HUONG DAN GAI MOT SO BAI TAP HINH 9ON TAP HK 1 1617

<span class='text_page_counter'>(1)</span>HƯỚNG DẪN – GIẢI BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ 1 HÌNH HỌC 9 (Một số phần chỉ là hướng dẫn: HS cần trình bày chi tiết) Bài 1: Cho (O), đường kính AD vuông góc với dây BC tại I (I  OD, A  cung lớn BC). a) Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh. b) Kẻ BE vuông góc với AC (EAC). BE cắt AD tại H. Chứng minh rằng BH song song với CD. c) Chứng minh tứ giác BHCD là hình thoi. d) Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O’ đường kính AH.. a. Xét đường tròn (O) ta có: AI  BC (gt) => IB = IC ( t/c đường kính vuông góc với dây) ABC có AI vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến => ABC cân tại A. b. Chứng minh được: AC  CD; BE  AC => BE// CD c. HS chứng minh được tứ giác BHCD là hình bình hành Lại có BC  HD tại I (gt) => BHCD là hình thoi. d. Chứng minh: +/ E thuộc đường tròn (O’). +/ O’E  IE tại E => IE là tiếp tuyến của (O’) đường kính AH.. GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 2: Cho tam giác ABC có ba cạnh là AB = 3, AC = 4, BC = 5. 1) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính sinB. 2) Từ A hạ đường cao AH, vẽ đường tròn tâm A, bán kính AH. Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rẳng: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng; b) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC.. -. Vẽ hình đúng: E A 1 D. 1,Ta có: AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25.. 23. B. 4. H. C. O. BC2 = 52 = 25  AB2 + AC2 = BC2 (= 25).  Theo định lý đảo của định lý Pytago, ta có Tam giác ABC vuông tại A. AC 4  Trong tam giác vuông ABC ta có: sinB = BC 5. 2, a) Ta có: BC  AH tại H (gt) => BC là tiếp tuyến của đường tròn (A;AH) Xét đường tròn (A;AH) có: BD và BH là hai tiếp tuyến của (A) cắt nhau tại B =>. Â 1 = Â2. CE và CH là hai tiếp tuyến của (A) cắt nhau tại C => Â3 = Â4. . Â1 + Â2 + Â3 + Â4 = 2.(Â2 + Â3) = 1800 .. Vậy D, A, E thẳng hàng. b) Gọi O là trung điểm của BC  OA =. 1 BC ( t/c trung tuyến ứng cạnh huyền trong tam giác vuông) 2.  A thuộc (O,. 1 BC) 2. (1). Chứng minh: OA là đường TB của hình thang BCED  OA // BD // CE Mà BD  DE  OA  DE. (2). Từ (1) và (2) suy ra DE là tiếp tuyến của (O,. 1 BC). 2. Vậy DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.. GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa (O) đường kính AB . Vẽ bán kính OE bất kỳ. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. a) Chứng minh rằng CD = AC + BD.  b) Tính số đo COD và chứng minh : R2 = AC.BD.. c) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. R d) Tính diện tích tứ giác CDBA theo bán kính R của (O),biết AC = 2 .. a) Xét nửa đường tròn (O) có: CA và CD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C ; DE và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D => AC = CE (tính chất của hai tiếp tuyến ) DB = DE (tính chất của hai tiếp tuyến ) => AC + DB = CE + ED = CD Vậy CD = AC + DB (Đpcm) b) Xét nửa (O) có CA và CD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C ; DE và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D.  => OC là phân giác AOE (tính chất của hai tiếp tuyến )  OD là phân giác EOB (tính chất của hai tiếp tuyến ) 0    Mà AOE và EOB là hai góc kề bù nên COD 90 . 0  +) Xét COD có COD 90 , OE  CD(CD là tiếp tuyến của (O) tại E).. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : OE2 = CE.ED Mà AC = CE, BD = ED (c/m câu a), OE = R => R2 = AC. BD (đpcm) GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> c) Gọi O’ là trung điểm của CD. Ta có OO’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD của tam giác vuông COD CD => OO’ = 2 => OO’ là bán kính của đường tròn đường kính CD (1). Mặt khác Ax, By là các tiếp tuyến của (O) => CA  AB và DB  AB => AC // DB => ABDC là hình thang vuông Xét hình thang ABDC có OA = OB và O’C= O’D => OO’ làđường trung bình của hình thang ABDC => OO’//CA//BD ,vì AC  AB => OO’  AB (2) Từ (1) và (2) => AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD (đpcm). R2 R2  2 R R AC R 2 d) Ta có AC = 2 ; R2 = AC. BD (c/m câu b) => BD =. Có ABCD là hình thang vuông (c/m câu c). =>. S ABCD. R (  2 R).2 R ( AC  BD). AB 5   2  R2 2 2 2. GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 4: Cho đường tròn (O;R), đường kính AB = 2R. Dây cung AC = R a) Chứng minh tam giác ABC vuông và tính cạnh BC theo R; b) Gọi K là trung điểm của dây BC. Gọi D là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn (O) tại B và OK. Chứng minh: DC là tiếp tuyến của đường tròn (O); c) Gọi M là giao điểm của đường tròn (O) và OD. Chứng minh tứ giác OBMC là hình thoi. D. M. C. K. A. O. B. a) Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên ΔABC vuông tại C ⇒ BC = R √ 3 b) Tam giác OCB cân tại O OK là trung tuyến ⇒ OK là đường phân giác. ⇒ CÔK = KÔB. ΔCOD = ΔBOD (c.g.c) ⇒ góc OCD = góc OBD = 900. Hay OC Mà C. CD (O). ⇒ DC là tiếp tuyến của (O) (dấu hiệu nhận biết). c) Tứ giác ACMO là hình bình hành ⇒ AO = CM = R. ΔDCM = ΔDBM (c.g.c) ⇒ CM = BM = R. ⇒ OC = CM = BM = OB = R ⇒ ACMO là hình thoi. GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài 5: Cho nửa đường tròn (O, R) có đường kính AB. Dựng dây AC = R và tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt OC tại M, cắt tia Bx tại P và cắt nửa đường tròn tâm O tại Q a) Chứng minh: BP2 = PA . PQ b) Chứng minh: 4 điểm B, P, M, O cùng thuộc một đường tròn. c) Đường thẳng AC cắt tia Bx tại K. Chứng minh: KP = 2.BP. K. P. C. Q. M. A. O. B. a, Ta có  AQB nội tiếp đường tròn đường kính AB =>  AQB vuông tại Q =>BQ  AP xét  ABP vuông đường cao BQ ta có : BP2 = PA . PQ ( Hệ thức lượng ...) b. Có AC = AO (= R) =>  ACO cân tại A   mà AM là phân giác CAO => AM cũng là đường cao => OMP =900  Lại có: OBP =900 (Bx là tiếp tuyến). Gọi I là trung điểm OP, 1 .OP . 2. Xét OMP vuông ở M có MI là đường trung tuyến  MI = Xét OBP vuông ở B có BI là đường trung tuyến  BI =. 1 .OP 2.  MI = BI = OI = IP  4 điểm M, B, O, P cùng thuộc đường tròn tâm I  c, Ta có  AOC đều => CAO = 600 AB AB 0 xét  AKB vuông ở B có : Cos A = AK => AK = Cos60 = 4R PK AK 4R   2 CAO AP là đường phân giác của => BP AB 2R => PK = 2 BP.. GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, Đường cao AH.Vẽ đường tròn (A; AH). Gọi HD là đường kính của đường tròn đó. Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E. a) Chứng minh rẳng BEC là tam giác cân. b) Gọi I là hình chiếu của A trên BE. Chứng minh AI = AH c) Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A) d) Chứng minh BE = BH + DE. Vẽ hình đúng cho phần a C H. B. A. D. I E. a) Chứng minh  ADE =  AHC (g-c-g).  AE=AC   BEC vừa có BA là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân b) Chứng minh  ABI=  ABH (ch-gn) vì có BA là đường phân giác của góc EBC) c) Có AI=AH  I nằm trên (A;AH) lại có BI  AI (I là hình chiếu của A trên BE).  BE là tiếp tuyến của (A;AH) d) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có ED=EI ; BI=BH.  BE=BI+ EI=ED +BH. GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài 7: Cho (O; 3cm) , điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC ( B và C là các tiếp điểm). Biết góc BAC = 600 a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều b) Tính độ dài OA; c) Tia BO cắt đường tròn (O) tại D. Tứ giác ODCA là hình gì? Vì sao? d) Tính diện tích tứ giác ODCA.. a. Xét (O) có AB và AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau  AB = AC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)  tam giác ABC cận tại A Lại có BAC = 600 (gt)  Tam giác ABC đều b. Xét (O) có AB và AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau 1  BAO  BAC 300 2 . Xét tam giác ABO vuông tại B( tính chất tiếp tuyến) 1 BO  AO BAO 300 2 Có (cmt) =>. => AO = 2.BO = 2.3 = 6 (cm) c. Ta có: AB = AC và OB = OC (gt) nên OA là đường trung trực của BC  AO cắt BC tại H là trung điểm của BC Mà O là trung điểm của BD suy ra HO là đường TB của tam giác BCD  HO // CD hay OA // CD  ODCA là hình thang d. + Xét tam giác ABO vuông tại B ta có: AB2 + OB2 = OA2 (đ/l ..)  AB2 +9 = 36  AB = 3(cm). GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tam giác ABC đều (theo a)  BC = AB =3(cm) Ta có H là trung điểm của BC nên: CH = CB = (cm) + Xét tam giác BCD vuông tại B ta có: BC2 + CD2 = DB2 (đ/l ...) => 27 + CD2 = 36  CD = 3( cm).  OA  CD  CH Diện tích hình thang ODCA là. S=. 2. . 27 3 (cm2 ) 4. Bài 8: Cho (O;R) , từ điểm M nằm ngoài (O) với OM = 2R ta vẽ 2 tiếp tuyến MP và MQ. a) Chứng minh rằng  MPQ đều. b) Đường thẳng MO cắt (0) tại D và E (D nằm giữa M và E). Tứ giác DPOQ là hình gì ? c) Từ O kẻ đường vuông góc với PO cắt MQ tại S. Chứng minh DS là tiếp tuyến của (0). a / Ta có MP = MQ ( Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau )   MPQ cân . OM   MPO vuông tại P có OP = 2 nên PMO = 300   => QMO = 300 (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) Vậy PMQ = 600   MPQ đều.. b/. .  OPD cân tại O ( vì OP = OD = R ) có POD = 60 0 Nên  OPD đều Chứng minh tương tự :  ODQ đều Suy ra OP = OQ = PD = OQ ( cùng = R ) Vậy tứ giác DPOQ là hình thoi .. c / Ta có SO  MP ( vì cùng vuông góc với PO )   Nên PMO MOS (so le trong )   Mà PMO OMQ Nên  SMO cân tại S .. GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ta có D là trung điểm của MO nên SD là trung tuyến của  SMO Nên SD cũng là đường cao . Suy ra SD  MO tại D Vậy SD là tiếp tuyến của ( 0 ). Bài 9: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn , vẽ tiếp tuyến xy . Kẻ AD và BC cùng vuông góc với xy . a) Chứng minh rằng: MC = MD. b) Chứng minh tổng AD+BC có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm M trên nửa đường tròn (O) . c) Chứng minh rằng : AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kinh CD. d) Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất ? C. y. M D. x. A. E. B. O. a/ AD // OM // BC ( vì cùng vuông góc với xy ) OA = OB = bán kính . Suy ra : MC = MD . b/ AD + BC = 2 OM ( tính chất đường trung bình của hình thang) AB = 2 OM = không đổi . Suy ra : AD + BC = AB = không đổi . c/   Kẻ ME  AB . Ta có : MAD  AMO ( so le trong ). Mặt khác : OM = OA =.   bán kính  ∆AOM cân tại O  MAO  OMA . . Do đó : MAD  MAE  ∆MAE = ∆MAD (c huyền – g nhọn).  ME = MD = bán kính đường tròn đường kính CD Vậy : Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB tại E . 1 1 d/ SABCD = 2 ( AD+BC).CD = 2 AB.CD đạt GTLN khi AB và CD. đạt GTLN. Nhưng do AB không đổi nên SABCD đạt giá trị lớn nhất khi CD đạt GTLN Do CD ≤ AB nên CD lớn nhất khi CD = AB . Khi đó ABCD là hình chữ nhật và điểm M nằm chính giữa của nửa đường tròn (O) .. GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bài 10: Cho đường tròn (O; 6cm) và điểm A nằm trên đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyếnAx với (O), Trên Ax lấy B sao cho AB = 8cm. a) Tính độ bài đoạn OB. b) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OB, đường thẳng này cắt (O) tại C. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Tính chu vi tam giác BAC.. GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> a) OAB vuông tại A 2 2 OB = 6  8 10. b) OAC cân tại O, có OB là đường cao nên đồng thời là phân giác. suy ra góc AOB = góc BOC c/m OAB = OCB(c.g.c)  góc OCB = 900  BC  OC  BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) AB = BC = 8 cm, AC = 2.8.6: 10 = 9,6 cm chu vi tam giác BAC là : 2.8 + 9,6 = 25,6cm Bài 11: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn tâm O’ đường kính CB. a) Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối nào? Vì sao? b) Kẻ dây DE của (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao ? c) Gọi K là giao điểm của DB và (O’). Chứng minh 3 điểm E, C, K thẳng hàng. Hình vẽ đúng cho câu a D K. C O O’. A. B. E. a/ OO’ = OB - OB’ nên 2 đường tròn tiếp xúc trong b/ C/m tứ giác ADCE là hình bình hành GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> AC  DE nên tứ giác ADCE là hình thoi c/ C/m AD // CK lại có CE // AD nên CE trùng CK. Do đó E, C, K thẳng hàng. GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Bài 12: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài D   O  , E   O ' . DE, Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE. a) Tứ giác AMIN là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh hệ thức IM. IO = IN. IO’ c) Chứng minh rằng OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE. d) Tính độ dài DE biết rằng OA = 5 cm, O’A = 3,2 cm. D. I. M. O. E. N A. O'. 0  a) IO, IO’ là tia phân giác của hai góc kề bù AID và AIE nên OIO' 90 Tam giác AID cân tại I, IM là tia phân giác của góc AID nên IM  AD Tương tự IN vuông góc với AE Tứ giác AMIN có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. b) Vì AI là tiếp tuyến trong nên AI vuông góc với OO’ nên tam giác OIA vuông tại A. ID và IA là 2 tiếp tuyến chung của (O) nên ID = IA, lại có OD = OA (bk) .do đó OI là trung trực của DA hay MA vuông góc với OI 2 Do đó với tam giác vuông IAO có IA IM.OI 2. Tương tự IA IN.IO ' Do đó IM.OI IN.IO ' (Đpcm) c) IA là bán kính của đường tròn tâm I có đường kính DE. Do OO’ vuông góc với IA tại A nên OO’ là tiếp tuyến của đường tròn (I). GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, đuờng cao AH 1/ Tính AH biết HB = 8 cm và HC = 18 cm; 2/ Vẽ đường tròn (O) đường kính BH, đường tròn (O) cắt AB tại D (khác B); vẽ (O’), đường kính CH, đường tròn (O’) cắt AC tại E (khác C). a/ Xác định vị trí giữa (O) và (O’); 0  b/ Chứng minh BDH 90. c/ Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’).. Vẽ hình :. 1/ Ta có : AH2 = HB.HC => AH = 12 ( cm) 2a/ Ta có B, H , C thẳng hàng => O , H , O’ thẳng hàng Mà H nằm giữa OO’ => OH + HO’ = OO’ Hay r + R = d => (O) tiếp xúc ngoài (O’) BH 2b/ Ta có D thuộc (O; 2 ) => góc BDH = 900 ( góc n tiếp chắn nửa đường tròn). 2c/ Ta c/ được góc BDH = góc HEC = 900 => ADHE là hình chữ nhật => góc D1 = góc H1 Mà góc D2 = góc H2 ( vì tam giác OHD cân tại O) => Góc D1 + góc D2 = Góc H1 + góc H2 => DE vuông góc OD => DE là tiếp tuyến (O) Tương tự các chứng minh ta c/m được DE là tiếp tuyến (O’) Vậy DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Bài 14: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm).Gọi I là trung điểm của đoạn AB, kẻ tiếp tuyến IM với đường tròn (O) ( M là tiếp điểm). a. Chứng minh rằng: Tam giác ABM là tam giác vuông. b. Vẽ đường kính BC của đường tròn (O).Chứng minh 3 điểm A;M;C thẳng hàng. c. Biết AB = 8cm; AC = 10cm Tính độ dài đoạn thẳng AM.. a/ Theo giả thiết IM,IB là tiếp tuyến của đường tròn (O) =>IM = IB (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) 1 AB Mà IA = IB (gt) suy ra MI = 2. Vâỵ tam giác AMB vuông tại M (T/c….). b/Trong tam giác BMC ta có OM = OB = OC ( Bán kính đường tròn (O)) 1 BC  MO = 2 => tam giác BMC vuông tại M (T/c…) 0 0 0   Ta có AMB  BMC 90  90 180 0  Vậy AMC 180 Nên 3 điểm A,M,C thẳng hàng.. c/Ta có AB là tiếp tuyến của (O) => AB  OB ( T/c tiếp tuyến) Trong tam gíac ABC vuông tại B ta có BM  AC 2 => AB  AM . AC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông). GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Bài 15: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và B, M là trung điểm của AC .Qua M kẻ dây DE vuông góc với AB. a)Chứng minh MD=ME.Từ đó suy ra tứ giác ADCE là hình thoi b)Gọi N là giao điểm EC với DB.Chứng minh EN vuông góc với BD c)Tính DE biết R=5cm; AD=6cm d)Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC D .. A. .. .. .. M O. .N . . . C I. B. . E. a) MD=ME (tính chất đường kính dây cung) -Chứng minh tg ADCE là hình bình hành Lại có DE AC nên tg ADCE là hình thoi b) Δ ADB có AB là đường kính nên Δ ADB vuông tại D → AD DB. Lại có AD//EC nên EC DB hay EN DB c) Áp dụng hệ thức b2=a.b’ tính AM=3,6cm ; BM=10-3,6=6,4 cm 2 -Áp dụng hệ thức h =b’.c’ tính DM= 4,8cm suy ra ED=9,6cm d) Δ CBN vuông tại N gọi I là trung điểm CB.Ta có N (I) (1) - Δ ICN cân tại I ; Δ MNE cân tại M nên INC=ICN;MNE=MEN Lại có ICN=ECM và ECM+NEM=900 nên MNC+CNI=900 hay MN NI (2) Từ (1) và (2) ta có MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. GV: Đỗ Tiến Dũng - Trường THCS Tam Hưng .. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>