Tich phan ham vo ti

<span class='text_page_counter'>(1)</span>2. I  4  x 2 dx. 0 Ví dụ 1: Tính tích phân :   x 2sin t ,  t  2 2 HD: Đặt.  dx 2 cos tdt  x 2  t  2 Đổi cận: x 0  t 0 ;  /2.  /2.  /2. 1  I 4 cos 2 tdt 2 (1  cos 2t ) dt 2(t  sin 2t )  2 0 0 0  1/2. J. . 1  2 x  x2. dx. Ví dụ 2: Tính tích phân :  1/ 2  1/2 1 1 J dx   dx  2x  x2 1  (1  x )2 1 1 HD:   1  x sin t ,   t  2 2 Đặt  dx cos tdt 1  x   t  2 6 Đổi cận: x  1  t 0 ; 1.  /6. cos tdt.  /6.  dt t /6   2 0 1  sin t 0 0 6 3 x dx I  1  x2 Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm : HD:   x sin t ,   t  2 2 Cách 1: Đặt  dx cos tdt sin 3 t cos tdt sin 3 t cos tdt 1  I    (3sin t  sin 3t )dt 1  sin 2 t 4 cos t 3 1 3 1  cos t  cos 3t  C  cos t  (4 cos3 t  3cos t )  C 4 12 4 12  I .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1  1 2  cos3 t  cos t  C  (1  sin t )  1 cos t  C 3  3 1 2  ( x  2) 1  x 2  C 3 2 2 2 Cách 2: Đặt t  1  x thì x 1  t  xdx  tdt 1 1 1 I (t 2  1)dt  t 3  t  C  (t 2  1)t  C  ( x 2  2) 1  x 2  C 3 3 3. 2. Dạng 2:. I R ( x, a 2  x 2 )dx. .. I  1  x 2 dx. Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm : HD:   x tan t ,   t  2 2 Cách 1: Đặt 1  dx  2 dt cos t cos t 1 cos tdt  dt  I  3 dt  4  (1  sin 2 t ) 2 cos t cos t cos t  dt (1  sin 2 t ) 2 Đặt u sin t  du cos tdt 1 1  I  du  du 2 2 2 (1  u ) (u 1) (u  1) 2 1  1 1 1 1       du 2 4  u  1 u  1 (u  1) (u  1) 2  1 u 1 2u 1  ln  2 C  ln 4 u 1 u  1 4 x x 1 2 2 1 1  x2  C  ln 1  x  1 x 1 4  ln 1 2 4 1 x 1  x2 2 2 2 Cách 2: Đặt t  x  1  x  (t  x ) 1  x. sin t  1 2sin t  C sin t  1 1  sin 2 t. x  1  x2 x  1 x. 2.  2 x 1  x2  C.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> t2  1 t 2  1 t 2 1  1  x 2 t   2t 2t 2t 2 2 x 2t t 1  dt (1  ) dx  2 dx 2 t  1  dx  2t 2 dt 1 x  x. 1 2 1 11 1  (t   3 )dt   t 2  2ln t  2   C  4 t t 4 2 2t  1   x 1  x 2  ln x  1  x 2   C  2 .  I. u  1  x 2  dv dx. Cách 3: Dùng phương pháp từng phần bằng cách đặt 1 J  dx 2 x  4 Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm: HD:   ,  t  2 2 Cách 1: Đặt x 2 tan t 2  dx  2 dt cos t 1  1 1  1 cos tdt cos t   I  dt  2  dt   d (sin t ) 2 2  1  sin t 1  sin t  cos t cos t 1  sin t 1 1  sin t  ln C 2 1  sin t 2 Cách 2: Đặt t  x  x  4  x  dx dt  dt  1    dx  2 2 x 4  x 4 t  dt  J  ln t  C ln x  x 2  4  C t 1 x 3dx I  x2 1 1 Ví dụ 3: Tính tích phân : HD:   x tan t ,   t  2 2 Cách 1: Đặt.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 dt cos 2 t   x  1  t  x 1  t  4; 4 Đổi cận:  /4  /4  /4 3 3 tan t sin tdt 1   1  I dt       d (sin t ) 4 2 cos t cos t cos t cos 4 t    /4   /4   /4   dx .  /4. 1 1      0 3   cos t 3cos t    /4 1. Cách 2: Biến đổi:. I . x 2 xdx x2 1. 1. xdx.  dt 2. x2 1 Đặt t  x  1  x t  1 Đổi cận: x  1  t  2 ; x 1  t  2 2.  I. 1 2. 2. 2. 2. (t. 2.  1)dt 0. 2. Cách 3: Đặt x  t  dx  dt Đổi cận: x  1  t 1 ; x 1  t  1 1.  I . 1. t 3dt. x 3dx.  x 2 1  I  I 0 t 2 1 1 Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần u  x 2   du 2 xdx  x   dx v  x 2  1  dv  2 x 1 Đặt  . . 1.  I x 2 x 2 1 . 1. 1 1. 2 2 ( x  1) 3.  2 x x 2  1dx  1. 3 1 2 1. 0. 1. . 1. x 2  1d ( x 2 1).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2. I  2 3. dx x x2  1. Ví dụ: Tính tích phân : HD: 1   x , t   0;   dx  sin2t dt cos t  2 cos t Cách 1: Đặt 2    t  t 3 6 ;x  2 4 Đổi cận: sin t dt  /4  /4   /4 cos 2 t  I  dt  dt t  /6  12 1 1  /6  /6 1 2 cos t cos t x. 2. I  2 3. Cách 2:. dx 2. x x 1.  2 3. xdx x. 2. x2  1. x. dx x  1  tdt  xdx Đặt t  x  1 2 1 x  t 3 3 ; x  2  t 1 Đổi cận: 1 dt  I  2 1 t 1 2.  dt . 2. 2. 3.    t tan u, u    ;  2  2 2  ,  dt (1  tan u )du Đặt 1   t u u 3 thì 6 ; t 1 thì 4 Đổi cận:  /4.   /4  I  du u /6  12  /6 1. Ví dụ1: Tìm tích phân :. I  0. 1 x (1  x)5. dx.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1. HD: Viết lại:. I  0. 1  x dx 1  x (1  x) 2. 1 x 1  t 2  dx   4tdt  x (1  t 2 ) 2 1 x 1 t 2 Cách 1: Đặt Đổi cận: x 0  t 1 ; x 1  t 0 t. 2. 0. 1.  1  t 2    4tdt  1 2 1 1  I t  t dt  t 3    2 2  2   (1  t )  0 3 0 3 1    x cos 2t , t   0;   2 Cách 2: Đặt  dx  2sin 2tdt  x 0  t  4 ; x 1  t 0 Đổi cận: 0.  I  2   4. . . 1  cos 2t sin 2tdt 4 4 . tan 2 t 2  dt  tan 2 td (tan t ) 1  cos 2t (1  cos 2t ) 2   cos t 0 0 . 4 1 1  tan 3 t  3 3 0 2. Ví dụ 2: Tính tích phân :. J x 2 x 3 1dx 0. 3 3 2 HD: Đặt t  x  1  x t  1 2  x 2 dx  tdt 3 x  0  t 1 ; x 1  t 3 Đổi cận: 3 3 2 52 2  J  t 2 dt  t 3  9 1 9 31 2. x K  dx 1  x  1 1 Ví dụ 3: Tính tích phân : 2 HD: Đặt t  x  1  x t  1  dx 2tdt Đổi cận: x 1  t 0 ; x 2  t 1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1. 1. t3  t 2    K 2  dt 2 t 2  t  2  dt 1 t 1  t  0 0 1.  t3 t2  11 2    2t  2 ln t  1    4 ln 2 3 2 0 3 Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm :. M . 3. x 2. x  2. 1. 4. x. dx 1. 2 3 2 3 4 4 HD: Nhận xét : x  x , x  x , x  x Ta có 12 là BSCNN của các mẫu số 12 11 Do đó, đặt x t  dx 12t dt.  9 4 12t17 12t14 12t14 t4   M  8 3 dt  5 dt  5 dt 12 t  t  5  dt t t t 1 t 1 t  1   t10 t 5 1 12    ln t 5   10 5 5 Ví dụ1: Tìm nguyên hàm :.  1 C . I  I . HD: Biến đổi về dạng: Cách 1 : Ta xét hai trường hợp: x  2  0  +TH 1: Với  x  3  0  x  3. dx 2. x  5x  6 dx ( x  2)( x  3). Đặt t  x  2  x  3 1 1 x 2 x 3    dt   dx  dx  2 ( x  2)( x  3) 2 x 2 2 x 3 dx 2dt   t ( x  2)( x  3) dt  I 2  2ln t  C 2ln x  2  x  3  C t.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> x  2  0  x2  x  3  0  + TH 2: Với thì Đặt t  2  x  3  x 1 1    dt     dx  2 2  x 2 3 x  dx 2dt   t ( x  2)( x  3) dt  I  2   2 ln t  C  2 ln 2  x  3  x  C t dx I  2 5 1  x     2   4 Cách 2 :Biến đổi về dạng: dx. 2. t x  Đặt. 5 5 1    x   2 2 4 .  x  5 / 2. 2.   1/ 4. dt t. dt 5  I  ln t  C ln x   x 2  5 x  6  C t 2 1. Ví dụ 2: Tính tích phân: HD :. J  0. dx ( x  1)( x  8). 1 1    dt    dx 2 x  1 2 x  8 t  x  1  x  8   Cách 1 : Đặt dx 2dt   t ( x  1)( x  8) Đổi cận: Với x 0  t 1  2 2 , x 1  t 3  2 3 2 3 2 dt 3 2  J 2  2 ln t 12 2 2 ln t 1 2 2 1 2 2 1. J  0. Cách 2 :Biến đổi về dạng:. dx 2. 9  49  x2  4  .

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2 dx dt 9 9  49    2 t x    x     x  9 / 2   49 / 4 t 2 2 4  Đặt 9 11 x 0  t   2 2 x 1  t   3 2 2 2 Đổi cận: Với , 11/2 3 2.  J. . 9/ 2 2 2. dt ln t t. 11/2 3 2 9/ 2 2 2. 2 ln. 3. Ví dụ: Tính tích phân :. I  2. dx (  4  5 x  x 2 )3 3. I  2. HD: Biến đổi về dạng:. 3 2 1 2 2. dx.  ( x  1)(4  x). f ( x) . 3. dx 3.  ( x  1)(4  x) Ta đi tính nguyên hàm của   t   0;  2  2 Đặt x 1  3sin t với  dx 3sin 2tdt 3sin 2tdt 8 sin 2tdt F ( x) f ( x)dx  3   (3sin t cos t ) 9 sin 3 2t 2 5  2x 8 dt 4 C   2  cot 2t  C  9 . ( x  1)(4  x) 9 sin 2t 9 3. 2 5  2x 2 2  I  . 9 ( x  1)(4  x)  2 9 2 ( x  a)(b  x) a  b  2x sin 2t  , cos 2t  b a (b  a) (Chú ý:  cot 2t . a  b  2x 2 ( x  a)(b  x) ). Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm : HD: Biến đổi về dạng:. I  x 2  2 x  2 dx. I  ( x  1) 2  1dx.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Cách 1: Dùng phương pháp đưa về nguyên hàm đã biết: Đặt t  x  1  dt dx  I . 1 t  1 t2  ln  2t 1  t 2  C 2 2 t  1 dx 4 t  1 t. 1 x 1  x2  2x  2  ln  2( x  1) x 2  2 x  2  C 4 x 1  x2  2x  2 (đã tính ở ví dụ ở dạng 2 của phương pháp đổi biến số) Cách 2: Dùng phép thế Euler: t2  2  x  2 2 2 2(t  1) Đặt x  2 x  2 t  x  x  2 x  2 ( t  x )  dx . (t 2  2t  2) dt 2( t  1) 2.  t 2  2  t 2  2t  2 1 [(t  1) 2  1)]2  I  t  . dx   dx  2 4 (t  1)3  2(t  1)  2(t  1) 1  t2 1  1  2 1    t  1   dx    t  2 ln t  1   C 3  4 2 2(t  1)2  4  t  1 (t  1)   1  ( x 2  2 x  2  x)2 1    x 2  2 x  2  x  2ln x 2  2 x  2  x 1   C 4  2 2( x 2  2 x  2  x 1)2  1 J  dx 2 x  x  1 Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm: 1 1 J  dx  dx 2 x2  x  1 1 5  x   2 4  HD: 2. t x  Đặt. 1 1 5   x   2 2 4  x.  dt 1 . 1 2 2. 1 5  x   2 4 . dx . dx 2. 1 5  x   2 4 . . dt t.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> dt 1 J  ln t  C ln x   x 2  x  1  C t 2 x K  dx 2 9 x  6 x Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm: HD: x x K  dx  dx 9x2  6x (3 x  1)2  1 1 (3 x  1)   dx   3  (3 x  1)2  1  1  (3 x  1) d (3 x  1)    2 9 (3 x  1)  1  1  9 x 2  6 x  ln 3x  1    9.  dx  (3x  1)2  1  d (3 x  1)   (3x  1)2  1  1. 9x2  6x   C . dx I  ( x  1) x 2  2 x  2 Ví dụ: Tính nguyên hàm: HD: Đặt. t. 1 1 1  x   1  dx  2 dt x 1 t t.  1 t 2   t  t   I   dt    dt 2 1 t t  1   1 t2 Ta xét 2 trường hợp:  Với t > 0 ta có:  I   ln . 1 1  1  C dt  ln t  t 2  1  C  ln x 1 ( x  1) 2 t2 1 1. x 1. 1  x2  2 x  2 Với t < 0 ta có:.  C ln. 1. x2  2 x  2 C x 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>  I  ln. 1 1  1  C dt ln t  t 2  1  C ln x 1 ( x  1) 2 t2 1 1. 1. x2  2x  2 C x 1 1. x2  2x  2 C x 1. I ln t  0 x  1 Tóm lại với hay ta luôn có: 6x3  8x 1 I  dx 2 2 (3 x  4) x  1 Ví dụ: Tính nguyên hàm : HD: 2x dx 1  1  dx   I  2 x  2  2 dx  2 3x  4  x  1 x 1 (3 x 2  4) x 2  1  2x I1  dx 2 x 2  1  C 2 x 1 Với dx x t2 2 I 2  t   x  (3 x 2  4) x 2  1 , đặt x2 1 1  t2 Với  dt . dx (1  x 2 ) 1  x 2. . 1 dx dt  2 1 t 1  x2. 2 dt  1 ln t  2  C  1 ln x  2 x  1  C 4 x  2 x2 1  I 2  t 2  4 4 t 2. Vậy. 1 x  2 x 2 1 I  x 2  1  ln C 4 x  2 x2 1. I  x 2  2 dx Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm : HD: Cách 1: Tương tự ví dụ ở dạng 2 của phương pháp đổi biến số x  u  x 2  2 dx du  2   x 2   dv dx v  x  Cách 2: Đặt.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> I x x 2  2 . . x2 x2  2. dx (1). . . J  x 2  2 dx  2 . Tính Thay vào (1) ta được:. dx 2. x 2. .  I  2 ln x  x 2  2  C. I  x x 2  2  I  2 ln x  x 2  2  C. . x 2 x  2  ln x  x 2  2  C 2 1 x2  x I  dx 2 x  1 0 Ví dụ 2: Tính tích phân : HD: 1 2 1  x 1  x  1 2x I  dx  x 2  1   2 2 x  1 2 x  1  0 0 Cách 1:  I. 1.   dx x 1  2. 1. 1 x 2   x  1  ln x  x 2  1  x 2  1  ln x  x 2  1  2 2 0 3 2 1  ln 1  2  1 2 = 2 1. x ( x  1) I  dx 2 x  1 0 Cách 2: u  x  1  du dx dv  x dx   2  v  x  1 2 x  1 Đặt  2. 1.  I ( x  1) x  1  0. 1. x. 2.  1 dx. 0. 1. 1 x 2  2 2  1   x  1  ln ( x  1) x 2  1   3 2  1 ln 1  2  1 2 2 0 2 2.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>