Tài liệu Vô cùng bé ppt

Vô cùng bé
Nguồn: thunhan.wordpress.com
1. Định nghĩa:
Hàm
được gọi là lượng vô cùng bé (VCB) khi nếu
Ví dụ: , , , , là các VCB khi .
Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình thay vì quá trình .
Quy ước: quá trình thay ta gọi chung là trong 1 quá trình.
2 Định lý:
Trong 1 quá trình, khi và chỉ khi là VCB trong quá trình đó.
3 Tính chất: Trong 1 quá trình:
1. Nếu là VCB, C là hằng số thì là VCB.
2. Nếu là một số hữu hạn các VCB thì tổng …
+
cũng là VCB.
3. Nếu là VCB và f(x) là hàm bị chặn thì tích cũng là VCB.
4. So sánh hai lượng VCB:
Cho f, g là hai lượng VCB trong 1 quá trình.
Giả sử
Nếu k = 0 thì f là VCB bậc lớn hơn g. Ký hiệu: (hoặc )
Nếu thì g là VCB bậc lớn hơn f. Ký hiệu
Nếu thì f, g là hai VCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu k = 1 thì ta nói f, g là VCB
tương đương. Ký hiệu:

Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói f , và g không so sánh được với nhau .
Ví dụ:
1. là hai VCB ngang cấp khi .
2. 1 – cosx là VCB cấp cao hơn x khi .
5. Các VCB bé tương đương cần chú ý:
Nếu thì:
, , ;

, ,
6. Khử dạng vô định:
6.1 Tính chất 1:
Nếu , thì
Chứng minh
Thật vậy:
Ví dụ:
6.2 Tính chất 2:
Nếu trong 1 quá trình thì .
Như vậy tổng của hai VCB tương đương với VCB có cấp thấp hơn.
Ví dụ:
1.
2.
3.
4.
5.
7. Bài tập giải mẫu:
1. Tìm giới hạn của hàm số:

Giải:
Ta có: là các VCB khi nên:

Do đó, theo tính chất 1 ta có:

2. Tính giới hạn:

Giải
Ta có:

Khi ta có:

Nên:
Tiếp tục, sử dụng quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao (tính chất 2), ta có:

8. Bài tập:
1. Giả sử t là lượng VCB. So sánh các lượng VCB:
2. So sánh các VCB khi .
3. So sánh các VCB khi .
4. Sử dụng các VCB tương đương, tính các giới hạn:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.