De HSG Toan 6 20162017 16

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 Năm học 2012 - 2013 MÔN: TOÁN. Thời gian làm bài: 150 phút (Đề này gồm có 04 câu, 01 trang). Câu I: (6,0 điểm). Tìm x biết: 1 2 1  x 4 a) 3 3 b). 3x  1  17  12. 5 3 1   22 13 2 4 2 3   13 11 2 c) x =  2 2 2 .   ...    462   2,04 :  x  1,05   : 0,12 19 11 . 13 13 . 15 19 . 21   d) Câu II: (8,0 điểm). 1. Cho S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100 a) Chứng minh rằng S  15 b) Tìm chữ số tận cùng của S. c) Tính tổng S. 2. Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao? 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1   ...      ...  2 3 4 199 200 101 102 200 a) 51 . 52 . . . . . 100 1 . 3 . 5 . . . . . 99 2 b) 2 2 Câu III: (3,0 điểm). Một ô tô đi từ A lúc 8h. Đến 9h một ô tô khác cùng đi từ A. Xe thứ nhất đến B lúc 2h chiều. Xe thứ hai đến xớm hơn xe thứ nhất nửa giờ. Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở cách A bao nhiêu km nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 20km/h. Câu IV: (3,0 điểm). 1 . 3 . 5 . . . . . 9999 10000 1. Cho A = 2 4 6 So sánh A với 0,01.   1  2  3  . . .  n   7  10 2. Chứng minh rằng:  , với  n  N.. ---------- Hết ---------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Câu. Đáp án. a) 1,5 điểm Câu I: 1 2 1  x  (6,0 điểm) 3 3 4 2 1 1 x  3 4 3 2 1 x 3 12 1 2 : x = 12 3  1. 3 x = 12 . 2 1 x= 8 b) (1,5 điểm) 3x 1  17  12 3x  1. = -12 + 17. 3x  1. =5 3x + 1 = 5 hoặc 3x + 1 = - 5 3x =4 3x =-6 4 x = 3 x =-2 4 Vậy x = 3 ; x = - 2 c) (1,5 điểm) 5 3 1   22 13 2 x 4 2 3   13 11 2 3 1  5    .2. 11 . 13   22 13 2   4 2 3   .2.11.13   13 11 2  = 65  66  143 = 88  52  429  12  4  = 465 155 d) (1,5 điểm). Điểm. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ. 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ. 0,5đ. 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Câu II: (8 điểm). 2 2 2  ...  19 . 21 Vì 11 . 13 13 . 15 1 1 1 1 ... 1 1       19 21 = 11 13 13 15 1 1 10   = 11 21 231 10 . 462   2,04 :  x 1,05   : 0,12 19 231 Nên ta có 20 - [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 19 [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 20 - 19 [2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 1 2,04 : (x + 1,05) = 1 . 0,12 x + 1,05 = 2,04 : 0,12 x + 1,05 = 17 x = 17 - 1,05 x = 15,95 1. (3,0 điểm) a) (1,25 điểm) S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100 Tổng trên gồm 100 số hạng được chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng ta có: S = (21 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + ... + (297 + 298 + 299 + 2100) = 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25 (1 + 2 + 22 + 23) + ... + 297 (1 + 2 + 22 + 23) = 2 . 15 + 25 . 15 + ... + 297 . 15 = 15 (2 + 25 + ... + 297)  15 (ĐPCM) b) (0,75 điểm) Vì S  15  S  5 (1) Lại có tất cả các số hạng của S đều chia hết cho 2 nên S  2 (2) Từ (1) và (2)  S  10 hay S có chữ số tận cùng là 0. c) (1,0 điểm) 2S - S = 2 (21 + 22 + 23 + ... + 2100) - (21 + 22 + 23 + ... + 2100) S = (22 + 23 + 24 + ... + 2101) - (21 + 22 + 23 + ... + 2100) hay S = 2101 - 2 2. (2,0 điểm) Gọi số tự nhiên lẻ thứ n kể từ số đầu tiên là x Ta có: (x - 1) : 2 + 1 = n  (x - 1) : 2 =n-1  x-1 = (n - 1). 2  x-1 = 2n - 2  x = 2n - 2 + 1  x = 2n - 1 Nên n số tự nhiên lẻ đầu tiên là 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ... ; 2n - 1 Ta có tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên là: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = (2n - 1 + 1) . n : 2 = 2n . n : 2 = n2 là một số chính phương.. 0,25đ 0,25đ 0,25đ. 0,25đ 0,25đ 0,25đ. 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ. 0,25đ 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vậy tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương.. 0,75đ 0,25đ. 3. (3,0 điểm) a) (1,5 điểm) 1 1 1 ... 1 1      199 200 Ta có 1- 2 3 4 1 1 ... 1  1 1 1 ... 1           199  2 4 6 200  = 1+ 3 5 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1      ...    2     ...   2 3 4 5 6 199 200  2 4 6 200  = 1 1 1 1 1    ...    2 3 199 200 =.  1 1 ... 1  1     100   2 3 1 1 1 1    ...  200 (ĐPCM) = 101 102 103 b) (1,5 điểm)  1 . 3 .5.....99   2 . 4 . 6 .....100  (2 .4 . 6 ..... 100) Ta có: 1 . 3 . 5 ..... 99 = =. =. =. Câu III: (3 điểm). 0,5đ 0,5đ 0,5đ. 0,5đ.  1 .2.3.4.5.6.....99.100   1.2  . 2.2  .  2.3 .....  2.50 . 0,25đ. 1 .2 . 3 ..... 99 . 100  1 . 2.3 .....50  . 2.2.2.....2    . 0,25đ. 50 thõa sè 2. 51 .52 .53 ..... 99 . 100 2.2.2.....2    . 0,25đ. 50 thõa sè 2. 51 . 52 . 53 . . . . . 100 2 (ĐPCM) = 2 2 2 Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là :14h - 8h = 6h. Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là : (14h - 0,5h) - 9h = 4,5h 9 h = 2 1 Một giờ xe thứ nhất đi được : 6 (quãng đường AB). 2 Một giờ xe thứ hai đi được : 9 (quãng đường AB). 2 1 1 Phân số chỉ 20km là : 9 - 6 = 18 (quãng đường AB) 1 Vậy quãng đường AB dài : 20 : 18 = 360 (km). 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1. Câu IV: (3 điểm). Vận tốc xe thứ nhất là : 360 . 6 = 60 (km/h) Khi hai xe cùng bắt đầu đi chúng cách nhau 60km (vì xe thứ nhất đi trước xe thứ hai 1 giờ). Do đó, chúng gặp nhau (kể từ khi xe thứ hai đi) sau: 60 : 20 = 3 (h) Nơi gặp nhau cách A là: 60 + 60 . 2 = 240 km. 1. (1,5 điểm) 1 . 3 . 5 ..... 9999 A = 2 4 6 10000 2 . 4 . 6 ..... 10000 10001 Đặt B = 3 5 7 1 2 3 4 5 6 ... 9999 10000  ;  ;  ; ;  4 5 6 7 10000 10001 Vì 2 3 Nên A < B mà A > 0 ; B > 0  1 . 3 . 5 ..... 9999  .  2 . 4 . 6 .....10000      10000   3 5 7 10001   A2 < A . B =  2 4 6 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 ..... 9999 . 10000   10000 10001  = 2 3 4 5 6 7 2 1 1 2  1       0,01 = 10001 10000  100  2.  A < (0,01) Hay A < 0,01 2. (1,5 điểm). 2. n .  n  1 2 Ta có: 1 + 2 + 3 + ... + n = Vì n  N  n . (n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có thể có các tận cùng là: 0; 2 ; 6 n.  n  1 2  không bao giờ có tận cùng là 7.   1  2  3  ...  n      1  2  3  ...  n   . 7 . không bao giờ có tận cùng là 0.. 7   10, với  n  N (ĐPCM). * Lưu ý: - Mọi cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Tùy theo bài làm của học sinh, giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm.. ---------- Hết ----------. 0,25đ 0,5đ 0,25đ. 0,5đ. 0,25đ. 0,5đ 0,25đ. 0,5đ 0,5đ. 0,25đ 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Người ra hướng dẫn chấm. Tổ trưởng chuyên môn. Hiệu trưởng.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>