DẠNG MA TRẬN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Bài 32. Các biểu diễn trạng thái
khác nhau của hệ lượng tử
Chúng ta có các biểu diễn cho các trạng thái hàm
sóng:
- Biểu diễn theo tọa độ (theo “x”),
- Theo xung lượng “p”
- Biểu diễn năng lượng “E”.
CHƯƠNG VI
DẠNG MA TRẬN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
2
-
Ta có thể biến đổi hàm sóng từ biểu diễn “p” sang một
hàm sóng trong biểu diễn “x” và ngược lại.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
*
, ,  (32.1)
, ,  (32.2)
p
p
x t C p t x dp
C p t x t x dx
ψ ψ
ψ ψ
=
=
∫
∫
⇒
C(p, t) là hàm sóng trong biểu diễn “p”

-
Từ tích phân Fourier:
3
-Khai triển hàm sóng

(x,t)theo các hàm riêng của toán
tử năng lượng, với E của hạt là biến độc lập.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
*
, (32.3)
, (32.4)
n n
n
n n
x t C t x
C t x t x dx
ψ ψ
ψ ψ
=
=
∑
∫
⇒
Tập hợp cácC
n
(t) là một hàm sóng.
Tương tựC(p, t), ta viếtC(E, t) là hàm sóng trong
biểu diễn“E”.
4

Như vậy, xác suất tìm thấy một giá trị nào đó của biến độc
lập bằng môđun của hàm sóng cho trong biểu diễn tương
ứng.
( ) ( ) ( )
2 2
 ,   ,  (32.7)
n n n
E t C t C E t
ω
= =
*Xác suất tìm thấy giá trị của tọa độ nằm giữaxvàx+dxlà:
* Xác suất tìm thấy giá trị của xung lượng nằm giữa p và
p+dplà:
*Xác suất tìm thấy một năng lượng bằng E
n
được xác định
( ) ( )
2
 ,  , (32.5)x t dx x t dx
ω ψ
=
( ) ( )
2
 ,  , (32.6)p t dp C p t dp
ω
=
5
Bài 33. Toán tử và ma trận
µ
( ) ( )

, (33.1)R i x x x
x
ψ ϕ
∂
 
− =
 ÷
∂
 
h
Chúng ta xét toán tử trong các biểu diễn khác nhau
µ
R
1. Xét toán tử trong biểu diễn “x”
µ
R
µ
( ) ( )
(33.1')R x x
ψ ϕ
=
Ta viết
6
2. Xét toán tử trong biểu diễn “E”
µ
R
Giả thiết các trị riêng E
n
của năng lượng tạo thành một
phổ gián đoạn.

Gọi

n
(x) là các hàm riêng tương ứng. Khi đó ta có:
( ) ( )
( ) ( )
(33.2)
(33.3)
n n
n
n n
n
x C x
x b x
ψ ψ
ϕ ψ
=
=
∑
∑
Thế (33.2) và (33.3) vào (33.1) ta có:
( )
µ
( )
 (33.4)
n n n n
n n
b x C R x
ψ ψ
=

∑ ∑
7
Nhân (33.4) với và lấy tích phân trên toàn miền của x,
ta thu được:
( )
*
m
x
ψ
µ
*
(33.5)
( ) ( ) (33.6)
m mn n
n
mn m n
b R C
R x R x dx
ψ ψ
=
=
∑
∫

Trong đó :
Tập hợp các R
mn
có thể được sắp xếp thành ma trận m
hàng, n cột:
11 12 13 1

21 22 23 2
1 2 3


(33.7)



n
n
m m m mn
R R R R
R R R R
R
R R R R
=
8
3. Xét toán tử trong biểu diễn “p” với phổ liên tục
µ
R
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 (33.2')
  (33.3')
p
p
x C p x dp
x b p x dp
ψ ψ
ϕ ψ

=
=
∫
∫
Tiến hành tương tự như trường hợp phổ gián đoạn, ta có
( ) ( ) ( )
µ
( )
( ) ( ) ( )
µ
( ) ( )
*
'
'
   (33.4')
  '  
 '  (33.5')
p p
p p
p p
b p x dp C p R x dp
b p p p dp C p dp R dx
b p R C p dp
ψ ψ
δ ψ ψ
=
− =
=
∫ ∫
∫ ∫ ∫

∫
hay
Với:
( ) ( )
µ
( )
*
' '
', (33.6')
p p p p
R R p p x R x dx
ψ ψ
= =
∫
9
Các đại lượng đặc trưng cho trong biểu diễn “p” và
cũng được gọi là phần tử ma trận của trong biểu diễn
“p”.
Trong đó: p’ ký hiệu số hàng
p ký hiệu số cột
'p p
R
µ
R
µ
R
Kết luận: ta có thể nói trong mọi biểu diễn các toán tử
đều có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận.
10
Bài 34. Ma trận và các phép tính về ma

trận
11
22
0 0
0 0
(34.1)
0 0 0
0 0

nn
R
R
R
R
=
1. Ma trận chéo
Xét được cho trong biểu diễn riêng với là hàm riêng.
µ
R
( )
n
x
ψ
( )
µ
( ) ( ) ( )
* *
mn m n n m n n mn
R x R x dx R x x dx R
ψ ψ ψ ψ δ

= = =
∫ ∫
Như vậy trong phép biểu diễn riêng mọi toán tử được
biểu diễn bằng một ma trận chéo, các phần tử chéo là các
trị riêng của toán tử đó.
11
Ma trận đơn vị là ma trận chéo trong đó các phần tử ma
trận chéo đều bằng 1. Đối với ma trận đơn vị ta có:
*
0
(34.2)
1
mn m n
m n
dx
m n
δ ψ ψ
≠

= =

=

∫
Ma trận đặc biệt này có dạng:
1 0 0
0 1 0

0 0 1
Do ma trận đơn vị giữ nguyên trong mọi phép biểu diễn

nên ta luôn có thể viết các phần tử ma trận dưới dạng:
(34.3)
mn n mn
R R
δ
=
12
( )
* *
(34.4)
mn
mn
R R=
2. Ma trận liên hợp phức:
*
R
3. Ma trận chuyển vị:
°
R
°
( )
;
nm
mn
R R=
Ta có
µ µ
( )
* *
1 2 2 1

  (34.5')R dx R dx
ψ ψ ψ ψ
=
∫ ∫
Một ma trận R được gọi là ma trận chuyển vị , nếu
được xác định bằng hệ thức:
µ
R
13
4. Ma trận liên hợp. Ma trận ecmitic:
R
+
( )
*
(34.6)
nm
mn
R R
+
=
Nếu
*
  (34.7 )
mn nm
R R hay R R
+
= =
thì ma trận R được gọi là ma trận ecmitic. Định nghĩa này
cũng phù hợp với định nghĩa toán tử ecmitic.
µ µ

( )
*
* *
 
mn m n n m nm
R R dx R dx R
ψ ψ ψ ψ
= = =
∫ ∫
5. Ma trận nghịch đảo
1
R
−
1 1
1(34.8)RR R R
− −
= =
14
6. Ma trận unite
R là ma trận unite nếu R
+
R = RR
+
= 1.
Suy ra R
+
là ma trận nghịch đảo của R, R
+
= R
-1

, do đó một
ma trận unite không phải là ma trận ecmitic.
7. Ma trận không, ma trận hằng số. Spur của ma trận
a. Ma trận không 0: Ta có 0R = R0 = 0
Các phần tử ma trận không đều bằng 0.
b. Ma trận hằng số C: cA = CA => C
kl
= cδ
kl
Với C
kl
là các phần tử ma trận của ma trận C
c. Spur của ma trận: ký hiệu Sp
Spur của ma trận R là:
( )
kk
k
Sp R R=
∑
15
8. Phép tính các ma trận
8.1. Phép tính các ma trận trong TH phổ gián đoạn
a. Phép cộng các ma trận
Giả sử:
µ
µ
µ
R F D= +
Ta có:
µ

µ
µ
* * *
   (34.16)
(34.17)
mn m n m n m n
mn mn mn
R R dx F dx D dx
R F D
R F D
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
= = +
= +

=>

= +

∫ ∫ ∫
Ta nói hai ma trận F và D bằng nhau khi:
(34.18)
mn mn
F D
F D
=


=

16

b. Phép nhân ma trận với một số
(34.19)
mn mn
F kD
F kD
=


=

c. Phép nhân hai ma trận: R=F.D
µ
( )
 (34.20)
n k k
k
D b x
ψ ψ
=
∑
Lại có là một hàm nên có thể khai triển theo chuỗi sau
µ
( )

n
D x
ψ
µ
µ
µ

µ
µ
( )
* * *
 .  . 
mn m n m n m n
R R dx F D dx F D dx
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
= = =
∫ ∫ ∫
Ta có
Trong đó:
µ
*
k k n
b D dx
ψ ψ
=
∫
Khai triển R
mn
ta có:
. (34.19 )
mn mk kn
k
R F D a=
∑
17
Hệ quả:
Xét R = F.D. Tìm R

+
Ta có:
*
mn nm
R R
+
=
Dựa vào (34.19a) ta có:
²
±
( ) ( )
* * * * *
 (34.25)
mn nm nk km mk kn
mk kn
k k k
R R F D D F D F
hay R D F
+ + +
+ + +
= = = =
=
∑ ∑ ∑
Đặc biệt, nếu R = kD với k là hằng số thì R
+
= k
*
.D
+

Chúng ta có thể mở rộng: (FDG…)
+
= …G
+
D
+
F
+
18
8.2. Phép tính các ma trận trong TH phổ liên tục
Phần tử ma trận chéo:
( ) ( )
'
' ' (34.28)
p p
R R p p p
δ
= −
Ma trận tự liên hợp
*
' '
(34.29)
p p pp
R R=
Phần tử của ma trận tổng
' ' '
(34.30)
p p p p p p
R F D
R F D

= +


= +

Phần tử của tích hai ma trận
' ' '' ''
(34.31)
''
p p p p p p
R FD
R F D dp
=



=


∫
Ma trận đơn vị I:
( ) ( )
'
'
pp
I p p
δ
= −
19
8.3. Các công thức biến đổi hàm sóng từ biểu diễn tọa độ

sang biểu diễn xung lượng và ngược lại cũng có thể viết
dưới dạng ma trận
a. Xét toán tử tọa độ x trong biểu diễn “p”
( )
*
' '
'
1 '
exp exp
2
' (34.33)
p p p p
p p
ip x ipx
x x dx x dx
x i p p
p
ψ ψ
π
δ
   
= = −
 ÷  ÷
   
∂
=> = − −
∂
∫ ∫
h h h
h

Từ (33.5) ta có tác dụng của dưới dạng ma trận
µ
R
( ) ( ) ( ) ( )
'
' '
p p
b p x C p dp i p p C p dp
p
δ
∂
= = − −
∂
∫ ∫
h
Lấy tích phân từng phần và ta rút ra được
( )
( )
(34.34)
C p
b p i
p
∂
=
∂
h
20
b. Xét toán tử tọa độ x trong biểu diễn riêng (biểu diễn“x”)
( )
( ) ( )

'
'
' ' (34.35)
' ' (34.36)
x x
x x
x x x x
F F x x x
δ
δ
= −
= −
Trong công thức (33.5’)
ta thay b bởi , C bởi , p bởi x và R bởi F ta có:
( ) ( )
'
'  
p p
b p R C p dp=
∫
ψ
ϕ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
'
' ' '
(34.37)
x x
x F x dx F x x x x dx
x F x x

ϕ ψ δ ψ
ϕ ψ
= = −
=> =
∫ ∫
Kết luận: Tác dụng của hàm sóng F(x) trong biểu diễn “x”
quy về việc nhân với
( )
x
ψ
( )
F x
21
c. Xét toán tử tọa độ trong biểu diễn “x”
µ
p
( )
'
' (34.38)
x x
p i x x
x
δ
∂
= −
∂
h
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
'

' '
x x
x p x dx i x x x dx
x
ϕ ψ δ ψ
∂
= = −
∂
∫ ∫
h
Lấy tích phân từng phần ta thu được
( ) ( )
(34.39)x i x
x
ϕ ψ
∂
= −
∂
h
Điều đó chứng tỏ rằng, biểu diễn ma trận của toán tử
tương đương phép biểu diễn vi phân của nó
µ
p
µ
P i
x
∂
= −
∂
h

22
Dựa trên các công thức (34.35), (34.38), mọi toán tử được
cho dưới dạng
µ µ
µ
$
( )
, ,F i x F p x
x
∂
 
− =
 ÷
∂
 
h
đều được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau
( ) ( )
µ
( )
'
' , ' '
x x
x F x dx F i x x
x
ϕ ψ ψ
∂
 
= = −
 ÷

∂
 
∫
h
Để xác định các phần tử ma trận F
x’x
, ta chỉ cần thay
trong dưới dạng các ma trận (34.35), (34.38) rồi
thực hiện các phép nhân và phép cộng ma trận (34.30),
(34.31).
µ
$
,p x
23
Bài 35. Giá trị trung bình của một đại lượng
dưới dạng ma trận. Đưa ma trận về dạng chéo
µ
*
(*)f f dx
ψ ψ
=
∫
1. Giá trị trung bình của một đại lượng dưới dạng ma trận
Xét trường hợp phổ gián đoạn, gọi là hàm riêng.
( )
n
x
ψ
( ) ( )
( ) ( )

* * *
 , , (35.1)
v  , , (35.1')
n n
n
m m
n
x t C x t
à x t C x t
ψ ψ
ψ ψ
=
=
∑
∑
Vấn đề đặt là đưa công thức sau về dạng ma trận
24
Thay vào (*), ta có:
µ
* * *
   (35.2)
m n m n m mn n
n m n m
f C C f dx hay f C f C
ψ ψ
= =
∑∑ ∑∑
∫
Ta xem tập các C
n

như phần tử ma trận cột và tập các
như phần tử ma trận liên hợp
ψ
*
m
C
ψ
+
Ta có:
µ
( )
 35.3f f
ψ ψ
+
=
Trong đó f là ma trận với các phần tử ma trận
µ
*
mn m n
f f dx
ψ ψ
=
∫
25