Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ

Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học
sinh lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
ĐỀ TÀI:

PHƢƠNG PHÁP DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ
A.

NHẬN THỨC CŨ- GIẢI PHÁP CŨ:
Phƣơng trình vơ tỷ là phƣơng trình chứa ẩn trong dấu căn .Trong chƣơng
Mang l■i tr■ nghi■m m■i m■ cho ng■■i dùng, công ngh■ hi■n th■ hi■n ■■i, b■n online khơng khác gì so v■i b■n g■c. B■n có th■ phóng to, thu nh■ tùy ý.

trình đại số 9 ,phƣơng trình vơ tỷ là một dạng tốn khó. Khi gặp các phƣơng trình
có chứa căn tƣơng đối phức tạp, học sinh rất lúng túng khơng tìm ra cách giải và
hay mắc sai lầm khi giải .. Có những phƣơng trình khơng thể giải bằng các
phƣơng pháp quen thuộc. Khi gặp phƣơng trình vơ tỷ , học sinh thƣờng chỉ quen
một phƣơng pháp là nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn. Nhƣng trong quá
trình giải sẽ thƣờng mắc phải một số sai lầm trong phép biến đổi tƣơng đƣơng
phƣơng trình ,vì vậy dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phƣơng trình
sa

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem

sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh

em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến phƣơng trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm
để đƣa về phƣơng trình bậc nhất, bậc 2 để giải lại rất là khó khăn . Vì vậy học
sinh sẽ rất lúng túng và khơng tìm ra lời giải .
B. NHẬN THỨC MỚI – GIẢI PHÁP MỚI
I. Nhận thức mới:
Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phƣơng trình vơ tỷ ,
giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và
kiến thức mở rộng, hình thành các phƣơng pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi
phƣơng trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách
giải phù hợp nhất , nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hƣớng dẫn
học sinh đặt đề toán tƣơng tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết
phân dạng , chọn các ví dụ tiêu biểu , hình thành đƣờng lối tƣ duy cho học sinh
thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao
hiệu quả giáo dục .

123doc
Xu■t
Sau
Nhi■u
h■n
phát
event
s■
m■t
t■
h■u
thú
ýn■m
t■■ng
m■t
v■,raevent
kho
■■i,
t■oth■
c■ng
ki■m
123doc
vi■n
■■ng
ti■n
kh■ng
■ãthi■t
t■ng
ki■m
l■

th■c.
b■■c
v■i
ti■nh■n
123doc
online
kh■ng
2.000.000
b■ng
ln
■■nh
ln
tàitài
v■
li■u
t■o
li■u
tríhi■u
c■
c■a
■ t■t
h■i
qu■
mình
c■
gianh■t,
trong
l■nh
t■nguy
v■c:

l■nh
thu
tínnh■p
tài
v■c
cao
chính
nh■t.
tài
online
li■u
tínMong
cho
d■ng,
và kinh
t■t
mu■n
cơng
c■
doanh
các
mang
ngh■
online.
thành
l■i
thơng
cho
viên
Tính

tin,
c■ng
c■a
■■n
ngo■i
website.
■■ng
th■i
ng■,...Khách
■i■m
xã h■itháng
m■thàng
ngu■n
5/2014;
có th■
tài
123doc
ngun
d■ dàng
v■■t
tri tra
th■c
m■c
c■u
q
100.000
tàibáu,
li■uphong
m■t
l■■t cách

truy
phú,c■p
chính
■am■i
d■ng,
xác,
ngày,
nhanh
giàus■
giá
chóng.
h■u
tr■ 2.000.000
■■ng th■ithành
mongviên
mu■n
■■ng
t■oký,
■i■u
l■t ki■n
vào top
cho200
chocác
cácwebsite
users cóph■
thêm
bi■n
thunh■t
nh■p.
t■iChính

Vi■t Nam,
vì v■yt■123doc.net
l■ tìm ki■m
ra thu■c
■■i nh■m
top 3■áp
Google.
■ng Nh■n
nhu c■u
■■■c
chiadanh
s■ tài
hi■u
li■udo
ch■t
c■ng
l■■ng
■■ng
vàbình
ki■mch■n
ti■n là
online.
website ki■m ti■n online hi■u qu■ và uy tín nh■t.
Nhi■u
123doc
Sau
Th■a
khi
thu■n
event

s■
cam
nh■n
h■u
k■t
s■
thú
xác
m■t
d■ng
v■,
s■
nh■n
mang
event
kho
1. t■
th■
l■i
ki■m
■■ng
CH■P
vi■n
nh■ng
ti■n
h■
kh■ng
NH■N
quy■n
th■ng

thi■tl■
CÁC
th■c.
s■
l■i
v■ichuy■n
■I■U
t■t
h■n
123doc
nh■t
2.000.000
KHO■N
sang
ln
cho ng■■i
ph■n
ln
TH■A
tàit■o
li■u
thơng
dùng.
THU■N
c■
■ tin
t■t
h■i
Khixác
c■

khách
giaminh
l■nh
t■ng
Chào
hàng
tài
v■c:
thu
m■ng
kho■n
tr■
nh■p
tài thành
b■n
chính
email
online
■■n
thành
tínb■n
cho
d■ng,
v■i
viên
■ã
t■t
123doc.
123doc.net!
cơng

■■ng
c■a
c■ các
ngh■
123doc
kýthành
v■i
Chúng
thơng
và
123doc.netLink
viên
n■p
tơi
tin,
c■a
cung
ti■n
ngo■i
website.
vào
c■p
ng■,...Khách
xác
tài
D■ch
kho■n
th■c
V■
s■

c■a
(nh■
hàng
■■■c
123doc,
■■■c
cóg■i
th■v■
mơ
b■n
d■■■a
t■
dàng
s■
d■■i
■■■c
ch■
tra■ây)
email
c■u
h■■ng
cho
tài
b■n
li■u
b■n,
nh■ng
■ã
m■t
tùy

■■ng
quy■n
cách
thu■c
ky,
chính
l■i
b■n
vàosau
xác,
các
vuin■p
lịng
“■i■u
nhanh
ti■n
■■ng
Kho■n
chóng.
trên
nh■p
website
Th■a
email
Thu■n
c■a v■
mình
S■vàD■ng
click D■ch
vào link

V■”
123doc
sau ■ây
■ã (sau
g■i ■ây ■■■c g■i t■t T■i t■ng th■i ■i■m, chúng tơi có th■ c■p nh■t ■KTTSDDV theo quy■t ...
Nhi■u
Mang
Ln
123doc
Th■a
Xu■t
Sau
khi
h■n
h■■ng
phát
thu■n
l■i
event
s■
cam
nh■n
m■t
tr■
t■
h■u
k■t
s■
thú
nghi■m

t■i
ýxác
n■m
t■■ng
m■t
d■ng
v■,
là
s■
nh■n
website
ra
mang
event
kho
m■i
■■i,
1.
t■o
t■
th■
m■
l■i
c■ng
ki■m
■■ng
d■n
123doc
CH■P
vi■n

nh■ng
cho
■■u
■■ng
ti■n
h■
kh■ng
ng■■i
NH■N
■ã
quy■n
th■ng
thi■t
chia
t■ng
ki■m
dùng,
l■
CÁC
s■
th■c.
s■
l■i
b■■c
v■i
ti■n
vàchuy■n
■I■U
t■t
cơng

h■n
mua
123doc
online
kh■ng
nh■t
2.000.000
ngh■
bán
KHO■N
sang
b■ng
ln
cho
tài
■■nh
hi■n
ng■■i
li■u
ph■n
ln
tài
TH■A
tài
v■
th■
li■u
hàng
t■o
li■u

thơng
dùng.
tríhi■n
THU■N
hi■u
c■
c■a
■■u
■ tin
t■t
h■i
Khi
■■i,
qu■
mình
Vi■t
xác
c■
khách
gia
b■n
nh■t,
minh
trong
l■nh
Nam.
t■ng
Chào
online
hàng

uy
tài
v■c:
l■nh
thu
Tác
m■ng
tín
kho■n
tr■
nh■p
khơng
tài
phong
v■c
cao
thành
b■n
chính
email
nh■t.
tài
online
khác
chun
■■n
li■u
thành
tínb■n
Mong

gì
cho
d■ng,
và
v■i
so
nghi■p,
viên
kinh
■ã
t■t
123doc.
123doc.net!
v■i
mu■n
cơng
■■ng
c■a
c■
doanh
b■n
các
hồn
mang
ngh■
123doc
ký
g■c.
online.
thành

v■i
h■o,
Chúng
l■i
thơng
B■n
và
123doc.netLink
cho
viên
Tính
■■
n■p
có
tơi
tin,
c■ng
c■a
cao
th■
■■n
cung
ti■n
ngo■i
tính
website.
phóng
■■ng
th■i
vào

c■p
ng■,...Khách
trách
xác
tài
■i■m
D■ch
xã
to,kho■n
th■c
nhi■m
h■i
thutháng
V■
nh■
m■t
s■
c■a
(nh■
■■i
hàng
■■■c
tùy
ngu■n
5/2014;
123doc,
v■i
■■■c
ý.
cóg■i

t■ng
th■
tài
123doc
v■
mơ
ngun
b■n
d■
ng■■i
■■a
t■
dàng
s■
v■■t
d■■i
tri
dùng.
■■■c
ch■
tra
th■c
m■c
■ây)
email
c■u
M■c
h■■ng
q
100.000

cho
tài
b■n
tiêu
báu,
li■u
b■n,
nh■ng
■ã
hàng
phong
m■t
l■■t
tùy
■■ng
■■u
quy■n
cách
truy
thu■c
phú,
ky,
c■a
c■p
chính
■a
l■i
b■n
vào
123doc.net

m■i
d■ng,
sau
xác,
các
vuingày,
n■p
lịng
“■i■u
nhanh
giàu
ti■n
s■
■■ng
tr■
giá
Kho■n
chóng.
h■u
trên
thành
tr■
nh■p
2.000.000
website
■■ng
Th■a
th■
email
vi■n

th■i
Thu■n
c■a
thành
mong
tài v■
li■u
mình
viên
mu■n
S■
online
và
■■ng
D■ng
click
t■o
l■n
ký,
D■ch
■i■u
vào
nh■t
l■t
link
ki■n
V■”
vào
Vi■t
123doc

top
sau
cho
Nam,
200
■ây
cho
■ã
cung
các
các
(sau
g■iwebsite
c■p
users
■âynh■ng
■■■c
cóph■
thêm
tài
bi■n
g■i
thu
li■u
t■t
nh■t
nh■p.
■■c
T■it■i
khơng

t■ng
Chính
Vi■tth■i
th■
Nam,
vì v■y
■i■m,
tìm
t■123doc.net
th■y
l■chúng
tìm
trên
ki■m
tơi
th■
racóthu■c
■■i
tr■■ng
th■nh■m
c■p
top
ngo■i
3nh■t
■áp
Google.
tr■
■KTTSDDV
■ng
123doc.net.

Nh■n
nhu c■u
■■■c
theo
chiaquy■t
danh
s■ tài
hi■u
...li■udo
ch■t
c■ng
l■■ng
■■ng
vàbình
ki■mch■n
ti■n là
online.
website ki■m ti■n online hi■u qu■ và uy tín nh■t.
Mangh■n
Ln
123doc
Th■a
Xu■t
Sau
Nhi■u
khi
h■■ng
phát
thu■n
l■i

event
s■
cam
nh■n
m■t
tr■
t■
h■u
k■t
s■
thú
nghi■m
t■i
ýxác
n■m
t■■ng
m■t
d■ng
v■,
là
s■
nh■n
website
ra
mang
event
kho
m■i
■■i,
1.

t■o
t■
th■
m■
l■i
c■ng
ki■m
■■ng
d■n
123doc
CH■P
vi■n
nh■ng
cho
■■u
■■ng
ti■n
h■
kh■ng
ng■■i
NH■N
■ã
quy■n
th■ng
thi■t
chia
t■ng
ki■m
dùng,
l■

CÁC
s■
th■c.
s■
l■i
b■■c
v■i
ti■n
vàchuy■n
■I■U
t■t
cơng
h■n
mua
123doc
online
kh■ng
nh■t
2.000.000
ngh■
bán
KHO■N
sang
b■ng
ln
cho
tài
■■nh
hi■n
ng■■i

li■u
ph■n
ln
tài
TH■A
tài
v■
th■
li■u
hàng
t■o
li■u
thơng
dùng.
tríhi■n
THU■N
hi■u
c■
c■a
■■u
■ tin
t■t
h■i
Khi
■■i,
qu■
mình
Vi■t
xác
c■

khách
gia
b■n
nh■t,
minh
trong
l■nh
Nam.
t■ng
Chào
online
hàng
uy
tài
v■c:
l■nh
thu
Tác
m■ng
tín
kho■n
tr■
nh■p
khơng
tài
phong
v■c
cao
thành
b■n

chính
email
nh■t.
tài
online
khác
chun
■■n
li■u
thành
tínb■n
Mong
gì
cho
d■ng,
và
v■i
so
nghi■p,
viên
kinh
■ã
t■t
123doc.
123doc.net!
v■i
mu■n
cơng
■■ng
c■a

c■
doanh
b■n
các
hồn
mang
ngh■
123doc
ký
g■c.
online.
thành
v■i
h■o,
Chúng
l■i
thơng
B■n
và
123doc.netLink
cho
viên
Tính
■■
n■p
có
tơi
tin,
c■ng
c■a

cao
th■
■■n
cung
ti■n
ngo■i
tính
website.
phóng
■■ng
th■i
vào
c■p
ng■,...Khách
trách
xác
tài
■i■m
D■ch
xã
to,kho■n
th■c
nhi■m
h■i
thutháng
V■
nh■
m■t
s■
c■a

(nh■
■■i
hàng
■■■c
tùy
ngu■n
5/2014;
123doc,
v■i
■■■c
ý.
cóg■i
t■ng
th■
tài
123doc
v■
mơ
ngun
b■n
d■
ng■■i
■■a
t■
dàng
s■
v■■t
d■■i
tri
dùng.

■■■c
ch■
tra
th■c
m■c
■ây)
email
c■u
M■c
h■■ng
q
100.000
cho
tài
b■n
tiêu
báu,
li■u
b■n,
nh■ng
■ã
hàng
phong
m■t
l■■t
tùy
■■ng
■■u
quy■n
cách

truy
thu■c
phú,
ky,
c■a
c■p
chính
■a
l■i
b■n
vào
123doc.net
m■i
d■ng,
sau
xác,
các
vuingày,
n■p
lịng
“■i■u
nhanh
giàu
ti■n
s■
■■ng
tr■
giá
Kho■n
chóng.

h■u
trên
thành
tr■
nh■p
2.000.000
website
■■ng
Th■a
th■
email
vi■n
th■i
Thu■n
c■a
thành
mong
tài v■
li■u
mình
viên
mu■n
S■
online
và
■■ng
D■ng
click
t■o
l■n

ký,
D■ch
■i■u
vào
nh■t
l■t
link
ki■n
V■”
vào
Vi■t
123doc
top
sau
cho
Nam,
200
■ây
cho
■ã
cung
các
các
(sau
g■iwebsite
c■p
users
■âynh■ng
■■■c
cóph■

thêm
tài
bi■n
g■i
thu
li■u
t■t
nh■t
nh■p.
■■c
T■it■i
khơng
t■ng
Chính
Vi■tth■i
th■
Nam,
vì v■y
■i■m,
tìm
t■123doc.net
th■y
l■chúng
tìm
trên
ki■m
tơi
th■
racóthu■c
■■i

tr■■ng
th■nh■m
c■p
top
ngo■i
3nh■t
■áp
Google.
tr■
■KTTSDDV
■ng
123doc.net.
Nh■n
nhu c■u
■■■c
theo
chiaquy■t
danh
s■ tài
hi■u
...li■udo
ch■t
c■ng
l■■ng
■■ng
vàbình
ki■mch■n
ti■n là
online.
website ki■m ti■n online hi■u qu■ và uy tín nh■t.

Lnh■n
123doc
Th■a
Xu■t
Sau
khi
h■■ng
phát
thu■n
cam
nh■n
m■t
t■k■t
s■
t■i
ýxác
n■m
t■■ng
d■ng
là
s■
nh■n
website
ra
mang
■■i,
1.
t■o
t■l■i
c■ng

■■ng
d■n
123doc
CH■P
nh■ng
■■u
■■ng
h■
NH■N
■ã
quy■n
th■ng
chia
t■ng
ki■m
CÁC
s■s■
l■i
b■■c
ti■n
vàchuy■n
■I■U
t■t
mua
online
kh■ng
nh■t
bán
KHO■N
sang

b■ng
cho
tài
■■nh
ng■■i
li■u
ph■n
tài
TH■A
v■
li■u
hàng
thơng
dùng.
tríTHU■N
hi■u
c■a
■■u
tin
Khi
qu■
mình
Vi■t
xác
khách
nh■t,
minh
trong
Nam.
Chào

hàng
uy
tài
l■nh
Tác
m■ng
tín
kho■n
tr■
phong
v■c
cao
thành
b■n
email
nh■t.
tàichun
■■n
li■u
thành
b■n
Mong
và
v■i
nghi■p,
viên
kinh
■ã
123doc.
123doc.net!

mu■n
■■ng
c■a
doanh
hồn
mang
123doc
kýonline.
v■i
h■o,
Chúng
l■ivà
123doc.netLink
cho
Tính
■■
n■p
tơi
c■ng
cao
■■n
cung
ti■n
tính
■■ng
th■i
vào
c■p
trách
xác

tài
■i■m
D■ch
xãkho■n
th■c
nhi■m
h■itháng
V■
m■t
s■
c■a
(nh■
■■i
■■■c
ngu■n
5/2014;
123doc,
v■i
■■■c
g■i
t■ng
tài
123doc
v■
mơ
ngun
b■n
ng■■i
■■a
t■s■

v■■t
d■■i
tri
dùng.
■■■c
ch■
th■c
m■c
■ây)
email
M■c
h■■ng
q
100.000
cho
b■n
tiêu
báu,
b■n,
nh■ng
■ã
hàng
phong
l■■t
tùy
■■ng
■■u
quy■n
truy
thu■c

phú,
ky,
c■a
c■p
■a
l■i
b■n
vào
123doc.net
m■i
d■ng,
sau
các
vuingày,
n■p
lịng
“■i■u
giàu
ti■n
s■
■■ng
tr■
giá
Kho■n
h■u
trên
thành
tr■
nh■p
2.000.000

website
■■ng
Th■a
th■
email
vi■n
th■i
Thu■n
c■a
thành
mong
tài v■
li■u
mình
viên
mu■n
S■
online
và
■■ng
D■ng
click
t■o
l■n
ký,
D■ch
■i■u
vào
nh■t
l■t

link
ki■n
V■”
vào
Vi■t
123doc
top
sau
cho
Nam,
200
■ây
cho
■ã
cung
các
các
(sau
g■iwebsite
c■p
users
■âynh■ng
■■■c
cóph■
thêm
tài
bi■n
g■i
thu
li■u

t■t
nh■t
nh■p.
■■c
T■it■i
khơng
t■ng
Chính
Vi■tth■i
th■
Nam,
vì v■y
■i■m,
tìm
t■123doc.net
th■y
l■chúng
tìm
trên
ki■m
tơi
th■
racóthu■c
■■i
tr■■ng
th■nh■m
c■p
top
ngo■i
3nh■t

■áp
Google.
tr■
■KTTSDDV
■ng
123doc.net.
Nh■n
nhu c■u
■■■c
theo
chiaquy■t
danh
s■ tài
hi■u
...li■udo
ch■t
c■ng
l■■ng
■■ng
vàbình
ki■mch■n
ti■n là
online.
website ki■m ti■n online hi■u qu■ và uy tín nh■t.
Lnh■n
Th■a
Xu■t
Sau
Nhi■u
123doc

Mang
khi
h■■ng
phát
thu■n
l■i
event
cam
s■
nh■n
m■t
tr■
t■
h■u
k■t
s■
thú
nghi■m
t■i
ýxác
n■m
t■■ng
m■t
d■ng
v■,
là
s■
nh■n
website
ra

mang
event
kho
m■i
■■i,
1.
t■o
t■
th■
m■
l■i
c■ng
ki■m
■■ng
d■n
123doc
CH■P
vi■n
nh■ng
cho
■■u
■■ng
ti■n
h■
kh■ng
ng■■i
NH■N
■ã
quy■n
th■ng

thi■t
chia
t■ng
ki■m
dùng,
l■
CÁC
s■
th■c.
s■
l■i
b■■c
v■i
ti■n
vàchuy■n
■I■U
t■t
cơng
h■n
mua
123doc
online
kh■ng
nh■t
2.000.000
ngh■
bán
KHO■N
sang
b■ng

ln
cho
tài
■■nh
hi■n
ng■■i
li■u
ph■n
ln
tài
TH■A
tài
v■
th■
li■u
hàng
t■o
li■u
thơng
dùng.
tríhi■n
THU■N
hi■u
c■
c■a
■■u
■ tin
t■t
h■i
Khi

■■i,
qu■
mình
Vi■t
xác
c■
khách
gia
b■n
nh■t,
minh
trong
l■nh
Nam.
t■ng
Chào
online
hàng
uy
tài
v■c:
l■nh
thu
Tác
m■ng
tín
kho■n
tr■
nh■p
khơng

tài
phong
v■c
cao
thành
b■n
chính
email
nh■t.
tài
online
khác
chun
■■n
li■u
thành
tínb■n
Mong
gì
cho
d■ng,
và
v■i
so
nghi■p,
viên
kinh
■ã
t■t
123doc.

123doc.net!
v■i
mu■n
cơng
■■ng
c■a
c■
doanh
b■n
các
hồn
mang
ngh■
123doc
ký
g■c.
online.
thành
v■i
h■o,
Chúng
l■i
thơng
B■n
và
123doc.netLink
cho
viên
Tính
■■

n■p
có
tơi
tin,
c■ng
c■a
cao
th■
■■n
cung
ti■n
ngo■i
tính
website.
phóng
■■ng
th■i
vào
c■p
ng■,...Khách
trách
xác
tài
■i■m
D■ch
xã
to,kho■n
th■c
nhi■m
h■i

thutháng
V■
nh■
m■t
s■
c■a
(nh■
■■i
hàng
■■■c
tùy
ngu■n
5/2014;
123doc,
v■i
■■■c
ý.
cóg■i
t■ng
th■
tài
123doc
v■
mơ
ngun
b■n
d■
ng■■i
■■a
t■

dàng
s■
v■■t
d■■i
tri
dùng.
■■■c
ch■
tra
th■c
m■c
■ây)
email
c■u
M■c
h■■ng
q
100.000
cho
tài
b■n
tiêu
báu,
li■u
b■n,
nh■ng
■ã
hàng
phong
m■t

l■■t
tùy
■■ng
■■u
quy■n
cách
truy
thu■c
phú,
ky,
c■a
c■p
chính
■a
l■i
b■n
vào
123doc.net
m■i
d■ng,
sau
xác,
các
vuingày,
n■p
lịng
“■i■u
nhanh
giàu
ti■n

s■
■■ng
tr■
giá
Kho■n
chóng.
h■u
trên
thành
tr■
nh■p
2.000.000
website
■■ng
Th■a
th■
email
vi■n
th■i
Thu■n
c■a
thành
mong
tài v■
li■u
mình
viên
mu■n
S■
online

và
■■ng
D■ng
click
t■o
l■n
ký,
D■ch
■i■u
vào
nh■t
l■t
link
ki■n
V■”
vào
Vi■t
123doc
top
sau
cho
Nam,
200
■ây
cho
■ã
cung
các
các
(sau

g■iwebsite
c■p
users
■âynh■ng
■■■c
cóph■
thêm
tài
bi■n
g■i
thu
li■u
t■t
nh■t
nh■p.
■■c
T■it■i
khơng
t■ng
Chính
Vi■tth■i
th■
Nam,
vì v■y
■i■m,
tìm
t■123doc.net
th■y
l■chúng
tìm

trên
ki■m
tơi
th■
racóthu■c
■■i
tr■■ng
th■nh■m
c■p
top
ngo■i
3nh■t
■áp
Google.
tr■
■KTTSDDV
■ng
123doc.net.
Nh■n
nhu c■u
■■■c
theo
chiaquy■t
danh
s■ tài
hi■u
...li■udo
ch■t
c■ng
l■■ng

■■ng
vàbình
ki■mch■n
ti■n là
online.
website ki■m ti■n online hi■u qu■ và uy tín nh■t.
u■t phát
Nhi■u
Mang
Ln
123doc
Th■a
Xu■t
Sau
khi
h■n
h■■ng
phát
thu■n
l■i
event
s■
cam
nh■n
t■
m■t
tr■
t■
h■u
ýk■t

s■
thú
nghi■m
t■i
ýt■■ng
xác
n■m
t■■ng
m■t
d■ng
v■,
là
s■
nh■n
website
ra
mang
event
t■o
kho
m■i
■■i,
1.
t■o
t■
c■ng
th■
m■
l■i
c■ng

ki■m
■■ng
d■n
123doc
CH■P
vi■n
nh■ng
cho
■■ng
■■u
■■ng
ti■n
h■
kh■ng
ng■■i
NH■N
■ã
quy■n
th■ng
thi■t
chia
ki■m
t■ng
ki■m
dùng,
l■
CÁC
s■
th■c.
ti■n

s■
l■i
b■■c
v■i
ti■n
vàchuy■n
■I■U
t■t
cơng
online
h■n
mua
123doc
online
kh■ng
nh■t
2.000.000
ngh■
bán
KHO■N
b■ng
sang
b■ng
ln
cho
tài
■■nh
hi■n
tài
ng■■i

li■u
ph■n
ln
tài
TH■A
li■u
tài
v■
th■
li■u
hàng
t■o
li■u
thơng
dùng.
trí
hi■u
hi■n
THU■N
hi■u
c■
c■a
■■u
■ tin
qu■
t■t
h■i
Khi
■■i,
qu■

mình
Vi■t
xác
c■
khách
gia
nh■t,
b■n
nh■t,
minh
trong
l■nh
Nam.
t■ng
Chào
online
uy
hàng
uy
tài
v■c:
l■nh
thu
Tác
tín
m■ng
tín
kho■n
tr■
cao

nh■p
khơng
tài
phong
v■c
cao
thành
b■n
chính
nh■t.
email
nh■t.
tài
online
khác
chun
■■n
li■u
thành
tín
Mong
b■n
Mong
gì
cho
d■ng,
và
v■i
so
nghi■p,

viên
kinh
■ã
mu■n
t■t
123doc.
123doc.net!
v■i
mu■n
cơng
■■ng
c■a
c■
doanh
b■n
mang
các
hồn
mang
ngh■
123doc
ký
g■c.
online.
thành
v■i
l■i
h■o,
Chúng
l■i

thơng
B■n
cho
và
123doc.netLink
cho
viên
Tính
■■
n■p
có
c■ng
tơi
tin,
c■ng
c■a
cao
th■
■■n
cung
ti■n
ngo■i
■■ng
tính
website.
phóng
■■ng
th■i
vào
c■p

ng■,...Khách
trách
xác
xã
tài
■i■m
D■ch
xã
to,h■i
kho■n
th■c
nhi■m
h■i
thum■t
tháng
V■
nh■
m■t
s■
c■a
(nh■
■■i
hàng
ngu■n
■■■c
tùy
ngu■n
5/2014;
123doc,
v■i

■■■c
ý.
cótài
g■i
t■ng
th■
tài
123doc
ngun
v■
mơ
ngun
b■n
d■
ng■■i
■■a
t■
dàng
s■
v■■t
tri
d■■i
tri
dùng.
■■■c
ch■
th■c
tra
th■c
m■c

■ây)
email
c■u
q
M■c
h■■ng
q
100.000
cho
tài
báu,
b■n
tiêu
báu,
li■u
b■n,
nh■ng
phong
■ã
hàng
phong
m■t
l■■t
tùy
■■ng
■■u
phú,
quy■n
cách
truy

thu■c
phú,
ky,
c■a
c■p
■a
chính
■a
l■i
b■n
vào
d■ng,
123doc.net
m■i
d■ng,
sau
xác,
các
vuingày,
n■p
giàu
lịng
“■i■u
nhanh
giàu
ti■n
giá
s■
■■ng
tr■

giá
Kho■n
chóng.
h■u
tr■
trên
thành
tr■
nh■p
■■ng
2.000.000
website
■■ng
Th■a
th■
email
th■i
vi■n
th■i
Thu■n
mong
c■a
thành
mong
tài v■
li■u
mình
mu■n
viên
mu■n

S■
online
và
■■ng
D■ng
t■o
click
t■o
l■n
■i■u
ký,
D■ch
■i■u
vào
nh■t
l■t
link
ki■n
ki■n
V■”
vào
Vi■t
123doc
cho
top
sau
cho
Nam,
cho
200

■ây
cho
■ã
cung
các
các
các
(sau
g■i
users
website
c■p
users
■âynh■ng
có
■■■c
cóph■
thêm
thêm
tài
bi■n
g■i
thu
thu
li■u
t■t
nh■p.
nh■t
nh■p.
■■c

T■it■i
Chính
khơng
t■ng
Chính
Vi■tth■i
vìth■
Nam,
vìv■y
v■y
■i■m,
tìm
123doc.net
t■123doc.net
th■y
l■chúng
tìm
trên
ki■m
tơi
ra
th■
racó
■■i
thu■c
■■i
tr■■ng
th■
nh■m
nh■m

c■p
top
ngo■i
■áp
3nh■t
■áp
Google.
■ng
tr■
■KTTSDDV
■ng
123doc.net.
nhu
Nh■n
nhuc■u
c■u
■■■c
chia
theo
chias■
quy■t
danh
s■tàitài
hi■u
li■u
...li■uch■t
do
ch■t
c■ng
l■■ng

l■■ng
■■ng
vàvàki■m
bình
ki■mch■n
ti■n
ti■nonline.
là
online.
website ki■m ti■n online hi■u qu■ và uy tín nh■t.

Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

1


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học
sinh lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
II. GIẢI PHÁP MỚI:
A- Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến thức
mở rộng .
1. Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hố các tính chất của luỹ
thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ.
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , các hằng đẳng thức .
3. Các bất đẳng thức Cơsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối.
4. Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất , bậc 2 một ẩn, cách giải hệ
phương trình.
5. Bổ sung các kiến thức để giải các phương trình đơn giản:

sa

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh

em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

*

A  0


A = B  B  0
A  B2

A  0
A  B

* A B 

* A B 0 A B0
B. Cung cấp cho học sinh các phương pháp thường dùng để giải phương
ttrình vơ tỷ .
PHƢƠNG PHÁP 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phƣơng
trình( thƣờng dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc).
Ví dụ: Giải phương trình
x  1  5 x  1  3x  2

(1)

+ Ở phƣơng trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để
nguyên hai vế nhƣ vậy và bình phƣơng hai vế để làm mất căn . Vì vậy giáo viên
cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học
sinh tính chất của luỹ thừa bậc 2:
a = b  a2 = b2 ( Khi a, b cùng dấu )
Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

2


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học

sinh lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
Vì vậy khi bình phƣơng hai vế đƣợc phƣơng trình mới tƣơng đƣơng với phƣơng
trình ban đầu khi hai vế cùng dấu.
Ở phƣơng trình (1), VP  0 , nhƣng vế trái chƣa chắc đã  0 vì vậy ta nên
chuyển vế đƣa về phƣơng trình có 2 vế cùng  0.
(1) 

x  1  5 x  1  3x  2

Đến đây học sinh có thể bình phƣơng hai vế:
x  1  5 x  1  3x  2

 2  7 x  2 15x 2  13x  2

(*)

Ta lại gặp phƣơng trình có một vế chứa căn , học sinh có thể mắc sai lầm là bình
phƣơng tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay chƣa.
 4  14 x  49 x 2  4(15x 2  13x  2)

sa

 (11x  2)( x  2)  0

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki

em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

 11x 2  24 x  4  0

2

x
2


11 Và trả lời phƣơng trình (*) có 2 nghiệm : x1  ; x 2  2


11
x  2

Sai lầm của học sinh là gì? Tơi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm :
+ Khi giải chƣa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải
khơng đó chiếu với điều kiện ở (1) : ĐK : x  1 vì vậy x1 

2
khơng phải là
11

nghiệm của (1)
+ Khi bình phƣơng hai vế của phƣơng trình (*) cần có điều kiện 2  7 x  0  x 
vậy

2
7

x2  2 không là nghiệm của (1)

- Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thƣờng gặp , từ đó tơi cho học sinh tìm ra
cách giải đúng khơng phạm sai lầm đã phân tích .

Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

3


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học
sinh lớp 9 giải phương trình vơ tỷ

C1: Sau khi tìm đƣợc x 

2
và x  2 thử lại (1) không nghiệm đúng Vậy (1) vô
11

nghiệm.
( cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phƣơng trình đã cho là tƣơng đối
phức tạp )

x  1

1

x   x  1
5

3

 x  2

C2: Đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của (1)
Sau khi giải đến (*) khi bình phƣơng hai vế đặt thêm điều kiện x 

2
vậy x thoả
7

sa

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

2

x 
mãn :  7 nên phƣơng trình (1)vơ nghiệm

 x  1

C3: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phƣơng trình .
Điều kiện của (1) : x  1 do đó x  5x  x  1  5x  1  x  1  5x  1
Vế trái <0. VP  0 nên phƣơng trình (1) vơ nghiệm .
Sau đó tơi ra một số bài tập tƣơng tự cho học sinh trình bày lời giải.
Bài tập tƣơng tự : Giải phương trình
a)

4 x  1  3x  4  x  2

b) x  2  x  1  2 x  1  x  3

Ví dụ 2: Giải phương trình :
3

x 1  3 7  x  2

(2)

Ở phƣơng trình (2) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến việc
lập phƣơng hai vế :
Chú ý: + ở căn bậc lẻ:

2 n 1

A có nghĩa với A nên không cần đặt điều kiện

Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

4


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học
sinh lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
x  1  0

7  x  0

+ Ở luỹ thừa bậc lẻ: a=b  a2n+1=b2n+1; (n  N) nên không cần xét đến dấu
của hai vế.
Giải:+ Lập phƣơng hai vế







2

x  1  7  x  3 3 x  1 .3 7  x  3 x  1. 3 7  x



2

8

(**)

Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phƣơng hai vế, vế trái nhìn
rất phức tạp, giáo viên hƣớng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức:
( a+b)3 =a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b)
Vậy (**) có thể viết :





x  1  7  x  33 ( x  1)(7  x) . 3 x  1  3 7  x  8 (I)

(đến đây thay

3

x  1  3 7  x  2 vào phƣơng trình) ta đƣợc:
sa

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh

em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

8  33 ( x  1)(7  x) .2  8  ( x  1)(7  x)  0

( II)

Giải ra: x1  1; x2  7 ; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng , nên đó là 2
nghiệm của PT ban đầu. Vậy (2) có nghiệm

x1  1; x2  7

+ Ở phƣơng trình (2) ngồi việc lập phƣơng hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức
một cách linh hoạt để đƣa phƣơng trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải.
Chú ý: Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi khơng tƣơng đƣơng , vì nó
chỉ tƣơng đƣơng khi x thoả mãn :

3

x  1  3 7  x  2 . Vì vậy việc thay lại nghiệm

của (II) vào phƣơng trình đã cho là cần thiết . Nếu khơng thử lại có thể sẽ có
nghiệm ngoại lai.
Bài tập tƣơng tự : Giải phƣơng trình :
a) 3  x  1  3 x  1  3 5x
b)

3

2x  1  3 3  2x  4

c) 3 2 x  1  3 2 x  1  3 10 x ( Đề thi vào tốn tin -2000)

Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

5


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học
sinh lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
PHƢƠNG PHÁP 2: Phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình chứa ẩn trong dấu
giá trị tuỵêt đối.
Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết
được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức :
A 2  A để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản

Ví dụ: Giải phương trình :
2 x  2  2 2 x  3  2 x  13  8 2 x  3  5

(3)

Nhận xét: + Ở phƣơng trình (3) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc
hai nên có thể bình phƣơng hai vế. Nhƣng ở phƣơng trình này sau khi bình
phƣơng (lần 1) vẫn cịn chứa căn nên rất phức tạp.
sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi

em

+ Biểu thức trong căn có thể viết đƣợc dƣới dạng bình phƣơng của một biểu thức
sa

.

 (2 x  3)  2 2 x  3  1  (2 x  3)  2 2 x  3.4  16  5

3
2

Giải : ĐK: 2 x  3  0  x  ;









2x  3  1 

2

2x  3  1 



2x  3  4



2

5

2 x  3  4  5; (* * *)

2 x  2  2 2 x  3  2 x  13  8 2 x  3  5

C1: Đến đây để giải (***) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trƣớc khi phá dấu A thì
cần xét dấu của A
Nhận xét: 2 x  3  1  0 vậy chỉ xét dấu 2 x  3  4
Nếu

2 x  3  16
19

2x  3  4  0  
x
3
2
 x  2

Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

6

Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
Thì 2 x  3  1  2 x  3  4  5  2 2 x  3  8  2x  3  4
Giải ra x 

9
(Không thoả mãn điều kiện)
2

+ Nếu 2 x  3  4 

3
19
x
2
2

2 x  3  1  2 x  3  4  5  0 x  0 vô số nghiệm x thoả mãn

Thì

Kết luận:

3
19
x
2
2

3
19
x
2
2

( Để giải (***) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối .

C 2:

A  B  A  B . dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A.B  0)

Giải: (***)

2x  3  1  4  2x  3  5

sa



2x  3  4  5
sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem

sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

2x  3  1 

Ta có:

2x  3  1  4  2x  3 

Vậy:

2 x  3  1  4  2 x  3  5 Khi
4  2 x  3  0


3

x 
2


2x  3  1  4  2x  3  5

Giải ra:







2x  3  1 4  2x  3  0

3
19
x
2
2

Bài tập tƣơng tự: Giải phương trình
a)

x  2 4 x  2  x  7 6 x  2 1

b)

x  2 x  1  x  2 x  1  2 (Nhân 2 vế với

2 thì trong căn sẽ xuất hiện hằng

đẳng thức)
PHƢƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ:
Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp hay mà tôi rất tâm đắc , phương pháp này
có thể dùng để giải được rất nhiều phương trình

Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

7


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
Ở phƣơng pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đƣa về dạng phƣơng trình vô tỷ đơn
giản
Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ
+ Đặt 2 ẩn phụ
+ Đặt nhiều ẩn phụ
A) Cách đặt 1 ẩn phụ :
C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình về phương trình có một ẩn là ẩn
phụ đã đặt .Giải phương trình tìm ẩn phụ , từ đó tìm ẩn chính.

VD1:Giải phương trình:
2 x 2 +6x+12+ x 2  3x  2 =9 (4)
sa

sa ng
sa ng ki

sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en

ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

-Nhận xét:+ ở phƣơng trình này nếu bình phƣơng 2 vế sẽ đƣa về một phƣơng
trình bậc 4 mà việc tìm nghiệm là rất khó
+ Biểu thức trong và ngồi căn có mối liên quan :
2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8
Hƣớng giải:+ Đặt ẩn phụ là y= x 2  3x  2
+ Chú ý: Đối với ĐK: x2+3x+2  0 có thể giải đƣợc nhƣng với những

bài tốn mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại
xem có thoả mãn ĐK hay không
x  2

Giải: ĐK: x2+3x + 2  0  ( x+1) (x+2)  0  
 x  1
Đặt : x 2  3x  2 =y  0
PT (4)  2y2+y+8=9
2

 2y +y -1=0

Giải ra:y1=1/2 ( Thoả mãn ĐK); y2=-1( Loại)
Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

8


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
Thay vào:

2

x 2  3x  2 =1/2  x +3x+2=1/4

Giải ra:x1=

3 2
2

3 2
; x2=
2

Đối chiếu với ĐK: x=

3 2
thoả mãn là nghiệm của PT (4)
2

VD2: Giải phƣơng trình:
2 x  x 2  6 x 2  12 x  7  0

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004)
Hƣớng dẫn : ĐK : 6 x 2  12 x  7  0; x
Ta biến đổi để thấy đƣợc mối quan hệ giữa các biểu thứctrong phƣơng trình:

sa

Đặt : x 2  2 x  a

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh

em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

2 x  x 2  6( x 2  2 x)  7  0

Ta có phƣơng trình:

6a  7  a (I)

Giải(I) tìm a từ đó tìm x.
VD2: Giải phương trình:
( 1  x  1)( 1  x  1)  2 x

HD: Ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt :

1 x  u ;

Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phƣơng trình để đƣa về phƣơng
trình ẩn u.
Giải: ĐK : -1  x  1 ;
C1: Đặt:
1 x  u
(0  u  2 )
 x  u2 1
(5)  (u  1)( 2  u 2  1)  2(u 2  1)  (u  1) ( 2  u 2  1)  2(u  1)



Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

9


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
u  1  0

2
 2  u  1  2(u  1)  0

+ Nếu : u  1  0  u  1( thoả mãn)  x  1  1  x  0 (Thoả mãn ĐK)
2  u 2  1  2(u  1)
2u  1  0

 5u 2  4u  1  0

2
2
2  u  (2u  1)
2

Giải ra:

u1  1( loại);

Vậy x  0; x  

u2 

1
24
1
 x    1  
thoả mãn điều kiện
5
25
5

24
là nghiệm của (5)
25

c2:Ở bài này có thể đặt : 1  x  a; 1  x  b ;

sa

2
2

(a  1)(b  1)  a  b
 2
2

a  b  2

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem

nh ng hi
ng hiemem
hi
em

Đƣa về hệ phƣơng trình:

C2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình về 2 ẩn: ẩn chính và ẩn phụ, tìm mối quan hệ
giưã ẩn chính và ẩn phụ.
VD3: Giải phương trình: 2  x 2  2  x

(6)

Nhận xét:- Nếu bình phƣơng hai vế đƣa về phƣơng trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vơ
tỷ.Vì vậy ta có thể đặt ẩn phụ nhƣng chƣa đƣa đƣợc về phƣơng trình chỉ chứa một
ẩn. -Hãy tìm cách đƣa về một hệ phƣơng trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ. Tìm
mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đ ƣa về phƣơng trình đơn giản.
2  x  0

Giải: ĐK: 

2
2  x  0

2  x 2  y
2  y 2  x

Đặt: y  2  x  x  2  y 2 ;Ta có hệ: 
Đây là hệ phƣơng trình đối xứng

Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

10


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ

 ( y  x)( y  x  1)  0
x  y

1  x  y

+ Nếu x=y ta có phƣơng trình: 2  x  x giải ra x  1 (thoả mãn điều kiện)
+ Nếu1-x=y ta có phƣơng trình:

2  x  1  x giải ra: x 

1 5
2

( Thoả mãn điều

kiện)
Vậy phƣơng trình (6) có 2 nghiệm x1  1; x2 

1 5
2

VD4: Giải phương trình:

x 2  x  2006  2006

Cách 1: Đặt

x  2006  y ta có hệ phƣơng trình
 x  2006   x
x   y
x  y  1  

 x  2006  x  1
sa

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem

en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

 x  2006  y 2
giải ra
 2
 x  y  2006

từ đó sử dụng phƣơng pháp 1 để giải tiếp.

Chú ý : Cách này thƣờng sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đƣa đƣợc về hệ
phƣơng trình đối xứng.
Cách 2: Đƣa 2 vế về cùng bậc:
x2  x 

1
1
 x  2006  x  2006 
4
4
2

1

 x  

2

1

x  2 

x  1 
2


1

  x  2006  
2

1
x  2006 
2
1
 x  2006
2

2

Đến đây tiếp tục giải theo phƣơng pháp 1
Bài tập tương tự : Giải phương trình
Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

11

Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
 x 3  1  2 y
a) x  1  2 2 x  1 ; HD: Đặt ẩn phụ y  2 x  1 ta có hệ :  3
 y  1  2 x
3

3

3

b) 2 x 2  2 x  1  4 x  1 ; HD : Đặt ẩn phụ y  x 2  x
c) 4 x 2  6 x  7  2 x 2  3x  9  15
B) Đặt 2 ẩn phụ:
Ở dạng này ta đặt 2 ẩn phụ đƣa về hệ phƣơng trình 2 ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị
của ẩn phụ, từ đó từ mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ đặt lúc đầu đƣa về
phƣơng trình đơn giản.
VD1: Giải phương trình: 3 2  x  x  1  1

(7)

Nhận xét: Ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế để làm
mất dấu căn là rất khó.
+ Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ: 2  x  x  1  1 (hằng số)
sa

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en

sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki

ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

+ Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đƣa về hệ 2 phƣơng trình khơng chứa căn và giải.
Giải: ĐK: x  1
3

Đặt:

2  x  u; x  1  v

Ta có hệ phƣơng trình:
u  v  1
 3
3
u  v  1

giải ra u1  0; u 2  1; u3  2

Từ đó: x1  1; x2  2; x3  10 ( thoả mãn điều kiện)
Vậy phƣơng trình (7) có 3 nghiệm: x1  1; x2  2; x3  10
VD2: Giải phương trình:
3

x  2  x 1  3

( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
a  b  3

HD: Đặt 3 x  2  a; x  1  b ; Ta có hệ: 

3
2
a  b  3

Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

12

Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
Giải ra:a=1; b=1 ; từ đó giải ra tìm x=3
Tổng qt: Đối với phương trình có dạng:
n

a  f ( x)  m b  f ( x)  c

Ta thường đặt: u  n a  f ( x) ; v  m b  f ( x) Khi đó ta được hệ phương trình:
u  v  c
hoặc
 n
m
u  v  a  b

u  v  c
 n
m
u  v  a  b

Giải hệ này tìm u, v sau dó tìm x
VD3: Giải phương trình:
3

3x  12





 3 3x  1  3 9 x 2  1  0
2

(9)

Nhận xét: Nếu lập phƣơng hai vế thì cũng rất phức tạp vì khơng đƣa đƣợc về dạng
a.b=0 nhƣ ở phƣơng trình (2)

v  3 3x  1

u 2  v 2  uv  1
(9) trở thành:  3 3
u  v  2

sa

Giải: Đặt u  3 3x  1

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem

sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

9 x 2  1  (3x  1)(3x  1) . Nên có thể đặt 2 ẩn phụ

u  1
v  1

Giải ra: 

vậy ta có:
3

 3x  1  1
 x  0 Vậy (9) có nghiệm x=0
3

 3x  1  1

Bài tập tƣơng tự: Giải phương trình :
a)

3

1
1
x
 x 1
2
2

b)

3

x  a 3 x b 1

Ngoài cách trên có một số bài khi đặt 2 ẩn phụ nhƣng khơng đƣa đƣợc về hệ PT
thì ta có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ , thay vào hệ thức đã đặt lúc đầu để đƣa về
phƣơng trình đơn giản. Nhƣ các VD sau:
VD4: Giải phương trình:
Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

13


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
2( x 2  2)  5 x 3  1

(10)

Nhận xét: Nếu bình phƣơng hai vế của phƣơng trình sẽ đƣa về phƣơng trình bậc 4
rất khó giải:
Hƣớng dẫn: + Nhận xét gì về biểu thức x3+1 ?
có dạng HĐT: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1)
+ Tìm mối quan hệ giữa x2+2 và x3 +1
x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1)
+ Từ đó ta có thể đặt 2 ẩn phụ: a  x  1; b  x 2  x  1 và tìm mối quan hệ a, b từ
đó tìm x
Giải:
ĐK : x  1

sa

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh

em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

2( x 2  1)  5 ( x  1)( x 2  x  1)

Đặt a  x  1; b  x 2  x  1

Ta có: a2=x+1 ; b2= x2-x+1 ; x2+2=a2+b2
Phƣơng trình đã cho trở thành:
2(a 2  b 2 )  5ab
a  2b
 (2a  b)(a  2b)  0  
b  2a

* Với a= 2b ta có:

x 1  2 x2  x 1

 x 2  5x  3  0

5  37

 x1 
2

( Thoả mãn điều kiện)

5  37
 x2 
2


+ Với b=2a Ta có: x 2  x  1  2 x  1 . Từ đó giải ra tìm x

Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

14


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
( Ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan trọng .
Vì vậy trƣớc khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra phƣơng pháp giải phù hợp).
VD5:Giải phương trình:
2(3x  5) x 2  9  3x 2  2 x  30

( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005)
HD : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ các biểu thức:

32 x  3  1

x 2  9  3( x 2  9)  2 x  3

Đặt: 2 x  3  a; x 2  9  b ;
Ta có PT: (3a  1)b  a  3b 2  (3b  1)(b  a)  0

sa

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi

em

1
 2
b  a
x 9 

3
Giải ra:  1  
; Giải ra: x=0
b 
2
2 x  3  x  9
3


VD5: Giải phương trình: 5 2 x 3  16  2( x 2  8);
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
HD: Biến đổi

5 2( x  2)( x 2  2 x  4)  2( x 2  8)

Mối liên hệ: x 2  8  ( x 2  2 x  4)  (2 x  4) ;
Đặt:

2( x  2)  a; x 2  2 x  4  b

Ta có phƣơng trình: 5ab  2(a 2  b 2 )  (2a  b)(a  2b)  0
Từ đó tìm a,b, và tìm đƣợc x
BT Tƣơng tự: Giải phương trình

a) 2( x 2  3x  2)  3 x 3  8
b) 2 x  3  x  1  3x  3 2 x 2  5x  3  16
Hƣớng dẫn:Nhận xét: (2 x  3)( x  1)  2 x 3  5x  3

Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

15


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
Đặt : u  2 x  3  0; v  x  1  0

 u 2  v 2  3x  4  3x 2  u 2  v 2  4

Nên ta có phƣơng trình: u  v  u 2  v 2  20  2uv  (u  v) 2  (u  v)  20  0
Ta có phƣơng trình: t2-t-20=0

Đặt: u+v=t.

t  5

Giải ra: 
Do đó:
t  4(loai )

2x  3  x  1  5

Đến đây dùng phƣơng pháp 1 để giải: x=3
C) Đặt nhiều ẩn phụ:

VD1: Giải phương trình:

2 x 2  1  x 2  3x  2  2 x 2  2 x  3  x 2  x  2

Nhận xét: + Phƣơng trình này nhìn rất phức tạp , nếu nghĩ đến phƣơng pháp bình
phƣơng 2 vế thì sẽ đƣa về một phƣơng trình phức tạp .
+ Việc đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa có thể phức tạp , nên ta giải phƣơng
sa

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem

nh ng hi
ng hiemem
hi
em

trình tìm x rồi thử lại.

+ Quan sát nhận xét các biểu thức trong căn :
(2 x 2  1)  ( x 2  3x  2)  (2 x 2  2 x  3)  ( x 2  x  2)

Nên có thể nghĩ đến phƣơng pháp đặt ẩn phụ :
Giải: Đặt 2 x 2  1  u; x 2  3x  2  v; 2 x 2  2 x  3  z; x 2  x  2  t
u  v  z  t

Ta có hệ : 

u  v  z  t
2

2

2

2

Từ đó suy ra: u  t  2 x 2  1  2 x 2  x  3 Giải ra : x=-2

Thay vào thoả mãn phƣơng trình đã cho , Vậy phƣơng trình có nghiệm x=-2
( Phƣơng pháp này tôi thấy hay và độc đáo , từ đó GV có thể đặt nhiều đề tốn đẹp)
Bài tập tƣơng tự: Giải phƣơng trình

2006 x 2  2005  2005x 2  x  2004  2006 x 2  2 x  2003  2005x 2  x  2002

PHƢƠNG PHÁP 4: Đƣa về dạng : A2 + B2 = 0 hoặc A.B=0
ở phƣơng pháp này ta sử dụng A2 + B2 = 0 <=> A = B = 0 ; A.B =0
Khi A=0 hoặc B=0
Ví dụ: Giải phương trình:

x 2  4x  5  2 2x  3

Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

16


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
Nhận xét: + Sử dụng các phƣơng pháp 1, 2, 3 đều khó giải
+ Biến đổi đƣa về dạng A2 + B2 = 0
Giải:Điều kiện: x  

3
2

x 2  4x  5  2 2x  3  0
 ( x 2  2 x  1)  (2 x  3  2 2 x  3  1)  0
 ( x  1) 2  ( 2 x  3  1) 2  0
x  1  0

 2x  3  1  0

Giải ra x=-1
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2x 2  2x  1  4x  1

Nhận xét:
sa

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh

em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem

hi
em

+ Ở phƣơng trình này ta có thể đặt ẩn phụ y = x2 + x từ đó đƣa về hệ phƣơng trình
y  x  x
đối xứng: 
2
2

 x  y  y
x  y

rồi giải tìm x
Từ đó suy ra: 
 x  2  y
+ Ta cũng có thể nhân 2 vế của phƣơng trình với 2 rồi đƣa về dạng:
4 x 2  ( 4 x  1  1) 2  0 giải ra x=0 ( cách giải này đơn giản hơn)

Bài tập tƣơng tự:
a)

Giải phương trình

x 2  6 x  26  6 2 x  1

VD: Giải phương trình:

b)

x  y  z  4  2 x 2  4 y 3 6 z 5

5x  2 x  1  1  x  3

( Đề thi học sinh giỏi huyện 2005)
HD: Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức: 5x  3  4( x  1)  (1  x) ; PT trở thành:
(2 x  1) 2  ( 1  x ) 2  2 x  1  1  x  0  (2 x  1)  1  x  1  0
 ( x  1) (5 x  1  1)  0

Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

17


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
Giải ra: x=-24/25 ( TMĐK)
Ngồi ra ta có thể đặt: x  1  a; 1  x  b ; ta có hê:
a 2  b 2  2
; Từ đó giải ra tìm a;b và tìm đƣợc x

2
2
2a  b  4a  b  0

Bài tập tƣơng tự : Giải phƣơng trình
4 x  1  3x  2 

x3
5

HD: Nhận xét x  3  ( 4 x  1) 2  ( 3x  2 ) 2 Từ đó biến đổi đƣa về dạng :A.B =0
PHƢƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức
Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức khơng chặt.
VD1: Giải phương trình:

4x  1

4x  1
2
x



1
a b
;Sử dụng bất đẳng thức:   2
4
b a

(`11)
với a, b > 0 dấu “=” xảy ra khi

sa

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki

em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

Giải: ĐK: x 

x

và chỉ khi a=b

Ta có:

x
4x  1



4x  1
2
x

Do đó (11)  x  4 x  1 Giải ra: x  2  3 thoả mãn điều kiện
Vậy (11) có hai nghiệm

x  2 3

VD2: Giải phương trình:
3x 2  6 x  7  5x 2  10 x  14  4  2 x  x 2

(12)

Nhận xét:+Ở phƣơng trình này ta khơng nên bình phƣơng hai vế
+ Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn.
3x2+6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5 từ đó có
lời giải:
Giải: VT: 3x 2  6 x  7  5x 2  10 x  14  4  2 x  x 2  4  9  5
VP: 4  2 x  x 2  5  ( x  1) 2  5
Vậy 2 vế đều bằng 5, khi đó x  1  0  x  1
Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

18


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh

lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
Kết luận pt (12) có một nghiệm x=-1
BT tương tự: Giải phương trình
3x 2  6 x  7  5x 2  10 x  14  4  2 x  x 2

a)

x 2  6 x  15
 x 2  6 x  18
2
x  6 x  11

b)

VD3: Giải phương trình:
x  4  6  x  x 2  10 x  27

Nhận xét: Nếu bình phƣơng 2 vế sẽ đƣa về phơng trình bậc 4, khó giải
Hƣớng dẫn : Sử dụng BĐT so sánh 2 vế
Giải: ĐK: 4  x  6
Ta thấy: x 2  10 x  27  ( x  5) 2  2  2
Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

  1
2

2



 12 x  4  6  x   2.2  4

 x4  6 x  2

Vậy ta suy ra: x2-10x+27=2
x4  6 x  2

sa

x  4  1. 6  x

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem

sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki

em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

1.

(1)
(2)

Giải (1) ta đƣợc x=5 thay vào (2) ta thấy 2 vế bằng nhau. Vậy phƣơng trình có
nghiệm x=5
BT tƣơng tự : Giải phương trình
a)
b)

4

1 x2  4 1 x  4 1 x  3

2  x2  2 

Đƣa về dạng:

 2 x

2

(HD: áp dụng BĐT cô si)

1
1

 4x  
2
x
x





1 1
 x   2  2    4 rồi áp dụng BĐT Bunhiacopxki
x
x


Tổng quát cách giải:
Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

19


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh
lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
+ Biến đổi pt về dạng f(x)=g(x) mà

f ( x)  a; g ( x)  a với a là hằng số. Nghiệm

của pt là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x)=a và g(x) = a
+ Biến đổi pt về dạng h(x) =m ( m là hằng số) mà ta ln có h(x)  m và h(x)  m
thì nghiệm của pt là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra
+ Áp dụng BĐT Côsi và Bunhiacôpxki
PHƢƠNG PHÁP 6: Đốn nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải pt:

5  x 6  3 3x 4  2  1

Nhận xét: Nếu sử dụng 5 phƣơng pháp trên đều khó giải đƣợc nên suy nghĩ để tìm
cách giải khác.
Hƣớng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm của pt
+ Chứng minh nghiệm duy nhất

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh

em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

Giải: Nhận thấy x  1 là một nghiiệm của pt
6
6


 5 x  2
5  x  4
 5  x 6  3 3x 4  2  1

x  1 thì  4
4

3x  2  1 
 3x  2  1
sa

+ Xét

nên pt vô nghiệm
5  x 6  4
 5  x 6  3 3x 4  2  1 nên pt vơ nghiệm
+ xét x  1 ta có:  4

3x  2  1

Vậy pt có 2 nghiệm x=-1 và x=1
Ví dụ 2: Giải phương trình:
5

x  1  3 x  8  x3  1

Giải: Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phƣơng trình
+Nếu x<0 thì

5

x  1  1; 3 x  8  2; x 3  1  1

Vậy VP <1; VT>1 nên phƣơng trình vơ nghiệm .
+ Nếu x>0 thì VP<1; VT>1 nên phƣơnhg trình vơ nghiệm.
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình

Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

20


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh

lớp 9 giải phương trình vơ tỷ
BT tƣơng tự: Giải phương trình
3

x 2  28  23 x 2  23  x  1  x  2  9

Hƣớng dẫn: TXĐ: x  1
Nhận thấy x=2 là nghiệm
Chứng tỏ:

1  x<2 thì phƣơng trình vơ nghiệm
x>2 phƣơng trình vơ nghiệm

(Ở những phƣơng trình phức tạp mà việc sử dụng các phƣơng pháp 1 đến phƣơng
pháp 4 đều không giải đƣợc thì ta nghĩ đến phƣơng pháp 5).
BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Trên đây tơi đã trình bày cách nhận dạng và các phƣơng pháp giải phƣơng trình
vơ tỷ. Trƣớc khi giải học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ đễ đến khó để tìm ra
phƣơng pháp phù hợp để giải. Sau đó học sinh sẽ giải các bài tập tƣơng tự cùng
sa

sa ng
sa ng ki
sa ng ki en
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng
sa ng ki en kinh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em

sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
en
ki
ng
sa
ki
em
nh
sa ng ki en kinh ng nghi hiem

sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
sa ng ki en kinh
em
sa ng ki en kinh ng nghi hiem
ng ki en kinh
em
ki en kinh ng nghi hiem
en ki
em
ki nh ng hiem
nh ng hi
ng hiemem
hi
em

dạng, và tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phƣơng pháp giải .
Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng
dạng , đi sâu mỗi dạng và tìm ra hƣớng tƣ duy ,hƣớng giải và phát triển bài tốn
.Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm ra cách giải thích hợp
cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề . Và tơi tin chắc rằng tốn
học sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh .
Với kinh nghiệm nho nhỏ nhƣ vậy tôi xin đƣợc trao đổi cùng các đồng
nghiệp.Tơi rất mong đƣợc sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp và các thầy cơ
đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy .

Diễn Châu ngày 25 tháng 5 năm 2005
Người thực hiện

Hồng Thị Bích Lai
Ngƣời thực hiện: Hồng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng

21