Tài liệu Ánh xạ docx

ÁNH XẠ
Anh xạ
f: X Y A ⊂ X , B ⊂ Y
x f(x)
f: ánh xạ ⇔
()

12 1 2
x x f(x ) f(x )=⇒ =
f(A) = ⎨y∈Y ⎪ ∃ a∈A : f(a) = y⎬ (ảnh)
f
–1
(B) = ⎨x∈X ⎪ f(x)∈B⎬ ( tạo ảnh)
f: đơn ánh ⇔
121
12 1 2
f(x ) f(x ) x x
xx f(x)f(x
2
)
=
⇒=
⎡
⎢
≠⇒ ≠
⎣

f: toàn ánh ⇔ ∀y∈Y, ∃ x∈X : f(x) = y
f: song ánh ⇔ ∀y∈Y, ∃! x∈X : f(x) = y
∃f
–1

⇔ f: song ánh

QUAN HỆ TRÊN TẬP HỢP
Quan hệ tương đương
∀x∈X, x  x (phản xạ)
∀x,y∈X, x  y ⇒ y  x (đối xứng)
∀x,y,z∈X, x  y và y  z ⇒ x  z (bắc cầu)
Quan hệ thứ tự
∀x∈X, x ≤ x (phản xạ)
∀x,y∈X, x ≤ y và y ≤ x ⇒ y = x (phản đối xứng)
∀x,y,z∈X, x ≤ y và y ≤ z ⇒ x  z (bắc cầu)
Lớp tương đương: C(a) = [a] = ⎨x∈X ⎪ a  x ⎬

NHÓM
(X,

) – nửa nhóm ⇔ ∀x, y, z ∈ X: (x.y).z = x.(y.z)
(X,

) – vị nhóm ⇔
⎨
x,y,z X : (x.y).z x.(y.z)
e X : x X, x.e e.x x
∀∈ =
⎧
∃
∈∀∈ = =
⎩

(X,


) – nhóm ⇔
x,y,z X : (x.y).z x.(y.z)
eX:xX,x.ee.xx
xX,x'X:x.x'x'.xe
∀∈ =
⎧
⎪
∃∈ ∀∈ = =
⎨
⎪
∀
∈∃∈ = =
⎩

⇔
X,(X,)nửa nhóm
eX:xX,e.xx
xX,x'X:x'.xe
≠∅ −
⎧
⎪
∃∈ ∀∈ =
⎨
⎪
∀
∈∃∈ =
⎩
o

⇔
X ,(X, ) nửa nhóm
a,b X : pt ax b và ya b có nghiệm trong X
≠∅ −
⎧
⎨
∀∈ = =
⎩
o
(X,

) – nhóm ebel ⇔
x,y,z X : (x.y).z x.(y.z)
eX:xX,x.ee.xx
xX,x'X:x.x'x'.xe
x,y X, x.y y.x
∀∈ =
⎧
⎪
∃∈ ∀∈ = =
⎪
⎨
∀
∈∃∈ = =
⎪
⎪
∀∈ =
⎩

111

n1 1n nm mn nm m.n
e, x' của x là du
y
nhất
x,y,z X, xy xz (yx zx) y z
(X, ) nhóm
x,y X : (xy) y .x
m,n :(a ) (a ) , a .a a ,(a ) a
−−−
−− +
⎧
⎪
∀∈ = =⇒=
⎪
−⇒
⎨
∀∈ =
⎪
⎪
∀∈ = = =
⎩


Nhóm con A của nhóm X (A  X)
(A,+) ổn định
⇔ ∀x,y ∈ A ⇒ x + y ∈ A
A  X ⇔
1
1
A,AX

x,yA,xyA
x,
y
A,x
y
A
xA,x A
−
−
≠∅ ⊂
⎧
⎪
∀∈ ∈
⎫
⎨
⇔
∀∈ ∈
⎬
⎪
∀∈ ∈
⎭
⎩

Nhóm con sinh bởi A, nhóm con xyclic sinh bởi a
Cho (X,

) – nhóm, A ≠ (, A ⊂ X. Ta nói nhóm con của X sinh bởi
A, k/h
〈A〉, nếu
ii i

AX,XX,AXi
=
⊂∀
I
„

(Nhóm con sinh bởi A là nhóm con nhỏ nhất chứa A)
Nếu A =
{a} thì ta nói nhóm con xyclic của X sinh bởi a,
k/h 〈a〉, a đgl phần tử sinh của X.
Nếu ∃ a∈X: 〈a〉 = X thì X đgl nhóm xyclic
Nếu ∃A⊂X: 〈A〉 = X thì A đgl tập sinh của X.
Lớp kề của A trong X
{
A ≤ X, ∀x ∈ X:
}
{
}
1
xA y X x y A xa a A
−
=∈ ∈ = ∈ (lớp kề trái)
{
}
{
}
1
Ax y X yx A ax a A
−
=∈ ∈ = ∈ (lớp kề phải)

Lưu ý: xA = yA ⇔ x
–1
y ∈ A
Nhóm con chuẩn tắc A của nhóm X (A ⊲ X)
A ⊲ X ⇔
⎪
⎨

1
1
A,AX
a, b A, ab A
xX,aA,xaxA
−
−
≠∅ ⊂
⎧
∀∈ ∈
⎪
∀∈ ∀∈ ∈
⎩
⇔
1
A,AX
a, b A, ab A
xX,xAAx
−
≠∅ ⊂
⎧
⎪

∀∈ ∈
⎨
⎪
∀∈ =
⎩
Lưu ý: Trong 1 nhóm abel, mọi nhóm con đều chuẩn tắc.
Nhóm thương của X trên A
Nếu A ⊲ X thì
{
}
X
xA x X
A
=∈
với xA.yA = xyA đgl nhóm
thương của X trên A.
Nhóm xyclic
(X,

) – nhóm xyclic ⇔ ∃a∈X: x = a
m
, ∀x∈X, m∈Ζ (a–phần tử
sinh)
{
}
k
aa:k=∈


Cấp của nhóm, phần tử của nhóm

Cấp của nhóm X, kí hiệu
X
, là số phần tử của X.
Cấp của
a∈X
m
m*
min
Nếu a e, m 0 thì a có cấp vô hạn
Nếu a e, m thì m đgl cấp của a. K/h: ord(a)
≠∀>
=∈

ĐL Lagrange: (X,

) – nhóm hữu hạn, A ≤ X ⇒
X
XA.
A
=

Lưu ý: Hai ptử sinh bất kì của cùng một nhóm xyclic đều có cùng
cấp. Cấp của mọi nhóm xyclic bằng cấp của mọi ptử sinh của nó.
Hai nhóm xyclic đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng
cấp)
Tâm của nhóm X ( Z(X) )
Z(X) =
⎨a∈X ⎪ ax = xa, ∀x∈X⎬
Lưu ý: X abel ⇔ X = Z(X)
Z(X) là nhóm con abel của X

ĐỒNG CẤU
Đồng cấu nhóm
ax
f:X Y
X, Y là nhóm,
⎯→

⎯
f đgl đồng cấu nhóm ⇔ f(ab) = f(a).f(b) ∀a,b ∈X
đơn ánh đgl đơn cấu (phép nhúng)
Đồng cấu & toàn ánh đgl toàn cấu
song ánh đgl đẳng cấu

Hạt nhân và ảnh của đồng cấu nhóm
{
}

1
YY
Kerf x X f(x) e f (e )
−
=∈ = =
{
}

Im f f(x) x X f(X)=∈=

Tính chất của đồng cấu nhóm
a)

[]
XY
1
1
f(e ) e
f(x ) f(x)
−
−
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩

b)
{
}
X
1
f đơn cấu Kerf e
f toàn cấu Im f Y
f đẳng cấu f đẳng cấu
−
⎧
⇔=
⎪
⇔=
⎨

⎪
⇒
⎩

c)
1
Kerf X, Imf Y
AX f(A)Y
BX,f(B)X
−
⎧
⎪
⇒
⎨
⎪
⎩
<
<<
„
„„
Định lí cơ bản của đồng cấu nhóm
đồng cấu nhóm
f:X Y
⎯
⎯⎯⎯⎯→
Cho

toàn cấu
chính tắc
X

h:X
Kerf
xxx
⎯⎯⎯⎯→
|⎯⎯⎯→ =
Kerf

Khi đó:
1)
đơn cấu
X
!g: Y s/c g h f
Kerf
∃⎯⎯⎯→
o
=

()
X
với , A Kerf thì
g
đơn cấu
A
=

2) Img = Imf

Đặc biệt:
Nếu
X

g: Imf
Kerf
⎯⎯→
thì g đẳng cấu. Khi đó:
X
Im f
Kerf
≅

Nếu là toàn cấu thì f:X Y⎯⎯→
X
Y
Kerf
≅

Lưu ý: Để cm
X
Y
A
≅
, ta cm các bước sau:
B1: là ánh xạ f:X Y⎯⎯→
B2: f là toàn cấu
B3: Kerf = A
Định lí đẳng cấu
X – nhóm, A,B ⊲ X, A ⊂ B ⇒
(
)
()
X

A
X
B
B
A
≅


VÀNH


(X,+,

) – vành ⇔


Tính chất của vành
Ox = xO = O , ∀x∈X
(–x)y = x(–y) = –(xy) , ∀x,y∈X
(–x)(–y) = xy , ∀x,y∈X
x(y – z) = xy – xz , ∀x,y∈X
(x – y)z = xz – yz , ∀x,y∈X
(nx)y = x(ny) = n(xy) , ∀x,y∈X , ∀n∈Ζ
(x
1
+ … + x
m
) (y
1
+ … + y

n
) =
mn
ij
i1 j1
xx
==
∑
∑
, ∀x
i
,y
j
∈X
n
nini
i0
n!
X vành giao hoán (x y) x y , x,y X,n
i!(n i)!
−
=
−⇒+= ∀∈
−
∑
∈

Nhóm các ước của đơn vị (nhóm các phần tử khả nghịch)
{
}

Vành X có đơn vị là 1 và
*
XxX
y
X,x
yy
x1
=
∈∃∈ ==

Khi đó: (X
*
,

) đgl nhóm các ước của đơn vị.
Ước của 0
X–vành, a,b∈X, a≠0, b≠0, có ab = 0 thì a–ước trái của 0, b–ước
phải của 0
Miền ngun
Miền ngun ⇔
Vành giao hoán có đơn vò 1 0 (có hơn 1 ptử)
không có ước của 0
≠
⎧
⎨
⎩
Một vành giao hốn X có đơn vị 1 ≠ 0 là một miền ngun khi và
chỉ khi trong X có luật giản ước: ab = ac, a ≠ 0 ⇒ b = c ,
∀a,b,c∈X
Tích trực tiếp

Vành X
1
× X
2
× … × X
n
đgl tích trực tiếp của các vành X
1
, …, X
n

nếu tập tích được đ/n phép + và

sau:
(x
1
, … ,x
n
) + (y
1
, … ,y
n
) = (x
1
+y
1
, … ,x
n
+y
n

)
(x
1
, … ,x
n
)

(y
1
, … ,y
n
) = (x
1
y
1
, … ,x
n
y
n
)
Vành con A của X (A X)
A(X,)
x,y A xy A
+
⎧
⎨
A X ⇔
∈
⇒∈
⎩

„
⇔
A,AX
x,yA,xyA
x,y A, xy A
≠∅ ⊂
⎧
⎪
∀
∈−∈
⎨
⎪
∀∈ ∈
⎩

Tâm của vành ( Z(X) )
Z(X) = ⎨a∈X ⎪ ax = xa, ∀x∈X⎬
Lưu ý: Z(X) X
Iđêan A của vành X (A X)
A
X ⇔
A,AX
a, b A, a b A
aA,xX,xaA,axA
≠∅ ⊂
⎧
⎪
∀∈ −∈
⎨
⎪

∀∈ ∀∈ ∈ ∈
⎩
Lưu ý: Để cm A là iđêan nhỏ nhất chứa a, giả sử B là iđêan của X
mà chứa a rồi cm A ⊂ B
Iđêan sinh bởi một tập, iđêan chính sinh bởi a
Giả sử X–vành, A ≠ (, A ⊂ X. Khi đó, iđêan của X sinh bởi tập A
(hay iđêan bé nhất của X chứa A), k/h: (A), nếu
(A)= X
i
, X
i
X , A ⊂ X
i
, ∀i
Nếu A = ⎨a⎬ thì iđêan sinh bởi A đgl iđêan chính sinh bởi a. K/h:
(a)
Đặc biệt: Nếu X là vành giao hốn có đơn vị thì
{
}
(a) ax x X=∈

Mơ tả: Iđêan trái chính của X sinh bởi a:
{
}
Xa xa x X=∈

Iđêan phải chính của X sinh bởi a:
{
}
aX ax x X=∈

Iđêan chính sinh bởi a:
m
iiii
i1
(a) RaR x ay x ,y X,n
=
⎧
⎫
== ∈∈
⎨
⎬
⎩⎭
∑


Vành các iđêan chính. Miền chính
Một vành giao hốn có đơn vị 1 ≠ 0 trong nó mọi iđêan đều là
iđêan chính đgl vành các iđêan chính. Một vành các iđêan chính
đồng thời là một miền ngun đgl miền chính.
Vành thương của vành X theo iđêan A
Giả sử A
X. Khi đó: A ⊲ (X,+). Ta có:
{
}
X
xAxX
A
=+ ∈
với 2 phép tốn:

(x A) (y A) (x y) A
+
++ =++

(xA).(yA)xyA
+
+=+

là vành thương của vành X trên iđêan A.

ĐỒNG CẤU
Đồng cấu vành
ax
f:X Y
X, Y là vành,
⎯→

⎯
f đgl đồng cấu vành ⇔
f(x y) f(x) f(y)
x,y X
f(xy) f(x).f(y)
+= +
⎧
∀
∈
⎨
=
⎩

đơn ánh đgl đơn cấu (phép nhúng)
Đồng cấu & toàn ánh đgl toàn cấu
song ánh đgl đẳng cấu

Hạt nhân và ảnh của đồng cấu vành

{
}
1
YY
Kerf x X f(x) 0 f (0 )

= = =


{
}
Im f f(x) x X f(X)==

Tớnh cht ca ng cu vnh
XY
nn *
f(0 ) 0
f( x) f(x)
f(a b) f(a) f(b) a,b X
f(a ) [f(a)] a X, n
=


=

=


=

a)


Kerf X, Imf Y
b) A X f(A) Y
B Y f
1
(B) X
nh lớ c bn ca ng cu vnh
Cho
ủong caỏu vaứnh
f:X Y

toaứn caỏu
chớnh taộc
X
h:X
Kerf
xxx

| = +
Kerf

Khi ú:
1)
ủụn caỏu
X
!g: Y s/c g h f
Kerf


=o
()
X
vụựi , A Kerf thỡ
g
ủụn caỏu
A
=

2) Img = Imf

c bit:
Nu
X
g: Imf
Kerf

thỡ g ng cu. Khi ú:
X
Im f
Kerf

Nu l ton cu thỡ f:X Y
X
Y
Kerf


Lu ý: cm
X
Y
A

, ta cm cỏc bc sau:
B1: l ỏnh x f:X Y
B2: f l ton cu
B3: Kerf = A
Thể
(X,+,

) – thể ⇔
vành X có đơn vò 1 0
xX,x'X:xx'x'x1
≠
⎧
⎨
∀
∈∃∈ = =
⎩

Trường

(X,+,

) – trường ⇔ thể giao hốn
⇔
vành X giao hoán có đơn vò 1 0
xX,x'X:x'xxx'1
≠
⎧
⎨
∀∈ ∃ ∈ = =
⎩

⇔
(X, ),(X, ) - nhóm aben
x(y z) xy xz
x,y,z X,
(y z)x yx zx
+
⎧
⎪
+
=+
⎧
⎨
∀∈
⎨
⎪
+=+
⎩
⎩



Trường con
A – trường con của trường X
⇔
1
A X, A nhiều hơn 1
p
hần tử
a, b A, a b A
a, b A, b 0, ab A
−
⎧
⊂
⎪
∀∈ −∈
⎨
⎪
∀∈ ≠ ∈
⎩