Tài liệu Lý thuyết thặng dư và ứng dụng ppt

Lý thuyết thặng dư và ứng dụng


Chương 6. Lý thuyết thặng dư và ứng dụng
Nguyễn Thủy Thanh

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 412-514.
Từ khoá: Lý thuyết thặng dư, Chu tuyến đóng, Hàm ngun, Hàm phân hình,
Bài tốn cousin.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.


Chu.o.ng 6
´
L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng
y
e
a
a ´
.
dung
.

6.1

´
’ y

Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du. . . . . . . . . . . . . . 423
e
a
.
-i
6.1.1 D.nh ngh˜ th˘ng du. . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
ıa a
.
6.1.2
6.1.3

-.
´ a
’
’ y
Dinh l´ co. ban cua l´ thuyˆt th˘ng du. . . . . . . . 436
y
e
.

6.1.4
6.2

Phu.o.ng ph´p t´ th˘ng du. . . . . . . . . . . . . . 425
a ınh a
.

´
T´ t´ phˆn theo chu tuyˆn d´ng . . . . . . . . 444
ınh ıch a

e o

´
’ y
Mˆt sˆ u.ng dung cua l´ thuyˆt th˘ng du. . . . . 448
o o´
e
a
. ´
.
.
6.2.1 Phu.o.ng ph´p t´ t´ phˆn . . . . . . . . . . . . 448
a ınh ıch a
2π

6.2.2

T´ t´ phˆn dang I =
ınh ıch a
.

R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ . . . 451
0

+∞

6.2.3

R(x)dx . . . . . . . . . . . 454

T´ phˆn dang I =
ıch a
.
−∞

6.2.4

eiax R(x)dx . . . . . . . . . 459

T´ phˆn dang I =
ıch a
.
R


´
’ y
e
a
6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du.
.
6.2.5

423
R(x)xαdx . . . . . . . . . . 463

T´ phˆn dang I =
ıch a
.
R+

6.2.6
6.2.7
6.3

Mˆt sˆ v´ du kh´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
o o ı .
a
. ´
’
˜
’
T` tˆng cua chuˆ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
ım o
o

H`m nguyˆn v` h`m phˆn h`
a
e
a a
a
ınh . . . . . . . . . .

495

6.3.1

6.3.2

6.4

6.1
6.1.1

´
H`m phˆn h`
a
a ınh. B`i to´n Cousin th´. nhˆt trong
a
a
u
a
’
m˘t ph˘ng ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
a
a
u
.
H`m nguyˆn. B`i to´n Cousin th´. hai trong m˘t
a
e
a
a
u
a
.
.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
’
ph˘ng ph´
a

u

B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a
.

513

´
’ y
Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du.
e
a
.
-.
Dinh ngh˜ th˘ng du.
ıa a
.

’
o
a
e .
u
o .
Tru.´.c khi ph´t biˆu dinh ngh˜ vˆ th˘ng du. ta ch´.ng minh mˆt dinh l´ do.n
ıa ` a
e .
y
.

’
gian sau dˆy
a
-.
’ ’ a
’
Dinh l´ 6.1.1. Gia su. h`m f chınh h` trong v`nh tr`n
y
ınh
a
o
V = {z ∈ C : r < |z − a| < R}
o ı
a
Khi d´ t´ch phˆn
I(ρ) =

f (z)dz,

r<ρ
|z−a|=ρ

khˆng phu thuˆc v`o ρ.
o
o a
.
.
’ ’
a a

Ch´.ng minh. Thˆt vˆy, gia su. r < ρ1 < ρ2 < R v` γ(ρ1 ) = {|z − a| = ρ1 },
u
a
. .
´
´
γ(ρ2) = {|z − a| = ρ2 }. T`. dinh l´ vˆ bˆt biˆn cua t´ch phˆn theo c´c tuyˆn
u .
y ` a
e ´ e ’ ı
a
a
e


´
Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung
y
e
a
a´
.
.

424
`
`
dˆng luˆn suy ra r˘ng
o
a

a

f (z)dz =
γ(ρ1 )

f (z)dx.
γ(ρ2 )

-.
’
´
’ ’ a
’
Dinh ngh˜ 6.1.1. Gia su. h`m f (z) chınh h` tai diˆm a ho˘c c´ bˆt
ıa
e
a o a
ınh .
.
’ ’
o
o a a ı
a o
o
thu.`.ng cˆ lˆp d˘c t´nh do.n tri a. Gia su. γ l` du.`.ng cong d´ng Jordan bao
.
.
.
.o.c dinh hu.´.ng ngu.o.c chiˆu kim dˆng hˆ. Khi d´ t´ch phˆn
’

`
`
`
e
a
o
o
o ı
a
o
e
diˆm z = a v` du . .
.
1
’
´
’ a
f (z)dz du.o.c goi l` th˘ng du. cua h`m f (z) dˆi v´.i diˆm a v` du.o.c k´
o o e
a
.
. a a
.
. y
2πi
γ

hiˆu l`
e a
.

Res [f ; a] =

1
2πi

f (z)dz.

(6.1)

γ

’
´
` .
’
ı
o u
o
Hiˆn nhiˆn chu tuyˆn γ thoa m˜n dinh ngh˜a 6.1.1 bao gi`. c˜ng tˆn tai.
e
e
e
a .
`
’
e
e a
a
ı
Thˆt vˆy, theo diˆu kiˆn d˜ cho h`m f chınh h`nh trong U (ρ) = {0 < |z−a| <

a a
.
. .
.`.ng cong Jordan d´ng bˆt k` thuˆc U (ρ)
’ ´
´
o
o e a
a
o
a y
o
ρ}. Do d´ ta c´ thˆ lˆy γ l` du o
.
.ng bao a, v´ du du.`.ng tr`n γr = {|z − a| = r, r < ρ}.
ı .
o
o
khˆng di qua a nhu
o
’ ´
`
y
a .
y
a
a
o e e
T`. dinh l´ Cauchy v` dinh l´ 6.1.1 suy ra r˘ng th˘ng du. (6.1) c´ thˆ viˆt
u .

.
o .
du.´.i dang
Res [f ; a] =

1
2πi

f (z)dz,

(6.2)

γ(a,r)

´
’ e ’
o
o
a .
o o
trong d´ du.`.ng tr`n γ(a, r) chay theo hu.´.ng du.o.ng v` dai lu.o.ng o. vˆ phai
.
.
’ a
’
e
cua (6.2) khˆng phu thuˆc v`o r v` ho`n to`n du.o.c x´c dinh bo.i d´ng diˆu
o
o a
a a

a
.
. a .
.
.
.o.ng cua h`m f tai diˆm a.
’
’ a
e
dia phu
.
.
-.
’
´
’ ’ a
Dinh ngh˜ 6.1.2. Gia su. h`m f ∈ H{|z| > r} v` z = ∞ l` diˆm bˆt
ıa
a
a
a e
o
o a ’ a
thu.`.ng cˆ lˆp cua h`m f (z). Dai lu.o.ng
.
.
.
Res [f ; ∞] =

1

2πi

f (z)dz
γ − (0,R)


´
’ y
6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du.
e
a
.

425

’
’ a
o
du.o.c goi l` th˘ng du. cua h`m f tai diˆm ∞ trong d´ γ − (0, R) l` du.`.ng tr`n
e
o
a o
. . a a
.
.
−
’ o
o
a a
γ (0, R) = {|z| = R} v´.i b´n k´nh du l´.n du.o.c dinh hu.´.ng sao cho lˆn cˆn

o a ı
. .
.
’m ∞ luˆn luˆn n˘m bˆn tr´i.
`
diˆ
e
o
o a
e
a
’
´
a
Ta c´ thˆ du.a ra dinh ngh˜ ho.p nhˆt sau dˆy vˆ th˘ng du..
o e
ıa .
a ` a
e .
.
-.
’
’
´
’ ’
’
Dinh ngh˜ 6.1.3. Gia su. a ∈ C l` diˆm chınh h`nh ho˘c diˆm bˆt thu.`.ng
ıa
a e
ı

a
e
a
o
.
.n tri cua h`m f . Gi´ tri cua t´ch phˆn cua h`m f theo biˆn cua lˆn
a . ’ ı
a ’ a
e ’ a
cˆ lˆp do
o a
. ’ a
.
’
’ e ’
’ a
e
cˆn du b´ cua diˆm z = a chia cho 2πi du.o.c goi l` th˘ng du. cua h`m f tai
a
.
. a a
.
.
.
’
e
diˆm a.
Theo dinh l´ Cauchy
y
.

Res [f ; a] = 0
’
’
´
’
nˆu h`m f chınh h`nh tai diˆm a v` a ∈ C. Th˘ng du. tai ∞ c´ thˆ kh´c
e a
ı
e
a
a
o e a
.
.
.
1
’
’
’
’ ’
e
e
e
0 khi h`m chınh h`nh tai ∞. Thˆt vˆy, gia su. f (z) = . Hiˆn nhiˆn diˆm
a
ı
a a
.
. .
z

’
’
a
z = ∞ l` khˆng diˆm do.n cua f v`
a o
e
Res [f ; ∞] =

1
2πi

1
dz = −1 = 0.
z
γ − (0,R)

’
’
´
’ o e o a
Nhu. vˆy h`m chı c´ thˆ c´ th˘ng du. = 0 tai diˆm a c´ch gˆc toa dˆ mˆt
a
o . o o
a a
. .
.
.
. e
.u han trong tru.`.ng ho.p khi a thˆt su. l` diˆm bˆt thu.`.ng,
’

´
’
a
o
a . a e
o
khoang c´ch h˜
a
u
.
.
.
’
o o o e o a
a
ı ’
o
trong khi d´ n´ c´ thˆ c´ th˘ng du. = 0 tai ∞ thˆm ch´ ca trong tru.`.ng ho.p
.
.
.
.
’
h`m chınh h`nh tai d´.
a
ı
. o

6.1.2

a ınh a
Phu.o.ng ph´p t´ th˘ng du.
.

´
`
´
Viˆc t´nh th˘ng du. b˘ng c´ch xuˆt ph´t t`. dinh ngh˜a hˆt s´.c ph´.c tap. Co.
e ı
a
ı e u
a
a
a
a u .
u .
.
.
. cho viˆc t´nh to´n th˘ng du. mˆt c´ch thu.c tiˆn l` dinh l´ sau dˆy.
˜ a .
’
o a
e
so
y
a
e ı
a
a
.

.
.
.
-.
’ ’
˜
’ ’ o
Dinh l´ 6.1.2. Gia su. v´.i 0 < |z − a| < ρ h`m f (z) c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i
y
a
o e e
e
o
dang
.
an (z − a)n ,

f (z) =
−∞
(6.3)


´
Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung
y
e
a
a´
.

.

426
Khi d´
o

Res[f ; a] = a−1 .

(6.4)

´
Nˆu khi R < |z| < ∞
e
an z n

f (z) =

(6.5)

−∞
th`
ı
Res[f ; ∞] = −a−1.

(6.6)

´
a y
a

o o
Ch´.ng minh. 1. Trong v`nh tr`n d´ng bˆt k`
u
0 < ρ1

|z − a|

ρ2 < ρ

˜
’
˜
´
chuˆ i (6.3) hˆi tu dˆu nˆn c´ thˆ t´ch phˆn t`.ng sˆ hang chuˆ i (6.3) theo
o
o . `
e e o e ı
a u
o .
o
.
´
’ ’
e
e ıch a
o
o
du.`.ng tr`n γ(r) = {|z − a| = r; ρ1 r ρ2 }. Kˆt qua cua ph´p t´ phˆn
o
d´ cho ta

1
2πi

f (z)dz = a−1 .
γ(r)

u
T`. d´ suy ra (6.4) du.o.c ch´.ng minh.
u o
.
˜
2. V` chuˆ i (6.1.5) hˆi tu dˆu trˆn du.`.ng tr`n
ı
o
o . `
e
e
o
o
.
γ(0, R) = {|z| = R, R > R}
’
˜ o
´
a
nˆn c´ thˆ t´ch phˆn t`.ng sˆ hang chuˆ i d´ theo γ(0, R) v` thu du.o.c
e o e ı
a u
o .
o

.
1
2πi

f (z)dz = −a−1.
γ − (0,R)


´
’ y
6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du.
e
a
.

427

’ ’
V´ du 1. Gia su.
ı .
f (z) =

sin z
·
z6

T´ Res[f ; 0].
ınh
’
’

Giai. V` tai lˆn cˆn diˆm z = 0 ta c´
ı . a a
e
o
.
1
z3 z5
+
−...
z−
z6
3!
5!
1
1
1
+ ...
+
= 5−
z
3!z 3 5!z

f (z) =

1
1
v` Res[f ; 0] = .
a
5!
5!

`
´
a
e
V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng nˆu
ı .
u

nˆn a−1 =
e

f (z) = z · cos

1
z+1

th`
ı
1
Res[f ; −1] = − ·
2
’
Giai. Thˆt vˆy, ta c´
a a
o
. .
f (z) = [(z + 1) − 1] 1 −

1
+ ...

2(z + 1)2

o
v` do d´
a
1
a−1 = − ·
2
’ ’
V´ du 3. Gia su.
ı .
f (z) =
T´ Res[f ; 0].
ınh

1
·
z(1 − e−hz )


´
Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung
y
e
a
a´
.
.

428

1
’
’
a a
Giai. Khi d´ Res[f ; 0] = . Thˆt vˆy, tai lˆn cˆn diˆm z = 0 ta c´
o
e
o
. .
. a a
.
2
1
f (z) =
h2 z 2
+ ...
z 1 − 1 + hz −
2!
1
=
h2 z 3
+ ...
hz 2 −
2!
1
1
= 2+
+ ϕ(z),
hz

2z
’
`
’
’
trong d´ ϕ(z) chınh h` tai diˆm z = 0. T`. d´ suy ra diˆu phai ch´.ng minh.
o
ınh . e
u o
e
u
`
’ ıch
V´ du 4. Ta x´t miˆn D = C \ [0, 1] v` h`m giai t´ trong d´
ı .
e
e
a a
o
F (z) =

8

z
·
1−z

’
’ o
T´ Res[f ; ∞], trong d´ f l` nh´nh chınh h`nh nhˆn gi´ tri du.o.ng o. b`.

ınh
o
a a
ı
a
a .
.
´
trˆn cua nh´t c˘t [0, 1].
e ’
a a
’
`
’
’
Giai. Trong miˆn D h`m F (z) c´ thˆ t´ch th`nh ba nh´nh chınh h`nh.
e
a
o e a
a
a
ı
´
’ ’
’
’ o e ’
Gia su. f (z) l` nh´nh chınh h`nh nhˆn gi´ tri du.o.ng o. b`. trˆn cua nh´t c˘t.
a a
ı
a

a .
a a
.
’
’
˜
e
o
Ta s˜ khai triˆn h`m f (z) th`nh chuˆ i Laurent tai lˆn cˆn diˆm ∞. V´.i
e
e a
a
o
. a a
.
z ∈ D ta c´
o
ϕ
z
ei 3 , ϕ = ϕ1 − ϕ2 ,
f (z) = 8
1−z
`
a
trong d´ ϕ1 = ∆γ arg z, ϕ2 = ∆γ (1 − z), γ ⊂ D l` du.`.ng cong n˘m trong D
o
a o
.i z ∈ D. Khi z = x > 1 ta c´ ϕ1 = 0, ϕ2 = −π. Do d´
´ ’
o

v` nˆi diˆm 0 + i0 v´
a o e
o
o
f (x) =

3

x iπ/3
e ,
x−1

v` f (∞) = lim f (x) = eiπ/3 .
a
x→+∞
’
`
T`. d´ suy ra r˘ng trong lˆn cˆn diˆm z = ∞ ta c´
u o
a
a a
e
o
.
1

iπ/3

f (z) = e

3

1−

iπ/3

1
z

=e

1
1−
z

−1
3

,


´
’ y
6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du.
e
a
.

429

´ a
a
a .
u o ˜ a
trong d´ c˘n th´.c nhˆn gi´ tri 1 tai ∞. T`. d´ dˆ d`ng thˆy r˘ng
o a
u
e
a `
.
.
 
1
− 
iπ/3
 3 (−1)n z −n
f (z) = e
n
n≥0
v`
a

1
−
Res[f ; ∞) = −eiπ/3  3  .
1


’ ’
’

’ a
V´ du 5. Gia su. f (z) l` nh´nh chınh h`nh cua h`m
ı .
a a
ı
F (z) =

1−z
1+z

α

,

α∈R

`
’ a
m` f (0 + i0) = 1 trong miˆn D = C \ [−1, +1]. T´ th˘ng du. cua h`m f (z)
a
e
ınh a
.
’
ı .
tai diˆm ∞ (v´ du 5.3.5).
. e
’
’
˜

’
e
Giai. Ta khai triˆn h`m f (z) th`nh chuˆ i Laurent tai lˆn cˆn diˆm ∞.
e a
a
o
. a a
.
Ta c´
o
f (∞) = lim f (x) = e−iαπ .
x→+∞

´
Tiˆp theo
e
1
z
1
1+
z

−1 +
f (z) =

α

= e−iαπ g(z),

trong d´ ta d˘t

o
a
.
1
z
1
1+
z

1−
g(z) =

α

·


´
Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung
y
e
a
a´
.
.

430

’
’

H`m g(z) chınh h`nh tai diˆm ∞ v` g(∞) = 1
a
ı
a
. e
1 α
z
f (z) =
1
1+
z
α α(α − 1) −2
1− +
z + ...
z
2!
=
α α(α − 1) −2
z + ...
1+ +
z
2!
2α
=1−
+ ...
z
1−

`
a

T`. d´ suy ra r˘ng
u o
f (z) = eiπα 1 −

2α
+ ...
z

v`
a
Res [f ; ∞] = 2αeiαπ .
1−z
’ ’
’
’
V´ du 6. Gia su. f (z) l` nh´nh chınh h`nh cua h`m F (z) = Ln
ı .
m`
a
a a
ı
a
1+z
. cua h`m f (z) tai
`
f (0 + i0) = 0 trong miˆn D = C \ [−1, +1]. T´nh th˘ng du ’ a
e
ı
a
.

.
’m ∞ (v´ du 5.3.6).
diˆ
e
ı .
’
Giai. Ta c´
o
1−z
+ i(ϕ1 − ϕ2)
1+z
ϕ1 = ∆γ arg(1 − z), ϕ2 = ∆γ (1 + z),

f (z) = ln

’
´
´ ’
’ o e ’
o a
e
o
o e
e
a
trong d´ γ l` tuyˆn thuˆc D nˆi diˆm z = 0 + i0 (diˆm 0 o. b`. trˆn cua nh´t
.
’
’
´

e
e
ı
a
c˘t) v´.i diˆm z. Hiˆn nhiˆn khi z = iy, y > 0 th` ϕ1 = −ϕ2, ϕ2 = arctg y v`
a
o e
.i y > 0.
o o
do d´ v´
f (iy) = −2iarcrg y,
v` |1 − iy| = |1 + iy|.
ı


´
’ y
6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du.
e
a
.

431

`
T`. d´ c˜ng r´t ra r˘ng
u o u
u
a
f (∞) = lim f (iy) = −πi.

y→∞

’
o . a a
e
o
Do d´ tai lˆn cˆn diˆm z = ∞ ta c´
.
1
−1 +
z
f (z) = ln
1
1+
z
1
1
− ln 1 +
,
z
z
’
´
’ e ’
’
trong d´ c´c logarit o. vˆ phai chınh h`nh tai lˆn cˆn diˆm ∞ v` b˘ng 0 khi
o a
e
a `
a

ı
. a a
.
z = ∞.
˜ a
´ a
Dˆ d`ng thˆy r˘ng
e
a `
= −πi + ln 1 −

f (z) = −πi −
n 1

1
−
nz n n

= − πi +
n 0

1

(−1)n+1
nz n

2
,
(2n + 1)z 2n+1

1 < |z| < ∞.

v` t`. d´ r´t ra
a u o u
Res[f ; ∞] = +2.
’
˜
´
Trong c´c v´ du trˆn dˆy, viˆc khai triˆn h`m th`nh chuˆ i Laurent du.o.c tiˆn
a ı . e a
e
e a
a
o
e
.
.
.`.ng ho.p ph´p khai
˜ a
´
o
e
h`nh mˆt c´ch dˆ d`ng. Tuy nhiˆn tuyˆt dai da sˆ tru o
a
o a
e
e
e .
.
.

.
’
´
´
e a
a
o a
triˆn d´ du.o.c tiˆn h`nh rˆt kh´ kh˘n.
e o
.
.
’ M BAT THU.O.NG COT YEU. Nˆu diˆm z = a
´
´
´
˘
ˆ
ˆ
`
ˆ
ˆ
’
´
I. THANG DU TAI DIE
e
e
.
.
’
’

´ ´
´
’ a
o
o e ’ a
ı e ı
a
a
l` diˆm bˆt thu.`.ng cˆt yˆu cua h`m f (z) th` dˆ t´nh th˘ng du. cua h`m tai
a e
.
.
. dung cˆng th´.c
’
’
` ım `
diˆm d´ ta cˆn t` phˆn ch´ cua khai triˆn Laurent v` su .
e
o
a
a
ınh ’
e
a ’
o
u
´
´
e
(6.4) nˆu a ∈ C, cˆng th´.c (6.6) nˆu a = ∞.

e
o
u
.
.
’
˘
ˆ
’
o
a .
e
II. THANG DU TAI CU C DIE M. Trong tru.`.ng ho.p khi a l` cu.c diˆm
.
.
.
.
’
’
’
e ınh a
e
o
u
a
cua h`m f , dˆ t´ th˘ng du. tai diˆm a, thay cho cˆng th´.c (6.4) v` (6.6)
a
.
.
. dung khai triˆn Laurent) ta thu.`.ng su. dung nh˜.ng cˆng th´.c s˜ ch´.ng

’
’
’ .
e
o
u
o
u e u
(su .
.´.i dˆy chı cˆn t` dao h`m. Ta x´t c´c tru.`.ng ho.p cu thˆ sau dˆy.
’
’ ` ım . a
a
e a
a
o
minh du o a
.
. e
’
o
e
1. Tru.`.ng ho.p cu.c diˆm do.n
.
.


´
Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung
y

e
a
a´
.
.

432

-.
’
´
’
’
a
ı a
Dinh l´ 6.1.3. Nˆu a l` cu.c diˆm do.n cua h`m f (z) th` th˘ng du. cua f
y
e
a .
e
.
o
u
tai a du.o.c t´nh theo cˆng th´.c
. ı
.
Res[f ; a] = lim(z − a)f (z).
z→a

(6.7)

’
’
’ a
e
e
o .
Ch´.ng minh. Tai lˆn cˆn diˆm a khai triˆn Laurent cua h`m f (z) c´ dang
u
. a a
.
f (z) = a−1 (z − a)−1 +

an (z − a)n
n 0

v` t`. d´ suy ra
a u o
a−1 = lim(z − a)f (z).
z→a

’
’
e ı
a
e
a
o o
u
Nhu. vˆy, dˆ t´nh th˘ng du. tai cu.c diˆm do.n ta c´ cˆng th´.c

.
.
. .
Res[f (z); a] = lim(z − a)f (z).
z→a

ϕ(z)
´
’
, trong d´ ϕ v` ψ l` nh˜.ng h`m
Hˆ qua 6.1.1. Nˆu f (z) =
e
e
o
a
a
u
a
.
ψ(z)
’
`
’
’
chınh h`
ınh tai diˆm a thoa m˜n diˆu kiˆn ϕ(a) = 0, ψ(a) = 0,
e
a
e
e

.
.
ı
ψ (a) = 0 th`
Res[f ; a] =

ϕ(a)
·
ψ (a)

’
’
a a
ı a .
o
e
e u
Ch´.ng minh. Thˆt vˆy, v` a l` cu.c diˆm cua f (z) nˆn t`. (6.7) ta c´
u
. .
(z − a)ϕ(z)
z→a
ψ(z)
ϕ(z)
ϕ(a)
·
= lim
=
z→a ψ(z) − ψ(a)
ψ (a)

z−a

Res[f ; a] = lim

(6.8)


´
’ y
6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du.
e
a
.

433

2n + 1
’
’ a
π, n ∈ Z.
V´ du 7. T` th˘ng du. cua h`m w = tg z tai c´c diˆm zn =
ı .
ım a
. a e
.
2
sin z
’
, cos zn = 0, cos z zn = − sin zn . Do d´ t`. (6.8)
o u

Giai. Ta c´ tg z =
o
cos z
ta c´
o
Res[tg z; zn ] =

sin zn
= −1.
− sin zn

’
o
e
o
o .
y
a
Tru.`.ng ho.p cu.c diˆm bˆi. Ta c´ dinh l´ sau dˆy:
.
.
.
-.
’
´
´
’ a
Dinh l´ 6.1.4. Nˆu a l` cu.c diˆm cˆp m cua h`m f (z) th`
y
e

a .
e
a
ı
1
dm−1
(z − a)m f (z) .
Res[f ; a] =
lim
z→a dz m−1
(m − 1)!

(6.9)

’
´
’ a
e
a
e
ı a .
Ch´.ng minh. V` a l` cu.c diˆm cˆp m cua h`m f (z) nˆn
u
f (z) =

am
a−1
+
+ ··· +
m

(z − a)
z−a n

an (z − a)n
0

v` t`. d´
a u o
(z − a)m f (z) = a−m + a−m+1 (z − a) + · · · + a−1(z − a)m−1
an (z − a)n+m .

+
n 0

’
´
`
´
Lˆy vi phˆn biˆu th´.c (6.10) m − 1 lˆn liˆn tiˆp ta c´
a
a
e
u
a e
e
o
dm−1
[(z − a)m f (z)] = (m − 1)! a−1 + m! a0(z − a) + . . .
dz m−1
’

v` chuyˆn qua gi´.i han khi z → a ta thu du.o.c (6.9).
a
e
o .
.
’ a
V´ du 8. T´ th˘ng du. cua h`m
ı .
ınh a
.
f (z) =
’
´
dˆi v´.i diˆm z = i.
o o e

(z 2

1
+ 1)3

(6.10)


´
Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung
y
e
a
a´

.
.

434

’
’
’
´
’
’ a
Giai. Hiˆn nhiˆn diˆm z = i l` cu.c diˆm cˆp ba cua h`m f (z). Do d´ ap
e
e
e
a .
e
a
o´
o
dung cˆng th´.c (6.9) ta c´
o
u
.
1
d2
1
lim 2 (z − i)3
3 (z + i)3
2! z→i dz

(z − i)
2
d
1
= lim 2 [(z + i)−3 ]
2 z→i dz
1
3
= lim[(−3)(−4)(z + i)−5 ] = − i.
2 z→i
16

Res[f ; i] =

V´ du 9. T´
ı .
ınh
Res

1
;0 .
sin z 2

’
´
’
’ a
Giai. V` z = 0 l` cu.c diˆm cˆp hai cua h`m f (z) nˆn
ı
a .

e
a
e
z2
d
2z sin z 2 − 2z 3 cos z 2
= lim
z→0 dz sin z 2
z→0
sin2 z 2
z6
z4
+ . . . − 2z 3 1 −
+ ...
2z z 2 −
3!
2!
= lim
2
z→0
z6
z2 −
+ ...
3!
2 7
z + ...
= 0.
= lim 3 4
z→0 z + . . .

Res[f ; 0] = lim

.
ˆ `
˘
’
a o
u
o
u
III. THANG DU TAI VO CUNG. Cˆng th´.c (6.6) l` cˆng th´.c co. ban
.
.
. tai diˆm vˆ c`ng
’
’
dˆ t´nh th˘ng du . e
e ı
a
o u
.
Res[f ; ∞] = −a−1.

(20.6)

’
’
o
o ea
e ı

a
Tuy nhiˆn, trong mˆt sˆ tru.`.ng ho.p dˆ t´nh th˘ng du. tai ∞, ta c´ thˆ ´p
e
o o
.
.
.
. ´
.c du.o.c ch´.ng minh trong dinh l´ sau dˆy.
dung cˆng th´
o
u
y
a
u
.
.
.
-.
’
´
’
Dinh l´ 6.1.5. Nˆu h`m f chınh h`nh tai diˆm ∞ th`
y
e a
ı
e
ı
.
Res[f ; ∞] = − lim z[f (z) − a0].

z→∞

(6.11)


´
’ y
6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du.
e
a
.

435

a a
o
o
Ch´.ng minh. Thˆt vˆy, v´.i |z| > R ta c´
u
. .
a−1 a−2
f (z) = a0 +
+ 2 + ...
z
z
a−n
=
+ a0 ⇒ f (z) − a0 =
zn
n≥1

n 1

a−n
·
zn

’
’
´
Nhˆn hai vˆ cua d˘ng th´.c trˆn dˆy v´.i z v` chuyˆn qua gi´.i han khi z → ∞
a
e ’ a
u
e a o
a
e
o .
.o.c (6.11).
ta thu du .
’
´
´
’
’
Hˆ qua 6.1.2. Nˆu ∞ l` khˆng - diˆm cˆp m 1 cua f (z) th` a0 = a−1 =
e
e
a o
e

a
ı
.
a
o
· · · = a−m+1 = 0 v` do d´ Res[f ; ∞] = −a−1 = 0.
.c l` lim f (z) = a0 = 0 th`
´
Nˆu m = 1, t´ a
e
u
ı
z→∞

Res[f (z); ∞] = − lim z · f (z).
z→∞

’ ’
a
V´ du 10. Gia su. cho h`m
ı .
F (z) =

z 1−p (1 − z)p
,
1 + z2

p ∈ R D = C \ [0, 1].

`

’
’
’
e
e
a
ı
a
T´ th˘ng du. tai ∞ cua nh´nh chınh h`nh f (z) thoa m˜n diˆu kiˆn
ınh a
.
.
.
arg(1 − z) = arg z = 0
´
’
a ´
a
o
o a
e
khi z thuˆc b`. trˆn cua nh´t c˘t [0, 1] ⊂ R c`n sau d´ c´c acgumen biˆn
o o e
.
thiˆn liˆn tuc.
e e .
’
’
’
’

’ a
Giai. Hiˆn nhiˆn diˆm z = 0, z = 1 l` diˆm phˆn nh´nh cua h`m da tri
e
e
e
a e
a
a
.
’
`
’
’ ’
F (z) v` trong miˆn D h`m F (z) c´ thˆ t´ch nh´nh chınh h`nh. Gia su. f (z)
a
e
a
o e a
a
ı
’
’
e
e a e
e
e `
a
l` nh´nh thoa m˜n c´c diˆu kiˆn d˜ nˆu. Hiˆn nhiˆn r˘ng
a a
a a `

.
lim f (z) = 0.

z→∞

’
’
` ım
o e ı
o ea
o
u
a
Do d´, dˆ t´nh Res[f ; ∞] ta c´ thˆ ´p dung cˆng th´.c (6.11). Ta cˆn t`
.
a
lim |zf (z)| v` lim arg zf (z).

z→∞

z→∞


´
Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung
y
e
a
a´
.

.

436
Ta c´ a)
o

|z|1−p |1 − z|p
z→∞
|1 + z 2|
1 p
1−
z = 1.
= lim
1
z→∞
1+ 2
z

lim |f (z) · z| = lim |z| ·

z→∞

’
b) T´ lim arg(zf (z)). V` z · f (z) l` h`m chınh h`nh trong D nˆn gi´.i
ınh
ı
a a
ı
e
o

`
’ ’
’ o o
a
o u
han cua n´ khˆng phu thuˆc v`o phu.o.ng dˆn z ra vˆ c`ng. Gia su. z → ∞
o a
.
.
.
.´.ng du.o.ng cua truc thu.c. Ta c´
’
o
theo hu o
.
.
lim arg(z · f (z)) = lim {arg z + (1 − p) arg z + p arg(1 − z) − arg(1 + z 2)}

z→∞

z→∞

= 0 + (1 − p) · 0 + p · (−π) + 0 = −pπ.
a
Nhu. vˆy
.
lim z · f (z) = e−pπi ,

z→∞

`
a
v` t`. d´ suy ra r˘ng
a u o
Res[f ; ∞] = −e−pπi .

6.1.3

-.
´
’
’ y
e
a
Dinh l´ co. ban cua l´ thuyˆt th˘ng du.
y
.

´
’
’ y
e
a
a .
Dinh l´ co. ban cua l´ thuyˆt th˘ng du. l` dinh l´ sau dˆy
y
y
a
.
.

’
-.
’ ’
’ ’
a a .
a
a
u a
Dinh l´ 6.1.6. (Cauchy) Gia su. D l` tˆp ho.p mo. cua m˘t ph˘ng ph´.c v`
y
.
.
.p nh˜.ng diˆm bˆt
’
´
’
o
a a .
e
a
u
f l` h`m chınh h`nh trong D \ {ai}, trong d´ ai l` tˆp ho
a a
ı
.
`
’ ’
’
o
o a ’

a
o
e
a e o
thu.`.ng cˆ lˆp cua h`m f (z). Gia su. Γ l` biˆn c´ hu.´.ng cua miˆn B ⊂ D
.
.`.ng n`o cua f . Khi d´
’
´ `
´
v` gia thiˆt r˘ng Γ khˆng di qua mˆt diˆm bˆt thu o
a ’
e a
o
o e
a
o
a ’
.
.`.ng cua f o. trong B l` h˜.u han.
´
´ ’
’
’
a
a u
1. sˆ diˆm bˆt thu o
o e
.
’ a m˜n hˆ th´.c

2. h`m f (z) tho
a
a e u
.
f (z)dz = 2πi
Γ

Res[f ; ai ],
ai ∈B

(6.12)


´
’ y
6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du.
e
a
.

437

’
’
´ ’ ’
´
´
’
o
trong d´ tˆng o. vˆ phai cua (6.12) du.o.c lˆy theo moi diˆm bˆt thu.`.ng cua

o o ’ e
e
a
. a
.
`
h`m f (z) n˘m trong B.
a
a
Ch´.ng minh.
u
’
’
`
´
e
a
u
y a
a
e
e
a ’ .
1. Diˆu kh˘ng dinh th´. nhˆt cua dinh l´ ho`n to`n hiˆn nhiˆn.
.
.ng minh diˆu kh˘ng dinh th´. hai ta cˆn phˆn biˆt hai tru.`.ng
’
’
`
`

e u
e
a
u
a
a
e
o
2. Dˆ ch´
.
.
ho.p
.
’
’
´
e
ı e
o
o
e
o
u
a
Tru.`.ng ho.p th´. nhˆt. Diˆm ∞ ∈ B. V` diˆm ∞ khˆng thuˆc B nˆn B
.
.
. Si l` nh˜.ng h`nh tr`n d´ng v´.i tˆm tai mˆ i diˆm bˆt
’
˜

´
’ ’
l` miˆn cua C. Gia su
a ` ’
e
a u
o a
a
ı
o o
o e
.
◦
´ a
’
thu.`.ng ai (∈ B): Si = {|z − ai | ri , ri > 0}. Ta gia thiˆt r˘ng ri du.o.c chon
e `
o
.
.
’ e
du b´ sao cho:
◦
a) S i ⊂ B, ∀ i; b) Si ∩ Sj = ∅, i = j.
’ ’
´
o
a e ’
ı
o

Gia su. γi l` biˆn cua h`nh tr`n Si tu.o.ng u.ng chay theo hu.´.ng du.o.ng.
.
Ta k´ hiˆu
y e
.
◦

B∗ = B \

Si ,
i

◦

’
`
’
trong d´ S i l` phˆn trong cua Si . Hiˆn nhiˆn B ∗ c˜ng l` mˆt miˆn. Biˆn
o
a `
a
e
e
u
a o
e
e
.
∗
’

ınh a e
u
ı
e o
o
a a
o
o
∂B ch´ l` hiˆu gi˜.a biˆn c´ hu.´.ng Γ cua B v` c´c du.`.ng tr`n γi . V`
.
∗
e
f ∈ H(B ) nˆn
f (z)dz =

f (z)dz.
i

Γ

(6.13)

γi

a
a u
o
Nhu.ng m˘t kh´c t`. (6.2) ta c´
.
f (z)dz = 2πiRes[f ; ai].

γi

´ ’
Thˆ biˆu th´.c n`y v`o (6.13) ta thu du.o.c hˆ th´.c (6.12).
e e
u a a
. e u
.
.`.ng ho.p th´. hai. Diˆm ∞ ∈ B. Gia su. U (∞, r) = {z ∈ C : |z| r}
’
’ ’
Tru o
e
u
.
’
’
’
’
e
a . o a
ı
o e u
e
ı
l` lˆn cˆn diˆm ∞ m` tai d´ h`m f (z) chınh h`nh (c´ thˆ tr`. ra ch´nh diˆm
a a a
.
z = ∞) v` gia su. ∂U (∞, r) ∩ Γ = ∅.
a ’ ’

´
Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung
y
e
a
a´
.
.

438
Ta k´ hiˆu:
y e
.

B(r) = B \ {|z| > r}.
’
’
’
Biˆn c´ hu.´.ng cua B(r) l` tˆng biˆn c´ hu.´.ng Γ cua B v` du.`.ng tr`n
e o
o
a o
e o
o
a o
o
.´.ng du.o.ng. V` miˆn B(r) khˆng ch´.a diˆm ∞ nˆn
’

{|z| = r} chay theo hu o
e
e
ı `
e
o
u
.
o
t`. tru.`.ng ho.p I suy ra
u
.
f (z)dz +
Γ

f (z)dz = 2πi

Res[f ; ai],

(6.14)

i

{|z|=r}

’ ’ e
’
´ ’ ’
´
´

o o
e
a
o
trong d´ tˆng o. vˆ phai cua (6.14) du.o.c lˆy theo moi diˆm bˆt thu.`.ng ai
. a
.
. ra diˆm ∞. Nhu.ng theo dinh ngh˜a 6.1.2 ta c´
’
`
`
’
cua f n˘m trong miˆn B tr`
a
e
u
e
ı
o
.
f (z)dz = −2πiRes[f ; ∞],
{|z|=r}

`
a
v` t`. (6.14) suy ra r˘ng
a u
f (z)dz = 2πi
Γ

Res[f ; ai] + Res[f ; ∞] .
i

’
’
’
D´ ch´ l` d˘ng th´.c (6.2) v` diˆm ∞ c˜ng l` mˆt trong c´c diˆm ai .
o ınh a a
u
u
a o
a
e
ı e
.
’
’
Nhˆn x´t 6.1.1. Cˆng th´.c t´ch phˆn co. ban th´. hai cua Cauchy l` nˆn tang
a e
o
u ı
a
u
a ` ’
e
.
’
’
´
’

e a
e a e
a o y
e a
ı
a a
dˆ xˆy du.ng to`n bˆ l´ thuyˆt h`m chınh h`nh m` d˘c biˆt l` dˆ thu du.o.c
.
.
.
.
.
.. Nhu.ng cˆng th´.c d´ lai l`
’
’
o e ı
a
o
u o . a
khai triˆn Laurent v` do d´ dˆ t´nh th˘ng du
e
a
.
. ban cua Cauchy vˆ l´ thuyˆt th˘ng du.. Thˆt vˆy,
´ a
` y
’
e
e
a a

y
mˆt hˆ qua cua dinh l´ co ’
o e ’ ’ .
.
. .
. .
´i v´.i h`m f ∈ H(D), h`m
dˆ o a
o
a
z→

f (z)
z−a

’
’
’
´
’
nhˆn diˆm a l` diˆm bˆt thu.`.ng c´ thˆ c´. Th˘ng du. cua h`m n`y tai a
a
e
a e
a
o
o e o
a
a
a .

.
.
’
’
’
’
`
´
’ o e a e
’
ı
a .
e
b˘ng f (a). Thˆt thˆ, diˆm a chı c´ thˆ l` diˆm chınh h`nh ho˘c cu.c diˆm
a
a
e e
.
.
f (z)
’
´
’
’ .
v` nˆu ta su. dung khai triˆn
a e
e
do.n cua
z−a
f (z) = f (a) + f (a)(z − a) + . . .

´
’ y
6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du.
e
a
.
th` hˆ sˆ cua
ı e o ’
. ´

439

1
s˜ l` f (a). Do d´
e a
o
z−a
f (z)
f (z)
dz = Res
; a = f (a).
z−a
z−a

1
2πi
∂D

Dinh l´ 6.1.6 c´ y ngh˜ to l´.n vˆ m˘t nguyˆn t˘c v` n´ du.a viˆc t´
y
o ´
ıa
o ` a
e .
e ´ ı o
a
e ınh
.
.
.o.ng c´ t´ chˆt to`n cuc - t´ch phˆn cua h`m chınh h`nh theo
´
’
’
o ınh a
a
ı
a
a
ı
mˆt dai lu .
o .
.
.
`
` ı
´
’ a miˆn - vˆ t´nh nh˜.ng dai lu.o.ng c´ t´nh chˆt dia phu.o.ng - th˘ng du.
o ı

a .
a
biˆn cu
e
e
e
u
.
.
.
’m bˆt thu.`.ng.
´
’ a
cua h`m tai c´c diˆ
e
a
o
. a
’
’
’
’ ’ a
u
ı
a
a
a
Hˆ qua 6.1.3. Gia su. h`m f chınh h`nh trong to`n m˘t ph˘ng C tr`. ra
e
.

.
.u han) c´c diˆm bˆt thu.`.ng cˆ lˆp. Khi d´ tˆng c´c th˘ng du. tai
’
’
´
e
a
o o
a
a
a
o
o a
(mˆt sˆ h˜ .
o o u
.
.
.
. ´
’ ´
’
’
e a
e ’ e
a `
a
c´c diˆm ˆy (kˆ ca diˆm ∞) l` b˘ng 0.
a
’
´

`
´
´
´
a
o e
a e a
o a e
o
o a
e
Ch´.ng minh. Tru.´.c hˆt ta nhˆn x´t r˘ng sˆ c´c diˆm bˆt thu.`.ng cˆ lˆp (nˆu
u
.
.
.`.ng khˆng cˆ lˆp) khˆng thˆ b˘ng ∞ v` trong
’
’ `
´
a
o
o a
o
e a
ı
h`m khˆng c´ diˆm bˆt thu o
a
o
o e
.

’
’
´
´
o e `
o .
e
e
a
o
a
o
a
tru.`.ng ho.p d´ s˜ tˆn tai diˆm tu dˆi v´.i tˆp ho.p c´c diˆm bˆt thu.`.ng v`
. o o a
.
.
.
.`.ng nhu.ng khˆng cˆ lˆp.
’
’
´
o
o a
diˆm d´ l` diˆm bˆt thu o
e
o a e
a
.
. gia su. a l` diˆm h˜.u han t`y y m` tai d´ f chınh h`nh. Ta bao

’
’
u ´ a . o
Bˆy gi` ’ ’
a
o
u
ı
a e
.
’
’ e
’
e
o
o
o
o a
a a ı
diˆm a bo.i mˆt du.`.ng tr`n γ(a, ε) v´.i tˆm a v` b´n k´nh du b´ ε sao cho f
.
.`.ng tr`n γ(a, ε) chia m˘t ph˘ng
’
’
o
a
a
chınh h` trong S(a, ε) = {|z − a| ε}. Du o
ınh
.

∞ ´
`
`
th`nh hai miˆn: miˆn bi ch˘n D = S(a, ε) v` miˆn khˆng bi ch˘n D . Ap
a
e
e . a
a `
e
o
.
. a
.
. dˆi v´.i D∞ ta thu du.o.c
´
y a
dung dinh l´ th˘ng du o o
.
.
.
.
f (z)dz = 2πi

Res[f ; .].
C

γ(a,ε)

`
y ıch a

a
e
o
M˘t kh´c, theo dinh l´ t´ phˆn Cauchy (´p dung cho miˆn D) ta c´
a
a
.
.
.
f (z)dz = 0.
γ(a,ε)

T`. d´ suy ra
u o
Res[f ; .] = 0.
C

(6.15)


´
Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung
y
e
a
a´
.
.

440

u
a o
u
Dinh l´ Cauchy v`.a ch´.ng minh l` mˆt trong nh˜.ng dinh l´ quan trong
y
u
y
.
.
.
.
´ a
´
´t cua l´ thuyˆt h`m biˆn ph´.c. Dinh l´ d´ chı d´ng trong tru.`.ng ho.p
’ u
’ y
o
y o
nhˆ
a
e
e
u
.
.
’m bˆt thu.`.ng. Ta s˜ kh´i qu´t dinh
´
khi trˆn biˆn Γ h`m f (z) khˆng c´ diˆ
e

e
a
o
o e
a
o
e a
a .
.`.ng ho.p khi h`m f (z) c´ cu.c diˆm do.n trˆn biˆn Γ.
’
e
a
o .
e
e
l´ 6.1.6 cho tru o
y
.
’
´
’
’ ’ a
e
a
ınh
u
o o u
Gia su. h`m f (z) chınh h` trong Γ tr`. ra mˆt sˆ h˜.u han diˆm bˆt
. ´
.

o
o a
thu.`.ng cˆ lˆp
.
α1, α2 , . . . , αn ,
’
´
o o u
o
o a
v` chınh h`nh trˆn Γ tr`. ra mˆt sˆ h˜.u han diˆm bˆt thu.`.ng cˆ lˆp
a ’
ı
e
u
e
a
. ´
.
.
a1, a2, . . . , am.
´
a
o
o
Lˆy a1, a2, . . . , am l`m tˆm ta du.ng c´c du.`.ng tr`n γ1 , γ2 , . . . , γm v´.i b´n
a
a a
o a
.

˜
’
’ e
’ ´
k´nh ε du b´ sao cho mˆ i du.`.ng tr`n γk , k = 1, . . . , m chı c˘t Γ tai hai diˆm.
ı
o
a
e
o
o
.
Ta k´ hiˆu
y e
.
γ(ak , ε) = Γ ∩ {|z − ak |

ε},

k = 1, 2, . . . , m;

m

Γ(ε) = Γ \

γ(ak , ε).
k=1

Ta c´ dinh ngh˜ sau
o .

ıa
-.
’ ı
a
Dinh ngh˜ 6.1.4. Gi´.i han cua t´ch phˆn
ıa
o .
I(ε) =

f (z)dz,
Γ(ε)

khi ε → 0 du.o.c goi l` gi´ tri ch´ cua t´ch phˆn I =
a
. . a a . ınh ’ ı

f (z)dz theo Cauchy
Γ

v` k´ hiˆu l`
a y e a
.
f (z)dz = lim

v.p.
Γ

ε→0
Γ(ε)

f (z)dz,

´
’ a u e
o
a
u
a
e
u a `
a
(trong d´ v.p. l` nh˜.ng ch˜. c´i dˆu tiˆn cua c´c t`. tiˆng Ph´p Valeurprincipal - c´ ngh˜ l` “gi´ tri ch´
o
ıa a
a . ınh”).


´
’ y
6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du.
e
a
.

441

-.
’
’ ’
’ ’

Dinh l´ 6.1.7. Gia su. D l` tˆp ho.p mo. cua m˘t ph˘ng C v` f l` h`m
y
a
a a
a a .
a
a
.
.
’
´
’
u
o
o
o
a a .
e
a
chınh h` trong D \ {ai}, trong d´ ai l` tˆp ho.p nh˜.ng diˆm bˆt thu.`.ng cˆ
ınh
.
. trˆn biˆn tro.n Γ cua miˆn D ⊂ D h`m f chı c´ mˆt sˆ
`
’ ’
’
’ o o o
lˆp cua f . Gia su e
a ’
e

e
a
.
. ´
.u han cu.c diˆm do.n a1 , a2, . . . , am .
’
e
h˜
u
.
.
` . a
o a . ınh ’ ı
a
o
o
Khi d´ gi´ tri ch´ cua t´ch phˆn fdz tˆn tai v` du.o.c t´nh theo cˆng
. ı
Γ

th´.c
u
f (z)dz = 2πi

v.p.

Res[f ; ai] +
ai ∈D

Γ

1
2a

Res[f ; ak ]

(6.16)

k ∈Γ

’
`
´
´
o
du.o.c lˆy theo moi diˆm bˆt thu.`.ng ai n˘m trong D, c`n
e
a
a
o
. a
.

’
o o
trong d´ tˆng
ai ∈D

’
’

´
´
’ e ’
tˆng th´. hai o. vˆ phai (6.16) du.o.c lˆy theo moi cu.c diˆm ak ∈ Γ.
o
u
e
. a
. .
’ .
’
´
e e
ınh a
y e a
e
a
o
o a ’
Ch´.ng minh. Dˆ tiˆn tr` b`y ta k´ hiˆu c´c diˆm bˆt thu.`.ng cˆ lˆp cua
u
.
.
◦

f trong D l`
a
α1 , α2 , . . . , αn
’
’

’ e
(mˆt sˆ h˜.u han diˆm !). Ta s˜ chon ε du b´ sao cho c´c diˆm α1 , α2 , . . . , αn
o o u
e
e .
a
e
.
. ´
.`.ng tr`n γk , k = 1, 2, . . . , m, trong d´
`
khˆng n˘m trˆn c´c du o
o
a
e a
o
o
γk = |z − ak | = ε},

k = 1, 2, . . . , m

’ ’
Gia su.
γ(ak , ε) = D ∩ γk ,
o a
a
l` cung tr`n chay theo hu.´.ng ˆm, v`
a
o
.

m

γ(ak , ε) .

Γ(ε) = Γ(ε) ∪
k=1

’
`
’
Nhu. vˆy Γ(ε) l` biˆn cua miˆn D∗ n`o d´ v` hiˆn nhiˆn trˆn Γ(ε) h`m f
a o a e
e
e
a
a
a e
e
.
’
` a
´
’ ’
o
a ´
e .
a
y
khˆng c´ diˆm bˆt thu.`.ng n`o. Ap dung dinh l´ co. ban cua Cauchy vˆ th˘ng
o

o e
.
.


´
Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung
y
e
a
a´
.
.

442

e
a a
o
du. cho D∗ v´.i biˆn Γ(ε) v` h`m f ta c´
o
m

fdz =

f (z)dz +
Γ(ε)

Γ(ε)

f (z)dz
k=1

γ(ak ,ε)

n

= 2πi

Res[f ; αk ],
k=1

v` do d´
a
o
n

f (z)dz = 2πi

m

Res[f ; αk ] +
k=1

Γ(ε)

f (z)dz,
k=1

(6.17)

γ(ak ,ε)+

trong d´ γ(ak , ε)+ l` nh˜.ng cung tr`n chay theo hu.´.ng du.o.ng. V`
o
a
u
o
o
ı
.
.c diˆm do.n cua h`m f nˆn tai lˆn cˆn c´c diˆm ˆy, h`m
’
’ ´
’
a .
e
e a
a
a
e . a a a
a1 , a2, . . . , am l` cu
.
’ ’
˜
o .
f c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang
o e e
e
f (z) =

c−1,k
+ ϕk (z),
z − ak

k = 1, 2, . . . , m,

’
’
’
o
a `
a
ı
e
o
trong d´ ϕk (z) l` phˆn chınh h`nh cua f tai lˆn cˆn diˆm ak . Do d´
. a a
.
dz
+
z − ak

f (z)dz = c−1,k
γ(ak ,ε)+

γ(ak ,ε)+

ϕk (z)dz = I1 + I2.

γ(ak ,ε)+

´
R˜ r`ng l` khi ε → 0 th` hai c´t tuyˆn ak t2
o a
a
ı
a
e
´
´
` o . ı ’
e
e
v` ak t1 (h`nh VI.1) dˆn t´.i vi tr´ cua tiˆp tuyˆn
a
ı
a
.i Γ tai diˆm ak v` do d´
’
v´
o
a
o
. e
a
lim(ϕ2 − ϕ1 ) = π, v`

ε→0

lim I = lim

ε→0

ε→0
γ(ak ,ε)

dz
z − ak

= lim i(ϕ2 − ϕ1 ) = πi; (z − ak = εeiϕ ).
ε→0

’
e
Bˆy gi`. ta x´t I2 . V` ϕk (z) chınh h` tai lˆn
a
o
ı
ınh . a
.i ε du b´ ta c´
’
’ e
e
e o
o
cˆn cua diˆm ak nˆn v´
a ’
.

H` VI.1
ınh


´
’ y
6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du.
e
a
.

443

ϕ2

|I2| =

ϕk (ak + εeiϕ )iεeiϕdϕ

ϕk (z)dz =
γ(ak ,ε)+

ϕ1

Mε(ϕ2 − ϕ1 ),
M=

|ϕk (z) .

sup

z∈γ(ak ,ε)+

a
Nhu. vˆy
.
lim

ε→0
γ(ak ,ε)+

f (z)dz = c−1,k πi = πiRes[f ; ak ].

´ ’
o
Thˆ d˘ng th´.c v`.a thu du.o.c v`o (6.17) ta c´
e a
u u
. a
n

lim

ε→0
Γ(ε)

m

f (z)dz = 2πi

Res[f ; αk ] + πi

k=1
n

1
.+
= 2πi
2
k=1

Res[f ; ak ]
k=1

m

. .
k=1

’
´ e
´
Nhˆn x´t 6.1.2. 1. Nˆu trˆn Γ h`m f khˆng c´ diˆm bˆt thu.`.ng th` t`. (6.16)
a e
e
a
o
o e
a
o
ı u
.

.o.c (6.12) t´.c l` dinh l´ co. ban cua l´ thuyˆt th˘ng du..
´
’
’ y
y
u a .
e
a
ta thu du .
.
`
´u thay diˆu kiˆn tro.n cua Γ b˘ng diˆu kiˆn tro.n t`.ng kh´c v` gia
`
`
’
a
u
u a ’
e
e
e
e
2. Nˆ
e
.
.
. g´c gi˜.a c´c tiˆp tuyˆn tai mˆ i diˆm g´c l` δk , k = 1, 2, . . . , m, ta c´
’
˜
´

´
’
su o
o a
o
u a e
e .
o e
lim

ε→0
γ(ak ,ε)

f (z)dz = δk iRes[f ; ak ],

o
v` do d´
a
n

v.p.

f (z)dz = 2πi
Γ

k=1

1
Res[f ; αk ] +
2π

m

δk Res[f ; ak ] .
k=1


´
Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung
y
e
a
a´
.
.

444

6.1.4

´ o
T´ t´ phˆn theo chu tuyˆn d´ng
ınh ıch
a
e

´
`
Ta x´t mˆt sˆ v´ du t´ t´ch phˆn theo chu tuyˆn d´ng b˘ng c´ch ´p dung
e

o o ı . ınh ı
a
e o
a
a a
. ´
.
.. Trong c´c v´ du n`y chu tuyˆn t´ phˆn γ du.o.c dinh hu.´.ng sao
´ ıch a
th˘ng du
a
a ı . a
e
o
.
. .
. bˆn tr´i.
’
a
cho khi v`ng quanh theo γ th` phˆn trong cua γ luˆn luˆn o e
o
ı `
a
o
o ’
’ ’
V´ du 11. Gia su.
ı .
f (z) = (2z − 1) cos

z
·
z−1

o
Khi d´
f (z)dz = 2πiRes[f ; 1].

I=
{|z|=2}

’
’
’
e
a e
H`m f (z) chınh h`nh trong h`nh tr`n {|z| < 2} tr`. ra diˆm z = 1 l` diˆm
a
ı
ı
o
u
.`.ng cˆt yˆu cua f (z). Ta c´
´ ´
´
o e ’
o
bˆt thu o
a
cos

1
z
= cos 1 +
z−1
z−1
1
1
− sin 1 sin
= cos 1 · cos
z−1
z−1
1
= cos 1 · 1 −
+ ... −
2(z − 1)2
1
1
− sin 1 ·
−
+ ... ;
z − 1 3!(z − 1)3

2z − 1 = 2(z − 1) − 1
˜
`
’
v` t`. d´ hˆ sˆ a−1 (f ) cua chuˆ i Laurent h`m f b˘ng
a u o e o
o

a
a
. ´
a−1(f ) = −(cos 1 + sin 1).
o
Do d´
I = −2πi(cos 1 + sin 1).
V´ du 12. T´ t´ phˆn
ı .
ınh ıch a
I=

1
2πi

dz
√
,
(z 4 + 1) z 2 + 1
Γ

√
( 1 = 1),