Bài tập môn giải tích II học viện kỹ thuật quân sự

1



BÀI TẬP GIẢI TÍCH II

HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt,
phương trình vi phân.
2012
T
ạ Ngọc Ánh

Bộ môn Toán - Khoa CNTT - HVKTQS
(Sưu tầm và biên soạn)
2

Chương 1
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1. Tìm tập xác định của hàm số
a)
u x y
  b)
2 2
1 1
u x y
   
c)
2 2

1
u x y
  
d)
ln
u xy


2. Tìm giới hạn của hàm số
a)
2 2
2 2
x y
u
x y



khi
( ; ) (0;0)
x y

b)
2
2 4
xy
u
x y



khi
( ; ) (0;0)
x y


c)
2 2
x
xy
u
x y
 

 

 
khi
( ; ) ( ; )
x y
  
d)
1
( )sin
u x y
xy
 
khi
( ; ) (0;0)
x y


.
e)
2 2
2 2
( )
x y
u x y  khi
( , ) (0;0)
x y

f)
2 2
ln( )
y
x e
u
x y



khi
( , ) (0;0)
x y


g)
2 2 ( )
( )
x y
u x y

 
  khi
( ; ) ( ; )
x y
  
h)
sin
xy
u
x
 khi
( , ) (0;3)
x y


3. Xét tính liên tục của các hàm số
a)
2 2
1
khi 0
0 khi 0
x y
e xy
u
xy










b)
2
4 2
khi ( , ) (0,0)
0 khi ( , ) (0,0)
x y
x y
u
x y
x y










4. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số
a)
2 2
ln( )
u x x y
   b)

2
y
u x

c)
xz
u e x y
 
d)
2
cos
x xy
u e


e)
2
arctan( )
u x y
 
5. Tính các đạo hàm riêng của hàm số tại
(0;0)
O
a)
3 3
2 2
2
khi ( ; ) (0;0)
0 khi ( ; ) (0;0)
x y

x y
u
x y
x y










b)
( ) khi ( ; ) (0;0)
0 khi ( ; ) (0;0)
x y
x y e x y
u
x y


 





6. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số

a)
2
2 3
u x y xyz
   b)
3
xy
u
x y


c)
arcsin
x
u
y

d)
2
ln( )
u x y
 
7. Kiểm tra xem hàm số
3 3
3
u x y
 
có khả vi tại
(0;0)
O hay không ?

8. Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng
a)
3
4
ln( 1.03 0.981)
 b)
1.01
arctan
0.99
c)
3 3
1.02 1.97

9. Tính đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm ẩn xác định bởi phương trình
a)
0
y x xy
xe ye e
  
b)
2 2 2 2 3
( ) 3
x y x y y
  
tính
'(0)
y biết
(0) 0
y


c)
z
x y z e
  
d)
2
0
x y z
xe y e ze
  
e)
0
y xy
xe yz ze
  
tại điểm (1;1)
10. Tính các đạo hàm riêng cấp hai
a)
2
ln( )
u x x y
   b)
3
ln( )
u x x y
 
c)
ln sin .ln
x
u e y y x

  d)
4 4 3
u x y xy
  
11. Cho
2 2
2 2
( , )
x y
f x y xy
x y



khi
( , ) (0;0)
x y

và
(0;0) 0
f

. Tính đạo hàm riêng
''
(0;0)
xy
f và
''
(0;0)
yx

f . Chỉ ra
rằng
'' ''
(0;0) (0;0)
xy yx
f f .
12. Tính vi phân cấp hai của hàm số
3

a)
4 2 3
3
u x xy y
  
b)
2 2 2
u x y z
  
, chứng minh
2
0
d u

.
c)
2 2 3
3 3
u x y z xy xz
     tại điểm
(1;1;1)

M , tìm ma trận của dạng toàn phương
2
( )
d u M
với các
biến
, ,
dx dy dz
.
13. Khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin đến vi phân cấp ba
a)
sin
x
u e y
 b)
ln(1 )
y x y
  
c)
2 2
sin( )
u x y
 
14. Chứng minh
a)
. ' . ' 0
x y
y z x z
 
với

2 2
( )
z f x y
  và
( )
f t
là hàm khả vi.
b)
. " . " 2 ' 0
xx xy x
x z y z z
  
với
2
( )
xy
z
x y


c)
" " 0
xx yy
z z
 
với
2 2
ln( )
z x y
 

d)
2
" . " ( " ) 0
xx yy xy
z z z
 
với
. ( / )
z y f x y

và
( )
f t
có đạo hàm cấp hai liên tục
15. Tìm hàm
( , )
z z x y

thỏa mãn
a)
' 2 4 , ' 3 4 , (0;1) 0
xy xy
x y
z ye z xe z
    
b)
2 2 2 2
' 2 3, ' 2 3
x y
z x xy z y x y

     

c)
2 4 5
" 12 2, ' 30 , (0;0) 1, (1;1) 2
xx y
z x y z x xy z z
      

16. Tính đạo theo hướng của vector
v

tại điểm
M

a)
2 2
, (1;1), (3;4)
u x y M v  

b)
2 3
, (1;2;3), (1;2;2 5)
u xy z M v 


17. Tìm cực trị của hàm số
a)
3 2
3 30 18

u x xy x y
    b)
2 2
4( )
u x y x y
   
c)
y
u x y xe
  
d)
3 2
3 15 12
u x xy x y
    e)
4 4 2 2
2
u x y x xy y
    
f)
2 2
ln( )
u xy x y
 
g)
2 2
1
u x xy y x y
     
h)

4 2 2
1
8 (1 )
4
u x x y x
    i)
3 3
3
u x y xy
  
j)
4 4 2
3( )
u x y x y
    k)
2 2 2
3 2 8 6
u x y z x y z
     

l)
2 2 4
3 12 8 2
u x y z y z
     
m)
3 2 2
12 2
u x y z xy z
    

18. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số
a)
2 2
u x y
 
với
2 2
1
x y
 
b)
2
u x y
 
với
3
3 0
xy y
  

c)
2 2
12 2
u x xy y
   với
2 2
4 25
x y
 

d)
2
3
u x y y
  
với
2 2
3
x y xy
  

e)
2 2
cos cos
u x y
  với
4
x y

 
f)
2
1
2 khi
1
x y
u x y z
z xy
 


  

 


g)
2 2 2
u x y z
  
với
2 2
2
1
9 4
x y
z
  
h)
u xyz

với
2 2 2
1
0
x y z
x y z

  

  



19. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền tương ứng
a)
u x y
 
trong miền
2 2
25
x y
 
b)
2 2
u x y
 
trong miền
2 2
1
4 9
x y
 

c)
2 2
3
u x y xy xy
   trong miền
0 4, 0 3
x y
   

d)
2 2
3 2 2
u xy x y
   trong miền


2 2
( , ) : 9
D x y x y
  

e)
2 2
2
u x xy y x
   
trong miền
2 2
0
x y
 
f)
2 2
u x xy y
  
trong miền
1
x y

 

f)
u x y z
  
trong miền
2 2
1
x y z
  

20. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
a)
3 3
4 5 12 0
y xy y x
    
tại điểm
(1;2)
M b)
2
3
( ) 0
x
x x y e y
   
tại điểm
(0;1)
M
c)

2 1
2 , 3 ,
t
x t y t z e

   tại điểm
(2;3;1)
M , viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện.
4

21. Tìm tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong
a)
2 2 2
3 2 0
x y z
  
tại điểm
(1;1; 2)
M b)
0
xy z
 
tại điểm
(1;1;1)
M

Chương 2
TÍCH PHÂN BỘI

1. Tính các tích phân

a.
2
( )
D
I x xy dxdy
 

với D giới hạn bởi
, 2 , 2
y x y x x
  
(Đs
10
I

)
b.
D
I xydxdy


với D giới hạn bởi
2
4 0, 2
x y x y
    (Đs
90
I

)

c.
2 2
D
xy
I dxdy
x y



với D là tam giác có các đỉnh là O(0,0), A(3,3), B(3,0). (Đs
9ln 2
4
I  )
d. cos( )
D
I x y dxdy
 

với D xác định bởi


0 ,0
D x y x
 
     
. (Đs
I


)

e.
2 2
D
x
I dxdy
x y



với D giới hạn bởi
2
,
2
x
y y x
 
(Đs
ln 2
I

.)
f.
2
( )
D
I x y dxdy
 

với D giới hạn bởi
2 2

,
y x x y
 
(Đs
33
140
I  )
2. Đổi thứ tự lấy tích phân
a.
2
2
3
1
0
2
( , )
y
y
I dy f x y dx


 
(Đs
2
1
2 2 1 3 3
2
1
0 0 0 0
2

2
( , ) ( , ) ( , )
x x
I dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy

  
     
)
b.
2
1 2
0
2
( , )
x
x x
I dx f x y dy


 
(Đs
2
2 2
1 1
1 2 1
0 1
2 2
( , ) ( , )
y
y y

I dy f x y dx dy f x y dx
 
 
   
)
c.
2
1
1
0
1
( , )
y
y
dy f x y dx

 
 
(Đs
2
0 1 1 1
1 0 0 0
( , ) ( , )
x x
I dx f x y dy dx f x y dy
 

 
   
)

3. Đổi biến để tính tích phân
a.
D
I dxdy


với D giới hạn bởi
1 , 2 , 2 1, 2 3
y x y x y x y x
       
(Đ/s
2
3
I

)
b.
D
I xdxdy


với D xác định bởi
3, 2 1 2 5
x y x x y x
        
(ĐS
2
I

)

c.
3 2
( ) ( )
D
I x y x y dxdy
  

với D giới hạn bởi
1, 1, 3, 1
x y x y x y x y
        
(Đs
20
3
I  )
d.
2 2
(4 3 )
D
I x x y dxdy
   

với D giới hạn bởi
2 2
4 3 0
x y x
   
(Đs
2
I



)
e.
2 2
ln(1 )
D
I x y dxdy
  

với D xác định bởi
2 2
1, . 0
x y x y
  
(Đs
 
2ln 2 1
2
I

 
)
f.
2 2
2 2 4
(4 )
x y
D
I x y e dxdy

 
  

với D xác định bởi
2 2
1 4
x y
  

5

g.
D
I xydxdy


với D là nửa trên của hình tròn
2 2
( 2) 4
x y
  
(Đs
32
3
I
 
)
h.
2 2
4

D
dxdy
I
x y

 

với D xác định bởi
2 2
2 ,
x y y x y
  
(Đs
3
4 2
2
I

   )
k.
2
2
D
y
I xy x y dxdy
x
 
   
 
 


với D xác định bởi
2 2
1 2
x y x
   (Đs
4 3
3 12
I

  )
l.
2 2
( 1)sin
D
I x x y dxdy
  

với D xác định bởi
2 2 2 2
4
x y
 
   (Đs
2
6
I

  )
m.

2 2
D
I x y dxdy
 

với D là miền giới hạn bởi
i)
2 2 2
2 2 2
, 0
4
x y a
a
x y a

 



 


(Đs
3
14
3
a
I

 )

ii) Đường hai cánh
sin 2 , 0
r a a

 
(Đs
3
4
9
a
I  )
n.
2 2
2 2
sin
D
x y
I dxdy
x y




với D giới hạn bởi
2
2 2 2 2 2
,
4
x y x y



   
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a.
2 2
, 2
y x y x x
  

b.
cos , cos , 0
r a r b b a
 
   
(Đs
2 2
( )
4
b a
S


 )
c.
(1 cos ), 0
r a a

  
(Đs
2

3
2
a
S

 )
d.
2 2
2 cos2 ,
r a r a

 
ứng với phần
r a

. (Đs
2
3 3
3
S a


 ).
e.
0
y

và một nhịp của đường cycloid
( sin ), (1 cos ),0 2 , 0
x a t t y a t t a


      

(Đs
2
3
S a

 )
f.
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 0
x y a x y a
   
(Đs
2
S a

)
g.
2/3 2/3 2/3
0
x y a a
  
(Đs
2
3
8
a
S


 )
h.
sin 2 0
r a a

 

5. Tính diện tích của phần mặt:
a.
2 2
z x y
 
nằm trong mặt trụ
2 2
1
x y
 
b.
2 2
2 2
x y
z
a b
  nằm dưới mặt
1
z


c.

2 2
x y
z
a b
  nằm trong mặt
2 2
2 2
1
x y
a b
 
với
, 0
a b


d.
2 2 2 2
x y z a
  
nằm trong mặt
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 0
x y a x y a
   

e.
2 2 2
z x y
 

nằm trong hình trụ
2 2
1
x y
 

6. Tính thể tích
a. Phần hình nón
2 2 2
z x y
 
nằm trong mặt trụ
2 2
1
x y
 

b.Vật thể giới hạn bởi hai mặt
2 2 2 2 2 2
2 ,
x y z z x y z
    
lấy phần
2 2
z
x y
 
(Đs
V



)
6

c. Vật thể giới hạn bởi và
2 2 2 2
x y z a
  
và mặt
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 0
x y a x y a
   

7. Xác định trọng tâm của bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường
a.
2
4 4
y x
 
và
2
2 4
y x
  
b.
2 2
1
25 9
x y

 
và
1
5 3
x y
 

c.
2
y x

và
2
x y

d.
(1 cos )
x a

 

8. Tính các tích phân
a.
2 2
V
I x y zdxdydz
 

với V giới hạn bởi
2 2

, 1
x y z z
  
(Đs
4
21
I

 )
b.
V
I xy zdxdydz


với V giới hạn bởi
2
0, , , 1
z z y y x y
   
(Đs
8
189
I  )
c.
2
V
I x dxdydz


với V giới hạn bởi

2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
(Đs
3
4
15
a bc
I

 )
d. | |
V
I xyz dxdydz


với V giới hạn bởi
2 2
, 4
x y z z
  
(Đs
32
I

)
e.

2
V
I z dxdydz


với V xác định bởi
2 2 2 2 2 2
4, 4
x y z x y z z
     
(Đs
59
15
I

 )
f.
2 2
V
I x y dxdydz
 

với V xác định bởi
2 2 2 2 2 2
1, , 0
x y z x y z z
     
(Đs
2
2

16
I
 

 )
g.
V
I zdxdydz


với V xác định bởi
2 2
1
0 , 2 ,0 1
4
x x y x z x y
       
(
43
3072
I  )
h.
2 2
V
I z x y dxdydz
 

với V giới hạn bởi
2 2
2 , 0, 0

x y x z z a
    
(Đs
2
16
9
a
I  )
i.
2 2 2
V
I x y z dxdydz
  

với V là miền
2 2 2
x y z x
  
(Đs
10
I


)
j.
2 2
( )
V
I x y dxdydz
 


với V giới hạn bởi
2 2
2 , 2
x y z z
  
(Đs
16
3
I

 )
k.
2 2
V
I x z dxdydz
 

với V giới hạn bởi
2 2 2 2
, 1
y x z y x z
    
(
2
2
16
I
 


 )
l.
2 2 2
( )
V
I x y z dxdydz
  

với V giới hạn bởi
2 2 2 2
3( ) 3 , 0
x y z a a
   

m.
2 2 2
V
I x y z dxdydz
  

với V là miền
2
2 2
1 1
2 4
x y z
 
   
 
 

n.
2 2
( )
V
I x y dxdydz
 

với V là miền
2 2 2 2 2
, 0
a x y z b z
    
(Đs
5 5
4
( )
15
I b a

  )
o.
2 2
1
V
I x y dxdydz
  

với V giới hạn bởi
2 2

, ,0 1
z x y z a a
    

p.
2 2 2
V
I x y z dxdydz
  

với V giới hạn bởi
2 2 2
x y z z
  
(Đs
10
I


)
7

q.
2 2 2
( )
V
I x y z dxdydz
  

với V là miền

2 2 2
2 2
1
3
x y z
a a

 

r.
2
V
I z dxdydz


với V là miền
2 2 2
4
x y z
  
(Đs
128
15
I

 )
s. ( )
V
I xy yz xz dxdydz
  


với V là miền
2 2 2
4
x y z
  

t.
V
I ydxdydz


với V giới hạn bởi
2 2
, 0
y x z y a
   

9. Hãy tính tích phân sau bằng cách chuyển sang
a.
2
2 2
2 2
0 0 0
x x a
I dx dy z x y dz

 
  
hệ tọa độ trụ (Đ/s

2
8
9
a
I  )
b.
2 2
2
2 2
2
1 1
2
0 0
x y
x
x y
I dx dy z dz
 



  
hệ tọa độ cầu
10. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
a.
2 2
2 2 2
1
x y y
x y z


 


  


b.
2 2
2 2
2 2
2( )
2 0
z x y
z x y
x y x

 

 


  

c.
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
4

, 0
x y z
x y z
x y z z

  

  


  

d.
3
2 1
4 2
x y z
x y z
x y z
   


   


   


11. Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi
a.

2 2 2 2 2 2
2 , 3 , 0, 0
x y az x y z a z a
      

b.
2 2
1, , 0, 0, 0
x y z x y x y z
      



Chương3
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

1. Tính các tích phân đường loại I
a)
I xyd




với
2 2
2 2
: 1
x y
a b
  

b)
2
I x d




và
2
2
3
2
y
J x d

 
 
 
 


với
2 2 2 2
:
0
x y z a
x y z

  



  


c)
( 2 )
I x y d

 


với
2 2 2 2
:
0
x y z a
x y z

  


  


d) 2
C
I yd




với C là đường cong
2 3
, , ,0 1
2 3
t t
x t y z t
    

e)
C
I xyd



với C là cung elip
2 2
2 2
1
x y
a b
 
nằm trong góc
, 0
x y


f)
C
I xyd




với C là đường cong cos , sin , ,0
2
x a t y b t z ct t

    

2. Tính khối lượng đường cong
8

a)
,0
2
x x
a a
a
y e e x a

 
   
 
 
biết khối lượng riêng là
1
( , )x y
y



b)
cos , sin , ,0 2
x a t y a t z bt t

    
biết khối lượng riêng là
2
( , , )
x y z z



3. Tìm chiều dài và trọng tâm của các đường đồng chất
a)
( sin ), (1 cos ),0 2
x a t t y a t t

     

b) cos , sin , ,0x a t y b t z ct t

    

4. Tính tích phân đường loại II
a)
2 2
( 2 ) ( 2 )
I x xy dx y xy dy


   

với

là đường
2
y x

nối
( 1;1)
A

và
(1;1)
B .
b)
( ) ( )
I x y dx x y dy

   

với

là đường elip
2 2
2 2
1
x y
a b
 

, lấy hướng dương.
c)
(2;3)
( 1;3)
I xdy ydx

 

d)
(2;3)
2 2
( 1;3)
xdx ydy
I
x y






e)
2
( 1)
AB
I xy dx x ydy
  

AB là đường
2

2
1
4
y
x
 
nối
(1;0)
A và
(0;2)
B
f)
( ) ( )
C
I xy x y dx xy x y dy
     

với C:
2 2
2
x y x
 
. Tính trực tiếp và sử dụng công thức Green
g)
2 2
AB
I x dx y dy
 

với AB là đường tròn

2 2
2
x y x
 
nối
(0;0)
A và
(2;0)
B .
h)
2 2 2
2( ) ( )
I x y dx x y dy

   

với

là tam giác
ABC
trong đó
(1;1), (2;2), (1;3)
A B C .
i)
3
2 2
( cos ) ( cos )
3
AB
x

I x y xy dx xy x x xy dy
     

với AB là cung tròn
2 2
4
x y
 
và
( 2;0), (2;0)
A B

.
j)


2 2
2 2 2 2
( 1) ( 1) 1
ln
x y
I x y dx y xy x x y dy
   
 
     
 
 


k)

2 2
3
4 2 2
1
( cos ) cos
3
x y
x
I xy x y xy dx xy x x xy dy
 
 
      
 
 


l)
2 2
2
4
( 3 2 ) 2
2
x y
x
I xy x y dx y x dy
 
 
     
 
 



m)
2 2
4
( ) ( )
x y x
I xy x y dx xy x y dy
 
     



n)
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
I x y dx xy dy
 
  


n’)
2 2
C
xdy ydx

x y



với C là đường cong kín đơn không qua
(0;0)
O
o)
 
( 2;0)
(2;0)
(1 ) (1 )
x y
I e x y dx x y dy


     



p)
2 2 2
C
I xy dx yz dy zx dz
  

trong đó C là đoạn thẳng nối
(0;0), ( 2;4;5)
O B


.
9

q) Vẫn tính tích phân trong p) với C là đường tròn trong không gian cho bởi
2 2 2
45
2 0
x y z
x y

  

 

.
r)
C
I zdx xdy ydz
  

trong đó C là đường
2 2 2
1
1
x y z
x z

  

 



s)
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
C
I y z dx z x dy x y dz
     


với C là giao tuyến của các mặt
2 2 2
4
x y z y
   và
2 2
2 , 0
x y y z
  
. Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía
0
z

.
t)
( ) ( ) ( )
C
I y z dx z x dy x y dz
     



với C là giao tuyến của các mặt
2 2 2
9
0
x y z
x y z

  

  

. Tích phân
lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía
0
x


u) 3 3
C
I ydx dy zdz
   


với C là đường tròn
2 2
1
1
x y
z


 



. Tích phân lấy theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ nếu nhìn từ phía
0
z

.
v)
2 2 2
C
i x dx y dy z dz
  


với C là đường cong
2 2 2
2
4
x y z
z y

  






. Tích phân lấy theo chiều ngược
chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc tọa độ O.

5. Tính tích phân mặt loại I
a)
4
( 2 )
3
S
y
I z x ds
  

trong đó S là mặt
1
2 3 4
x y z
  
với
, , 0
x y z

.
b)
S
I yds


trong đó S là mặt

2
z x y
 
với.
0 1,0 2
x y
   

c)
2 2
( )
S
I x y ds
 

trong đó S là mặt
2 2 2
z x y
 
với.
0 1
z
 
.
d)
( )
S
I x y z ds
  


với S là phần mặt
2 2 2
x y z
  
nằm trong góc
, , 0
x y z


e)
2
1
S
I x y ds
 

với S là phần mặt
2
4 16
y z
 
cắt bởi
0, 1, 0
x x z
  

6. Tìm khối lượng và trọng tâm của mặt
2 2
, 1
z x y z

  
nếu khối lượng riêng là ( , , )
x y z z


.
7. Tính tích phân mặt loại II
a)
S
I xyzdxdy


trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2
1; , 0
x y z x y
   
.
b)
2
S
I xdydz dzdx xz dxdy
  

trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2
1; , , 0
x y z x y z
   
.

c)
2 2 2
S
I x dydz y dzdx z dxdy
  

trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2
4
x y z
  
.
d) Tính tích phân như trong c) với S là phía ngoài của mặt nón
2 2 2
,0 4
z x y z
   
.
e)
S
I xdydz ydzdx zdxdy
  

với S là phía ngoài mặt paraboloid
2 2
, 1
z x y z
  

f)

S
I xzdydz yzdzdx dxdy
  

với S là phía ngoài của chỏm cầu
2 2 2
25
x y z
  
cắt bởi
3
z


10

g)
S
I xdydz ydzdx zdxdy
  

trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2
4
x y z
  
.
h)
3 3 3
S

I x dydz y dzdx z dxdy
  

trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2
9
x y z
  
.
i)
2 2
S
I xzdydz yx dzdx zy dxdy
  

trong đó S là phía ngoài của mặt
2 2
9, 0, 9
x y z z
   
.
k) ( ) ( ) ( )
S
I y z dydz z x dzdx x y dxdy
     

trong đó S là phía ngoài của mặt
2 2
,0 1
4 9

y z
x x
   
.
Chương 4
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.
2 2 2 2
(1 ) (1 ) 0
x y dx y x dy
   

2.
'cos2 sin 0
y y y
 

3.
1
' 1
y
x y
 


4.
' cos( )
y x y
 

5.
2 2
1 1 0, (0) 1
x y dx y x dy y
    

6.
2 2
( 1) ' 4, (1) 2
x y y y
   

7.
2
sin cos2 2
'
1
x x
y
y
 



8.
3
' ( ')
x y y
 
9.

( ) ( ) 0
y x dx x y dy
   

10.
2
2
' 2
1
y
y
x y
 


 
 
 

11.
1
'
3
x y
y
x y
 

 

12.
2 2
xdy ydx x y dx
  
13.
2
' 2
x
y xy xe

 
14.
2 2 3
(1 ) ' 2 (1 )
x y xy x
   
15.
2
(1 ) ' 1, (0) 0
x y xy y
   

16.
2
( 1) ( 3) 0
x y dx x y dy
     

17.
2 2

1
'xy y
x y
 

18.
2 '
( ') 0
y
y y e
 

19.
3 3
( ') 3 '
y y yy
 
20.
2 3
( ') ( ')
y x y y
 
21.
2
' 2
y
xy x e

 

22.
3
'
yy xy x
 

23.
"
" " 0
y
x y e y
  

24.
1
"y
y

11

25.
2
4 " 2 " ( ') 1
y yy y
  

26.
2 2ln
" ( ') 0
y

yy y y
  

27.
4 2
" ( ') ( ') 0
yy y y
  

28.
2
( ") 2 " ' 0
y xy y
  

29.
2
" ' 0
y y y
x
  
biết nghiệm riêng là
sin
x
y
x

30.
2
" 4 '

y y y x
  

31.
2
" 6 ' 8
x x
y y y e e
   
32.
" 4 sin 2
y y x x
 

33.
" sin
y y x
 

34.
2
2
" 2 4
x
y y x e
 
35. Lập phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai nhận
2
1 2
,

y x y x
 
làm hệ nghiệm cơ bản
36. Lập phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai nhận
1 2
sin , cos
y x y x
  làm hệ nghiệm cơ bản.
37.
' 3 2
' 2
y y z
z y z
 


 


38.
' 1
'
y z
z y
 





39.
' 2
' 2
y y z
z y z
 


 


40.
' 2
' 2
y y z
z
y y z
 


 


41.
'
' 3
y y z
y y z
 



 


42.
2
'
'
2
y
y
z
y
z










43.
2
'
'
y z
z

z
y








44.
' 2 2
' 3 2 4
x
x
y y z e
z y z e

  


  



45.
'
' 5
y y z x
z y z

  


  



12

BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ

1. Xét tính liên tục của hàm số
a)
 
2 2 2
2 2
4 4
2 2
2 ( 2 )
khi 2
4
,
khi 2
x x y
x y
x y
f x y
m x y












b)
 
2
1 1
sin cos
2
khi , 0
,
1 khi . 0
x
x y
e x y
f x y
x y










c)
 
2 2
2 2
2 2
2 2
4
sin khi 0
,
1 khi 0
x y
x y
x y
f x y
x y


 





 


d)
   

 
 
2 2
2
2 2
khi , (0,0)
. 2
,
0 khi , (0,0)
x y
x y
x y x y
f x y
x y




 






e)
 
 
2 2 2 2
2 2

2 2
2 sin khi 0
,
0 khi 0
x y x y
x y
f x y
x y

  





 



2. Tìm cực trị của hàm số
a)
 
2
4 4
2
u x y x y
   
b)
 
2 2

2
, , 0
2 2
x y z
u x y z
x y z
    

c)
3 2 2 2
3 2
u x y z x y
    

d)
2 3 4
3
u x y x y
  

e)
2 2
arctan 2
u x y y
  

f)
2 2 2
2 4 6
u x y z x y z

     

3. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số
a)
2 2 2
u x y z
  
với điều kiện
2
2 2
1
4
y
x z
  

b)


2
, ,
u x y z x y z
  
với điều kiện
1

1
x y
z xy
  



 


c)
u xy yz
 
với điều kiện
 
2 2
4
, , 0
4
x y
x y z
y z

 


 


d) 2
u x y z
  
với điều kiện
2
2 2

9
4
y
x z
  

4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
a)
2 2
2 3
u x y xy xy
   trong miền đóng
0 1, 0 2
x y
   

13

b)
2 2
4 2 2
u x y x y
    trong miền D:
0, 0,2 2
x y x y
   
.
c)
2 2
12 16

u x y x y
    trong miền
2 2
{(x,y): 36}
D x y  
5. Tính vi phân, đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến, đạo hàm của hàm ẩn
a) Cho z là hàm ẩn xác định bởi
/
0
x z
z ye
 
. Tính


0; 1
dz

.
b) Cho


2 2 2
ln 1 4 4
u x y z
    và điểm


1;1; 1
A


,
(0;3;1)
B . Tính đạo hàm của u tại điểm A theo
hướng
AB

. Tìm giá trị lớn nhất của


U A




.
c)
sin(3 )
u x yz

Xác định
Grad u

và
u




tại

0
(1;1;0)
M với
2 2
i j k
  
   

.
d)
( , )
z z x y

là hàm ẩn hai biến xác định bởi hệ thức:
0
z y
yz e xe
  
. Tính


1;0
dz . Áp dụng tính
gần đúng


0,95;0,05
z .
e) y = y(x) là hàm số ẩn xác định từ biểu thức:
3

3
1 0
27
x
y xy
   
. Tính
2
d y
tại điểm
0
x

.
6. Tính tích phân bội
a)
2 2
x y
V
ze dxdydz


với V xác định bởi
2 2 2
2 2
4
x y z
z x y

  



 



b)
3
( ) ( )
D
x y x y dxdy
 

với D là miền được giới hạn bởi các đường thẳng
1, 3, 1, 1
x y x y x y x y
        

c)
2 2
2
4
D
x
dxdy
x y 

D là miền

2 2

4, 0, 0
x y x y
   

d)
V
xyzdxdydz

với V là miền
2 2
2
1
9 4
x y
z
  

e)
2 2 2
4 9
V
x y z dxdydz
 

, trong đó V là miền
2 2 2
4 9 1, , , 0
x y z x y z
   
.

f)
2 2
V
z x y dxdydz


trong đó V là miền giới hạn bởi mặt trụ
2 2
2 , 0 4
x y x z
   
.
7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt
a)
2 2
1
z x y
  
và

3
z


b)
2 2 2
3
2
x y z xyz
   nằm trong góc

, , 0
x y z


c)
2 2
,2 8
z x y y z
   

d)
2 2 2 2 2 2
( ) 4 ( )
x y z z x y
    nằm trong góc
, , 0
x y z


e)
2 2 2 2
2 , 8
z x y z x y
    

f)
2 2 2 2 2
( 2) 4, 16
x y x y z
     

g)
2 2
4
x y
 
và
2 2
4
x z
 

8. Tính diện tích
a) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2 2 2 3
( ) 2
x y x
 
14

b) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2
2 2
2
4 9
x y
xy
 
 
 

 


( 0, 0)
x y
 

c) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong




2
2 2 2 2
2
x y x y
  
d) Mặt paraboloid
2 2
z x y
 
nằm trong mặt trụ
2 2
4
x y
 

e) Mặt cầu
2 2 2
9

x y z
  
nằm trong mặt trụ
2 2
3
x y x
 

9. Tính tích phân đường, tích phân mặt
a)

2
( )
AB
x y ds


với

AB
là nửa phía trên trục hoành của cung tròn
2 2
1
x y
 

b)







S
y z dydz z x dzdx x y dxdy
    


với S là mặt mặt nón


2 2 2
0 2
x y z z
   
có pháp
tuyến hướng ra phía ngoài.
c)

2 2 2
S
x dydz y dzdx z dxdy
 

với S là mặt nón


2 2 2
0 1
x y z z

   
có pháp tuyến hướng ra phía
ngoài.

d)






C
y z dx z x dy x y dz
    



trong đó C là đường
2 2
4
x y
 
,
1
2 3
x z
 
chiều lấy tích phân
ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dương của trục Oz.

e)
S
xdydz ydzdx zdxdy
 

với S là mặt ngoài của hình trụ
2 2
4,0 2
x y z
   
có pháp tuyến hướng
ra phía ngoài

f)



1
x y x y
OA
x e dx xe dy
 
 

với

OA
là cung



2 2
2 0
x y x y
  
theo chiều từ O(0,0) đến A(2,0).

g)
3 2 2
S
x y z dydz



với S là biên của miền
2 2 2
: ,0 2
V x y z x
   
có pháp tuyến hướng ra phía
ngoài.

h)





2 2
-x 2 2
OA

y x y dx xy x y dy
    

với

OA
là nửa cung tròn


2 2
2 , 0
x y y x
  

chiều từ
O(0,0) đến A(0,2)

i)


2 2 2 2
ln(
L
I x y dx y xy x x y dy
 
     
 
 

trong đó L là đường tròn

   
2 2
2 2 4
x y
   
lấy
theo chiều dương.

j)




2 2
C
x y dx x y dy
x y
  


với C là đường tròn bán kính
3
R

bao quanh gốc tọa độ. Trong trường
hợp này có áp dụng công thức Green được không?

k)
Tìm điều kiện của m để tích phân đường


2 2 2
(3 2 ) ( 3 4)
AB
x y dx mxy y dy
   


không phụ thuộc vào
đường cong nối
(1;3)
A và
(2;4)
B . Hãy tính tích phân đó.

10. Giải phương trình, hệ phương trình vi phân
a)
3 2 4
x
y y y xe
 
   
b)


2
4 3 1
x
y y y x e
 
   

c)
2
" 4 '
y y y x
  

15

d)
2
" 6 ' 8
x x
y y y e e
   
e)
" 4 sin 2
y y x x
 

f)
" sin
y y x
 

g)
2
2
" 2 4
x
y y x e

 
h)


5 4 3
x
y y y e x
 
   

i)
1

1
x
y y
e
 
 

với




0 1, 0 2
y y

 

j)
3
3 2
x
y y y xe
 
  
k)
2
' 2
x x y
y x y

 


  


l)
2
4
x x y
y x y

 



 



m)
' 2
' 2
y y z
z y z
 


 


n)
' 2
' 2
y y z
z y z
 


 


o)
'
' 3
y y z
z y z
 



 


p)
1 ln
'
x
y y
x x
 
q)
2
sin
xy y x x

 
r)




2 2
1 0
x y dx x y x dy
   

s)
2 2 3

(1 ) ' 2 (1 )
x y xy x
   
t)
2
(1 ) ' 1, (0) 0
x y xy y
   

u)
2 2
(1 ) ( ) 0
x y dx x y x dy
   

v)
sin sin
y y
y x x y
x x
 

 
 
 

w)


2 2

sin sin 2 0
y x dx x ydy
  
bằng cách nhân thêm thừa số tích phân
2
1
x

x)
sin
y
xy y x
x

  với điều kiện
 
1
2
y



y) 2
x
xy y xy e
 
  
bằng phép đổi biến
.
z x y



z)
2
" '
x y xy y x
  
bằng phép đổi biến
t
x e




Chúc các em ngày càng tiến bộ, học tập đạt kết quả cao!