Đề thi vào 10 chuyên môn Toán (chuyên) năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Lâm Đồng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang). KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN – CHUYÊN Thời gian làm bài: 120 phút Khóa thi ngày: 9, 10, 11/6/2021. Câu 1. (2,0 điểm). Tính giá trị biểu thức: A  4  10  2 5  4  10  2 5 .. Câu 2. (2,0 điểm). Cho B  2  22  23  24  ...  22021  22022. Chứng minh rằng B  2 không phải là số chính phương.. Câu 3. (2,5 điểm). Cho tam giác ABC , đường cao AH  H  BC  . Biết BC  AB  2cm,   300. Tính diện tích tam giác ABC. AC  10cm và CAH. Câu 4. (2,0 điểm). Cho a , b, c là các số nguyên thỏa mãn a  b  20c  c3. Chứng minh rằng a 3  b3  c3 chia hết cho 6.. Câu 5. (2,0 điểm). Trường THCS X có 60 giáo viên. Tuổi trung bình của tất cả thầy giáo và cô giáo là 42 tuổi. Biết rằng tuổi trung bình của các thầy giáo là 50, tuổi trung bình của các cô giáo là 38. Hỏi trường THCS X có bao nhiêu thầy giáo, bao nhiêu cô giáo?. Câu 6. (1,5 điểm).  2x  y  3  x2  9  0 Giải hệ phương trình:  2  y  2 xy  9  0.. Câu 7. (2,0 điểm). Cho phương trình: x 2   m  1 x  m2  2  0 ( x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn 2 x1  x2  4 (biết x1  x2 ).. Câu 8. (2,5 điểm). Cho hình vuông ABCD . Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC và đường tròn  A; AB  chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E ( E khác B ). Tia CE cắt AD tại điểm F . Chứng minh rằng F là trung điểm của AD.. Câu 9. (1,5 điểm). Cho a, b, c là các số dương và a  b  c  6. Tìm giá trị nhỏ nhất. a3 b3 c3 biểu thức: P  2   . a  4ab  b 2 b 2  4bc  c 2 c 2  4ca  a 2   900 . Gọi H là chân đường Câu 10. (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có BAD vuông góc kẻ từ A đến BC . Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K . Chứng minh rằng bốn điểm K , H , D, C cùng thuộc một đường tròn. ------------ HẾT -----------Họ tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:……………………... Giám thị 1:……………………Ký tên………Giám thị 2: ………………Ký tên:……....

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2021 – 2022 (Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang). Môn thi: TOÁN – CHUYÊN Khóa thi ngày: 9, 10, 11/6/2021. ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1 Tính giá trị biểu thức: A  4  10  2 5  4  10  2 5 . (2,0 điểm ) - Lập luận : A  0   A2   4  10  2 5  4  10  2 5   . ĐIỂM. 0,5 điểm 2. 0,5 điểm.  8  2 4  10  2 5 . 4  10  2 5  8  2 6  2 5  8  2. ( 5  1) 2  8  2( 5  1)  6  2 5  ( 5  1) 2  A  1  5.. 0,5 điểm 0,5 điểm. Câu 2 Cho B  2  22  23  24  ...  22021  22022 . Chứng minh rằng (2,0 điểm ) B  2 không phải là số chính phương.. - Biến đổi: B  2  22  23  24  ...  22021  22022  2 B  2  2  2 2  23  24  ...  2 2021  22022 .  2 B  22  23  ...  22022  22023. 0,5 điểm. - Tính được:. 2 B  B  22023  2  B  22023  2. 0,5 điểm. - Tính được: B  2  2 2023  2  2  2 2023. - Lập luận được: Vì 22023 là lũy thừa với số mũ lẻ nên 22023 không là số chính phương. Vậy B  2 không là số chính phương. 0,5 điểm. 0,5 điểm.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Câu 3 Cho tam giác ABC , đường cao AH  H  BC  . Biết AC  10cm, (2,5 điểm )   300. Tính diện tích tam giác ABC. BC  AB  2cm và CAH. A 10cm. 30°. C. B. H. - Tính được: CH  AC .sin 300  5cm AH  AC .cos300  5 3cm. 0,5 điểm. - Viết được: AB 2  HB 2  AH 2.  . AB 2   BC  5   5 3 2. 2. 0,5 điểm. - Lập luận : BC  AB  2cm  AB  BC  2   BC  2    BC  5   75 2. 2.   BC  2  BC  5  BC  2  BC  5   75. - Tính được: BC  16 cm - Vậy S ABC .  . AH .BC 5 3.16   40 3 cm2 2 2. 0,5 điểm. 0,5 điểm 0,5 điểm. Câu 4 Cho a , b, c là các số nguyên thỏa mãn a  b  20c  c3 . (2,0 điểm ) Chứng minh rằng a 3  b3  c3 chia hết cho 6. - Biến đổi được:. a  b  20c  c3  a  b  c  c 3  c  18c.  a  b  c  c  c  1 c  1  18c - Chứng minh được:  a  b  c  c  c  1 c  1  18c6. 0,5 điểm 0,5 điểm. - Mặt khác: a 3  b3  c3  (a  b  c)  ( a  1) a ( a  1)  (b  1) b(b  1)  (c  1) c(c  1) 6. - Lập luận kết luận a 3  b3  c3 chia hết cho 6. 0,5 điểm 0,5 điểm.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu 5 Trường THCS X có 60 giáo viên. Tuổi trung bình của tất cả (2,0 điểm ) thầy giáo và cô giáo là 42 tuổi. Biết rằng tuổi trung bình của các thầy giáo là 50, tuổi trung bình của các cô giáo là 38. Hỏi trường THCS X có bao nhiêu thầy giáo, bao nhiêu cô giáo? - Gọi x và y lần lượt là số cô giáo và số thầy giáo của trường THCS X  x, y  N * ; x, y  60  0,5 điểm - Lập luận được pt: x  y  60 0,25 điểm 38 x  50 y - Lập luận được pt:  42 0,5 điểm 60  x  y  60  x  40  - Giải hệ pt:  38 x  50 y   42  y  20  60. 0,5 điểm 0,25 điểm. - Trả lời: Cô giáo : 40 , thầy giáo : 20 Câu 6  2 x  y  3  x 2  9  0 1 (1,5 điểm ) Giải hệ phương trình:  2  2  y  2 xy  9  0. - Điều kiện 2 x  y  3  0 , - Phương trình (2)   y  x   x 2  9 2. - Phương trình 1  2 x  y  3   y  x   0 2. 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm. 2 x  y  3  0  x  3   yx0  y  x. 0,5 điểm. - Kiểm tra điều kiện và kết luận hệ phương trình có nghiệm  3;3. 0,25 điểm. Câu 7 Cho phương trình: x 2   m  1 x  m2  2  0 (*) ( x là ẩn, m là (2,0 điểm ) tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn 2 x1  x2  4 (biết x1  x2 ). - Lập luận được phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu thì P < 0 ac  1.  m 2  2   0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu. 0,5 điểm. với mọi giá trị m . - Do phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trái dấu và x1  x2 Suy ra x1  0 , x2  0  x1   x1 , x2  x2 do đó từ gt: 2 x1  x2  4  2 x1  x2  4 1. 0,5 điểm.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  x1  x2  1  m (2) - Theo định lí Viet ta có:  2  x1.x2   m  2 (3). 0,25 điểm.  x1  x2  1  m (2)  x1  m  5 - Giải hệ   2 x1  x2  4 (1)  x2  6  2m Mà x1  0  x2 nên ta được m  3 .. 0,25 điểm. - Thay x1  m  5 , x2  6  2 m vào (3) ta được phương trình: m  2 (m  5)(6  2m)   m 2  2   .  m  14. 0,25 điểm 0,25 điểm. - Kết hợp m  3 ta được m  2 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 8 Cho hình vuông ABCD . Vẽ đường tròn tâm O đường kính (2,5 điểm ) BC và đường tròn  A; AB  chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E ( E khác B). Tia CE cắt AD tại điểm F . Chứng minh rằng F là trung điểm của AD .. O. B. C. H E. A. F. D. - Kẻ đoạn nối tâm OA và dây chung BE  OA  BE - Chứng minh được: BE  CF - Chứng minh được: OA / /CF - Chứng minh được tứ giác AOCF là hình bình hành  OC  FA . - Lập luận: từ OC  AD .. BC AD AD   AF   F là trung điểm của 2 2 2. 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Câu 9 Cho a, b, c là các số dương và a  b  c  6. Tìm giá trị nhỏ (1,5 điểm ) nhất biểu thức: a3 b3 c3 P 2   . a  4ab  b 2 b 2  4bc  c 2 c 2  4ca  a 2. a3 b Với a,b  0 , ta chứng minh 2 a . 2 a b 2 - Áp dụng:  a  b   0  a 2  b 2  2ab  2. 1 1  2 a b 2ab. 0,25 điểm. 2. Khi đó: a (a 2  b 2 )  ab 2 ab 2 ab 2 b a 2 a a 2  2 2 2 2 a b a b 2ab 2 a b a3. 0,25 điểm. b3 c c3 a  2 2 b ; 2 c 2 b c 2 c a 2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: a3 b3 c3 abc  2 2 2  2 2 2 a b b c c a 2 - Áp dụng:  a  b   0  2  a 2  b 2   4ab 2. 0,25 điểm. Ta có: a3 a3 1 a3   . ; a 2  4ab  b 2 a 2  2( a 2  b 2 )  b 2 3 a 2  b 2 b3 b3 1 b3 ;   . b 2  4bc  c 2 b 2  2(b 2  c 2 )  c 2 3 b 2  c 2 c3 c3 1 c3   . c 2  4ac  a 2 c 2  2(c2  a 2 )  a 2 3 c 2  a 2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: a3 b3 c3   a 2  4ab  b 2 b 2  4bc  c 2 c 2  4ca  a 2 1  a3 b3 c3  a  b  c   2   1  3  a  b2 b2  c2 c 2  a 2  6. -Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, dấu “=” xảy ra khi. a  b  c  2. Câu 10.   900 .Gọi H là chân Cho hình bình hành ABCD có BAD. 0,25 điểm. 0,25 điểm. 0,25 điểm.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> (2,0 điểm ) đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K .Chứng minh rằng bốn điểm K , H , D, C cùng thuộc một đường tròn.. K O. M. A. B. C. D H. Gọi M là trung điểm AB . Để chứng minh bốn điểm K , H , D, C cùng thuộc một đường   DCH . tròn, ta đi chứng minh DKH   ABC  - Chứng minh được: DCH AKC   HKM . Khi đó ta đi chứng minh DKA Bài toán được hoàn thành nếu ta chứng minh được tam giác DKA đồng dạng tam giác HKM.   KMH  - Chứng minh được: KAD. .  . .   180  KAC   180  DAC   KBC  ACH mà Ta có: KAD. 0,5 điểm. 0,5 điểm.   MHC   MCH   MBC   MCA    ACH  KMH ACH  KBC   KMH  (1) Suy ra KAD. - Chứng minh được: KMA # BMC . KA BC AD AK MK (2)     KM BM MH AD MH.   HKM  - Từ (1) và (2) suy ra  DKA # HKM  DKA   DKA   Mà DKH AKH  HKM AKH   AKC. 0,5 điểm.   DCH   DKH. Và kết luận bốn điểm K , H , D, C cùng thuộc một đường tròn.. 0,5 điểm. (Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng giám khảo phân bước cho điểm tương ứng).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> …………Hết………..

<span class='text_page_counter'>(9)</span>