Luan VanSKKN 13

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PhÇn thø nhÊt më ®Çu I.. lí do chọn đề tài:. Nh chúng ta đã biết môn toán là nền tảng của các môn khoa học tự nhiªn nã chiÕm mét vai trß quan träng trong c¸c lÜnh vùc khoa häc. ¦íc ao häc giái to¸n lµ niÒm m¬ íc cña bao thÕ hÖ häc sinh vµ c¸c bËc phô huynh, c¸c thÇy c« gi¸o...cho con em vµ häc sinh m×nh. Toán học là môn khoa học có từ lâu đời nó nghiên cứu rất nhiều thể loại ®a d¹ng vµ phong phó. Trong ch¬ng tr×nh §ai sè ë THCS ®a thøc vµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ mét trong nh÷ng néi dung c¬ b¶n, nã lµ c¬ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác nhau nh: Quy đồng mẫu các phân thức,rút gọn phân thức, giải phơng trình, bất ph¬ng tr×nh, t×m cùc trÞ...§Æc biÖt kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh ph©n tö lµ mét kü n¨ng c¬ b¶n quan träng, nÕu n¾m v÷ng vµ thµnh th¹o kü năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết đợc nhiều vấn đề trong chơng trình đại số lớp 8 và lớp 9 cũng nh nhiều vấn đề toán học khác có liªn quan. Nhng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khó khăn đối với học sinh trong trờng hợp đa thức có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp. Nếu áp dụng những phơng pháp thông thờng đã đợc học trong sách giáo khoa thì học sinh không thể phân tích đợc. Có những đa thức không có nghiệm thực thì học sinh không thể phân tích đợc thành nhân tử. Vì vậy câu hỏi thờng đặt ra trong trờng hợp này là: Những đa thức nào thì không thể phân tích đợc thành nhân tử ? Nếu trả lời đợc câu hỏi trên, học sinh sẽ có khả năng giải đợc bằng cách nhanh gọn một số bài tập cụ thể . Bên cạnh đó ngoài những phơng pháp thông thờng, còn có thể sử dụng một số phơng pháp khác để phân tích một đa thức thành nhân tử trong những trờng hợp nhất định , những phơng pháp này trong chơng trình sách giáo khoa cha có điều kiện đề cập đến nhng nếu đợc giáo viên cung cấp thêm thì học sinh có thể hiểu đợc một cách toàn diện hơn về lý thuyết và có kỹ n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n tæng hîp mét c¸ch nhanh chãng. §Ó cung cÊp cho häc sinh mét c¸ch cã hÖ thèng vÒ ®a thøc, ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. Gi¸o viªn cÇn ph¶i hiÓu vµ n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc vÒ vµnh ®a thøc, ®a thøc bÊt kh¶ quy, nghiÖm cña ®a thøc ... mét c¸ch chính xác có hệ thống, hiểu đợc gốc của mọi vấn đề. Từ đó giáo viên cho học sinh biết những điều gì và đến chừng mực nào để có đợc những vận dông hîp lÝ, ®a vµo bµi gi¶ng cña m×nh nh÷ng néi dung kiÕn thøc phï hợp với trình độ của học sinh và đa ra những dạng bài tập thích hợp. II. mục đích nghiên cứu: Vận dụng những kiến thức về cấu trúc đại số, về lý thuyết trờng vào gi¶ng d¹y phÇn ®a thøc vµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö trong ch¬ng tr×nh §¹i sè ë c¸c líp THCS nh»m cung cÊp cho häc sinh nh÷ng kiÕn thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ phù hợp. III. NhiÖm vô nghiªn cøu:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  VÒ lý thuyÕt: Nghiên cứu lý thuyết để nắm vững các nội dung kiến thức cơ bản. - Cấu trúc đại số : Nhóm, vành, trờng, vành đa thức... - C¸c kh¸i niÖm vÒ ®a thøc, nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc bÊt kh¶ quy. - Một số định lý về nghiệm của đa thức. - Một số định lý về phân tích đa thức thành nhân tử của các đa thức bất kh¶ quy.  VÒ thùc tiÔn gi¶ng d¹y: - Nghiên cứu nội dung, chơng trình sách giáo khoa để nắm đợc mức độ, giíi h¹n néi dung kiÕn thøc cã thÓ cung cÊp cho häc sinh. - Vận dụng các nội dung lý thuyết ở mức độ phù hợp vào giảng dạy ph©n ®a thøc vµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ë ch¬ng tr×nh §¹i sè cÊp THCS. - Thùc tÕ vËn dông vµo mét bµi gi¶ng cô thÓ trong phÇn ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. IV. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: - Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý thuyÕt. - Ph¬ng ph¸p thö nghiÖm s ph¹m. - Ph¬ng ph¸p ®iÒu tra thùc tiÔn. V. Giíi h¹n, ph¹m vi nghiªn cøu: - §Ò tµi chØ tËp trung nghiªn cøu viÖc vËn dông mét sè kiÕn thøc vÒ ®a thøc mét Èn, nghiÖm cña ®a thøc mét Èn vµo gi¶ng d¹y phÇn ph©n tÝch đa thức (một ẩn) thành nhân tử của chơng trình đại số lớp 8. PhÇn hai I.. C¸c néi dung lý thuyÕt c¬ së:. 1. Nh¾c l¹i c¸c cÊu tróc §¹i sè:  §Þnh nghÜa phÐp to¸n hai ng«i: Gi¶ sö A lµ mét tËp kh«ng rçng. Một ánh xạ: f : AA  A đợc gọi là một phép toán hai ngôi trên A. Với mỗi cặp (x,y)  AA, ảnh f (x,y) đợc gọi là hợp thành của cặp (x,y) và còn đợc viết gọn là f(x,y). Nếu ký hiệu ánh xạ f bởi dấu “+” thì đợc ký hiệu bởi x+y và phép toán đã cho đợc gọi là phép cộng, x+y đợc gọi là tổng của x và y. Nếu ký hiệu ánh xạ f bởi dấu "." thì f(x,y) đợc ký hiệu bởi x.y và phép toán đợc gọi là phép nhân, x.y đợc gọi là tích của x và y.  §Þnh nghÜa nöa nhãm, nöa nhãm giao ho¸n, vÞ nhãm: PhÐp to¸n hai ng«i f trªn tËp hîp A cã tÝnh chÊt kÕt hîp nÕu f [f(x,y),z] = f [x,f(y,z)]..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> víi mäi x,yA . NÕu phÐp to¸n lµ phÐp céng th× tÝnh chÊt kÕt hîp cã nghÜa lµ: (x+y)+z = x+(y+z) víi x,y,zA. NÕu phÐp to¸n lµ phÐp nh©n th× tÝnh chÊt kÕt hîp cã nghÜa lµ: (x.y).z = x.(y.z) víi x,y,zA. + Phép toán hai ngôi f đợc gọi là giao hoán nếu f(x,y) = f(y,x) với x,yA. + Một tập hợp A cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp đợc gọi là một nöa nhãm. + Một nửa nhóm đợc gọi là nửa nhóm giao hoán nếu phép toán có tính chÊt giao ho¸n. + Một nửa nhóm nhân đợc gọi là một vị nhóm nếu nó có một phần tử eA sao cho xe = ex = x với xA., e đợc gọi là phần tử đơn vị. Nửa nhóm cộng A đợc gọi là một vị nhóm nếu mỗi phần tử aA đều tồn t¹i mét phÇn tö a’A sao cho a+a’ = 0 = a’+a. a’ đợc gọi là phần tử đối của a và đợc ký hiệu là -a. Nếu phép toán trong nhóm có tính chất giao hoán thì ta nói đó là một nhãm giao ho¸n hay nhãm Aben. - Một tập con B của nhóm A đợc gọi là một nhóm con của nhóm A nếu B cũng là một nhóm đối với phép toán trong A.  §Þnh nghÜa vµnh, vµnh giao ho¸n, vµnh con: - Tập hợp A đợc gọi là một vành nếu trên A có phép cộng và phép nhân sao cho: i. A víi phÐp céng lµ mét nhãm giao ho¸n. ii. A víi phÐp nh©n lµ mét vÞ nhãm. iii. Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với ba phần tử tuỳ ý lµ x,y,zA . Ta cã: x(y+z) = xy+xz (y+z)x = yx+zx. - Vành A đợc gọi là vành giao hoán nếu phép nhân giao hoán. - Một tập con B của vành A đợc gọi là một vành con của nhóm A nếu b cũng là một vành con đối với phép toán trong A  §Þnh nghÜa trêng, trêng con: - Một trờng là một vành giao hoán có đơn vị khác không và mọi phần tử khác 0 đều có nghịch đảo. - Tập con B có ít nhất hai phần tử của trờng A đợc gọi là một trờng con của trờng A nếu B cũng là một trờng đối với các phép toán trong A. 2. Nh¾c l¹i vÒ ®a thøc:  Vµnh ®a thøc mét Èn: Giả sử A là một vành con của vành E giao hoán có đơn vị, uE. Phần tử a0+a1u+a2u2+...+anun+... trong đó aiA với mọi i = 0,1,...,n,... và chỉ có mét sè h÷u h¹n ai0 (1). đợc gọi là một vành đa thức của phần tử u trên vành A..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tập hợp các đa thức của u trên A đợc ký hiệu bởi A[u]. Nếu tồn tại một đa thức dạng (1) với các ai không đồng thời bằng 0 mà: a0+a1u+a2u2+...+anun = 0 KÐo theo mäi ai = 0. * §Þnh lý vÒ phÐp chia ®a thøc (phÐp chia hÕt vµ chia cã d), hÖ qu¶: -Gi¶ sö K[x] lµ vµnh ®a thøc trªn trêng K. - Khi đó với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) 0 tồn tại duy nhất hai ®a thøc q(x) vµ r(x)sao cho: f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hoÆc bËc r(x) < bËc g(x). q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d. NÕu r(x) = 0 th× ta nãi f(x) chia hÕt cho g(x) vµ ký hiÖu f(x):g(x) NÕu r(x) 0 th× ta nãi f(x) chia cho g(x) cã d. -Hệ quả: Giả sử K là một trờng f(x)  K[x]và aK, khi đó f(a) là d trong phÐp chia f(x) cho x-a. *§Þnh nghÜa nghiÖm cña mét ®a thøc mét Èn: Giả sử A là một vành. Phần tử A đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x)A[x] nÕu f() = 0.  §Þnh lý B¬du vÒ nghiÖm cña mét ®a thøc: Gi¶ sö K lµ mét trêng. PhÇn tö K lµ nghiÖm cña ®a thøc f(xa0+a1u+a2u2+...+anun)=0[x] khi vµ chØ khi f(x) chia hÕt chi nhÞ thøc x-a 3. Nh¾c l¹i vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.  §Þnh nghÜa ®a thøc bÊt kh¶ quy: Đa thức f(x)  0 và khác ớc của 1 đợc gọi là đa thức bất khả quy nếu từ đẳng thức f(x) = g(x).h(x) suy ra g(x) hoặc h(x) là ớc của đơn vị.  Tiªu chuÈn Aidenxtain¬: Gi¶ sö f(x) = a0+a1x+a2x2+...+anxn = 0 víi c¸c aiZ. NÕu cã mét sè nguyªn P tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: i. P kh«ng ph¶i lµ íc cña an. ii. P lµ íc cña ai, víi i = 0,1,...,n-1. iii. P2 kh«ng ph¶i lµ íc cña a0. th× lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy trong Q[x].  Một số mệnh đề về đa thức bất khả quy: - Mệnh đề 1: Giả sử K là một trờng. Nếu P(x) là một đa thức bất khả quy thuéc K[x] cßn f(x) lµ mét ®a thøc tuú ý thuéc K[x] th× f(x) chia hÕt cho P(x) hoÆc nguyªn tè víi P(x). - Mệnh đề 2: Giả sử K là một trờng. Trong vành K[x] nếu đa thức bất kh¶ quy Q(x) lµ íc cña tÝch f(x).g(x), th× P(x) lµ íc cña f(x) hoÆc g(x). - Mệnh đề 3: Giả sử K là một trờng. Trong vành K[x] nếu tích f(x).g(x) chia hÕt cho h(x) vµ [g(x), h(x)] = 1 th× f(x) chia hÕt cho h(x). - Mệnh đề 4: Giả sử K là một trờng. Trong vành K[x] nếu f(x) chia hết cho hai ®a thøc nguyªn tè cïng nhau th× f(x) chia hÕt cho tÝch cña chóng..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> . §Þnh lý vÒ sù ph©n tÝch mét ®a thøc (cã bËc n1) thµnh tÝch c¸c ®a thøc bÊt kh¶ quy. Giả sử K là một trờng. Mỗi đa thức f(x))K[x] có bậc n1 đều phân tích đợc thành những đa thức bất khả quy. II.. VËn dông c¸c néi dung lý thuyÕt trªn vµo thùc tiÔn gi¶ng d¹y. 1. T×m hiÓu giíi h¹n cña néi dung, ch¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa: - Trong chơng trình Đại số 7 chơng IV học sinh đã đợc học khái niệm ®a thøc, bËc cña ®a thøc, c¸ch t×m gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i mét gi¸ trÞ của ẩn, định nghĩa nghiệm cuả một đa thức, bớc đầu học sinh đã biết cách tìm nghiệm của một đa thức, một số đa thức đơn giản (bậc nhất vµ bËc hai). - Trong chơng I của sách giáo khoa Đại số 8 học sinh đã đợc học về các ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, vÒ phÐp chia ®a thøc (phÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d). Nhng häc sinh míi chØ biÕt c¸ch phân tích đa thức thành nhân tử ở các đa thức tơng đối đơn giản, có bËc thÊp b»ng mét sè c¸ch th«ng thêng, cha cã sù liªn hÖ kÕt nèi gi÷a c¸c kiÕn thøc vÒ nghiÖm cña ®a thøc víi viÖc ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö, vÒ gi¸ trÞ cña ®a thøc, d trong phÐp chia cña ®a thøc víi việc tìm nghiệm của đa thức ... nên học sinh cha có đợc sự hiểu biết mét c¸ch toµn diÖn vµ cã hÖ thèng vÒ ®a thøc. 2. Nh÷ng néi dung kiÕn thøc cÇn cung cÊp vµ lµm râ cho häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vÒ ®a thøc, ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:  C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n: - Một đa thức của các biến x,y,....,z là một biểu thức nguyên trong đó c¸c ch÷ x,y,...,x lµ c¸c biÕn. - NÕu t¹i x=a ®a thøc f(x) cã gi¸ trÞ b»ng 0 th× ta nãi a lµ mét nghiÖm cña ®a thøc f(x). - Phân tích một đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa là biến đổi nó thành tích của những đơn thức và đa thức.  Các phơng pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thøc. - Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö. - Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p. - Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> - Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch thªm bít cïng mét h¹ng tö. Với một cặp đa thức A(x) và B(x) trong đó B(x)  0: tån t¹i cÆp ®a thøc Q(x) vµ R(x) sao cho: A(x) =B(x).Q(x)+R(x) trong đó R(x) =0 hoặc bậc của R(x) thấp hơn bËc cña B(x). - Nếu R(x) =0 ta đợc phép chia hết. - Nếu R(x)  0 ta đợc phép chia có d, khi đó Q(x) là thơng và R(x) là d cña phÐp chia A(x) cho B(x) . + Ví dụ1: A(x) =10x2-7x+a (aQ) xác định a sao cho A(x) chia hết cho 2x-3. §Æt phÐp chia ®a thøc: 10x2-7x+a 2x-3 2 10x -15x 5x+4 8x+a -8x-12 a+12 §Ó A(x) chia hÕt cho 2x-3 ta ph¶i cã: a+12=0 a=-12 VËy a=-12 th× A(x) chia hÕt cho 2x-3 +VÝ dô 2: Cho ®a thøc: A(x) = a2x3+3ax2-6x-2a (a  Q) Xác định a sao cho A(x) chia hết cho (x+1) +§Æt phÐp chia ®a thøc: a2x3+3ax2-6x-2a x+1 2 3 2 2 -a x +a x ax2+(3a-a2)x+(a2-3a-6) 2 2 (3a-a )x -6x-2a -(3a-a2)x2+(3a-a2)x -a2+a+6 §Ó A(x) chia hÕt cho x+1 ta ph¶i cã: -a2+a+6=0 (a+2)(3-a)=0 . a+2=0 a=-2 3-a=0 a=3 VËy a=-2 hoÆc a=3 th× A(x) chia hÕt cho x+1 *§Þnh lý B¬du vÒ nghiÖm cña mét ®a thøc: Gi¶ sö K lµ mét trêng. PhÇn tö K[x] khi vµ chØ khi f(x) chia hÕt cho nhÞ thøc x-a. VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc 5x3-2x-3 thµnh nh©n tö, dÔ thÊy x=1 lµ mét nghiệm , theo định lý Bơdu thì đa thức 5x3-2x-3 chia hết cho x-1. Thực hiện phép chia ta đợc: 5x3-2x-3 =(x-1)(5x2+5x+3) VÝ dô 2:Ph©n tÝch ®a thøc f(x)=3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 thµnh nh©n tö. DÔ thÊy x=1 lµ mét nghiÖm Vì vậy đa thức đã cho chia hết cho x-1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Thức hiện phép chia ta đợc: f(x)=(x-1)(3x4- 3x3-5x2-x-2) DÔ thÊy 3x4- 3x3-5x2-x-2 cã nghiÖm lµ x=-1 Thực hiện phép chia ta đợc: 3x4- 3x3-5x2-x-2=(x+1)(3x3-6x2+x-2) DÔ thÊy r»ng 3x3-6x2+x-2 cã nghiÖm x=2 V× thÕ 3x3-6x2+x-2=(x-2)(3x2+1) VËy 3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x2+1). *Kh¸i niÖm ®a thøc bÊt kh¶ quy: Đa thức f(x) 0 và khác ớc của 1 đợc gọi là đa thức bất khả quy nếu từ đẳng thức f(x)=g(x).h(x) suy ra g(x) hoặc h(x) là ớc của đơn vị. VÝ dô: Z lµ vµnh sè nguyªn. - Sè nguyªn m  z[x] lµ bÊt kh¶ quy khi vµ chØ khi m lµ sè nguyªn tè. - §a thøc ax+b  Z[x], a  0 lµ bÊt kh¶ quy khi vµ chØ khi (a,b)=1 - Cô thÓ 3x+5 lµ bÊt kh¶ quy. vÒ ®a thøc bÊt kh¶ quy:  Tiªu chuÈn Aidenxtain¬ 2 Gi¶ sö f(x)=a0+a1x+a2x +...+anxn víi c¸c ai Z. NÕu cã mét sè nguyªn tè P tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: - P kh«ng ph¶i lµ íc cña an. - P lµ íc cña ai, víi i=0,1,...,n-1. - P2 kh«ng ph¶i lµ íc cña a0. - Th× f(x) lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy trong Q[x] VÝ dô: f(x)=2x3-3x2+9x-3 lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy trong Q[x] v× sè nguyªn tè P=3 tho¶ m·n tiªu chuÈn Aidenxtain¬. VÝ dô: H·y lËp mét ®a thøc bÊt kh¶ quy trong Q[x] cã bËc 7? Chän P=2, f(x)=x7-4x6 +8x3-6x+6 lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy trong Q[x]. 3.Mét sè bµi tËp vËn dông vµ c¸ch gi¶i:  C¸c bµi tËp vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p t¸ch 1 sè h¹ng thµnh nhiÒu sè h¹ng kh¸c. VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 3x2-8x+4 NhËn xÐt: §a thøc trªn kh«ng chøa thõa sè chung. Kh«ng cã d¹ng mét hằng đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng. Ta biến đổi ®a thøc nµy thµnh ®a thøc cã nhiÒu sè h¹ng h¬n: C¸ch 1: (t¸ch sè h¹ng thø 2) 3x2-8x+4 =3x2-6x-2x+4 =(3x2-6x)-(2x-4) =3x(x-2)-2(x-2) =(x-2)(3x-2) C¸ch 2:(t¸ch sè h¹ng thø nhÊt) 3x2-8x+4 =4x2-8x+4-x2 =(2x-2)2 -x2 =(2x-2+x)(2x-2-x) =(3x-2)(x-2) Tæng qu¸t: §Ó ph©n tÝch tam thøc bËc hai ax 2+x+c thµnh thõa sè ta t¸ch sè h¹ng bx=b1x+b2x sao cho b1/a=c/b2 tøc lµ b1b2=ac.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Trong thùc hµnh ta lµm nh sau: Bíc 1: T×m tÝch ac Bíc 2: Ph©n tÝch a.c ra thµnh tÝch cña 2 thõa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch. Bíc 3: Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b. VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 4x2-4x-3 (a=4,b=-4,c=-3) ac=4.(-3)=-12 -12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1 V× -6+2=-4 =b nªn ta cã thÓ lµm nh sau: C¸ch 1: 4x2-4x-3 =4x2-6x+2x-3 =(4x2-6x)+(2x-3) =2x(2x-3)+(2x-3) =(2x-3)(2x+1) C¸ch 2: T¸ch sè h¹ng thø 3: 4x2-4x-3 =4x2-4x+1-4 =(4x2-4x+1)-4 =(2x-1)2-22 =(2x-1-2)(2x-1+2) =(2x-3)(2x+1) Qua hai vÝ dô trªn ta thÊy viÖc t¸ch mét sè h¹ng thµnh nhiÕu sè h¹ng khác thờng nhằm mục đích: + Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung (cách 1). + Lµm xuÊt hiÖn hiÖu cña hai b×nh ph¬ng (c¸ch 2) Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lÖ ngêi ta thêng dïng c¸ch lµm xuÊt hiÖn nghiÖm cña ®a thøc. Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: Số a đợc gọi là nghiệm của đa thøc f(x) nÕu f(a)=0. Nh vËy nÕu ®a thøc f(x) cã nghiÖm x-a th× nã chøa thõa sè x-a. Gi¶ sö ®a thøc: a0xn+a1xn-1+...+an víi a0,a1,...,an-1,an  Z Cã nghiÖm x=a (a  Z) => a0xn+a1xn-1+...+an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+...+bn –1) trong đó b0,b1,...,bn-1,bn  Z. Sè h¹ng cã bËc thÊp nhÊt cña tÝch ë vÕ ph¶i b»ng-abn-1. Sè h¹ng cã bËc thÊp nhÊt ë vÕ ph¶i b»ng an  -abn-1=an tøc lµ a lµ íc cña an. VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. x3-x2-4. LÇn lît kiÓm tra víi x=1,x=2,x=4 ta thÊy f(2)=23-22-4=0 đa thức có nghiệm x=2 do đó chứa thừa số (x-2) C¸ch 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4 =(x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4) =x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2+x+2) C¸ch 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4 =(x3-8)-(x2-4) =(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2) =(x-2)(x2+2x+4-x-2).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> =(x-2)(x2+x+2) Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức nên nhớ 2 định lý sau: a. NÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× 1 lµ nghiÖm cña đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x-1. VÝ dô; x3-5x2+8x-4 x-1 3 2 -x -x x2-4x+4 2 -4x +8x-4 - -4x2+4x 4x-4 4x-4 o 3 2 vËy x -5x +8x-4 =(x-1)(x2-4x+4) =(x-1)(x-2)2 b. NÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc lÎ th× -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc. ®a thøc chøa thõa sè x+1 VÝ dô: x3-5x2+3x+9 Ta cã 9-5=1+3  -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè x+1 x3-5x2+3x+9 x+1 -x3+ x2 x2- 6x+9 -6x2+3x+9 --6 x2-6x 9x+9 -9x+9 0 VËy x3-5x2+3x+9 =(x+1)(x2-6x+9) =(x+1)(x-3)2 §Ó nhanh chãng lo¹i trõ c¸c íc cña hÖ sè tù do kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc, cã thÓ dïng nhËn xÐt sau: NÕu a lµ nghiÖm nguyªn cña ®a thøc f(x) vµ f(-1) 0 th×: f(1):(a-1) vµ f(-1): (a+1) đều là số nguyên. VÝ dô: f(x)=4x3-13x2+9x-18 ¦(18)=1,2,3,6,9,18 f(1)=4-13+9-18=-18  0 f(-1)=-4-13-9-18=-44  0. . − 18 ; − 3− 1 − 18 ; 6−1 − 18 ; − 6− 1 − 18 − 18 − 18 ; ; ; −18 18− 1 ❑ Z nen ❑ 9− 1 − 9 −1 − 18 −1. cña f(x) DÔ thÊy: -3;6;9;18 kh«ng lµ nghiÖm cña f(x). 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> . ¿ − 44 ¿∉Z ¿ 2+ 1. 2 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña f(x). DÔ thÊy x=3 lµ nghiÖm cña f(x) 4x3-13x2+9x-18 =4x3-12x2-x2+3x+6x-18 =(4x3-12x2)-(x2-3x)+(6x-18) =4x2(x-3)-x(x-3)+6(x-3) =(x-3)(4x2-x+6)  Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn hai b×nh ph¬ng hoÆc xuÊt hiÖn nh©n tö chung. VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 4x4+81 =4x4+36x2+81-36x2 =(4x4+36x2+81)-(6x)2 =(2x2+9)2-(6x)2 =(2x2+9-6x)(2x2+9+6x) VÝ dô2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. x7+x2+1 =x7-x+x2+x+1 =(x7-x)+(x2+x+1) =x(x6-1)+(x2+x+1) =x(x3-1)(x3+1)+(x2+x+1) =x(x-1)(x3+1)(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)[x(x-1)(x3+1)+1] =(x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1)  Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1+x3m+2+1 đều chứa thừa số (x2+x+1)  Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đổi biến:  VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x(x+4)(x+6)(x+10)+128 =(x2+10x)(x2+10x+24)+128 §Æt x2+10x+12=y  §a thøc cã d¹ng (y-12)(y+12)+128=y2-16=(y+4)(y-4)  x(x+4)(x+6)(x+10)+128=(x2+10x+16)(x2+10x+8) =(x+2)(x+8)(x2+10x+8) Nhận xét: Nhờ phơng pháp đổi biến ta đã đa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y. VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. A=x4+6x3+7x2-6x+1 A=x4-6x3-2x2+9x2-6x+1 A=x4+(6x3-2x2)+(9x2-6x+1) A=x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 A=(x2+3x-1)2  Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định: tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.  4 VÝ3dô: Ph©n 2 x -6x +12x -14x+3 Thö: x= 1; 3 kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích đợc thành.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> thõa sè th× ph¶i cã d¹ng: (x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+ (ad+bc)x+bd =x4 -6x3 +12x2 -14x+3  a+c=-6 ac+b+d=12 ad+bc=-14 bd=3 bd=3 mµ b,d Z => b  1; 3 Víi b=3 => d=1  a+c=-6 ac=8 a+3c=-14 a=-2 c=-4 VËy: a=-2 b=3 c=-4 d=1 => x4-6x3+12x2-14x+3. =(x2-2x+3)(x2-4x+1).  Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng: dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:  VÝ 2 P=x (y-z)+y2(x-z)+x2(x-y) Thay x=y => P chøa thõa sè x=y nếu thay x=y,y=z,z=x thì P không đổi (Ta nói đa thức P có thể hoán vị vßng quanh x y z x) Nên P đã chứa thừa số x-y thì cũng chứa thõa sè y-z,z-x.  P cã d¹ng K(x-y)(y-z)(z-x) Nhận thấy phải là hằng số (không chứa biến) vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x,y,z còn (x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biÕn x,y,z. Ví đẳng thức x2(y-x)+y2(z-x)+z2(x-y)=K(x-y)(y-z)(z-x) nên ta gán cho các biến x,y,z các giá trị riêng chẳng hạn x=2,y=1,z=0 ta đợc: 4.1+1.(-2)+0=K.1.1.(-2)  -2K=2  K=-1 VËy P=-(x-y)(y-z)(z-x) hay P=(x-y)(y-z)(x-z).  C¸c bµi tËp vÒ t×m nghiÖm cña ®a thøc: VÝ dô 1: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ®a thøc: f(x)=2x 4+7x3-2x213x+6 råi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. H¹ng tö tù do b»ng 6.  ¦(6)=+ 1; 2; 3; 6. f(-1)=2-7-2+13+6=12  0.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>  -1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy. f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy. f(-3)=162-189-18+39+6=0 nªn -3 lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy. f(1)=2+7-2-13+6=0 nªn 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy. f(2)=32+56-8-26+6=60  0 nªn 2 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy. f(3)=162+189-18-39+6=300  0 nªn 3 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy. 1 3 −1 −3 ; ; ; §a thøc cã mét nghiÖm h÷u tû n÷a th× mÉu sè cña nã 2 2 2 2 phải là ớc của 2, Do đó có thể 1,2,-1,-2 sẽ là mẫu số của nghiệm này.Nên ¿ ¿. f ( x)=2 .. 1 1 1 1 +7 . −2 −13 +6=0 16 8 2 2 ¿ ¿. cã thÓ lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy.. Suy ra 1/2 lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy. V× ®a thøc f(x) cã bËc 4 nªn nã cã tèi ®a 4 nghiÖm, suy ra c¸c nghiÖm cña nã lÇn lît lµ: 1;-2;-3;1/2. *Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hÕt cho x-2;x+2;x+3;x-1/2 . => f(x)=(x-1)(x+2)(x+3)(x-1/2)  VÝ dô 2: T×m nghiÖm cña ®a thøc råi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. f(x)=x3-6x2+11x-6 H¹ng tö tù do:6  ¦(6)= 1; 2 ;+-3 ; 6. f(1)=1-6+11-6=0 => 1 lµ nghiÖm cña f(x) f(2)=8-24+22-6=0 => 2 lµ nghiÖm cña f(x) f(3)=27-54+33-6=0 => 3 lµ nghiÖm cña f(x) V× ®a thøc f(x) cã bËc lµ 3 nªn nã cã tèi ®a 3 nghiÖm, suy ra c¸c nghiÖm cña nã lµ 1,2,3. Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3.  f(x)=x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).  C¸c bµi tËp vÒ phÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d cña ®a thøc:  Ví dụ 1: Xác định số a sao cho x3-3x+a chia hết cho (x-1)2 C¸ch 1: §Æt phÐp chia: x3-3x+a x2-2x+1 - x3-2x2+x x+2 2x2-4x+a - 2x2-4x+2 a-2 V× phÐp chia lµ phÐp chia hÕt nªn a-2=0  a=2.  Cách 2: Dùng phơng pháp hệ số bất định:.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> NÕu ®a thøc x3-3x+a chia hÕt cho ®a thøc x2-2x+1 th× th¬ng lµ nhÞ thøc bËc nhÊt cã h¹ng tö bËc cao nhÊt lµ x3:x2=x H¹ng tö bËc thÊp nhÊt lµ a:1=a Nh vậy x3-3x+a đồng nhất với ( x2-2x+1)(x+a) tức là đồng nhất với x3+ (a-2)x2+(1-2a)x+a. Do đó các hệ số tơng ứng phải bằng nhau tức là: a-2=0 1-2a=-3  a=2. C¸ch 3: Ph¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng: Gäi th¬ng cña phÐp chia lµ Q(x) ta cã: x3-3x+a=(x-1)2.Q(x) víi  R. Víi x=1 th× 1-3.1+a=0.Q(1) hay –2+a=0 tøc lµ a=2. Thö l¹i (x3-3x+2):(x2-2x+1)=x+2 . Ví dụ 2: Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thøc 2n2+3n+3 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc (2n-1).  §Æt phÐp chia: 2n2+3n+3 2n+1 2 -2n -n n+2 4n+3 - 4n-2 5 2 §a thøc 2n +3n+3 kh«ng chia hÕt cho ®a thøc(2n-1) nhng cã nh÷ng gi¸ trị nguyên của n để giá trị của 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của 2n-1. VËy (2n-1) ph¶i lµ ¦(5)= 1; 5. 2n-1=1 2n-1=-1 2n-1=5 2n-1=-5 n=1 n=0 n=3 n=-2 VËy víi n=-2.0.1.3 th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2n2+3n+3 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc (2n-1).. phÇn ba KÕt luËn. D¹y häc gi¶i c¸c bµi to¸n th«ng qua c¸c ph¬ng ph¸p lµ c¶ mét nghÖ thuËt để giúp các em nắm đợc bài, hiểu bài và có hứng thú, kỹ năng làm bài, nhất là các bài tập khó trong giờ luyện tập ,chuyên đề. D¹y häc c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i c¸c bµi to¸n cã ý nghÜa rÊt quan trọng đòi hỏi ngời giáo viên phải say mê tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu các phơng pháp và cách vận dụng để dạy cho học sinh của mình..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tợng học sinh chúng ta đều phải truyền tải các nội dung trên. Mà cần xác định đúng đối tợng để cung cấp những kiến thức cơ bản phù hợp với trình độ và quỹ thời gian của giờ học. Cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức từ cơ bản đến phức tạp để tạo tiền đế cho học sinh có t duy sáng tạo trong việc giải các bµi to¸n n©ng cao. Bản thân tôi mới nghiên cứu đề tài này, áp dụng dạy cho học sinh của khối 8 và thu đợc kết quả khả quan. Tôi mong muốn đợc có nhiều ý kiến đóng góp và giúp đỡ của các thầy cô giáo và bạn đọc. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n !. Ngµy 01 th¸ng 05 n¨m 2006. Ngêi viÕt:. L¬ng ThÞ H¬ng. TiÕt 15:. Gi¸o ¸n d¹y thùc nghiÖm. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng vµi ph¬ng ph¸p kh¸c A. Môc tiªu: - Häc sinh biÕt c¸ch ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö vµ ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö. - VËn dông linh ho¹t vµo gi¶i bµi tËp. B. ChuÈn bÞ cña gi¸o viªn vµ cña häc sinh. - Học sinh đọc kỹ các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Đọc kü bµi míi ë nhµ. - Giáo viên: Soạn bài, đọc tài liệu tham khảo, phấn màu. C. Hoạt động của thày và trò. I. KiÓm tra bµi cò. + Häc sinh 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 1/2(x2+y2)-2x2y2=1/2[(x2+y2)-4x2y2] =1/2[(x2+y2)-(2xy)2] =1/2[(x2+y2-2xy) [(x2+y2+2xy)] =1/2[(x-y)2(x+y)2] GV: Em đã dùng phơng pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử. GV: Uèn n¾n c¸ch tr×nh bµy bµi cña häc sinh. + Häc sinh 2: T×m x biÕt: (2x-3)2-(x+5)2=0  (2x-3+x+5)[2x-3-(x+5)]=0  (3x+2)(2x-3-x-5)=0  (3x+2)(x-8)=0  3x+2=0 x-8=0 x=-2/3  x=8 GV: Dùng phơng pháp nào để phân tích vế trái thành nhân tử? A.B=0 A=0 B=0 GV: Ph©n tÝch x2+5x+6 thµnh nh©n tö: Dùng các phơng pháp đã học để phân tích đa thức trên thành nhân tử? HS: Không thể dùng các phơng pháp đã học để phân tích đợc. GV: §ã chÝnh lµ néi dung bµi häc h«m nay!. II. Bµi míi. GV: Giíi thiÖu néi dung bµi häc 1. T¸ch mét h¹ng tö thµnh GV:HS: Ta kh«ng thÓ dïng c¸c phnhiÒu h¹ng tö. ơng pháp đã học để phân tích đa thức a. Phân tích x2+5x+6 thành nhân trªn thµnh nh©n tö. tö? ? Em nào tìm đợc cách phân tích C1: x2+5x+6=x2+2x+3x+6 HS: Suy nghÜ c¸ch tr¶ lêi =(x2+2x)+(3x+6) GV:Nãi vµ ghi lªn b¶ng =x(x+2)+3(x+2) GV:Ta t¸ch 5x=2x+3x =(x+2)(x+3) áp dụng các phơng pháp đã học để ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö GV:Häc sinh lªn b¶ng lµm bµi? C2: (x2+3x)+(2x+6) GV:Em đã dùng phơng pháp nào để =x(x+3)+(2(x+3) ph©n tÝch? =(x+3)(x+2) GV:Cßn c¸ch nhãm kh¸c? GV:Em nào có cách khác để tách 5x? HS:Kh«ng GV:NhËn xÐt 6=2.3 5x=2x+3x GV:T¬ng tù nh vÝ dô 1 c¶ líp suy b. Ph©n tÝch x2-x-6 thµnh nh©n tö. nghÜ? x2-x-6=x2-3x+2x-6 HS: -6=-3.2 =(x2-3x)+(2x-6) --x=2x+3x =x(x- 3)+2(x-3).

<span class='text_page_counter'>(16)</span> GV:Gäi 1 häc sinh lªn b¶ng lµm bµi? =(x-3)(x+2) GV:Cã c¸ch nhãm kh¸c GV:Mét ®a thøc kh«ng chøa thõa sè chung, kh«ng cã d¹ng mét h»ng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng, Ta biến đổi đa thøc Êy thµnh ®a thøc Êy thµnh ®a thøc cã nhiÒu sè h¹ng h¬n. GV:Muèn ph©n tÝch ®a thøc trªn thµnh nh©n tö ta t¸ch h¹ng tö nµo? c.Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. HS:Suy nghÜ tr¶ lêi? 3x2-8x-4 -8x=-6x-2x C1. 3x2-8x-4=3x2-6x-2x+4 =(3x2-6x)-(2x+4) GV:Cã thÓ t¸ch h¹ng tö kh¸c kh«ng? =3x(x-2)-2(x-2) 2 2 2 2 HS: 3x =4x -x C2. 3x -8x-4=4x2-8x+4-x2 =(4x2-8x+4)-x2 =(2x-2)2-x2 =(2x-2+x)(2x-2-x) GV:Cã mét sè bµi ph©n tÝch ®a thøc =(3x-2)(x-2) thµnh nh©n tö kh«ng thÓ dïng c¸c 2. Thªm bít cïng mét h¹ng tö phơng pháp đã học để phân tích đợc a. Phân tích đa thức thành nhân tử. đó là phơng pháp thứ hai. x4+4 GV:NÕu dïng ph¬ng ph¸p t¸ch 1 h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö th× không thể làm đợc ở bài toán trên. GV: Em nào làm đợc? HS:Suy nghÜ tr¶ lêi? GV:H·y thªm bít cïng mét h¹ng tö nào đó để phân tích đợc. Lu ý có x4+4=(x2)2+22 tæng 2 b×nh ph¬ng. = (x2)2+4x2+22-4x2 =(x+2)2-(2x)2 =(x2+2+2x)(x2+2-2x) GV:Cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p thªm bớt cùng một hạng tử để phân tích đa b. Phân tích thành nhân tử: thøc trªn thµnh nh©n tö kh«ng? x7+x2+1= x7-x+x2+x+1 HS:Suy nghÜ =(x7-x)+(x2+x+1) GV:Gäi 1 häc sinh lªn b¶ng =x(x6-1)+( x2+x+1) C¶ líp cïng lµm. =x(x3+1)(x3-1)+ (x2+x+1) GV:Qua 2 vÝ dô trªn häc sinh rót ra =x(x3+1)(x-1)(x2+x+1)+( x2+x+1) nhËn xÐt? =( x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) GV: (chèt) Qua 2 vÝ dô trªn ta nhËn thÊy thªnm, vµ bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn hiÖu hai b×nh ph¬ng (VD a.) hoÆc lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung nh ë ( VD b.) GV:Dùng phơng pháp nào để phân tÝch ®a thøc nµy thµnh nh©n tö? 3. LuyÖn tËp t¹i líp Gäi 1 häc sinh lªn b¶ng lµm bµi. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> nh©n tö. a. x2-7xy+10y2 =x2-2xy-5xy+102 =(x2-2xy)-(5xy-10y2) =x(x-2y)-5y(x-2y) GV:Dùng phơng pháp nào để phân =(x-2y)(x-5y) tÝch ®a thøc nµy thµnh nh©n tö? b. x4+64 =(x2)2+16x2+82-16x2 =(x2+8)2-(4-x)2 =(x2+8-4x)(x2+8+4x) GV:Kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö rÊt quan träng nã gióp chúng ta giải các bài tập quy đồng mẫu thức các phân thức trong chơng II, t×m x... V× vËy c¸c em ph¶i nhËn xÐt ®Çu bµi vµ rÌn kü n¨ng thµnh th¹o ph©n tÝch 1 đa thức thành nhân tử và áp dụng phơng pháp phù hợp với đề bài. III. Híng dÉn vÒ nhµ. 1. Xem kÜ l¹i c¸c bµi tËp trªn líp. 2. Bµi tËp vÒ nhµ: 1,2,3 trang 22. Tµi liÖu tham kh¶o 1. S¸ch gi¸o khoa §¹i Sè 7.. NXB Gi¸o Dôc..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 2. S¸ch gi¸o khoa §¹i Sè 8. 3. Một số vấn đề phát triển Đại Số 8 4. To¸n båi dìng häc sinh líp 8 5. Đa thức-Phân thức đại số-Phơng trình. X¸c nhËn cña nhµ trêng. NXB Gi¸o Dôc. Vò H÷u B×nh. Vò H÷u B×nh. Bé GD-§T.

<span class='text_page_counter'>(19)</span>