Hinh hoc thi vao lop 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đặng Thị Thu Thủy - Ths. Hoàng Văn Tựu TS. Nguyễn Văn Lợi (chủ biên). HÌNH HỌC THI LỚP 10.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Lời giới thiệu Thân gửi các em học sinh! Vậy là chặng đường học tập THCS sắp trôi qua. Bốn năm THCS là bốn năm đầy khó khăn với nhiều kiến thức từ đại số đến hình học. Điều đó phần nào làm cho các em choáng ngợp với lượng kiến thức lớn. Đặc biệt là môn hình học. Để cùng các bạn học sinh chủ động tự tin trong học tập môn hình học phẳng. Chúng tôi tập chung kiến thức vào bốn nhóm: Định lý Pythagore, định lý Thales, đề tài đường tròn nội ngoại tiếp, và một số kỹ thuật trong phương tích. Mỗi nhóm đề tài như một chùm bài toán cơ bản phân nhỏ. Nếu chúng ta tự làm để hiểu các bài toán này thì việc làm các bài toán đi thi sẽ dễ dàng hơn nhiều và cái đẹp của hình học cũng được thể hiện một cách tự nhiên. Vị trí của bài toán hình học trong đề thi vào lớp 10 là vô cùng quan trọng. Vì thế, việc không nắm chắc kiến thức phần này có thể quyết định việc thành bại trong kì thi tuyển sinh. Vì lẽ đó, chúng tôi mạnh dạn sưa tầm và biên soạn cuốn sách Hình học thi lớp 10 với mục đích giúp đỡ các em có một tài liệu tốt để ôn tập. Chúng tôi mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của quý bạn đọc để cuốn sách được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn!. Mọi ý kiến đóng góp xin chuyển về: .. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Mục lục 1 Chùm bài toán về định lý Pythagore 1.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chùm bài toán về định 2.1 Lý thuyết . . . . . . 2.2 Bài tập . . . . . . . . 2.3 Các bài toán bổ sung. 4 4 6. lý Thales 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 3 Chùm bài toán về trực tâm 3.1 Mô hình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Khai thác mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Hướng dẫn giải chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18 18 18 20. 4 Chùm bài toán về phương tích 32 4.1 Mô hình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 Khai thác mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Hướng dẫn giải chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chương 1 Chùm bài toán về định lý Pythagore Trong hai chương đầu, chúng tôi tham thảo rất nhiều ý tưởng của thày Nguyễn Bá Đang về hai định lý hình học nổi tiếng và có sử dụng một số bài tập của thày trong cuốn sách "Những định lí chọn lọc trong hình học phẳng và các bài toán áp dụng".. 1.1. Lý thuyết. Định lý 1.1.1 Trong một tam giác vuông. Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. 1. Chứng minh bằng đại số.. 2. Chứng minh bằng cắt ghép.. 4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Sigma - MATHS 3. Chứng minh của tổng thống James A. Garfield .. 1 Diện tích hình thang S = (a + b)2 . 2 Vì tổng diện tích các tam giác bằng diện tích hình thang. 1 1 Do đó, (a + b)2 = ab + c2 ⇔ a2 + b2 = c2 . 2 2 4. Chứng minh của Leonardo da Vinci .. 1 5. (a − b)2 + 4. ab = c2 ⇔ a2 + b2 = c2 . 2. 6. Chứng minh bằng gấp hình (thông qua một mệnh đề mở rộng.) Tổng diện tích các đa giác đồng dạng dựng trên các cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng diện tích đa giác đồng dạng dựng trên cạnh huyền.. 5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Sigma - MATHS Định lý 1.1.2 (Định lý Pythagore đảo) Tam giác ∆ABC thỏa mãn BC 2 = AB 2 + AC 2 thì tam giác ∆ABC vuông tại A. Chứng minh .. BC 2 > A0 B 2 + AC 2 , BC 2 = AB 2 + AC 2 , BC 2 < A”B 2 + AC 2 .. 1.2. Bài tập. Câu 1.2.1 (Cửa thiên đường) Một thanh gỗ thần dài 2000m, hai đầu được buộc chặt bởi một sợ dây dài 2001m. Ai muốn thử lòng dũng cảm thì chui qua khe hở của sợi dây và thanh gỗ! Bao nhiêu người đi dám vượt qua tìm may mắn?. Câu 1.2.2 Chứng minh SCAG = SCHB. Gợi ý: Hai tam giác chồng khít lên nhau.. 6.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Sigma - MATHS Câu 1.2.3 Chứng minh diện tích các tam giác sơn màu có diện tích bằng nhau.. Câu 1.2.4 Chứng minh diện tích các hình cùng màu sơn bằng nhau.. Gợi ý: GU.GJ = GD.GQ0 , QG = GQ0 , GT = GU. Câu 1.2.5 Cho tam giác vuông ∆ABC. Vẽ các hình vuông về phía ngoài tam giác (hình vẽ). Chứng minh các đường thẳng qua A vuông góc với BI, qua B vuông góc với AD, qua C vuông góc với AB đồng quy.. Gợi ý: Ba đường cao gặp nhau tại một điểm.. 7.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Sigma - MATHS Câu 1.2.6 Chứng minh rằng: diện tích tam giác vuông bằng tổng diện tích hai hình trăng khuyết.. Gợi ý: Định lý Pythagore. Câu 1.2.7 Trong hình chữ nhật ABCD lấy điểm P . Chứng minh rằng P A2 + P C 2 = P B 2 + P D2 .. Gợi ý: Từ P hạ các đường vuông góc xuống các cạnh. Sử dụng định lý Pythagore. Nhận xét: Kết quả của bài toán không thay đổi khi điểm P ở vị trí tổng quát. Câu 1.2.8 Nguời ta muốn đo khoảng cách từ D đến C nhưng không thể nào đến C \ = ABC [ = 900 , được. Hỏi có thể đo gián tiếp CD không? biết rằng AB = 240m, DAC [ = 600 , ADC \ = 300 . BAC. 8.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Sigma - MATHS Câu 1.2.9 Cho tam giác EDF vuông. Vẽ các hình vuông ra phía ngoài. Chứng minh rằng: KE = DL.. Câu 1.2.10 Cho các hình vuông như hình vẽ. Chứng minh rằng: b = 2d.. Câu 1.2.11 Cho các số a, b thỏa mãn 0 < a < b. Chứng minh các bất đẳng thức sau: r 2ab a+b a2 + b 2 a2 + b 2 a< < < < <b a+b 2 2 a+b. 9.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chương 2 Chùm bài toán về định lý Thales 2.1. Lý thuyết. Định lý 2.1.1 (Định lý đường trung bình) Cho tam giác ABC. ⇒) Đoạn thẳng đi qua trung điểm D của AB và song song với BC thì đi qua trung điểm E của AC. ⇐) Đoạn thẳng đi qua trung điểm D của AB và trung điểm E của AC thì song song với BC và bằng nửa BC.. ⇒) Qua trung điểm D cua AB, vẽ đường thẳng d1 song song với BC cắt AC tại E 0 , và d2 song song với AC cắt BC tại J. ∆ADE 0 = ∆DBJ (g.c.g) ⇒ DE = BJ, DJ = AE. ∆E 0 JC = ∆DBJ (g.c.g) ⇒ JE = BD. Do đó, AD = JE ⇒ ∆ADE = ∆DE 0 J(c-g-c). ⇒ AE 0 = DJ ⇒ AE 0 = E 0 C . Vậy N ≡ N 0 . ⇐) Lấy trên tia đối của tia ED lấy D0 sao cho DE = D0 E ⇒ ∆AED = ∆D0 EC. 0 CE = BAC \ [ ⇒ CD0 //BD. Khi đó, AD = BD = CD0 và D \0 = CDB \ ⇒ DE//BC. Ta thấy ∆DCD0 = ∆DCB ⇒ DD0 = BC và DCD Bổ đề 2.1.1 ( Bổ đề các đoạn thẳng song song) Hai nửa đương thẳng Ox, Oy cùng xuất phát từ điểm O. Trên nữa đường thẳng Ox lấy các điểm A1 , A2 , A3 , . . . , An sao cho OA1 = A1 A2 = . . . = An−1 An . Trên nửa đường thẳng Oy lấy các điểm B1 , B2 , B3 , . . . , Bn sao cho OB1 = B1 B2 = . . . = Bn−1 Bn . Chứng minh rằng Ai Bi , (i = 1, 2, . . . , n) song song với nhau.. 10.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Sigma - MATHS Chứng minh:. Theo bổ đề đường trung bình của tam giác, ta nhận được A1 B1 //A2 B2 . Tiếp tục làm với tam giác C0 cạnh là A1 A3 ta nhận đươc A2 B2 //A3 B3 . . .. Cứ tiếp tục như vậy ta thu được các đoạn thẳng Ai Bi song song với nhau. Bổ đề 2.1.2 (Bổ đề hữu tỷ) Cho góc Oxy. Trên cạnh Ox lấy hai điểm A, B, trên cạnh Oy lấy hai điểm C, D sao cho OA : OB = m : n = OC : OD với m, n là các số nguyên dương. Khi đó AC//BD. Chứng minh: Chia OB thành n + m phần, chia OD thành n + m phần. Áp dụng (2.1.1). Bổ đề 2.1.3 (Bổ đề vô tỷ) (Công nhận không chứng minh) d Trên cạnh Ox lấy hai điểm A, B và trên cạnh Oy lấy hai điểm C, D sao cho Cho xOy. OA : OB = m : n = OC : OD. Khi đó AC//BD. Chú ý: Muốn chứng minh phải sử dụng công cụ giới hạn. Bổ đề 2.1.4 (Bổ đề hình bình hành) Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB và CD lần lượt lấy hai điểm P và Q sao cho P A : P B = m : n = QC : QD. Khi đó P Q//BC. Chứng minh:. Định lý 2.1.2 ( Định lý Thales) Các đường thẳng song song chắn hai cát tuyến (đường thẳng) d, d0 thì tạo ra trên d, d0 các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. 11.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Sigma - MATHS. 2.2. Bài tập. Câu 2.2.1 Cho hình thang cân ABCD. C 0 là điểm tùy ý trên CD. Kẻ đường thẳng qua C 0 và song song với BD cắt AB tại D0 . Chứng minh rằng: AC 0 = B 0 C.. Câu 2.2.2 Cho tam giácABC. M là trung điểm của cạnh BC. Qua B và C dựng các đường thẳng song song với AM cắt AC và AB lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng: 1 1 1 = + . AM P B QC. Gợi ý : Nhân hai vế với AM rồi dùng các đoạn thẳng tỉ lệ trên BC. Câu 2.2.3 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), kéo dài BC về phía C lấy điểm M . BM CM Đường thẳng qua M cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng: − BP CQ không phụ thuộc vào vị trí của M và đường thẳng d.. Gợi ý : Kẻ AN//d, biến đổi thành tỉ lệ tương đương có mẫu là AN . Chỉ ra tỉ lệ cần tìm là BC : AB.. 12.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Sigma - MATHS Câu 2.2.4 Cho tam giác ABC có AB > AC. M là trung điểm của BC. Phân giác góc A cắt BC tại L. Từ M kẻ đường vuông góc với AL cắt AB tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng: 1 a. AD = (AB + AC). 2 1 b. Gọi F là trung điểm của AC. Chứng minh rằng: EF = AB. 2. Gợi ý : a. DB = CP (CP//AB).∆P CE cân ⇒ CP = CE. b. AT = 2.F C, BT = 2.CE ⇒ AB = 2.F E . Câu 2.2.5 Cho tam giác ABC. D và E nằm lần lượt trên các cạnh AB và AC sao cho BD = CE. Gọi P là trung điểm DE, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: P M song song với phân giác góc A.. Gợi ý: BG và DK vuông góc với phân giác góc A. Chỉ ra M P U V là hình bình hành. Câu 2.2.6 (Đường thẳng Gauss) Cho tứ giác toàn phần ABCDEF (hình vẽ) a. Chứng minh rằng trung điểm của các đường chéo AC, BD, EF nằm trên một đường thẳng g, ta gọi là đường thẳng Gauss. b. g cắt AD và BC lần lượt tại Y và Z. Chứng minh rằng: 13. AY CZ = . YD BZ.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Sigma - MATHS Gợi ý: a. Lấy E là tâm đồng dạng chiếu các điểm P, Q, R thành G, K, F thẳng hàng.. b. Kẻ AL và CK cùng song song với BD. Sử dụng định lý thales.. [ Câu 2.2.7 Cho hình bình hành ABCD. P là điểm tronh hình bình hành sao cho AP B+ 0 \ \ \. CP D = 180 . Chứng minh rằng góc P BC = CDP −−→ Gợi ý: Tịnh tiến P thành X theo BC. Tứ giác DP CX nội tiếp.. 14.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Sigma - MATHS Câu 2.2.8 Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác. AO, BO, CO cắt cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F . Qua O kẻ các đường thẳng song song với BC cắt D, E lần lượt tại N và M . Chứng minh rằng: ON = OM.. Gợi ý: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC. Chứng minh DA là trung tuyến của tam giác HDI. Biểu diễn AQ : BC = AH : BD, BC : AP = DC : AI. Sử dụng tính đồng dạng của tam giác OP Q và OBC. Câu 2.2.9 Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác AD. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AC và AB. Giao điểm của BM và CN là P . Chứng minh AP ⊥BC. Nhận xét: Đây là bài toán rất hay, nói lên sự liên hệ giữa đường phân giác và đường cao trong tam giác. Câu 2.2.10 Các cạnh của tứ giác chia thành ba phần bằng nhau. Chứng minh rằng: a. Diện tích phần tô xám bằng. 1 diện tích tứ giác. 9. b. Các đoạn thẳng đều bị chia thành ba phần bằng nhau.. 15.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Sigma - MATHS. 2.3. Các bài toán bổ sung. Câu 2.3.1 (Định lý Ptoleme) Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì AB.CD + BC.AD = AC.BD. [ = CBD. \ Gợi ý Trên AC lấy E sao cho ABE. Câu 2.3.2 Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn (k) cắt các cạnh AB, AD và đường chéo AC lần lượt tại B 0 , D0 và C 0 . Chứng minh rằng: AB 0 .AB + AD0 .AD = AC 0 .AC Gợi ý: Sử dụng định lý ptoleme cho tứ giác nội tiếp AD0 C 0 B 0 và ∆ADC v ∆B 0 D0 C 0 .. Câu 2.3.3 Cho tam giác ABC có 2BC = AB + AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng: AI⊥OI.. 16.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Sigma - MATHS Gợi ý: Sử dụng định lý ptoleme. Câu 2.3.4 Cho hai điểm D và E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB. Dựng hình bình hành ADCE. Chứng minh rằng DE⊥BC. Gợi ý: Chỉ ra E là trực tâm cảu tam giác BCD.. 17.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chương 3 Chùm bài toán về trực tâm Trong chương này, chúng tôi xét bài toán xung quanh mối quan hệ giữa trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và một số vấn đề liên quan.. 3.1. Mô hình cơ bản. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. AD, BE, CF cắt đường tròn (O, R) lần lượt tại P, Q, R. Gọi M là trung điểm của BC.. 3.2. Khai thác mô hình. Câu 3.2.1 Chứng minh rằng tứ giác BF EC nội tiếp 1 đường tròn. Câu 3.2.2 Chứng minh rằng P đối xứng với H qua BC, Q đối xứng với H qua AC . Câu 3.2.3 Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các ∆AHB, ∆AHC, ∆BHC bằng nhau và bằng bán kính của (O) . Câu 3.2.4 Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh rằng tứ giác BHCK là hình bình hành. Câu 3.2.5 Chứng minh rằng K, H, M thẳng hàng. Câu 3.2.6 Chứng minh rằng : A là điểm chính giữa cung QR. Câu 3.2.7 Chứng minh rằng: EF//RQ. Câu 3.2.8 Chứng minh rằng: OA⊥EF . Câu 3.2.9 Cho BC là dây cung cố định của đường tròn(O; R). A chuyển động trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn, đường cao BF, CF. Chứng minh rằng : đường thẳng từ A vuông góc với F E đi qua 1 điểm cố định. 18.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Sigma - MATHS Câu 3.2.10 (Đường thẳng Euler) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng :H, G, O thẳng hàng ( Đường thẳng đi qua H, G, O gọi là đường thẳng ơle ). Câu 3.2.11 Chứng minh rằng khi A chuyển động trên cung BC lớn thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi. Câu 3.2.12 Tìm vị trí của A trên cung BC lớn sao cho (HD.AD)max . Câu 3.2.13 Chứng minh rằng : BH.BE + CH.CF = BC 2 Câu 3.2.14 Chứng minh rằng : AH.AD + BH.BE + CH.CF =. AB 2 + BC 2 + AC 2 . 2. Câu 3.2.15 Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EF D. [ = 600 . Chứng minh rằng tam giác M EF đều. Câu 3.2.16 Khi góc ABC [ = 450 .. Tính diện tích tam giác M EF theo R. Câu 3.2.17 Cho góc BAC Câu 3.2.18 Chứng minh rằng. AI BP CQ + + = 4. AD BE CF. Câu 3.2.19 Đường tròn đường kính AB cắt CF tại A1 , đường tròn đường kính AC cắt BE tại A2 . Chứng minh rằng: AA1 = AA2 . Câu 3.2.20 Kẻ đường kính BOS từ C kẻ CT ⊥BS. Chứng minh rằng : EF = CT . Câu 3.2.21 Gọi A3 là trung điểm của EF . Chứng minh rằng : OA.AA3 = AM.M O. Câu 3.2.22 Tìm vị trí của A trên cung BC lớn sao cho : EF + ED + F D đạt giá trị lớn nhất. Câu 3.2.23 AB.AC = 2R.AD. Câu 3.2.24 S =. AB.BC.CA . 4R. b và C b để OH//BC. Câu 3.2.25 Tìm hệ thức giữa tỉ số lượng giác của B Câu 3.2.26 Đường kính AK cắt EF tại A4 . Chứng minh rằng: Tứ giác F A4 KB nội tiếp đường tròn. Câu 3.2.27 Từ A kẻ tiếp tuyến AL, AN đến đường tròn ngoại tiếp tứ giác BF CE . Chứng minh rằng : L, H, N thẳng hàng.. 19.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Sigma - MATHS. 3.3. Hướng dẫn giải chương 3. Câu 3.2.1.. \ = BF \ Để ý BEC C = 900 . Câu 3.2.2.. Chứng minh ∆HBP cân. Câu 3.2.3.. 20.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Sigma - MATHS. Chú ý: ∆BIC = ∆BHC . Câu 3.2.4.. Chứng minh BK//HC và BH//KC. Câu 3.2.5.. 21.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Sigma - MATHS. Để ý BHCK là hình bình hành. Câu 3.2.6.. Chứng minh AR = AQ. Câu 3.2.7.. 22.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Sigma - MATHS \ \ Chứng minh F EB = QP B. Câu 3.2.8.. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O). Chứng minh Ax//EF . Câu 3.2.9.. đường thẳng từ A vuông góc với F E đi qua O. Câu 3.2.10.. 23.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Sigma - MATHS. Chứng minh tam giác ABC và tam giác AHK có chung đường trung tuyến AM. Câu 3.2.11.. Chứn minh AH = 2OM . Câu 3.2.12.. Chứng minh DA.DP = DB.DC. Câu 3.2.13. 24.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Sigma - MATHS. Chứng minh BE.BH = BD.BC, CH.CF = CD.CB. Câu 3.2.14.. Để ý bài toán trên. Câu 3.2.15.. 25.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Sigma - MATHS Chứng minh DA và BE là các đường phân giác trong của tam giác EF D. Câu 3.2.16.. [ = 600 ⇒ F \ \ \ Ta có ABC EB = 300 . Mà EM F = 2F EB = 600 . Hiển nhiên M E = M F nên ∆M EF đều. Câu 3.2.17.. Chứng minh ∆M EF vuông cân. Câu 3.2.18.. 26.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Sigma - MATHS. Biến đổi bài toán thành. DH EH F H + + = 1. AD BE CF. Câu 3.2.19.. Để ý tới hệ thức lượng trong tam giác vuông. Câu 3.2.20.. 27.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Sigma - MATHS Chứng minhF ET C là hình thang cân. Câu 3.2.21.. Chứng minh ∆AEF v ∆ABC. Câu 3.2.22.. Gọi W, Z tương ứng là hình chiếu của O trên AB, AC. Chứng minh 2S∆ABC = OM.BC + OW.AC + OZ.AB. Câu 3.2.23.. 28.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Sigma - MATHS. Chứng minh ∆ABK v ∆ACD . Câu 3.2.24.. Để ý AB.AC = 2R.AD. Câu 3.2.25.. 29.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Sigma - MATHS. b = 3 tan C. b Chứng minh tan B Câu 3.2.26.. Để ý AK⊥EF . Câu 3.2.27.. 30.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Sigma - MATHS. Chứng minh ∆ALH v ∆ADL. Nhận xét: Bài toán có thể mở rộng thành bài toán sau: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến M BC (B nằm giữa M và C) và M AD (A nằm giữa M và D). Gọi H là giao điểm của AC và BD. M L và M N lần lượt là tiếp tuyến của (O) tương ứng tại L và N . Chứng minh rằng: L, H, N thẳng hàng. Mục đích của tài liệu để luyện thi nên chúng tôi không đi sâu vào khai thác bài toán dưới dạng nghiên cứu, nhưng cũng gợi ý cho các bạn đây là một đề tài thú vị.. 31.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Chương 4 Chùm bài toán về phương tích Trong chương này, chúng tôi bắt đầu với bài toán quen thuộc xoay quanh kiến thức về phương tích và một số vấn đề liên quan.. 4.1. Mô hình cơ bản. Cho đường tròn tâm (O). Cho điểm M nằm ngoài (O), vẽ các tiếp tuyến M A, M B và cát tuyến M CD tới (O), với M C < M D và d không đi qua tâm O. I là trung điểm của CD. AB cắt M O tại H... 4.2. Khai thác mô hình. Câu 4.2.1 Chứng minh rằng: M A2 = M C.M D. Câu 4.2.2 Chứng minh rằng OH.OM + M C.M D = M O2 Câu 4.2.3 Chứng minh rằng năm điểm M, A, I, O, B thuộc một đường tròn. Câu 4.2.4 Gọi H1 là trực tâm ∆M AB. Chứng minh rằng độ dài của H1 A không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. [ Câu 4.2.5 IM là tia phân giác của AIB. Câu 4.2.6 Chứng minh rằng: Tứ giác CHOD nội tiếp một đường tròn. \ Câu 4.2.7 HA là tia phân giác của CHD. Câu 4.2.8 BI cắt (O) tại Y 0 . Chứng minh rằng: AY 0 //M D. Câu 4.2.9 (Trích đề thi vào 10 Hà Nội, 2013-2014) Kẻ đường thẳng d//M O cắt đường kính AA0 tại Y . Chứng minh rằng: IY //A0 C. Câu 4.2.10 E là trung điểm của M A. Gọi W là hình chiếu của E trên M O. Kẻ W V là tiếp tuyến với (O). Chứng minh rằng M V ⊥V H. 32.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Sigma - MATHS Câu 4.2.11 Gọi J giao điểm của M O với (O). Chứng minh rằng J là tâm đường tròn nội tiếp ∆M AB. Câu 4.2.12 Gọi N là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: Tứ giác OHN I nội tiếp một đường tròn. Câu 4.2.13 Chứng minh rằng: M A2 = M N.M I. Câu 4.2.14 Tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại K. Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với M O cắt (O) tại A và B. Chứng minh M A và M B là tiếp tuyến của (O). Câu 4.2.15 Tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: A, B, K thẳng hàng. Câu 4.2.16 M, C, D cố định. Đường tròn (O) nhưng luôn qua C và D. Chứng minh A, B luôn chuyển động trên đường tròn cố định. Câu 4.2.17 Đường thẳng đi qua C và vuông góc với OA cắt AB, AD lần lượt tại A1 và A2 . Chứng minh rằng CA1 = A1 A2 . Câu 4.2.18 Gọi P là trung điểm của M A, E là giao điểm của BP với đường tròn (O). Tia M E cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh rằng ∆M P E v ∆BP M. và BF//M A. Câu 4.2.19 Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AM BF là hình bình hành. Câu 4.2.20 Qua (O) kẻ đường thẳng vuông góc với M O cắt M A và M B tại P và Q. Tìm vị trí của M để diện tích tam giác M P Q nhỏ nhất. Câu 4.2.21 (Trích đề thi tuyển sinh vào 10 Ninh Bình 2017-2018) Tiếp tuyến tại [ M của đường tròn (O) cắt M A và M B tại E và F . Chứng minh rằng: P[ OE = OF Q và P E + QF ≥ P Q. Câu 4.2.22 AB cắt OE và OF lần lượt tại Q0 và P 0 . Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OEF nằm trên đường thẳng cố định khi C di động trên cung AB.. 4.3. Hướng dẫn giải chương 4. Câu 4.2.1.. Chứng minh ∆M AC v ∆M DA 33.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Sigma - MATHS Câu 4.2.2.. OH.OM = OA2 , M C.M D = M A2 . Câu 4.2.3.. Lấy O0 là trung điểm của M O. Chứng minh M, A, I, O, B thuộc một đường tròn (O0 ). Câu 4.2.4.. Chứng minh AOBH1 là hình bình hành. Câu 4.2.5.. 34.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Sigma - MATHS [ =M \ Chứng minh AIM IB. Câu 4.2.6.. \ = CDO. \ Chứng minh CHM Câu 4.2.7.. \ = CHM \. Chứng minh CDO Câu 4.2.8.. 0B = M \ \ Chứng minh AY IB .. Câu 4.2.9.. 35.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Sigma - MATHS. [ = DCA \0 . Chứng minh DIY Câu 4.2.10.. Chứng minh OV 2 + W V 2 = W H 2 + OA2 . Câu 4.2.11.. \ Chứng minh AJ là phân giác của góc M AB . Câu 4.2.12.. 36.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Sigma - MATHS [ \ Chứng minh N IO + N HO = 1800 . Câu 4.2.13.. Để ý tính chất nội tiếp của tứ giác HN IO và tứ giác CHOD. Câu 4.2.14.. Chứng minh OA2 = OI.OK. Câu 4.2.15.. 37.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Sigma - MATHS Chứng minh K, H, A thẳng hàng. Nhận xét: Nếu bài toán phát biểu thành Tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: K nằm trên đường thẳng cố định khi đường thẳng d thay đổi và thỏa mãn đề bài. Câu 4.2.16.. Chú ý đẳng thức M A2 = M B 2 = M C.M D. Câu 4.2.17.. Chứng minh AI là đường trung bình của ∆CA2 D Câu 4.2.18.. 38.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> Sigma - MATHS. Chứng minh ∆M P E v ∆BP M . Câu 4.2.19.. Chứng minh ∆M AB đều. Câu 4.2.20.. Chứng minh M P = M A + AP ≥. √ M A.AP = R.. Câu 4.2.21.. 39.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> Sigma - MATHS. [ Chứng minh P[ OE = OF Q. Câu 4.2.22.. Gọi T là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp ∆OEF với M O. Chứng minh OT là đường kính của (OEF ).. 40.

<span class='text_page_counter'>(42)</span>