giải bài tập chương 2 toán kinh tế 1 hvnh

Bài 1: Một nhà sản xuất độc quyền có hàm sản xuất
và tiêu thụ sản
phẩm trên thị trường có hàm cầu ( )
. Lập hàm số biểu thị tổng
doanh thu theo và .
Giải:
( )

Theo bài ta có: hàm cầu:
( )

hay

Hàm doanh thu:

với
(

)

=
Bài 2:
Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 2 hàng hóa:
{

; {

a)
Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì mức giá
,
phải thỏa mãn các điều kiện nào?

b)
Xác định giá và sản lượng cân bằng cho các hàng hóa.
Giải
a)
Điều kiện của mức giá
,
để nhà sản xuất cung ứng hàng hóa ra thị
trường:
{
b)

Xét mơ hình cân bằng:

{

{

{

{


{

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy với giá hàng hóa
luợt là

và

{
thì luợng cân bằng cho từng hàng hóa lần

và

Bài 3:
Một cơng ty độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp
trong đó là lượng sản phẩm thứ . Cho biết hàm
cầu đối với sản phẩm 1 và 2 tương ứng là:
,
.
Lập hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của cơng ty theo

,

.

Giải:
Ta có:

,

Hàm tổng doanh thu:
Hàm tổng lợi nhuận:

Bài 4:
Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất
Q,K,L được tính hàng ngày.

√

√ , với

a) Cho biết sản lượng khi đầu vào là:
b) Nếu giá một đơn vị tư bản là 12 USD, giá một đơn vị lao động là 2,5 USD và
công ty sử dụng các yếu tố đầu vào ở mức nếu trong ý a) thì cơng ty nên sử
dụng thêm 1 đơn vị tư bản hay thêm một đơn vị lao động mỗi ngày?
Giải:


a) Khi
b) Ta có:

ta có sản lượng

(

√

√

.

)

tại mức sử dụng vốn 25 đơn vị và mức sử dụng lao động 1000 đơn vị, nếu tăng
1 đơn vị sử dụng vốn thì sản lượng tăng 80 đơn vị.

(

)

tại mức sử dụng vốn 25 đơn vị và mức sử dụng lao động 1000 đơn vị, khi tăng 1
đơn vị sử dụng lao động thì sản lượng tăng 1,33 đơn vị.
Vậy, nếu giá 1 đơn vị vốn là 12USD, giá 1 đơn vị lao động là 2,5USD thì cơng ty nên
sử dụng thêm 1 đơn vị vốn mỗi ngày.
BÀI 9:
Hàm cầu của hàng hóa trên thị trường hai hàng hóa là

,

trong đó
tương ứng là giá của hàng hóa 1 và 2. Tính hệ số co dãn của
) (
theo và của theo tại (
) và nêu ý nghĩa.
Giải:
Hệ số co dãn của cầu theo giá
(
) (
) là:
(

)

Hệ số co dãn của cầu theo giá
(
) (
) là:

đối với giá của hàng hóa đó tại thời điểm

(

)

đối với giá của hàng hóa đó tại thời điểm


(

(

)

)

Bài 5: Một cơng ty có hàm sản xuất là Q  20L0,4 K 0,6
a. Hàm sản xuất trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần không?
 2Q

b. Nêu ý nghĩa kinh tế của
K 2 .
Lời giải:
a. Do Q”KK <0 và Q”LL<0 thì hàm sản xuất trên có tn theo quy luật lợi ích
cận biên giảm dần.
 2Q
b.
K 2 cho biết khi K tăng 1 đơn vị thì sản phẩm hiện vật cận biên của vốn sẽ

thay đổi như thế nào.
Bài 6: cho hàm sản xuất Q  0,3K 0,5 L0,5 với Q là sản lượng, K là số đơn vị vốn, L là
số đơn vị lao động.
a. Hàm số trên có thể hiện quy luật năng suất cận biên giảm dần không?
b. Nếu K tăng 8%, L khơng đổi thì Q thay đổi như thế nào?
Lời giải:
a. Hàm số trên có thể hiện quy luật năng suất cận biên giảm dần
b. Nếu K tăng 8%, L khơng đổi thì Q tăng xấp xỉ 4%.
0,5
Bài 7: cho hàm cầu một hàng hóa D  4M  ln p  2 .

a. Tìm biểu thức cho biết sự thay đổi của cầu hàng hóa khi p thay đổi 1% .
b. Tìm biểu thức cho biết sự thay đổi của cầu hàng hóa khi M thay đổi 1%.
c. Tại (p0, M0 ) , giả sử giá tăng 1 đơn vị thì thu nhập M tăng bao nhiêu thì cầu
không đổi?
Lời giải:


a.  pD  D ' p p   1
D

b.  MD  D 'M

p 4M

0,5

p
1


0,5
 ln p  2
4M  ln p  2

M
M
2M 0,5
 2M 0,5

D
4M 0,5  ln p  2 4M 0,5  ln p  2

c. D ' p   1 , D 'M  2M 0,5
p

Khi giá tăng 1 đơn vị, để cầu khơng đổi thì thu nhập cần tăng một lượng là
M 

1
2 p0 M 00,5

0,5
2
Bài 8: cho hàm cầu về một loại hàng hóa D  M . p .

a. Cho biết biết phần trăm thay đổi của cầu hàng hóa khi p thay đổi 1% và phần
trăm thay đổi của cầu hàng hóa khi M thay đổi 1%.
b. Giả sử giá tăng 1 % thì thu nhập M tăng bao nhiêu thì cầu khơng đổi?
Lời giải:

a. Khi p tăng 1% thì cầu hàng hóa giảm xấp xỉ 2%.
Khi M tăng 1% thì cầu hàng hóa tăng xấp xỉ 0,5%.
b. Giá tăng 1 % , để cầu khơng đổi thì thu nhập M tăng 4%.
Bài 9: Cho hàm cầu có phương trình là Q 
Tại P = 4 USD, nếu giá giảm
phần trăm?
Lời giải:
 Qp  Q ' p

60
 ln  65  p3 
p

thì lượng bán và doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu

p  60
3 p2 
p
  2 
  Qp ( p  4)  13,8
3 
60
Q  p 65  p 
 ln  65  p3 
p

Nếu giá giảm

thì lượng bán tăng xấp xỉ 27,6%.

TR  p.Q  60  p.ln  65  p3 

 TR
p  TR ' p

p 
3 p3 
p
  ln  65  p3  
  TR
p ( p  4)  12,8
3 
TR 
65  p  60  p.ln  65  p3 


thì tổng doanh thu tăng xấp xỉ 25,6%.

Nếu giá giảm

Bài 10: Đầu tư nước ngoài (I) phụ thuộc vào mức tiền lương trung bình (W) và
tốc độ tăng thu nhập quốc dân (g) như sau: I  25  12 g 2  0, 4W
a. Xác định biểu thức tính tỉ lệ % thay đổi của I khi g và W đều tăng 1%.
b. Tại w= 2, g = 0,05, khi mức tiền lương trung bình tăng 1 %, tốc độ tăng thu
nhập quốc dân khơng đổi thì đầu tư nước ngoài thay đổi như thế nào?
Lời giải:
a. Khi g và W đều tăng 1% thì biểu thức xác định % thay đổi của I là
I 'g

g

w
24 g 2  0, 4W
 I 'W 
I
I 25  12 g 2  0, 4W

b.  WI  I 'W

w
0, 4W

  WI (  2; g  0, 05)  0, 033
I 25  12 g 2  0, 4W

Tại w= 2, g = 0,05, khi mức tiền lương trung bình tăng 1 %, tốc độ tăng thu nhập
quốc dân không đổi thì đầu tư nước ngồi giảm xấp xỉ 0,033%.
Bài 11: Thu nhập quốc dân của một quốc gia có dạng:
Y  0, 21K 0,1L0,3 NX0,05

Trong đó K là vốn, L là lao động và NX là xuất khẩu ròng.
a. Có ý kiến cho rằng khi L khơng đổi, nếu tăng mức xuất khẩu rịng lên 5% thì
có thể giảm chi phí vốn 1% mà thu nhập khơng đổi. Nhận xét ý kiến đó?
b. Cho nhịp tăng trưởng của NX, K, L lần lượt là 3%, 5%, 10%. Tính nhịp tăng
trưởng của Y?
Lời giải:
a. Ý kiến đó sai vì khi đó thu nhập quốc dân tăng 0,15%.
b. nhịp tăng trưởng của Y là 3,65%.
Bài 12: Kim ngạch xuất khẩu dầu mỏ (X) sang Mỹ của một quốc gia vùng Trung
Đông phụ thuộc vào mức giá P của quốc gia đó và thu nhập quốc dân của Mỹ (Y)
Y 0,5

có dạng: X  0,5
P


a. Khi mức giá P tăng 1%, thu nhập quốc dân của Mỹ khơng đổi thì kim ngạch
xuất khẩu dầu mỏ sang Mỹ thay đổi như thế nào?
b. Khi mức giá P không đổi, thu nhập quốc dân của Mỹ giảm 1% thì kim ngạch
xuất khẩu dầu mỏ sang Mỹ thay đổi như thế nào?.
c. Nếu hàng năm Y tăng 3%, P tăng 5% thì X biến động như thế nào?
Lời giải: X 

Y 0,5
 Y 0,5 .P 0,5   YX  0,5;  pX  0,5
0,5
P

a. Khi mức giá P tăng 1%, thu nhập quốc dân của Mỹ khơng đổi thì kim ngạch
xuất khẩu dầu mỏ sang Mỹ giảm 0,5%.
b. Khi mức giá P không đổi, thu nhập quốc dân của Mỹ giảm 1% thì kim ngạch
xuất khẩu dầu mỏ sang Mỹ giảm 0.5%.
c. Nếu hàng năm Y tăng 3%, P tăng 5% thì X giảm 1%.
Bài 13:
Ta có: (

)

nên thay

vào hàm số ta được:
(1)

Giải hệ phương trình:{

(
(

)
)
(

Do hàm số đạt cực trị tại
{

) nên thay

. Thay vào (1) ta được:

{

Với

thì hàm số đã cho có dạng:

Ta xét điểm
(
Vậy

(2)

(

): có

|

|

) là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
thỏa mãn bài toán.

vào (2) ta được:


BÀI 14:
Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại hai nhà máy 1 và 2 với hàm
chi phí cận biên tương ứng là
;
( là lượng
sản phẩm ở nhà máy thứ i). Cơng ty đó bán sản phẩm trên thị trường với hàm cầu
ngược là
. Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi nhà máy
và giá bán để thu được lợi nhuận tối đa?
Giải:
Hàm doanh thu:
(

)

(

)

(

)

Hàm chi phí:

+C

Hàm lợi nhuận:
Ta có:

;

Xét điểm dừng là nghiệm của hệ {
{

{
(

Vậy hệ có điểm dừng tại

).

;
(

;
)

|

và
(
)
hai nhà máy lần lượt là 60 và 200.
Mức giá bán là
BÀI 15:

{

|
nên hàm đạt cực đại tại mức sản lượng của
(

)


(
)
Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng
trong đó
tương ứng là số đơn vị hàng hóa 1 và 2,(
). Ngân sách tiêu dùng là
300 USD, giá đơn vị hàng hóa 1 và 2 lần lượt là 3 USD và 5 USD. Tìm gói hàng hóa
dể lợi ích tiêu dùng lớn nhất?
Giải:
Số tiền để mua hàng hóa 1 là

. Số tiền để mua hàng hóa 2 là

Theo đề bài ta có:

.

.

Bài tốn trở thành tìm cực trị của hàm:
(
)
(
).
+) Lập hàm Lagrange:

(

)

(

)

với điều kiện

(

).

+) Tìm diểm dừng:

Giải hệ phương trình:
{

( )
( )
( )

{

{

{

+) Xét điều kiện đủ của cực trị

{


Tại điểm

(

)

(

) ta có:

(

|
(
Hàm số (

)

(

)

)

(

)

) đạt cực đại tại

.

(

)
(

( )
) ( )

|

Vậy gia đình đó cần mua 50 đơn vị hàng hóa 1 và 30 đơn vị hàng hóa 2 thì lợi ích
đạt tối đa.
Bài 16: Một doanh nghiệp có hàm sản xuất
. Giả sử giá thuê
tư bản là 6 USD, giá thuê lao động là 2 USD và doanh nghiệp tiến hành
sản xuất với ngân sách cố định 384 USD. Doanh nghiệp đó sử dụng bao
nhiêu đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng
tối đa?
Theo bài ta có:
- Số tiền cần bỏ ra để thuê tư bản là

, số tiền cần bỏ ra để thuê lao động là

Nên:
với điều kiện (

Bài tốn trở thành tìm cực trị của hàm
.
+) Lập hàm Lagrange:
(
(ĐK:

)

(

)

)

+) Tìm điểm dừng:

Giải hệ phương trình:
{

{

{

)

.


(

) Xét cực trị tại

)

Ta có:
;
+) Xét định thức:
|
Vậy hàm số

|
(

) đạt cực đại tại điểm M.

Kết luận: Với số tiền thuê tư bản là 24$ và thuê lao động là 120$ thì cơng ty đó
thu được lợi nhuận tối đa.
Bài 17:
Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất là
(
) trong
). Công ty này nhận hợp
đó , , tương ứng là sản lượng, vốn, lao động (
đồng cung cấp 5600 sản phẩm . Cho biết phương án sử dụng các yếu tố
và
sao cho việc sản xuất tốn ít chi phí nhất, trong điều kiện giá thuê tư bản là
à giá thuê lao động là = 20.
Giải
với điều kiện: (

Tìm cực trị của hàm chi phí
Đặt (

)

(

Lập hàm Lagrange:

)
(

)

[

*Tìm điểm dừng:

Giải hệ {

)

( )
( )
( )

(

)]


Từ (1) và (3) ta có:

(4)

Thay (4) vào (2) ta được:
(

[
Hàm

(

) có 1 điểm dừng:

)

(

)

** Điều kiện đủ
,
Xét định thức | |
Tại điểm

:| |

,

,

,

|

|
(

)

Vậy để phương án sử dụng các yếu tố
(

)
(
).

nên
và

(

)

là điểm cực tiểu.
cho sản xuất chi phí là thấp nhất khi