BAI TAP HINH 10 CHUONG 2

BÀI TẬP HÌNH 10 CHƯƠNG 2
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC GOC T 0 N 180
ỵ Dng 00: Cỏc cõu hi cha phân dạng
O

Câu 1. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP . Góc nào sau đây bằng 120 ?

A.

(

uuuu
r uuur
MN , NP

).

B.

(

uuuu
r uuur
MO, ON

).

(

uuuu
r uuu

r
MN , OP

C.
Li gii

).

D.

(

uuuu
r uuur
MN , MP

).

Chn A
ỵ Dng 01: Xỏc nh giá trị lượng giác của góc đặc biệt
O
O
Câu 2. Giá trị cos 45 + sin 45 bằng bao nhiêu?

A.

2.

3.

B.

C. 0 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn A
O
O
Ta có cos 45 + sin 45 = 2 .

Câu 3. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. cos 30° = sin120° .
C. cos 45° = sin 45° .

B. sin 60° = cos120° .
D. cos 45° = sin135° .
Lời giải

Chọn B
Phương án A đúng (giá trị lượng giác góc đặc biệt) nên B cũng đúng.
Phương án C đúng vì cos 30° = sin 60° = sin120° .
Phương án D sai.
Câu 4. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng?

A.

sin150° = −

3
2 .

B.

cos150° =

3
2 .

tan150° = −

C.
Lời giải

1
3.

D. cot150° = 3 .

Chọn C
Dựa vào giá trị lượng giác của các cung bù nhau. Dễ thấy phương án đúng là
C.
3
1
cos150° = − cos 30° = −
sin150° = sin 30° =
2 ,
2,

Ta có
1
tan150° = − tan 30° = −
3 và cot150° = − cot 30 = 3 .
ỵ Dng 02: Gúc gia hai véctơ
µ
Câu 5. Tam giác ABC vng ở A và có góc B = 50° . Hệ thức nào sau đây là sai?
uuur uuu
r

( AC, CB ) = 120° .
A.

uuur uuur

( BC , AC ) = 40° .
B.

uuu
r uuu
r

( AB, CB ) = 50° .
C.

uuur uuur

( AB, BC ) = 130° .
D.

Lời giải
Chọn A

Trang 1/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


uuu
r uuur

uuu
r uuur

uuu
r uuur

( AB, BC ) = ( −BA, BC ) = 180° − ( BA, BC ) = 180° − 50° = 130° .
Phương án A:
uuur uuur
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
·
BC , AC ) = ( −CB, −CA ) = ( CB, CA ) = BCA
= 90° − 50° = 40°
(
Phương án B:
.

uuur uuu
r
uuu
r uuur
uuu
r uuur
·
( AB, CB ) = ( −BA, − BC ) = ( BA, BC ) = ABC = 50° .
Phương án C:
uuur uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
AC , CB ) = ( −CA, CB ) = 180° − ( CA, CB ) = 180° − 40° = 140
(
Phng ỏn D:
.
ỵ Dng 03: H thc liờn quan n giá trị lượng giác
Câu 6. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây

A. cos 35° > cos10° .

B. sin 60° < sin 80° .

C. tan 45° < tan 60° .
Lời giải

D. cos 45° = sin 45° .

Chọn A
Dễ thấy B, C là các bất đẳng thức đúng.

Câu 7. Cho

cos x =

1
2 . Tính biểu thức P = 3sin 2 x + 4 cos 2 x

15
A. 4 .

13
B. 4 .

7
C. 4 .
Lời giải

11
D. 4 .

Chọn B

(

)

2

 1  13
P = 3sin x + 4 cos x = 3 sin x + cos x + cos x = 3 + ữ =
4 .
2
Ta cú
ỵ Dng 04: Giỏ tr ca biểu thức lượng giác có điều kiện
2

2

2

2

2

Câu 8. Nếu tan α = 3 thì cos α bằng bao nhiêu?

1
A. 3 .

B.

±

10

10 .

10
C. 10 .
Lời giải

D.

−

10
10 .

Chọn B
Ta có

1 + tan 2 α =

Suy ra

cos α = ±

1
1
1
1
⇔ cos 2 α =
=
=
2

2
2
cos α
1 + tan α 1 + 3 10 .
10
10 .

sin A.cos ( B + C ) + cos A.sin ( B + C )
Câu 9. Cho tam giác ABC . Hãy tính
A. 0 .

B. 1 .

C. −1 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn A
Trang 2/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


sin A.cos ( B + C ) + cos A.sin ( B + C ) = sin A.cos ( 180° − A ) + cos A.sin ( 180° − A )

.

= − sin A.cos A + cos A.sin A = 0 .
TCH Vễ HNG CA HAI VECT
ỵ Dng 00: Cỏc câu hỏi chưa phân dạng
r

a = ( −3 ; 4 )
Câu 10. Cho
. Mệnh đề nào sau đây sai ?
r
r
2
a
= 10
A. 0.a = 0 .
B.
.

r
−a = ( 3 ; − 4 )

C.
Li gii

.

D.

r
a =5

.

Chn A
r r
0.a = 0 .

ỵ Dng 01: Các câu hỏi lý thuyết
Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A . Khẳng định nào sau đây là sai?

uuur uuur uuur uuur
AC.BC < BC. AB .
A. u
uur uuur uuu
r uuu
r
C. AB.BC < CA.CB .

uuur uuu
r uuur uuur
AC.CB < AC.BC .
B. u
uur uuur uuu
r uuur
D. AB. AC < BA.BC .

Lời giải
Chọn A
Tam giác ABC vuông tại A nên có hai góc B và C là hai góc nhọn.
uuur uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r
µ >0
µ >0

⇒ cos B
cos
C
AB
.
AC
=
0
BA
.
BC
>
0
CA
.
CB
>0
và
nên
,
và
Từ đó nhận thấy Phng ỏn A, B, C ỳng v D sai.
ỵ Dng 02: Xác định góc giữa hai véctơ bằng định nghĩa
Câu 12.
Cho tam giác đều ABC cạnh a = 2 . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur
BC − AC .BA = 2

AB + BC .AC = 4
A.
. B.
.
uuur uuur uuur
uuur
uuur uuu
r
AB .AC .BC = 2 BC
C.
. D. BC .CA = −2 .
Lời giải
Chọn A

(
(

)

)

(

)

 1
uuur uuu
r
= 2.2. − ÷
°

 2  = −2 .
BC .CA = BC .CA.cos 120
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r
BC − AC .BA = BC + CA .BA = AB 2 = 4
nên B sai.
uuur uuur uuur uuur uuur
AB + BC .AC = .AC .AC = AC 2 = 4
.
uuur uuur uuur
uuur
uuur
°
AB .AC .BC = ( AB.AC .cos 60 ) .BC = 2 BC
.
Do ú ta chn ỏp ỏn
A.
ỵ Dng 03: Xỏc định góc giữa hai véctơ bằng tích vơ hướng

(
(
(

)
)

(

)

)

Trang 3/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


r
r
a = ( 1; −2 ) b = ( −2; −6 )
Câu 13. Cho các vectơ
,
. Khi đó góc giữa chúng là
A. 45° .
B. 60° .
C. 30° .
Lời giải
Chọn A
rr
1. ( −2 ) + ( −2 ) ( −6 )
a.b
1
r r
cos a , b = r r =
=
r r
1 + 4. 4 + 36
2
a .b
a , b = 45°

Ta có
. Suy ra
.
r
r
u = ( 3; −4 )
v = ( −8; −6 )
Câu 14. Góc giữa hai véctơ
và
là

(

)

(

o
A. 90 .

o
B. 45 .

D. 135° .

)

o

o

D. 60 .

C. 30 .
Lời giải

Chọn A
rr
u.v = 3. ( −8 ) + ( −4 ) . ( −6 ) = 0
Ta có
r r
a , b = 90o
Như vậy
.

(

)

A 1;3 ) , B ( −2; −2 ) , C ( 3;1) . Tính cosin góc A
Câu 15. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết (
của tam giác.
A.

cos A = −

2
17

B.

cos A = −

1
17

cos A =

C.
Lời giải

2
17

D.

cos A =

1
17

Chọn D
uuur
uuur
AB = ( −3; − 5 ) AC = ( 2; − 2 )
Ta có:
,
.
uuur uuur
uuu
r uuur

AB. AC −3.2 + 5.2
1
cos A = cos AB; AC =
=
=
AB. AC
34.2 2
17 .
Khi đó:

(

)

A ( 1; 2 ) , B ( 4;1) , C ( 5; 4 )
·
Câu 16. Trong mặt phẳng Oxy , cho
. Tính BAC ?
A. 60° .
B. 45°.
C. 90° .

D. Một số khác.

Lời giải
Chọn Buuu
r
Ta có:

uuur

AB = ( 3; −1) AC = ( 4; 2 )
,

.

uuu
r uuur
uuur uuur
3.4 + ( −1) .2
AB
. AC
2
·
cos BAC
= cos AB, AC = uuur uuur =
=
2
2
AB . AC
32 + ( −1) . 42 + 22

(

Khi đó:
o
·
Suy ra BAC = 45 .
Suy ra đáp án B là đáp án đúng.

)

.

Câu 17. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho

MA : MB : MC = 1: 2 : 3 khi đó góc AMB bằng bao nhiêu?
A. 150°
B. 120°
C. 135°
D. 90°
Lời giải
Chọn C
Giải sử T = f (2 2) − 2 f (1) ; MB = x ⇔ MA = 2 x ; MC = 3x với 0 < x < BC = 2 .
1 + 4 x 2 − x 2 3x 2 + 1
·
cos BAM
=
=
2.1.2 x
4x
Ta có
Trang 4/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


·
cos MAC
=

Có

( 1)

=

1 + 4 x2 − 9 x2 1 − 5x2
=
4x
4x .

14π
x
3 f ( x ) = e + 2x .
2

2

 3x 2 + 1   1 − 5 x 2 
⇒
÷ +
÷ =1
 4x   4x 
⇒ 9 x 4 + 6 x 2 + 1 + 1 − 10 x 2 + 25 x 4 = 16 .
 2 5+2 2 1
> (l )
x =
17
5

⇔
 2 5−2 2

x =
17

⇒ 34 x 4 − 20 x 2 + 2 = 0
.
AM 2 + BM 2 − AB 2 4 x 2 + x 2 − 1
⇒ cos ·AMB =
=
2 AM .BM
2.2 x.x


5 x 2 − 1 =  25 − 10 2 − 1÷: 20 − 8 2 2
=
=

ữ
17
17


2 .
4x2
Ã
Vy AMB = 135 .
ỵ Dng 04: Tính TVH của hai véctơ bằng định nghĩa, tính chất
r
r
r
Câu 18. Tích vơ hướng của hai véctơ a và b cùng khác 0 là số âm khi

r r
r r
0o < a, b < 90o
90o < a, b < 180o
A.
.
B.
.
r
r
r
r
C. a và b cùng chiều. D. a và b cùng phương.
Lời giải
Chọn B
rr
r r
r r
a.b < 0 ⇔ cos (a; b) < 0 ⇔ 90o < a, b < 180o
.
r r 2
r
r
a −b = 0
Câu 19. Điều kiện của a và b sao cho
là
r
r
r
r

A. a và b ngược hướng. B. a và b bằng nhau.
r
r
r
r
C. a và b cùng hướng. D. a và b đối nhau.
Lời giải
Chọn B
r r 2
r r r
r r
a −b = 0 ⇔ a −b = 0 ⇔ a = b
.

( )

( )

( )

(

(

)

)

3
uuur uuur

AH = .
2
AB
=
2
Câu 20. Trong hình dưới đây, cho
;
Khi đó, tính AB. AC ta được :

A. 5.

B. −3 .

C. 3 .

D. 4 .
Trang 5/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


Lời giải
Chọn C
uuu
r uuur uuu
r uuur 3 uuu
r2 3
AB. AC = AB. AH = AB = .2 2 = 3
4
4
Ta có:
.

r
r
Câu 21. Cho hai véctơ a và b . Đẳng thức nào sau đây là sai?
rr 1 r r2 r r2
rr r r
r r
a.b =
a +b − a −b
a.b = a . b .cos a, b
4
A.
.
B.
.
rr 1 r2 r2 r r2
rr 1 r r2 r r2
a.b =
a + b − a −b
a.b =
a +b − a −b
2
2
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
rr

r 2 r2
rr
rr rr
1 r r2 r r2
1 r 2 r2
1 rr
a + b − a − b =  a + b + 2a.b − a + b − 2a.b  = .4.a.b = 2a.b ≠ a.b
 2
2
2 
.

(
(

)

(

)

) (

(

) (

( )

)

)

uuur uuur

·
Câu 22. Trong tam giác ABC có AB = 10, AC = 12, góc BAC = 120°. Khi đó, AB. AC bằng:
A. −60 .
B. Một số khác.
C. 30 .
D. 60 .
Lời giải
Chọn A
uuur uuur
·
Ta có: AB. AC = AB. AC.cos BAC = 10.12.cos120° = −60. .
Suy ra: Đáp án C là đáp án đúng.
Câu 23. Cho tam giác đều ABC cạnh a , với các đường cao AH , BK ; vẽ HI ⊥ AC.

Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r
uuu
r uur
CB
.
CA
=
4

CB
.CI .
A. Cả ba câu trên.
B.
uuur uuur uuur uuur 2
AC − AB .BC = BC
C.
.

(

)

( )

uuu
r uuur
uuu
r uuur
D. BA.BC = 2 BA.BH .
Lời giải

Chọn A
Ta có ABC là tam giác đều cạnh a có AH , BK lần lượt là hai đường cao.
H , K lần lượt là trung điểm của BC , AC .
Suy ra: u
uur
uuur
= 2 BH .
Suy ra: BC

uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
BA
.
BC
=
BA
.2
BH
=
2
BA
.BH .
Khi đó:
BK ⊥ AC 
 ⇒ HI / / BK
Ta có: HI ⊥ AC 
.
Suy ra: I là trung điểm của KC .
Trang 6/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


uuu
r
uur
= 4CI ⇒ CA = 4CI .
Suy ra: CA

uuu
r uuu
r uuu
r uur
uuu
r uur
Khi đó: CB.CA = CB.4CI = 4CB.CI .
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur 2
AC − AB .BC = BC.BC = BC
Ta có:
.
Suy ra: Cả 3 câu A, B, C là các mệnh đề đúng.

(

)

( )

a . Câu nào sau đây sai?
uuu
r uuur uuu
r uuur
AB
.
AD
+
CB
.CD = 0 .

B. uuu
r uuur
2
D. AB.CD = −a .
Lời giải

Câu 24. Cho hình vng ABCD cạnh

uuu
r uuur uuur
(
AB
BC ). AC = a 2 .
A. uuur u+uu
r
DA
.
CB
= a2 .
C.

Chọn A
ABCD cạnh a .
Ta có hìnhuuvng
u
r uuu
r
DA.CB = DA.CB.cos 0° = a 2 .
Suy
ra:

+
uuu
r uuur
2
+ AB.CD = AB.CD.cos180° = −a .
uuu
r uuur uuur uuur 2
2
( AB + BC ). AC = AC = a 2 = 2a 2
+ uuur uuur uuu
r uuur
+ AB. AD + CB.CD = 0 ( Do AB ⊥ AD, CB ⊥ CD ).
Suy ra các mệnh đề A, B, D là các mệnh đề đúng, mệnh đề C là mệnh đề sai.
r
r
r
r r
r
r r
Câu 25. Cho hai vectơ a và b khác vectơ không thỏa mãn u = a + 3b vuông góc với v = 7 a − 5b và
ur r
r
r
r
r
r
r
m = a − 4b vng góc với n = 7 a − 2b . Tính góc tạo bởi hai vectơ a và b .
A. 90°
B. 60°

C. 30°
D. 45°

( ) (

)

Lời giải
Chọn B
r
r r
ur r
r
r
r
r
r
r r
Ta có u = a + 3b vng góc với v = 7a − 5b và m = a − 4b vng góc với n = 7 a − 2b nên
r r r r
r
r
rr
r
rr
 a + 3b 7a − 5b = 0
7 a 2 − 15b 2 + 16a.b = 0
a 2 = 2a.b r r

 r r r r

⇔  r2 r2
⇔ r 2
rr
r r ⇒ a.b > 0
 a − 4b 7a − 2b = 0
7 a + 8b − 30a.b = 0
b = 2a.b
.
rr
rr
r r
r r
a.b
a.b
1
cos a, b = r r =
rr
r r = ⇒ a, b = 60°
a.b
2a.b . 2a.b 2
Suy ra
.
uuur uuur
Câu 26. Cho hình vng ABCD có cạnh a Tính AB. AD .
uuu
r uuur a 2
uuur uuur
u
u
u

r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
AB
. AD =
2
2 .
A. AB. AD = a
B. AB. AD = 0 .
C. AB. AD = a .
D.
Lời giải
Chọn B
uuur uuur
ABCD
AB
⊥
CD
Vì
là hình vng nên

do đó AB. AD = 0 .

(
(

)(
)(

)
)

( )

( )

Câu 27. Cho hình vng ABCD cạnh a . Câu nào sau đây sai?

uuur uuur uuur

( AB + BC ) .AC = a
A.
uuur uuu
r
2
C. DA.CB = a .

2

uuur uuur uuu
r uuur

AB. AD + CB.CD = 0 .
. B. u
uur uuur
2
D. AB.CD = a .
Lời giải

Chọn D

Trang 7/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


uuur uuu
r
DA.CB = DA.CB.cos 0° = a 2 .
Phương án A: u
uur uuur
2
Phương án B: AB.CD = AB.CD.cos180° = −a .
uuu
r uuur uuur uuur uuur
AB + BC AC = AC . AC = a 2
Phương án C: uuur uuur uuu
.
r uuur
Phương án D: AB. AD + CB.CD = AB. AD.cos 90° + CB.CD.cos 90° = 0 .
uuur uuur
·
AB
=

10
AC
=
12
BAC
=
120
°
Câu 28. Trong tam giác có
,
, góc
. Khi đó, AB. AC bằng:
A. 30 .
B. 60 .
C. −60 .
D. −30 .
Lời giải
Chọn C

(

)

uuu
r uuur
·
Ta có AB. AC = AB. AC.cos BAC = 10.12.cos120° = −60 .
Câu 29. Cho hình vng ABCD tâm O . Câu nào sau đây sai?

uuur uuur uuur uuur

A. AB. AC = AB.DC .
uuu
r uuur
OA
.OB = 0 .
C.

uuur uuur uuur uuur
B. AB. AC = AC. AD .
uuu
r uuur
r uuu
r
1 uuu
OA.OC = − OA.CA
2
D.
.
Lời giải

Chọn A

uuu
r uuur
OA
.OB = OA.OB.cos 90° = 0 .
Phương án A:
uuu
r uuur
r uuu

r
1
1 uuu
OA.OC = OA.OC.cos180° = − OA.CA cos 0° = − OA.CA
2
2
Phương án B: uuur uuur
.
uuur uuur
2
AB. AC = AB. AC.cos 45° ≠ AB.DC = − AB .
Phương án C: u
uur uuur
uuur uuur
Phương án D: AB. AC = AB. AC.cos 45° = AD. AC.cos 45° = AC. AD .
uuur uuur
ABC
m
Câu 30. Cho tam giác đều
có cạnh bằng . Khi đó AB.BC bằng
m2
A. 2 .

2
B. m .

m2

C.
Lời giải

3
2 .

D.

−

m2
2 .

Chọn D
uuu
r uuur
−1
AB.BC = m.m.cos1200 = .m 2
2
.
Trang 8/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


Câu 31. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , có AB = AC = a . Mệnh đề nào sau đây sai?

uur uuu
r

uur 2

2
A. AB = AB .

uuur uuur
2
C. CB.CA = a .

B. AB. AC = 0.
uur uuu
r uur uuu
r
D.

AB. AC = AB . AC

.
Lời giải

Chọn D
Ta có tam giác ABC vng cân đỉnh A .
µ µ
Suy ra: AB ⊥ AC , AB = AC = a và B = C = 45° .
u
u
r
uuu
r
uur 2
uur uuu
r
2
AB

=
AC
= a.
Suy ra: + AB = AB , AB. AC = 0,
uuur uuur uuur uuur
CB.CA = CB . CA cos C = a.a 2 cos 45° = a 2 .
+
Suy ra: Các mệnh đề A, B, C là các mệnh đề đúng, mệnh đề D là mệnh đề sai.
Câu 32. Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì mệnh đề nào sau đây đúng ?

uuuruuur 1
AB. AC = AB 2
4
A.
.
uuuruuur 1
AB. AC = AB 2
2
C.
.

uuuruuur
B. AB. AC = 0.
uuur uuur
3
AB. AC =
AB 2
2
D.
.

Lời giải
Chọn C
uuu
r uuur
1
·
AB. AC = AB. AC.cos BAC
= AB 2 .cos 60° = AB 2
2
Ta có:
.
uuur uuur
AB
=
c
,
CA
=
b
,
BC
=
a
.
ABC
Câu 33. Cho tam giác
có
Tính AB.BC theo a, b, c .
1 2 2

1 2 2 2
1 2 2 2
1 2 2
b + c − a2 )
a −b −c )
a +b −c )
(
(
(
( b − c − a2 )
2
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D uuur uuur
uuu
r uuur
AB
.
BC
=

−
BA
.BC
Ta có
u
u
u
r
u
u
u
r
uuu
r uuur
2
CA2 = BA − BC = BA2 + BC 2 − 2 BA.BC
nên
2
2
2
uuu
r uuur
uuu
r uuur
CA − BA − BC
1
AB.BC = − BA.BC = −
= ( b2 − c2 − a2 )
2
2

.
uuu
r uuu
r
ABC
BC
=
a
2
CA
.
CB
A
Câu 34. Cho tam giác
vng cân tại
có
. Tính
.
uuu
r uuu
r a 2
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r

CA.CB =
2
2 .
A.
B. CA.CB = a 2 .
C. CA.CB = a .
D. CA.CB = a .
Lời giải
Chọn C

(

)

Trang 9/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


uuu
r uuu
r
 CA, CB = ·ACB = 45o

⇒
BC
=a
 AC =
2

ABC
A

Tam giác
vuông cân tại
uuu
r uuu
r
o
2
·
Như vậy CA.CB = CA.CB.cos ACB = a.a 2.cos 45 = a .

(

)

Câu 35. Cho hình vng ABCD cạnh a . Trên các cạnh AB, BC , CD, DA lần lượt lấy các điểm M , N , P, Q

uuur uuur

sao cho AM = BN = CP = DQ = x (0 < x < a ) . Tích tích vơ hướng PN . PQ .
2
2
A. AB .
B. AC .
C. 0 .

2
D. AD .

Lời giải
Chọn C

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PN .PQ = PD + DQ PC + CN = PD.PC + PD.CN + DQ.PC + DQ.CN
Ta có:
uuur 2
uuu
r2
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur = − a − x . x .DC + a − x . x .CB
= − DP.PC + DQ.CN = − DP.PC + NB.CN
=0.
a a
a a

(

)(

)

Câu 36. Cho hình thang vng ABCD có đáy lớn AB = 4a , đáy nhỏ CD = 2a , đường cao AD = 3a ; I là

uu
r uur uuur

( IA + IB ) .AC bằng:
trung điểm của AD . Tích
2
B. 9a .

A. 0 .

3a 2
C. 2 .
Lời giải

D.

−

3a 2
2 .

Chọn A
Sử dụng một số tính chất của hình học phẳng ta chứng minh được IE ⊥ AC .
uu
r uur
uur
Ta có: IA + IB = 2 IE (Do E là trung điểm của AB ).
uu
r uur uuur
uur uuur
IA + IB . AC = 2 IE. AC = 0
Suy ra:
.
Suy ra: Đáp án C là đáp án đúng.

(

)

Câu 37. Cho hình thang vng ABCD có đáy lớn AB = 4a , đáy nhỏ CD = 2a , đường cao AD = 3a ; I là

uuur uuur
trung điểm của AD . Tính DA.BC bằng:
A. Khơng tính được.

2
B. −9a .

2

D. 0 .

C. 15a .
Lời giải

Chọn B

Gọi E là trung điểm của cạnh AB .
Suy ra: ADCE là hình chữ nhật.
Xét VAEC là tam giác vng tại E , ta có:
AE 2a 2
2
tan C =
=
= ⇒ tan ( 180° − C ) = − tan C = −
CE 3a 3
3 và C là góc nhọn.
Trang 10/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841

(

)

1
=−
1 + tan ( 180° − C )

⇒ cos 180o − C = −

2

1
2

 2
1+  − ÷
 3

=−

3
.
13

uuur uuur uuu
r uuur
 3 

2
DA.BC = CE.BC = CE.BC.Cos ( 180° − C ) = 3a.a 13.  −
÷ = −9a
 13 
Suy
.
uuu
rra:
uuur uuu
r uuur
AB
⊥
AD
,
CB
⊥
CD
+ AB. AD + CB.CD = 0 ( Do
).
Suy ra đáp án A là đáp án đúng.
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AD
DA.BC = DA.ED = − DA.DE = − AE.DE.cos ·ADE = −3a.DE.
= −9 a 2
DE
Cách 2 :
.
Câu 38. Cho hình vng ABCD cạnh a . Mệnh đề nào sau đây sai?

uuu
r uuur uuur uuur

( AB + CD + BC ) AD = a
B.

uuur uuur
AB.CD = a 2 .
A. u
uur uuur
AB
. AD = 0 .
C.

uuur uuur
2
D. AB. AC = a .

2

.

Lời giải
Chọn A

uuur uuur
Phương án A: AB. AD = AB. AD.cos 90° = 0 .
uuu
r uuur
1

AB. AC = AB. AC.cos 45° = a.a 2.
= a2
2
Phương án B: uuur uuur
.
2
Phương án C: AB.CD = AB.CD.cos180° = −a .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2
AB + CD + BC AD = AB + BD AD = AD = a 2
Phương án D:
.

(

)

(

)

Câu 39. Cho tam giác vuông ABH vng H tại có BH = 2; AB = 3 . Hình chiếu của H lên AB là K . Tính

uuur uuur
tích vơ hướng BK . BH .

4
B. 3 .

A. 4 .

3
C. 4 .
Lời giải

16
D. 9 .

Chọn D
2
2
Ta có: AH = AB − HB = 9 − 4 = 5
HB.HA 2 5
HK . AB = HB.HA ⇔ HK =
=
AB
3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur
HK
2
·
= 4 − HK 2
BK .BH = BH + HK .BH = BH + HK .BH = 2 − HK .HB.cos BHK = 4 − HK .HB.
HB
uuur uuur
20 16
⇒ BK .BH = 4 −
=
9
9 .

(

)

Câu 40. Cho hình thang vng ABCD có đáy lớn AB = 4a , đáy nhỏ CD = 2a , đường cao AD = 3a ; I là

uuur uuur
trung điểm của AB . Tích DA.BC bằng:

Trang 11/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


2
B. 9a .

A. 0 .

2

2

C. −9a .
Lời giải

D. 15a .

Chọn C

uuur uuur uur uuur
uur uuu

r
CI
·
DA.BC = CI .BC = −CI .CB = −CI .CB.cos BCI
= −CI .CB.
= −CI 2 = −9a 2
BC
Ta có
.
2r r
r
r
r
r
r
r r
a − 3b
a
b
0
a
b
a
5
Câu 41. Cho hai véctơ và khác . Xác định góc giữa hai véctơ và nếu hai véctơ
và + b
r r
a = b =1
vuông góc với nhau và
o

o
o
o
A. 90 .
B. 180 .
C. 60 .
D. 45 .
Lời giải
Chọn B
r r
2 r r uu
2 2rr rr
−13 r r 13
rr
r r
( a − 3b).(a + b) = 0 ⇔ + a.b − 3a.b − 3 = 0 ⇔
a.b =
5
5 5
5
5 ⇔ a.b = −1 = 1.1.cos( a; b)
r r
r r
⇔ cos(a; b) = −1 ⇔ (a; b) = 1800 .
Câu 42. Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Hãy tính giá trị

uuuur uuur
AM .BC
−a 2
A. 2 .

c 2 + b2
2 .
B.

c 2 + b2 + a 2
3
C.
.
Lời giải

c2 + b2 − a2
2
D.
.

Chọn A
Ta có
uuuu
r uuur 1 uuu
r uuur uuur 1 uuu
r uuur uuur uuur
1
AM .BC = ( AB + AC ).BC = ( AB.BC + AC.BC ) = [c.a.cos (1800 − B ) + b.a.cos(1800 − C )]
2
2
. 2

= −(c.a.c osB + b.a .cos C )
= −(c.a.

1
a 2 + c2 − b2
a 2 + b2 − c 2
+ ab.
) = − .2a 2 = a 2
2ac
2ab
2
.

ỵ Dng 05: Tớnh TVH của hai véctơ bằng biểu thức toạ độ
r
r
r
a
=
(
−
3;
2),
b
=
(
−
1;
−
7)
Oxy
c

Câu 43. Trong mặt phẳng
, cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ biết
rr
rr
c.a = 9, c.b = −20 .
r
r
r
r
c
=
(
−
1;
−
3)
c
=
(
−
1;3)
c
=
(1;
−
3)
c
A.
.

B.
.
C.
.
D. = (1;3) .
Lời giải
Chọn B
 −3x + 2 y = 9
 x = −1 r
r
⇔
⇒ c = (−1;3)

−
x
−
7
y
=
−
20
y
=
3
c
=
(
x
;
y

)


Gọi
. Ta có
.
Trang 12/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


r
r r
r
r r
rr
Oxy
a
=
−
4
i
+
6
j
b
=
−
7
j
+
3

i
a
Câu 44. Trong mặt phẳng
cho
và
. Tính .b ta được kết quả
A. −74 .
B. −54 .
C. 46 .
D. 32 .
Lời giải
Chọn B
r
r
a = ( −4;6 ) b = ( 3; −7 )
Ta
,
.
r rcó
a.b = −4.3 + 6. ( −7 ) = −54
.
rr
r r r
r r ur
O; i, j
a
=
3
i
+

6
j
b
Câu 45. Trong mặt phẳng
cho 2 vectơ
và = 8i − 4 j. Kết luận nào sau đây sai?
r r
rr
rr
r r
a.b =0
a.b = 0
a
.
b
=
0.
a
A.
.
B.
.
C.
D. ⊥ b .
Lời giải
Chọn A
r r r
r
r r r r
a = 3i + 6 j ⇒ a = ( 3;6 )

b = 8i − 4 j ⇒ b = ( 8; −4 )
Ta có
và
.
Khir rđó:
r r
a.b = 3.8 + 6. ( −4 ) = 0
a
+
. Suy ra: ⊥ b .
rr
a.b = 0 = 0
+
.
r r
2
a . b = 32 + 62 . 82 + ( −4 ) = 60
+
.
Suy ra cả 3 mệnh đề A, B, D là đúng, mệnh đề C sai.

(

)

Câu 46. Cặp véctơ nào sau đây vng góc với nhau ?

r
r
b = ( −3; 4 )

a = ( 3; −4 )
A.
và
.
r
r
a = ( −7; −3)
b = ( 3; −7 )
C.
và
.

r
r
b = ( −6;4 )
a = ( 2; −3)
B.
và
.
r
r
a = ( 2; −1)
b = ( −3; 4 )
D.
và
.
Lời giải

Chọn C
rr

a.b = 2. ( −3) + ( −1) .4 ≠ 0
A.
.
rr
a.b = 3. ( −3) + ( −4 ) .4 ≠ 0
B.
.
rr
a.b = 2. ( −6 ) + ( −3) .4 ≠ 0
C.
.
rr
a.b = −7.3 + ( −3) . ( −7 ) = 0
D.
.

r r
Như vậy ở phương án D ta có a ⊥ b .
r
r
a = ( 9;3)
a
Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ, cho
. Vectơ nào sau đây khơng vng góc với vectơ ?
r
r
r
r
v ( −1;3)
v ( 1; −3)

v ( 2; −6 )
v ( 1;3)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
r
rr
r
v
1;3)
(
a
.
v
=
18
a
Ta có
nên
khơng vng góc với .
rr
uuu
r uuur

O, i , j
A ( 3; 6 ) , B ( x; −2 ) , C ( 2; y ) .
Câu 48. Trong mặt phẳng
cho ba điểm
Tìm y biết rằng OA.OC = 12 .

(

A. y = −2 .

)

B. y = −1 .

C. Một số khác.
Lời giải

D. y = 3 .

Chọn C
Trang 13/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


uuu
r
uuur
OA = ( 3;6 ) OC = ( 2; y )

Ta có: uuu
.

r uuur ,
Khi đó: OA.OC = 12 ⇔ 3.2 + 6 y = 12 ⇔ y = 1 .
Suy ra: Đáp án D là đáp án đúng.
rr
uuu
r uuur
O, i , j
A ( 3; 6 ) , B ( x; −2 ) , C ( 2; y ) .
OA
.BC :
Câu 49. Trong mặt phẳng
cho ba điểm
Tính
uuu
r uuur
uuu
r uuur
A. OA.BC = −3 x + 6 y + 18 . uuu
B. OA.BC = −3 x + 6 y + 12 .
r
u
u
u
r
uuu
r uuur
C. OA.BC = 0 .
D. OA.BC = 3 x + 6 y − 12 .

(

)

Lời giải
Chọn A

uuu
r
uuur
OA = ( 3;6 ) BC = ( 2 − x; y + 2 )

Ta có: uuu
,
.
r uuur
OA.BC = 3. ( 2 − x ) + 6 ( y + 2 ) = −3 x + 6 y + 18
Suy ra:
.
Suy ra: Đáp án B l ỏp ỏn ỳng.
ỵ Dng 06: ng dng TVH vào quan hệ vng góc
rr
O, i , j
A ( 3;6 ) , B ( x; −2 ) , C ( 2; y ) .
Câu 50. Trong mặt phẳng
, cho ba điểm
Tìm x để OA vng góc với
AB.
A. x = 12 .
B. x = 18 .
C. x = 19 .

D. x = −19 .
Lời giải
Chọn Cuuu
r
uuur
OA = ( 3;6 ) AB = ( x − 3; −8 )
Ta có:
, uuu
.
r uuu
r
OA ⊥ AB ⇔ OA. AB = 0 ⇔ 3. ( x − 3) + 6 ( −8 ) = 0 ⇔ x = 19
Khi đó:
.
Suy ra: Đáp án A là đáp án đúng.

(

)

9 
A ( −1; 2 ) , B  ;3 ÷
 2  . Tìm tọa độ điểm C trên trục Ox sao cho
Câu 51. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm
tam giác ABC vuông tại C và C có tọa độ nguyên.
A. (0; −3) .

C. (−3; 0) .
Lời giải

B. (3; 0) .

D. (0;3) .

Chọn B
uuur
uuur 
9

AC = ( x + 1; −2 ) , BC =  x − ; −3 ÷
2

.
Gọi C ( x; 0) ∈ Ox . Ta có
x = 3
uuur uuur
2
⇒ AC.BC = 0 ⇒ 2 x − 7 x + 3 = 0 ⇔ 
x = 1
∆ABC vng tại C

2

C có tọa độ nguyên ⇒ C (3; 0) .
uuur uuur

( AB + HC )
Câu 52. Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Biểu thức
2
2

A. AB + HC .

B.

( AB + HC )

2

.

2

bằng biểu thức nào sau đây ?

2
2
C. AC + AH .
Lời giải

2
2
D. AC + 2 AH .

Chọn A
uuur uuur 2 uuur2 uuur uuur uuur 2
AB + HC = AB + 2 AB.HC + HC = AB 2 + HC 2
Ta cú:
.
ỵ Dng 07: Bi toỏn v di, khong cách, chu vi, diện tích

(

)

Trang 14/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


Câu 53. Cho hai điểm

A = ( 1; 2 )

A. 8 .

và

B = ( 3; 4 )

B. 4 2 .

uuu
r2
. Giá trị của AB là:
C. 6 2 .
Lời giải

D. 4.

Chọn A
uuur
uuur2

AB = ( 2; 2 )
Ta có
nên AB = 4 + 4 = 8 .
uuur ur ur uuur ur ur ur ur
ur ur
AB = 3e1 − 4e2 BC = e1 + 5e2 e1 = e2 = 1
e1 ⊥ e2
ABC
Câu 54. Cho tam giác
biết:
;
;
và
.
Độ dài cạnh AC bằng
uur ur
uur ur
4e1 + e2
4e1 + e2
17
A.
.
B.
.
C.
.
D. 5 .
Lời giải
Chọn B
Ta có

uuur 2
ur uu
r 2
uuur uuur uuur ur ur ur ur
ur ur
AC = AB + BC = 3e1 − 4e2 + e1 + 5e2 = 4e1 + e2 ⇒ AC = (4e1 + e2 ) = 16 + 1 = 17
.
uuur
AC = 17
.

A ( 0; −2 ) , B ( 1;5) , C ( 8; 4 ) , D ( 7; −3 )
Câu 55. Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm
. Chọn khẳng định đúng.
B. Ba điểm A, C , D thẳng hàng.
D. Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Lời giải

A. Tứ giác ABCD là hình vng.
C. Tam giác ABC là tam giác đều.

Chọn A
uuur
uuur
uuur
uuur
AB = ( 1;7 ) , BC = ( 7; −1) , CD = ( −1; −7 ) , DA = ( −7;1)
Ta có
uuur uuur
AB

=
BC
=
CD
=
DA
=
5
2
Như vậy
và AB ⊥ BC nên ABCD là hình vng.

A ( 6 ; − 1)
B ( x ; 9)
Câu 56. Tìm x để khoảng cách giữa hai điểm
và
bằng 12.
A. 6 ± 2 7 .

B. 6 ± 2 11 .

C. 6 ± 4 10 .
Lời giải

D. −6 ± 4 5 .

Chọn B

( x − 6 ) 2 + 102

AB =

= 12 ⇔ x 2 − 12 x + 36 + 100 = 144

⇔ x 2 − 12 x − 8 = 0 ⇔ x = 6 ± 2 11 .
Câu 57. Trong mặt phẳng
I.

AB =

( −3 + 1)

2

( Oxy ) , cho A ( −1;3) , B ( −3; −2 ) , C ( 4;1) . Xét các mệnh đề sau:

+ ( −2 − 3) = 29
2

.

II. AC = 29; BC = 58 .
2

2

III. ∆ABC là tam giác vuông cân.

Hỏi mệnh đề nào đúng ?
A. Chỉ III.

B. Cả I, II, III.

C. Chỉ I.
Lời giải

D. Chỉ II.

Chọn B
Trang 15/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


I. đúng
AC 2 = ( 4 + 1) + ( 1 − 3) = 29; BC 2 = ( 4 + 3) + ( 1 + 2 ) = 58 ⇒
II đúng.
2

II.

2

2

2

2
2
2
III. Ta có: AB = AC = 29 ; BC = AB + AC ⇒ ∆ABC vuông cân tại A .

Câu 58. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 2), B (6; − 3) . Tính diện tích tam giác OAB.

A. 3 3 .

D. 7,5.

C. 8.
Lời giải

B. 5 2.

Chọn D

uuu
r uuur
Nhận xét: OA.OB = 0 ⇒ tam giác OAB vuông tại O.
1
1
15
S = OA.OB =
5.3 5 = .
2
2
2
Diện tích tam giác:
A = ( 10;5 ) B = ( 3; 2 )
C = ( 6; −5 )
Câu 59. Cho tam giác ABC có
,
và
. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ABC là tam giác vuông cân tại B .
C. ABC là tam giác có góc tù tại A .

B. ABC là tam giác vuông cân tại A .
D. ABC là tam giác đều.
Lời giải

Chọn A
uuu
r
BA = ( 7;3) ⇒ AB = 49 + 9 = 58
Ta
uuurcó
BC = ( 3; − 7 ) ⇒ BC = 9 + 49 = 58
uuur
AC = ( 4;10 ) ⇒ BC = 16 + 100 = 116
Dễ thấy ABC là tam giác vuông cân tại B .
Câu 60. Cho hai điểm

A. 4 2 .

A ( 5 ; 7 ) , B ( 3 ; 1)

. Tính khoảng cách từ gốc O đến trung điểm M của đoạn AB

B. 10 .

D. 2 10 .

C. 5 .

Lời giải

Chọn A
5+3

 xM = 2 = 4
⇒ OM = 16 + 16 = 4 2

 y = 7 +1 = 4
 M
2
.

µ
Câu 61. Tam giác ABC có C = 150° , BC = 3 , AC = 2 . Tính cạnh AB
A.

3.

B. 1 .

C. 13 .
Lời giải

D. 10 .

Chọn C

2
3

AB = AC 2 + BC 2 − 2 AC.B C.cos150o = 2 2 + 3 − 2.2. 3.  −
÷ = 13
2 ÷


Ta có:
.

A ( −1; 1) B ( 0; 2 ) C ( 3; 1) D ( 0; − 2 )
Câu 62. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm
,
,
,
. Khẳng định nào sau
đây sai?
A. AC = BD.

B. AD = BC .

C. AD P BC.
Lời giải

D. AB P DC.

Chọn C
Trang 16/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


uuur
uuur

AB = ( 1; 1) , DC = ( 3; 3)

Ta có
uuur
 AC = ( 4;
 uuur
 BD = ( 0;
uuur
 AD = ( 1;
 uuur
 BC = ( 3;

0 ) ⇒ AC = 4
− 4 ) ⇒ BD = 4

uuur
uuur
DC = ( 3; 3) = 3 AB ⇒ AB P DC.
và

⇒ AC = BD = 4

− 3) ⇒ AD = 10
− 1) ⇒ BC = 10

⇒ AD = BC

µ
Câu 63. Tam giác ABC có C = 30° , AC = 2 , BC = 3 . Tính cạnh AB
A. 10 .

C. 3 .
Lời giải

B. 10 .

D. 1 .

Chọn D
2

Ta có:

AB = AC 2 + BC 2 − 2 AC.BC.cos 30o = 2 2 + 3 − 2.2. 3.

3
=1
2
.

A ( x A ; y A ) B ( xB ; yB ) C ( xC ; yC )
Câu 64. Cho tam giác ABC , biết
,
,
. Để chứng minh công thức tính diện tích
1
( xB − x A ) ( yC − y A ) − ( xC − xA ) ( yB − y A )
2
một học sinh làm như sau :
uuur

AB = ( xB − xA ; yB − y A ) = ( x1 ; y1 ) ⇒ AB = x12 + y12
Bước 1:
uuur
AC = ( xC − xA ; yC − y A ) = ( x2 ; y2 ) ⇒ AB = x22 + y22
uuu
r uuur
x1 x2 + y1 y2
·
cos BAC
= cos AB, AC =
x12 + y12 . x22 + y22

S∆ABC =

(

)

·
Bước 2: Do sin BAC > 0 , nên :
2



x1 x2 + y1 y2
·
·
÷ =
sin BAC
= 1 − cos BAC

= 1− 
 x2 + y 2 . x2 + y 2 ÷
1
2
2 
 1
1
1
·
S ∆ABC = AB. AC .sin BAC
= x1 y2 − x2 y1
2
2
Bước 3: Do đó
2

x1 y2 − x2 y1
x12 + y12 . x22 + y22

1
( xB − x A ) ( yC − y A ) − ( xC − x A ) ( yB − y A )
2
Bài làm trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Sai từ bước 3.
B. Sai từ bước 1.
C. Sai từ bước 2.
Lời giải
Chọn D
Bài giải đúng.
⇒ S ∆ABC =

D. Bài giải đúng.

Câu 65. Cho hình vng ABCD cạnh a . Trên các cạnh AB, BC , CD, DA lần lượt lấy các điểm M , N , P, Q
sao cho AM = BN = CP = DQ = x (0 < x < a) . Tính diện tích tứ giác MNPQ ta được:
2
2
A. x − 2ax + a .

2
2
B. 2 x + 2ax + a .

2
2
C. 2 x − 2ax + a .
Lời giải

2
2
D. 2x − ax + a .

Chọn C
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PN .PQ = PD + DQ PC + CN = PD.PC + PD.CN + DQ.PC + DQ.CN
Ta có:

(

)(

)

Trang 17/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


uuur 2
uuu
r2
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur = − a − x . x .DC + a − x . x .CB
= − DP.PC + DQ.CN = − DP.PC + NB.CN
=0
a a
a a
uuur uuur
Suy ra PN ⊥ PQ
Dễ dàng chứng minh được QM = MN = NP = PQ
Suy ra MNPQ là hình vng

MQ = AM 2 + AQ 2 = x 2 + ( a − x ) = 2 x 2 − 2ax + a 2
2

Có

S
= MQ 2 = 2 x 2 − 2ax + a 2
Vậy MNPQ
.

ỵ Dng 08: Tỡm im tha món ng thc v tích vơ hướng

uuuu
r uuu
r uuuu
r2

Câu 66. Cho hai điểm B , C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB = CM

thuộc

A. Một đường khác không phải đường trịn.
B. Đường trịn đường kính BC .
( B, BC ) . D. Đường tròn ( C , CB ) .
C. Đường tròn
Lời giải
Chọn B
uuuu
r uuu
r uuuu
r2
uuuu
r uuu
r uuuu
r r
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
CM .CB = CM ⇔ CM CB − CM = 0 ⇔ CM .MB = 0 ⇔ MC.MB = 0

Ta có
. Vậy tập hợp các điểm M
thuộc đường trịn đường kính BC .

(

)

Câu 67. Cho hình vng ABCD cạnh a . Trên các cạnh AB, BC , CD, DA lần lượt lấy các điểm M , N , P, Q

uuuu
r uuur a 2
PM . DC =
2 thì giá trị của x bằng:
sao cho AM = BN = CP = DQ = x (0 < x < a) . Nếu
3a
a
a
A. 4 .
B. a .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn A
uuuu
r uuur a 2
uuur uuur uuur a 2
uuur uuur uuur uuur a 2
PM .DC =
⇔ PQ + PN .DC =

⇔ PQ.DC + PN .DC =
2
2
2
Ta có:
uuur uuur uuur uuur a 2
a − x uuur 2 x uuur 2 a 2
2 x − a uuur 2 a 2
⇔ PD.DC + PC.DC =
⇔−
DC + DC =
⇔
DC =
2
a
a
2
a
2
2
a
3
⇔ 2ax − a 2 =
⇔x= a
2
4 .
ỵ Dng 09: Tỡm im c bit trong tam giỏc

(

)

A ( −4 ; 7 ) , B ( 2 ; 5 ) , C ( −1 ; −3)
Câu 68. Trọng tâm G của tam giác ABC với
có tọa độ là:
A.

( 2 ; 6) .

B.

( −1 ; 2 ) .

( −1 ; 3) .
C.
Lời giải

D.

( −1 ; 4 ) .

Chọn C
−4 + 2 − 1

= −1
 xG =
3
⇒ G ( −1 ; 3)

7

+
5
−
3
y =
=3
 G
3
.
Câu 69. Trong mặt phẳng Oxy , cho A(1;3), B ( −2; 4), C (5;3) , trọng tâm của ∆ABC có tọa độ là:

 4 10 
 ; ÷
A.  3 3  .

 8 10 
 ;− ÷
B.  3 3  .

( 2;5) .
C.

 10 
 2; ÷
D.  3  .
Trang 18/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


Lời giải
Chọn A

1− 2 + 5 4

=
 xG =
3
3

 y = 3 + 4 + 3 = 10
G
3
3 .
Tọa độ trọng tâm G : 
Câu 70. Cho

A.

A ( 1 ; 5 ) , B ( −2 ; 4 ) , G ( 3 ; 3 )

( 5 ; 7) .

B.

. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì tọa độ của C là:

( 10 ; 0 ) .

( −10 ; 0 ) .
C.
Lời giải

D.

( 3 ; 1) .

Chọn B
 x A + xB + xC = 3xG
1 − 2 + xC = 9
 xC = 10
⇔
⇔

 y A + y B + yC = 3 yG
5 + 4 + yC = 9
 yC = 0 .

A ( 1 ; 3) , B ( 4 ; −1) , C ( −2 ; −3 )
Câu 71. Cho ∆ABC có
. Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là
 1 1
− ;− ÷
A.  2 2  .
Chọn B
I ( x ; y)

1 1
 ;− ÷
B.  2 2  .

 1 3
− ; ÷

C.  2 2  .
Lời giải

 1 1
− ; ÷
D.  2 2  .

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi:

2
2
2
2
 IA2 = IB 2
( x − 1) + ( y − 3) = ( x − 4 ) + ( y + 1)
⇔
 2
2
2
2
2
2
IA
=
IC
( x − 1) + ( y − 3) = ( x + 2 ) + ( y + 3 )


1


x=

6
x
−
8
y
−
7
=
0


2 ⇒ I  1 ;− 1 
⇔
⇔

÷
2 2
6 x + 12 y + 3 = 0
y = − 1

2
.

A ( 1 ; −2 ) , B ( 2 ; −3) , C ( 3 ; 0 )
Câu 72. Cho tam giác ABC với
. Tìm giao điểm của đường phân giác ngồi của
góc A và đường thẳng BC :
( 1 ; −6 ) .

( 1 ; 6) .
A.
B.

( −1 ; −6 ) .
C.
Lời giải

D.

( −1 ; 6 ) .

Chọn A

AB =

( 2 − 1) 2 + ( −3 + 2 ) 2

= 2

;

AC =

( 3 − 1) 2 + ( 0 + 2 ) 2 = 2

2

.

3 − 2.2

uuur
xE =
=1

EC AC

1− 2
uuu
r=
=2⇒
⇒ E ( 1 ; −6 )
EB AB
 y = 0 − 2. ( −3 ) = −6
 E
1− 2
.
Câu 73. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A( −2; 4), B(8; 4). Tìm toạ độ điểm C trên Ox (khác điểm
O) sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Trang 19/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


A. (1; 0).

C. ( −1; 0).
Lời giải

B. (3; 0).

Chọn D
C ∈ Ox ⇒ C ( x; 0 )
Vì

D. (6; 0).

( x ≠ 0) .

uuur uuur
⇔
AC.BC = 0 ( *)
ABC vuông tại C
Tam giác
.
uuur
uuur
AC = ( x + 2; − 4 ) ; BC = ( x − 8; − 4 )

( *) ⇔ ( x + 2 ) ( x − 8) + 16 = 0 ⇔ x = 6; x = 0. Vậy C ( 6; 0 ) . (loi

x=0)

ỵ Dng 10: Tp hp im

uuur uuur

2
Cõu 74. Cho 2 điểm A, B và O là trung điểm của AB , OA = a . Tập hợp những điểm M mà MA.MB = a là

đường trịn tâm O , có bán kính bằng :

A. a 2 .

C. a .
Lời giải

B. 2a 2 .

D. 2a .

Chọn A
uuur uuur uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r
MA.MB = MO + OA MO + OB = MO + OA MO − OA = MO 2 − OA 2 = a 2

(

)(

) (

)(

)

2
2
2
2
Do đó MO = OA + a = 2a nên MO = a 2 .

uuuu
r uuu
r uuuu
r2

Câu 75. Cho hai điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB = CM
A. Một đường khác.
C. Đường tròn

( B; BC ) .

là:

B. Đường trịn đường kính BC .
D. Đường trịn

( C; CB ) .
Lời giải

Chọn B

uuuu

r uuu
r uuuu
r
uuuu
r uuur
uuuu
r uuu
r uuuu
r 2 ⇔ CM
.
CB
−
CM
= 0 ⇔ CM
.MB = 0 ⇔ CM ⊥ MB
Ta có: CM .CB = CM

(

)

uuuu
r uuu
r uuuu
r2
CM
.
CB
=
CM

M
Do đó quĩ tích các điểm
thỏa mãn
là đường trịn đường kính BC .
ỵ Dng 11: Bi toỏn cc tr
Cõu 76. Cho hai điểm

A.

M ( 0 ; −5 )

.

A ( −3 ; 1)

B ( −5 ; 5 )
và
. Tìm điểm M trên trục y′Oy sao cho MB − MA lớn nhất.
M ( 0 ; 5)
M ( 0 ; 3)
M ( 0 ; −6 )
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Trang 20/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841

Chọn A
M ( 0 ; y ) ∈ y′Oy
Lấy

, với y bất kì.

Ta có: MB − MA ≤ AB ;

x A .xB = ( −3) ( −5) = 15 > 0

. Vậy A, B nằm cùng bên đối với y′Oy . Do đó MB − MA lớn nhất khi
MB − MA = AB , khi đó M , A, B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB .

uuur
uuur
MB = ( −5 ; 5 − y ) ; MA = ( −3 ; 1 − y ) .

−5 ( 1 − y ) + 3 ( 5 − y ) = 0 ⇔ y = −5
M ( 0 ; −5 )
Vậy
. Do đó
.
CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GII TAM GIC
ỵ Dng 00: Cỏc cõu hi cha phõn dạng
Câu 77. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = 30 cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt

nhau tại G . Diện tích tam giác GFC là:
B. 15 105 cm2.

A. 75 cm2.

D. 50 2 cm2.

C. 50 cm2.
Lời giải

Chọn A
1
1
1
S ∆AGC = S ∆AHC = S ∆ABC
2
3
6
Nối AG cắt BC tại H ta có:
1
1
S∆ABC = .30.30 = 450 cm 2
S∆GFC = .450 = 75 cm 2
2
6
M
nờn
.
ỵ Dng 01: Xỏc nh cỏc yu t trong tam giác
S ∆GFC =

Câu 78. Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là

3
A. 2 .

2 và 1.

6
C. 2 .
Lời giải

3.

B.

3,

2
D. 2 .

Chọn D
Nửa chu vi của tam giác là:
Diện tích tam giác là:

S=

p=

(

3 + 2 +1

2
.

p p− 3

) ( p − 2 ) ( p − 1) =

2
2 .

Câu 79. Tính diện tích tam giác ABC có ba cạnh là 13, 14, 15.
Trang 21/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


C. 6411 .
Lời giải

B. 84.

A. 16 24 .

D. 168.

Chọn B
Nữa chu vi:
Diện tích:

p=

S=

13 + 14 + 15
= 21.
2
.

p( p − 13)( p − 14)( p − 15) = 84.

.

Câu 80. Tam giác ABC có AB = 5 , BC = 8 , CA = 6 . Gọi G là trọng tâm tam giác. Độ dài đoạn thẳng BG

bằng bao nhiêu?
A. 6 .

B.

142
3 .

C.
Lời giải

142
2 .

D. 4 .

Chọn B
Gọi M là trung điểm AC , ta có

BG =

BM 2 =

AB 2 + BC 2 AC 2 71
−
=
2
4
2 .

2
2 71
142
BM =
=
3
3 2
3 .

Câu 81. Tam giác có ba cạnh lần lượt là 5,12,13. Tính độ dài đường cao ứng với cạnh lớn nhất.

30
A. 13 .

60
C. 13 .
Lời giải

B. 12 .

120
D. 13 .

Chọn C
Đặt a = 5 , b = 12 , c = 13 . Ta có:
Nửa chu vi của tam giác là:
Diện tích của tam giác là:

S=

p=

5 + 12 + 13
= 15
2

p ( p − 5 ) ( p − 12 ) ( p − 13 ) = 15 ( 15 − 5 ) ( 15 − 12 ) ( 15 − 13 ) = 30

Đường cao ứng với cạnh lớn nhất là:

hc =

.

2 S 2.30 60
=
=
c

13
13 .

Câu 82. Tam giác ABC có a = 8 , b = 7 , c = 5 . Diện tích của tam giác là:
A. 10 3 .

B. 12 3 .

C. 5 3 .

D. 8 3 .

Lời giải
Chọn A

Ta có:

p=

Áp dụng:

a+b+c 8+7+5
=
= 10 .
2
2

S=

p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = 10 3

.

Câu 83. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có ba cạnh là 13, 14, 15.
Trang 22/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


33
.
A. 4

1
8 .
B. 8

D. 8.

C. 6 2.
Lời giải

Chọn B
Sử dụng cơng thức Hê-rơng tính được diện tích tam giác: S = 84.
13.14.15 65
1
R=
=
=8 .
4.S
8
8
Bán kính:

Câu 84. Cho tam giác ABC có a = 2 , b = 6 , c = 3 + 1 . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.

2
.
3
A.

B.

3.

C.

2
D. 2 .

2.

Lời giải
Chọn C

b2 + c2 − a2
2
a
2
cos A =
=
R=
=
2sin A 2.sin 45° = 2 .

2bc
2 ⇒ A = 45° . Do đó :
Ta có :
Câu 85. Cho tam giác ABC có a = 2 , b = 6 , c = 3 + 1 . Tính góc A .
A. 68° .

B. 75° .

C. 30° .

D. 45° .

Lời giải
Chọn D

2
b2 + c2 − a2
cos A =
=
2bc
2 ⇒ A = 45° .
Ta có :
Câu 86. Tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm và BC = 15 cm. Khi đó đường trung tuyến AM của tam

giác có độ dài là:
A. 7, 5 cm.

B. 10 cm.

C. 9 cm.

Lời giải

D. 8 cm.

Chọn A
Cách 1: Ta có

AM =

AB 2 + AC 2 BC 2
92 + 122 152
−
=
−
= 7,5
2
4
2
4
.

Cách 2: Tam giác ABC vuông tại A nên

AM =

BC
= 7,5
2
.

Câu 87. Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường trịn tâm O bán kính R . Gọi r là bán kính

R
đường trịn nội tiếp tam giác ABC . Khi đó tỉ số r bằng:
A. 1 + 2 .

2+ 2
2 .
B.

C.
Lời giải

2 −1
2 .

1+ 2
D. 2 .

Chọn A
Trang 23/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


AB = AC = a ⇒ BC = a 2 ⇒ R =

Giả sử

S = pr =

Mặt khác

R
= 1+ 2
Suy ra r
.

a 2
2 .

AB. AC
2a + a 2
a2
a
⇔
r=
⇔r=
2
2
2
2+ 2

Câu 88. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 4, BC = 6 , M là trung điểm của BC , N là điểm trên cạnh CD
sao cho ND = 3 NC . Khi đó bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN bằng

5 2
A. 2 .

3 5
B. 2 .

C. 5 2 .

Lời giải

D. 3 5 .

Chọn A

Ta có
MC = 3, NC = 1 ⇒ MN = 10
BM = 3, AB = 4 ⇒ AM = 5
AD = 6, ND = 3 ⇒ AN = 45

p=

AM + AN + MN
10 + 5 + 45
=
2
2
p ( p − AM ) ( p − AN ) ( p − MN ) =

S AMN =

15
2

Bán kính của đường trịn ngoại tiếp của tam giác AMN là:

R=

AM . AN .MN 5 2

=
4 S AMN
2

Câu 89. Tam giác ABC có AB = 9 , BC = 10 , CA = 11 . Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AM .

Tính độ dài BN .
A. 5 .

B.

34 .

C. 6 .
Lời giải

D. 4 2 .

Chọn B
Ta có

AM 2 =

BN 2 =

AB 2 + AC 2 BC 2
−
= 76
2
4

.

BA2 + BM 2 AM 2
−
= 34
2
4
.
Trang 24/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841


Câu 90. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh lần lượt là 5, 12, 13.

C. 6,5.
Lời giải

B. 6.

A. 5 2.

D. 11.

Chọn C
Nhận xét: Đây là tam giác vuông với cạnh huyền là 13.
13
R= .
2
Nên bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
Câu 91. Tam giác có ba cạnh lần lượt là 21 , 22 , 23 . Tính độ dài đường cao ứng với cạnh có độ dài bằng 22.

B. 3 10 .

A. 27 .

4 11
D. 7 .

C. 6 10 .
Lời giải

Chọn C
Nửa chu vi của tam giác là:

p=

21 + 22 + 23
= 33
2
.

S = p ( p − 21) ( p − 22 ) ( p − 23) = 66 10
Diện tích tam giác là:
.
Đặt a = 21 , b = 22 , c = 23 .
Độ dài đường cao ứng với cạnh có độ dài bằng 22 là:

hb =

2 S 2.66 10
=

= 6 10
b
22
.

Câu 92. Tam giác có ba cạnh là 9, 10, 11. Tính đường cao lớn nhất của tam giác.

A.

70.

B. 4 3.

60 2
.
C. 9
Lời giải

D. 3 2.

Chọn C
Nữa chu vi:

p=

9 + 10 + 11
= 15.
2

S = p ( p − 9)( p − 10)( p − 11) = 30 2.

Diện tích:
Đường cao lớn nhất ứng với cạnh nhỏ nhất.
Nên ta có:

hmax =

2 S 2.30 2 60 2
=
=
a
9
9 .

0
Câu 93. Tam giác ABC có tổng hai góc B và C bằng 135 và độ dài cạnh BC bằng a . Tính bán kính đường

trịn ngoại tiếp tam giác.
a 3
A. 2 .

B. a 3 .

a 2
C. 2 .
Lời giải

D. a 2 .

Chọn C
Ta có A = 180° − 135° = 45° .

BC
BC
a
a 2
= 2R ⇒ R =
=
=
sin A
2sin A 2sin 45°
2 .
Câu 94. Tam giác có ba cạnh 13, 14, 15. Tính đường cao ứng với cạnh có độ dài 14.

A. 10.

B. 12.

C. 1.

D. 15.
Trang 25/35 - HỒNG MINH -- 077 555 1841