ChungminhBangNguyenHammorong

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG x d ( tan ) dx dx dx 1 2 ∫ x x = 1 ∫ x 2x = ∫ 1. I = ∫ = = ln sin cos tan cos sin x 2 2 x tan 2 2 2 2 2 sin xdx −d ( cos x) d (cos x) dx 1 Cách 2: ∫ = ∫ 2 = ∫ =- ∫ =2 sin x 2 (1 −cos x )(1+cos x ) sin x 1 − cos x 1 1 ∫ ( 1 −cos x + 1+cos x )d ( cos x) 1 1 1− cos x ln =(-ln|1-cosx| + ln|1+cosx|) + C = +C 2 2 1+cos x. |. Rõ ràng. √. 1 −cos x 1+ cos x. x Cách 3: Đặt t = tan 2 =. I=. 2t ) 1 −t 2 dx. ∫ sin x. =. √. x 2 = 2x 2 cos 2 2 sin 2. ⇒. 2dt 1+t 2 = ∫ = 2t 1+t 2. dt =. ∫. dt t. √. tan 2. x 2. =. |tan 2x|. +C. |. nên hai kết quả trên, đều đúng!.. 2dt 1 2 x 2 (1+ tan ) ⇒ dx = 1  t ; thay sinx 2 2 dx. = ln|t| + C = ln|tan. |tan 2x|. 2t 1+t 2. 1 −t 2 1+t 2 ; tanx. (cosx =. x |+C 2. x , chuyển từ biểu thức lượng giác sang biểu thức đại số 2 dx dx dx dx 1 1 ∫ ∫ ∫ π x π x π x π x π 2. ∫ = = = sin( x+ ) sin( + )cos( + ) tan( + )cos 2 ( + ) cos x 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 x π d (tan + ) 2 4 x π = ∫ =ln tan( + ) + C x π 2 4 tan( + ) 2 4 cos xdx d (sin x ) d (sin x ) dx 1 Cách 2: ∫ = ∫ 2 = ∫ = ∫ = 2 cos x 2 (1 −sin x )( 1+ sin x ) cos x 1− sin x 1 1 ∫ ( 1 −sin x + 1+sin x )d (sin x) 1 1 1+sin x ln = (-ln|1-sinx| + ln|1+sinx|) + C = +C 2 2 1− sin x x x 2 sin + cos ¿ 2 2 ¿ x x x π sin +cos √ 2sin ( + ) x x 2 2 2 2 4 x π sin − cos ¿ 1+ sin x Rõ ràng = = = = tan( + ) 2 2 x x x π 2 4 1 −sin x ¿ sin − cos − √ 2cos ( + ) 2 2 2 4 ¿ ¿ ¿ √¿ 2dt x 1 x 1 −t 2 2 (1+ tan 2 ) ⇒ ⇒ Cách 3: Đặt t = tan 2 dt = 2 dx = 1  t ; thay cosx = 1+t 2 2 dx Phương pháp này là biểu thị sinx, cosx, tanx theo t = tan. |. |. √. | | |. |. |. |. |. |.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> I=. ln. dx. ∫ cos x. |1−1+tt |. 2 dt 1+t 2 = ∫ = 1 −t 2 1+t 2. 2 dt. ∫ 1− t2. =. 2 dt. ∫ (1 −t)(1+ t). =. 1. 1. ∫ ( 1 −t + 1+t ) dt. = -ln|1-t| + ln|1+t| + C =. +C. |tan( x2 + π4 )|. = ln. sin x dx 1 ⇒ du = ⇒ v = tanx dx; dv = 2 cos x cos x cos 2 x sin x . tan xdx tan x tan x tan x sin2 xdx AD CT NH TP : I = - ∫ 2 = - ∫ 3 = - I1 cos x cos x cos x cos x cos x dx dx x π sin2 xdx 1− cos2 xdx Với I1 = ∫ 3 = ∫ 3 = ∫ 3 - ∫ = I - ln tan( + ) cos x 2 4 cos x cos x cos x tan x tan x x π Từ đó I = - I1 = - (I - ln tan( + ) ) cos x cos x 2 4 tan x 1 tan x x π x π ⇒ 2I = ⇒ I= + ln tan( + ) +C ( + ln tan( + ) ) + C cos x 2 cos x 2 4 2 4 1  cos x  u  sin x dx du    sin 2 x  dx  dv  dx v  cot x I ∫ 3 2  sin x sin x 4. Đặt  3. I =. dx. +C. ∫ cos 3 x. Đặt u =. |. |. |. |. |. |. |. |. cos 2 x 1  sin 2 x dx dx x cot x cot x.cos x cot x I  dx  dx ∫ 3  ∫ I  ln tan  C  I  ∫ dx   I1 1 3 3 ∫ ∫ 2 sin x sin x sin x sin x 2 sin x sin x sin x Tính cot x cot x x x cot x 1 x cot x  I   I1   I  ln tan  C  2 I ln tan   C  I  ln tan  C sin x sin x 2 2 sin x 2 2 2sin x dx dx 1 1 1 1 x−a ( − )dx = ln 5. ∫ 2 2 = ∫ = +C ∫ 2a x −a x+ a 2a x +a (x −a)( x +a) x −a dx adt a 6. I = ∫ 2 2 Đặt x = atant ⇒ dx = ; √ x2 +a 2 = √ a2 tan 2 t+ a2 = √ a2 (1+ tan 2 t) = 2 cos t cos t √ x +a adt dx x t π ∫ 2 2 = ∫ (cos 2 t ) a = ∫ dt = ln tan( + ) + C , với t = arctan . cos t a 2 4 √ x +a cos t x t x + √ x 2+ a2 2 2 ⇒ dt = (1+ Cách 2: Đặt t = x+ √ x +a dx = dx ⇒ dx = 2 2 )dx = 2 2 2 √ x +a √ x +a2 √ x +a √ x 2 +a2 dt t dx √ x 2 +a 2 dt = ∫ dt = ln|t| + C = ln|x + x2 +a 2| + C Từ đó I = ∫ 2 2 = ∫ √ t √ x +a t √ x2 +a 2 dx a sin t a a2 dt ; √ x2 −a 2 = ⇒ dx = 7. I = ∫ 2 2 Đặt x = − a2 = a.tant 2 2 cos t cos t √ x −a cos t a sint dt 2 dx dt a t π cos t ∫ 2 2 = ∫ = ∫ = ln tan( + ) + C, với t = arccos . cos t x 2 4 sin t √ x −a a. cos t x t x + √ x 2 − a2 ⇒ dt = (1+ Cách 2: Đặt t = x + √ x2 −a 2 )dx = dx = dx 2 2 2 2 2 √x − a √ x − a2 √x −a. | |. |. |. √. |. |.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> √ x 2 − a2. ⇒ dx = 8.. dt. t. xdx. ∫ x2 + a2. 2. 1 2. =. ∫. Từ đó I =. ∫. d (x + a) x 2 +a2. 2. dx. √x. 2. −a. 2. 2. dt ∫ √ x −a 2 t √ x −a 2. =. 1 ln|x2 + a| + C 2. =. dt = ln|t| + C = ln |x + √ x2 −a 2| + C t 2 xdx 1 = ln| ∫ x2 − a2 = 12 ∫ d ( x2 − a) 2 2 x −a. =. 9.. ∫. x2 - a| + C 2. 10.. ∫. 2. 1. x +a ¿ 2 ¿ 1 ¿ = 2 2 2 d(x +a ) ¿ ∫¿. xdx 1 2 2 = 2 √ x +a. 2. 2. x +a ¿. −. 1 2. 2. 2. 2. 1. 2. x +a ¿2 ¿ ¿ ¿. d(x +a ) 1 = ¿ 2 ∫¿. √ x2 +a 2. +C=. +C. 1. xdx. 11.. ∫. 12.. ∫ √ x 2+ a2 dx. √x. 2. −a. ∫ √ x 2+ a2 dx. 2. =. x 2 −a 2 ¿ 2 ¿ 1 ¿ = 2 2 2 d(x − a ) ¿ ∫¿. 1 2. 2. x −a ¿. Đặt x = atant ⇒ dx = a .adt. ∫ cos t .cos 2 t. =. 2. 1 2. 2. = a2.. 1 tan t ( 2 cos t. =. 2. x −a ¿ ¿ ¿ ¿. d(x − a ) 1 = ¿ 2 ∫¿. √ x2 +a 2. dt. 2. 2. adt ; cos 2 t. ∫ cos3 t. = a2. −. 1 2. +C=. √ x2 −a 2. +C. a cos t x t π tan( + ) ) + C, với t = arctan a 2 4. √ a2 tan2 t + a2. |. + ln. √ a2 (1+ tan2 t). =. =. |. . 2. 2. 2. 2. a +x a x Cách 2: I = ∫ √ x + a dx = ∫ 2 2 dx = ∫ 2 2 dx + ∫ 2 2 dx = I1 + I2 √ x +a √ x +a √ x +a 2 a Với I1 = ∫ 2 2 dx = a2 ln |x + √ x2 +a 2| (chọn C = 0) √ x +a 2 x x ⇒ v = √ x2 +a 2 I2 = ∫ 2 2 dx = Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = 2 2 dx √ x +a √ x +a 2 2 2 2 2 ADCT NHTP I2 = x √ x +a - ∫ √ x + a dx = = x √ x +a 2 - I 1 I = I1 + I2 = a2 ln |x + √ x2 +a 2| + x √ x2 +a 2 - I ⇔ I = ( x √ x2 +a 2 + a2 ln |x + √ x2 +a 2| ) + C 2 1 2 2 13. I = ∫ √ x − a dx = ( x √ x2 −a 2 - a2 ln |x + √ x2 −a 2| ) + C 2 a sin t a a2 2 2 dt ⇒ Đặt x = dx = ; √ x −a = − a2 = a.tant 2 2 cos t cos t cos t 2 a sin t 1 sin t 1− cos2 t 2 2 2 2 a tan t dt dt = a2( ∫ 3 dt I = ∫ √ x − a dx = ∫ = a ∫ 3 dt = a ∫ 3 2 cos t cos t cos t cos t ) 1 1 tan t 1 t π t π dt = ln tan( + ) + C Với ∫ 3 dt = ( + ln tan( + ) ) + C; ∫ 2 cos t cos t 2 4 2 4 cos t 2 2 2 2 x −a x a Cách 2: I = ∫ √ x 2 − a2 dx = ∫ 2 2 dx = ∫ 2 2 dx - ∫ 2 2 dx = I2 - I1 √ x −a √ x −a √ x −a 2 a Với I1 = ∫ 2 2 dx = a2. ln |x + √ x2 −a 2| (chọn C = 0) √ x −a 2 x x ⇒ v = √ x2 −a 2 I2 = ∫ 2 2 dx = Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = 2 2 dx √x − a √ x −a 2 2 2 2 2 ADCT NHTP I2 = x √ x −a - ∫ √ x − a dx = = x √ x −a 2 - I 1 ⇔ I= I = I2 - I1 = x √ x2 −a 2 - I - a2 ln |x + √ x2 −a 2| ( x √ x2 −a 2 - a2 ln |x + √ x2 −a 2| ) + C 2 2. 2. √. |. |. |. |. 1. ∫ cos t dt.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Good luck.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>