Khái niệm vô cùng và những điều còn trang luận

Khái niệm về “Vô cùng” – Những điều còn Tranh luận
Mặc dù đã tồn tại hơn 2000 năm, nhưng khái niệm vô cùng vẫn là một khái
niệm bí ẩn, và đôi khi thách thức, đối với các nhà toán học, nhà vật lí học và
nhà triết học. Liệu vô cùng có thật sự tồn tại, hay nó chỉ là một bộ phận của cái
kết cấu của trí tưởng tượng của chúng ta mà thôi?
Một ủy ban gồm các nhà khoa học và nhà toán học đã tập trung thảo luận một
số câu hỏi và tranh cãi nổi bật xung quanh khái niệm vô cùng hôm 31/5 vừa qua
tại New York, là một phần của Festival Khoa học Thế giới, một sự kiện được tổ
chức thường niên.
Một phần khó khăn trong việc phân giải một số câu hỏi trừu tượng liên quan
đến vô cùng là những vấn đề này rơi khỏi những lí thuyết toán học đã được xác
lập chắc chắn hơn, theo nhà toán học William Hugh Woodin tại trường Đại học
California, Berkeley.
Kí hiệu toán học của vô cùng
Kí hiệu toán học của vô cùng
“Nó giống như là các nhà toán học sinh sống trên một hòn đảo ổn định – chúng
ta đã xây dựng trên đó một nền tảng chắc chắn,” Woodin nói. “Rồi thì có vùng
đất hoang dã ở ngoài kia. Đó là vô cùng.”
Nơi câu chuyện bắt đầu
Một nhà triết học tên gọi là Zeno xứ Elea, sinh sống vào khoảng năm 490 TCN
đến 430 TCN, được tôn vinh là người đưa ra khái niệm vô cùng.
Vô cùng đã được nghiên cứu bởi các nhà triết học thời xưa, trong đó có
Aristotle, ông này từng nêu câu hỏi rằng liệu vô cùng có thể tồn tại trong một
thế giới vật chất có vẻ hữu hạn hay không, theo lời Philip Clayton tại trường
Đại học Claremont Lincoln ở California. Các nhà thần học, trong đó có Thomas
Aquinas, đã sử dụng vô cùng để giải thích mối liên hệ giữa con người, Chúa và
thế giới tự nhiên.
Vào những năm 1870, một nhà toán học người Đức tên là Georg Cantor đã đi
tiên phong nghiên cứu trong một lĩnh vực ngày nay gọi là lí thuyết tập hợp.
Theo lí thuyết tập hợp, các số nguyên, tức những con số không có phần thập
phân (ví dụ như 1, 5, - 4), tạo nên một tập hợp vô cùng lớn có thể đếm được.

Mặt khác, các số thực, bao gồm số nguyên, số hữu tỉ và cái gọi là số vô tỉ, ví dụ
căn bậc hai của 2, là một bộ phận của một tập hợp vô cùng lớn không thể đếm
được.
Từ đó khiến Cantor nghi vấn về những loại khác nhau của khái niệm vô cùng.
“Nếu có hai loại vô cùng – loại đếm được và loại liên tục này, tức loại lớn hơn
– thì liệu còn có những vô cùng khác nữa hay không? Phải chăng còn có loại vô
cùng nào đó nằm lưng chừng giữa chúng nữa?” phát biểu của nhà toán học
Steven Strogatz tại trường Đại học Cornell ở New York.
Cantor tin rằng không có những vô cùng tồn tại lưng chừng giữa tập số nguyên
và tập số thực, nhưng ông chưa từng chứng minh được nó. Tuy nhiên, phát biểu
của ông sau này được người ta gọi là giả thuyết liên tục, và các nhà toán học nối
gót nghiên cứu của Cantor được gọi là nhà lí thuyết tập hợp.
Khám phá xa hơn
Woodin là một nhà lí thuyết tập hợp, và ông đã dành cuộc đời mình đi giải giả
thuyết liên tục. Cho đến nay, các nhà toán học chưa có thể chứng minh hay bác
bỏ giả thuyết của Cantor. Một phần của vấn đề là vì quan điểm có nhiều hơn hai
loại vô cùng là quá trừu tượng, Woodin nói.
“Bạn không thể chế tạo một vệ tinh nào đó bay ra ngoài kia và đo lấy giả thuyết
liên tục,” ông lí giải. “Không có cái gì trong thế giới xung quanh chúng ta sẽ
giúp chúng ta xác định giả thuyết liên tục là đúng hay là sai, trong chừng mực
mà chúng ta biết.”
Khó khăn hơn nữa là thực tế một số nhà toán học bác bỏ tính xác đáng của loại
nghiên cứu toán học như thế này.
“Những người nghiên cứu lí thuyết tập hợp này là thuộc loại xa lạ với chúng
tôi, ngay cả trong cộng đồng toán học,” Strogatz nói đùa. Nhưng, ông cho biết
ông hiểu rõ tầm quan trọng của nghiên cứu do các nhà lí thuyết tập hợp đang
làm, bởi vì nếu giả thuyết liên tục bị chứng minh là sai, thì nó có thể làm bật
gốc những nguyên lí toán học căn bản theo kiểu giống như lí thuyết số mà mâu
thuẫn thì sẽ quét sạch gốc rễ của toán học và vật lí học.
“Chúng tôi biết rằng họ đang làm cái công việc thật sự quan trọng, sâu sắc, và

trên nguyên tắc, đó là nghiên cứu nền tảng,” Strogatz giải thích. “Họ đang làm
lung lay những nền tảng mà tất cả chúng tôi đang hoạt động dựa trên đó, lên tới
tầng thứ hai và tầng thứ ba. Nếu họ mà làm sập nó thì chúng tôi coi như xong.”
Tương lai của toán học
Tuy nhiên, bất chấp cái mờ mịt trước mắt, nghiên cứu thực hiện bởi các nhà lí
thuyết tập hợp có thể có những tác động tích cực làm củng cố các nền tảng của
toán học, Woodin nói.
“Bằng cách nghiên cứu vô cùng, và đến chừng mực mà chúng ta có thể thành
công, tôi nghĩ chúng tôi ủng hộ cho sự nhất quán của số học,” ông giải thích.
“Đó là một phát biểu có chút cuồng tín, nhưng nếu vô hạn không dẫn tới mâu
thuẫn, thì chắc chắn hữu hạn không dẫn tới mâu thuẫn. Cho nên, có lẽ bằng
cách khảo sát mở rộng ra bên ngoài xem có mâu thuẫn hay không, anh sẽ thu
được một sự đảm bảo nào đó.”