DE DAP ANHSGTRI TON 2016 2017

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD ĐT HUYỆN TRI TÔN ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Khóa ngày 19-02-2017 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề). Số báo danh: ………............ Phòng: …………….. . . . . .. Câu 1.(4,0 điểm) Cho 𝐴 = 𝑥+2 𝑥−1+ 𝑥−2 𝑥−1 a. Rút gọn 𝐴 khi 𝑥 ≥ 1. b. Tìm 𝑥 để 𝐴 ≤ 4. Câu 2.(3,0 điểm) Giải hệ phương trình:. 𝑥 +2 𝑦−1 =3 3 𝑥 +4 𝑦−1 =7. Câu 3.(3,0 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành tích các nhân tử 𝑃 𝑥 = 5𝑥 − 4 3 − 3𝑥 − 2 3 − 8 𝑥 − 1. 3. Câu 4.(3,0 điểm) Cho đa thức 𝑃 𝑥 = 𝑚 − 𝑛 𝑥 4 + 2𝑛 − 2 𝑥 2 − 2𝑚 + 1 chia hết cho (𝑥 − 1) và 𝑥 − 3 . a. Tìm các giá trị của 𝑚 và 𝑛 . b. Với 𝑚, 𝑛 vừa tìm được hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 𝑃 𝑥 với 𝑥 nhận giá trị bất kỳ. Câu 5.(3,0 điểm) Tìm hai số nguyên 𝑎 và 𝑏 sao cho đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 cắt hai trục tọa độ 𝑂𝑥; 𝑂𝑦 tại hai điểm có các tọa độ đều là những số nguyên dương đồng thời 𝑑 đi qua điểm 𝐴(2; 3). Câu 6.(4,0 điểm) Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴 đường cao 𝐴𝐻. Từ 𝐻 kẻ 𝐻𝐸, 𝐻𝐹 lần lượt vuông góc với 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶. Biết diện tích tam giác 𝐵𝐻𝐸 bằng 81; diện tích tam giác 𝐶𝐻𝐹 bằng 256. a. Tính tỉ số. 𝐶𝐻. 𝐵𝐻. .. b. Tính độ dài các cạnh của tam giác 𝐴𝐵𝐶. ------- Hết -------Chú ý: Đề thi có 01 trang, thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài, giám thị coi thi không giải thích gì thêm./..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GD ĐT HUYỆN TRI TÔN. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Khóa ngày 19-02-2017 MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM. I- YÊU CẦU - Tổ chấm có thể phân điểm chi tiết đến 0,25 trong quá trình thảo luận đáp án. - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa II- NỘI DUNG CHI TIẾT Câu. Nội dung gợi ý. Câu. 𝐴=. 1a. = =. Điểm 3,0 đ. 𝑥+2 𝑥−1+ 𝑥−2 𝑥−1 𝑥−1+2 𝑥−1+1+ 𝑥−1−2 𝑥−1+1 1+ 𝑥−1. 2. +. 1− 𝑥−1. 2. = 1+ 𝑥−1 + 1− 𝑥−1 Nếu 𝑥 ≥ 2 ⟹ 𝑥 − 1 ≥ 1 ⟹ 1 − 𝑥 − 1 ≤ 0 khi đó 𝐴 = 1+ 𝑥−1− 1− 1−𝑥 = 2 𝑥−1 Nếu 2 > 𝑥 ≥ 1 ⟹ 𝑥 − 1 < 1 ⟹ 1 − 𝑥 − 1 > 0 khi đó 𝐴 = 1+ 𝑥−1+ 1− 1−𝑥 = 2 Câu Nếu 𝑥 ≥ 2 ta có 𝐴 ≤ 4 ⟺ 2 𝑥 − 1 < 4 ⟹ 𝑥 − 1 ≤ 4 ⟹ 𝑥 ≤ 5 Nếu 2 > 𝑥 ≥ 1 ta có 𝐴 = 2 < 4 1b Vậy 5 ≥ 𝑥 ≥ 1 thì 𝐴 ≤ 4 Câu 2 𝑃 𝑥 = 5𝑥 − 4 3 − 3𝑥 − 2 3 − 8 𝑥 − 1 3 Ta có 𝑃 𝑥 = 5𝑥 − 4 3 − 3𝑥 − 2 3 − 2𝑥 − 2 3 = 2𝑥 − 2 5𝑥 − 4 2 + 5𝑥 − 4 3𝑥 − 2 + 3𝑥 − 2 2 − 2𝑥 − 2 3 = 2𝑥 − 2 5𝑥 − 4 2 + 5𝑥 − 4 3𝑥 − 2 + 3𝑥 − 2 2 − 2𝑥 − 2 2 = 2𝑥 − 2 5𝑥 − 4 2 + 5𝑥 − 4 3𝑥 − 2 + 5𝑥 − 4 𝑥) = 2𝑥 − 2 5𝑥 − 4 5𝑥 − 4 + 3𝑥 − 2 + 𝑥 = 2𝑥 − 2 5𝑥 − 4 (9𝑥 − 6) Vậy 𝑃(𝑥) = 6 𝑥 − 1 5𝑥 − 4 (3𝑥 − 2). Câu 3 𝑑 : 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 cắt hai trục tọa độ 𝑂𝑥; 𝑂𝑦 tại hai điểm có tọa độ 𝑏 𝑏 (0; 𝑏) và − 𝑎 ; 0 ⇒ 𝑏 > 0; 𝑎 < 0 và – 𝑎 là số nguyên 3. 𝑏. 𝑏. 1,0 đ. 3,0 đ. 3,0 đ. 3. (𝑑) đi qua 𝐴 2; 3 ⇒ 3 = 2𝑎 + 𝑏 ⇒ 𝑎 = 2 + 𝑎 ⟺ − 𝑎 = 2 − 𝑎 𝑏. 3. Vì – 𝑎 là số nguyên nên 2 − 𝑎 phải là số nguyên ⟹ a là ước của 3 hay 𝑎 ∈ {−1; −3} TH1: 𝑎 = −1 ⇒ 𝑏 = 5 ⇒ 𝑑 : 𝑦 = −𝑥 + 5 cắt trục hoành tại điểm (5;0) trục tung tại điểm 0; 5 TH2: 𝑎 = −3 ⇒ 𝑏 = 9 ⇒ 𝑦 = −3𝑥 + 9 cắt trục hoành tại điểm (3;0) trục tung tại điểm 0; 9 Vậy các cặp số nguyên 𝑎; 𝑏 cần tìm là −1; 5 ; −3; 9 𝑥 +2 𝑦−1 =3 Câu 4 3 𝑥 +4 𝑦+1 =7 Đặt 𝑋 = 𝑥 ; 𝑌 = 𝑦 − 1 điều kiện 𝑋; 𝑌 ≥ 0 Ta có hệ. 3,0 đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 𝑋 + 2𝑌 = 3 3𝑋 + 4𝑌 = 7. Câu 5a. Câu 5b Câu 6a. Giải hệ ta được 𝑋 = 𝑌 = 1 𝑋 = 1 ⟹ 𝑥 = 1 ⟹ 𝑥 = ±1 𝑌 = 1 ⟹ |𝑦 + 1| = 1 ⟹ 𝑦 = 0; 𝑦 = −2 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm 1; 0 ; 1; −2 ; −1; 0 ; (−1; −2) 𝑃 𝑥 chia hết cho 𝑥 − 1 ⟹ 𝑃 1 = 0 ⟹ 𝑚 − 𝑛 + 2𝑛 − 2 − 2𝑚 + 1 = 0 ⟹ −𝑚 + 𝑛 − 1 = 0 (∗) 𝑃 𝑥 chia hết cho 𝑥 − 3 ⟹ 𝑃 3 = 0 ⟹ 𝑚 − 𝑛 9 + 2𝑛 − 2 3 − 2𝑚 + 1 = 0 ⟹ 7𝑚 − 3𝑛 − 5 = 0 (∗∗) Ta có hệ −𝑚 + 𝑛 − 1 = 0 −3𝑚 + 3𝑛 − 3 = 0 ⟺ 7𝑚 − 3𝑛 − 5 = 0 7𝑚 − 3𝑛 − 5 = 0 4𝑚 − 8 = 0 𝑚=2 ⟺ −𝑚 + 𝑛 − 1 = 0 𝑛=3 Vậy 𝑚 = 2; 𝑛 = 3 khi đó 𝑃 𝑥 = −𝑥 4 + 4𝑥 2 − 3 𝑃 𝑥 = −𝑥 4 + 4𝑥 2 − 4 + 1 = 1 − 𝑥 2 − 2 2 do 𝑥 2 − 2 2 ≥ 0 ⟹ 1 − 𝑥 2 − 2 2 ≤ 1 Vậy giá trị lớn nhất của 𝑃(𝑥) bằng 1 khi 𝑥 2 − 2 2 = 0 ⟹ 𝑥 = ± 2 𝑃 𝑥 không có GTNN Ta có hai tam giác 𝐶𝐹𝐻 và 𝐻𝐸𝐵 đồng dạng A 𝑆𝐶𝐹𝐻 𝐶𝐹. 𝐹𝐻 𝐶𝐻 2 256 F = = = 𝑆𝐻𝐸𝐵 𝐻𝐸. 𝐸𝐵 𝐻𝐵 2 81 𝐶𝐻 16 ⇒ = E 𝐵𝐻 9 B. Câu 6b. Nếu 𝐻𝐵 = 9𝑥 ⇒ 𝐻𝐶 = 16𝑥 ⇒ 𝐵𝐶 = 25𝑥 Hai tam giác CFH và CAB đồng dạng 𝑆𝐶𝐹𝐻 𝐶𝐻 2 162 252 = = ⇒ 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 2 . 256 = 625 𝑆𝐶𝐴𝐵 𝐶𝐵 2 252 16 áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được 𝐴𝐵 2 = 𝐵𝐻. 𝐵𝐶 = 9.25 𝑥 2 ⇒ 𝐴𝐵 = 15𝑥 𝐴𝐶 2 = 𝐶𝐻. 𝐵𝐶 = 16.25 𝑥 2 ⇒ 𝐴𝐶 = 20𝑥 1. Vậy 𝐴𝐵 =. 25 6 2. ; 𝐴𝐶 =. 50 6 3. ; 𝐵𝐶 =. 125 6 6. 𝐴𝐻 = 10 6. 0,25 đ. 2,0 đ. C. H. Ta có phương trình 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 2 𝐴𝐵. 𝐴𝐶 = 150𝑥 2 = 625 ⇒ 𝑥 =. 2,75 đ. 5 6 6. 2,0 đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>