ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN 9

TRƯỜNG THCS GIẢNG VÕ

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 1
Ngày kiểm tra: 12/11/2020
MƠN TỐN 9
Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1.

(2 điểm) Thực hiện phép tính
a) A  3 125 



b) B  2  7



2  5

2

20  5
52

11  4 7 

c) C  sin 2 250  sin 2 650  tan 350  cot 550 
Câu 2.

(1,5 điểm). Giải các phương trình sau:

a)

Câu 3.

Câu 4.

cot 320
tan 580

9 x  27  x  3  6

.

b)

(2,5 điểm) Cho hai biểu thức A 

x2  2 x  1  x  1  0

x 2
2 x
5 x 2
x 1
và B 


với x  0; x  4
x  x 1
x 2 x2 x
x

1) Tính giá trị biểu thức A khi x  9 .

2) Rút gọn biểu thức B .

1
3) Tìm các giá trị của x để B   .
2

4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 

(3,5 điểm)
1) Một con thuyền đi qua một khúc sông theo hướng từ

C

B đến C (như hình vẽ) với vận tốc 3,5km / h trong 12
phút. Biết rằng đường đi của thuyền tạo với bờ sông một
góc 25 . Hãy tính chiều rộng của khúc sơng ? (Kết quả
tính theo đơn vị km ,làm trịn kết quả đến chữ số thập

25°
B

phân thứ hai).
2) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH . Gọi E là hình chiếu của H trên AB .
a. Biết AE  3, 6cm ; BE  6, 4cm . Tính AH , EH và góc B. (Số đo góc làm trịn đến độ)
b. Kẻ HF vng góc với AC tại F . Chứng minh AB. AE  AC. AF .
c. Đường thẳng qua A và vng góc với EF cắt BC tại D ; EF cắt AH tại O.
Chứng minh rằng S ADC 

Câu 5.

S AOE
sin B.sin 2 C
2

(0,5 điểm) Giải phương trình 2 2 x  1  8  3 x  3 .
HẾT

H

6A
B


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

(2 điểm) Thực hiện phép tính
a) A  3 125 



b) B  2  7

2  5



2

11  4 7 

20  5
52

c) C  sin 2 250  sin 2 650  tan 350  cot 550 

cot 320
tan 580

Lời giải

A  3 125 

a)

2  5 

2





 15 5  2  5  15 5  5  2  2 8 5  1

b)









B  2 7

20  5
11  4 7 
 2 7
52



 2 7 2 7 

c)



5 2 5



52







 2 7



C  sin 2 250  sin 2 650  tan 350  cot 550 

C  sin 2 250  cos 2 250  tan 350  tan 350 

Câu 2.

 2  7 

2



 5
 5  2

2 5

2



7  2  5  7  4 5  3 5

cot 320
tan 580

cot 320
 1  0 1  0 .
cot 320

(1,5 điểm). Giải các phương trình sau:
a)

9 x  27  x  3  6

.

x2  2 x  1  x  1  0

b)

Lời giải
a) 9 x  27  x  3  6 (ĐKXĐ: x  3 )

 3 x  3  x  3  6  2 x  3  6  x  3  3  x  3  9  x  12 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Kết luận: x  12
b) x 2  2 x  1  x  1  0 (ĐKXĐ: x  1)


 x  1

2

 x 1  0  x 1





x  1 1  0

 x 1  0
x 1  0
 x  1 (TM )
. Kết luận: x  1;0



x 1  1
 x  0 (TM )
 x  1  1  0

Câu 3.

(2,5 điểm) Cho hai biểu thức A 

x 2
2 x
5 x 2
x 1
và B 
với x  0; x  4



x  x 1
x 2 x2 x
x


1) Tính giá trị biểu thức A khi x  9 .

2) Rút gọn biểu thức B .

1
3) Tìm các giá trị của x để B   .
2

4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 

6A
B

Lời giải
1) Khi x  9  x  3 thỏa mãn điều kiện.Thay vào biểu thức A ta được:
A

3 2
1
1
 .Vậy khi x  9 thì A 
9  3  1 13
13

2) Với x  0; x  4 ta có: B 

2 x
5 x 2
x 1



x 2
x
x x 2







2 x
5 x 2
x 1


x 2 x2 x
x







  x  1
x  x  2

2x  5 x  2 

x4 x 4
x



x 2







x 2

x





x



x 2

  2x  5





5 x 2
x



x 2









x 1
x



x 2

x 2





x 2 x x 2
x



x 2



2

x 2

3) Với x  0; x  4 để B  



x 2

2 x. x





1

2

x 2
.
x

x 2
với x  0; x  4
x

Vậy B 

x 2
1
 
2
x

x 2 1
2 x 4 x
 0
0
2
x

2 x

3 x 4
4
16
 0 mà 2 x  0 nên 3 x  4  0  3 x  4  x   x 
3
9
2 x

Kết hợp với điều kiện ta được 0  x 

d) Ta có: M 

M 





16
1
thì B  
9
2





6A 6 x  2
x 2 6 x 2
x
6 x

:

.

B
x  x 1
x
x  x 1 x  2 x  x 1

6
1
do x  0  x  0;
 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô si với 2 số dương
1
x
x
1
x

ta được:

x

1
2

x

Dấu "=: xảy ra

x.

1
1
2 x 
1  3 
x
x

x

1
 x  1 ( thỏa mãn đk)
x

6
 2 hay M  2
1
x
1
x


Vậy Max M  2  x  1
Câu 4.

(3,5 điểm)
1) Một con thuyền đi qua một khúc sông theo hướng từ

C

B đến C (như hình vẽ) với vận tốc 3,5km / h trong 12
phút. Biết rằng đường đi của thuyền tạo với bờ sơng một
góc 25 . Hãy tính chiều rộng của khúc sơng ? (Kết quả

25°
B

tính theo đơn vị km ,làm tròn kết quả đến chữ số thập
phân thứ hai).

2) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH . Gọi E là hình chiếu của H trên AB .
a. Biết AE  3, 6cm ; BE  6, 4cm . Tính AH , EH và góc B. (Số đo góc làm trịn đến độ)
b. Kẻ HF vng góc với AC tại F . Chứng minh AB. AE  AC. AF .
c. Đường thẳng qua A và vuông góc với EF cắt BC tại D ; EF cắt AH tại O.
Chứng minh rằng S ADC 

S AOE
sin B.sin 2 C
2

Lời giải
1) Đổi: 12 phút =

1
giờ

5

Gọi chiều rộng của khúc sông là CH . Đường đi của con thuyền là BK suy ra

  250
CH  BK , CBH

1
Quãng đường BC dài là: 3,5.  0, 7  km 
5

Xét BHC vng tại H có: CH  sin 250. BC  sin 250.0, 7  0, 29  km 
Vậy chiều rộng khúc sông khoảng 0,29 (km).

A
3,6

E
6,4

B
2)

H

F
C

a. Biết AE  3, 6cm ; BE  6, 4cm . Tính AH , EH và góc B. (Số đo làm trịn đến độ)
Ta có: AB  AE  EB  3, 6  6, 4  10cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng AHB có 
AHB  90; HE  AB

H


Ta có: AH 2  AE. AB  AH  3, 6.10  36  6cm
Và: EH 2  AE.EB  EH  3, 6.6, 4  4,8cm

Sin B 

AH 6
  3652 '
  0, 6  B
AB 10

b. Chứng minh AB. AE  AC. AF
Xét ABH có : 
AHB  90; HE  AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có:
AB. AE  AH 2 (1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC có: 
AHC  90; HF  AC
 AF . AC  AH 2 (2)

Từ (1) và (2)  AB. AE  AC. AF (dpcm).
c)

A

3,6

E

I
O

6,4

B

Chứng minh: S ADC 

D

H

F
C

S AOE
sin B.sin 2 C
2

Gọi I là giao điểm của AD và EF
Ta có: AE. AB  AF. AC 

AE AF

AC AB

Dễ dàng chứng minh được AEF ∽ ACB (c.g .c)


AFI  
ABH ; 
ACD  
AEO (1)

  AF
I  900
Mà CAD



  CAD
 (2)
EAO
ABH  900  EAO
Từ (1);(2)  ADC ∽ AOE ( g .g )
2

2

S
AC 2 AH 2
 AC   AC AH 
 ADC  
.
.

 
 
S AOE  AE   AH AE 
AH 2 AE 2

 S ADC 

S AOE
2

 AH   AE 

 .

 AC   AH 

2



S AOE




sin C.cos EAO
2

2

S AOE
sin C.sin 2 B
2

(đpcm)
Câu 5.

(0,5 điểm) Giải phương trình 2 2 x  1  8  3 x  3 .
Lời giải
Điều kiện 2 x  1  0  x 
Đặt
3

1
.
2

2x 1  u  u 2  2x 1.

x  3  v  v3  x  3  2v3  2 x  6 .

 2v3  u 2  2 x  6   2 x  1  7  2v 3  u 2  7  0
Mà 2 2 x  1  8  3 x  3  2u  8  v  u 
2

8v
.
2

64  16v  v

8v 
3
 2v 3  
7  0
  7  0  2v 
4
 2 
2

 8v 3  64  16v  v 2  28  0  8v 3  v 2  16v  92  0
  v  2   8v 2  15v  46   0  v  2  x  3  8  x  5 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy x  5 .
 HẾT 