Giáo án về phương pháp giải toán mạch cầu môn vật lý lớp 9

Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS

PHẦN I:

MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
Việc phân loại và xây dựng phương pháp giải bài tập vật lý bao giờ cũng là vấn đề khó khăn
đối với tất cả những giáo viên dạy môn Vật lý. Song đây là cơng việc nhất thiết phải làm thì mới
mang lại hiệu quả cao trong quá trình dạy học.
Bài tập về mạch cầu là nột nội dung rất rộng và khó. Bởi lý do các phương pháp để giải loại
bài tập này đòi hỏi phải vận dụng một lượng kiến thức tổng hợp và nâng cao. Đối với học sinh thì
việc nắm được những bài tập như vậy là rất khó khăn. Tơi nghĩ rằng để học sinh có thể hiểu một
cách sâu sắc và hệ thống từng loại bài tập thì nhất thiết trong quá trình giảng dạy giáo viên phải
phân loại các dạng bài tập và xây dựng các phương pháp giải cụ thể cho từng loại bài. Đặc biệt đối
với các bài tập về mạch cầu, đây không chỉ là nội dung quan trọng trong chuyên đề bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 9 mà các bài tập này sẽ được tiếp tục nghiên cứu trong chương trình Vật lý 11 và 12.
Do đó đây chính là nề tảng vững chắc để các em có thể học tốt môn vật lý ở các lớp trên.
Chuyên đề này sẽ khơng chỉ giúp học sinh có một hệ thống phương pháp giải bài tập mà
quan trọng hơn là các em nắm được bản chất vật lý và các mối quan hệ của các đại lượng vật lý
( U,I,R) trong mạch cầu điện trở.
II. PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH CỦA CHUYÊN ĐỀ
1. Phạm vi của chuyên đề.
- Nghiên cứu về lý thuyết mạch cầu , phân loại mạch cầu, các phương pháp giải bài toán mạch cầu
điện trở , những bài tập về mạch cầu điện trở.
- Áp dụng cho học sinh khá giỏi lớp 9 THCS.
2. Mục đích của chuyên đề.
- Trao đổi với giáo viên và học sinh về phương pháp giải bài toán mạch cầu.
- Giúp học sinh hiểu và nắm được các phương pháp giải toán mạch cầu và giải được các bài toán
mạch cầu trong chương trình vật lý THCS.
- Cung cấp tài liệu cho giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 để tích lũy thêm kinh nghiêm, kiến

thức bỗi dưỡng học sinh
- Cung cấp tài liệu cho học sinh lớp 9 để học sinh tham khảo, tự học và giải các bài tập về mạch cầu
điện trở.

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 1


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS

PHẦN II:

NỘI DUNG

I. KHÁI QUÁT VỀ MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ.
- Mạch cầu là mạch dùng phổ biến trong các phép đo chính xác ở phịng thí nghiệm điện.
- Mạch cầu được vẽ như (H - 0.a) và (H - 0.b)

- Các điện trở R1, R2, R3, R4 gọi là các cạnh của mạch cầu điện trở, R 5 có vai trò khác biệt gọi là
đường chéo của mạch cầu (người ta khơng tính thêm đường chéo nối giữa A – B. Vì nếu có thì ta
coi đường chéo đó mắc song song với mạch cầu).
- Mạch cầu có thể phân thành 2 loại: Mạch cầu cân bằng và mạch cầu không cân bằng.
1. Mạch cầu cân bằng :
- Nếu mạch cầu điện trở có dịng I5 = 0 và U5 = 0 thì bốn điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ
lệ thức:

R1 R 2

 n (n là hằng số) ( * ) (Với bất kỳ giá trị nào của R5.).

R3 R 4

Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định được điện trở còn lại.
Biểu thức (*) là điều kiện cân bằng của mạch cầu
- Ngược lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức trên, ta có mạch cầu cân
bằng và do đó I5 = 0 và U5 = 0
Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tương đương của mạch luôn được xác định và không phụ thuộc
vào giá trị của điện trở R5 . Đồng thời các đại lượng hiệu điện thế và cường độ dịng điện khơng phụ
thuộc vào điện trở R5. Lúc đó có thể coi mạch điện khơng có điện trở R 5 và bài tốn được giải bình
thường theo định luật Ôm.

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 2


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
2. Mạch cầu không cân bằng: được phân làm 2 loại:
- Loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng khơng ( mạch cầu khuyết) (ví dụ một trong 5 điện trở
đó bị nối tắt, hoặc thay vào đó là một ampe kế có điện trở bằng khơng ) . Khi gặp loại bài tập này ta
có thể chuyển mạch về dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải.
- Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì khơng thể giải được nếu ta chỉ áp
dụng định luật Ôm, loại bài tập này được giải bằng phương pháp đặc biệt ( Trình bày ở mục II.2)
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MẠCH CẦU.
1. Mạch cầu cân bằng và mạch cầu khuyết: Có thể chuyển mạch cầu đó về mạch điện quen thuộc
(gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song). Khi đó ta áp dụng định luật Ơm để giải bài toán này
một cách đơn giản.
2. Mạch cầu tổng quát không cân bằng được giải bằng các phương pháp sau:
a. Phương pháp chuyển mạch:
Muốn sử dụng phương pháp này trước hết ta phải nắm được công thức chuyển mạch (chuyển từ

mạch sao thành mạch tam giác và ngược lại từ mạch tam giác thành mạch sao). Công thức chuyển
mạch - Định lý Kennơli.)
Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện được tạo thành từ ba điện trở.
(H2.1a mạch tam giác ()
H2.1b - Mạch sao (Y)

- Với các giá trị thích hợp của điện trở có thể thay thế mạch này bằng mạch kia, khi đó hai mạch
tương đương nhau. Cơng thức tính điện trở của mạch này theo mạch kia khi chúng tương đương
nhau như sau:
* Chuyển từ mạch ( ) R1, R2, R3 → mạch (Y) R’1, R’2, R’3
R 1' 

R 2 .R 3
R1  R 2  R 3

(1)

R 3' 

R 1.R 2
R1  R 2  R 3

(3)

;

R '2 

R1.R 3
R1  R 2  R 3

(2)

( Ở đây R’1, R’2, R’3 lần lượt ở vị trí đối diện với R1,R2, R3 )

* Chuyển từ mạch (Y) R’1, R’2, R’3→ mạch ( )R1, R2, R3

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 3


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
R1 

R1' .R '2  R '2 .R 3'  R1' .R 3'
R 1'

R1' .R '2  R '2 .R 3'  R1' .R 3'
R2 
R '2

(5)

R 1' .R '2  R '2 .R 3'  R 1' .R 3'
R 3'

(6)

R3 

(4)

* Chẳng hạn chuyển mạch tam giác R1 , R3 , R5 thành mạch sao R’1 , R’3 , R’5 ta được sơ đồ mạch
điện tương đương H2.3b (Lúc đó các giá trị R AB, I1, I4, I, U2, U4,UCD vẫn không đổi). Các điện trở
R’1 , R’3 , R’5 được tính theo cơng thức : (1); (2) và (3)

* Chuyển mạch sao R1, R2 , R5 thành mạch tam giác R’1, R’2 , R’5 (H2.2b ). Trong đó các điện trở
R’1, R’2, R’3 được xác định theo công thức (4), (5) và(6).
* Các bước tiến hành giải như sau:
Bước 1: Vẽ sơ đồ mạch điện mới.
Bước 2: Tính các giá trị điện trở mới (sao R’1 , R’3 , R’5)
Bước 3: Tính điện trở tương đương của mạch
Bước 4: Tính các đại lượng đề bài yêu cầu
2. Phương pháp dùng công thức định luật ôm
* Lập hệ phương trình có ẩn số là dịng điện hoặc hiệu điện thế (Chẳng hạn chọn I 1 hoặc U1
làm ẩn số)
Bước 1: Chọn chiều dòng điện trên sơ đồ
Bước 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn số (I 1)
hoặc (U1) đã chọn (ta được các phương trình với ẩn số I1 hoặc U1).
Bước 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng của đầu bài yêu cầu.
Bước 4: Từ các kết quả vừa tìm được, kiểm tra lại chiều dịng điện đã chọn ở bước 1
+ Nếu tìm được I > 0, giữ nguyên chiều đã chọn.
+ Nếu tìm được I < 0, đảo ngược chiều đã chọn.

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 4

Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
3. Phương pháp chọn gốc điện thế.
Bước 1: Chọn chiều dịng điện trong mạch
Bước 2: Lập phương trình về cường độ dòng điện tại các nút (Nút C và D)
Bước 3: Dùng định luật ôm, biến đổi các phương trình về VC, VD theo VA, VB
Bước 4: Chọn VB = 0 � VA = UAB
Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm VC, VDtheo VA rồi suy ra U1, U2, U3, U4, U5
Bước 6: Tính các đại lượng dịng điện rồi so sánh với chiều dòng điện đã chọn ở bước 1.
4. Phương pháp áp dụng định luật kiếc sốp.
a. Định luật về nút mạng
- Từ công thức: I = I1+ I2+ … +In (đối với mạch mắc song song), ta có thể phát biểu tổng quát:
“ Ở mỗi nút, tổng các dòng điện đi đến điểm nút bằng tổng các dòng điện đi ra khỏi nút”.
b. Trong mỗi mạch vịng hay mắt mạch.
- Cơng thức: U = U1+ U2+ …+ Un (đối với các điện trở mắc nối tiếp) được hiểu là đúng không
những đối với các điện trở mắc nối tiếp mà có thể mở rộng ra: “ Hiệu điện thế U AB giữa hai điểm A
và B bằng tổng đại số tất cả các hiệu điện thế U 1, U2,… của các đoạn kế tiếp nhau tính từ A đến B
theo bất kỳ đường đi nào từ A đến B trong mạch điện ”
* Vậy có thể nói: “Hiệu điện thế trong mỗi mạch vịng (mắt mạng) bằng tổng đại số độ giảm thế
trên mạch vòng đó”
Trong đó độ giảm thế: UK = IK.RK ( với K = 1, 2, 3, …)
* Chú ý: + Dòng điện IK mang dấu (+) nếu cùng chiều đi trên mạch
+ Dòng điện IK mang dấu (–) nếu ngược chiều đi trên mạch.
* Các bước tiến hành giải
Bước 1: Chọn chiều dòng điện đi trong mạch
Bước 2: Viết tất cả các phương trình cho các nút mạng
Bước 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng dòng điện và hiệu điện thế trong
mạch.
Bước 4: Biện luận kết quả. Nếu dịng điện tìm được là:
IK > 0: ta giữ nguyên chiều đã chọn.
IK < 0: ta đảo chiều đã chọn.

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 5


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS

III. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VÀ CÁCH GIẢI.
1. Bài tốn 1:

R1

Cho mạch điện có dạng như hình vẽ. Cho biết
R1 = 2  , R2 = R 3 = 6 

R3

C

A

B

R4

R4 = 8  , R5 = 18 
Tìm RAB ?
Bài giải:
- Ta thấy:

R1 2 1
  và
R2 6 3

R3 6 1
 
R 5 18 3

D

R2

R5

�

R1 R 3

� Mạch cầu AB là mạch cầu cân bằng:
R2 R5

� I4 = 0 (A) và VC = VD nghĩa là có thể bỏ điện trở R4 khỏi mạch điện để tính điện trở tương đương
của đoạn mạch. Khi đó các điện trở trong mạch
được mắc như sau:
(R1 nt R3) // (R2 nt R5).
- Do đó: R13 = R1 + R3 = 2 + 6 = 8 
R25 = R2 + R5 = 6 + 18 = 24 
� RAB = (R13 .R25) : (R13+ R25) = 6 
Vậy RAB = 6 

2. Bài tốn 2.
R1

Cho mạch điện như hình vẽ:

C

R3

R1 = 15  , R2 = 10  , R3 = 12 
UAB = 12V. Bỏ qua điện trở của ampe kế.

A

B

A

a. Cho R4 = 12  . Tính cường độ dòng điện và
chỉ rõ chiều dòng điện qua ampe kế.
R2

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

D

R4

Năm học 2013 - 2014 6

Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
b. Tính R4 khi dịng điện đi qua ampe kế có chiều
từ C đến D và có cường độ là 0,2A
Bài giải
a. Vì bỏ qua điện trở của ampe kế ( RA = 0) nên ta có thể chập hai điểm C và D làm một.
Khi đó sơ đồ mạch điện mới là: ( R1 //R2) nt ( R3 //R4).
Điện trở tương đương của đoạn mạch:
Rtd  RAC  RCB 

R .R
R1.R2
15.10 12.12
 3 4 

 12 .
R1  R2 R3  R4 15  10 12  12

Cường độ dịng điện của mạch chính là I 

U AB 12
  1A .
Rtd 12

=>UAC = I.RAC = 6V, UCB = I.RCB = 6V => I1 

U AC 6
U
6
  0, 4 A , I 3  CB 

 0,5 A .
R1 15
R3 12

Ta thấy I1 < I3 => dòng điện chạy từ D đến C và Ia = I3 – I1 = 0,1A
b. Dòng điện đi qua ampe kế có chiều từ C đến D nên ta có
I’a = I’1 – I’3 <=> 0, 2 

U ' AC U AB  U ' AC
U'
12  U ' AC

 0, 2  AC 
R1
R3
15
12

Giải phương trình ta được U’AC = 8V => U’BC = 4V.
Mặt khác I4 = I’2 + I’a =

U ' AC
U'
 0, 2  1A => R4  BC  4 .
R2
I4

3. Bài toán 3:
Cho mạch điện như hình vẽ:

R1

Trong đó U = 24V, R1 = 12  , R2 = 9  , R3 = 6  , R4 = 6 
Ampe kế có điện trở nhỏ khơng đáng kể.
Tìm cường độ dịng điện qua các điện trở R1,R2

A

C

A
B

R3

và số chỉ của ampe kế
Bài giải
Vì ampe kế có điện trở RA khơng đáng kể ( RA = 0 )

D

R2

R4

nên ta có thể chập hai điểm C và B làm một
Mạch điện lúc này gồm R1// (R2 nt ( R3//R4)).
Dòng điện I1 qua R1 là I1 
R234  R2 
Vậy I 2 

U 24

 2A .
R1 12

R3 .R4
6.6
 9
 12
R3  R 4
66

U
24
I

 2 A , Vì R3 = R4 = 6  nên I 3  I 4  2  1A
R234 12
2

C

Ta thấy I2 > I4 nên dịng điện có chiều đi từ D đến C.

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 7
D

Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
Do đó IA = I1 + I3 =3A
4. Bài tốn 4:
Cho mạch điện như hình H . 2.3a.
Biết R1 = R3 = R5 = 3 , R2 = 2 ; R4 = 5 
a. Tính điện trở tương đương của đoạn mạch AB.
b. Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không
đổi U = 3 (V). Hãy tính cường độ dịng điện qua
các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở.
Bài giải
Phương pháp 1: Chuyển mạch.
Cách 1: Chuyển mạch tam giác R1; R3 ; R5 thành
mạch sao R’1 ; R’3 ; R’5 (H2.3b) Ta có:
R 5' 

R 1. .R 3
3.3

 1()
R1  R 3  R 5 3  3  3

R 3' 

R 1.R 5
 1()
R1  R 3  R 5

R 1' 

R 3 .R 5
 1()
R1  R 3  R 5

Suy ra điện trở tương đương của đoạn mạch AB là :
R AB  R 5' 

(R 3'  R 2 )(R1'  R 4 )
(1  2)(1  5)
 1
 3
'
'
(R 3  R 2 )  (R 1  R 4 )
(1  2)  (1  5)

'
'
'
Cách 2: Chuyển mạch sao R1; R2; R5 thành mạch tam giác R 1 ; R 2 ; R 5 (H2.3c). Ta có:

R 1' 

R1.R 2  R 2 .R 5  R1.R 5 3.2  2.3  3.3

 7
R1
3

R '2 

R1.R 2  R 2 .R 5 R1.R 5
 10,5()
R2

   R 5' 

;

R1.R 2  R 2 .R 5  R1.R 5
 7()
R5

R '2 .R3
R 1' .R 4

)
R '2  R 3 R 1'  R 4

 3()
R '2 .R 3
R 1' .R 4
'
R5  '

R 2  R 3 R 1'  R 4
R 5' (

Suy ra: R AB

Phương pháp 2: Dùng cơng thức định luật Ơm.
Từ cơng thức: I AB 

U AB
U
� R  AB
R AB
I AB

 *

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 8


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
 Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB ; I là cường độ dòng điện qua đoạn mạch AB
Biểu diễn I theo U
Giả sử dịng điện trong mạch có chiều từ C đến D
Ta lần lượt có:
U1 = R1I1 = 3 I1
I2 

(1)

U 2 U  3I1

R2
2

U 5  I.R 5 

15I1  3U
2

;

U 2 = U – U 1 = U – 3 I1
5I1  U
2

(3)

;

I5  I1  I 2 

(5)

;

U3  U1  U 5 

;

U 4  U  U3 

I3 

U 21I1  3U

R3
6

(7)

I4 

U 4 5U  21.I1

R4
10

(9)

(2)
(4)

21I1  3U
2

5U  21I1
2

(6)

(8)

Tại nút D, ta có: I4 = I3 + I5

�

5U  21.I1
21I1  3U 5I1  U


            10
 
10
6
2

5U
� I1      
27

(11)  

4
U
Thay (11) vào (7) ta được: I3 = 27
Suy ra cường độ dịng điện mạch chính. I  I1  I3 

5U 4U 1

 U              12
 
27 27 3

Thay (12) vào (*) ta được kết quả: RAB = 3 ()

5
b. Thay U = 3 V vào phương trình (11) ta được: I1  (A)
9
Thay U = 3(V) và I1 =
2
I 2  (A)
3

I3 =

U1  U 4 

5
(A) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả:
9

4
(A)
9

5
 V
3

1
I 4  (A)
3
U 2  U3 

I5 

4
 V
3

1
1
(A) ( I5 
có chiều từ C đến D)
9
9
U5 = U X =

1
 V ;
3

* Lưu ý

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 9


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
 Cả hai phương trình giải trên đều có thể áp dụng để tính điện trở tương đương của bất kỳ mạch
cầu điện trở nào. Mỗi phương trình giải đều có những ưu điểm và nhược điểm của nó. Tuỳ từng bài
tập cụ thể ta lựa chọn phương pháp giải cho hợp lý.

 Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính điện trở tương đương của mạch cầu (chỉ câu hỏi a) thì áp dụng

phương pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn.

 Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dịng điện và hiệu điện thế (hỏi thêm câu b) thì áp dụng
phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lô gic hơn.

 Trong phương pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đến việc tính tốn các đại
lượng cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu. Đây là một bài tốn khơng hề đơn giản
mà ta rất hay gặp trong khi giải các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh.
5. Bài toán 5:
Cho mạch điện như hình vẽ (H3.2a) Biết U = 45V

C

R1 = 20, R2 = 24 ; R3 = 50 ; R4 = 45 R5 là một biến trở
1. Tính cường độ dịng điện và hiệu điện thế của mỗi điện trở

D

và tính điện trở tương đương của mạch khi R5 = 30
2. Khi R5 thay đổi trong khoảng từ 0 đến vô cùng, thì điện
trở tương đương của mạch điện thay đổi như thế nào?
Bài giải
1. Tính cường độ dịng điện và hiệu điện thế của mỗi điện trở và tính điện trở tương đương của
mạch khi R5 = 30
* Phương pháp 1: Chọn I1 làm ẩn số
 Giả sử dòng điện mạch có chiều từ C đến D
U1 = R1 . I1 = 20I1
I2 

U 2 45  20I1


         
R2
24

U 5  R 5 .I5 

(1)

;

U2 = U – U1 = 45 – 20I1

  3                 ;                I5  I1  I2 

44I1  45
         
24

(2)
 (4)

220I1  225
300I1  225
          (5)                  ;              U3  U1  U5 
                  6 
4
4

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 10


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
I3 

U 3 12I1  9
405  300 I1

                    7                   ;                U 4     U   U3 
 
R3
8
4

I4 

U 4 27  20I1

R4
12

(8)

(9)

 Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5

�

27  20I1 12I1  9 44I1  48


12
8
24

(10)

Suy ra I1= 1,05 (A)
 Thay biểu thức (10) các biểu thức từ (1) đến (9) ta được các kết quả:
I1 = 1(A)

;

I3 = 0,45 (A)

;

I4 = 0,5 (A);

I5 = 0,05 (A)

Vậy chiều dòng điện đã chọn là đúng.
Hiệu điện thế :

U1 = 21(V)

U2 = 24 (V)

U3 = 22,5 (V)

UBND = 22,5 (V)

 Điện trở tương đương R AB 

U5 = 1,5 (V)

U
U
45


 30
I
I1  I3 1, 05  0, 45

* Phương pháp 2: Lập hệ phương trình có ẩn số là hiệu điện thế các bước tiến hành giống như
phương pháp 1. Nhưng chọn ẩn số là Hiệu điện thế.
 Chọn chiều dịng điện trong mạch có chiều từ C đến D
 Chọn U1 làm ẩn số ta lần lượt có:
I1 

U1 U1

R1 20

(1)

U2 = U – U1 = 45 – U1

I2 

U 2 45  U1

R2
24

(3)

I5  I1  I2 

(5)

U 3  U1  U5 

U 5  I5 .R 5 

11U1  225
4

U 4  U  U3 
I4 

405  15U1
4

U 4 27  U1


R4
12

I3 

(7)

(2)

11U1  225
120

(4)

15U1  225
4

U 3 3U1  45

R3
40

(6)

(8)

(9)

 Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5

�

27  U1 3U1  45 11U1  225


12
40
120

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

(10)

Năm học 2013 - 2014 11


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
Giải phương trinh (10) Suy ra: U 1 = 21 (V)
Thay U1 = 21 (V) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả giống hệt phương pháp 1
2. Sự phụ thuộc của điện trở tương đương vào R5
 Khi R5 = 0, mạch cầu có điện trở là:
R TÐ  R o 

R 1.R 3
R .R
20.50
24.45
 2 4 

�29,93()

R 1  R 3 R 2  R 4 20  50 24  45

 Khi R5 = , mạch cầu có điện trở là:
R TÐ  R � 

(R 1  R 2 ).(R 3  R 4 )
(20  24).(50  45)

�30, 07()
(R1  R 2 )  (R 3  R 4 ) (20  24)  (50  45)

 Vậy khi R5 nằm trong khoảng (0, ) thì điện trở tương đương nằm trong khoảng (Ro, R)
 Nếu mạch cầu cân bằng thì với mọi giá trị R5 đều có RTĐ = R0 = R
6. Bài tốn 6:

R1

C

Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ:
A

Biết R1 = R5 = 1  , R2 = R3 = 2 

R2
B

R5

R4 = 3  , U = 6V.

Tìm cường độ dịng điện qua các điện trở trong mạch

D

R3

R4

Bài giải
* Phương pháp 1: Chọn gốc điện thế ( VB = 0)
- Giả sử dòng điện có chiều như hình vẽ

Áp dụng định luật về nút ở C và D, ta có:

�I1  I 2  I5
�
�I 4  I3  I5

(1)
(2)

�VA  VC VC  VB VC  VD


�
R2
R5
� R1
- Áp dụng định luật Ôm, ta có: �
�VD  VB  VA  VD  VC  VD

�
R3
R5
� R4
 Chọn VB = 0 thì VA = UAB = 6 (V).

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 12


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS

�6  VC VC VC  VD


              3  
�
� 1
2
1
 Hệ phương trình thành: �
�VD  6  VD  V C VD               4 
�3
2
1
 Giải hệ 2 phương trình (3) và (4) ta được:

Suy ra:

U2 = VC – VB =

U1 = U – U 2 =

90
(V)
43

VC =

168
(V)
43

U3 = VA - VD =

168
(V);
43

VD =

U4 = VD – VB =
96
V
43

162
(V)
43

162
(V)
43

U5 = VC – VD =

6
(V)
43

Từ các kết quả vừa tìm được ta dễ ràng tính được các giá trị cường độ dòng điện
I1 = U1/R1 = 2,09A, I2 = U2/R2 = 1,95A, I3 =U3/R3 = 1,11A, I4 = U4/R4 = 1,25A, I5 = U5/R5 = 0,14A

* Phương pháp 2: Áp dụng định luật kiếc sốp.
Chọn chiều dòng điện đi trong mạch như hình vẽ

 
�I1  I 2  I5                                      1
�I 4  I3  I5                                        2 

 Tại nút C và D ta có: �

 Phương trình cho các mạch vịng:
 Mạch vịng ACBA:

U = I1.R1 + I2.R2

(3)

 Mạch vòng ACDA:

I1.R1 + I5.R5 – I3.R3 = 0

(4)

 Mạch vòng BCDB:

I4.R4 + I5.R5 – I2.R2 = 0

(5

Thay các giá trị điện trở và hiệu điện thế vào các phương trình trên rồi rút gọn, ta được hệ
phương trình

�I1  I 2  I5                                     1’ 
�
I 4  I3  I5                                     2’
�
� I  2I  6              3’
 
2
� 1
�I  I  2I
5
3                             4’ 
�1
�
�3I 4  I5  2I 2                     5’ 
Thay (2’) vào (5’) ta được 3I3 + 3I5 + I5 = 2I2  3I3 + 4I5 = 2I2 (6)

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 13


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
Từ (4’) ta có I 3 

I1  I 5
thay vào (6) ta được pt: 3I1+ 11I5 = 4I2 (7)
2

Từ (1’) ta có I5 = I1 –I2 thay vào (7) ta được 14I1 = 15I2 (8)
Giải hệ hai pt (3’) và (8) ta được I2 = 1,95A, I1 = 2,09A
=> I3 = 1,11A, I4 = 1,25A, I5 = 0,14A
 Các kết quả dịng điện đều dương do đó chiều dịng điện đã chọn là đúng.
IV. BÀI TỐN CẦU DÂY.
- Mạch cầu dây là mạch điện có dạng như hình vẽ H4.1. Trong đó hai
điện trở R3 và R4 có giá trị thay đổi khi con chạy C dịch chuyển dọc
theo chiều dài của biến trở (R3 = RAC; R4 = RCB). Mạch cầu dây được
ứng dụng để đo điện trở của 1 vật dẫn.

* Phương pháp đo điện trở của vật dẫn bằng mạch cầu dây
Để đo giá trị của điện trở R x người ta dùng một điện trở mẫu R o,một biến trở ACB có điện trở phân
bố đều theo chiều dài, và một điện kế nhạy G( ví dụ ampe kế A
như hình vẽ) , mắc vào mạch như hình vẽ H 4.2. Di chuyển con
chạy C của biến trở đến khi điện kế chỉ số 0 đo l 1 ; l2 ta được
kết quả: R X  R 0 .

l2
. ( với l1 = AC, l2 = CB )
l1

* Đo điện trở của vật dẫn bằng phương pháp trên cho kết quả
có độ chính xác rất cao và đơn giản nên được ứng dụng rộng rãi trong phịng thí nghiệm
* Các bài tốn thường gặp về mạch cầu dây.
1. Bài toán 1:
Cho mạch điện như hình vẽ H4.3. Biết U = 7V khơng đổi.R1 = 3,
R2= 6. Biến trở ACB là một dây dẫn có điện trở suất là  = 4.106
( m), chiều dài l = AB = 1,5m, tiết diện đều: S = 1mm2
a. Tính điện trở tồn phần của biến trở
b. Xác định vị trí con chạy C để số chỉ của ampe kế bằng 0
c. Con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB, hỏi lúc đó ampe kế chỉ bao nhiêu?

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 14


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
d. Xác định vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

1
(A)?
3

Bài giải
a. Điện trở toàn phần của biến trở: R AB  

l
1,5
 4.106 6  6 ()
S
10

b. Ampe kế chỉ số 0 thì mạch cầu cân bằng, khi đó:
Đặt x = RAC � RCB = 6 – x �

3
6

x 6 x

R1
R
 2
R AC R CB

. Suy ra x = 2 ()

Với RAC = x = 2 thì con chạy C ở cách A một đoạn bằng: AC 

R AC. .S
 0,5(m)


Vậy khi con chạy C cách A một đoạn bằng 0,5m thì ampe kế chỉ số 0
c. Khi con chạy ở vị trí mà AC = 2CB, ta dễ dàng tính được RAC = 4 ()
Cịn RCB = 2 (). Vì RA = 0 � Mạch điện (R1 //RAC ) nt (R2 //RCB)

 Điện trở tương đương của mạch: R T Ð 

 Cường độ dòng điện trong mạch chính:

Suy ra:

R1. .R AC
R .R
12 12 45
 2. CB   
()
R 1  R AC R 2  R CB 7 8 14

I

U
7 98

 (A)
45
RTÐ
45
14

I1  I.

R AC
98 4 56
 .  (A)
R1  R AC 45 7 45

I2  I

R CB
98 2 49
 . 
( A)
R 2  R CB 45 8 90

Vì: I1 > I2, suy ra số chỉ của ampe kế là: I A  I1  I 2 

56 49 7

 � I A  0, 7  A 
45 90 10

Vậy khi con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB thì ampe kế chỉ 0,7 (A)
d. Tìm vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

1
(A)
3

 Vì: RA = 0 => mạch điện (R1// RAC) nt (R2 // RCB)
Suy ra: Ux = U1
Phương trình dịng điện tại nút C: I A  I CB  I x 
Phương trình dịng điện tại nút D: I A  I1  I 2 


U  U1 U1

7  U1 U1

� IA 

           1
 
R X
X
6 X
X

U1 U  U1
U 7  U1

� IA  1 
               2 
R1
R2
3
6

Trường hợp 1:

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 15


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
Ampe kế chỉ IA =

1
3 (A) D đến C

 Từ phương trình (2) ta tìm được U1 = 3 (V)
 Thay U1 = 3 (V) vào phương trình (1) ta tìm được x = 3 ()
 Với RAC = x = 3 ta tìm được vị trí của con chạy C cách A một đoạn bằng AC = 75 (m)


Trường hợp 2:

Ampe kế chỉ IA =

1
(A) chiều từ C đến D
3

5
 Từ phương trình (2) ta tìm được U1  (V)
3
5
 Thay U1  (V) vào phương trình (1) ta tìm được x  1,16 ()
3
 Với RAC = x = 1,16  , ta tìm được vị trí của con chạy C cách A một đoạn bằng AC  29 (cm)
Vâỵ tại các vị trí mà con chạy C cách A một đoạn bằng 75 (cm) hoặc 29 (cm) thì am pe kế chỉ

1
(A) .
3

2. Bài tốn 2:
Cho mạch điện như hình vẽ H4.6. Biết V = 9V không đổi, R1 = 3, R2 = 6.
Biến trở ACB có điện trở tồn phần là R = 18, vốn kế là lý tưởng.
a. Xác định vị trí con chạy C để vôn kế chỉ số 0
b. Xác định vị trí con chạy C để vơn kế chỉ số 1vơn
c. Khi RAC = 10 thì vơn kế chỉ bao nhiêu vơn ?
Bài giải
 Vì vơn kế là lý tưởng nên mạch điện có dạng: (R1 nt R2) // RAB
a. Để vơn kế chỉ số 0, thì mạch cầu phải cân bằng, khi đó:

R1
R2
3
6

�

�
R AC R  R AC
R AC 18  R AC

RAC = 6 ()
b. Xác định vị trí con chạy C, để Uv = 1(V).Với mọi vị trí của con chạy C, ta ln có:
U1  U


R1
3
9
 3(V) ;

R1  R 2
3 6

I AC 

U 9
  0,5(A)
R 18

Trường hợp 1: Vôn kế chỉ: UV = U1 – UAC = 1 (V)

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 16


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
Suy ra: UAC = U1 – UV = 3 – 1 = 2 (V) � RAC =


U AC
2

 4 ()
I AC 0,5

Trường hợp 2:

Vôn kế chỉ UV = UAC – U1 = 1 (V)
Suy ra: UAC = U1 + UV = 3 + 1 = 4 (V) � R AC 

U AC
4

 8 = 8 ()
I AC 0,5

Vậy tại vị trí mà RAC = 4 () hoặc RAC = 8 () thì vơn kế chỉ 1 (V)
c. Tìm số chỉ vôn kế, khi RAC = 10 ()
Khi RAC = 10() � RCB = 18 – 10 = 8 () � UAC = IAC . RAC = 0,5 .10 = 5 (V)
Suy ra số chỉ của vôn kế là: UV = UAC – U1 = 5 – 3 = 2 (V)
Vâỵ khi RAC = 10 thì vơn kế chỉ 2(V).
R

V. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

R

C

1

Bài 1: Cho mạch điện như hình vẽ:

3

A

R1 = 8 , R2 = 4 , R3 = 2, U = 12V.
Tính điện trở R4 và cường độ dòng điện qua mỗi điện trở.

R

Bỏ qua điện trở của ampe kế.

B

A
D

R

2

4

Đáp số: R4 = 4, I1 = I2 = 1A, I3 =I4 = 2A.
R1

Bài 2: Cho mạch điện như hình vẽ. Biết UAB =12V khơng đổi

C

R2

Vơn kế có điện trở rất lớn, R1 = 30, R2 = 50, R3 = 45,.
A

a. Chứng tỏ rằng khi vôn kế chỉ 0V thì

R1 R3

.
R2 R4

B

V

R4 là một biến trở đủ lớn.

R3

D

R4

b. Tính R4 khi vơn kế chỉ 3V.
c, Thay vơn kế bằng ampe kế có điện trở khơng đáng kể, tính R4 để số chỉ của ampe kế là 80mA.
Đáp số: b. R4 = 27 và R4 = 315. c, R4 = 28,125.
Bài 3: Cho mạch điện như hình vẽ,

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 17


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
biết R2 = 1, R1 = R3 = R4 = R5 = 2, bỏ qua điện trở các đoạn dây nối. Tính điện trở tương đương
của đoạn mạch?

Đáp số: RAB =

22
.
13

R2

P

R3

Bài 4: Cho mạch điện như hình vẽ.
Với U=60V, R1 = 10, R2 = R5 =20,

M

N

V

R3 = R4 = 40. V là vơn kế lí tưởng. Bỏ qua điện trở
Q

R4

R1

Của các dây nối. Hãy tìm số chỉ của vơn kế.

R5

U

Đáp số: UPQ = 15V.

Bài 5: Cho mạch điện có sơ đồ sau. Biết U AB = 12V không đổi, R1 = 5 ; R2 = 25 ; R3 = 20 .
Nhánh DB có hai điện trở giống nhau và bằng r, khi hai điện trở r mắc nối tiếp vôn kế V chỉ giá trị
U1, khi hai điện trở r mắc song song vôn kế V chỉ giá trị U2 = 3U1 : R
1) Xác định giá trị của điện trở r ? ( vơnkế có R =  )
2) Khi nhánh DB chỉ có một điện trở r, vônkế V
chỉ giá trị bao nhiêu ?
3) Vônkế V đang chỉ giá trị U1 ( hai điện trở r
nối tiếp ). Để V chỉ số 0 chỉ cần :
+ Hoặc chuyển chỗ một điện trở, đó là điện trở nào
và chuyển nó đi đâu trong mạch điện ?

1

A

R2

C

B

V
r

R3

r

D

HD : 1) Do vơnkế có điện trở vơ cùng lớn nên ta có cách mắc ( R1 nt R2 ) // ( R3 nt 2r ) . Ta
tính được cường độ dịng điện qua điện trở R1 là I1 = 0,4A; cường độ dòng điện qua R3 là I3 =
U AB
12

R3  2r 20  2r
12.20
4r  200
 UDC = UAC - UAD = I1.R1 - I3.R3 = 0,4.5 =
(1)
20  2r
20  2r
r
Ttự khi hai điện trở r mắc song song ta có cách mắc là ( R1 nt R2 ) // ( R3 nt ) ; lý luận như trên, ta
2
có:
2r  400
U’DC =
(2) . Theo bài ta có U’DC = 3.UDC , từ (1) & (2)  r2 + 80r – 16000 =0 (*)
40  r
giải PT (*) ta được r = 20 ( loại giá trị r = - 100 ).
2) tính UAC & UAD ( tự giải )
ĐS : 4V
R AC RCB


3. Khi vôn kế chỉ số 0 thì khi đó mạch cầu cân bằng và :
(3)
R AD R DB
+ Chuyển chỗ một điện trở : Để thoả mãn (3), ta nhận thấy có thể chuyển một điện trở r lên nhánh
AC và mắc nối tiếp với R1. Thật vậy, khi đó có RAC = r + R1 = 25 ; RCB = 25 ; RAD = 20 và RDB
= 20  (3) được thoả mãn.

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 18


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
+ Đổi chỗ hai điện trở : Để thoả mãn (3), có thể đổi chỗ R1 với một điện trở r ( lý luận và trình bày
tt ).
Bài 6: Cho mạch điện MN như hình vẽ dưới đây, hiệu điện thế ở hai đầu mạch điện không đổi
UMN = 7V; các điện trở R1 = 3 và R2 = 6 . AB là một dây dẫn điện có chiều dài 1,5m tiết diện
không đổi S = 0,1mm2, điện trở suất  = 4.10-7 m ; điện trở của ampe kế A và các dây nối không
đáng kể :
M UMN
R1

D

N
R2

a/ Tính điện trở của dây dẫn AB ?
b/ Dịch chuyển con chạy c sao cho AC = 1/2 BC

TÝnh cường độ dòng điện qua ampe kế ?
c/ Xác định vị trí con chạy C để Ia = 1/3A ?

A
A
A

C

B
HD

a/ RAB = 6
BC
1
 RAC = .RAB  RAC = 2 và có RCB = RAB - RAC = 4
2
3
R1
R
3
 2  nên mạch cầu là cân bằng. Vậy IA = 0
Xét mạch cầu MN ta có
R AC RCB 2
c/ Đặt RAC = x ( ĐK : 0  x  6 ) ta có RCB = ( 6 - x )
3.x
6.(6  x)

* Điện trở mạch ngoài gồm ( R1 // RAC ) nối tiếp ( R2 // RCB ) là R 
=?

3  x 6  (6  x )
U
* Cường độ dịng điện trong mạch chính : I   ?
R
3. x
.I = ?
* Áp dụng cơng thức tính HĐT của mạch // có : UAD = RAD . I =
3 x
6.(6  x)
.I = ?
Và UDB = RDB . I =
12  x
U AD
U DB
* Ta có cường độ dòng điện qua R1 ; R2 lần lượt là : I1 =
= ? và I2 =
=?
R1
R2
+ Nếu cực dương của ampe kế gắn vào D thì : I1 = Ia + I2  Ia = I1 - I2 = ? (1)
Thay Ia = 1/3A vào (1)  Phương trình bậc 2 theo x, giải PT này được x = 3 ( loại giá trị -18)
+ Nếu cực dương của ampe kế gắn vào C thì : Ia = I2 - I1 = ? (2)
Thay Ia = 1/3A vào (2)  Phương trình bậc 2 khác theo x, giải PT này được x = 1,2 ( loại 25,8
vì > 6 )
AC R AC

* Để định vị trí điểm C ta lập tỉ số
= ?  AC = 0,3m.
CB RCB
b/ Khi AC 

Bài 7: Cho mạch điện như hình vẽ.
Biết R1 = 3, R2 = 6, AB là biến trở có điện trở toàn
phần phân bố đều R0 = 18, C là con chạy
có thể di động trên biến trở, UMN = 9V.
Điện trở dây nối và ampe kế rất nhỏ.
a. Hỏi ampe kế chỉ bao nhiêu khi C ở vị trí sao cho
chiều dài đoạn AC bằng 1/3 đoạn AB?
b. Thay ampe kế bằng vơn kế. Tìm vị trí con chạy C

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

M

N
R2

R1
A
A

C B

Năm học R
2013
- 2014 19
0


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS

để vôn kế chỉ 1V. Điện trở vôn kế vô cùng lớn.
Đáp số: a. Ia = 0.
b. Hướng dẫn: Rv vơ cùng lớn nên có thể bỏ qua. Khi đó:
 R  R2  .R0  6 � I  U MN  1,54 A � I  I  U MN  1A .
Rtd  1
1
2
Rtd
R1  R2
R1  R2  R0
Ta có I R0 

U MN
 0,5 A .
R0

Đặt RAC = x => RBC = 18 – x. ta có: UCD = I1R1 – I R0 x. (*)
Để vơn kế chỉ 1V thì UCD = 1V hoặc UCD = -1V và kết hợp với pt (*)
ta tìm được x = 4 hoặc x = 8. Vậy con chạy C ở vị trí sao cho RAC = 4 hoặc RAC = 8

PHẦN III: KẾT LUẬN.
Trên đây là một số phương pháp để giải bài toán mạch cầu. Mỗi bài tập về mạch cầu đều có thể
sử dụng một trong các phương pháp này để giải. Tuy nhiên với học sinh lớp 9 nên sử dụng phương
pháp lập hệ phương trình với ẩn số là dịng điện (Hoặc ẩn số là hiệu điện thế), thì lời giải bao giờ
cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lơgíc hơn.
Để cho học sinh có thể hiểu sâu sắc các tính chất của mạch cầu điện trở, cũng như việc rèn
luyện kỹ năng giải các bài tập điện một chiều, thì nhất thiết giáo viên phải hướng dẫn các em hiểu
và vận dụng tốt tất cả phương phương pháp trên. Các phương pháp đó không chỉ phục vụ cho việc
ôn thi học sinh giỏi vật lý lớp 9 mà cả chương trình Vật Lý lớp 11 và ôn thi Đại học cũng gặp rất
nhiều bài tập phải áp dụng các phương pháp này mới giải được.

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 20


Chuyên đề: Phương pháp giải toán mạch cầu – Vật lý THCS
Tuy nhiên do việc tham gia giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi của tơi cịn ít, kinh nghiệm chưa
có nhiều nên chun đề này vẫn cịn có nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được những đóng góp, bổ
sung ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để chuyên đề được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hướng Đạo, ngày 02 tháng 08 năm 2013
Giáo viên thực hiện

Phan Thị Thủy

Giáo viên: Phan Thị Thủy – Trường THCS Hướng Đạo

Năm học 2013 - 2014 21