
− −
+ ≤ ≤ =
= ⇔ = ⇔ =
t
t
t
t t
t
t t t
f t t t
Đặt t =x+y+z, P=
Xét f(t)= với f'(t)= t-
(loại)

( )
( )
( )
4 3 13
3 , 3
3 3
13 13
3 3,
3 3
13 13

.
3 3
= =
≤ ≤ ≤ ≤
f f
t tNên f khi do đó P
Khi x=y=z=1 thì P= Do đó giá trò lớn
nhất của P là

Bài 42:
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t, giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

2 2 2
( ) 5 8 32 3 24 3 12 16
f x x x x x x x

= − + − − + + − +
.

Hướng dẫn
Ta có TX
Đ
:
[0;8]
D
=

Đặ
t :
2 2
( ) 5 8 32, ( ) 3 12 16
g x x x h x x x
= − + = − +

Ta d
ễ
dàng xác
đị
nh
đượ
c
[0;8]
x
∀ ∈
, thì
6 (2) ( ) (8) 12 2, 2 (2) ( ) (8) 4 7

g g x g h h x h
= ≤ ≤ = = ≤ ≤ =

và
2 2
0
3 24 0 ( 3 24 0 )
8
x
x x x x
x
=

− + ≥ − + = ⇔

=

.
Do
đ
ó
2
2
2 2
8( 2)
( ) 3 12 16 0 ( ) 2 [0;8]
5 8 32 3 24
x
f x x x h x x
x x x x

−
= + − + ≥ + ≥ ∀ ∈
− + + − +
.
Đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y khi và ch
ỉ
khi x = 2
min ( ) 2
f x
⇒ =
khi x= 2.
Ta có
2 2 2
( ) 5 8 32 3 24 3 12 16 ( ) ( ) 12 2 4 7 [0;8].
f x x x x x x x g x h x x
= − + − − + + − + ≤ + ≤ + ∀ ∈

Đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y khi và ch
ỉ
khi x = 8

max ( ) 12 2 4 7
f x
⇒ = +
khi x= 8.


TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
-
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015

Trang
24

NGUYỄN HỮU BIỂN -


V
ậ
y
min ( ) 2
f x
=
khi x= 2 và
max ( ) 12 2 4 7
f x
= +
khi x= 8.
Bài 43:
Cho các s
ố
th
ự
c không âm x, y th
ỏ
a mãn
2 2
(3 2)( 1) 0
x y x y
+ + − − =

Tìm giá tr
ị

l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2
8 4
P x y x y x y
= + + + + − −

Hướng dẫn
+Ta có
2 2 2
(3 2)( 1) 0 ( ) 3( ) 2
x y x y x y x y xy y
+ + − − = ⇔ + − + + = − −

Vì x,y không âm nên
2
( ) 3( ) 2 0 1 2
x y x y x y
+ − + + ≤ ⇔ ≤ + ≤

Đặ

t t = x+y khi
đ
ó
[
]
1;2
t ∈

Ta có
2 2 2
8 4 ( ) ( ) 8 4 ( )
P x y x y x y x y x y x y
= + + + + − − ≤ + + + + − +


2
8 4
P t t t
≤ + + −

+Xét hàm
2
( ) 8 4
f t t t t
= + + −
v
ớ
i
[
]

1;2
t ∈

ta có
4
'( ) 2 1
4
f t t
t
= + −
−
v
ớ
i
[
]
1;2
t ∈
4
'( ) 3 0
2
f t
⇒ > − >
v
ớ
i
[
]
1;2
t ∈

và f(t) liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n [1;2] nên f(t)
đồ
ng bi
ế
n trên
đ
o
ạ
n [1;2]
⇒
[1;2]
( ) (2) 6 8 2 ( ) 6 8 2
maxf t f f t
= = + ⇒ ≤ +

⇒
6 8 2
P ≤ +
, P=
6 8 2
+
khi
. 0

2
x y
t
=


=

2
0
x
y
=

⇔

=


KL: Giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a P là
6 8 2
+

đạ
t
đượ
c khi x = 2 và y = 0
Bài 44:
Cho a,b,c là các s
ố
th
ự
c không âm và th
ỏ
a mãn
3
a b c
+ + =
. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:

3 2 2 2 2 2 2
2( ) 27 3( ) 6( )
P ab bc ca a b c a b c ab bc ca
= − + + + − + + + + +

Hướng dẫn
Ta có:
3
3 . .
ab bc ca ab bc ca
+ + ≥

⇒
2 2 2 3
27 ( )
a b c ab bc ca
≤ + +

L
ạ
i có:
2 2 2 2 2 2
3( ) 3( )
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
+ + ≥ + + ⇒ − + + ≤ − + +

Do
đ
ó
3 3

( ) 3( ) 3 ( )
P ab bc ca ab bc ca t t f t
≤ − + + + + + = − + =

v
ớ
i
2
( )
0 1
3
a b c
t ab bc ca
+ +
≤ = + + ≤ =

Ta có b
ả
ng bt c
ủ
a hàm s
ố
f(t) trên
[
]
0;1


T
ừ

BBT ta có:
[ ]
0;1
ax ( ) 2
t
M f t
∈
=
khi t=1
T
ừ

đ
ó ta có GTLN c
ủ
a P b
ằ
ng 2 khi
1
3
a b c
= = =


t
0
1

f’(t) + 0

f(t)

0

2