BAI TAP HINH 10 CHUONG 1

PHN DNG BI TP HèNH 10 - CHNG 1
ỵ Dng 01: Câu hỏi lý thuyết chung
Câu 1.

Trong hệ trục
r2 r
A. i = i.

(

rr

O; i ; j

) , mệnh đề nào sau đây sai ?
B.

r
i = 1.

C.
Lời giải

r r
i = j.

Chọn A
rr
r
r
O ; i; j

j
Vìr i và
lần
ta có:
r
r r lượt là hai vectơ đơn vị trong hệ trục
+ i ⊥ j ⇒ i. j = 0.
r r
i = j = 1.
+
Mặt khác : Tích của hai vectơ là một số.
Do đó các mệnh đề B, C, D là mệnh đề đúng và mệnh đề A là mệnh đề sai.
Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là:

(

Câu 2.

rr
D. i. j = 0.

A.

uuu
r
ED .

B.

uuur

DE .

)

C. DE .
Li gii

D.

uuur
DE

.

Chn B
ỵ Dng 02: m s vộct khỏc vộct khơng
Câu 3.

Cho tam giác ABC , có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác vectơ khơng) có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh A, B, C .
A. 6 .
Lời giải
Chọn A

Câu 4.

B. 4 .

C. 5 .

D. 3 .

uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
AB
,
BA
,
AC
,
CA
,
BC
,
CB
Có 6 vectơ là
.

r
Cho hai vectơ khác vectơ - khơng, khơng cùng phương. Có bao nhiêu vectơ khác 0 cùng phương
với cả hai vectơ đó?
A. 1 .

B. khơng có.

D. 2 .

C. vơ số.
Lời giải

Chọn B

r r
r
a
c
Giả sử tồn tại một vec-tơ cùng phương với cả hai véc-tơ , b . Lúc đó tồn tại các số thực h và
r
r
r k r
r
ha = kb ⇔ a = b
r
r
r
k sao cho c = ha và c = kb . Từ đó suy ra
h .
r
r
Suy ra hai véc-tơ a v b cựng phng. (mõu thun). Chn B

ỵ Dng 03: Tìm véctơ cùng phương với véctơ đã cho
Câu 5.

uuuu
r r
Cho trước véc-tơ MN ≠ 0 thì số véctơ cùng phương với véc-tơ đã cho là

A. Vô số.
B. 2 .
C. 3 .
Lời giải
Chọn A

D. 1 .

Trang 1/26 – HỒNG MINH 077 555 1841


Có vơ số véc-tơ cùng phương với một véc-tơ cho trc.
ỵ Dng 04: Tỡm vộct cựng hng vi vộct ó cho
Câu 6.

Cho tam giác ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC . Hỏi cặp véctơ nào sau
đây cùng hướng?
uuu
r

uuur

A. AB và MB .

uuuu
r

uuur

B. MN và CB .

uuur

uuur

C. MA và MB .
Lời gii

uuur

uuur

D. AN v CA .

Chn A

ỵ Dng 05: Tớnh dài của véctơ
Câu 7.

Câu 8.

uuur
AB
=
3cm,
BC
=
5cm
ABCD
Cho hình chữ nhật

có
. Độ dài của véctơ AC là:
A. 8 .
B. 13 .
C. 4 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn B
AC 2 = AB 2 + AD 2 = 25 + 144 = 13 .
Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh bằng a và góc A bằng 60° . Kết luận nào sau đây đúng?
uuu
r a 3
uuu
r a 2
uuu
r
uuu
r uuu
r
OA =
OA =
OA = a
OA = OB
2 .
2 .
A.
B.
.
C.
.

D.
Lời giải
Chọn A

uuu
r
a 3
OA = OA =
2 (vì tam giỏc ABD l tam giỏc u)
Ta cú:
ỵ Dng 06: Hai véctơ bằng nhau
Câu 9.

Hai véc-tơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:
A. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh của một tam giác đều.
B. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
C. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.

Trang 2/26 - HỒNG MINH 077 555 1841


D. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
Lời giải
Chọn B
Hai véc-tơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.

A ( 2;1) , B ( −1; 2 ) , C ( 3;0 )
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có
. Tứ giác ABCE là hình
bình hành khi tọa độ E là cặp số nào sau đây?

( 6; −1)
( 0;1)
( 1;6 )
( 6;1)
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A

Gọi

E ( x; y )

.

x − 2 = 4
x = 6
⇔
uuur uuur ⇔ 
 y − 1 = −2
 y = −1
Tứ giác ABCE là hình bình hành ⇔ AE = BC
E ( 6; −1)
Vậy
.
PHÉP CỘNG, TRỪ CC VECT
ỵ Dng 00: Cỏc cõu hi cha phõn dng
Cõu 11. Cho tam giác đều ABC cạnh a , trọng tâm là G . Phát biểu nào là đúng?

uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
AB + AC = 3 AB − AC
GA
= GB = GC .
A.
.
B.
uuu
r uuur
uuur uuur
AB + AC = 2a
C.
.
D. AB = AC .
Lời giải
Chọn A
Ta
có:

uuu
r uuur uuur
a 3
AB + AC = AD = 2 AH = 2.
=a 3
2
(với ABDC là hình bình hành tâm H )
uuu
r uuur

uuu
r
3 AB − AC = 3. CB = a 3
V
. Vy D ỳng.
ỵ Dạng 01: Các câu hỏi lý thuyết
Câu 12. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây đúng?
Trang 3/26 - Lê Hoài Sơn - 0914114008


uuu
r uuur uuur
A. BA + AD = AC .

uuur uuu
r uuur
B. BC + BA = BD .

uuu
r uuur uuu
r
C. AB + AD = CA .
Lời giải

uuu
r uuur uuu
r
D. AB + BC = CA .

Chọn B

uuu
r uuur uuur uuu
r
Ta có: AB + AD = AC ≠ CA  A sai.
uuu
r uuur uuur uuu
r
AB + BC = AC ≠ CA  B sai.
uuu
r uuur uuur uuur
BA + AD = BD ≠ AC  C sai.
uuur uuu
r uuur
BC + BA = BD (quy tắc hình bình hành)  D đúng.
Câu 13. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai

uuur uuur uuur
CA
+ AB = BC .
A.

uuur uuur uuur
B. BA + AC = BC .

uuur uuur uuur
C. AB − AC = CB .

uuur uuur uuur
D. AB + BC = AC .

Lời giải
Chọn A

uuur uuur uuur
CA + AB = CB .
ỵ Dng 02: ng thc vộct gii bằng quy tắc 3 điểm (trực tiếp)

uuur uuur uuur uuur

Câu 14. Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt. Khi đó, AB − DC + BC − AD bằng véctơ nào sau đây?
r
uuur
uuur
uuu
r
0
AC
2DC
BD
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur r
AB − DC + BC − AD = AB + BC − AD + DC = AC AC = 0

(

) (

)

.

ỵ Dng 03: Đẳng thức véctơ giải bằng quy tắc 3 điểm (có đổi véctơ)

uuur uuur
ABC
a
Câu 15. Cho tam giác đều
cạnh . Độ dài của AB + AC là
a 3
A. a 3 .
B. 3 .
C. a 6 .
D. 2a 3 .
Lời giải
Chọn A
uuu
r uuur
uuuu
r

AB
+
AC
=
2
AM
= 2 AM = a 3
Gọi M là trung im ca BC , ta cú:
.
ỵ Dng 04: ng thc véctơ giải bằng quy tắc hình bình hành

uuur uuur
M
,
N
,
P
AB
,
AC
,
BC
ABC
Câu 16. Cho tam giác
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Hỏi MP + NP
bằng véctơ nào?
uuu
r

A. PB .

uuu
r
B. AP .

uuuu
r
MN
C.
.
Lời giải

Chọn B

Trang 4/26 - HỒNG MINH 077 555 1841

uuuu
r

D. AM .


uuur uuur uuur uuur uuur
MP + NP = AN + NP = AP .

Câu 17. Cho hình vng
A.

ABCD

uuur uuur
AB - DA = a 2

.

cạnh
B.

uuur uuur
AB - DA .
a . Tính
uuu
r uuur
AB - DA = 2a

.

Chọn A

uuu
r uuur
AB - DA = 0

C.
Lời giải

.

D.

uuu
r uuur
AB - DA = a

.

uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur
AB - DA = AB + AD = AC = AC = a 2.

Ta có
Câu 18. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r

uuu
r

uuur

ur

uuu
r

uuu

r

uuur

uuu
r

A. GA +GC +GD = O .

uuur

uuur

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uuur

uuu
r

B. GA +GD +GC = CD .

C. GA +GC +GD = BD .

D. GA +GC +GD = CD .
Lời giải

Chọn C

uuu
r

uuu
r

uuu
r

ur

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA +GB +GC = O.
Do đó

uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuur uuu
r uuur uuur
GA +GC +GD = GA +GC + GB + BC +CD = GA +GB +GC + BC +CD

(

) (

)

uuu
r uuu
r uuu
r
= BC +CD = BD .

ỵ Dng 05: Tớnh di vộct tng, hiu dùng quy tắc 3 điểm
Câu 19. Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng a . Khi đó,
A. a .

B. 2a .

Chọn A

uuur uuur
AB + BC

bằng :

C. a 3 .
Lời giải

D.

a

3
2 .

uuu
r uuur
uuur uuur uuur
AB
+ BC = a
Ta cú AB + BC = BC nờn
.
ỵ Dng 06: Tớnh độ dài véctơ tổng, hiệu dùng quy tắc hình bình hành

uuur uuur

Câu 20. Cho ∆ABC vuông tại A và AB = 3 , AC = 4 . Véctơ CB + AB có độ dài bằng
A.

3.

B.

13 .

C. 2 13 .
Lời giải

D. 2 3 .

Chọn C
Trang 5/26 - Lê Hoài Sơn - 0914114008


Gọi M là trung điểm AC .

uuu
r uuur uuu
r uuur
uuuu
r
CB + AB = BA + BC = 2 BM = 2 BM = 2 AB 2 + AM 2 = 2 32 + 22 = 2 13
Ta có :
.
uuur uuur
AB + AC
Câu 21. Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a . Khi đó
bằng:
a 3
A. 3 .

B. a 5 .

a 5
C. 2 .
Lời giải

a 3
D. 2 .

Chọn B

Gọi M là trung điểm BC .
2
uuur uuur
uuuu
r
a
2
2
2
AB + AC = 2 AM = 2 AM = 2 AB + BM = 2 a +  ÷ = a 5
2
Ta có:
.
uuu
r uuu
r
AB − CA
Câu 22. Cho tam giác đều ABC có cạnh a . Giá trị
bằng bao nhiêu?

A. a 3 .
Chọn A
Ta

B.

a

3
2 .

C. 2a .
Lời giải

D. a .

có:

uuur uuu
r uuur uuur uuur
a 3
AB − CA = AB + AC = AD = 2 AH = 2.
=a 3
2
(với ABDC là hình bình hành tâm H ).
ỵ Dng 07: Tỡm tp hp im tho iu kiện cho trước
uuur

uuur

uuur

r

Câu 23. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = 0 . Xác định vị trí điểm M .
Trang 6/26 - HỒNG MINH 077 555 1841

trùng C .
là trọng tâm tam giác ABC .
là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM .
là trung điểm của đoạn thẳng AB .
Lời giải
Chọn B
Gọi G là trọng tâm tam giác D ABC .
A.
B.
C.
D.

M
M
M
M

uuu
r

uuu
r

uuu
r

r

Ta có GA +GB +GC = 0 Þ M º G .

uuur uuur
uuur uuu
r
MB - MC = BM - BA

Câu 24. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn
là?
A
,
BC
A. đường tròn tâm
bán kính
.
B. đường thẳng qua A và song song với BC .
C. đường thẳng AB .
D. trung trực đoạn BC .
Lời giải
Chọn A
Ta có

uuur uuur
uuur uuu
r
uur
uuuu
r
MB - MC = BM - BA Û CB = AM Þ AM = BC

Mà A, B, C cố định Þ Tập hợp điểm M là đường trịn tâm A , bán kính BC .

PHÉP NHÂN MT S VI MT VECT
ỵ Dng 00: Cỏc cõu hi chưa phân dạng
Câu 25. Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C , với AB = 2a , AC = 6a . Đẳng thức nào dưới đây là
đẳng thức đúng?

uuur uuur
A. BC = 4 AB .

uuur
uuur
BC
=
−
2
AB .
B.

uuur
uuur
BC
=
−
2
BA
C.
.

uuur
uuur
BC

=
−
2
AB .
D.

Lời giải
Chọn A
Câu 26. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của AC và BD .Tìm câu sai?

uuur uuur uuur
OB
+ OA = DA .
A.

uuur uuur uuur
B. AB + AD = AC .

uuu
r 1 uuu
r uuu
r
OA = ( BA + CB )
2
C.
.

uuur uuur uuur uuur
OA
+ OB = OC + OD .

D.
Lời giải

Chọn D

uuur uuur

uur

uuur uuur

uuur

Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có: OA + OB = 2OI và OC + OD = 2OJ

uur

uuur

Mà OI và OJ không bằng nhau nên C sai.
Câu 27. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là:
uuur
uuur
A. AB = AC .
B. ∃k ≠ 0 : AB = k . AC .
uuur uuur
uuuu
r
uuur uuur uuur
MA

+
MB
=
3
MC
, ∀ điểm M .
AC
−
AB
=
BC
C.
.
D.
Lời giải
Chọn B
uuur
uuur
Ba điểm A, B , C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB = k AC .
Trang 7/26 - Lê Hoài Sơn - 0914114008


r
r
r r
r
r
a
=
5,

b
= 15
Câu 28. Tìm giá trị của m sao cho a = mb , biết rằng a, b ngược hướng và
1
1
m=−
m=
3.
3.
A. m = −3 .
B. m = 3 .
C.
D.
Lời giải
Chọn C
r
a
5
1
m=− r =− =−
r r
15
3
b
Do a, b ngược hướng nờn
.
ỵ Dng 01: ng thc vộct khụng dựng tớnh cht trung điểm, trọng tâm

uuuu
r

uuur
MN
MN
=
−
3
MP
P
Câu 29. Trên đường thẳng
lấy điểm
sao cho
. Điểm P được xác định đúng trong hình
vẽ nào sau đây:

A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.
Lời giải

D. Hình 4.

Chọn C

uuuu
r
uuur
uuuu
r

uuur uuuu
r
uuur
MN
=
3
MP
MN = −3MP ⇒ MN ngược hướng với MP và
.
1
MA = AB
5
Câu 30. Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm trên đoạn AB sao cho
. Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào sai ?
uuuu
r 1 uuur
uuur
uuur
r
4 uuu
1 uuur
uuur
uuur
MB = − AB
AM = AB
MA = − MB
5
5
4

A. MB = −4 MA .
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
uuur
r
4 uuu
uuur
uuur
MB = − AB
5
Ta thấy MB và AB cùng hướng nên
là sai.
1
BE = BC
4
Câu 31. Cho tam giác ABC , E là điểm trên đoạn BC sao cho
. Hãy chọn đẳng thức đúng:
uuur 3 uuu
r 1 uuur
uuur 1 uuu
r 1 uuur
AE = AB + AC
AE = AB + AC
4

4
4
4
A.
.
B.
.
uuur 1 uuur 1 uuur
uuur
uuu
r
uuur
AE = AB − AC
AE
=
3
AB
+
4
AC .
3
5
C.
D.
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:

BE =

1
uuur
r
BC uuu
4
; BE và BC cùng hướng

Trang 8/26 - HỒNG MINH 077 555 1841


uuu
r 1 uuur
uuur uuu
r 1 uuur uuu
r
uuur 3 uuu
r 1 uuur
⇔ BE = BC ⇔ AE − AB = AC AB AE = AB + AC
4
4
4
4
.

(

)

ỵ Dng 02: Đẳng thức véctơ có dùng tính chất trung điểm

Câu 32. Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng ?
uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
MA
+
MB
+
MC
+
MD
=
MO
MA
+
MB
+
MC
+
MD
=
2
MO
A.

B.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
MA
+
MB
+
MC
+
MD
=
3
MO
MA
+
MB
+
MC
+
MD
=
4
MO

C.
D.
Lời giải
Chọn D

uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
MA
+
MB
+
MC
+
MD
=
(
MA
+
MC
)
+

(
MB
+
MD
)
=
2
MO
+
2
MO
=
4
MO
Ta có:
I
AB
Câu 33. Chouu
r là
uurtrung
r điểm của đoạnuurthẳnguur u.urHỏi đẳng thức
uurnàouurđúng?
r
uur uuur r
IA
−
IB
=
0
AI

−
IB
=
0
2
AI
−
2
BI
=
IB
A.
.
B.
.
C.
.
D. AI + AB = 0 .
Lời giải
Chọn C

uur uur uur uur r
uur uur r
AI − IB = AI + BI = 0 nên AI − IB = 0 đúng
Ta có:
+
uur uuur uuur uuur
uuur r
AI + AB = AB + AB = 2 AB ≠ 0
+ 2uu

r uur uuu
r r
IA − IB = BA ≠ 0
+ u
ur uur uur uur uur uur
+ AI − 2 BI = IB + 2 IB = 3IB ≠ IB nên các mệnh đề còn lại sai.
Câu 34. Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của AB . Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức
uuur uuur uuuu
r r
MA + MB + 2 MC = 0 .
A. M là trung điểm của IC .
B. M là trung điểm của IA .
C. M là điểm trên cạnh IC sao cho IM = 2 MC . D. M là trung điểm của BC .
Lời giải
Chọn A
uuur uuur uuuu
r r
uuu
r uuuu
r r
uuu
r uuuu
r r
MA + MB + 2 MC = 0 ⇔ 2 MI + 2MC = 0 ⇔ MI + MC = 0 ⇔ M là trung điểm của IC .
uuuur uuur uuur uuur
ABCD
4AM
= AB + AD + AC . Khi đó điểm M là:
M
Câu 35. Cho hình bình hành

, điểm
thõa mãn
A. Trung điểm của AD .
B. Trung diểm của AC .
C. Điểm C .

D. Trung điểm của AB .
Lời giải

Chọn B

Trang 9/26 - Lê Hoài Sơn - 0914114008


uuuu
r uuu
r uuur uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r 1 uuur
4 AM = AB + AD + AC ⇔ 4 AM = 2. AC ⇔ AM = . AC
⇒
2
Theo quy tắc hình bình hành, ta có:
M là trung điểm của AC .
Câu 36. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi H là trực tâm của tam giác. Trong các
khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
uuur uuur

uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
OH
=
3
OG
OH
=
2
OG
3OH
=
OG
OH
=
4
OG
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A

uuur uuur
O
Gọi D là điểm đối xứng với A qua . Ta có: HA + HD = 2 HO (1)

uuur uuur uuur
HBDC
Vì
là hình bình hành nên HD = HB + HC (2)
uuur uuur uuur
uuur
uuur uuu
r
uuur uuu
r
uuur uuur
uuur
(1),
(2)
HA
+
HB
+
HC
=
2
HO
⇔
(
HO
+
OA
)
+
(

HO
+
OB
)
+
(
HO
+
OC
)
=
2
HO
Từ
suy ra:
uuur uuu
r uuu
r uuur
uuur
uuu
r uuu
r uuur
uuur
uuur uuur
⇔ 3HO + (OA + OB + OC ) = 2 HO ⇔ OA + OB + OC = HO 3OG = OH .
ỵ Dng 03: Đẳng thức véctơ có dùng tính chất trọng tâm
Câu 37. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , G là trọng tâm tam giác ABC . Khẳng định nào
sau đây đúng?
uuur 1 uuu
r 2 uuur

uuur 2 uuu
r uuur
AG = AB + AC
AG = AB + 3 AC
3
2
3
A.
.
B.
.
uuur 2 uuur uuur
uuur 1 uuu
r uuur
AG = AB + AC
AG = AB + AC
3
3
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D

(

)

(

uuuu
r 1 uuu
r uuur
AM =
AB + AC . ( 1)
2
Vì M là trung điểm của BC nên ta có

(

Trang 10/26 - HỒNG MINH 077 555 1841

)

)


uuur 2 uuuu
r
AG = AM . ( 2 )
3
Mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên
uuur 2 1 uuu
r uuur
r uuur
1 uuu
AG
=
.

AB
+
AC
=
AB
+ AC .
( 1) và ( 2 ) suy ra
3 2
3
Từ

(

)

(

)

Vậy chọn đáp án
B.

ABCD . Đẳng thức nào sau đây đúng?
Câu 38. Chouuhình
ur ubình
uur hành
uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur

AC
+
BC
=
AB
.
AC
−
AD
=
CD
.
AC
+
BD
=
2
BC .
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn C

uuur uuur r
D. AC − BD = 0.

uuur uuur
uuur
uuur uuur

uuur uuur
uuur
uuur
uuur
AC + BD = 2 BC ⇔ AB + BC + BC + CD = 2 BC ⇔ 2 BC = 2 BC
Ta có
(đúng).
uuur uuur
uuur
Vậy ta có AC + BD = 2 BC.

(

) (

)

Câu 39. Cho ∆ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC . Đẳng thức nào đúng?

uuur uuur uur
A. GB + GC = 2GI .

uuur uuur uuu
r
B. GB + GC = GA .

uuu
r
uur
C. GA = 2GI .

Lời giải

uur
r
1 uu
IG = − IA
3 .
D.

uuur uuur uur
Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, ta có: GB + GC = 2GI .

A, B, C
Câu 40. Cho tam giác ABC , có trọng tâm G . Gọi 1 1 1 lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB .
Chọn khẳng định sai?

uuur uuur uuuur r
AA1 + BB1 + CC1 = 0
A.
.
uuur uuur uuuur r
GA1 + GB1 + GC1 = 0 .
C.

uuur uuuur
GC = 2GC1
B.
.
uuur uuur uuur r
D. AG + BG + CG = 0 .

Lời giải
Chọn B

Trang 11/26 - Lê Hoài Sơn - 0914114008


Ta xét tính đúng sai của từng mệnh đề:
uuur uuur uuuu
r
r 1 uuu
r 1 uuur
r uuur uuur r
1 uuu
1 uuu
GA1 + GB1 + GC1 = − GA − GB − GC = − GA + GB + GC = 0
2
2
2
2
Ta có:
 A đúng.
uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur
r r
AG + BG + CG = − GA + GB + GC = − 0 = 0
 B đúng.
uuur uuur uuuu
r

r uuur uuur
3 uuu
3 r r
AA1 + BB1 + CC1 = − GA + GB + GC = − ×0 = 0
2
2
 C đúng.

(

(

)

)

(

)

uuur uuuur
uuuur
uuur
GC = 2GC1 là biểu thức sai vì GC và GC1 là hai vectơ ngược hướng.

Câu 41. Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác ABC . Hạ
uur uur uur a uur
a
ID + IE + IF = IO
ID, IE, IF tương ứng vng góc với BC , CA, AB . Giả sử

b
(với b là phân số
tối giản). Khi đó a + b bằng:
A. 5

B. 4

C. 6
Lời giải

D. 7

Chọn A

Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / / BC , NR / /CA . Vì ABC là tam giác đều nên các tam
giác IMN , IPQ, IRS cũng là tam giác đều. Suy ra D, E , F lần lượt là trung điểm của MN , PQ, RS .
Khi đó:
uur uur uur 1 uuur uur 1 uur uur 1 uur uu
r
ID + IE + IF = ( IM + IN ) + ( IP + IQ ) + ( IR + IS )
2
2
2
uuur uu
r
uur uur
r uur uur
1 uur uur
1 uu
= ( IQ + IR ) + ( IM + IS ) + ( IN + IP )  = ( IA + IB + IC )

2
2
u
u
r
u
u
r
1
3
= .3IO = IO ⇒ a = 3, b = 2
2
2
. Do ú: a + b = 5 .
ỵ Dạng 04: Tính độ dài véctơ tổng, hiệu, tích với 1 số
Trang 12/26 - HỒNG MINH 077 555 1841


Câu 42. Cho tam giác ABC đều cạnh a , H là trung điểm của BC . Tính
A.

uur uuur 3a
CA - HC =
2 .

B.

uur uuur 2 3a
CA - HC =
3 .

uur uuur
CA - HC .

uur uuur a 7
CA - HC =
2 .
C.

D.

uur uuur
a
CA - HC =
2.

Lời giải
Chọn C

Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ACHD là hình bình hành.
Þ AHBD là hình chữ nhật.
uur uuur
uur uuur
uuur
CA - HC = CA +CH = CD = CD.

Ta có:

Câu 43. Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 3, AC = 4 . Tính
A.

uur uuur
CA + AB = 2 13

.

3a2
a 7
+ a2 =
.
4
2
uur uuu
r
CA + AB

CD = BD 2 + BC 2 = AH 2 + BC 2 =

B.

uur uuu
r
CA + AB = 5

.

C.
Lời giải

.

uur uuu
r
CA + AB = 13

.

D.

uur uuu
r
CA + AB = 2

.

Chọn B
Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

uur uuu
r
uur
CA + AB = CB = BC = AC 2 + AB2 = 32 + 42 = 5

Ta có
.
uuu
r uuur
0
·
Câu 44. Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh 2a . Góc BAD = 60 . Tính độ dài vectơ AB + AD .

uuur uuur
uuu
r uuur
AB + AD = 2a 3
AB + AD = a 3
A.
.
B.
.
uuur uuur
uuu
r uuur
AB + AD = 3a
AB + AD = 3a 3
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A

0
·
Tam giác ABD cân tại A và có góc BAD = 60 nên ∆ABD đều
uuu
r uuur uuur
uuur
AB + AD = AC = 2 AO = 2. AO = 2. AB 2 − BO 2 = 2. 4a 2 a 2 = 2a 3

.

ỵ Dạng 05: Phân tích 1 véctơ theo hai véctơ khơng cùng phương
uuur
uuu
r
uuu
r
ABC
AC
BC
AB
Câu 45. Cho tam giác
. Vectơ
được phân tích theo hai vectơ
và
bằng
uuur uuur
A. AC − 2 BC .

uuur uuu
r
B. AC + BC .

uuur uuu
r
C. AC − BC .

uuur uuur
− AC + BC .
D.

Trang 13/26 - Lê Hoài Sơn - 0914114008


Lời giải
Chọn C

uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
Ta có: AB = AC + CB = AC − BC .
uuur
uuuur
uuu
r
Câu 46. Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ AM theo hai véctơ AB và AC của tam giác ABC

với trung tuyến AM .
uuuu
r 1 uuur uuur
AM = AB + AC
2
A.
.
uuuu
r uuu
r uuur
C. AM = AB + AC .

(

uuuu
r 1 uuu
r uuur
AM = AB + AC
3
B.
.
uuuu
r
uuu
r uuur
D. AM = 2 AB + 3 AC .
Lời giải

)

(

)

Chọn A

uuur uuur
uuuur
uuuur 1 uuur uuur
AB + AC = 2 AM ⇔ AM = AB + AC
2
Theo quy tắc trung điểm:
.

r r
uuuur r
uuur
r
Câu 47. Cho a ≠ 0 và điểm O . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM = 3a và ON = −4a . Khi đó:
uuuu
r
r
uuuu
r
r
uuuu
r
r
uuuu
r
r
MN
=
−
5
a
MN
=
−
7
a
MN
=
−

5
a
MN
=
7
a
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
uuuu
r uuur uuuur
r r
r
Ta có: MN = ON − OM = −4a − 3a = −7 a .

(

)

uuur r uuur r
uuur
CA
=
a
CB
=
b

∆
ABC
G
Câu 48. Cho
với
là trọng tâm. Đặt
,
. Khi đó, AG được biểu diễn theo hai vectơ
r
r
a và b là
uuur 1 r 2 r
AG = a − b
3
3 .
A.

uuur 2 r 1 r
AG = a + b
3
3 .
B.

uuur 2 r 1 r
AG = a − b
3
3 .
C.
Lời giải

uuur
2r 1r
AG = − a + b
3
3 .
D.

Chọn D

uuur 2 uuuur 2 1 uuur uuur 1 uuu
r uuu
r uuu
r 1 r r
−2 r 1 r
AG = AM = . AB + AC = CB − CA − CA = b 2a =
a+ b
3
3 2
3
3
3
3 .
Ta cú:

(

)

(

)

(

)

ỵ Dạng 06: Tìm tập hợp điểm thoả điều kiện cho trước

r uuur uuur uuuu
r
ABC
v
=
MA
+
MB
−
2
MC
M
Câu 49. Cho tam giác
và một điểm
tùy ý. Chứng minh rằng vectơ
. Hãy xác
uuur r
định vị trí của điểm D sao cho CD = v .
A. D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD .
B. D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD .
C. D là trọng tâm của tam giác ABC .
D. D là trực tâm của tam giác ABC .

Lời giải
Trang 14/26 - HỒNG MINH 077 555 1841


Chọn B
r uuur uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuu
r uuu
r
uur
Ta có: v = MA + MB − 2MC = MA − MC + MB − MC = CA + CB = 2CI (Với I là trung điểm của
AB )
r
uuur r
uur
Vậy vectơ v không phụ thuộc vào vị trú điểm M . Khi đó: CD = v = 2CI ⇒ I là trung điểm của

CD
Vậy D D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD .
uuur uuur uuuu
r
Câu 50. Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thoả mãn: MA + MB + MC = 1
A. vô số.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
Lời giải
Chọn A

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
1
MA + MB + MC = 3MG = 3MG = 1 ⇒ MG =
3
Ta có
1
uuur uuur uuuu
r
R=
3.
Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB + MC = 1 là đường tròn tâm G bán kính
uuu
r uuur uuur r
Câu 51. Cho tam giác ABC và đường thẳng d . Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức OA + OB + 2OC = 0 . Tìm
r uuur uuur uuuu
r
điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ v = MA + MB + 2 MC có độ dài nhỏ nhất.
A. Điểm M là hình chiếu vng góc của B trên d .
B. Điểm M là giao điểm của AB và d .
C. Điểm M là hình chiếu vng góc của O trên d .
D. Điểm M là hình chiếu vng góc của A trên d .
Lời giải
Chọn C

Gọi I là trung điểm của AB .

uuu
r uuur uuur r
uur uuur r
uur uuur r
Khi đó: OA + OB + 2OC = 0 ⇔ 2OI + 2OC = 0 ⇔ OI + OC = 0 ⇒ O là trung điểm của IC
Ta có:
r uuur uuur uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r uuu
r uuu
r uuur uuuu
r
uuuu
r
v = MA + MB + 2MC = OA − OM + OB − OM + 2(OC − OM ) = OA + OB + 2OC − 4OM = −4OM
Trang 15/26 - Lê Hoài Sơn - 0914114008


Do đó

r
v = 4OM

r
v

. Độ dài vectơ nhỏ nhất khi và chỉ khi 4OM nhỏ nhất hay M là hình chiu
vuong gúc ca O trờn d .

ỵ Dng 07: Xỏc định tính chất của 1 hình thoả điều kiện cho trước
Câu 52. Cho hai điểm cố định A, B ; gọi I là trung điểm AB . Tập hợp các điểm M thoả:
uuur uuur uuur uuur
MA + MB = MA − MB
là
A. Đường trịn đường kính AB .
C. Đường trịn tâm I , bán kính AB .

B. Trung trực của AB .
D. Nửa đường trịn đường kính AB .
Lời giải

Chọn A
uuur uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r
MA + MB = MA − MB ⇔ 2 MI = BA ⇔ 2 MI = AB
.
Ta có:
Vậy tập hợp các điểm M là đường trịn ng kớnh AB .
TON THC T, LIấN MễN
ỵ Dng 01: Bài tốn thực tế, liên mơn
uu
r uuur uu
r uuur uu
r uuuu

r
F1 = MA F2 = MB F3 = MC
M , cùng tác động vào một vật và vật đó
Câu 53. Cho ba lực
;
;
uu
r uurcùng điểm đặt
uu
r
o
·
F1 F2
F
sao cho vật đứng yên. Biết cường độ ;
cùng bằng 30N và AMB = 60 . Cường độ 3 bằng?

A. 30 3N

B. 15 3N

Chọn A

uu
r uur uur
uuur uuur uuuu
r
F1 + F2 = F4 ⇔ MA + MB = MD

Trang 16/26 - HỒNG MINH 077 555 1841

C. 30 2N
Lời giải

D. 60N


uuuu
r
MD 2 = MA2 + MB 2 − 2.MA.MB cos120 o ⇔ MD = MA 3 ⇒ MD = MD = 30 3 ( N )
Ta có
.
uu
r
uu
r
uuuu
r
F3
F
có cùng độ với MD nên cường độ 3 là 30 3
Ta có
HỆ TRỤC TO
ỵ Dng 00: Cỏc cõu hi cha phõn dng

A ( −5; − 2 ) B ( −5; 3) C ( 3; 3 ) D ( 3; − 2 )
Câu 54. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm
,
,
,

. Khẳng định
nào sau đây đúng?
I ( −1;1)
A. ABCD là hình chữ nhật.
B.
là trung điểm AC.
u
u
u
r
u
u
u
r
uuu
r uuur uuur
C. OA + OB = OC.
D. AB, CD cùng hướng.
Lời giải
Chọn A
uuu
r
uuur
uuur
AB = ( 0; 5 ) DC = ( 0; 5 ) AD = ( 8; 0 )
Ta có
,
,
.
uuur uuur

AB. AD = 0 ⇔ AB ⊥ AD ( 1)
uuur uuur
AB = DC ⇔ ABCD là hình bình hành ( 2 )
( 1) ( 2 ) ABCD l hỡnh ch nht.
ỵ Dng 03: Xỏc định toạ độ điểm, toạ độ véctơ
r
a = ( 1; 2 )

Câu 55. Cho
và
r
c = ( 1; 4 )
A.
.

r
b = ( 3; 4 )

r
r r
r
với c = 4a − b thì tọa độ của c là:
r
r
c = ( −1; − 4 )
c = ( −1; 4 )
B.
.
C.
.

Lời giải.

Chọn A

r
r r
c = 4a − 2b = 4 ( 1; 2 ) − ( 3; 4 ) = ( 1; 4 )

Câu 56. Trong mặt phẳng Oxy cho
A.

G ( 1;3 )

.

Ta có:
A ( 4; 2 ) , B ( 1; −5 ) .

5 1
G ; ÷
B.  3 3  .

D.

r
c = ( 4; − 1)

.

.

Tìm trọng tâm G của tam giác OAB .
5

5 
G  ; −1 ÷
G  ;2÷
.
C.  3
D.  3  .
Lời giải

Chọn C
x + xA + xB 0 + 4 + 1 5

xG = O
=
=


5 
3
3
3
⇒ G  ; 0÷

3 
 y = yO + y A + yB = 0 + 2 − 5 = −1
G


3
3

.

Câu 57. Cho
A.

r
r
a = ( 3; − 4 ) , b = ( −1; 2 )

( 2;

− 2)

r r
a
Tìm tọa độ của + b.
( 4; − 6 )
( −3; − 8)
B.
C.
Lời giải

D.

( −4; 6 )

Chọn A

Trang 17/26 - Lê Hoài Sơn - 0914114008


Ta có

r r
a + b = ( 3 + ( −1) ; − 4 + 2 ) = ( 2; − 2 )

.

A ( 3;5 ) B ( 1; 2 )
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
,
. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB .
7

 7
I  −2; ÷
I  2; ÷
I
4;7
I
−
2;3
( ).
(
).
2.
A. 
B.

C.
D.  2  .
Lời giải.
Chọn D
x A + xB

 xI = 2

 7
 y = yA + yB
I  2; ÷
I
2
⇔  2.
Ta có : 

A ( 2; −3) B ( 4; 7 )
Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
,
. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
I ( 3; 2 )
I ( 8; − 21)
I ( 6; 4 )
I ( 2;10 )
A.
.
B.
.
C.
D.

.
Lời giải.
Chọn A
x A + xB

 xI = 2

 y = y A + yB
I
2
⇔ I ( 3; 2 ) .
Ta có : 
A ( 2; − 3) B ( 4; 7 )
Câu 60. Trong hệ tọa độ Oxy, cho
,
. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
( 2; 10 ) .
( 3; 2) .
( 8; − 21) .
( 6; 4 ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
 2 + 4 −3 + 7 
I =
;
÷ = ( 3; 2 )

2 
 2
Ta có
.
A ( 4; 0 ) B ( 2; – 3) C ( 9; 6 )
Câu 61. Cho
,
,
. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
( 15; 9 ) .
( 9; 15) .
( 3; 5) .
( 5; 1) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ thoả mãn:
x A + xB + xC
4+2+9


xG =
 xG =

x = 5

3

3
⇔
⇔ G
⇒ G ( 5; 1)

y
=
1
y
+
y
+
y
−
3
+
6
 G
B
C
y = A
 y =
G
G
3
3


.
r

r
r r
a ( 2;7 ) b ( −3;5 )
Câu 62. Cho
,
. Tọa độ của véctơ a − b là.
( 5; −2 ) .
( 5; 2 ) .
( −1; 2 ) .
( −5; −2 ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
Chọn B
r r
a − b = ( 2;7 ) − ( −3;5 ) = ( 5; 2 )
Ta có:
.
rr
r r
O, i , j
Câu 63. Trong hệ trục
, tọa độ của i − j là

(

)

Trang 18/26 - HỒNG MINH 077 555 1841


A.

( 1;1) .

B.

( 1; −1) .

C.
Lời giải.

( −1;1) .

D.

( 0;1) .

Chọn B

r
i = ( 1; 0 )
r r
⇒ i − j = ( 1; −1)
r
j = ( 0;1)
Ta có : 
.

A ( 5; −2 ) B ( 0;3) C ( −5; −1)
Câu 64. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Oxy, cho ba điểm
,
,
. Khi đó trọng tâm
∆ABC là:
A.

G ( 1; −1)

.

B.

G ( 10; 0 )

.

C.
Lời giải.

G ( 0;0 )

.

D.

G ( 0;11)

.

Chọn C

Câu 65.

Câu 66.

Câu 67.

Câu 68.

Câu 69.

 x A + xB + xC = 3xG

y + yB + yC = 3 yG ⇔ G ( 0;0 )
Ta có :  A
.
uuu
r
A ( 5;3) B ( 7;8 )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
,
. Tìm tọa độ của véctơ AB
( 2;5) .
( 2;6 ) .
( −2; −5 ) .
( 15;10 ) .
A.
B.

C.
D.
Lời giải.
Chọn A
uuu
r
AB = ( 2;5 )
Ta có :
.
A ( 1; 4 )
B ( 3;5 )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm
và
. Khi đó:
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
AB = ( 4;9 )
AB = ( −2; −1)
BA = ( 1; 2 )
AB = ( 2;1)
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
Lời giải.
Chọn D
uuur
AB = ( 2;1)
Ta có :
.
r
r
r r
a = ( −1; 2 ) b = ( 5; − 7 )
Cho
,
Tìm tọa độ của a − b.
( 4; − 5)
( −6; 9 )
( −5; − 14 ) .
( 6; − 9 )
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
r r
a − b = ( −1 − 5; 2 − ( −7 ) ) = ( −6; 9 )
Ta có
.

r
r
r
r
a ( 3; −4 ) b ( −1; 2 )
Cho
,
. Tọa độ của véctơ a + 2b là
( 0;1) .
( −4;6 ) .
( 4; − 6 ) .
( 1;0 ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
Chọn D
r

a = ( 3; −4 )
r
r
b = ( −1; 2 ) ⇒ 2b = ( −2; 4 )
r
r
⇒ a + 2b = ( 1;0 )
.
1 
G  ;0÷

A ( −3; 6 ) B ( 9; −10 )
Cho tam giác ABC với
;
và  3  là trọng tâm. Tọa độ C là :
Trang 19/26 - Lê Hoài Sơn - 0914114008


A.

C ( −5; − 4 )

.

B.

C ( 5; − 4 )

.

C.
Lời giải.

C ( 5; 4 )

.

D.

C ( −5; 4 )

.

Chọn D

 x A + xB + xC = 3xG
 x = 3 xG − ( x A + xB )
⇔ C

y + yB + yC = 3 yG
 yC = 3 yG − ( y A + y B ) ⇒ C ( −5; 4 ) .
Ta có :  A
Câu 70. Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có gốc O làm tâm hình vng và các cạnh của nó
song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào đúng?
A. x A = − xC , y A = yC .
B. xB = − xC , yB = − yC .
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuur
OA + OB = AB.
OA
−
OB
, DC cùng hướng.
C.
D.
Lời giải
Chọn C

uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r
OA + OB = CO + OB = CB = AB.

uuu
r uuur
(do OA = CO ).
A ( 2; 1) B ( 0; − 3) C ( 3; 1)
Câu 71. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
,
,
. Tìm tọa độ điểm D để ABCD
là hình bình hành.
Ta có

A.

( −1;

− 4)

.

B.

( 5; 5) .

C.
Lời giải

( 5;

− 2)

.

D.

( 5;

− 4)

.

Chọn B

uuur uuur
D ( x; y ) , ABCD
⇔ AD = BC ⇔ ( x − 2; y − 1) = ( 3; 4 )
Gọi
là hình bình hành
x − 2 = 3 x = 5
⇔
⇔
 y −1 = 4
y = 5

D ( 5; 5 )
Vậy
.
r
r
r
r r
a = ( 2; − 4 ) b = ( −5; 3)
Câu 72. Cho
,
. Tìm tọa độ của u = 2a − b
r
r
r
r
u = ( 7; − 7 )
u = ( 9; − 11)
u = ( 9; − 5 )
u = ( −1; 5 )
A.
.
B.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
r
u = 2 ( 2; − 4 ) − ( −5; 3) = ( 9; − 11)

Ta có
.
r
r r r
r r
ur
r r
( X ; Y ) là tọa độ của w = 2u − 3v thì tích XY bằng:
Câu 73. Cho u = 2i − 3 j , v = −5 i − j . Gọi
A. −63 .
B. 63 .
C. −57 .
D. 57 .
Lời giải
Chọn C
Trang 20/26 - HỒNG MINH 077 555 1841


ur
r r
r r
r r
r r
w = 2u − 3v = 2 2i − 3 j − 3 −5i − j = 19i − 3 j ⇒ X = 19, Y = −3 ⇒ XY = −57
.
.
Câu 74. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC , C ∈ Ox. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. C có hồnh độ khác 0.
B. x A + xC − xB = 0.
uuu

r
C. AB có tung độ khác 0.
D. A, B có tung độ khác nhau.
Lời giải
Chọn A
uuu
r uuur
⇒
AB
= OC = ( xC ; 0 )
Ta có OABC là hình bình hành
.
A ( 1;1) B ( −1; 2 ) C ( 0;1)
Câu 75. Cho hình bình hành ABCD . Biết
,
,
. Tọa độ điểm D là:
( 2; −2 )
( −2;0 )
( −2; 2 ) .
( 2;0 ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
Chọn D
D ( x, y )
Gọi
là điểm cần tìm

uuur
uuur
AB = ( −2;1) DC = ( − x;1 − y )
Ta có :
,
 − x = −2
uuur uuur ⇔ 
1 − y = 1 ⇒ D ( 2;0 ) .
Để ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC
A ( 1; 1) , B ( 3; 2 ) , C ( 6; 5 )
Câu 76. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là
hình bình hành.
( 4; 3) .
( 3; 4) .
( 4; 4 ) .
( 8; 6 ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C
uuur uuur
D ( x; y ) ABCD
⇔ AD = BC ⇔ ( x − 1; y − 1) = ( 3; 3)
Gọi
,
là hình bình hành
.

 x −1 = 3
x = 4
⇔
⇔
 y −1 = 3  y = 4

(

) (

)

Vậy
Câu 77. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
độ đỉnh C ?
A.

( 1; 7 ) .

B.

( −1;

− 7)

.

D ( 4; 4 )

.

A ( −2; 2 ) , B ( 3; 5 )

C.
Lời giải

( 2;

− 2)

.

và trọng tâm là gốc O . Tìm tọa

D.

( −3;

− 5)

.

Chọn B
 −2 + 3 + x
=0

 x = −1
3
⇔
⇔
 y = −7

2 + 5 + y = 0
C ( x; y )

3
Gọi
. Ta có O là trọng tâm
C ( −1; − 7 )
Vậy
.
A
(2;
2)
B
(3;
3)
C
(4;1)
Câu 78. Cho ∆ABC với
,
,
. Tìm toạ độ đỉnh D sao cho ABCD là hình bình hành.
A. D(3;0) .

B. D(5; 2) .

C. D (5; −2) .
Lời giải

D. D ( −5; 2) .

Trang 21/26 - Lê Hoài Sơn - 0914114008


Chọn A

uuur

uuur

Gọi D( x; y ) . Ta có AD = ( x − 2; y − 2), BC = (1; −2)

uuur uuur  x − 2 = 1
x = 3
AD = BC ⇒ 
⇔
⇒ D(3; 0)
 y − 2 = −2  y = 0
.

A ( −5; 6 ) B ( −4; −1)
C ( 4;3)
Câu 79. Cho tam giác ABC với
,
và
. Tìm D để ABCD là hình bình hành:
D ( −3;10 )
D ( −3; −10 )
D ( 3;10 )
D ( 3; −10 )
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải.
Chọn C
D ( x, y )
Gọi
là điểm cần tìm
uuu
r
uuur
AB = ( 1; −7 ) DC = ( 4 − x;3 − y )
Ta có :
,
 4− x =1
uuur uuur ⇔ 
3 − y = −7 ⇒ D ( 3;10 ) .
Để ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC
M ( 2; 3) , N ( 0; − 4 ) , P ( −1; 6 )
Câu 80. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
lần lượt là trung
điểm của các cạnh BC , CA, AB . Tìm tọa độ đỉnh A ?
A.

( 1;

− 10 )

.

B.

( 1; 5) .

C.
Lời giải

( −3;

− 1)

.

D.

( −2;

− 7)

.

Chọn C

Gọi

A ( x; y )

. Ta có

uuu
r uuuu
r
PA = MN ⇔ ( x + 1; y − 6 ) = ( −2; − 7 )

.

 x + 1 = −2
 x = −3
⇔
⇔
 y − 6 = −7
 y = −1 . Vậy A ( −3; −1) ..
rr
r
r
r r
O , i, j
a = ( 3 ; 2 ) b = −i + 5 j
Câu 81. Trong hệ trục
cho 2 vectơ
,
. Mệnh đề nào sau đây sai ?
r r
r r
r
r

r r
a + b = ( 2 ; 7)
a − b = ( 2 ; − 3)
b = ( −1; 5 )
a
=
3
i
+
2
j
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
r
r
r r
a = ( 3 ; 2 ) , b = ( −1 ; 5 ) ⇒ a − b = ( 4 ; −3)
.

(

)

Câu 82. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2;1), B(−1; 2), C (3;0) . Tứ giác ABCE là hình bình
hành khi tọa độ E là cặp số nào sau đây?
Trang 22/26 - HỒNG MINH 077 555 1841


A. (6; −1)

B. (0;1)

Chọn A
Gọi

E ( xE ; y E )

ta có:

C. (1;6)
Lời giải

D. (6;1)

uuur
uuur
AE ( xE − 2; yE − 1) , BC (4; −2)

uuur uuur
x − 2 = 4
x = 6
⇔ AE = BC ⇔  E

⇔ E
⇒ E (6; −1)
 y E − 1 = −2
 y E = −1
ABCE là hình bình hành
.

A ( −2;0 ) B ( 0; −1) C ( 4; 4 )
Câu 83. Cho hình bình hành ABCD có
;
,
. Toạ độ đỉnh D là:
D ( 6;3 )
D ( 6;5 )
D ( 2;5 )
D ( 2;3)
A.
.
B.
C.
.
D.
.
Lời giải.
Chọn C
D ( x, y )
Gọi
là điểm cần tìm
uuu
r

uuur
AB = ( 2; −1) DC = ( 4 − x; 4 − y )
Ta có :
,
 4− x = 2
uuur uuur ⇔ 
4 − y = −1 ⇒ D ( 2;5 ) .
Để ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC
1 
uuur
uuur
C  ;0÷
A ( 3; − 2 ) B ( −5; 4 )
3


AB
=
n
AC thì giá trị n là:
Câu 84. Cho
,
và
. Ta có
A. n = 3 .
B. n = −3 .
C. n = 2

D. n = −4 .

Lời giải.
Chọn A
uuur  8 
uuu
r
uuur uuur
AC =  − ; 2 ÷
AB = ( −8;6 )
 3  ⇒ AB = 3 AC .
Ta có :
,
A −1; 2 ) , B ( 3; 2 ) , C ( 4; −1)
Câu 85. Trong hệ tọa độ Oxy , cho (
. Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho
uuur uuur uuuu
r
T = MA + MB + MC
nhỏ nhất.
M ( −2; 0 )
M ( 4;0 )
M ( −4; 0 )
M ( 2; 0 )
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
uuur uuur uuuu
r

uuuu
r uuu
r uuur uuur
MA + MB + MC = 3MG + GA + GC + GC
G ( x0 ; y0 )
Ta có:
. Chọn điểm
sao cho

(

)

uuu
r uuur uuur r
−1 − x0 + 3 − x0 + 4 − x0 = 0
 x0 = 2
GA + GC + GC = 0 ⇔ 
⇔
2 − y0 + 2 − y0 − 1 − y0 = 0
 y0 = 1
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
G ( 2;1) ⇒ MA + MB + MC = 3MG ⇒ T = 3MG
M ∈ Ox ⇒ M ( a;0 )
Với
. Do
Trang 23/26 - Lê Hoài Sơn - 0914114008

⇒T =3

( 2 − a)

2

+1 ≥ 3
.
uuur uuur uuuu
r
T = MA + MB + MC

Vậy

M ( 2; 0 )
nhỏ nhất bng 3 khi a = 2 . Suy ra

ỵ Dng 04: Sự cùng phương, cùng hướng của 2 véctơ
r
r r r
r r
r r
a
=
2
i
−
3

j
b
=
m
j
+
i
a
Câu 86. Cho
,
. Nếu , b cùng phương thì:
A. m = −6 .

B. m = 6 .

C.
Lời giải

m=−

2
3.

D.

m=−

3
2.

Chọn D
1 m
3
r
r
⇔ =
⇔m=−
a = ( 2 ; −3 )
b = ( 1 ; m)
2 −3
2.
và
cùng phương
r
r
r
r
u = ( 2 x − 1; 3) v = ( 1 ; x + 2 )
x
,
x
1
2
x
u
v
Câu 87. Cho
,
. Có hai giá trị
của

để
cùng phương với . Tính

x1.x2

.
5
−
A. 3 .

B.

−

5
2.

C.
Lời giải

−

5
3.

5
D. 3 .

Chọn B
2x −1

3
r r
⇔
=
u, v cùng phương
1
x + 2 (với x ≠ −2 )
5
x1.x2 = −
⇔ ( 2 x − 1) ( x + 2 ) = 3 ⇔ 2 x 2 + 3 x − 5 = 0
2.
. Vậy
r
r
r
r r r r
Câu 88. Trong mặt phẳng Oxy , cho ba vectơ a = (1; 2), b = ( −3;1), c = ( −4; 2) . Biết u = 3a + 2b + 4c . Chọn
khẳng định đúng.

r
r
u
A. không cùng phương với i .
r
r
C. u vng góc với i .

r
u
B. cùng phương với

r
D. u cùng phương với

r
j.
r
i.

Lời giải
Chọn A

 x = 3.1 + 2.(−3) + 4.( −4) = −19 r
r
⇒ u = (−19;16)

y
=
3.2
+
2.1
+
4.2
=
16
u
=
(
x
;
y

)

Gọi
. Ta có
.
A ( 2; 1) B ( 2; − 1) C ( −2; − 3) D ( −2; − 1)
Câu 89. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm
,
,
,
. Xét ba mệnh
đề:

( I)
( II )

ABCD

là hình thoi.

ABCD

là hình bình hành.
( III ) AC cắt BD tại M ( 0; − 1) .
Chọn khẳng định đúng
( I ) đúng.
A. Chỉ
Trang 24/26 - HỒNG MINH 077 555 1841

B. Chỉ

( II )

đúng.


C. Chỉ

( II )

và

( III )

đúng.

D. Cả ba đều đúng.
Lời giải

Chọn C
uuur uuuu
r
uuu
r
uuur
AB = DC
AB = ( 0; − 2 ) , DC = ( 0; − 2 ) →
ABCD
Ta có
là hình bình hành.

( 0; − 1) ⇒ ( III ) đúng.
Trung điểm AC là
uuur
uuur
uuur uuur
AC = ( −4; − 4 ) , BD = ( −4; 0 ) ⇒ AC.BD = 16 ≠ 0 ⇔ AC , BD
không vuông gúc nhau.
ỵ Dng 05: Ba im thng hng, hai ng thẳng song song

A ( −2m; −m ) , B ( 2m; m ) .
Câu 90. Trong mặt phẳng Oxy cho
Với giá trị nào của m thì đường thẳng AB đi
qua O ?
A. m = 5 .
B. ∀m ∈ ¡ . .
C. Khơng có m .
D. m = 3 .
Lời giải
Chọn B
uuu
r
uuu
r
uuu
r uuur
OA = ( −2m; − m ) OB = ( 2m; m )
O
OA
AB
Ta có

,
. Đường thẳng
đi qua khi
, OB cùng phương
uuu
r
uuur
OA = ( −2m; − m ) = − ( 2m; m ) = −OB, ∀m ∈ ¡
Mặt khác ta thấy
nên AB đi qua O , ∀m ∈ ¡ .
Câu 91.

Cho bốn điểm A(1; −1), B(2; 4), C (−2; −7), D(3;3) . Ba điểm nào trong bốn điểm đã cho thẳng hàng?
A. A, C , D .
Chọn A

B. A, B, D .

C. B, C , D .
Lời giải

D. A, B, C .

uuu
r
uuur
uuur
uuur
3 uuur
AB = (1;5), AC = (−3; −6), AD = (2; 4) ⇒ AC = − AD

⇒ A, C , D thng hng.
2
ỵ Dng 06: Chng minh ng thức véctơ theo toạ độ

A ( −1; 1) B ( 1; 3 ) C ( −2; 0 )
Câu 92. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm
,
,
. Khẳng định nào sau đây sai?
uuur
uuur
A. AB = 2 AC .
B. A, B, C thẳng hàng.
uuu
r 2 uuur
uuu
r uuu
r r
BA = BC.
3
C.
D. BA + 2CA = 0.
Lời giải
Chọn A
uuur
uuur
uuur
uuur
AB = ( 2; 2 ) AC = ( 1; 1)
AB

=

2
AC.
Ta cú
,
v
ỵ Dng 07: Phân tích một véctơ theo 2 véctơ khơng cùng phương
r
r
r
r
r
r
a = ( 5; 3) b = ( 4; 2 ) c = ( 2;0 )
Câu 93. Cho 3 vectơ
;
;
. Hãy phân tích vectơ c theo 2 vectơ a và b .
r
r r
r r r
r r
r
r
r r
c
=
−
2

a
+
3
b
c
=
a
−
b
c
=
a
−
2
b
c
=
2
a
− 3b .
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn A
Trang 25/26 - Lê Hoài Sơn - 0914114008