ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II Lớp 10 Môn toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2016-2017
Lớp 10
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1: (2 điểm)

1
 
1. Cho    0;  thỏa mãn cos 2 = − . Tính cos  và tan  .
3
 2
2. Cho sin  − cos  =

1
. Tính sin 2 .
2

Câu 2: (2 điểm)
1. Giải phương trình

x − 2 = 2x − 5

2. Giải bất phương trình ( x − 1)

2

(

)

x +1 − x  0 .

Câu 3: (2 điểm)
1. Chứng minh biểu thức P = 4 ( sin 4 x + cos 4 x ) − cos 4 x + 2017 không phụ thuộc vào x .
2. Cho tam giác ABC không vuông thỏa mãn tan A.tan B.tan C = 4 3 .
Tính giá trị của biểu thức tan A + tan B + tan C
Câu 4: (3 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 20 = 0 .
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn ( C ) tại M ( 4; 2 ) .
b) Tìm tham số m để đường thẳng  : 3x + 4 y + m = 0 cắt đường tròn tại hai điểm A, B phân biệt sao cho

AB = 6 .
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip ( E ) :

x2
+ y 2 = 1 . Gọi F , F ' là các tiêu điểm của ( E ) . Điểm M
4

thuộc ( E ) thỏa mãn MF − MF ' = 2 . Tính tiêu cự của ( E ) và tính độ dài MF .
Câu 5: (1 điểm)
1. Chứng minh rằng sin A + sin B − sin C = 4sin
2. Tính các góc của tam giác ABC biết

A

B
C
.sin .cos , ABC
2
2
2

1
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
sin A sin B sin C cos A cos B cos C
2
2
2

--------------- Hết --------------Ghi chú:
-

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

-

Học sinh không được sử dụng tài liệu.


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2017-2018
Lớp 10
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1: (2 điểm)
1. Cho cos  = −

3
12
và    
. Tính sin  và tan 2
13
2

2. Cho tan b + cot b = 3 . Tính A = tan 2 b + cot 2 b và B = tan 4 b + cot 4 b
Câu 2: (2 điểm)
1. Giải phương trình

x2 + 5 = 7 − 2 x .

2. Giải bất phương trình

2x + 3  6 − x

Câu 3: (2 điểm)
1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

2

P = cos 2 x + cos 2  x +
3




2  2
− x
 + cos 

 3


2. Cho tam giác ABC có 3 góc A, B, C. Chứng minh rằng sin A + sin B + sin C = 4cos

A
B
C
.cos .cos
2
2

2

Câu 4: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A (1;0 ) ; B ( −2; −2 ) và đường tròn

(C ) : x2 + y 2 − 2x + 4 y − 4 = 0 .
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn ( C ) tại tiếp điểm B.
2. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A cắt ( C ) tại hai điểm M , N sao cho tam giác BMN vuông
tại B.
Câu 5: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
25 9

1. Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm F1 , F2 và tiêu cự của elip trên.
2. Tìm điểm M thuộc ( E ) có hồnh độ dương sao cho tam giác MF1F2 vuông tại M.
Câu 6: (1 điểm)
1. Cho sin ( 2a + b ) = 5sin B . Chứng minh

2 tan ( a + b )
=3
tan a

2. Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức cos A.cos B.cos C =
--------------- Hết --------------Ghi chú:
-

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

-

Học sinh không được sử dụng tài liệu.

1
8


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2018-2019
Lớp 10
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1. (2 điểm) Tính giá trị của biểu thức:
1. Cho sin  =


5
và     . Tính giá trị của cos  và cos 2
2
13

2. Cho tan  =

sin 2  + 2sin  .cos  − 2cos2 
3
. Tính giá trị của A =
4
4cos2  − 3sin  .cos  + 2sin 2 

Câu 2. (2 điểm)
1. Giải phương trình sau: ( x + 4 )( x + 1 ) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6
2. Giải bất phương trình

x2 − x + 12  7 − x

Câu 3. (2 điểm)
1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x

1
A = sin x.cos3 x − cos x.sin 3 x − sin 4 x + 2019
4
2. Cho ABC với 3 góc A, B, C . Chứng minh rằng cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2cos A.cos B.cos C
Câu 4. (1,5 điểm)
1. Viết phương trình đường trịn đường kính AB biết A ( 1; 4 ) , B ( 3; 2 )
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C ) : x2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0 biết tiếp tuyến đó song
song với đường thẳng (  ) : 3x − 4 y − 6 = 0
Câu 5. (1,5 điểm) Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) biết elip có một tiêu điểm F1 ( − 3;0 ) và đi
3

qua điểm M  1;
 . Tính độ dài trục lớn và trục bé của ( E )
 2 

Câu 6. (1 điểm)
1. Chứng minh rằng: sin 4


16

+ sin 4

3
5
7 3
+ sin 4
+ sin 4
=
16
16
16 2

2. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b . Chứng minh rằng nếu sin
cân.
--------------- Hết --------------Ghi chú:
-

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

-

Học sinh khơng được sử dụng tài liệu.

A

a
=
thì ABC
2 2 bc


HƯỚNG DẪN
Hướng dẫn

Câu

Điểm
2 điểm

Câu 1

sin  =
1

Vì


2

144
5
mà sin 2  + cos 2  = 1  cos2  =
169
13

     cos   0  cos  = −

12
.
13

2

5
119
Và cos 2 = 1 − 2sin  = 1 − 2.   =
 13  169
2

Cách 1:
Vì tan  =

3
3
 sin  = cos  . Thay vào A ta được:
4
4
2

 3 cos   + 2. 3 cos  .cos  − 2 cos 2 
1
4

.cos 2 
1

4


16
A=
=
=
2
23
46
3
3
.cos 2 
4 cos 2  − 3. cos  .cos  + 2.  cos  
8
4
4

Cách 2:
2

Vì cos   0 nên chia cả tử số và mẫu số của A cho cos 2  ta được:

sin 2 
sin  .cos 
cos 2 
+
2
−
2

2
cos 2 
cos 2 
A = cos 2
cos 
sin  .cos 
sin 2 
4
−
3
+
2
cos 2 
cos 2 
cos 2 
2
 3  + 2. 3 − 2
4
tan 2  + 2 tan  − 2
1
4
A=
=  
=
2
2
46
4 − 3 tan  + 2 tan 
3
3

4 − 3. + 2.  
4
4
2 điểm

Câu 2
−5 − 17   −5 + 17



; + 
Điều kiện: x 2 + 5 x + 2  0  x   −;

2
2

 


Ta có:

( x + 4 )( x + 1 ) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6  x 2 + 5 x + 4 − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6
1

Đặt

x2 + 5x + 2 = t  0  phương trình (1) có dạng:

 t = −1( L )
t 2 + 2 − 3t = 6  

 t = 4 ( tm )

Với t = 4 

x = 2
x 2 + 5 x + 2 = 4  x 2 + 5 x + 2 = 16  
( tm )
 x = −7

Vậy nghiệm của phương trình: x = −7; x = 2
2

Bất phương trình tương đương:

(1 )


 x 2 − x + 12  0
x  7
37



7 − x  0
37  x  13 .
 2
 x  13
2

x

−
x
+
12

7
−
x
(
)

37
Vậy tập nghiệm của BPT:  −; 
13 

2 điểm

Câu 3
Ta có:

1

1
A = sin x.cos3 x − cos x.sin 3 x − sin 4 x + 2019
4
1
A = sin x.cos x ( cos 2 x − sin 2 x ) − sin 4 x + 2019
4
1
1

A = sin 2 x.cos 2 x − sin 4 x + 2019
2
4
1
1
A = sin 4 x − sin 4 x + 2019 = 2019
4
4
Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào x.
Ta có:

cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C =

1 + cos 2 A 1 + cos 2 B
+
+ cos 2 C
2
2

cos 2 A + cos 2 B
+ cos 2 C
2
2 cos ( A + B ) .cos ( A − B )
= 1+
+ cos 2 C
2
= 1 − cos C.cos ( A − B ) + cos 2 C

= 1+
2

= 1 − cos C. cos ( A − B ) + cos C 
1 − 2 cos C.cos

A− B+C
A− B−C
.cos
= 1 − 2 cos A.cos B.cos C
2
2
1,5 điểm

Câu 4
Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I ( 2;3 ) ; R = IA =
1

2

Phương trình đường trịn là: ( x − 2 ) + ( y − 3 ) = 2
2

2

Đường tròn ( C ) : ( x − 1 ) + ( y − 3 ) = 4  Tâm I ( 1;3 ) , bán kính R = 2
2

2

Tiếp tuyến song song với (  ) : 3x − 4 y − 6 = 0 nên tiếp tuyến có dạng:

( d ) : 3x − 4 y + c = 0; c  −6
2

Vì (d) là tiếp tuyến của ( C )  d I ,( d ) = R 

3 − 12 + c
=2
33 + 42

 c = −1
 c = 19 ( tm )


 d : 3x − 4 y + 19 = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là: 
 d : 3x − 4 y − 1 = 0

Câu 5

1,5 điểm


Gọi phương trình chính tắc của ( E ) :

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

 a  b; c = 3

Vì F1 ( − 3;0 )  Ox   2
2
 a − b = 3 (1)
3
1
3

 ( E )  2 + 2 = 1 (2)
Vì M  1;

a
4b
 2 

Từ (1)(2) suy ra : a 2 =

 1 + 3 =1
 4b 2 + 3a 2 = 4a 2b 2
 2
2

a
4
b

 2
2
a = b + 3
 a 2 − b 2 = 3
 b 2 = 1( tm )

 4b 2 + 3 ( b 2 + 3 ) = 4 ( b 2 + 3 ) b 2  
 a 2 = 4 ( tm )
 b2 = − 9 ( L )

4
Vậy phương trình ( E ) :

x2 y 2
+
=1
4
1

Độ dài trục lớn : A1 A2 = 2a = 2.2 = 4
Độ dài trục bé : B1B2 = 2b = 2.1 = 2
1 điểm

Câu 6
3 1
1
Ta chứng minh công thức: sin4 x = − cos2 x + cos 4 x
8 2
8
3 1
1
3 1
1
− cos2 x + cos 4 x = − (1 − 2sin2 x) + (2 cos2 2 x − 1)
8 2
8

8 2
8

1

(

3 1
1
= − + sin2 x + 2 1 − 2sin2 x
8 2
8

)

2


1
1
− 1 = − + sin 2 x + 2(1 − 4sin2 x + 4sin 4 x ) − 1

8
8


1
1
= − + sin2 x + − sin2 x + sin4 x = sin4 x
8

8
Áp dụng:


 3 1
 1

= − cos + cos
16 8 2
8 8
4
3 3 1
3 1
3
sin 4
= − cos
+ cos
16 8 2
8 8
4
5 3 1
5 1
5
sin 4
= − cos
+ cos
16 8 2
8 8
4
7 3 1

7 1
7
sin 4
= − cos
+ cos
16 8 2
8 8
4

sin 4















3
5
7
+ sin 4
+ sin 4

16
16
16
16
3 1

3
5
7  1 

3
5
7 
= −  cos + cos
+ cos
+ cos
+  cos + cos
+ cos
+ cos

2 2
8
8
8
8  8
4
4
4
4 
3

=
2

 S = sin 4

+ sin 4

Xét tam giác ABC có đường phân giác trong AD , đường cao AH .
A

b

c

B

2

H

D a

C

Ta có:

1
A
1
A

SADB + SADC = SABC  SABC = sin . AD. AB + sin . AD. AC
2
2
2
2
1
A
1
A
 SABC = sin . AD. ( AB + AC ) = sin . AD ( b + c )
2
2
2
2
Mà SABC =
Hay

1
1
1
AH .BC  . AD.BC = AD.a
2
2
2

1
A
1
A
a

a
sin . AD ( b + c )  AD.a  sin 

2
2
2
2 b + c 2 bc

Dấu bằng xảy ra khi AD = AH  ABC cân tại A.


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Năm học: 2019-2020
Lớp 10
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 90 phút

Phần I: Trắc nghiệm ( 3 điểm)
Câu 1: Cho biết   x  2 và cos x =
A. sin x = −

5
3

B. sin x =

2
. Tính sin x
3

5
3

C. sin x =

Câu 2: Cho biết cot x = 3 . Tính giá trị biểu thức P =
A. P = −1

B. P = 1

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) :
A. 6

1
3

D. sin x = −

1
3

4cos x − 5sin x
sin x + 2cos x
C. P = −

11
7

D. P =

11
9

x2 y 2
+
= 1 . Tiêu cự của elip ( E ) bằng:
100 64

B. 12

C. 2

D. 4

2
2
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x + y + 4 x − 6 y + 4 = 0 . Tìm tọa độ tâm

I và bán kính R của đường trịn.
C. I ( −2;3) , R = 3

A. I ( 2; −3) , R = 3 B. I ( 2; −3) , R = 9

D. I ( −2;3) , R = 9

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) = 4 và đường thẳng
2

2

 : 4 x − 3 y + m + 1 = 0 ( trong đó m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho
đường thẳng  là tiếp tuyến của đường tròn ( C ) . Tổng các số thuộc tập S bằng:
B. −20

A. 20

D. −24

C. 24

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M ( −1;3) và N ( 3; −5 ) . Phương trình nào dưới đây
là phương trình đường trịn đường kính MN?
A. ( x − 1) + ( y + 1) = 20

B. ( x − 1) + ( y + 1) = 16

C. ( x + 1) + ( y − 1) = 16

D. ( x + 1) + ( y − 1) = 20

2

2

2

2

2

2

2

2

2sin 2 x − 1
Câu 7: Rút gọn biểu thức M =
ta được:
cos x + sin x
A. M = cos x + sin x

B. M = cos x − sin x

C. M = sin x − cos x

D. M = cos x − sin x

Câu 8: Cho a, b 

là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1: sin a + sin b = 2sin

a+b

a −b
.cos
2
2

Mệnh đề 2: sin a − sin b = 2sin

b−a
a+b
.cos
2
2


Mệnh đề 3: cos a + cos b = 2cos

a+b
a+b
b−a
a −b
.cos
.sin
Mệnh đề 4: cos a − cos b = 2sin
2
2
2
2

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 2

B. 1

Câu 9: Cho biết sin x − cos x =
A. sin 2 x = −

8
9

C. 3

D. 4

1
. Tính sin 2x
3

B. sin 2 x = −

2
3

C. sin 2 x =

8
9

D. sin 2 x =

2

3

Câu 10: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 2 + y 2 − 4mx + 2 ( m − 1) y + 6m2 − 5m + 3 = 0
là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy .

m  1
m  2

B. 1  m  2

A. 

 m  −2
 m  −1

C. −2  m  −1

D. 

Câu 11: Cho biết sin x − sin y = 1 và cos x + cos y = 3 . Tính cos ( x + y ) .
A. cos ( x + y ) = 0 B. cos ( x + y ) = −1

C. cos ( x + y ) =

1
2

D. cos ( x + y ) = 1

Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( 3; −1) và B ( 5; −5 ) . Cho biết quỹ tích các điểm

thỏa mãn điều kiện KA2 + KB2 = 20 là một đường trịn có bán kính bằng R . Tìm R
A. R = 3

B. R = 5

C. R = 2

D. R = 5

Phân II: Tự luận (7 điểm)
Câu 1: (2 điểm)
1. Giải phương trình

x2 − 2x + 6 = 2 x − 1

2. Giải bất phương trình

− x 2 + 3x + 4  x + 1 .

Câu 2: (2 điểm)
1. Cho biết


2

    và tan  = −2 . Tính cos và cos 2

2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A.sin B.sin C
Câu 3: (2,5 điểm)
2

2
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x + y − 6 x + 4 y − 12 = 0

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn ( C ) tại điểm A ( −1;1) .
b) Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d : 3x − 4 y − 2 = 0 và cắt đường tròn

( C ) tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8 .

x2
+ y 2 = 1 . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của ( E ) và
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip ( E ) :
4
diểm M  ( E ) sao cho MF1 ⊥ MF2 . Tính MF12 + MF2 2 và diện tích tam giác MF1F2 .


Câu 4: (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A, B, C thỏa mãn điều kiện

A
B
C
+ tan + tan = 3 .
2
2
2

tan

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

--------------- Hết --------------Ghi chú:
-

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

-

Học sinh khơng được sử dụng tài liệu.
HƯỚNG DẪN

Phần I: Trắc nghiệm ( 3 điểm)
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A

B

B

C

D

A

C

A

C

B

D

D

Câu 1: Cho biết   x  2 và cos x =

A. sin x = −

5
3

B. sin x =

2
. Tính sin x
3

5
3

C. sin x =

1
3

D. sin x = −

Hướng dẫn
Chọn A.
Ta có: sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 −

4 5
=
9 9

Vì   x  2  sin x  0  sin x = −

5
5
=−
9
3

Câu 2: Cho biết cot x = 3 . Tính giá trị biểu thức P =
A. P = −1

B. P = 1

4cos x − 5sin x
sin x + 2cos x
C. P = −

11
7

Hướng dẫn
Chọn B.

cot x = 3 

cos x
= 3  cos x = 3sin x
sin x

Khi đó P =

4cos x − 5sin x 4.3sin x − 5sin x 7sin x
=
=
=1
sin x + 2cos x
sin x + 2.3sin x 7sin x

Hoặc chia cả tử số và mẫu số cho sin x :

D. P =

11
9

1
3


cos x
sin x
−5
sin x = 4cot x − 5 = 4.3 − 5 = 1
P = sin x
sin x
cos x
1 + 2cot x 1 + 2.3
+2
sin x
sin x
4

x2 y 2
+
= 1 . Tiêu cự của elip ( E ) bằng:
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) :
100 64
A. 6

B. 12

C. 2

D. 4

Hướng dẫn
Chọn B.
Ta có: c = a 2 − b2 = 100 − 64 = 6  tiêu cự F1F2 = 2c = 12 .
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 4 = 0 . Tìm tọa độ tâm

I và bán kính R của đường tròn.
A. I ( 2; −3) , R = 3 B. I ( 2; −3) , R = 9

D. I ( −2;3) , R = 9

C. I ( −2;3) , R = 3
Hướng dẫn

Chọn C.

( C ) : ( x + 2 ) + ( y − 3)

2

2


 I ( −2;3)
=9

R = 3

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) = 4 và đường thẳng
2

2

 : 4 x − 3 y + m + 1 = 0 ( trong đó m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho
đường thẳng  là tiếp tuyến của đường tròn ( C ) . Tổng các số thuộc tập S bằng:
B. −20

A. 20

D. −24

C. 24
Hướng dẫn

Chọn D.
Để  là tiếp tuyến của ( C )  d ( I ;  ) = R



4.2 − 3. ( −1) + m + 1
42 + ( −3)

2

 m = −2
= 2  m + 12 = 10  
 m = −22

Tổng các giá trị của m là: −2 − 22 = −24
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M ( −1;3) và N ( 3; −5 ) . Phương trình nào dưới đây
là phương trình đường trịn đường kính MN?
A. ( x − 1) + ( y + 1) = 20

B. ( x − 1) + ( y + 1) = 16

C. ( x + 1) + ( y − 1) = 16

D. ( x + 1) + ( y − 1) = 20

2

2

2

2

2

2

Hướng dẫn

2

2


Chọn A.
Tâm I của đường tròn là trung điểm MN, bán kính là

MN
.
2

 I (1; −1)

2
2

3 + 1) + ( −5 − 3)
(
R =
=2 5
2

 ( C ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 20
2

2

Câu 7: Rút gọn biểu thức M =

2sin 2 x − 1
ta được:
cos x + sin x

A. M = cos x + sin x

B. M = cos x − sin x

C. M = sin x − cos x

D. M = cos x − sin x
Hướng dẫn

Chọn C.
Ta có:
2
2
2
2sin 2 x − 1 2sin x − ( sin x + cos x ) sin 2 x − cos 2 x
M=
=
=
cos x + sin x
cos x + sin x
cos x + sin x

( cos x + sin x )( sin x − cos x ) = sin x − cos x
=
cos x + sin x

Câu 8: Cho a, b 

là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1: sin a + sin b = 2sin

a+b
a −b
.cos
2
2

Mệnh đề 3: cos a + cos b = 2cos

Mệnh đề 2: sin a − sin b = 2sin

b−a
a+b
.cos
2
2

a+b
a+b
b−a
a −b

.cos
.sin
Mệnh đề 4: cos a − cos b = 2sin
2
2
2
2

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Hướng dẫn
Chọn A.
Mệnh đề đúng là mệnh đề 1 và 3

Câu 9: Cho biết sin x − cos x =
A. sin 2 x = −

8
9

1
. Tính sin 2x
3

B. sin 2 x = −

2
3

C. sin 2 x =
Hướng dẫn

Chọn C.
Ta có:

8
9

D. sin 2 x =

2
3


1
1
2
 ( sin x − cos x ) =
3
9
1
8
8

 sin 2 x − 2sin x.cos x + cos 2 x =  2sin x.cos x =  sin 2 x =
9
9
9

sin x − cos x =

Câu 10: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 2 + y 2 − 4mx + 2 ( m − 1) y + 6m2 − 5m + 3 = 0
là phương trình của một đường trịn trong mặt phẳng tọa độ Oxy .

m  1
m  2

A. 

 m  −2
 m  −1

C. −2  m  −1

B. 1  m  2

D. 

Hướng dẫn
Chọn B.
Điều kiện để phương trình là phương trình đường trịn:

a 2 + b 2 − c  0  ( 2m ) + ( m − 1) − 6m 2 + 5m − 3  0
2

2

 −m2 + 3m − 2  0  1  m  2
Câu 11: Cho biết sin x − sin y = 1 và cos x + cos y = 3 . Tính cos ( x + y ) .
A. cos ( x + y ) = 0 B. cos ( x + y ) = −1

C. cos ( x + y ) =

1
2

D. cos ( x + y ) = 1

Hướng dẫn
Chọn D.

( sin x − sin y )2 = 1
sin x − sin y = 1
Ta có: 

2
cos x + cos y = 3 ( cos x + cos y ) = 3
2
2

sin x − 2sin x.sin y + sin y = 1
 2
2


cos x + 2cos x.cos y + cos y = 3

Cộng theo vế hai đẳng thức trên:

sin 2 x + cos 2 x + sin 2 y + cos 2 y + 2 ( cos x.cos y − sin x.sin y ) = 4
 ( cos x.cos y − sin x.sin y ) = 1  cos ( x + y ) = 1
Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( 3; −1) và B ( 5; −5 ) . Cho biết quỹ tích các điểm
thỏa mãn điều kiện KA2 + KB2 = 20 là một đường trịn có bán kính bằng R . Tìm R
A. R = 3

B. R = 5

C. R = 2
Hướng dẫn

Chọn D
Gọi K ( x; y ) . Ta có:

D. R = 5


KA2 + KB 2 = 20  ( 3 − x ) + ( −1 − y ) + ( 5 − x ) + ( −5 − y ) = 20
2

2

2

2

 2 x 2 + 2 y 2 − 16 x + 12 y + 40 = 0  x 2 + y 2 − 8 x + 6 y + 20 = 0
 ( x − 4 ) + ( y + 3) = 5  R = 5
2

2

Phân II: Tự luận (7 điểm)
Câu 1: (2 điểm)
1. Giải phương trình

x2 − 2x + 6 = 2 x − 1

2. Giải bất phương trình

− x 2 + 3x + 4  x + 1 .
Hướng dẫn

1. Điều kiện: 2 x − 1  0  x 

1
2

Bình phương hai vế ta được: x2 − 2 x + 6 = 4 x2 − 4 x + 1  3x2 − 2 x − 5 = 0

 x = −1( L )
Vì a − b + c = 0  
. Vậy: ……………
 x = 5 ( tm )

3

2. Điều kiện:

− x 2 + 3x + 4  0
−1  x  4

 −1  x  4

 x  −1
x +1  0
Bình phương hai vế BPT ta được:

 x  −1
− x + 3x + 4  x + 2 x + 1  2 x − x − 3  0  
x  3
2

2

2

2

 x = −1
Kết hợp điều kiện suy ra 
 x   3 ;4 
 2 

Câu 2: (2 điểm)
1. Cho biết


2

    và tan  = −2 . Tính cos và cos 2

2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A.sin B.sin C
Hướng dẫn
Ta có:

Vì


2

1
1
= 1 + tan 2  = 5  cos 2  =
2
cos 
5

     cos   0  cos  = −

5
5

Áp dụng công thức nhân đôi: cos 2 = 2cos 2  − 1 = −

3
5

Câu 3: (2,5 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C ) tại điểm A ( −1;1) .
b) Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d : 3x − 4 y − 2 = 0 và cắt đường tròn

(C )

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8 .
Hướng dẫn

a) Ta có:

I
A

( C ) : ( x − 3) + ( y + 2 )
2

2


 I ( 3; −2 )
.
= 25  

R = 5

Tiếp tuyến đi qua A nhận vecto IA ( −4;3 ) làm vecto pháp tuyến nên phương trình tiếp tuyến là:

−4 ( x + 1) + 3 ( y − 1) = 0  −4 x + 3 y − 7 = 0 .
b) Vì  / / d : 3x − 4 y − 2 = 0  phương trình  : 3x − 4 y + c = 0, c  −2 .

I
5
A

H

4

B

Gọi H là hình chiếu của I lên AB .
Vì  cắt ( C ) tại A, B và AB = 8  BH = 4  IH =

 d ( I , ) = 3 

3.3 − 4.( −2 ) + c
32 + 42

IB 2 − HB 2 = 3

c = −2 ( L )
= 3  c + 17 = 15  
c = −32 ( tm )

Vậy đường thẳng  : 3x − 4 y − 32 = 0

x2
+ y 2 = 1 . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của ( E ) và
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip ( E ) :
4
diểm M  ( E ) sao cho MF1 ⊥ MF2 . Tính MF12 + MF2 2 và diện tích tam giác MF1F2 .


Hướng dẫn

y

M2

M1
F1

O

M4

F2

x

M3

Ta có:

(
(

)

 F1 − 3;0


2
2
.
c = a − b = 3   F2 3;0

 F1F2 = 2c = 2 3


)

Vì MF1F2 vng tại M nên MF12 + MF2 2 = ( F1F2 ) = 12 .
2

Vì MF1F2 vng tại M nên điểm M nằm trên đường tròn tâm O đường kính F1F2 = 2 3
Suy ra M  ( C ) : x 2 + y 2 = 3 .


2 6
 2 8
 x2
x
=
x
=


2

 + y = 1 

3
3
Do đó tọa độ của M thỏa mãn hệ phương trình:  4


 x2 + y 2 = 3
 y2 = 1
y =  3



3
3

Chiều cao kẻ từ M xuống F1 F2 là: h = y =
Diện tích tam giác MF1F2 là: S =

3
3

1
1 3
.h.F1F2 = . .2 3 = 1
2
2 3

Câu 4: (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A, B, C thỏa mãn điều kiện

tan

A
B
C
+ tan + tan = 3 . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
2
2
2
Hướng dẫn


A

 tan 2 = x

B

Đặt  tan = y  x + y + z = 3
2

 C
 tan 2 = z

Các em tự chứng minh đẳng thức: tan

A

B
B
C
A
C
.tan + tan .tan + tan .tan = 1
2
2
2
2
2
2

Suy ra xy + yz + xz = 1

 x + y + z = 3
 xy + yz + xz = 1

Ta có: 

2
2
2
Từ x + y + z = 3  ( x + y + z ) = 3  x + y + z + 2 ( xy + yz + xz ) = 3

Mà xy + yz + xz = 1  x 2 + y 2 + z 2 = 1
Suy ra x2 + y 2 + z 2 = xy + yz + xz  2x 2 + 2 y 2 + 2z 2 − 2xy − 2 yz − 2xz = 0

 ( x − y) + ( y − z) + ( x − z) = 0  x = y = z
2

Hay tan

2

2

A
B
C
= tan = tan  A = B = C = 600
2
2
2


TẬP ĐỀ THI HỌC KÌ II
TRƯỜNG NGUYỄN TẤT THÀNH

QUA CÁC NĂM
TOÁN 10