Chuyendephuongtrinhbachai

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề ph-¬ng tr×nh bËc hai t-¬ng giao parabol vµ ®-êng th¼ng Tµi liÖu dïng cho häc sinh «n tËp thi vµo líp 10 THPT. Biªn so¹n néi dung: ThÇy gi¸o NguyÔn Cao C-êng Email:

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng. CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Bµi 1: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - ( 2m + 1) x + m2 + m – 6 = 0 (*) a).Tìm m để ph-ơng trình (*) có hai nghiệm âm. b).Tìm m để ph-ơng trình (*) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn. x13 - x23 = 50. Giải : a) §Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:. . .   2m  12  4 m 2  m  6  0  2  x1 x 2  m  m  6  0  x  x  2m  1  0 2  1 b) Gi¶i ph-¬ng tr×nh: m  2  (m  3) 3  50.    25  0   (m  2)( m  3)  0  m  3  1 m   2 . 3.  5(3m 2  3m  7)  50  m 2  m  1  0  1 5 m1   2  m   1  5  2 2 Bµi 2: Cho parabol (P) : y = -x2 vµ ®-êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) . a)Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m th× (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A , B ph©n biÖt b). Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung. Giải a). §-êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m vµ ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) . Nªn ph-¬ng tr×nh ®-¬ng th¼ng (d) lµ : y = mx + m – 2. Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của ph-ơng trình: - x2 = mx + m – 2  x2 + mx + m – 2 = 0 (*) V× ph-¬ng tr×nh (*) cã   m 2  4m  8  m  22  4  0  m nªn ph-¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. b). A vµ B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung  pt : x2 + mx + m – 2 = 0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu  m – 2 < 0  m < 2. Bài 3) Cho ph-¬ng tr×nh (2m -1) x2- 2mx +1 = 0 Xác định m để ph-ơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Giải : : Ph-¬ng tr×nh: ( 2m – 1 ) x2 – 2mx+1 = 0  XÐt 2m – 1 = 0 => m = 1/2 pt trë thµnh –x+1 = 0 => x = 1  Xét 2m - 1  0 => m  1/2 khi đó ta có , = m2 – 2 m + 1= (m-1)2  0 mäi m => pt cã nghiÖm víi mäi m ta thÊy nghiÖm x = 1 kh«ng thuéc (-1,0) m  m 1 1 víi m  1/2 pt cßn cã nghiÖm x = = 2m  1 2m  1 >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 1 pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) => -1 < <0 2m  1  1  2m 1  0  0  =>  2m  1 => m <0  2m  1 2m  1  0 2m  1  0 VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1, 0) khi vµ chØ khi m < 0 . Bµi 4: Cho ph-¬ng tr×nh x2 - 2(m -1 ) x + m - 3 = 0 (1) a. Chøng minh ph-¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. b. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1) mµ kh«ng phô thuéc vµo m. c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x21 + x22 (víi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1) ) Giải ' 3 7 a).  = m2 –3m + 4 = (m - )2 + >0  m. 2 4 VËy ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt  x1  x2  2(m  1)  x1  x2  2m  2 b). Theo ViÐt:  =>   x1 x2  m  3 2 x1 x2  2m  6 <=> x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 kh«ng phô thuéc vµo m c) P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – 2 (m-3) 5 15 15 = (2m - )2 +  m 2 4 4 15 5 VËyPmin = víi m = 4 4 Bài 5) Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x12  x 22  x1x 2  7 . Giải : x2 – 2mx – 1 = 0. (m là tham số). a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt. Cách 1: Ta có: ' = m2 + 1 > 0 với mọi m nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt. Cách 2: Ta thấy với mọi m, a và c trái dấu nhau nên phương trình luôn có hai phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x12  x 22  x1x 2  7 . Theo a) ta có với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ta có S = x1  x 2  2m và P = x1x2 = –1. Do đó x12  x 22  x1x 2  7  S2 – 3P = 7  (2m)2 + 3 = 7  m2 = 1  m =  1. Vậy m thoả yêu cầu bài toán  m =  1. Bài 6) Cho phương trình ẩn x: x4 – 2mx2 + m2 – 3 = 0 a) Giải phương trình với m = 3 . b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Giải: 3 ,phương trình : x4 – 2mx2 + m2 – 3 = 0 trở thành:  x1  0 x  0 x4 - 2 3 x = 0  x2 (x2 - 2 3 ) = 0   2   x 2,3   2 3 x  2 3 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là :. a) khi m =. x1 = 0 ,. x2 =. 2 3. x3 = -. 2 3. >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng b) Đặt t = x2 , điều kiện t  0 .Phương trình đã cho trở thành: 2 t – 2mt + m2 – 3 = 0 (1) Phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt  phương trình (1) có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương *)Phương trình (1) nhận t = 0 là nghiệm  m2 – 3 = 0  m =  3 +)Khi m = 3 , phương trình (1) trở thành: t2 - 3 t = 0 t1  0 (thoả mãn)  t  2 3 2 v ậy m = 3 ,là giá trị cần tìm +)Khi m = - 3 , phương trình (1) trở thành : t2 + 2 3 t = 0 t1  0 (không thích hợp)  t   2 3 2 Vậy m = - 3 không thoả mãn loaị Tóm lại ph-ơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt  m = 3 Bài 7) Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(2;-3) 1 2 x 2 a) Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng k và đi qua điểm A(2; - 3) b) Chứng minh rằng bất cứ đường thẳng nào đi qua điểm A(2;-3) không song song với trục tung 1 bao giờ cũng cắt parabol y = - x 2 tại 2 điểm phân biệt 2 Giải : a) Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(2;-3) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k lµ: y = k(x-2) – 3 b) Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;-3) vµ kh«ng song song víi trôc tung cã d¹ng: y = k(x-2) – 3 ( k lµ mét sè bÊt kú) Hoành độ giao điểm của parabol (p) và đ-ờng thẳng (d) là nghiệm của ph-ơng trình: 1 - x2 = k(x-2) – 3  x2 + 2kx – 4k – 6 = 0 (*) 2 §-êng th¼ng (d) vµ parabol (P) c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt  ph-¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi k  / > 0 víi mäi k  k2 + 4k + 6 > 0 víi mäi k ThËt vËy / = k2 + 4k + 6 = (k2 + 4k + 4) + 2 = (k + 2)2 + 2 > 0 víi mäi k  ®iÒu ph¶i chøng minh.. và parapol (P) có phương trình là y = -. Bài 8) Tìm giá trị của a để phương trình : (a2 – a – 3)x2 + (a + 2)x – 3a2 = 0 nhận x = 2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của phương trình? Giải : Đk : a2 – a – 3  0 (*) Phương trình đã cho nhận x1 = 2 là nghiệm.  4(a2 – a – 3) + 2(a + 2) – 3a2 = 0  a2 – 2a – 8 = 0. >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng a  2 (thỏa (*) )   a  4 Khi đó nghiệm còn lại của phương trình là:  3a 2 x2 = 2(a 2  a  3) +) Nếu a = -2 , nghiệm còn lại của phương trình là x2 = -2 +) Nếu a = 4 , nghiệm còn lại của phương trình là 8 x2 = 3 Bài 9) 1 Cho phöông trình : x2 – 2mx + m2 - = 0 (1) 2 a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau b)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của hai cạnh góc vuông của một tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn baèng 3 Giải : Câu a) Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1  x 2 => x1 = x2 hoặc x1 = - x2. 1 = 0 (voâ lyù) 2 b) Neáu x1 = - x2 => x1 + x2 = 0 => 2m = 0 => m = 0 1 1 => phương trình đã cho trở thành : x2 =0  x=  2 2 => phương trình có 2 nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau => m = 0 laø giaù trò caàn tìm Câu b) Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuoâng coù caïnh huyeàn baèng 3 => x1 > 0 ; x2 > 0 vaø x12 + x22 = 9 1 Ta coù x12 + x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 4m2 – 2(m2 - ) = 2m2 + 1 2 2 2 2 => vaø x1 + x2 = 9  2m + 1 = 9  m =  2 +Với m = 2 phương trình đã cho trở thành : 7 x2 - 4x + = 0 2 Phöông trình naøy coù 2 nghieäm laø: 1 1 x1 = 2 ; x2 = 2 + (thoả mãn) 2 2 => m = 2 laø giaù trò caàn tìm + Với m = -2 phương trình đã cho trở thành: 7 x2 + 4x + = 0 2 Phöông trình naøy coù 2 nghieäm laø : 1 1 x1 = - 2 < 0 vaø x2 = - 2 + < 0 (loại) 2 2 => m = -2 không troả mãn Tóm lại: Phương trình đã cho có hai nghiệm và 2 nghiệm này là số đo 2 cạnh a) Neáu x1 = x2 =>  = 0 =>  =. >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng cuûa goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn baèng 3  m = 2 Bài 10) Trên hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y = x2 (P) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x + 12 và có với parabol (P) đúng một ñieåm chung. Giải: +)Gọi (d) là đường thẳng phải tìm.Vì đường thẳng (d) // đường thẳng y = 3x + 12 => phương trình đường thẳng (d) có dạng; y = 3x + m +)Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol y = x2 là nghiệm của phường trình: x2 = 3x + m  x2 – 3x – m = 0 (*) +)Đường thẳng (d) và parabol y = x2 có đúng 1 điểm chung  phöông trình (*) coù nghieäm duy nhaát 9   = 0  9 + 4m = 0  m = 4 9  phương trình đường thẳng (d) là y = 3x 4 Bài 11) Cho caùc haøm soá : y = x2 (P) 2 y = 3x + m (d) ( x là biến số , m là tham số cho trước) a) Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của m , đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phaân bieät. b) Gọi y1 và y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).Tìm m để có đẳng thức : y1 + y2 = 11y1.y2 Giải : Câu a) Hoành đọ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của phöông trình : x2 = 3x + m2 2  x - 3x - m2 = 0 (*) Phương trình (*) có :  = 9 + 4m2 > 0 với mọi m => phöông trình (*) luoân coù hai nghieäm phaân bieät => Đường thẳng (d) bao giờ cũng cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt Caâu b) Gọi A và B là giao điểm của đường thẳng (d) và para bol (P) và toạ độ giao điểm của chúng là: A(x1; y1) ; B(x2 ; y2) Áp dụng hệ thức viet cho phương trình (*) ta có :  x1  x 2  3  2  x1 .x 2   m Ta coù y1 + y2 = ( 3x1 + m2) + (3x2 + m2 ) = 3(x1 + x2) + 2m2 = 2m2 + 9 (1) 2 2 2 2 2 4 vaø y1.y2 = x1 .x2 = (x1.x2) = (-m ) = m (2) Từ (1) và (2) ta có : y1 + y2 = 11y1 .y2 (3)  2m2 + 9 = 11 m4 4 2  11m – 2m – 9 = 0 2 Đặt : t = m , điều kiện t  0 ,phươưng trình (3) trở thành: 11t2 – 2t – 9 = 0 Vì phöông trình coù a + b + c = 0, neân phöông trình coù 1 nghieäm laø t = 1 >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 9 ngiệm còn lại là t = (loại) 11 Với t = 1 => m2 = 1 => m =  1 Vì phương trình (*) có nghiệm với mọi m nên m =  1 thoả mãn => đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có tung độ thoả mãn y1 + y2 = 11y1.y2  m =  1 Bài 12) Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b . Biết rằng đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 và song song với đường thẳng y = - 2x + 2010 a)Tìm a vaø b 1 b) Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có ) của (d) và parabol: y = - x2 2 Giải : a)Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = - 2x + 2010 nên chúng có cùng hệ số goùc => a = -2. Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên toạ độ điểm (1;0) thoả mãn phương trình của (d): 0 = a.1 + b Giải ra ta được : a = -2 và b = 2 1 b)Toạ độ điểm chung của (d) và parabol y = - x2 là nghiệm của hệ phương trình: 2  y  2 x  2   1 2  y   2 x 1 => - x2 = - 2x + 2 2 2  x - 4x + 4 = 0 Giải phương trình ta được x = 2 => y = - 2 Vậy đường thẳng (d) và parabol có 1 điểm chung với toạ độ ( 2; - 2 ). 1 2 x 2 a) Gọi A, B là hai điểm trên đồ thị (P) có hoành độ lần l-ợt là -2; 4. Viết ph-ơng trình đ-ờng th¼ng ®i qua A, B b) Chøng minh r»ng ®-êng th¼ng (d): y = mx - 2m + 3 c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. Gäi x1, x2 lµ hoành độ hai giao điểm ấy. T×m m tho¶ m·n x12 + x22 = 24 Bài 13) Cho parabol (P): y =. Giải : a, V× A, B thuéc (P) nªn A(-2; 2) ; B(4; 8) Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng qua A, B cã d¹ng y = ax + b v× ®-êng th¼ng ®i qua A, B nªn ta cã hÖ pt  2 a  b  2 a = 1; b = 4    4a  b  8 ®-êng th¼ng cÇn t×m lµ y = x + 4 b, Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt x2 - 2mx + 4m - 6 = 0 2 ∆ = (m - 2) +2 > 0 víi mäi m >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng x12 + x22 = 24  (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 24  m2 - 2m - 3 = 0  m = - 1 ; m = 3 Bài 14) Cho ph-¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 Không giải ph-ơng trình, tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 tháa m·n: 3x1 - 4x2 = 11 Giải : §Ó ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th×  > 0 <=> (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0 (1) Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có: 2m  1 13 - 4m    x1  x 2   2  x1  7   m 1 7m  7 26     x1  (Đ k: m  )  x 1 .x 2  2 26 - 8m 8   7m  7 3x 1  4x 2  11  13 - 4m  3 7  4 26 - 8m  11   13 - 4m 7m  7 Gi¶i ph-¬ng tr×nh 3 4  11 7 26 - 8m ta ®-îc m = - 2 vµ m = 4,125 Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì ph-ơng trình đã cho có hai nghiệm ph©n biÖt. (1) Bài 15) Cho ph-¬ng tr×nh : x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 ; m lµ tham sè. a/. Tìm m để ph-ơng trình (1) có nghiệm. b/. Tìm m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.. Giải a/. Ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi  ’  0.  (m - 1)2 – m2 – 3  0  4 - 2m  0  m  2. b/. Víi m  2 th× (1) cã 2 nghiÖm. Gäi mét nghiÖm cña (1) lµ a th× nghiÖm kia lµ 3a . Theo Viet ,ta cã: a  3a  2m  2  2  a.3a  m  3 m 1 m 1 2 ) = m2 – 3  a=  3( 2 2  m2 + 6m – 15 = 0  m = –3  2 6 ( thâa m·n ®iÒu kiÖn). Bài 16) Cho phương trình bậc hai : x2 - 2(m + 1) x + m - 4 = 0 (1) a) Giải phương trình ( 1 ) khi m = 1 b) Chứng minh rằng pt (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ? c ) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1)đã cho . CMR b iểu thức : K = x1(1- x2 )+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào giá trị của m . HD :. a) khi m =1 thì pt có 2 nghiệm :. x1 = 2 + 7 x2 = 2 - 7 ’ 2 b)  = (m + 1) + 17 > 0 m => pt luôn có 2 nghiệm với mọi m .. >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng c) ’ > 0 , m . Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 và K = x1 - x1x2 + x2 - x1x2 = ( x1 + x2 ) - 2x1x2 =10 ( hằng số) Cho parabol (P) có đỉnh ở gốc tọa độ O và đi qua điểm A (1 ;. Bài 17). -1 ). 4. a) Viết phương trình của parabol (P) b) Viết phương trình của đường thẳng d song song với đường thẳng x + 2y = 1 và đi qua điểm B(0; m ) c)Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x1 và x2 , sao cho thỏa mãn : 3x1 + 5x2 = 5 . 1 1 HD a) khi (P) đi qua O có dạng : y = a x2 và đi qua A(1; - ) => có pt (P) là : y = - x2 . 4 4 1 b ) Ta có (d) // đthẳng x + 2y = 1  y = - x +b và đi qua B (0; m) 2 1 1  Pt (d) là : y = - x + m ( m≠ ) 2 2 1 1 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  pt hoành độ : - x2 = - x + m  x2 - 2x + 4m = 0 4 2 1 có hai nghiệm phân biệt  ’ = 1 - 4m > 0  m < ; 4 1 Vậy : m < thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1 ,x2 thõa mãn : 3x1 + 5 x2 = 5 , 4 5 x1=  x1+x2=2 2 c) Theo vi ét ta có : x1 + x2 = 2 và x1x2 = 4m => 3x +5x =5   1  1 2 x2=-2 5  x1x2 = 4m  m = ( thỏa các đ k) 16 Bài 18) Cho đường thẳng d có phương trình : y = ( m+1 ) x + m (d) và Parabol (P) có phương trình : y = 2x2 . a) Vẽ đồ thị hàm số (d) biết (d) đi qua điểm M ( 2;4 ) và đồ thị hàm số y = 2x2 trêncùng một hệ tọa độ . b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B nằm về về 2 phía đối với trục tung Oy . HD :. a) Pt đường thẳng (d) xác định là : y = x + 2 ; Hs tự vẽ …, b) (d) cắt (P) tại 2điểm phân biệt A và B nằm 2 phía đối với oy Pt hoành độ có 2 nghiệm phân biệt   > 0 và P < 0 Cho phương trình : 2x2 - 6x + m = 0 (1) a) Giải Pt (1) khi m = 4 . b) Tìm m để pt (1) có 2 nghệm dương ? c) Tìm m để pt (1) có 2 nghiện x1 , x2 sao cho : x1 + x2 = 3 . x2 x1. Bài 20). HD:. a) b). Với m =4 => pt có nghiệm : x1 =1 ; x2 =2 ; 9 Pt có 2 nghiệm dương  (0 < x  ) 2.  > 0  pt có 2 nghiện phân biệt thõa mãn : x1 + x2 = 3 x2 x1 18  ( x1 + x2 )2 - 5x1x2 = 0 , kết hợp vi ét giải ra ta có m =  đk 5 c). >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng Bài 20) Cho phương trình ẩn x : x2- 2 (m+1)x + n + 2 = 0 (1) . a) Giải Pt (1) khi : m = - 2 và n = - 1 . b) Tìm giá trị của m và n để Pt(1) có hai nghiệm phân biệt là 3 và - 2 . c ) Cho m = 0 , tìm các giá trị nguyên của n để Pt(1) có hai Nghiệm x1 và x2 thỏa mãn : x1 = x2 là số nguyên . x2 x1 HD:: a) Tự giải -1 b) m= ;n=-8. 2 c) ’  0 và x1 = x2  Z  x 1 = x2  n = 1  Z . x2 x1 Bài 21) Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = 4mx + 10. a/ Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b/ Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x12 + x22 + x1x2 khi m thay đổi. Giải : a/ Hoành độ giao điểm của Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 là nghiệm số của phương trình: x2 = 4mx + 10  x2  4mx  10 = 0 (1) Phương trình (1) có ’ = 4m2 + 10 > 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 =  10 F = x12 + x22 + x1x2 = [(x1 + x2)2  2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)2  x1x2 = 16m2 + 10  10 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 16m2 = 0  m = 0. Vậy GTNN của F = 10 khi m = 0. Bài 22)*Cho ph-¬ng tr×nh (Èn x): x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 0 1/ Giải ph-ơng trình đã cho khi m = 1. 2/ Tìm giá trị của m để ph-ơng trình đã cho có nghiệm phân biệt x1, x2 tho¶ m·n hÖ thøc x12 + x22 = 10. Giải : Khi m  1 ta có phương trình: x2  4 x  3  0 Tổng hệ số a  b  c  0  Phương trình có 2 nghiệm x1  1; x2  . Biệt thức  ' x   m  1   m2  2   2m  1. c 3 a. 2. Phương trình có 2 nghiệm x1  x2   ' x  2m  1  0  m . . 1 2. b     x1  x2  a  2 m  1 * Khi đó, theo định lý viét   x x  c  m2  2  1 2 a. Ta cã x12  x22   x1  x2   2 x1 x2 2.  4  m  1  2  m 2  2  2.  2m2  8 m *Theo yªu cÇu: x12  x22  10  2m2  8m  10. m  1  2m2  8m  10  0    m  5  lo¹i  Kết luận: Vậy m  1 là giá trị cần tìm. >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng Bài 23) Cho ph-ơng trình (ẩn x) : x2 – 2(m + 1).x + m2 – 1 = 0. Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 tho¶ m·n x12 + x22 = x1x2 + 8 . ' Giải : + §Ó PT cã nghiÖm    0  m  -1.  x1  x2  2(m  1). + Theo vi Ðt . thay vµo hÖ thøc x12 + x22 = x1x2 + 8 ..  x1.x2  m  1 Ta t×m ®-îc m = - 4 + 17 ( Tho¶ m·n), m = - 4 - 17 ( lo¹i) 2. Bài 24) Cho phương trình: x2- 2x + (m – 3) = 0 (ẩn x) a) Giải phương trình với m = 3. b). Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn điều kiện: x12 – 2x2 + x1x2 = - 12 Giải : a, Với m = 3 Phương trình có dạng : x2 - 2x  x( x  2)  0  x = 0 hoặc x = 2 Vậy tập nghiệm của phương trình S= 0; 2 b, Để PT có nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì '  0  4  m  0  m  4 (*) . Theo Vi-et : (1)  x1  x2  2  (2)  x1 x2  m  3 2 Theo bài: x 1 2x2 + x1x2 = - 12 => x1(x1 + x2 ) -2x2 =-12  2x1 - 2x2 = -12 ) ( Theo (1) ) hay x1 - x2 = -6 . Kết hợp (1)  x1 = -2 ; x2 = 4 Thay vào (2) được : m - 3 = -8  m = -5 ( TM (*) ) Bài 25): Cho phương trình x2 – 2mx + m 2 – m + 3 có hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là tham số ) . Tìm m để biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Giài : Cho phương trình x2 – 2mx + m 2 – m + 3 ( a = 1 ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m2 - m + 3 ) Δ’ = ...= m2 - 1. ( m2 - m + 3 ) = m2 - m2 + m - 3 = m – 3 ,do pt có hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là tham số ) Δ’ ≥ 0  m ≥ 3 theo viét ta có: x1 + x2 = ... = 2m x1 . x2 = ... = m2 - m + 3 x12 + x22 = ( x1 + x2) 2 – 2x1x2 = (2m)2 - 2(m2 - m + 3 )=2(m2 + m - 3 ) =2(m2 + 2m. 1 1 1 12 1 13 1 13 + - ) =2[(m + )2 ]=2(m + )2 2 4 4 4 2 4 2 2. 1 1 7 Do điều kiện m ≥ 3  m + ≥ 3+ = 2. 1 2. (m + )2 ≥. 2. 2. 49  49  1 1 13 49 13 2(m + )2 ≥ 2(m + )2 ≥ = 18 2 2 2 2 2 4 2. Vậy GTNN của x1 2 + x22 là 18 khi m = 3. Bài 26) Cho hàm số y = x2 và y = x + 2 a)Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy b)Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng c)Tính diện tích tam giác OAB. >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng Giải : Cho hàm số y = x2 và y = x + 2 a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy Lập bảng : x 0 -2 x -2 -1 0 y=x+2 2 0 y = x2 4 1 0. 1 1. 2 4. y B. A x. C K. O. H. b) Tìm toạ độ giao điểm A,B : Gọi tọa độ các giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) của hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (d) Viết phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) x2 = x + 2  x2 – x – 2 = 0 ( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) có a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0 c 2  x1  1 ; x2     2 a 1 thay x1 = -1  y1 = x2 = (-1)2 = 1 ; x2 = 2  y2 = 4 Vậy tọa độ giao điểm là A( - 1 ; 1 ) , B( 2 ; 4 ) c) Tính diện tích tam giác OAB : OC =/xC / =/ -2 /= 2 ; BH = / yB / = /4/ = 4 ; AK = / yA / = /1/ = 1. 1 1 Cách 1 : SOAB = SCOH - SOAC = (OC.BH - OC.AK)= ... = (8 - 2)= 3đvdt 2 2 Cách 2 : Hướng dẫn : Ctỏ đường thẳng OA và đường thẳng AB vuông góc OA  AK 2  OK 2  12  12  2 ; BC = BH 2  CH 2  42  42  4 2 ; AB = BC – AC = BC – OA = 3 2 (ΔOAC cân do AK là đường cao đồng thời trung tuyến  OA=AC) 1 1 SOAB = OA.AB = .3 2. 2  3 đvdt 2 2 Hoặc dùng công thức để tính AB =. ( xB  xA )2  ( yB  y A )2 ;OA= ( xA  xO )2  ( y A  yO )2 .... Bài 27) Cho ph-¬ng tr×nh: x2 + (3 - m)x + 2(m - 5) = 0 (1), víi m lµ tham sè. a)Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m ph-¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm x1 = 2. b)Tìm giá trị của m để ph-ơng trình (1) có nghiệm x2 = 1 + 2 2 Giải : 1. Thay x = 2 vµo ta cã:. 22 + (3 - m)2 + 2(m - 5) = 4 + 6 – 2m + 2m – 10 = 0. VËy x = 2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1)  m. 2. áp dụng định lí viet cho ph-ơng trình (1) ta có: x1 + x2 = m – 3 => x2 = m – 3 – x1 = m – 3 – 2 = m – 5. Mµ x2 = 1 + 2 2 => m – 5 = 1 + 2 2 => m = 6 + 2 2 . >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng Bài 28) Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai, víi tham sè m: 2x2 – (m+3)x + m = 0 (1). a). Gi¶i ph-¬ng tr×nh (1) khi m = 2. b). Tìm các giá trị của tham số m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 =. 5 x1x2. 2. c). Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x1  x2 Giải : a). Víi m = 2 th× ph-¬ng tr×nh trë thµnh: 2x2 – 5x + 2 = 0 Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ: 2 vµ 1/2. b). Ta cã  = (m + 3)2 – 4.2.m = m2 - 2m + 9= (m - 1)2 + 8 => >0 víi mäi m => ph-¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. m3   x1  x2  2 Theo ViÐt ta cã:  x x  m  1 2 2 5 Mµ x1 + x2 = x1x2 =>2(m+3) = 5m  m = 2. 2 c). Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1.x2 = (m + 3)2:4 – 2m = (m2 - 2m + 9):4 =. (m  1)2  8 2 4.  x1  x2  2 VËy MinP =. 2  m =1. Bài 29)) Cho hµm sè : y = (2m – 1)x + m + 1 víi m lµ tham sè vµ m . 1 . Hãy xác định m trong mỗi 2. tr-êng h¬p sau : a)§å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm M ( -1;1 ) b)§å thÞ hµm sè c¾t trôc tung, trôc hoµnh lÇn l-ît t¹i A , B sao cho tam gi¸c OAB c©n. Giải a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;1) => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 (1) Thay x = -1 ; y = 1 vµo (1) ta cã: 1 = -(2m -1 ) + m + 1 <=> 1 = 1 – 2m + m + 1 <=> 1 = 2 – m <=> m = 1 VËy víi m = 1 Th× §T HS : y = (2m – 1)x + m + 1 ®i qua ®iÓm M ( -1; 1) a) §THS c¾t trôc tung t¹i A => x = 0 ; y = m+1 => A ( 0 ; m+1) => OA = m  1 c¾t truc hoµnh t¹i B => y = 0 ; x =. m  1 m  1 m  1 => B ( ; 0 ) => OB = 2m  1 2m  1 2m  1. Đk : m  1 Tam gi¸c OAB c©n => OA = OB m  1 Gi¶i PT ta cã : m = 0 ; m = 1 2m  1 Bài 30) Cho phương trình x2 + mx + n = 0 ( 1) 1.Giải phương trình (1) khi m =3 và n = 2   x1  x 2  3 2.Xác định m ,n biết phương trình (1) có hai nghiệm x1.x2 thoả mãn  3 3   x1  x 2  9 Gợi ý :. <=> m  1 =. >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - 14 Địa tốt nhất!.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 2.  = m2 – 4n ≥ 0  m2 ≥ n  x1  x2   m Theo Viét ta có:   x1.x2  n.  x1  x2  m  x .x  n  1 2 Kết hợp với trên ta có:    x1  x2  3 x 3  x 3  9  1 2 Bài 31).  x1  x2  m x  x  3  1 2  2 m  3n  3 n  m2  9 . m  2 3  =>   n  3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y   k  1 x  4 (k là tham số) và parabol (P): y  x 2 . 1. Khi k  2 , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P); 2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt; 3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao cho: y1  y 2  y1 y 2 . Giải : Với k = 2 ta có đường thẳng (d): y = 3x + 4 Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là: x2 = 3x + 4 . x2 + 3x  4 = 0. Do a + b + c = 1 + 3  4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x =  4 Với x = 1 có y = 1 Với x = 4 có y = 16 Vậy khi k = 2 đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm có toạ độ là (1; 1); (4; 16) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là: x2 = (k  1)x + 4  x2  (k  1)x  4 = 0 Ta có ac = 4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k. Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x 1, x2 thoả mãn:  x1  x 2  k  1   x 1 x 2  4. Khi đó: y1  x12. ;. y2  x 22. >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - 15 Địa tốt nhất!.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng Vậy y1 + y2 = y1 y 2  x12  x 22  x12 x 22  (x1 + x2)2  2x1x2 = (x1 x2)2  (k  1)2 + 8 = 16  (k  1)2 = 8  k  1  2 2 hoặc k  1  2 2 Vậy k  1  2 2 hoặc k  1  2 2 thoả mãn đầu bài. Bài 32) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm B(0;1) 1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số k. 2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt E và F với mọi k. 3. Gọi hoành độ của E và F lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng x1 .x2 = - 1, từ đó suy ra tam giác EOF là tam giác vuông. Giải : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm B(0;1) 1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số k. y = kx + 1 2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt E và F với mọi k. Phương trình hoành độ: x2 – kx – 1 = 0  = k2 + 4 > 0 với  k  PT có hai nghiệm phân biệt  đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt E và F với mọi k. 3. Gọi hoành độ của E và F lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng x1 .x2 = -1, từ đó suy ra tam giác EOF là tam giác vuông. Tọa độ điểm E(x1; x12); F((x2; x22)  PT đường thẳng OE : y = x1 . x và PT đường thẳng OF : y = x2 . x Theo hệ thức Vi ét : x1 . x2 = - 1  đường thẳng OE vuông góc với đường thẳng OF  EOF là  vuông. Bài 33) Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m-1)x + 2m – 3 = 0. (1) a)Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. Giải : a) x2 - 2(m - 1)x + 2m – 3 = 0.(1). Có:  ’ =  m  1  (2m  3) = m2- 2m + 1- 2m + 3 = m2 - 4m + 4 = (m - 2)2  0 với mọi m.  Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. b)Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a.c < 0 2.  2m - 3 < 0  m <. 3 . 2. 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. 2 Bài 34) Cho ph¬ng tr×nh: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m lµ tham sè) a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = 3. Vậy với m <. b/ Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn. 1 1 3   x1 x2 2. Giải : >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - 16 Địa tốt nhất!.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng a/ Víi m = 3 ta cã PT (3+1 )x2 - 2(3 – 1)x + 3 – 2 = 0 4x2 – 4x + 1 = 0   (2x  1) 2  0 (HoÆc tÝnh ®-îc  hay  ' ) Suy ra PT cã nghiÖm kÐp x = 1/2 m  1  0 §Ó PT cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th×  b/ 2  '  m  2m  1  (m  1)(m  2)  0 m  1  0 m  1 m  3    (*)   2 2 m  3  0 m  1  '  m  2m  1  m  m  2  0 Mµ theo §L Viet ta cã: x1  x 2  Tõ. 2(m  1) m2 ; x1x 2  m 1 m 1. 1 1 3 x  x2 3 ta cã: 1    x1 x 2 2 x1 x 2 2. 2(m  1) m  2 3 2(m  1) m  1 3 :   .  m 1 m 1 2 m 1 m  2 2 2(m  1) 3    4m  4  3m  6  m  2 tho¶ m·n (*) m2 2 VËy m ph¶i t×m lµ -2. . Bài 35) Cho ph-¬ng tr×nh: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - 3 = 0 (1), víi n lµ tham sè. a)Tìm n để ph-ơng trình (1) có một nghiệm x = 3. b)Chøng minh r»ng, víi mäi n  - 1 th× ph-¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Giải : Cho ph-¬ng tr×nh: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - 3 = 0 (1), víi n lµ tham sè. a) Ph-¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = 3  (n+1).32 - 2(n-1).3 + n-3 = 0  9n + 9 - 6n + 6 + n - 3 = 0  4n = -12  n = -3 b) Víi n  -1, ta cã: ' = (n-1)2 - (n+1)(n-3) = n2 - 2n + 1 - n2 +2n +4 =5>0 VËy: víi mäi n  -1 th× ph-¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Bài 36) Cho hàm số : y   x 2 có đồ thị (P) và hàm số y = 2x + m có đồ thị (d) . 1/ Khi m = 1. Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ. 2/ Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) toạ độ và bằng phép toán khi m = 1. 3/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) sao cho 1 1  2 6 2 xA xB Giải : 1/ m = 1  (d) : y  2x  1 + x  0  y 1  P(0;1) + y  0  x  1/ 2  Q(1/ 2;0) x 2 1 0 2 4 1 0 y  x Tự vẽ đồ thị hs. 1 1. 2 4. >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 2/ khi m = 1. +Dựa vào đồ thị ta nhận thấy (d) tiếp xúc với (P) tại tiếp điểm A(1; 1) . +PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x 2  2x  1  0  (x  1)2  0  x  1 ; Thay x  1 vào PT (d)  y  1 . Vậy : (d) tiếp xúc với (P) tại điểm A(1; 1) . 3/ Theo đề bài:. x  0 1 1  2 6 A . Vậy để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x A ; y A ) và 2 xA xB x B  0. B(x B ; y B ) thì PT hoành độ giao điểm : x 2  2x  m  0 (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x A , x B khác 0.  /  1  m  0 m  1   (**); Với đ/k (**), áp dụng đ/l Vi-ét ta có : m  0 m  0 2.  x A  x B  2   x A .x B  m. 2.  1  x  xB  1 1 1  2 2 +Theo đề bài : 2  2  6      6 A 6   xA xB  x A x B  x A .x B  x A .x B  x A .x B 2  m  1 (NhËn) 2  2       6  4  2m  6m 2  3m 2 + m - 2 = 0   1 m m  m2  2 / 3 (NhËn) Vậy: Với m  -1 ; 2/3  thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) thoả mãn 1 1  2 6. 2 xA xB. Bài 37) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình : 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x1x 2  2x1  2x 2 . Giải :. 1 . 2 - Cho x = 0  y = 3 – m . Đường thẳng (d) cắt trục Oy tại điểm A(0 ; 3 – m). 3 m  3 m  ; 0 . - Cho y = 0  x = . Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm B  2m  1  2m  1  1 3 m 2 Diện tích tam giác OAB là 2, nên ta có phương trình : . 3  m . 2 2m  1 ĐK : m  3 ; m . 3  m . 2. 4 2m  1 1 - Nếu m > , ta có : m2 – 6m + 9 = 8m – 4  m2 – 14m + 13 = 0 2 Phương trình có nghiệm m1 = 1 (thoả mãn), m2 = 13 (thoả mãn). 1 - Nếu m < , ta có : m2 – 6m + 9 = 4 – 8m  m2 + 2m + 5 = 0 (ptvn). 2 Vậy m = 1 hoặc m = 13. Bài 38) Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức x1  x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. hãy tính giá trị nhỏ nhất này. Giải : Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức x1  x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. hãy tính giá trị nhỏ nhất này. a) Ta có : ’ = m2 – 2m + 5 = m2 – 2m + 1 + 4 = (m – 1)2 + 4 > 0 , với mọi m vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 2 2 2 b) Ta có :  x1  x 2  =  x1  x 2  =  x1  x 2   4 x1.x 2 = 4m2 – 4(2m – 5) = 4m2 – 8m + 20 = 4(m2 – 2m + 1 + 4) = 4(m – 1)2 + 16 ≥ 16 Vậy x1  x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi và chỉ khi m = 1 1 2. 1 2. Bài 39) Gọi (P) là đồ thị của hàm số y  x 2 và (d) là đồ thị của hàm số y  x  1 a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ b) Dùng đồ thị (P) và (d) suy ra nghiệm của phương trình x2 – x – 2 = 0 Giải : 1 2. 1 2. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y  x 2 và (d) là đồ thị của hàm số y  x  1 a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ 1 2. Bảng giá trị của hàm số y  x 2 x. -2. -1. 0 0. y. 2. 1 2. x. -2. 0. y. 0. 1. 1. 2. 1 2 2 1 Bảng giá trị của hàm số y  x  1 2. Đồ thị (P) và (d) f(x). f(x)=(1/2)x^2 f(x)=(1/2)x +1 x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=2 , y(t)=t. 4. 1 y  x2 2. 1 x 1 2. y. 3. 2. 1. x -5. -4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 5. -1. -2. -3. -4. b) Lập phương trình hoành độ giao điểm :. 1 2 1 x = x  1  x2 – x – 2 = 0 2 2. Vậy số nghiệm của pt này là số giao điểm nếu có của hai đồ thị (P) và (d) Dựa vào đồ thị , ta có (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ x = -1 và x = 2 Suy ra nghiệm của phương trình x2 – x – 2 = 0 có hai nghiệm là x = - 1 ; x = 2 Bài 40)Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 – (m + 1)x + m2 – 2m + 2 = 0 >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng a) Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Giải : Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 – (m + 1)x + m2 – 2m + 2 = 0 (1) a) Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt. Ta có :  = (m + 1)2 – 4(m2 – 2m + 2) = – 3m2 + 10m – 7 = (1 – m )(3m – 7) + (1) vô nghiệm   < 0  (1 – m )(3m – 7) < 0  m < 1 hoặc m >. 7 3. + (1) có nghiệm kép   = 0  (1 – m )(3m – 7) = 0  m =1 hoặc m =. 7 3. + (1) có hai nghiệm phân biệt   < 0  (1 – m )(3m – 7) > 0  1 < m < b) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. 7 (*) 3. b   x1  x 2   a  m  1 Theo Vi-et, ta có :   x1.x 2  c  m 2  2m  2  a. Nên : đặt E = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (m + 1)2 – 2(m2 – 2m + 2) = – m2 + 6m – 3 2 2 + Ta có : – m + 6m – 3 = – (m – 6m + 3 ) = – (m2 – 2.3m + 9 – 6 ) = 6 – (m – 3)2 Nhưng do (1) có nghiệm x1 ; x2 khi và chỉ khi 1 ≤ m ≤ Giá trị lớn nhất của E là : 6 – (. 7 3. 7 50 7  3 )2 = khi m = 3 3 9. Giá trị nhỏ nhất của E là : 6 – (1 – 3)2 = 2. khi m= 1. >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>