Cac dang toan dien hinh 9tap 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (97.11 MB, 288 trang )

(1)

(2) LÊ Đ ÚC. Há Ntt NHÀ XUẤ T BẢ N DẠ I HỌ C QUỐ C GIA HÀ NỘ I.

(3) NHÀ XUẤ T BẢ N Đ Ạ I HỌ C QUỐ C GIA HÀ NỘ I 16 Hàng Chuố i - Hai Bà Trư ng - Hà Nộ i Đ iệ n thoạ i: IBiên tậ p-Chế bả n: (04) 39714896; Hành chính: (04) 39714899; Tổ ng biên tậ p: (04) 39714897 Fax: (04) 39714899 ***. Chị u trá ch nhiệ m xuấ t bả n: Giám đ ố cPHÙNG QUỐ C BẢ O Tổ ng biên tậ p PHẠ M THỊ TRÂM Biên tậ p nộ i dung THU HIÊN Sử a bài LÊ HOÀ Chế bả n CÔNG TI ANPHA Trình bày bìa SƠ N KỲ Đ ố i tác liên kế t xuấ t bả n CÔNG TI ANPHA. SÁCH LIÊN KÍỂ T U ì n U 9 -TẬ P 2 CÁC DẠ NG TOÁN Đ lỂ N. Mã số : 1L-119Đ H2010 In 2.000 cuôn, khổ 16 X 24 cm tạ i công ti TNHH In Song Nguyên Sô' xuấ t bả n: 89-2010/CXB/15-03/Đ HỌ GHN, ngày 15/01/2010 Quyế t đ ị nh xuấ t bả n số : 119LK-TN/XB Ị n xong và nộ p lư u chiể u quý II nă m 2010..

(4) GIỚ I THIỆ U CHUNG Xin trùn trong %ị('/i thiêu tớ i han dọ c ( Uố n sách:. . . Cuố n ÚKh hao gồ m 2 phầ n vớ i 4 (lutư ng: PHÂN Đ Ạ I SỐ Chư ơ ng III - HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C NHẤ T HAI Ấ N Chư ơ ng IV - HÀM s ố y = a x 2 (a * 0) - PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C HAI MỘ T Ẩ N PHẤ N HÌNH HỌ C_______________________________________________ Chư ơ ng n i - GÓC VỚ I Đ Ư Ờ NG TRÒN Chư ơ ng IV - HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN - HÌNH CẨ U ớ mỏ i chư ơ ng chứ a dự ng các bùi họ c (chủ dể I , chú dẻ 2, ...) theo nộ i dung chư ơ ng rình củ a sách giáo khoa mớ i. Mỗ i bài đ ề u dư ợ c chia thành 4 mụ c: A. Tóm tắ t lí thuyế t Trình bày có trậ t tự nộ i dung kiế n thứ c liên quan. B. Phư ơ ng pháp giả i toán (hoặ c các ví dụ mẫ u) Gồ m các ví dụ dư ợ c tuyể n chọ n có chọ n lọ c nhằ m giúp hoàn thiệ n kiế n thứ c cơ bả n và nâng cao kĩ nă ng giả i Toán, c . Bài tậ p luyệ n tậ p D. Hư ớ ng dẫ n-Đ áp sô Như vậ y, ở mỗ i bài: ỉ . Vớ i việ c trình bày mụ c tóm tắ t lí thuyế t, sẽ giúp cúc em họ c sinh hiể u rằ ng cả n phả i nắ m vữ ng nhữ ng nộ i dung gì? 2. Tiế p dó, tớ i mụ c phư ơ ng pháp giả i toán, sẽ giúp các em họ c sinh hoàn thiệ n kiế n thứ c. 3. Đ ụ c biệ t là nộ i dung củ a các chú ý, nhậ n xét và yêucầ u sau mỗ i ví dụ sẽ giúp rác em họ c sinh củ ng ( ố nhữ ììg thiế t sót và cách nhìn nhậ n, đ ánh giá các vấ n đ ề đ ậ t ra. 4. Ngoài ra, còn có rấ t nhiêu ví dụ đ ư ợ c giả i bằ ngnhiề u cách khác nhau sẽ giúp các họ c sinh trở nên linh hoạ t trong việ c lự a chọ n phư ơ ng pháp giả i. Cuố i cùng, cho dù đ ã rấ t cố gắ ng, như iìg thậ t khó ránh t khỏ i tìhữ ììg thiế u sót hở i hữ ng hiể u biế t và kinh nghiệ m còn hạ n chế , rấ t mong nhậ n đ ư ợ c nhữ ng ỷ kiế n đ óng óp quỷ báu củ a bạ n đ ọ c gầ n xa. Mọ i ỷ kiế n đ óng góp xin liên hệ tớ i: - Trung tám Sách giáo dụ c Anpha. 225C Nguyễ n Tri Phư ơ ng, P.9, Q.5, Tp. HCM. - Công ti Sách - thiế t bị giáo dụ c AN PH A. 50 Nguyễ n Vă n Să ng, Quậ n Tân Phú, TP.HCM Đ T: 08.62676463, 38547464. Email: Xiin trả n trọ ng cả m ơ n!.

(5) PH Ẩ. N BẠ. I SÒ. CHƯ Ơ NG m - HỆ HAI PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C NHẤ T. HAI Ẩ N CHỦ. BỀ. 1. pU ư. n. Í. ì n U Bậ. I. n. U. U ề Y. Ẩ. n số. A. TOM TẢ T LI THƯ YET E Ỉ >Ị >H NGHỈ A Phuomg trình bậ c nhấ t hai ẩ n là phư ơ ng trình có dạ ng: ax + by = c trong dó: ■ a, b, c là hằ ng số và a, b không đ ồ ng thờ i bằ ng không. ■ X, y là hai ẩ n SỐ . Từ đ ó, ta có đ ị nh nghĩ a sau: Nghiệ m củ a phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n là các cặ p giá trị (x,; y,), (x2; y*),... củ a hai ẩ n số X và y thoả mãn tính chấ t" khi thay vào phư ơ ng trình thì giá trị tư ơ ng ứ ng củ a hai biể u thứ c ở hai v ế củ a phư ơ ng trình bằ ng nỉ iaù 2. CÁCH GIẢ I Mỗ i phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n đ ề u có vô số nghiệ m.Tậ p hợ p các nghiệ m củ a phư ờ ng trình đ ư ợ c biể u diễ n trên mặ t phẳ ng toạ độ là mộ t đ ư ờ ng thẳ ng, gọ i là đ ư ờ ng thẳ ng ax + by = c (mỗ i đ iể m củ a đ ư ờ ng thẳ ng axby+ = c biể u diễ n mộ t cặ p nghiệ m (x; y) củ a phư ơ ng trình). ■ Nế u a * 0, b * 0 thì đ ư ờ ng thẳ ng đ ó là đ ồ thị hàm số bậ c nhấ t:. ^. ■. Nế u a SB0, b * 0 thì đ ư ờ ng thẳ ng đ ó là đ ồ thi hàm sốy := — b đ ó là đ ư ờ ng thẳ ng song song vớQx i nế u c *0, trùng vớ i Qx nế u c = 0. ■. Nế u a * 0, b = 0 thì đ ư ờ ng thẳ ng đ ó có dạ ng:X = — a đ ó là đ ư ờ ng thẳ ng song song vớOy i nế u c * 0 , trùng vớ i Oy nế u c = 0. Lư u ý:. 1. Đ ư ờ ng thẳ ngX = — không phả i là đ ổ thị hàm số a 2 Vói yêu cầ u giả i phư ơ ng trinh ax + b y = c, ta thư ờ ng thụ c hiệ n ba công việ c: ■ Biế n đ ổ i đ ể chỉ ra mộ t vài nghiệ m cụ thể củ a phư ơ ng trình. ■ Viế t đ ư ợ c công thứ c nghiệ m tổ ng quát củ a phư ơ ng trình. ■ Biể u diễ n nghiệ m củ a phư ơ ng trình trên mặ t phẳ ng toạ đ ộ ..

(6) B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Vấ d ụ 1« (Bài 1/tr 7 —Sgk): Trong các cặ p số (-2 ; 1), (0 ; 2), (—1 ; 0)„ (1,5 ; ; và (4 ; -3), cặ p sô nào là nghiệ m cùa phư ơ ng trình: a. 5x + 4y = 8. b. 3x + 5y = -3 .. biể. a.. b.. Vẩ. Giả i Đ ể giả i dạ ng toán này, ta thay các giá trị củ a cặ p số đ ã cho vàov é trái củ u thứ c. SỐ thứ nhấ t thay vào biế n X, số thứ hai thay vào biế n y và tínlh toán. ■ Nế u kế t quả có đ ư ợ c bằ ng vế phả i thì cặ p số đ ã cholà nghiiệ m củ phư ơ ng trình. ■ Nế u kế t quả có đ ư ợ c không bằ ng vế phả i thí cặ p số đ ã ch o khômg phả i I nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Xét phư ơ ng trình 5x + 4y = 8. ■ Vớ i cặ p số ( - 2 ; 1). Ta có: 5.(-2) + 4.1 = - 6 * 8 . Do đ ó, cặ p số (-2 ; 1) không phả i là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. ■ Vớ i cặ p số (0 ; 2). Ta có: 5.0 + 4.2 = s. Do đ ó, cặ p số (0 ; 2) là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. ■ Vớ i cặ p số (-1 ; 0). Ta có: 5 .(-l) + 4.0 = - 5 * 8 . Do đ ó, cặ p số (-1 ; 0) không phả i ỉ à nghiệ m củ a phư ơ ng trình. ■ Vớ i cặ p số (1,5 ; 3). Ta có: 5.1,5 + 4.3 = 19,5 * 8. Do đ ó, cặ p số (1,5 ; 3) không phả i là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. ■ Vớ i cặ p số (4 ; -3). Ta có: 5.4 + 4.(—3) = 8. Do đ ó, cặ p số (4 ; -3 ) là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Xét phư ơ ng trình 3x + 5y = —3. ■ Các cặ p (—1 ; 0) và (4 ; -3 ) là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. ■ Các cặ p ( -2 ; 1), (0; 2) và (1,5 ; 3) không phả i là nghiệ m củ a phư ơ mg trình ể ẹ 2t Giả i phư ơ ng trình: X —2y = 6.. JBỈ Giả i Thự c hiệ n việ c biế n đ ổ i phư ơ ng trình vế dạ ng: X = 2y + 6. Tớ i đ ây, cho y các giá trị tuỳ ý chúng ta sẽ tính đ ư ợ giá c trị tư ơ ng ứ ng củ í X, cụ thể : ■ Vớ i y = - 4 => X = 2.(-4) + 6 = -2 => cặ p (-2, -4 ) là mộ t nghiệ m.. ■ Vớ i y = 0 => X = 2.0 + 6 = 6 => cặ p (6; 0) là mộ t nghiệ m. I Vì V có thể lấ y giá trị tuỳ ý, nên phư ơ ng trình có vô số nghiệ m, dạ tng tổ ng là (x = 2y + 6, y 6 R) hoặ c viế t (2y + 6; y)..

(7) ^. Nhậ n xét: 1. Vì vai trò củ a X, y trong phư ơ ng trình là như nhau nên có thê giả i chư ơ ng trình theo cách: X —ó. Thự c hiệ n việ c biên đ oi phư ơ ng trình về dạ ng: y =------ . Tớ củ • •. i đ ây, cho X các giá trị tuỳ ý chúng ta sẽ tính đ ư ợ c giá trịtư ơ ng ứ ng a y, cụ thể : Vớ i x = 0=>y = -3=> cặ p (0; -3) là mộ t nghiệ m. Vớ i x = 2=>y = -2=> cặ p (2; -2) là mộ t nghiệ m.. ■. Vì X có thể lấ y giá trị tuỳ ý, nên phư ơ ng trình có vô số nghiệ m, dạ ng ^ ^ tổ ng quát củ a nghiệ m là (x; ------ ). x"2y = 6 2. Tậ p các nghiệ m củ a phư ơ ng trình: X- 2y = 6 o y = —x -3 1à mộ t đ ư ờ ng thẳ ng.. Vẩ Hy .ít Giỏ i phư ơ ng trình: Ox + 2y = 12. JS^ Giả i Thự c hiệ n việ c biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: 2y = l 2 o y = 6 Tớ i đ ây, cho X các giá trị tuỳ ý ta luôn nhậ n đ ư ợ c y = 6, do đcác ó cậ p số (-81; 6), (33; 6),... đ ề u là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Vậ y, phư ơ ng trình có vô số nghiệ m, dạ ng tổ ng quát củ a nghiệ m là (x € R; y = 6) hoặ c viế t (x; 6). ^. Nhậ n xét: 1. Vì hệ số. củ a X trong phư ơ ng trình bằ ng 0 nên không thể. giả i. phư ơ ng trình theo X đ ư ợ c.. y 6 2. Tậ p các nghiêm củ a phư ơ ng trình: Ox + 2y = 12 <=> y = 6 là mộ t đ ư ờ ng thắ ng song song vớ i Ox và Cắ t Oy tạ i đ iể m có tung đ ộ bằ ng 6. ~^1 Tổ ng quát: Phư ơ ng trình y = m có vô số nghiệ m dạ ng (x, m),biể u mặ t phẳ ng toạ đ ộ là đ ư ờ ng thẳ ng song song vớ i Ox và cắ t Oy tạ iđ đ ộ bằ ng m nế u m * 0, trùng vớ i Ox nế u m = 0. Vẩ dụ 4« Giả i phư ơ ng trình: 6x - Oy = 18.. y =6 y =0 diễ n trên iể m cóngtu. Jg$ Giả i Thự c hiệ n việ c biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: 6x = 18 o X = 3. Tớ i đ ây, cho y các giá trị tuỳ ý ta luôn nhậ n đ ư ợ Xc = 3, do đ ó các cặ p số (3; 2005J,i(3; 1989),... đ ể u là nghiêm củ a phư ơ ng trình..

(8) Vậ y, phư ơ ng trình có vô số nghiệ m, dạ ng tổ ng quát củ a nghiệ m là (3ì; y 6 R hoặ c viế t (3; y). ^. Nhậ n xét: 1. Vì hệ số củ a y trong phư ơ ng trình bằ ng 0 nên không Ithể giả phư ơ ng trình theo y đ ư ợ c. y X= 3 2. Tậ p các nghiệ m củ a phư ơ ng bình: X=0 6x - Oy = 18 o. X. 3. cắ t Ox tạ i đ iể m có hoành đ ộ bằ ng 3. Tổ ng quát: Phư ơ ng trình X = n có vô số nghiệ m dạ ng (n; y), biể u diễ n trêi mặ t phẳ ng toạ đ ộ là đ ư ờ ng thẳ ng song song vớ i Oy và cắ t Ox tạ i đ iể m c< hoành đ ộ bằ ng n nế u n * 0, trùng vớ i Oy nế u n = 0. Vể ẩ y 5i (Bài 1/tr 7 —Sgk): Cho hai phư ơ ng trình X + 2y = 4 và X —y' = 1. V, hai đ ư ờ ng thẳ ng biể u diễ n tậ p nghiệ m củ a hai phư ơ ng trình đ ó trét cùng mộ t hệ toạ đ ộ . Xác đ ị nh toạ đ ộ giao đ iể m củ a hai đ ư thân ờ ingị và cho biế t toạ đ ộ củ a nó là nghiệ m củ a các phư ơ ng trình rtă to. Jg$ Giả i -H ọ c sinh tự vẽ hình Ta có: ■ Đ ư ờ ng thẳ ng biể u diễ n tậ p nghiệ m củ a phư ơ ng trình X +2y = 4 đ i quí hai đ iể m A (0 ; 2) và B (4; 0). ■ Đ ư ờ ng thẳ ng biể u diễ n tậ p nghiệ m củ a phư ơ ng trìnhX - y = 1 đ i qua hai đ iể m C (0 ; -1 ) và B(1 ; 0). Từ đ ổ thị hàm số , dễ dàng nhậ nthấ y haiđ ư ờ ng thẳ ng ABvà CD giiao nhai tạ i đ iể m M (2 ; 1). Vì M e AB và M e CD nên toạ đ ộ củ a M là nghiệ m củ a cả hai ph ư ơ ng trình X + 2y = 4 và X - y = 1. Vấ d ụ Bĩ Tìm nghiệ m nguyên củ a các phư ơ ng trình: a. X - 3y = 4. b. 3x + y = 6. c. 4x - 5y = 8. Jgỉ Giả i a. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: X = 3y + 4. Nhậ n xét rằ ng, vớ i V yeZ, ta luôn có X = 3y + 4 eZ . Vậ y, phư ơ ng trình có vô số nghiệ m nguyên thoả mãn (3y + 4; y) vớ i yeZ. b. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vể dạ ng: y = -3x + 6. Nhậ n xét rằ ng, vớ i V xeZ, ta luôn có y = -3x + 6eZ . Vậ y, phư ơ ng trình có vô số nghiệ m nguyên thoả mãn (x; 6 - 3x) vớ i xe z. c. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: 4x = 5y + 8 o x = — + 2 = y + 2-f- —. 4 4. (1).

(9) Đ ãi k = —, k eZ <=> y = 4k, keZ . 4 Thíy y = 4k vào (1), ta đ ư ợ c: X = (4k + 2) + k = 5k + 2. Vậ /, phư ơ ng trình có vô số nghiệ m nguyên thoả mãn (5k + 2; 4k) vớ i keZ. Nhậ n xét: Như vậ y, qua ví dụ trên chúng ta đ ã biế t đ ư ợ c mộ t phư ơ ng ph áp tìm nghiệ m nguyên củ a mộ t phư ơ ng bình bậ c nhấ t hai ẩ n. Vẩ d ụ 7i Cho đ ư ờ ng thẳ ng(d): mx - (m + 4)y = m. 1. Tìm m đ ể đ ư ờ ng tháng (d): a. Cắ t hai trụ c toạ đ ộ tạ i hai đ iể m phân biệ t. b. Song song vớ i Ox. c. Song song vớ i Oy. d. Song song vớ i đ ư ờ ng thẳ ng(A): X + y = 6. 2. Clnbìg minh rằ ng khi m thay dổ i, đ ư ờ ng thẳ ng(d) lu ôn đ i qua mộ t đ iể m cô đ ị nh. JSỈ Ỉ Giả i 1. Vớ i đ ư ờ ng thẳ ng (d), ta có a = m, b = -(m + 4) và c = m. a. Đ ể (d) cắ t cả hai trụ c toạ đ ộ đ iể u kiệ n là: a?iO m*0 m*0 ' b & 0 <=> • - (m + 4) * 0 o < m * -4 m*0 c* 0 Vậ y, vớ i m * 0 và m * -4 , thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. b. Đ ê (d) song song vớ i Ox đ iề u kiệ n là: 'ĩ i = 0 m=0 b * 0 <=> <- (m + 4) * 0 , vô nghiệ m, c*0. m*0. Vậ y, khổ ng tồ n tạ i m đ ể (d) song song vớ i Ox. c. Đ ể (d) song song vớ i Oy đ iề u kiệ n là: a*0 m*0 b = 0 <=> - (m + 4) = 0 <=> m = -4. c^O. m*0. Vậ y, vớ i m = -4, thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. d. Viế t lạ i phư ơ ng trình hai đ ư ờ ng thẳ ng (d) và (A) dư ớ i dạ ng: m m (d): y = —— ——— - XX----- —— , vớ i m * -4 m+4 m+4 , , ,. Í A y f = -X + 6.

(10) Khi đ ó, đ ể (d) song song vớ i đ ư ờ ng thẳ ng (A) đ iể u kiệ n là: m = -1 <=> m = - m - 4 o 2m = - 4 » m = -2 . m+4 Vậ y, vớ i m = -2 , thoả mãn đ iể u kiệ n đ ầ u bài. 2. Giả sử M (x0; y0) là đ iể m cô' đ ị nh mà đ ư ờ ng thẳ ng (d) luôn đ i quai <=> mx0 - (m + 4)y0= m, Vm <=> m(x0 - y0 - 1) - 4y0 = 0, Vmi x 0 =1 xo - y o - 1= 0 <=> l-4 y 0 = o y 0 =0 Vậ y, đ ư ờ ng thẳ ng (d) luôn đ i qua đ iể m cố đ ị nh M (l; . 0) Vấ d ụ 8i a. Lậ p công thứ c tính khoả ng cách từ gố c toự đ ộ đ ế n đ ỉ ư ờ tvg thẳg n ax + by + c = 0. b. Áp dụ ng, tính khoả ng cách từ gố c toạ đ ộ đ ế n đ ư ờ hẳngng t 3x -4 y = 10. Giả i a. Ta xét các trư òmg hợ p: Trư ờ ng hợ p 1: Nế u a = 0 và b * 0. Khi đ ó, đ ư ờ ng thẳ ng có dang: by + c = 0 o y = —— doó,đ khoả ng icách từ b c gố c o đ ế n đ ư ờ ng thẳ ng bằ ng b Trư ờ ng hợ p 2: Nế u a * 0 và b = 0. Khi đ ó, đ ư ờ ng thẳ ng có dạ ng: ax + c = 0 o y = - - do đ ó,oảkhng cách từ gố c o đ ế n đ ư ờ ng thẳ ng bằ ng Trư ờ ng hợ p 3: Nế u a, b * 0. Gọ i A, B theo thứ tự là giao đ iể m củ a (d) vớ i các trụ cOy, Ox, ta đ ư ợ c : Vớ i đ iể m A:X = 0 => y = ■. ■. b. , do đ ó A(0, —). b. Vớ i đ iể m B: y = 0 =>X = - —, do đ ó B (-—, 0). a a Gọ i H là hình chiế u vuông góc củ a o lên đ ư ờ ng thẳ ng (d). 1 1 1 Trong AOAB vuông tạ i o , ta có: + OH2 OA OB c c OA.OB b a Ic I oO H = 6 2 + O B 2 Va2 + b :. itỵ / H B. 7. o. <*).

(11) I -1 0 I. b. Gọ i h là khoả ng cách từ o đ ế n đ ư ờ ng thẳ ng, ta có ngay: h =. Nhậ n xét: Công thứ c (*) vẫ n đ úng trong trư ờ ng hợ p 1 và trư ờ ng hợ p 2. Vẩ d ụ fti Cho hai đ ư ờ ng thẳ ng: (d,): a,x + b,y + Cị = 0 (a,, bị * 0). (d2): a2x + b2y + c2 = 0 (a2, b2* 0). Chứ ng minh rằ ng: a. (d|) và (d-,) cắ t nliau khi — * — . a2 b2 b. (d,) và (d,) song song vớ i nhau khi — = — ^ £ l a2 b2 Co c. (d,) và (d^) trùng nliau khi — = — = — . 3■ ) b 2 c 2 Giả i Như ta đ ã họ c ờ phầ n trư ớ c, vớ i hai đ ư ờ ng thẳ ng: (d,): y = m,x + n, và (d2): y = m2x + n2 ta có, các kế t quả : ■ (d ,)//(d 2) <» m, = m 2 vàn, * n2. ■ (d|) = (d2) o m, = m2và n, = n2. ■ ( d ^ n (d2)= {A} O m , * m 2. Viế t lạ i các đ ư ờ ng thẳ ng dư ớ i dạ ng: (d,):y = - i ữ. x + ^ - và(d2):y = - ^ - X + ^ b Ị. Ị. b^. 2. a. (d,) và (<±2>cắ t nhau khi: 3 b --Ì- * <=> — ^ — , đ pcm. b, b2 a, b. 1. al. a2. b,. b2. Ị. 3| b| c1 4 <=> — = — * — , đ pcm. b-) C9. <=> b, b2. c2. J. c2 b2 c. (a^) và (c^) trùng nhau khi: ÌL <=> a2 b. b2 <. 2| b, cI 4 ^2 <=> — = — = — , đ pcm. âi bi Co c2. =. 2..

(12) c. BÀI TẬ P LUYỆ N TẬ P Bàỉ ỉ : Giả i các phư ơ ng trình sau: a. 4x - y = 1. c. 0x + 2y = 6. b. x + 2y = 0. d. 3x - Oy = 12. Bàl 2: Vẽ các đ ư ờ ng thẳ ng có phư ơ ng trình sau: a. 3x - 4y = 12. c. Ox - y = 2. b. 3x - 2y = 0. d. 2x - óy = -A. Bài 3: Kiể m tra xem trong các cặ p số : (3,-1), (V2 , 1 - \Ị Ĩ ), (81, -80)., (2, 1). cặ p số nào là nghiệ m củ a phư ơ ng trình X+ y = 1. Bàỉ 4: Đ ư ờ ng thẳ ng 2x - y = -4 đ i qua đ iể m nào trong các đ iể m sau: A(2,4), B ( - ) = ,4 + V2. , - 2 n/3). \/3 —2. Bài 5: Cho đ ư ờ ng thẳ ng (d): mx + 2y = 4. 1. Vẽ đ ư ờ ng thẳ ng khi m = 2. 2. Tim m đ ể đ ư ờ ng thẳ ng (d): a. Cắ t hai trụ c toạ đ ộ tạ i hai đ iể m phân biệ t. b. Song song vớ i Ox. c. Song song vớ i Oy. d. Song song vớ i đ ư ờ ng thẳ ng (A): X+ y = 6. e. Có hư ớ ng đ i lên. f. Có hư ớ ng đ i xuố ng. 3. Chúng minh rằ ng khi m thay đ ổ i, đ ư ờ ng thẳ ng (d) luôn đ i qua mộ t đ iể m (Cố đ ị nh. Bài 6: Chứ ng minh rằ ng khi m thay đ ổ i, các đ ư ờ ng ẳ th ng sau luôn đ i quia mộ t đ iể m cố đ ị nh. a. 3x + m(y - 1) = 2. b. mx + (m —2)y = m. c. m(x —5) — 2y = 6. d. mx —2y = 6. Bài 7: Tim nghiệ m nguyên củ a các phư ơ ng trình sau: a. 2x + y - 4. d. 3x - 2y = 4. b. X- 7y = 9. e. 3x + y = 8. c. X—2y = 3. f.X—2y = 3. Bài 8: Tính khoả ng cách từ gố c toạ đ ộ đ ế n các đ ư ờ thẳngng: a. 4x + 3y + 20 = 0. c. 3x = 2. b. 2x - y = 4. d. -2y = 1.. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP SỐ Bài 1: Đ ề nghị họ c sinh tự làm phầ n biể u diễ n hằ ng đ ồ thị . a. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: y = 4x - 1 suy ra, các cặ p số (1, 3), (0, -1), ...là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Vây»d>$Iợ Hg trình có vô số nghiệ m, vớ i dạ ng tổ ng quát (x, 4 x -l)..

(13) ). Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vể dạ ng:X = -2y suy ra, các cặ p sô' (0, 0), (-4, 2), ...là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Vậ y, phư ơ ng trình có vô số nghiệ m, vớ i dạ ng tổ ng quát (-2y, y). c. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: 2y = 6 <=>y = -3 suy ra, các că p số (0, 3), (81, 3), ...là nghiệ m của phư ơ ng trình. Vậ y, phư ơ ng trình có vô sô' nghiộ m, vớ i dạ ng tổ ng quát (x, 3). d. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vể dạ ng: 3x = 12 o X= 4 suy ra, các cặ p số (4, 33), (4, 89), ...là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Vậ y, phư ơ ng trình có vô sô' nghiộ m, vớ i dạ ng tổ ng quát (4, y). Bài 2: Họ c sinh tự làm. Bài 3: Ta lầ n lư ợ t xét: ■ Thay (3, -1) vào phư ơ ng trình, ta đ ư ợ c: 3 + (-1)= 1 o 2 = 1, mâu thuẫ n. Vậ y, cạ p (3, -1) không phả i là nghiêm củ a phư ơ ng trình. ■ Thay ( \Ỉ 2 , 1 - yfĩ ) vào phư ơ ng trình, ta đ ư ợ c:yỊ Ĩ + 1 - V Ĩ = 1 o 1 = 1, đ úng. Vậ y, cặ p. ( \fĩ. ,. 1-. \Í2. ) là nghiộ m củ a phư ơ ng trình.. ■. Thay (81, -80) vào phư ơ ng trình, ta đ ư ợ c: 81 + (-80) = 1 o 1 = 1, đ úng. Vây, cặ p (81, -80) là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. ■ Thay (2, 1). vào phư ơ ng trình, ta đ ư ợ c: 2 + 1 = 1<=> 3 = 1, mâu thuẫ n. Vậ y, cặ p (2, 1) không phả i là nghiêm củ a phư ơ ng trình. Bài 4: Ta lầ n lư ợ t xét: • Thay A(2, 4) vào phư ơ ng trình đ ư ờ ng thẳ ng, ta đ c: ư ợ 2.2- 4 = -4 o 0 = -4, mâu thuẫ n. Vậ y, đ ư ờ ng thẳ ng không đ i qua đ iể m A. •. Thay B( - \= , 4 + V2 ) vào phư ơ ng trình đ ư ờ ng thẳ ng, ta đ ư ợ c: V2 2. - L - ( 4 + y /ĩ )= -4 <=>-4 = -4, đ úng.. V2. Vạ y, đ ư ờ ng thẳ ng đ i qua đ iể m B. • Thay C( 1, -2) vào phư ơ ng trình đ ư ờ ng thẳ ng, ta ư đợ c: 2.1 - (-2) = -4 <=>4 = -4, mâu thuẫ n. Víậ y, đ ư ờ ng thẳ ng không đ i qua đ iể m c. •. Thay D( - ị j -— , - 2 \ ỉ ĩ ) vào phứ ợ ng trình đ ư ờ ng thẳ ng, ta đ ư ợ c: V3 - 2 2.. V 3 -2. (-2 \ ỉ ỉ ) = - 4 0 2 .. -= JĨ - - 1 ------+ 2V3 = -4 (>/3-2X73+2). <=>-2( +2) + 2yJĨ = - 4 o - 4 = -4, đ úng. V ậ y, đ ư ờ ng thẳ ng đ i qua đ iể m D. Bàỉ 5:: Giả sử M (x0 ; y0) là đ iể m cố đ ị nh mà đ ư ờ thẳngng luôn đ i qua: <=>mx0 + 2y0= 4, Vm <=> mx0 + 2y0- 4 = 0, Vm.

(14) CHỦ BỀ. 2. J. _. J. £. p h ư ơ n g tr ìn h b ậ c n h ấ t h a i ẩ n s ố A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T. 1. Đ Ị NH NGHĨ A. Giả i hệ phư ơ ng trình là tìm tấ t cả các cặ p. íệ Ị ri chung củ a hai ISỉ Ms-.riMí- ''. 2. NGHIỆ M VÀ SỐ CÁC NGHIỆ M CỦ A HỆ - ] _ Vớ i hệ hai phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n ế Hộ có nghiệ m duy nhấ t o “ 51.Vị.. Hệ có vô sô n, 3* HỆ PHƯ ONGTRÍNH TƯ Ơ NG Đ Ư Ỡ NG t mọ i nghiệ m củ a •'£yì :£~3ỳ t. tĩ ình khác tư ơ ng • •. '4. y. AL. ỉ lỉ t-* • ■ ■ ■. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Vẩ d ụ l t. Giả i hệ phư ơ ng trình sau bằ ng đ ồ thị: [4x + 3y = 12 8x + 6y = 24. J&> Giả i Trư ớ c tiên, ta vẽ hai đ ư ờ ng thẳ ng 4x + 3y = 12 và 4 8x + 6y = 24, đ ó chúih là đ ổ thị củ a hàm số y = —-x4+. Đ ể vẽ đ ồ thị ta lấ y 2 đ iể m A(0, 4) và B(3, 0). Hai đ ư ờ ng thẳ ng trùng nhau nên có vô số đ iể m chung. Vậ y, hệ có vô số nghiệ m, mỗ i nghiệ n*Wtoạ đ ộ (x, y) củ a mộ t đ iể m trên đ ư ờ ng thẳ ng 4x + 3y = 12..

(15) /ẩ ilặ i 2:. (Bài 4/tr 11 - Sgk): Không cầ n vẽ hình, hãy cho biế t s ố nghiệ m củ a mỗ i hệ phư ơ niỊ trình sau đ ày và giả i thích vì sao? 2y = -3x y = 3 -2 x c. a. 3y = 2x y = 3x -1 1 2 1 y = - —X + 1 2. 3x - y = 3. y = - —X + 3. b.. d.. X-_ i—y -=11 3. s £ Giả i ì. Xét các phư ơ ng trình trong hệ , ta có: ■ Đ ư ờ ng thắ ng y = 3 - 2x có hệ sô góc a, = -2. ■ Đ ư ờ ng thẳ ng y = 3x - 1 có hộ sô góc a, = 3. Vì a, * a2 nên hai đ ư ờ ng thẳ ng này cắ t nhau. Vậ y hệ có mộ t nghiệ m duy nhấ t. b. Xét các phư ơ ng trình trong hệ , ta có: 1 1 ■ Đ ư ờ ng thă ng y = —- X + 3 có hệ số góc a, = —- . 1 1 Đ ư ờ ng thă ng y = ——X + 1 có hê số góc a2 = —- . ■. Vì a, = a2 nên hai đ ư ờ ng thẳ ng này song song vớ i nhau. Vậ y hệ vô nghiệ m. '2y = -3x c. Xét hệ : 3y = 2x Ta có: 3 3 ■ Đ ư ờ ng thẳ ng y = X có hộ số góc a, = . Đ ư ờ ng thẳ ng y=. 2. 2. góc a2 = —. 3 3 Vì a,.a2 = -1 nên hai đ ư ờ ng thẳ ng này vuông góc vớ i nhau. Vậ y hệ có mộ t nghiệ m duy nhấ t. Dễ thấ y nghiêm đ ó là (0 ; 0). 3x - y = 3 d. Xéithệ :. 1 X - - y =1 3 Ta có: ■ Đ ư ờ ng thẳ ng 3x - y = 3 <=> y = 3x - 3. ■. ■. — X có hộ. số. Đ ư ờ ng thẳ ng X - —y = l o y = 3 x - 3 . g*S Ệ 3 '0.

(16) Ta thấ y hai đ ư ờ ng thẳ ng này trùng nhau. Vậ y hệ có vô số nghiệ m. Vẩ 3 ĩ Hãy xác đ ị nh s ố nghiệ m củ a các hệ phư ơ ng trình sau (minhhoọ bằ ng đ ồ thị ): 3x + 6y = 6 [ 2 x - y = -1 x -y = 8 c. a. b. X + 2y = 3 x -y — 1 - - z =4 12 2 Jầ lT Giả i a. Nhậ n xét rằ ng:. y* ị. ,y = 2x + 1. ã| 2 » x bI 1 -ã| b, I ^ y = *+1 - í - = - = 2 v à — = — = 1=> — . /! 1 ồ 2 1 ^2 Vậ y, hệ có nghiệ m duy nhấ t. v y o X Dự a vào đ ổ thị , ta thấ y hệ có nghiệ m duy nhấ t (0; )1. A Ị b. Nhậ n xét rằ ng: _ - 1 _= 2 A/ ÌL = 2 và b, = o 1/ 2 1/2 -. y = X- 8. B -8 / Vậ y, hệ có vô số nghiệ m, c. Nhậ n xét rằ ng: a. 1. = > 1 l = ^ l = 3 ^ £ l = 2. 2. 2. 2\ ^ 3 x + 6w = 6 ^ x + 2v =2. t 2. Vậ y, hệ vô nghiệ m. VI Ể ụ ái Hãy xác đ ị nh s ố nghiệ m củ a các hệ phư ơ ng trình sau(miinh hoạ bằ ng đ ồ thị ): |4x + 0y = 12 a. 1X - y = 2 MS Giả i a. Nhậ n xét rằ ng: fl = l= 4 v à ^ = 0 1 -1 Vậ y, hệ có nghiệ m duy nhấ t. [x = 3 Dự a vào đ ổ thị , ta thấ y hê có nghiêm duy nhấ t là: Ly = 1 &. 0. C. CDTĐ HĐ S9-T2.

(17) b. Nhậ n xét rằ ng: Í11 1 _ ì ^I ^ 31 bI -JL = — = 00 và — = — = -3 => — * — . Vậ y, hệ có nghiệ m duy nhấ t. Dự a vào đ ổ thị , ta thấ y hệ có nghiệ m duy nhấ t (0; 2). 4 [ax - y = 2 Vể d y Sì Chứ ng tỏ rằ ng hệ phư ơ ng trình: X + 2y = 3. X +. 3y =. a. Có nghiệ m duy nhấ t vớ i a = 3. b. Vô nghiệ m vớ i a = ——. Hãy minh hoạ bằ ng đ ồ thị . e S Giả i a. Vớ i a = 3, hộ phư ơ ng trình có dạ ng:. 3 x -y = 2 X + 2y = 3. Nhậ n xét rằ ng: -l i a , b. a— i _= — J =3 -1 và' — b i = —— = - - => — * — 2 2 a 2 b2 1 Vậ y, hệ có nghiệ m duy nhấ t. Dự a vào đ ồ thị , ta thấ y hệ có nghiệ m duy nhấ t là: X= 1. y= r b. Vớ i a =. hệ phư ơ ng trình có dang: ít. 1 2x. .. X + 2y = 3. Nhậ n xét rằ ng: a, = - 1 / 2 = 1 . b L = z Ị _ a2 1 2 Vậ y, hệ vô nghiêm. VỂ d ụ ftĩ. Cho hệ phư ơ ng trình :. 2. ì a, X + y = b [a2x + y = b. a. Chứ ng minh rằ ng hệ luôn có nghiệ m vớ i mọ i a,, a-,, b bấ t kì. ìị ể ỳ Hệ có thể có vô sô' nghiệ m đ ư ợ c không? Đ AI HỌ C QUỐ C GIA HÀ NỔ I I p. /. V IS T ). 6.

(18) ã. S Giả i. íy = -a ,x + b a. Biế n đ ổ i hê về dang: < [y = - a 2x + b. (d.) (d2). Nhậ n xét rằ ng, hai đ ư ờ ng thẳ ng (d,) và (di) ứ ng vớ i hai phư ơ ng trìinh troi)j hộ luôn cắ t trụ c Oy (vì có hệ số tự do bằ ng nhau) tạ i đ iể m1(0, b). Vậ y, hệ phư ơ ng trình luôn có nghiệ m (0, b) vớ i mọ i a,, a2, b bấ t kì. b. Hệ có vô số nghiệ m khi: (dị ) 3 (c^) <=> a, = a2. Vẩ ẩ y 7 t Sử dụ ng ba đ ị nh lí đ ã biế t tìm ba hệ phư ơ ng trình tư ơ ng đ iư gơ vó n íx -y = 2 hệ sau: < Ị x -3 y = 8 Giả i Ta lầ n lư ợ t: x -y = 2 1. Sử dụ ng đ ị nh lí 1, ta đ ư ợ c: x -3 y = 8 2. Sử dụ ng đ ị nh lí 2, ta đ ư x -y = 2 <=> x -3 y = 8 3. Sử dụ ng đ ị nh lí 3, ta đ ư X- y = 2 <=> x -3 y = 8. 2. 2. X- 3 y = 8. ợ c: x -y = 2. <=>. x -y = X. 2y = -6 (x -y )-(x -3 y ) = 2 -8 ợ c: X= y + 2 X= y + 2 <=> - 2y = 6 (y + 2 ) -3 y = 8. ^. Nhậ n xét: Trong lờ i giả i trên, khi sử dụ ng đ ị nh lí 2 và đ ị nhí 3l nêVu chúnj ta chỉ cầ n sử 'đ ụ ng thêm mộ t lầ n nử a đ ị nh lí 3 sẽ thiu đ ư ơ i nghiệ m củ a hệ . Vẩ ẩ y i t Giả i thích tạ i sao hai hệ phư ơ ng trình sau tư ơ ng đ ư ơ ng: 2x -* y = 1 [2x - y = 1 và 3 • 13x - 4y = 2 * -y -f Gidi Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Thự c hiệ n phép biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng: 2x - y = 1 2x - y = 1 2 x - y = 1 :5 o 3 • y=2 5x - 5 y = 3 x -y -j.

(19) Cách 2: Sử dụ ng đ ị nh nghĩ a: ■ Giả i hệ thứ nhấ t, ta đ ư ợ c nghiệ m duy nhấ t (2, 1). ■ Giả i hệ thứ hai, ta đ ư ợ c nghiệ m duy nhấ t (2, 1). Vậ y, hai hệ phư ơ ng trình là tư ơ ng đ ư ơ ng. Nhậ n xét. Tớ i đ ây, chúng ta có thể khả ng đ ị nh đ ư ợ c rằ ng vớ i hai ệ h phư ơ ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng trong trư ờ ng hợ p có nghiệ mduy nhât luôn tồ n tạ i hai cách chứ ng minh (sử dụ ng các phép biế n đ oi tư ơ ng đ ư ơ ng và sử dụ ng đ ị nh nghĩ a). Vẩ dụ -Bĩ Giả i thích tụ i sao hai hệ phư ơ ng trình sau tư ơ ng đ ư ơ ng: x + 2y = 2 _ Í3x + 6y = 6 ì và < 2x + 4y = 4 4x + 8y = 8. Cách 2: Sử dụ ng đ ị nh nghĩ a: ■ Giả i hộ thứ nhấ t, ta thấ y hệ có vô số nghiệ m thoả mãn (2 - 2y, y). ■ Giả i hệ thứ hai, ta thấ y hệ có vô số nghiệ m thoả mãn (2 - 2y, y). VẠ y, hai hệ phư ơ ng trình là tư ơ ng đ ư ơ ng. Nhậ n xét: Tớ i đ ây, chúng ta có thể khă ng đ ị nh đ ư rằ ợ ng c vớ i hai hệ phư ơ ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng trong trư ờ ng hợ p có vô số nghiệ m luôn tồ n tạ i hai cách chứ ng minh (sử dụ ng các phép biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng và sử dụ ng đ ị nh nghĩ a). yẩ d y lO t Giả i thích tạ i sao các cặ p hệ phư ơ ng trình sau tư ơ ng đ ư ơ ng : X-2 y = 3 X - 2y = 3 a. và x-2y = 4 [3x - 6 y = 12 ^. b.. 3\-2y = 1. (x + y = 3 vã < 6x - 4y = 3 Ị 3x + 3y = l. e $ Giả ủ a. Ta c<ó thể trình bày theo hai cách sau: Cách ì : Thự c hiệ n phép biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng: Cách 2: Sử dụ ng đ ị nh nghĩ a: ■ Giiả i hộ thứ nhấ t, ta thấ y hệ vô nghiệ m. ■ Giiả i hệ thứ hai, ta thấ y hệ vô nghiệ m. Vâv. phư ơ ng trình là tư ơ ng đ ư ơ ng..

(20) b. Ta thự c hiệ n: ■ Giả i hệ thứ nhấ t, ta thấ y hệ vô nghiệ m. ■ Giả i hộ thứ hai, ta thấ y hộ vô nghiệ m. Vậ y, hai hệ phư ơ ng trình là tư ơ ng đ ư ơ ng. ^. Nhậ n x é t Như vậ y, vớ i hai hệ phư ơ ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng ữ ong nưt ờ ng h< vô nghiệ m cách tố t nhấ t là sử dụ ng đ ị nh nghĩ a đ ê chứ ng iminh.. c. BÀI TẬ • P LUYỂ • N TẬ • P Bài 1: Hãy xác đ ị nh số nghiệ m củ a các hệ phư ơ ng trì nh sau (minh hoạ bằ ng đ ố thị ) ;-3 y = 2 Í4x-3y = 0 a. 2x + y = 2 ' [3x + 4y = 0 Bàỉ 2: Hãy xác đ ị nh số nghiệ m củ a các hệ phư ơ ng trìn h sau (minh hoạ bằ ng; đ ồ thị ) X-3y = 6 [x -y = 6 a. b. 3 x -9 y = 3 [3x-3y = 18 Bài 3: Hãy xác đ ị nh số nghiệ m củ a các hệ phư ơ ng trìn h sau (minh hoạ bằ ng dồ thị ) X -Oy = 2 [0x + 6y = 24 a. < b. Ox + 4y = 8 [X - 2y = 1 r. Bài 4: Bằ ng đ ồ thị , chúng tỏ rằ ng hệ phư ơ ng trình:■. 3x - y = 1 2x - ay = -3. a. Có nghiệ m duy rthấ t vớ i a = 2. 2. b. Vô nghiệ m vớ i a = —. Bài 5: Bằ ng đ ồ thị , chứ ng tỏ rằ ng hệ phư ơ ng trình:. x + 2y = a 2x + 4y = 6. a. Có vô số nghiệ m vớ i a = 3. b. Vô nghiệ m vớ i a * 3. Bài 6: Bằ ng đ ồ thị , chứ ng tỏ rằ ng các hệ phư ơ ng trì nh sau luôn có nghiệ m dỉ uy nhấ t x + 2y = 9 Í3x-2y = 8 a. •< . b. •< x=n [y = m .„ _ , , . , ị a2x - y = b Bài 7: Cho hê phư ơ ng trình: < 2ax - y = b a. Chứ ng minh rằ ng hệ luôn có nghiệ m vớ i mọ i a, b bấ t kì. b. Hệ có nghiệ m duy nhấ t khi nào ? c. Hệ cậ ^Ị Ồ số nghiộ m khi nào ?.

(21) 2x - y = 1 tài 8: Xác đ. ị nha đ ể. hệ phư ơ ng tr ì n h sau có n g h i ệ. m:. X+ y =. 2. ax - y = -3. Minh hoạ bầ ng đ ồ thị . Bài 9: Sử dụ ng ba đ ị nh lí đ ã biế t tìm ba hệ phư ư ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng vớ i mỗ i hệ sau: x + 3y = 2 jx + y = 7 a. 3x+8y = 5 [3x + 4y = 25 Bài 10: Giả i thích tạ i sao các cặ p hệ phư ơ ng trình sau tư ơ ng đ ư ơ ng: '3x + y = 2 v 6x + 2y = 4 2x + 3y = 7 |2x + 4y = 8 và b. < và < a. x + 2y = 4 [y = 1 [2x + 3y = 6 y =2 Bài 11: Giả i thích tạ i sao các cạ p hệ phư ơ ng trình sau tư ơ ng đ ư ơ ng: 4x -6 y = 2 2 x -3 y = 1 và a. 6x -9 y = 3 X - —y = — 2 2 b.. c.. 44=1 2x + 3y = 6 và • 3 2 lOx + 15y = 2 4x + 6y = — 5 - y =1 Ị 8x + 9y = 11 và 2 x -2 y = 3 [16x + 18y = 3 X. Bài 12: Tim giá trị củ a m đ ể các cặ p hệ phư ơ ng trìnhsau tư ơ ng đ ư ơ ng: 2x + 3y = 7 íx + y = 3 và < a. x + 2y = 4 l2 x - y = m b.. X + 2y = 1. 2x + 5y = 3. và. x + 3y = 2 3mx + (m2 + 8)y = 4m + 2. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP SỐ Bài 1: Họ c sinh tự vẽ hình. a.. X = !— và' y = — 2 -.. u b.. X_ = n0 và' y _ = n 0.. b.. Xs l v ^. b.. X = 9 và y = 4.. 7 7 Bài 2: Họ c sinh tự vẽ hình. a. Vô nghiộ m. b. Vô sô nghiệ m dạ ng (x, x-6). Bài 3: Họ c sinh tự vẽ hình. i 2..

(22) Bài 4: Họ c sinh tự vẽ hình. a. Vớ i a = 2, hệ phư ơ ng trình có dạ ng: ,. ì. 3|. 3. . b.. -1. 3 x -y = l 2 x -2 y = -3 1 _ a t. b|. Nhậ n xét rằ ng — = —và— = — = —=>— *-p-. bj -2 a. a 2 b 2 Vây, hê có nghiêm duy nhấ t là X = —, y = — . 4 4 3 x -y = 1 b. Vớ i a = —, hệ phư ơ ng trình có dạ ng: 2x~ —y = -3 r 3 a, _ bj _ 3 c, _ 1 Nhân xét rằ ng — = — và — = — — a,‘2 2*• b, -2f!/3* "2 «2 u2 “ v2 ^ Vậ y, hộ vô nghiêm. Bài 5: Tham khả o bài tậ p 4. Bài 6: Họ c sinh tự vẽ hình. a. Ta nhậ n xét vể sự cắ t nhau củ a hai đ ư ờ ng thẳ ngX + 2y = 9 (đ ư ờ ng xiên)) vàX = (song song vớ i Oy). Vậ y, hệ luôn có nghiệ m duy nhấ t X = n và y = —(9 —n). b. Ta nhậ n xét về sự cắ t nhau củ a hai đ ư ờ ng thẳ ng x3 - 2y = 8 (đ ư ờ ng xiên) và y =1 (song song vớ i Ox). Vây, hê luôn có nghiệ m duy nhấ t X= —(2m + 8) và y = im. Bài 7: a. Biế n đ ổ i hệ về dạ ng:. y = a2x + b (dị ) y = 2ax + b (d2). Nhậ n xét rằ ng, hai dư ờ ng thẳ ng (d|> và (d2) ứ ng vớ i hai phư ơ ng trình tronjg hệ luô cắ t trụ c Oy (vì có hộ số tự do bằ ng nhau) tạ i đ iể m (10, b). Vậ y, hệ phư ơ ng trình luôn có nghiệ m (0, b) vứ i mọ i a, b bấ t kì. b. Hệ có nghiệ m duy nhấ t khi: a*0 a*0 (d|)cắ t (d2) o a 2* 2 a o a 2- 2 a ^ 0 o a ( a - 2 ) í 0 o < <=>• < a -2 * 0 a*2 c. Hệ có vô số nghiệ m khi: (d|) = (d2) <=><=>a2= 2a<=>a2-2 a = 0 < = > a ( a - 2) =. 0. C. 0 o. a =0 <a = 0 <=> a - 2 =0 ía = 2. CDTĐ HĐ S9-1.

(23) 2x - y = 1 Bài 8: Ta kí h i ệ. u:. <X + y = 2. (1) (2).. a x -y = -3 (3) Í2 x -y = 1 fx = l Xế t nê Dhư ơ ng trình tao bở i (1) và (2) là: < <=> < [x + y = 2 [y = l Đ ể hệ có nghiêm, đ iề u kiệ n là (*) phả i thoả mãn phư ơ ng trình (3), tứ c là: 1.1 - 1 = -3 <=> a = -2. Vậ y vơ i a = -2 hệ có nghiệ m. Bài 9: Hạ sinh tự làm. Bài 10: a. Ta có tiể trình bày theo hai cách sau: Cách /: Thự c hiệ n phép biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng:. (*). <=> Cách 2: Sủ dụ ng đ ị nh nghĩ a: ■ Giả hệ thứ nhấ t, ta đ ư ợ c nghiệ m duy nhấ t (2, 1). ■ Giả hệ thứ hai, ta đ ư ợ c nghiệ m duy nhấ t (2, 1). Vậ y, hâi hệ phư ơ ng trinh là tư ơ ng đ ư ơ ng. b. Ta có bể trình bày theo hai cách sau: Cách I: Thự c hiệ n phép biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng: 3x + y = 2 Í6x + 2y = 4 - Í6x + 2y = 4 [6x + 2y = 4 <=> [2x + 3y = 6 *3 |6x + 9y = 18 [7y = 14 7 y = 2 Cách 2: Sủ dụ ng đ ị nh nghĩ a: ■ Giả hệ thứ nhấ t, ta đ ư ợ c nghiệ m duy nhấ t (0, 2). ■ Giả hệ thứ hai, ta đ ư ợ c nghiệ m duy nhấ t (0, 2). Vậ y, hii hệ phư ơ ng trìiih là tư ơ ng đ ư ơ ng. Bài 11: a. Ta có tiể trình bày theò hai cách sau: 4x -6 y = 2 • :3 1• X - —y = _ , 2 2. 2x -3 y = 1 *2 o Cách /: Thự c hiệ n phép biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng: « 6 x -9 y = 3 6 Cách ch 2: SửSủ dụ ng đ ị nh nghĩ a: ■. *♦ ' 2x —1 Giả hệ thứ nhấ t, ta thấ y hệ oó.vô số nghiệ m thoả mãn ị x, —— ). ■. 2x —1 Giả hệ thứ hai, ta thấ y hệ có*vô sô nghiệ m thoả mãn (x, —— — ). phư ơ ng trình là tư ơ ng đ ư ơ ng. ẩ lẪ. Lể '. ,. c'.

(24) Xi6. ( ~ f 2x + 3y = 6 Cách I : Thự c hiệ n phép biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng:. - + I - 1— I — 11 3 2 5. Cách 2: Sử dụ ng đ ị nh nghĩ a: ■ Giả i hẹ thứ ahấ t, ta thấ y hẹ vổ nghiệ m. ■ Giả i hệ thứ hai, ta thấ y hệ vô nghiệ m. Vậ y, hai hệ phư ơ ng trình là tư ơ ng đ ư ơ ng. c. Ta lẩ n lư ợ t: ■ Giả i hệ thứ nhấ t, ta thấ y hộ vô nghiệ m. ■ Giả i hộ thứ hai, ta tháy hệ vô nghiệ m. Vậ y, hai hộ phư ơ ng trình là tư ơ ng đ ư ơ ng. Bài 12: a. Giả i hộ thứ nhấ t, ta đ ư ợ c nghiệ m duy nhấ tX = 2 và y = 1. Do đ ó, muố n hai hệ tư ơ ng đ ư ơ ng thì (2,1) cũ ng phả ài nghiệ l m củ a hộ còn lạ ii, tứ c là:. x+y=3 Thử lạ i, vớ i m = 2 hộ có dạ ng: < T [2 x -y = 3 dễ thấ y, hộ trên có nghiệ m duy nhấ t (2,1). Vậ y, vớ i m = 3 hai hệ phư ơ ng trình đ ã cho tư ơ ng đ ư g, ơ n b. Giả i hệ thứ nhấ t, ta đ ư ợ c nghiệ m duy nhấ tX = -1 và y = 1. Do đ ó, muố n hai hệ tư ơ ng đ ư ơ ng thì (—1,1) cũ ng phảlài nghiệ m củ a hệ còn ạ i,, tứ c là: -1 + 3.1 = 2 [2 = 2 3m(-l) + (m2 +8).l = 4m + 2. m2 -7m + 6 = 0. , o m - m - 6m + 6 = 0 o (m - l)(m - 6) = 0 o. m =1 m=6. Thử lạ i: ■. Vớ i m = 1 hệ có dạ ng:. ■. dễ thấ y, hệ có vô số nghiệ m, do đ ó m = 1 không thoả mãn.. Vậ y, vớ i m = 3 hai hệ phư ơ ng trình đ ã cho tư ơ ng đ ư g. ơ n Vớ i m = 6 hộ có dạ ng: • 6. =26. dễ thấ y, tó trên có nghiộ m duy nhấ t (-1, 1). Vậ y*yáýtn= 6 hai hệ phư ơ ng trình đ ã cho tư ơ ng đ ư ơ ng..

(25) ^. iỂ 3. G iả i h ệ p h ư ơ n g t r ìn h b ằ n g p h ư ơ n g PHÁP THẾ A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T. Đ ể xây dự ng đ ư ợ c thuậ t toán giả i hệ phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n bằ nghư pơ ng pháp tlế , chúng ta hãy bắ t đ ầ u vớ i việ c giả i hộ phư ơ ng trìnhsau: 2x + y = 7 (1) Bư ớ c 1 Chọ n phư ơ ng trình (1) ị x + 3 y = ll (2) vă btắ .hị đ ny.heo,. X á phư ơ ng trình (1) củ a hộ , ta biế n đ ổ i: Thay biể u thứ c cùa V y = 7 -2 x . (3) ----------------------► vào phư ơ ng trình (2), Tỉ ny (3) vào phư ơ ng trình (2), ta đ ư ợ c: rồ i tìm 8iứ tri củ a xX + 3(7 —2x) = 11 Bư ớ c ^ Thay giá trị cùa X vào <=> 5x = 10 <=> X ~ 2 --------------------"""*biể u thứ c trong bư ớ c 1,. ^. -. S. +. ±. ?. Í. Ĩ. Ỉ. ì. J. ị. ~. y = 7 - 2 . 2 = 3. Vậ y, hộ có nghiệ m duy nhấ t (2,3). Tù đ ó, đ ể giả i hệ phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n bằ ng phư ơ ng pháp thế , ta thự c hiệ n theo các bữ ớ c sau: Bư ớ c 1: Biể u thị mộ t ẩ n (giả sử x) theo ẩ n kia từ mộ t trong hai phư ơ ng trình. Bư ớ c 2: Thay biể u thúc củ a Xvào phư ơ ng trình kia rồ i tìm giá trị củ a y. Bư ớ c 3: Thay giá trị củ a y vừ a tìm đ ư ợ c vào biể u thứ c củ a X đ tìm ể giá trị cùax. Bư ớ c 4: Kế t luậ n nghiệ m củ a hệ phư ơ ng trình.. _______B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ Ĩ TOÁN Lị Vẩ dụ l i. g iả i. Hệ. ph ư. ơ n g t r ìn h. Giả i hệ phư ơ ng trình:. |5x + 3y = 1. (1). [2x + y = -1. (2). Giả i Ta lự a chọ n mộ t trong hai cách rút: Cách I: (Ta thự c hiệ n phép rút y): Xét phư ơ ng trình (2) củ a hệ , ta biế n đ ổ i: y = -2 x -l. (3) Thay (3) vào phư ơ ng trình (1), ta đ ư ợ c: 5x + 3 (- 2x —1) = 1 <=>-x=4<=>x = - 4 . Thay X = - 4 vào (3), ta đ ư ợ c: y = - 2.(-4) - 1 = 7 . Vậ y, hệ có nghiệ m duy nhấ t (-4; 7)..

(26) Cách 2: (Ta thự c hiệ n phép rút x): Xét phư ơ ng trình (2) củ a hệ , ta biê n đ ổ i:: x = ị (-y -l).. '(4). Thay (4) vào phư ơ ng trình (1), ta đ ư ợ c: 5. —(—y —1) + 3y = 1 o - y = - o y = 7.. 2W. 2. 2. Thay y = 7 vào (4), ta đ ư ợ c: X = —(-7 - 1) = -4. 2 Vậ y, hệ có nghiệ m duy nhấ t (-4; 7). *•“ Nhậ n xét. 1. Qua ví dụ trên, các em họ c sinh hiể u rằ ng đ ố i vớ i phư ơ ng phápo thê chúng ta cũ ng có thê lự a chọ n việ c rú t X hoặ c rú t y. Tuy nhiêm , đ ể giả m thiêu đ ộ phứ c tạ p trong tính toán chúng ta thư ờ ng chọ n việ c rú t ẩ n có hệ số nhỏ nhấ t trong hệ , cụ thể vớ i hệ trên việ tc rú t y từ phư ơ ng trình (2) là lự a chọ n tố t nhấ t. 2. Ư u đ iể m củ a phư ơ ng pháp thế , đ ư ợ c thể hiệ n nhiề u toong bài toáni giả i và biệ n luậ n, vì ở đ ó số nghiệ m củ a hệ phụ thuộ c vào số nị ghiệ nm củ a phư ơ ng trình bậ c nhấ t mộ t ẩ n thu đ ư ợ c. Yẩ i p 2« (Bài 14/tr 15 —Sgk): Giả i các hệ phư ơ ng trình bằ ng phư ơ ng pháp ứ hế \ X+ yVs = 0 (2 -V 3 )x -3 y = 2+-5V3 a. b. XyỊ Ỉ + 3y = 1- V? 4x + y = 4 - 2V3 Giả i a. Ký hiệ u các phư ơ ng trình củ a hệ theo thứ tự là (1), (2). T ừ (l), ta có: x = -yV 5 . Thế vào (2), ta đ ư ợ c: (2)<=>-y V ? .V 5 + 3 y = l - Vs o y = — _ y fỉ - 1 _ _ V 5 -5 Vớ i y = — ----- => X = — -----. 2 2 Vậ y nghiệ m củ a hệ ( — —- ; — —ỉ -). b. Ký hiệ u các phư ơ ng trình củ a hệ theo thứ tự là (1), (2). Từ (2), ta có: y = 4 - 2 -v/3 - 4x. Thế vào (1), ta đ ư ợ c: ( 2 - V ã ) x - 3 ( 4 - 2 Vã - 4 x ) = 2 + 5V3 o (14 - V3 )x = 1 4 - 7 3 <=> X = 1 => y = - 2V3 . V ậ ỵ ^h|^ư cfng trình có nghiệ m (1 ; -2 V3 )..

(27) Vấ dụ 3ì. X+ 3y = 1. (Bài 15/tr 15 - Sgk): Giả i hệ phư ơ ng trình: trong các trư ờ ng hợ p sau: a. a = -1. b. a = 0.. (a 2+ l)x + 6y = 2a. c. a = 1.. Giả i X+ 3y = 1 a. Vớ i a = -1 , ta đ ư ợ c hộ phư ơ ng trình: < 2x + 6y = -2 Dễ dàng nhậ n thấ y hệ phư ơ ng trình này vô nghiệ m, b. Vớ i a = 0, ta đ ư ợ c hệ phư ơ ng trình:. X + 3y = 1. x + 3y = 1 X + 3y = -1. 0) ( 2). X+ 6y = 0. Từ (1), ta có: X = 1 - 3y 1 Thay vào (2), ta đ ư ợ c: l - 3 y + 6y = 0 o y = - - => X = 2 3 Vậ y, hệ có nghiệ m (2 ; - — c. Vớ i a = 1, ta đ ư ợ c hệ phư ơ ng trình:. X+ 3y = 1. <=>. X + 3y = 1. X+ 3y = 1 2x +6y = 2 Dễ dàng nhậ n thấ y hệ phư ơ ng trình này có vô số nghiệ m. Vẩ dụ 4 i (Bài 17/tr 16 —Sgk): Giả i các hệ phư ơ ng trình bằ ng phư ơ ng pháp thê: a.. x-v/2 -yV 3 = 1. b.. X+ y>/3 = yỊ Ĩ c.. x-2V 2y = V5 xV2+ y = l-V Ĩ Õ. (V2 - l)x - y = V2 X+ (V2 + l)y = 1. Jg$ Giả i a. Oiàihệ : Ị x 7 ĩ ^ ' / ỉ ĩ 1 |x + yV3 = V2. ® (2). Từ (2), ta có: X = y[ĩ - y-v/3 . Thế vào (1), ta đ ư ợ c: 4 ĩ ( 4 ĩ - y 4 ĩ ) - y S =1 o 2 - y-v/6 - y V 3 = 1 o y( Vó + i / 3 ) = l o y = — —— => X = 1. 3 J6-JĨ Vậ y, nghiêm củ a hộ (1 ; ---------- ). 3.

(28) b. Giả i hệ : «. x -2V 2y = V5. (1). xV 2+y = l-V Ĩ Õ. (2). Từ (1), ta có: X = 2V2 y + V5 Thế vào (2), ta đ ư ợ c: V2(2 V2y + V5) + y = 1 - VTÕ o 5 y = 1 - 2-y/Ĩ Õ X=. 5. 2V2- 3V?. Vậ y, hệ phư ơ ng trình có nghiệ m ( ( V 2 - l ) x - y = V2 c. Giả i hệ : < X+ (V2 + l)y = 1. 5. '. 5. ).. (1) (2). Từ (1) ta có: y = (V2 - l ) x - V2 Thế vào (2), ta đ ư ợ c: X+ (V2 +1)[(V2 - l ) x - V Ĩ ] = l o 2 x = 3 + V 2 O x = — Vậ y, hê phư ơ ng trình có nghiêm ( ^ + ^ 2 VỂ dụ. St. 1 ■ y— ị -. ; ——). 2. (Bài 18/tr 16 - Sgk): Cho hệ phư ơ ng trình:. 2x + by = -4 bx - ay = -5. (I). a. Xác đ ị nh các hệ số a và b, biế t rằ ng phư ơ ng trình trênCió nghiệ m là (1 ; -2). b. Xác đ ị nh các hệ số a và b, biế t rằ ng phư ơ ng trình trênCió nghiệ m l à ( V 2 - 1 ; VẺ ).. J&) Gidi Đ ể giả i dạ ng toán này, ta thự c hiệ n theo các bư ớ c sau: Bư ớ c 1: Giả sử hộ đ ã cho nhậ n cặ p nghiêm (x ; y) = (x ,; y,) là nghiệ nn.Dto đ ó: ( 1 ) 0 í2 x ,+ b .y' i bXị -a y , = -5 Bư ớ c 2: Giả i hệ phư ơ ng trình (lĩ ) vớ i biế n a và b. a. Hộ (I) có nghiệ m (1; -2 ) nên ta có: íb = 3 [b = 3 '2 - 2b = -4 i 0 ị a = -4 b + 2a = -5 + 2a = 5 Vậ y, v áftt= -4 , b = 3 thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài.. <n>.

(29) b. Hệ (I) có nghiệ m (V2 - 1 ; V2 ) nên ta có:. „. Í 2 ( V 2 - l ) + bV2 = - 4. Ị b V 2 = -2 -2 V 2. [b (V 2 -l)-a V 2 = -5. |b ( V 2 - l) -a V 2 = -5. (b = - 2 - V Ĩ. _ [b = - 2 - ' / ĩ. 0 Ị b ( V 2 - l) - a V Ĩ = -5 0 Vậ y, vớ i a = Vấ dn 6ĩ. l. a = 5^ ~ 2 ' 2. , b = -2 -\Í2 thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. [mx + 3y = - 2. (1). Ị m X - 6y = 4. (2). Cho hệ phư ơ ng trình'. <. a. Giả i hệ phư ơ ng trình vớ i m = 2. b. Tìm giá trị củ a m đ ể hệ có vỏ số nghiệ m. J Ề Gi ả i Xét phư ơ ng trình (1) củ a hộ , ta biế n đ ổ i: y = j(-m x -2 ).. (3). Thay (3) vào phư ơ ng trình (2), ta đ ư ợ c: m2x -6 . —(-m x - 2) = 4 o (m2+ 2m)x = 0. 3 a. Vớ i m = 2, phư ơ ng trình(4) có dạ ng: 8x = 0 o X = 0. Thay X = 0 và m = 2 vào (3) ta đ ư ợ c:. (4). y = —(—2.0 —2) = ——. 3 3. 2. Vậ y, vớ i m = 2 hộ có nghiệ m duy nhấ t (0; ——). b. Hộ có vô số nghiệ m khi: (4) có vô số nghiộ m <=>m2 + 2m = 0 o m = 0 hoặ c m = -2. Vậ y, vớ i m = 0 hoặ c m = -2 hộ có vô số nghiêm. ^. Nhậ n xét'. 1. Như vậ y, trong lờ i giả i trên đ ể tậ n dụ ng phép th ế trong mộ t bài toán có hai câu hỏ i chúng ta đ ã thự c hiệ n theo 3 bư ớ c: Bư ớ c 1: Bằ ng phép thế , chuyên đ ổ i tính chấ t củ a hệ thành tínhchấ t củ a phư ơ ng trình. Bư ớ c 2: Thự c hiệ n câu a). Bư ớ c 3: Thự c hiệ n câu b). )ó chính là cách thể hiệ n rấ t phổ biế n khi họ c lên cao..

(30) 2. Chúng ta đ ề u đ ã đ ư ợ c biế t rằ ng, có thể thự c hiệ n yêu cầ u " Tìm m đ ê hqệ có vô sô'nghiệ m " bằ ng cách dự a trên vị trí tư ơ ng đ ôi củ a hai đ ư crtng thă ă ng, cụ thể : Trư ờ ng hợ p 1: Vớ i m = 0, hệ phư ơ ng trình có dạ ng: ÍO.x + 3y = - 2 o.x - 6y = 4. Íx l u ỳ í <=>1 2y =~. Trư ờ ng hợ p 2 Vớ i m * 0 tiù đ iề u kiệ n đ ể hệ phư ơ ng trình có vô sô' nghiêm là: m 3 _ 2 * 1 1 ________ — - = - — = -----o — = - — <=>m = —2. m 6 4 m 2 Vậ y, vớ i m = 0 và m = 2, hệ có vô số nghiệ m. Lư u ỷ . Nế u ta không xét trư ờ ng hợ p m = 0 mà chỉ kiêm tra đ iề u kaệ n đ ê *hệ m 3 2 phư ơ ng trình có vô số nghiêm: —ỳ - - - - - thì không đ ư ợ c rút gọ n mồ mẫ u. Khi đ ó, ta phả i biế n đ ổ i như sau: = - —= - —o “ 6 m' o4 4m 2 m Vẩ Jụ. m = (0 = —— <=>2m = - m2o m(2 - m) = 0 <=> 2 m = 22. 7» Cho hệ phư ơ ng trình:. x+y = l. (1). mx + 2y = m. (2). Tìm m đ ể : a. Hệ có vô số nghiệ m. b. Có nghiêm duy nhấ t. Tìm nghiệ m duy nhấ t đ ó. Giài Xét phư ơ ng trình (1) củ a hệ , ta biế n đ ổ i: y = —X + 1. Thay (3) vào phư ơ ng trình (2), ta đ ư ợ c: mx + 2 (- X + l) = m » ( m - 2)x = m - 2. a. Hộ có vô số nghiêm khi: (4) có vô số nghiệ m <=>m -2 = 0<=>m = 2. Vậ y, vớ i m = 2 hệ có vô số nghiệ m. b. Hệ có nghiệ m duy nhấ t khi: (4) có nghiệ m duy nhấ t » m - 2 * 0 < = > m ĩ t 2 . Vậ y, vớ i m * 2 hộ có nghiệ m duy nhấ t và nghiệ m duy nhấ t là. (3Ĩ ) (40. (3). X = 1 ^ y = -1 + 1 = 0, tứ c là có nghiệ m (1,0). Vẩ dụ i t. Cho hệ phư ơ ng trình:. [X + my = 1 [mx - y = -m. (1) (2) ’. a. Chứ ng tỏ rằ ng vớ i mọ i m hệ luôn có nghiệ m duy nhấ t. b. Tìm giá trị cử a m đ ể hệ có nghiệ m(x, y) là mộ t đ iể m thuộ c gtóc phân tư thứ I..

(31) MS Giài a. Xét phư trng trình (2) củ a hệ , ta biế n đ ổ i: y = mx + m. Thay (3) vào phư ơ ng trình vào (1), ta đ ư ợ c: X + m(mx + m) = 1 <=> (rrr + 1)x = 1 - m 2<=> X =. 1- m m2+ 1. Thay X = —7—— vào (3), ta đ ư ợ c: m : +1 1- m m(l - m 2) + m ( m 2 + 1) _ 2m y = m. +m= m 2+ 1 m 2 +1 m 2 +1 Vậ y, vớ i mọ i m hệ luôn có nghiệ m duy nhấ t, b. Đ ể nghiệ m (x, y) là mộ t đ iể m thuộ c góc phầ n tư thứ I, đ iề u .kiệLà:n 'l-n r _ m <1 rl - m2 > 0 m 2 +1 <=> < <=>0<m < 1. 2m m>0 >0 2m >0 m +1 Vậ y, vớ i 0 < m < 1 thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. hậ n xét: Nhậ xét. 1. Trong chủ đ ề 9, chúng ta đ ã thự c hiệ n câu a) bằ ng phư ơ ng pháp cộ ng và ở đ ó chúng ta cầ n xét hai trư ở ng hợ p m = 0 và m* 0. Còn đ ôi vớ i phư ớ ng pháp thê thì không cầ n phả i như vậ y, đ ó chínhlà rnộ t trong sô nhữ ng ư u đ iể m củ a phư ơ ng pháp thế so vớ i phư ơ ng phápcộ ng. 2. Vớ i câu b), chúng ta đ ã sử dụ ng mộ t trong các kế tquả sau: ■ M(x, y) G P(I) <=>X > 0 và y > 0. ■ M(x, y) e P(II) <=>X < 0 và y > 0. ■. M(x, y) e P(III) o X < 0 và y < 0.. ■ M(x, y) e P(IV) o X > 0 và y < 0. Tiế p theo, chúng ta sẽ quan tâm tớ i các hệ phư ơ ngtrìnhđ ư ợ cgiải nhờ kiế n thứ c củ a hệ phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n (thư ờ ngđ ư ợ c gọ i là các hệ phư ơ ng trình quy vê hệ phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n). Trư ớ c tiên, là các hệ phư ơ ng trình đ ư ợ c chuyể n về hệ phư ơ ng trình bậ c nhất hai ẩ n bằ ng các phép biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng. X 2 ( 1) V ẩ d y Ih Giờ i hệ phư ơ ng trình'. ỹ " 3 4x - 3y = - 2. (2). Gidi Xét Dhuớ rìg trình (1) củ a hệ , ta biế n đ ổ i: X = — . 3.

(32) Thay (3) vào phư ơ ng trình (2), ta đ ư ợ c: 4. — - 3y = - 2 <=> 8y - 9y = -6 <=> y = 6. Thay y = 6 vào (3), ta đ ư ợ c:X =. = 4.. Vậ y, hộ có nghiệ m (4, 6). Y ẩ dp 10» Giả i hệ phư ơ ng trình:. y - 1 X 1= 1 (1) 12x - y = 1 (2). Giả i Xét phư ơ ng trình (2) củ a hệ , ta biế n đ ổ i: y = 2x - 1. Thay (3) vào phư ơ ng trình (1), ta đ ư ợ c: X >1. 2x - 2 > 0 2x —1 —I X I = 1 <=> 1x1 = 2x —2 o. X = 2x - 2. (3). o. X = -2 x + 2. X= 2. 2. <=> x; = 2.. X= —. 3. Thay X = 2 vào (3), ta đ ư ợ c: y = 2.2 - 1 = 3 Vậ y, hệ có nghiệ m (2, 3). Í2x + y = 4 (1) Vấ dn l l t Giả i hê phư ơ ng trình: < . y 5 Ị l X - 2y 1= 3 (2) MỈ Gidi Xét phư omg trình (1) củ a hệ , ta biế n đ ổ i: y = - 2x + 4. Thay (3) vào phư ơ ng trình (2), ta đ ư ợ c: Ix —2 (- 2x + 4)1 = 3 <=> 15x - 8 I = 3 <=> ■. 5x - 8 = -3. X= 1. <=>. 11 5. X = —-. Vớ i X = 1, thay vào (3), ta đ ư ợ c y = - 2.1 + 4 = 1 . ■. ^. 5x - 8 = 3. (3). Vớ i X = — , thay vào (3), ta đ ư ợ c y = - 2. — + 4 = - —. 5 5 5 11 2 Vậ y, hệ có hai cặ p nghiệ m (1, 2) và 5 5 Nhậ n xét. 1. Như vậ y, vớ i việ c sử dụ ng phư ơ ng pháp thế chúng ta hệ phư ơ ng trình về mộ t phư ơ ng trình chứ a dấ ủ trị tuyệ 2. Tấ t nhiên, chúng ta cũ ng có thê sử dụ ng phư ơ ng pháp cộ '2x + y = 4 .yể n đ ổ i hệ ban đ ầ u thành hai hệ : và x -2 y = 3. đ ã chuyể ni đ ư ợ c t đ ố i. ng đ êgiả ii, bằ ng 2x + y = 4 < x - 2 y = -3.

(33) Vẩ ilq I2i (Bài 19/tr 16 - Sgk): Biế t rằ ng đ a thứ cP(x)chia hế t cho đ athứ cX - a khi và chỉ khi P(a) = 0. Hãy tìm các giá trị củ a m và n sao cho đ a thứ c sau đ ồ ng thờ i chia hế t choX + 1 Ví) X - 3. P(x) = mx3 + (m - 2)x2 - (3n - 5)x - 4n. Jg$ Giả i Ta có: ■ Đ a thứ c P(x) chia hế t cho nhị thứ c X + 1 khi: P ( - l) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0 <=> - n —7 = 0 o n = —7. ■ Đ a thứ c P(x) chia hế t cho nhị thứ c X - 3 khi: P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n 22 Thay (1) vào (2), ta đ ư ợ c: m = —— . Vây, biể u thứ c P(x) =. 9. (1) (2). X3 + — X2 + 27x + 28. 9. Vấ d ụ 13ĩ Giả i các hệ phư ơ ng trình sau:. 2x2 +3y = 17 3x2 - 2 y = 6. Jỉ S Giả i Đ ặ t u =X2, đ iề u kiệ n u > 0. Khi đ ó, hệ có dạ ng:. 2u + 3y = 17 3 u -2 y = 6. (1) (2). 1 Xét phư ơ ng trình (1) củ a hệ , ta biế n đ ổ i: u = —(17 - 3y). Thay (3) vào phư ơ ng trình vào (2), ta đ ư ợ c: 1 13v 39 3. —(17 - 3 y ) - 2 y = 6<=> —- - = — o y = 3. 2 2 2 Thay y = 3 vào (3), ta đ ư ợ c: u = —(17 —3.3) = 4 o x 2 = 4 o x = ỉ 2. 2 Vậ y, hộ có hai cặ p nghiệ m (2, 3) và (-2, 3). Vẩ Hy I4 ĩ Giả i hệ phư ơ ng trình'.. ■ y/x + 3y = V3x -1 5 x -y = 9. Giãi 3x - 1 ầ . 0. X > 1/ 3. Biế n đ ổ i hộ vể dạ ng: X + 3y= 3x - 1 <=> 2 x - 3 y = l 5 x -y = 9. AẼ Ể. m W T O S 9 -T 2. 5 x -y = 9. (*) (1) (2). (3).

(34) Xét phư ơ ng trình (2) củ a hộ , ta biế n đ ổ i: y = 5x - 9. Thay (3) vào phư ơ ng trình vào (1), ta đ ư ợ c: 2x - 3(5x - 9) = 1 <=> 13x = 26 o X = 2, thoả mãn (*). Thay X = 2 vào (3), ta đ ư ợ c: y = 5.2 - 9 = 1 Vậ y, hộ có nghiệ m (2, 1). ^. (3). Nhậ n xét: Trong lờ i giả i trên, việ c biế n đ ổ i phư ơ ng trình thứ nhấ t í củ a hệ chúng ta đ ã sử dụ ng lạ i phép biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng bbiế đ ã t là:. Vf = Vẽ < = > f= g^o. Tiế p theo, chúng ta sẽ quan tâm tớ i các hệ phư ơ ng trìnhh đ ư ợ c chuyể n về hệ phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n bằ ng phép » đ ặ tẩ n phụ . VỂ d ụ lS i Giả i các hệ phư ơ ng trình sau: ' 6 5 =7 X —1 y - 2 |2 x 2 +3y = 17 a. b. 3 2 13x2 - 2 y = 6 = -1 x -1 + y -2 Giả i 1 u= X —1 a. Đ iề u kiệ nX * 1 và y * 2. Đ ặ t: < 1 V= y -2 Khi đ ó, hệ cố dạ ng:. 6u - 5 v = 7. (1). 3u + 2v = -1. (2). 1 Xét phư ơ ng trình (2) củ a hệ , ta biế n đ ổ i:V= —(-1 - 3u). 2 Thay (3) vào phư ơ ng trình (1), ta đ ư ợ c: 6u - 5.—(-1 - 3u) = 7 <=> 27u 2. (3). 1 = 9 <=>u = — <=> —ỉ — = — o X= 4.. 3 X-1 3. Thay u = — vào (3), ta đ ư ợ c: v = —(-1 - 3.—) = -1<=>—ỉ — = 1- <=>> y = 1. 3 2 3 y -2 Vây, hệ có nghiệ m (4, 1). 2u + 3y = 17 (1) b. Đ ặ t u =X2, đ iề u kiệ n uầ . 0. Khi đ ó, hệ có dạ ng: 3u - 2y = 6 (2) Xét phư qng trình (1) củ a hê, ta biế n đ ổ i: u = —(17 - 3y).. (3).

(35) 1. .. 13v. 39. 3. —(17 - 3 y ) - 2 y = 6<=> — 2 2. — o y = 3. 2. 1 Thay y = 3 vào (3), ta đ ư ợ c: u = —(17 - 3.3) = 4 o X = 4 o X= ±2. Vậ y, hộ có hai cặ p nghiêm (2, 3) và (-2, 3). Vẩ. 18» Giả i hệ phư ơ ng trình:. fl X - 1 1 + 1ý —11= 2. 4 I X —11+3 I y —11=7. íl X- 11= u [u + V = 2 (1) Đ ă \t: , đ iề u kiên u,V > 0. Khi đ ó, hê có dang: [I y - 1 1 = V |4u + 3v = 7 (2) r Xét phư ơ ng trình (1) củ a hệ , ta biế n đ ổ i: u= 2 - V. Thay (3) vào phư ơ ng trình (2), ta đ ư ợ c:. (3). 4(2- v ) + 3v = 7 < = > v = lo ly - ll= l< = > ^ o y -l = -l Thay V = 1 vào (3), ta đ ư ợ c: X —1 = 1 X= 2 <=> u=2- l = lo lx -ll= l» X - 1 = -1. y=2 y=0. X= 0. Vậ y, hệ có 4 cặ p nghiệ m (2, 2), (2, 0), (0, 2), (0,0). Vẩ dụ. I7 t Giả i hệ phư ơ ng trình:. Í3 V x ^ ĩ + 2Vỹ =13 l2 V ^ T -V ỹ = 4. JSỈ Í Giả i Đ iể u kiệ n :. X- 1 > 0. y>0. Khi đ ó, hệ có dạ ng:. <=> ị. Í X>1. y >0. . Đ ặ t:. u = V x -1. , đ iể u kiệ n u,V > 0.. V= f y. 3u + 2v = 13. (1). 2u - V = 4. (2). Xét phư ơ ng trình (2) củ a hệ , ta biế n đ ổ i:V= 2u - 4. Thay (3) vào phư ơ ng trình (1), ta đ ư ợ c: 3u + 2(2u - 4) =13 <=> 7u = 21 o u = 3 o. Vx - 1 = 3 o x - l = 9 o x = 1 0 ,. Thay u = 3 vào (3), ta đ ư ợ c:V = 2.3 - 4 = 2 o nghiệ m (10, 4).. = 2 <=> y = 4.. (3).

(36) Vẩ ẩ y It. \2x-y =6 [2 x -y = 6 cni) (I) và ly = m 13x + y = 9 Xác đ ị nhm sao cho hai hệ phư ơ ng trình trên tư ơ ng đ ư ơ ng. Cho hai hệ phư ơ ng trình:. Jg$ Giả i Giả i (I) bằ ng phư ơ ng pháp thế , ta đ ư ợ c nghiêm (3; 0). Hệ (I) và (II) tư ơ ng dư ơ ng khi (3,0) cũ ng là nghiệ m củ a (II), tứ c hà: 2.3 - 0 = 6 <=> m = 0. 0=m 2x - y = 6 [x = 3 o y =0 y=0 Vậ y, vớ i m = 0 hai hộ phư ơ ng trình trên tư ơ ng đ ư ơ ng. Vấ d y 1»« Vớ i giá trị nào củ a m thì 2 phư ơ ng trình sau có nghiệ m chiung 2x2+ mx - 1 = 0 và mx2- X + 2 = 0. Thử lạ i, vớ i m = 0 hộ (II) có dạ ng:. >ẽ T Giả i Các phư ơ ng trình đ ã cho có nghiệ m chung khi và chỉ khi hệ sau mx + 2y = 1 (1) 2x + mx - 1 = 0 . Đ ặ X2 t = y, ta đ ư ợ chộ : X- my = 2 (2) m x2 - x + 2 = 0 Xét phư ơ ng trình (2) củ a hộ , ta biế n đ ổ iX = my + 2. Thay (3) vào phư ơ ng trình vào (1), ta đ ư ợ c: 1-2 m m(my + 2) + 2y = 1 o (m2 + 2)y = 1 - 2m o y = m2 +2 Thay y = * -. m2 +2. X = m.. 1 - 2m. m2 +2. Ció. ngghiệ m:. (3). vào (3), ta đ ư ợ c: + 2=. m(l —2m) + 2(m2 + 2) _ m + 4 m2+ 2 ' m+4 V. m2 +2. 1- 2 m. <=> m3+ 6m + 7 = 0 m2 +2 m2 + 2 o (m + l)(m 2 - m + l) = 0 o m + 1 = 0<=>m = -1 . Vậ y, vớ i m = -1 hai phư ơ ng trình có nghiệ m chung là X = 1.. Do x2= y, nên ta phả i có:. ^. Nhậ n x é t Lờ i giả i toong ví dụ trên, chính là phư ơ ng pháp hiệ 'u qỊ Uií đ ê’ thự c hiệ n yêu cầ u " Tìm đ iề u kiệ n củ a tham s ố đ ể hani pthuơ ng trình bậ c hai có nghiệ m chung", dạ ng toán này chiiíng; ta sẽ còn gặ p lạ i trong chư ơ ng sau..

(37) c. BÀI TẬ P LUYỆ N TẬ P •. •. •. Bài 1: Sử dụ ng phư ơ ng pháp thế giả i các hệ phư ơ ng trình sau và minh hoạ nghiêm bằ ng đ ổ thị . a.. b.. 3x + 5y = 1. c.. 2x + y = - 4 Í2x-3y = -6. d.. j - 4 x - 6y = 12. Bài 2: Giả i các h ệ phư ơ ng trình sau: [3x + 4y = -4 a. [l2x + 16y ~5 = 0 b.. X+. y=6. 2 x - 3 y = 12 X + 2y = 11. 5x - 3 y = 3. 4 _ ỵ =, c.. 4. 6. x-y =5. 8 3 (x-2X y + 3) = 3 + x y ' Bài 3: Xác đ ị nh hàm số y = ax + b biế t rằ ng đ ồ thịhàm sô củ anó đ i qua đ iể m A (1 ; 2) và cắ t trụ c tung tạ i đ iể m có tung đ ộ bằ ng 1.. Bài 4: Lậ p phư ơ ng trình đ ư ờ ng thẳ ng đ i qua hai đ :iể m a. A (0 ; 3) và B (1 ; 2). c. A (-3 ; 14) và B (2;-1). b. A (1 ; 6) và B (2 ; 0). Bài 5: Cho hộ phư ơ ng trình:. X + my = 11 5x-3y = m + 1. a. Giả i hộ vói m = 2. b. Tìm giá trị củ a m đ ể hệ phư ơ ng trình trên có nghiệ m . 3mx + 5y = l Bàỉ 6: Cho hệ phư ơ ng trình: 2x + my = - 4. a. Giả i hệ vói m = 2. b. Tim giá trị củ a m đ ể hệ có nghiêm duy nhấ t. „ íx -3 y = m Bài 7: Cho hê phư ơ ng trình: < Ị -3x + 9 y s-1 2 a. Tìm giá trị củ a m đ ể hệ phư ơ ng trình có vô số nghi ệ m. b. Tim giá trị củ a m đ ể hệ phư ơ ng trình có vô nghiệ m. Bài 8: Cho hệ phư ơ ng trình: <*Ĩ1X 2x + y = m a. Tìm giá trị củ a m đ ể hệ phư ơ ng trình mộ t nghiệ m duynhấ t. b. Tim giá trị củ a m đ ể hệ phư ơ ng trình có vô số nghi ệ m. c. Tìm giá trị củ a m đ ể hộ phư ơ ng trình có vô nghiệ m. _ ~ ~ fx -m y = m Bài 9: Cho hệ phư ơ ng trình: < [m x+ y=1 a. Chứ ng tỏ rằ ng vớ i mọ i m hệ luôn có nghiệ m. b. T ìn^íầ trị củ a m đ ể hệ có nghiệ m(x, y) là mộ t đ iể m thuộ c góc phẩ n tu thứ I..

(38) x -y = 2 3 x -2 y = 9 Xác đ ị nh m đ ể các hộ phư ơ ng trình sau tư ơ ng đ ư ơ ngi hệvớ phư ơ ng trìnìh (I)). 2x - my = 4 2 x -2 y = m b. a. (m + l)x -2 y = 9 [3x-2y = 9 ■ Bài 11: Giả i các hộ phư ơ ng trình: 2x - y = 1 |X + y = 2 c. a. |x - y |= | 2y - l | [ |2 x - 3 y |= r ,. ‘. _. •. ĩ |x - y |= 12y - l l 2 x -y = l Bài 12: Giả i các hệ phư ơ ng trình: |x |+ 2 |y |= 3 IX ị -y +1 = 0 b. a. 7x + 5y = 2 2 x - |y |- l = 0 Bài 13: Vớ i giá trị nào củ a m thì 2 phư ơ ng trình sau có nghiệ m chung: mx2+ X+ 1 = 0 và x2+ mx + 1 = 0. b.. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP SỐ Bài 1: a. (-3,2).. b. (-3,0).. Bài 2: a. Vô nghiệ m, b. (-1,-6).. c (6,0). c.. d. (3,4). )•. Bài 3: Ta có: ■ A(l; 2) thuộ c đ ồ thị hàm số nên 2 = a + b. (1) ■ Đ ồ thị hàm số cắ t trụ c tung tạ i đ iể m có tung đằ ng ộ b1 khi đ iể m B ((0 ; ]1) thuộ c đ ồ thị hàm số nên1 = b. (2) a+b=2 a =1 o Từ (1) và (2) ta đ ư ợ c hệ phư ơ ng trình: b=1 b=l Vậ y, hàm số cầ n tìm là y = X + 1. c. 3x + y = 5. Bài 4: a. x + y = 3. b. 6x + y=12. Bài 5:. a. (3,4).. Bài6: a. (11,-13).. b. m * ——. 5 b. m * ±. Bài 7: a. m = 4. b. m * 4. b. Không tồ n tạ i m. c. m = 4. Bài 8: a. m * 4. D<!(1 _ -2m m2 -1 Bài 9: a. X= —f-— và y = —-—b. m < - 1. m +1 m +1 Bài 10: a. m = 4. b. m = 2. 7 W1 K /24 23 , , ,2 2 21. , 7 ) và( 1, 1). b. ( r 7 , r 7 ) v à ( r r , - r r ). Bài 11: a 5 25 25 23 23. ị *. CDTĐ HỈ Đ S9-T2.

(39) *. CHU. /. ». 4. G l^ I ^. PHƯ Ơ NG XRÌNH b ằ n g p h ư ơ n g. PHÁP CỘ NG A.. TÓM TẮ T LÍ TH U Y Ế T. Đ ể xây dự ng đ ư ợ c thuậ t toán giả i hệ phư ơ ng trình bậ c ấ nh t hai ẩ n bằ ng phư ơ ng pháp cổ ng, chúng tạ hãy bắ t đ ầ u vớ i việ c giả ihệ phư ơ ng trình sau: * 2x + y = 7 _ . -5 Bư ớ c 1 B iể n đ ổ i h ệ s ố củ a ẩ n X tr o n g h ệ b ằ n g n h a u , y ~ * b ằ n g c á c h n h á n phư ơ ng trìn h th ứ h a i v ớ i 2 . Lẩ n lư ợ t thự c hiệ n các phép biế n đ ổ i hệ về dạ ng: Bư óc 2 Trừ theo vế hai phitơ ng trình đ ể khử ẩ n X và 2x + y = 7 thu đ ư ợ c mộ t phư ơ ng trình chi chứ a y. 2x + 6y = 22 - 5 y = -1 5 2x + y = 7 <=>. o. o. y=3 2x + y = 7 [y -3 2x + 3 = 7. Bư ớ c 3 Giái phư ơ ng trình c h ỉ chứ a ẩ trị c ủ a y.. n. y, đ ể tim giá. Bư óe 4 Thay giá trị củ a y vào phư ơ ng trình còn lạ i, đ ể dư ợ c mộ t phư ơ ng trìn h c h ỉ chứ a ẩ n X. Bư ớ c 5 Qìả i phư ơ ng trình chi chứ a ẩ n X, rố i kế t luậ n về nghiệ m củ a hệ .. X= 2. y=3. Vậ y, hộ có nghiệ m duy nhấ t (2,3). Từ đ ó, dể giả i hộ phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n bằ ng phư ơ ng pháp cộ ng, ta thự c hiệ n theo cấ c bư ớ c sau: Bư ớ c 1: Biế n đ ổ i đ ể các hệ số củ a mộ t ẩ n (giả sử x) có giá trịtuyệ t đ ố i bằ ng nhau. Bư ớ c 2: Cộ ng hoặ c trừ từ ng vế củ a hai phư ơ ng trình đ ể khử ẩ n X. Bư ớ c 3: Giả i phư ơ ng trình tìm giá trị củ a y. Bư ớ c 4: Thay giá trị y vừ a tìm đ ư ợ c vào mộ t trong hai phư ơ ngtrình ban đ ẩ u đ ể tìm giấ trị củ a X. Bư ớ c 5: Kế t luậ n nghiệ m củ a hệ phư ơ ng trình. r - S i ’’. *** Chú ỷ . 1. Đ ể cho gọ n lờ i giả i, thông thư ờ ng các bư ớ c 3 và bướ c 4 đ ư ợ c kế t hợ p 1 « 1 lạ i vôi nhau. HĐ S9-T2.

(40) B. -. Vẩ Ể ặ l i. PHƯ Ờ NG PHÁP GIẢ I TOÁN. GIẢ I HỆ PHƯ ONC TRĨ NH --. Giài cấ c hệ phư ơ ng trình sau: Í3x + 4y = 18 a. < |4x - 3 y = -1. JÊ$ Giả i a. Ta iự a chọ n mộ t trong hai cách khử : Cách I: Ta thự c hiệ n phép khử x: 3x + 4y = 18 Í12x + 16y = 72 4x - 3y = -1 »3 [1 2 x -9 y = -3. <l l y = 3. b.. yỈ 3x - -Jĩ y = 1 yfĩ x + 3>/3y =. o. 25y = 75 12x - 9 y = -9. L > =2. ị l2 x - 9 .3 = - 9 ị y =3’ Vậ y, hệ có nghiệ m duy nhấ t (2; 3). Cách 2: Ta thự c hiệ n phép khử y: 3x + 4y = 18 xỉ 9x + 12y = 54 25x = 50 <=> <=> [ 4 x -3 y = -1 ** 16x - 12y = - 4 9x + 12y = 54 o. íx = 2. o. X= 2. 9.2 + 12y = 54 Ly=3* Vậ y, hộ có nghiệ m duy nhấ t (2; 3). b. Ta thự c hiệ n: V3x - V2y = 1. V6x - 2y = y ỉ ĩ. yíĩ x + 3V3y = 4^6 ^. 1ly = l l V Ĩ. V6x-2y = Vĩ. |y = V2 Ị -v/óx - 2V2 = V2. <=>. \y = V2. Vây, hê QÓ nghiêm duy nhấ t ( V3 ; V2 ). 'ík f ' 1W 3 *. ".

(41) c®’* Nhậ n xét: Như vậ y, trong lờ i giả i trên: 1. Qua ví dụ trên, các em họ c sinh hiể u thêm rằ ng việ c nhân hệ sô' đ ê mộ t an trong hệ có hệ số bằ ng nhau hoặ c đ ố i nhau, trong nhiề u trư ờ ng hợ p cẩ n thự c hiệ n phép nhân ở cả hai phư ơ ng trình củ a hệ (trong ví dụ là 3 và 4 cho mỗ i phư ơ ng trình). 2. ơ câu b), ta cầ n nhân hai phư ơ ng trình củ a hệ theo thứ tự vớ i V2 và s mớ i nhậ n đ ư ợ c hệ số củ aX trong hệ là bằ ng nhau. Trong thự c tế , chúng ta sẽ gặ p dạ ng toán cầ n thự c hiệ n theo hai bư ớ c: Bư ớ c 1: Thiế t lậ p hệ phư ơ ng trình. Bư ớ c 2: Giả i hệ nhậ n đ ư ợ c trong bư ớ c 1. Vể dụ 2» (Bài 21/tr 19 —Sgk): Giả i các hệ phư ơ ng trình sau: a.. x 4 ĩ -3 y = 1. b.. 2x + yV2 = -2. 5xV3 + y = 2V2 xVó - y y f ĩ = 2. Jg$ Giả i a. Ký hiệ u các phư ơ ng trình củ a hệ theo thứ tự là (1), (2). Nhân hai vế củ a (1) vớ i - V2 , ta có hệ phư ơ ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng: -2 x + 3V2y = - V Ĩ. <=>. 2x + y-v/2 = -2. y=. Í4V2y = -2 -V 2 12x + yV2 = -2. X=. -l-V Ĩ 4 V2 - 6 8. . ( V2 - 6 -I-V 2> Vậ y, hệ có nghiệ m duy nhấ t -------- , ---------- .. b. Ký hiệ u các phư ơ ng trình củ a hộ theo thứ tự là (1), (2). Nhân hai vế củ a (1) vớ i V2 , ta có hệ phư ơ ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng: f. f. f. .. 5x-\/6 + y-v/2 = 4. 6xV6 =6. X= V ó/6. xV 6-yV 2 = 2. xV ẽ -yV 2 =2. y = -V 2 /2 '. Vậ y, hộ có nghiệ m duy nhấ t ị \Í6/6, - V 2 / 2Ị . Vẩ d ụ 3i. Cho hệ phư ơ ng trình: X + my = 1 mx - y = -m a. Chứ ng t ỏ rằ ng vớ i mọ i m hệ luôn có nghiêm duy nhấ t. b. Tìm giá trị củ a m đ ể hệ có nghiệ m(x, y) thoả mãn X < 1 và y < 1. Tìm hệ thứ c liên hệ giữ a các nghiệ m x v à y không phụ thuộ c vào m..

(42) Jg$ Giãi a. Nhậ n xét rằ ng vớ i m = 0, hộ có dạ ng: X= 1 => m = 0 hệ có nghiệ m duy nhấ t. Vớ i m * 0, biế n đ ổ i hệ về dạ ng: X + my = 1 (m 2 + l)x = 1 - m 2 <=> X + my = 1 Ị m2x - m y = - m 2 1- m 2 1 -m 2 X= x = — ;— m +1 m 2 +1 <=> 2m 1- m 2 + my = 1 y= m 2 +1 m 2 +1 Tứ c là, vớ i m * 0 hệ cũ ng có nghiệ m duy nhấ t. Vậ y, vớ i mọ i m hệ luôn có nghiệ m duy nhấ t, b. Đ ể nghiệ m (x, y) củ a hệ thoả mãnX < 1 và y < 1, diề u kiệ n là: 1- m 2 m 2 +1 2m. <1. <=> <1. 1- m < m + 1. m2> 0. 2m < m 2 +1. (m -1 )2 > 0. m 2 +1. m *■ 0 m -1 * 0. m ^O m* 1. Vậ y, vớ i m * 0 và m * 1 thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. c. Nhậ n xét rằ ng: 2 2m ì íl-m O ( 1 - m 2)2 + 4 m 2 T x2 + y2 = (m 2 + 1)2 [ m2+ỉ j lm2+lj 2. _. _1_. _ m 4 - 2 m 2 +1 + 4m 2 _ m 4 + 2m 2 + 1 _ (m 2 + l)2 (m 2 + 1)2 Vậ y, ta thu đ ư ợ c hệ thứ c X2 + y2 = 1.. (m 2 + 1)2. (m 2 + 1)2. _ J ”. Chú ý: 1. Trong lờ i giả i câu a), nế u chúng ta không xét riêng trư ờ ng hợ p im = 0 và m * 0 sẽ vi phạ m phép biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng. 2. Trong phạ m vi kiế n thứ c THCS, khó có thể giả i thích mộ t cách đ iầ y đ ủ cho các em họ c sinh hiể u đ ư ợ c tạ i sao lạ i có đ ư ợ c nhậ xét n về X'2 + y2. Tuy nhiên, đ ố i vói các em họ c sinh thự c sự muố n nâng aco kiế m thứ c thì ỉ r â tham khả o cuố n Phư ơ ng pháp g i i i toán Đ ạ i sô củ aLê Hồ ng NXB Hà Nộ i ấ n hành..

(43) X+ my a. b. c. d.. =2. mx + y = m + 1 Giả i hệ phư ơ ng trình vớ i m = 1. Chíơ ĩ g tỏ rằ ng vớ i mọ i m * ±1 hệ luôn có nghiệ m duy nhấ t. Tìm giá trị củ a ni đ ể nghiệ m duy nhấ t(x; y) củ a hệ thoà mủ n X + y < 0. Tìm m nguyên đ ể hệ có nghiệ m nguyên duy nhấ t. r r i X. .. /. J. A*. t. • A. I. 1. / _____________ \. 1. t. A. . t. '. Jg$ Giả i a. Vớ i m = 1, hệ có dạ ng: X+ y = 2 X+ y = 2. => hệ có vỏ sò nghiệ m thoa mãn (x; 2 - 2).. b. Nhậ n xét rằ ng vớ i m = 0, hệ có dạ ng: X= 2. => m = 0 hệ có nghiệ m duy nhấ t.. y =] Vớ i m * 0, biế n đ ổ i hệ về dạ ng: mx + m 2y = 2m mx + y = m + 1 m+2 m +1. <=>. & y=. (m2 - l)y = m - 1 mx + y = m + 1. 1 m +1 1 mx + = m +1 m +1. y= o. 1 m+1. Tứ c là, vớ i m * 0 và m * ±1 hệ cũ ng có nghiệ m duy nhấ t. Vậ y, vớ i mọ i m * ±1 hệ luôn có nghiêm duy nhấ t. TNÁ 1 _1 •A_*___ 1 A-v r I * Ị ^ . n *• Ẩ c. Đ ể nghiệ m duy nhấ củt a hệ thoả mãn X + y < 0, đ iế ukiệ n là: m +2 1 m+3 + <0<=> — — < 0 <=> -3 < m < -1 , m+1 m+1 m +1 thoả mãn đ iề u kiệ n duy nhấ t nghiệ m. Vậ y, vớ i -3 < m < -1 thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. d. Đ ể nghiêm nguyên duy nhấ t cùa hộ nguyên đ iể u kiệ n cầ làn m + 1 là ư ớ c củ a 1 (gồ m có ±1), ta ậ p bằ ng: m+ 1 1 -1 m 0 - 2 1 V — 1 -1 m +1 m. +. 2. X= — — 0 2 m +1 n jn = - 2 hoặ c m = 0 hệ có nghiệ m nguyên duy nhấ t. >S9-T2.

(44) X_ 3. ỹ ~2 3x - 2y = 5 Giả i Đ iề u kiệ n y * 0. Ta thự c hiệ n: X_ 3 y. 2. <=>. 3x - 2y = 5 '5y = 10 6 x -9 y = 0. 2x = 3y 3x - 2y = 5. <=>. <=>. y=2 6 x - 9 .2 = 0. 2x - 3y = 0 3 x -2 y = 5. <=>. 6x - 9 y = 0 6 x - 4 y = 10. X= 3. o. y=2. Vậ y, hệ có nghiệ m duy nhấ t (3; 2). ^. Nhậ n x é t Hẳ n các em họ c sinh cũ ng thây, ở dạ ng ban đ ầ u hệ phư ơ rkg trình trong ví dụ toên không phả i là hệ phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n. Tuy nhiên, chỉ cầ n mộ t vài phép biên đ ổ i đ ơ n giả n chứ gnta đ ã chuyể n đ ư ợ c về hệ bậ c nhấ t hai ẩ n, đ ể từ đ ó sử dụ ng ư ph ơ ng pháp cộ ng đ ê tìm nghiệ m.. Vấ ể f 8 i. (Bài 26/tr 19 - Sgk): Giả i các hệ phư ơ ng trình: a.. 2(x + y) + 3 ( x -y ) = 4 (x + y) + 2 ( x - y ) = 5. 2(x - 2) + 3(1 + y) = - 2. b.. 3(x - 2) - 2(1 + ý) = —3. Giả i a. Giả i hộ :. 2(x + y ) + 3(x - y) = 4 (x + y) + 2 ( x - y ) = 5. Ta có thể lự a chọ n mộ t trong hai cách giả i sau: Cách ỉ : Thụ c hiộ n việ c rút gọ n các phư ơ ng trình củ a hộ đ ã cho rồ i đ ư vểa hộ : 5 x -y = 4 3 x -y = 5. 1 X = —— 5 x -y = 4 2 <=> 2x = -1 13. y. 2.

(45) Cách 2: Đ ặ t ẩ n phụ X =X + y ; Y = X - y, ta c ó hệ : 2X + 3Y = 4 X + 2Y = 5. <=>. 2X + 3Y = 4. o. 2X + 4Y = 10. 2X + 3Y = 4 Y=6. X II 1 -0. X= — 2 <=> o <=> < 13 X- y = 6 X- y = 6 Y =6 y 2 Vậ y, hệ phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m duy nhấ t, b. Ta có: 2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 2x + 3y = - l 3 ( x - 2 ) - 2 ( l + ý) = -3 <=>. 4x + 6y = - 2. X+ y = -7. 2x = -1. 3 x -2 y = 5 13x = 13. íx = l. <=> 9 x -6 y = 15 y = -l 9 x - 6 y = 15 Vậ y, hệ phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m duy nhấ t. Vẩ d ụ 7 ĩ (Bài 27/tr 19 —Sgk): Giả i các hệ phư ơ ng trình: r 1 1 iX - iy => x - 2 y -1 a. < b. 2 3 3 — 4 _< —+ =5 [X y x - 2 y -1 _. =. 2. =. 1. Giả i a. Đ ậ t u = — vàV = —, ta đ ư a hộ phư ơ ng trình về dạ ng: X y 9 u=— |u - v = l Í4u - 4v = 4 Í7u = 9 7 <=> J <=>< <=> o 2 |3u + 4v = 5 3u + 4v = 5 3u + 4v = 5 V= — 7 Vậ y, hệ có nghiệ m duy nhấ t. b. Đ ậ t u = —ỉ — vàV = —— , ta đ ư a hệ phư ơ ng trình vể dạ ng: X- 2 y -1 7 u =— íu - V = 2 3u -3 v = 6 5u = 7 5 <=> ị <=> o > 2u + 3v = 1 2u + 3v = 1 3 [2u + 3v = l V= — 5. X=. y=.

(46) ■ -. 1 _ 7 5 __ 19 Từ u = - => —-— = - o x = ^ - + 2 o x = — . x -2 5 7 7 5 1 _ 3_ _ 5 , _ 8 Từ V = - => —— = - <=> y =—+1 <=> y = - . y -1 5 3 3 5. Vậ y, hộ có nghiệ m duy nhấ t. Vẩ ẩ y i i Tìm giá trị củ a m đ ể các cặ p hệ phư ơ ng trình sau tư ơ ng đ ư ơ ng;: mx - y = m Jx + y = 7 a. < và X- y = -1 [3x + 4y = 25 b.. X+ 3y = 2 3x + 8y = 5. và. x + 2y = 1 2x + my = 2. Jg> Giả i a. Giả i hệ thứ nhấ t, ta đ ư ợ c nghiệ m duy nhấ tX = 3 và y = 4. Do đ ó, muố n hai hệ tư ơ ng đ ư ơ ng thì (3, 4) cũ ng phả i là ng hiêm củ a Ihệ còn m.3 - 4 = m [2m = 4 <=> { o m = 2. lạ i, tứ c là: 3 - 4 = -1 1-1 = -1 Thử lạ i, vớ i m = 2 hệ có dạ ng:. 2 x -y = 2. x - y = -1. , dễ tììấ y, hê trên có nghiêtm duy. nhấ t (3,4). Vậ y, vớ i m = 2 hai hộ phư ơ ng trình đ ã cho tư ơ ng đ ư ơ ng, b. Giả i hệ thứ nhấ t, ta đ ư ợ c nghiệ m duy nhấ t x = - l v à y= l . Do đ ó, muố n hai hệ tư ơ ng đ ư ơ ng thì (-1, 1) cũ ng phả lài nghiệ m củ a lhộ còn , . . 1X [ -1 + 2.1 = 1 ~ [1 = 1 lạ i, tứ c là: { <=> < o m = 4. [2 (-l) + m.l = 2 m=4 Thử lạ i, vớ i m = 4 hộ có dạ ng:. X+ 2y = 1 2x + 4y = 2. dễ thấ y, hệ trên có Vô sô. nghiệ m, do đ ó không thoả mãn. Vậ y, không tồ n tạ i m đ ể hai hệ phư ơ ng trình đ ã cho tư ơ ng đ ư ơ . ng ^. Nhậ n xét: Như vậ y, vớ i yêu cầ u " Tìm đ iề ukiệ n củ a tham sô' đ ê’ hiìi hệ phư ơ ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng" ữ ong trư ờ ng hợ p có nghiệ im duy nhấ t chúng ta nhấ t thiế t phả i thự c hiệ n bư ớ c thử lạ i, bở i ]khi hệ thứ nhấ t có nghiệ m duy nhấ t (Xo, y„) còn hệ thứ hai có vô số nghiệ m và nhậ n (Xo, y0) làm mộ t nghiệ m thì hai hệ khôing thể đ ư ợ c gọ i là tư ơ ng đ ư ơ ng..

(47) ỵ ị y y o i s ử DỰ NG HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH GIẢ I TOÁN Vẩ d ụ 1« (Bài 26/tr 19 —Sgk): Xúc đ ị nha và b dể đ ồ thị củ a hàm sôy = ax + b đ i qua hai đ iể m A vù B trong mỗ i trư ờ ng lìỢ Ị ) sau: a. A(2 ; -2) và B (-l ; 3). b. A(-4 ; -2 ) và B(2 ; 1). c. A(3 ; -1) và B(-3 ; 2). d. A( Vã ; 2) và B(0 ; 2). & Giả i a. Ta có: ■ A (2 ;-2 ) 6 ■ B(-1 ; 3) €. (d):y = ax + b o - 2 = 2a + b. (d): y = ax + b <=> 3 = - a + b.. 2a + b = -2 Tù (1) và (2), ta có: < -a +b = 3. 3a = -5 -a + b = 3. (1) (2). <=>. 5 a=— 3 b .i 3. Vậ y, đ ổ thị cầ n tìm là (d): y = - - X + —.. 1 Ơ&N II ủ 1). b. Ta có: ■ A(-4 ; -2) € (d): y = ax + b <=> -2 = -4a + b. a = 1/2 o II X). í - 4a + b = -2 Từ (1) và (2), ta có: ^ o <=> 1 2a + b = l 2ã + b = l. ( 1) (2). Vây, đ ổ thị cầ n tìm là (d): y = —X. 2 c. Tư ơ ng tự , ta có đ ồ thị cầ n tìm là (d): y = —X + -j-. 2. 2. d. Tư ơ ng tự , ta có đ ồ thị cầ n tìm là (d): y = 2 ^. Chú ý: Chúng ta đ ề u đ ã biế t, mọ i đ ư ờ ng thả trong ng mặ t phă ng đ ề u có phư ơ ng trình dạ ng ax + by = c, vớ i a, b không đ ổ ng thờ i bằ ng 0 và. Vấ d y 2i. mộ t đ ư ờ ng thă ng đ ư ợ c hoàn toàn xác đ ị nh khi biế t hai iể mđphân biệ t thuộ c nó. Thí dụ tiế p theo sẽ minh họ a cách lậ p phư ơ ng trình đ ư ờ ng thă ng đ i qua hai đ iể m. Lậ p phư ơ ng trình đ ư ờ ng thẳ ng đ i qua hai đ iểA(— m 2; -6) và B(4; 3).. J&> Giả i Giả sử dư ờ ng thẳ ng có phư ơ ng trình ax + by = c, từ giả thiế t: ■ A(-2; -6 ) thuộ c đ ư ờ ng thẳ ng, suy ra: a.(—2) + b(-6) = c -2a - 6b = c. B(4;^j thuộ c đ ư ờ ng thẳ ng, suy ra: a.4 + b.3 = c o 4a + 3b = c.. (1) (2).

(48) - 2a - 6b = c 4a + 3b = c. o. - 2a - 6b = c 8a + 6b = 2c. 2. .. 6a = 3c 8a + 6b = 2c. c a=—. c a=— <=>. <=>. 2. <=>. 8,—+ 6b = 2c 2-. 3. Vậ y, đ ư ờ ng thẳ ng có phư ơ ng trình: —X - —y = c o 3x - 2y= 6. 2 3 V ẩ i f 8t Xác đ ị nh các hệ s ố a, b củ a phư ơ ng trình: ax2- X+ b = 0. biế t nó có hai nghiệ m X, = —2 và x2 = 3. Giả i Vớ i giả thiế t: ■ X, = - 2 là nghiệ m củ a phư ơ ng trình, suy ra: a(-2)2- (-2) + b = 0 <=> 4a + b = -2. ■ x2 = 3 là nghiệ m củ a phư ơ ng trình, suy ra: a.3 - 3 + b = 0 <=> 9a + b = 3. Từ (1) và (2), ta có đ ư ợ c hệ phư ơ ng trình: ' 4a + b = - 2 5a = 5 |a = l [a = l <=> <=> <=> 19a + b = 3 Ib = —6 9a + b = 3 |9.1 + b = 3. ( 1) ( 2). Vậ y, phư ơ ng trình có dạ ng X2- X - 6 = 0. VỂ Ể Ẹ .Ể ầ (Bài 25Ar 19 - Sgk): Ta biế t rằ ng mộ t đ a thứ c bằ ng0 khi và cthỉ khi tấ t cả các hệ s ố củ a nó bằ ng 0. Hãy tìm các giá trị củ a m v à n đ ể đ a thứ c sau (vớ i biế n sô x) bằ ng đ a thứ c0: P(x) = (3m - 5n + l)x + (4m - n - 10). Giả i Ta có: P(x) = 0 <=> o. 3 m -5 n + l = 0 4 m -n -1 0 = 0. 3 m -5 n = -1. <=>. <=>. 3 m -5 n = -1 4 m - n = 10. 3 m -5 n = -1. <=> •!. n=2. -20m + 5n = -50 -17m = -51 m=3 Vậ y, vớ i n = 2 và m = 3 thì đ a thứ c P(x) thoả mãn đ ề bài. Vẩ ẩ y s» Cho đ a thứ c:f(x) = ax3 - (2 - a)x2 + (5 - 3b)x - 4b. a. Xác đ ị nh các hệ số a, b củ a đ a thứ c, biế t nó chia hế t cho X - 3 và X + 1. _ ề & Vớ i a, b tìm đ ư ơ c ỏ trên, hãy phân tích đ a thứ f(x) c thành nhâm tử .. ệ fi.

(49) JỊ $ Giói a. Vớ i giả thiế t: ■ f x) chia hế t X - 3, suy ra: f(3) = 0 <=> a.33 - (2 - a).32 + (5 - 3b).3 - 4b = 0 <=> 36a-13b = 3. ■ f x) chia hế t X + 1, suy ra: f(-l) = 0 o a.(-l)3- (2 - a).(-l)2 + (5 - 3b).(-l) - 4b = 0 o b = -7. Từ (l) và (2), ta có đ ư ợ c hộ phư ơ ng trình: 22 36a -1 3 .(-7 ) = 3 36a - 13b = 3 a= <=> <=> < 9 . b = -7 b = -7 b = -7 b. Vớ i kế t quả trên, f(x) có dạ ng: Y \ _ 22 :(x) = - — x3- ( 2 + Ẹ - ) x 2 + (5 + 21)x + 28 9 9 22 40 — X3 - ——X2 + 26x + 28 = (x-3)(x + 1)1 ^. 22 _. 28. 9. 3. (2). — X— -. Nhân xét: Đ ể thự c hiệ n đ ư ợ c ví dụ ữ ên, chúng ta đ ã sử dụ ng i kếtớ t quả : "Mộ t đ a thứ cf(x) chia hế t cho X - a khi và chỉ khi f(a) = 0. c . BÀI TẬ • P LUYỆ • N TẬ • P Bài 1: 3iả i các hệ phư cmg trình sau: 2x + 7y = 9 a. < 3x - y = 2 x + 2y = 20 3x-2y = 12 Bàì 2: Giả i các hệ phư ơ ng trình sau: X _2 a. <y " 3 x + y = 10 b.. -. c. '. 1[2x + 7y = l 1[3x + 5y = - 4 ‘. [3x + 5y = 9 d. 1 [2x-4y = -5. 1[y2 + 2 x -8 b. «. ỳ = x + y = 10. Bài 3: Giả i các hệ phư ơ ng trình sau: b.. 5 = 100 x+3 y - 2 3 7 ------+ ------ = 308 x+3 y - 2.

(50) Bài 4: Cho hàm số : y = ax + b. Xác đ ị nh các hệ sô' a, b củ a hàm số , biế trằ ng đ ổ thịhàm số củ a nó đ i <quia hai đ iể m: a. A(l, 3) và B(3,2). b. A (l,-1) và B(3, 3). Bài 5: Lậ p phư ơ ng trình đ ư ờ ng thẳ ng di qua hai đ iể m: a. A(ĩ ,3)vàB(3,2). b. A (l,-1) và B(3, 3). Bài 6: Cho phư ơ ng trình: X2- ax + b = 0. Xác đ ị nh các hộ số a, b củ a phư ơ ng trình, biế t nó có ahinghiệ m: a.. X, = 1 và x2 = 3.. b. X, = -3 và x2 = 2.. Bài 7: Cho đ a thứ c: f(x) =X3 - ax2 + bx - a. Xác đ ị nh các hộ số a, b củ a đ a thứ c, biế t nó chia hế t cho X- 1 và X- 3. x + my = 0. Í. .. mx + y = m +1 a. Chứ ng tỏ rằ ng vớ i mọ i m hộ luôn có nghiệ m duy nhấ t. b. Tim giá trị củ a m đ ể hộ có nghiệ m (x, y) thoả mãnX < 1 Bài 9: Cho hệ phư ơ ng trình: x - m y =0 mx - y =»m +1 a. Giả i hệ phư ơ ng trình vớ i m = —1. b. Chứ ng tỏ rằ ng vớ i mọ i m * ±1 hệ luôn có nghiệ m duy nhấ t thoả mãn X—y = 1. c. Tìm giá trị củ a m đ ể nghiệ m duy nhái (x, y) củ a ệ hthoả mãn X2- y2< 0. d. Tim m nguyên đ ể hệ có nghiệ m nguyên duy nhấ t.. D. HƯ Ớ NG DẨ N - Đ ÁP SỐ B à il: a. (1,1).. b. (8,6).. Bài 2: a. (4,6). Bài 3: a. Đ iể u kiệ nX, y * 0.. b. (1,2).. c. (-3,1).. d.. 2 2. Đ ặ t —= u và —= V, hệ đ ư ợ c chuyể n vể dạ ng: X y -u = 4 5u + 3v = l Í5u + 3v = 1 o < <=> 2u + v = - l -6 u -3 v = 3 5u + 3v = l. <=>. u = -4. 5(—4) + 3v = 1. o. u = -4 o V= 7. rX~ *. ly. 1 4. X = —-. y. 1 7.

(51) b.. Đ iéu kiệ n X * - 3 và y * 2. 5 9 , = 2 u v à — -— = 2 v , h ệ đ ư ợ c c h u y ế n vế d ạ n g : Đ át x+3 y -2 5. 5u - 9 v = 5 0 o 3u + 7v = 154. u=28 <=> V = 10. X+3. = 56. X=. 56. <=>. 9 =. 20. y -2. 49. y=. 20. 49 L!s_____ 163 . Vày, hệ có nghiệ m X = — — và y = — .. J. 56. 20. Bài 4: a. Vớ ■ ■ Từ. i giả thiế t: A(1, 3) thuộ c đ ồ thị toàm số , suy ra: 3 = a.l + b o a +b = 3. B(3, 2) thuộ c đ ồ thị 'hàm số , suy ra: 2 = a.3 + bo 3a + b = 2. (1) và (2), ta có đ ư ợ c hệ phư ơ ng trình: 1 1 a =— a = — a +b=3 2a = -1 2 2 o o o 3a + b = 2 a +b=3 b .I 2 1 7 Vây, hàni sô' có dạ ng y = —- X + — . 2 2 b. Vớ i giả thiế t: ■ A(l, -1) thuộ c đ ồ thị hàm số , suy ra: -1 = a.l + b o a + b = -1. ■ B(3, 3) thuộ c đ ồ thị hàm số , suy ra: 3 = a.3 + bo 3a + b = 3. Từ (1) và (2), ta có đ ư ợ c hộ phư ơ ng trình: a=2 a + b = -1 ía = 2 2a = 4 <=> <=> o 2 + b = -1 a + b = -l b = -3 3a + b = 3 Vậ y, hàm số có dạ ng y = 2x - 3. Bài 5: Giả sử đ ư ờ ng thẳ ng có phư ơ ng trình ax + by = c. a. Vớ i giả thiế t: ■ A( 1, 3) thuộ c đ ư ờ ng thẳ ng, suy ra: a. 1 +b.3 = c oa + 3b = c. ■ B(3, 2) thuộ c đ ư ờ ng thẳ ng, suy ra: a.3 + b.2 = co 3a + 2b = c. Từ (1) và (2), ta có đ ư ợ c hệ phư ơ ng trình: a+ 3b= c o 3a + 2b = c. 3a + 9b = 3c o 3a + 2b = c. 7b = 2c o 3a + 2b = c. 0) ( 2). ( 1) ( 2). ( 1) ( 2). b.ĩ z b -ỉ s 7 7 <=> < c 2c = c a =— 3a + ^2,— 7 L 7. 7 c 2c Vậ y, đ ư (QO0®thắ ngcó phư ơ ng trình —X + — y = c o x + 2y = 7..

(52) b. Vớ i giả thiế t: A(1, -1) thuộ c đ ư ờ ng thẳ ng,suy ra: ■. a.l + b.(-l) = c o a - b = c. B(3, 3) thuộ c đ ư ờ ng thẳ ng, suy ra: ■. a.3 + b.3 = c o 3a + 3b = c. Từ (1) và (2), ta có đ ư ợ c hộ phư ơ ng trình:. ( 2). a=. 2c. 6a = 4c 3a-3b = 3c a -b =c <=> <=> <=> - 2c 3a + 3b = c 3a + 3b = c 3a + 3b = c 3.— + 3b = c 3 2c Q. a =. 2c. Vậ y, đ ư ờ ng thẳ ng có phư ơ ng trình — X - —y =c o 2 x - y = 3.. 3. 3. Bài 6: a. Vớ i giả thiế t: ■. X, = 1 là nghiệ m củ a phư ơ ng trình, suy ra: l 2- a . l + b = 0 o a - b = 1.. ■. ( 1). x2= 3 là nghiệ m củ a phư ơ ng trình, suy ra: 32- a.3 + b = 0 o 3a - b = 9. Từ (1) và (2), ta có đ ư ợ c hộ phư ơ ng trình: a=4 a =4 2a = 8 <=> 1 <=> 1 <=> ì 3 a -b = 9 b=3 3a - b = 9 3 .4 -b = 9. II 1 co. ì. (2). Vậ y, phư ơ ng trình có dạ ng X2- 4x + 3 = 0. b. a = -1 và b = -6 .. Bài 7: Vớ i giả thiế t: ■. f(x) chia hế t X - 1, suy ra:. ■. f(l) = 0 <=> l3- a.l2 + b. 1 - a = 0 o 2a -b = 1.. ( 1). f(x) chia hế t X- 3, suy ra: f(3) = 0 o 3 - a.32 + b.3 - a = 0 o lOa- 3b = 27. Từ (1) và (2), ta có đ ư ợ c hộ phư ơ ng trình: 2 a -b = l 6 a-3b = 3 <=> o 10a-3b = 27 10a-3b = 27 a =6 o -3b =3. ía = 6 b = ll'. 4a = 24 6a-3b = 3. (2).

(53) CHỦ. BỀ. s. GlẢ l BÀI TOÁN BẬ NG CÁCH LẬ P HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH A. TOM TAT LI THƯ YET. • Biể u thị các đ ạ i lữ ợ ng chư a biế t khác theo ẩ n. * hệ. Các bài toán đ ư ợ c đ ư a ra thư ờ ng rơ i vào mộ t trong 5 dạ ng sau: Dạ ng l : Bài toán chuyể n đ ộ ng. Dạ ng 2: Bài toán về số và chữ số . Dạ ng 3: Bài toán vòi nư ớ c. Dạ ng 4: Bài toán về tỉ số và quan hệ giữ a các số. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Vân đ ể 1: BÀI TOÁN CHUYỂ N Đ Ộ NG_______________________________ Vẩ d ụ l ĩ Mộ t ôtô dự đ ị nh đ i từA đ ế nB trong mộ t thờ i gian nhấ t đ ị nh. Nế u xe chạ y vớ i vậ n tố c 35km/h thì đ ế n chậ m mấ t 2 giờ . Nế u xe chạ y vớ i vậ n tố c 50km/h thì đ ế n sớ m hơ n 1 giờ . Tính quãng đ ư ờ ììgAB và thờ i gian dự đ ị nh đ i lúc đ ầ u. J g Giả i 1. Lậ p hệ phư ơ ng trình a. Lự a chọ n ẩ n • Gọ i X là thờ i gian dự đ ị nh đ i lúc đ ầ u, đ iề u kiệ n X > 0. • Gọ i y là đ ộ dài quãng đ ư ờ ng AB, đ iề u kiộ n y > 0. h. Thiế t lậ p hai phư ơ ng trình Vớ i giả thiế t: ■ Nế u xe chạ y vớ i vậ n tố c 35km/h thì đ ế n chậ m mấ t 2 giờ , ta đ ư ợ c:. ■. — = X + 2 o 35x - y = -70. 35 Nế u xe chạ y vớ i vậ n tố c 50km/h thì đ ế n sớ m hơ n 1 giờ , ta đ ư ợ c: y.

(54) c. Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình: |3 5 x - y = -7 0. (I). 50x - y = 50 2. Giả i hệ phư ơ ng trình 15x =120 o (D ~ 50x - y = 50. X = 8. _, thoả mãn đ iể u kiệ n, y = 350. 3. Kế t luậ n: Vậ y, quãng dư ờ ng AB bằ ng 350km và thờ i gian dự đ ị nh đ i lúc đ ẩ u là 8 giờ . ^. Nhậ n xét: Như vậ y, trong lờ i giả i củ a ví dụ trên ta tháy: 1. Chứ ng ta lự a chọ n hai ẩ n X, y tư ơ ng ứ ng cho hai giá trị cầ n tìm là (đ ộ dài quãng đ ư ờ ng AB và thờ i gian dự kiế n. 2. Việ c thiế t lậ p các phư ơ ng trình (1) và (2) dự a trên phép so sánlh thờ i gian tói đ ích vớ i thờ i gian dự kiế n. Tuy nhiên, cũ ng có thê lậ p luậ n theo kiêu khác, cụ thể : ■ Nêu xe chạ y vớ i vậ n tố c 35km/h thì đ ế n chậ m mấ t 2 giờ , tứ c là Siố thờ i gian chạ y bằ ng X+ 2, do đ ó: 35(x + 2) = y, (vậ n tố c Xthờ igian = quãng đ ư ờ ng) ■ Nế u xe chạ y vớ i vậ n tố c 50km /h thì đ ế n sớ m hơ n 1 giờ , tứ c là số thờ i gian chạ y bằ ng X - 1 , do đ ó: 50(x —1) = y, ( vậ n tố c X thờ igian = quãng đ ư ờ ng). 3. Lờ i giả i đ ư ợ c trình bày thành ba phầ n đ ộ c lậ p nhau , vớ i mụ ic đ ích m inh hoạ đ ê giúp các em họ c sinh hiể u đ ư ợ c cách trình bày bàii toán. theo thuậ t toán đ ã đ ư ợ c chỉ ra. Tuy nhiên, kê từ các ví dụ sau chiúng ta không cầ n phân tách như vậ y mà chỉ yêu cầ u các em họ c sinh klhi đ ọ c phả i biế t mình đ angồ bư ớ c nào. Vẩ ể f 2» Lúc 7 giờ mộ t ngư ờ i đ i xe máy khở i hành từ A vớ i vậ n tố c 40 km/h. Sau đ ó, lúc8 giờ 30 phút, mộ t ngư ờ i khác cũ ng đ i xe máy từ A đ uổ i theo vớ i vậ n tố c 60 km/h. Hỏ i hai ngư ờ i gặ p nhau lúc mấ y giờ ? Giả i 30 17 Ta thự c hiệ n đ ổ i đ om vị : 8 giờ 30 phút = 8 + — - — . 6 2 1 17 Gọ i X là thờ i gian hai ngư ờ i gặ p nhau, đ iề u kiệ nX > — . Gọ i y là đ ộ dài quãng đ ư ờ ng từ A tớ i đ iể m gặ p nhau, đ kiệiề un y > 0. Vớ i giả thiế t: ■ Ngư ờ i thứ nhấ t đ i vói vân tố c 40 km/h và xuấ t phát lúc7 giò, ta đ ư ơ c: 40(x - 7) = y <=> 40x - y = 280. jU ”. (1). CDTĐ HĐ )S9-T2.

(55) Ngư ờ i thứ hai đ i vớ i vân tố c 60 lon/h và xuấ t phátlúc 8 giờ 30 phút, ta đ ư ợ c: 60(x - — ) = y » 60x - y = 510.. Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình:. (2). 40x - y = 280 6 0 x -y = 510. X = 11- = 1 lgiờ 30phút y = 180. Vậ y, họ gặ p nhau lúc 11 giờ 30 phút. ^. Nhậ n xét: Như vậ y, trong lờ i giả i củ a ví dụ trên ta thây: 1. Cho đ ù bài toán chỉ yêu cầ u "Tìm thờ i đ iể m hai ngư ờ i gặ p nhau ", tư ơ ng ứ ng vớ i mộ t ân xong chúng ta lạ i lự a chọ n hai ấ n (mộ t ân đ ư ợ c đ ề xuât) đ ê chuyên bài toán về hệ phư ơ ng trình bậ c nhât hai ẩ n. Khi đ ó: ■ Phư ơ ng trình (1) đ ư ợ c thiế t lậ p dự a trên chuyên đ ộ ngủ ac ngư ờ i thứ nhấ t.. ■. Phư ơ ng trình (2) đ ư ợ c thiế t lậ p dự a trên chuyên đ ộ ng củ a ngư ờ i thứ hai. 2. Đ ê họ c sinh tiệ n so sánh, sau đ ây sẽ là lờ i giả i khi ta lự a chọ n hư ớ ng lậ p phư ơ ng trình: Giả sử đ iể m họ gặ p nhau là B. Gọ i quãng đ ư ờ ng AB X, là đ iề u kiệ n X> 0. Suy ra: ■ ■. Thờ i gian ngư ờ i thứ nhât đ i từ A đ ế n B là: — . Thờ i gian ngư ờ i thứ hai đ i từ A đ ế n B là: — .. Vì ngư ờ i thứ nhấ t đ i sau ngư ờ i thứ hai 1 giờ 30 phútnên ta có: = JL. + 1. o. 3x = 2x + 180 o. X = 180. 40 60 2 Vậ y đ iể m gặ p nhau củ a hai ngư ờ i cách A là 180 km. Đ ê đ i đ ư ợ c quãng đ ư ờ ng này: ■ ■. Ngư ờ i thứ nhấ t phả i đ i mấ t. VI dụ. Ngư ờ i thứ hai phả i đ i mấ t. = 4 — (giờ ). = 3(giờ ).. Vậ y, họ gậ p nhau lúc 11 giò 30 phút. (Bài 43/tr 27 —Sgk): Hai ngư ờ i ở hai đ ị ađ iể mA vù B cách nhau 3,6km, khở i hành cùng mộ t lúc, đ i ngư ợ c chiề u nhau vù gậ pnhau ở mộ t đ ị a đ iể m cách A lù 2km. Nế u cả hai cùng giữ nguyên vậ n tố c như trong trư ờ ng hợ p trên, như ng ngư ờ i đ i chậ m xuấ t pháttrư ớ c ngi(ờ i kia 6 phút th ì họ sẽ gặ p nhau ở chính giữ a quãng đ ư ờ ng. Tính *vấ n tố c củ a mỗ i ngư ờ i..

(56) Đ ổ i: 6 phút = — giờ . 10 Gọ i X là vậ n tố c cùa ngư ờ i đ i nhanh hơ n (x> 0, đ ơ n vị : km/h) y là vậ n tố c củ a ngư ờ i đ i chậ m hơ n (y > 0, đ ơ n vị : km/h) Hai ngư òi khở i hành cùng mộ t lúc, đ i ngư ợ c chiề u nhau và gặ p nhaui ờ mộ t đ ị a đ iể m cách A là 2km (nghĩ a là cách B là l,6km). Lức đ ó: 2 ■ Ngư ờ i đ i nhanh mấ t — (h). X. ■. Ngư ờ i đ i chậ m mấ t — (h). y 2 16 Do đ ó, ta có phư ơ ng trình: — = — ( 1) X y Nế u cả hai cùng giữ nguyên vậ n tố c như trong trư ờ ng hợ p trên, như ng; ngư ờ i đ i chậ m xuấ t phát trư ớ c ngư ờ i kia 6 phút thì họ sẽ gặ p nhauở chính giữ a quãng đ ư ờ ng. Lúc đ ó: 18 ■ Ngư ờ i đ i nhanh mấ t — (h). X. 18 1 Ngư ờ i đ i châm mấ t — + — (h). y 10 , _L __ 1,8 _ 1,8 1 Do đ ó, ta có phư ơ ng trinh: —— = ——+ — X y 10 ■. (2). 2 =ỵ 6 Từ (1) và (2), ta có hệ :. X. y. o. x = 2,5. y=2 _L X y + 10 Vậ y, vậ n tố c củ a ngư ờ i đ i nhanh là 2,5km/h và vậ n tố c củ a ngư ờ i đ cHiậ i m là 2km/h. Vẩ ẩ y 4t Hai canô cùng khở i hành từ bế n A và B cách nhau 85km, đ i tĩ Ị ị UỢ c chiề u nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặ p nhau. Tính vậ n tố c ríêmg củ a mỗ i canô. Biế t rằ ng vậ n tố c riêng củ a canô đ i xuôi lớ n hơ nwậ /ỉ tố c riêng củ a canô đ i ngư ợ c9km/h và vậ n tố c nư ớ c là 3km/h. M =M. Giả i 40 Ta thự c hiệ n đ ổ i đ cm vị : 1 giờ 40 phút = 1 + — 60 Gọ i X là^ả n tố c riêng củ a canô đ i xuôi dòng, đ iể đ i vớ i vậ n tố c (x + 3) km/h.. 5 = — giờ . 3 ukiệ n X > 0. Do đ ó, khi đ i.

(57) Gọ i ngư Vớ •. i y là vậ n tố c riêng củ a canỏ đ i ngư ợ c dòng, đ iề u kiệ n y 3. > Do đ ó, khi ợ c dòng nó đ i vớ i vậ n tố c (y - 3) km/h. i giả thiế t: Vậ n tố c riêng củ a canó đ i xuôi lớ n hơ n vân tố c riêngcủ a canô đ i ngư ợ c 9km/h, ta đ ư ợ c:X - y = 9. ( 1) Sau 1 giờ 40 phút hai canỏ gậ p nhau, ta đ ư ợ c: - [(x +. 3. 3) + (y - 3)]. Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng. =. 85 <=> X X. +. - y=9. tr ìn h : X+ y. ( 2). y = 51.. = 51. <=>. X. = 30. y = 21. Vậ y: • Vậ n tố c riêng củ a canô đ i xuôi bằ ng 30km/h. ■ Vậ n tố c riêng củ a canô đ i ngư ợ c bằ ng 21km/h. Chú ý: Nế u thay giả thiế t " Vậ n tố c riêng củ a canô đ i xuôi lớ n hơ tĩ vậ n tố c riêng cùa canô đ i ngư ợ c 9km/li" bằ ng " Vậ n tố c canô đ i xuôi lớ n hơ n vậ n tố c canô đ i ngư ợ c 9km!h" thì phư ơ ng trình đ ư ợ c minh hoạ bằ ng: (x + 3) - (y - 3) = 9 <=>X - y = 15.. ^. Khi đ ó, hệ phư ơ ng trình có dạ ng:. X- y =. 15. X + y =. 51. <=>. X. = 33. y = 18. Vậ y, ta có: ■ Vậ n tố c riêng củ a canô đ i xuôi bằ ng 33km/h. ■ Vậ n tố c riêng củ a canô đ i ngư ợ c bằ ng 18km/h. Vẩ d y Si (Bài 37/tr 24 —Sgk): Hai vậ t chuyể n đ ộ ng đ ể u trên mộ t đ ư ờ ng tròn dư ờ ng kính 20cm, xuấ t phát cùng mộ t lúc, từ cùng mộ t đ iể m. Nế u chuyể n đ ộ ng cùng chiêu thì cứ 20 giây chủ ng lạ i gặ p nhau. Nế u chuyể n đ ộ ng ngư ợ c chiẻ li thì cứ 4giây chúng lạ i gậ p nhau. Tính vậ n tố c củ a môi vậ t. G iả i Gọ i X và y là vậ n tố c củ a các vậ t (x,y > 0; đ ơ n vị : cm/s) ■ Nế u chuyể n đ ộ ng cùng chiể u thì cứ 20 giây chúng lạ i gập nhau.. ■. Do đ ó, ta có:2 ^ 1 . = 20. x -y Nế u chuyể n đ ộ ng ngư ợ cchiề u thì cứ 4 giấ y chúng lạ i gặ p nhau. _ , 20ĩ r . Do đ ộ * ta có: ——— = 4. - * X+ y.

(58) 2071 x -y. 2071 = 20x - 20y. 2071. 20n = 4x + 4y. =3n y = 271 X. X+ y. Vẩ n đ ể 2; BAI TOAN VE SO VA CHU SO Vẩ dụ l i. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - — _____. 77m 50 có hai chữ số , biế t rằ ng tổ ng củ a chữ số hàng đ ơ n vị \và hai lầ n chữ s ố hàng chụ c bằ ng 10. Ngoài ra, nề 'u đ ổ i chỗ chữ sổ 'í hàng chụ c và hàng đ ơ nvị cho nhau thì sẽ đ ư ợ c s ố mớ i nhỏ hơ n Siô ban đ ầ u18 đ ơ n vị .. Giãi Gọ i số có hai chữ số là xy = lOx + y, vớ i X, y 6 N, 1 < X, y < 9. Vớ i giả thiế t: ■ Tổ ng củ a chữ số hàng đ ơ n vị và hai lầ n chữ số hàng chụ c bằ ng 01, ta đ ư rợ c:. 2x + y=10Ĩ. ■. (1). Nế u đ ổ i chỗ chữ số hàng chụ c và hàng đ ơ n vị cho nhau thì sẽ ư đợ c ( yx = lOy + x) nhỏ hơ n số ban đ ầ u 18 đ ơ n vị , ta đ ư ợ c: xy - yx = 1 8 o ( 1 0 x + y )-(1 0 y + x)= 18<=>x-y = 2. Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình:. 2x + y = 10. X= 4. X- y = 2. y=2. S iố. mớ i (2). , thoả mãm đ iể u. kiệ n. Vậ y, số cầ n tìm là 42. Nhậ n xét: Như vậ y, toong lờ i giả i củ a ví dụ trên ta thây: 1. Cho dù bài toán chỉ yêu cầ u chúng ta đ i tìm mộ t sô"có hai chữ số. (đ iề u. này có thể khiế n họ c sinh hiể u nhầ m rằ ng chỉ có mộ t ẩ n) như ng cầ m hiể u. rằ ng, số cầ n tìm đ ư ợ c xây dự ng từ hai thành phầ n. Do đ ó, chúng Ita lifa chọ n hai ẩ n X, y tư ơ ng ứ ng cho chữ số hàng chụ c và chữ số hàng đ (ơ T( vị . Và vì chúng ỉ à các chữ sô' đ ạ i diệ n nên phả i thuộ c tậ p {0,1,2,3,..., 9} Xong ồ đ ây không thể là 0 bở i các số Oy, Ox không phả i là ô' s có hai ch ữ số . 2. Việ c thiế t lậ p phư ơ ng trình (1) là đ ơ n giả n, còn đố i vớ i phư ơ ng trìmh (2) chúng ta cầ n tớ i kiế n thứ c về biể u diễ n số , cụ thể : xy = lOx + y, xyz = lOOx + lOy + z , . . . Vẩ dụ 2« Tìm mộ t số có hai chữ số . Biế t rằ ng cliữ s ố hàng chụ c lớ n hơ m rhữ số hả ng đ ơ n vị 6 đ ơ n vị . Nế u viế t xen chữ sô0 vào giữ a chữ số hừ ng TWC' VÙ chữ sô hàng đ ơ n vị thì số tự nhiên đ ó tàng 720 dơ n vị ..

(59) JS% Giả i Gọ i số có hai chữ số là xy = lOx + y, vớ i X, y e N, 1 < X < 9,0 < y < 9. Vói giả thiế t: ■ Chữ số hàng chụ c lớ n hơ n chữ sô hàng đ ơ n vị 6 đ ơ n vị , đta ư ợ c: x - y = 6. ■. (1). Khi viế t xen chữ sô' 0 vào giữ a chữ sô' hàng chụ c và chữ số hàng đ ơ n vị. (đ ư ợ c sô xOy = TOOx + y) thì số tự nhiên đ ó tă ng 720 đ ơ n vịđ, ta ư ợ c: (lOOx + y) - (lOx + y) = 720. X. = 8.. X- y = 6. Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình: <. X= 8. o. (2) X = 8. < y=2. Vây, sô' cầ n tìm là 82. Vân đ ề 3: BẢ I TOÁN VÒI NƯ Ớ C____________________________________ Vẩ dụ lí Mộ t máy bơ m muôn bơ m đ ầ y nư ớ c vào bể trong mộ t thờ i gian u qy đ ị nh thì mỗ i giờ phả i bơ ni10m3. Sau khi bơ m đ ư ợ c— bể , ngư ờ i công nhân vậ n hành máy cho hoạ t đ ộ ng vớ i công suấ t15m3/h. Do vậ y so vớ i quy đ ị tìh b ể đ ư ợ c bơ ni đ ầ y trư 48 ớ cphút. Tính thể tích củ a bể . j SĨ. Í Giả i Ta thự c hiệ n đ ổ i đ om vị 48 phút =. = — giờ .. F 60 15 6 Gọ i X (giờ ) là thờ i gian quy đ ị nh đ ể bơ m đ ầ y bể ề , uđ kiệ i n X > 0.. Gọ i y (m3) là thể tích củ a bể , đ iề u kiệ n y > 0. Vớ i giả thiế t: ■ Muố n bơ m đ ầ y nư ớ c vào bể trong thờ i gianX mỗ i giờ phả i bơ m 10m\ ta đ ư ợ c: lOx = y. (1) ■. Sau khi bơ m đ ư ợ c — bể (tứ c bơ m đ ư ợ c — mJ và tố n ■ - _giờ và còn lạ i 3 3 3.10 2y. ,. — m ), ngư ờ i công nhân vậ n hành máy cho hoạ t đ ộ ng vớ i công suấ t 3 I5nr7h (tứ c là tố n ■ ■ giờ ). Do vây so vớ i quy đ inh bể đ ư ợ c bơm đ ầ y 3 •ỉ 5 12. trư ớ c 48 phút (tứ c là mấ t X - — -2 —. 3.10. +. —. 3.15. =. ta đ ư ợ c:. X - — o 90x -7y = 72.. 15. (2).

(60) 10x = y. [ X = 3,6 o < 9 0 x -7 y = 72 [y = 36. , thoa mãn đ iéu kiệ n.. Vậ y, thể tích củ a bể bằ ng 36 m \ ^. Nhậ n xét: Như vậ y, trong lờ i giả i củ a ví dụ trên ta thấ y: 1. Cho dù bài toán đ ủ yêu c ầ u "Túĩ h th ế tích củ a bể ", tư ơ ng ứ ng vớ i nnộ t ẩ n, xong chúng ta lạ i lự a chọ n hai ẩ n (mộ t an đ ư ợ c đ ề xuấ t) đ êuyên ch bài toán về hệ phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n. Khi đ ó: ■ Phư ơ ng trình (1) đ ư ợ c thiế t lậ p dự a trên quy đ ị nh chung. ■ Phư ơ ng trình (2) đ ư ợ c thiế t lậ p dự a trên việ c thự c hiệ n bơ mi trong thự c tế . 2. Đ ể họ c sinh tiệ n so sánh, sau đ ây sẽ là lờ i giả i khi ta lự a chọ nư ớ httig lậ p phư ơ ng trình: Gọ i thê’ tích củ a bể là X(mJ), đ iề u kiệ n X > 0. Suy ra: ■. Thờ i gian dự đ ị nh đ ể bơ m đ ầ y bể là: — . ■. Vớ i — bê (bằ ng —) bơ m theo quy đ ị nh mỗ i giờ phả i bơ m. 1. X. 1 0 n n 5 nên. mấ t —. — = — (giờ ). 3 10 30 ’ ■. Vớ i — bể còn lạ i (bằ ng — ), công suấ t củ a máy là 15m3/ h nôn mấ t 2x. T ĩ i. 1 _ 2x. « <8ià)-. Vây thờ i gian thư c tế đ ê’ bơ m đ ầ y bê’ là: — + — 3 y 30 45 Vì so vớ i quy đ ị nh bê’ đ ư ợ c bơ m đ ầ y trư ớ c 48 phút nêncótaphư ơ ng trrình: —— (— + — ) = — o o 2x = 72 o X = 36, thoả mãn. 10 v30 4 5 ; 15 Vậ y, thể tích củ a bể nư ớ c là 36m3. Ví dụ 2» (Bài 32/tr 23 —Sgk): Hai vòi nư ớ c cùng chả y vào mộ t bể nư ớ c c ạ n 4 (không có nư ớ c) thì sau 4 — giờ đ ẩ y bể . Nế u lúc đ ầ u chỉ mà V'ÒI thứ 5 nhấ t vờ 9 giờ sau mớ i mờ thêm vòi thứ hai thì sau — giờ nữ a nuớ i đ ầ y 3 bể : Hỏ i nế u ngay từ đ ầ u chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu sẽ đ ầ y bể ..

(61) & Giả i Gọ i X và y là thờ i gian đ ê vòi thứ nhấ t và vòi thứ haichả y mộ t mình thì đ ầ y. bể (x > 0; y > 0; đ om vị : giờ ). Do đ ó: •. Trong 1 giờ vòi thứ nhấ t chả y đ ư ợ c —phầ n củ a bể . X. •. Trong 1 giờ vòi thứ hai chả y đ ư ợ c —phầ n củ a bể . y. •. Trong 1 giờ. cả hai vòi chả y đ ư ợ c — + — phầ n củ a bể . X. y. 4 24 Hai vòi cùng chả y thì trong 4 — = — giờ sẽ đ ầ y bể , nên mỗ i giờ hai vòi chả y đ ư ơ c 1: — = — (bể ). Dođ ó ta có phư ơ ng trình: —+ — = — 5. 24. X. y. 24. )(1. Nế u lúc đ ầ u chỉ mờ vòi thứ nhấ t và 9 giờ sau mớ i mờ thêm vòi hứt hai thì sau — giònữ a mớ i đ ầ ybể . Do đ ó ta có phư ơ ng trình: — + — . — = 1 )(2 5 X 24 5 Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình: l Ị _= 5_ [i i-JL X y 24 X y _ 24 X y ~ 24 o { J <=> 9 56 , 9 1 , X 24 5 .X 4 X 4 =' 1 1_ 5 1 i-_ L —+ — = — y=8 X y 24 o ' X y 24 o 1 o X = 12 36 + X = 4x X = 12 Vậ y, nế u vòi thứ hai chả y mộ t mình thì sau 8 giờ sẽ đ ầ y bế . Vấ i ạ a« (Bài 38/tr 24 —Sgk): Hai vòi nư ớ c cùng chả y vào mộ t b ể không có nư ớ c thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đ ầ y. Nế u mở vòi thứ nhấ t chả y trong 2 10 phút vờ vòi thứ hai chả y trong 12 phút thì đ ầ y— bể . Hỏ i mỗ i Ì5 vòi chày mộ t mình thì sau bao láu mớ i đ ầ y b ể ?. 1 1 =JL. 4. Giài Ta có thể lự a chọ n mộ t trong hai cách trình bày sau: Cách 1: Thiế t lậ p ẩ n thông qua giá trị cầ n tìm. Gọ i X là thờ i gian đ ể vòi I chả y mộ t mình cho đ ầ y bể , đ iề u kiệX n> 0. Suy ra, mỗ i giờ vòự chày đ ư ợ c — bể ..

(62) Gọ i y là thờ i gian đ ể vòi n chả y mộ t mình cho đ ầ y bể , đ iề u kiệ n> y0. Suy ra, mỗ i giờ vòi n chả y đ ư ợ c — bể . y Ta thự c hiộ n đ ổ i đ ơ n vị : 1 giờ 20 phút = 1 + — = —giờ ; 10 phút= — giờ ; 12 phút = — giờ . 60 3 6 .5 Vớ i giả thiế t: ■ Hai vòi nư ớ c cùng chả y vào mộ t bể không có nư ớ c thì sau 1 giờ 2 0 phút *^ 4 1 1V * 1 1 3 sẽ đ ầ y, ta đ ư ơ c:—( — + —) = 1o — + — = — (1) 3 X y X y 4 ■ Nế u mờ vòi thứ nhấ t chả y trong 10 phút và vòi thứ hai chả y trong 12 phút thì 1 1 1 _ 2 _ 1 1 2 — đ ầ y 2— uibể ,>tas đ ư ợ c:1 — (2) 15 ' 6 X 5 y 15 6x 5y 15 Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình: _6_ _5__3 1 1 =2 X y 4 6x + 5y ” 4 <=> (I) _L _ L - A — — =— 6x 5y 15 6x 5y 15 u= Đ ặ t V=. _Ị _ 6x 1 5y. 6u + 5v = — u= X= 2 4 12 o < 6x ~ 12 khi đ ó, hệ có dạ ng: <=> < y=4 _L-_L u + V= V= 5y ~ 20 15 20 Vậ y, ta đ ư ợ c: ■ Vòi I chả y trong 2 giờ sẽ đ ầ y bể . ■ Vòi n chả y trong 4 giờ sẽ đ ầ y bể . Cách 2: Thiế t lậ p ẩ n thông qua giá trị trung gian. Giả sử mỗ i giờ vòi I chả y đ ư ợ c X phầ n bể , đ iề u kiệ n X > 0. Giả sử mỗ i giờ vòi II chả y đ ư ợ c y phầ n bể , đ iề u kiệ n >y 0. Vớ i giả thiế t: ■ Hai vòi nư ớ c cùng chả y vào mộ t bể không có nư ớ c thì sau 1 giờ 2Ỉ 0 phút sẽ đ ầ y, ta đ ư ợ c: —(x + y) = 1 o 4x + 4y = 3.. (3).

(63) Mế u mờ. vòi thứ nhấ t chả y trong 10 phút và vòi thứ hai chả y trong 12. 2 1 1 2 :hút thì đ ầ y —- bể , tađ ư ợ c: —.X + —.y = —- <=> 5x + 6y = 4. 15 6 5 15 4x + 4y = 3 1 1. Từ (3) và (4), ta có hệ phư ơ ng trình:. 5x + 6y = 4. o. 2. (4). X = —, y. 4. Vậ j ta đ ư ợ c: ■ /òi I chả y trong 2 giờ sẽ đ ầ y bể . ■ /òi II chả y trong 4 giờ sẽ đ ầ y bể . Ntậ n xét: Như vậ y, thông qua hai cách giả i củ a ví dụ trên ta thây: 1. /ớ i cách 1, việ c lự a chọ n ẩ n thông qua các giá trị cầ n tìm giúp cho cách đ ặ t 'ấ n đ ề khá tư ờ ng minh. Tuy nhiên, chúng ta lạ i phả i đ ôì mặ t vớ i mộ t hệ ?hứ c tạ p (ở đ ó cầ n sử dụ ng phư ơ ng pháp ân phụ đ ê giả i).. 2. /ớ i cách 2, việ c lự a chọ n ân thông qua giá trị trung gian cầ n có đ ư ợ c ihữ ng kiế n thứ c đ ánh giá đ úng đ ắ n, xong sẽ giúp chúng ta thu đ ư ợ c mộ t lệ đ ơ n giả n.. Vầ n đ t 4: BÀI TOÁN VỂ TỈ s ổ VẢ QUAN HỆ GIỮ A CÁC s ổ Vể l ạ. li. (Bài 34/tr 24 —Sgk): Nhà Lan có mộ t mả nh vư ờ n trồ ng rau cả i bắ p. Vư ờ n đ ư ợ c đ ả nh thành nhiề u luố ng, mỗ i luố ng trồ ng cùng mộ oạt li cày cả i bắ p. Lan tính rằ ng: Nế u tâng thêm 8 luố ng rau, như ng mỗ i luố ng trồ ng ít đ i 3 cây thì số cây toàn vư ờ n ít đ 54 i cây. Nế u giả m đ i 4 luố ng, như ng mỗ i luố ng trồ ng tă ng thêm 2cây thì sô rau toàn vư ờ n s ẽ tă ng thêm32 cây. Hỏ i vư ờ n nhà Lan trồ ng bao nhiêu cây cả i bắ p?. Gỉ ỉ i Gọ ix là số y là số Nế i tă ng toàn viờ n ít đ. luố ng rau mà Lan trồ ng (x € N*) cây cả i bắ p mà Lan trồ ng trên mỗ i luố ng (y e N*). thêm 8 luố ng rau, như ng mỗ i luố ng trổ ng ít đ i cây 3 thì số cây i 54 cầ y. Do đ ó, ta có phư ơ ng trình: x y - ( x + 8 )(y -3 ) = 54 (1) Nế i giả m đ i 4 luố ng, như ng mỗ i luố ng trồ ng tă ng thêm 2 cây thì sốrau toàn vư ờ n Sí tãngthêm 32 cây. Do đ ó, ta có phư ơ ng trình: (x - 4)(y + 2) - xy = 32 (2) Từ 1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình: xy - (x + 8)(y - 3) = 54 l(x t^ )(y + 2 ) -x y = 32. o. 3x -8 y = 30 x = 50 <=> 2x -4 y = 40 y = 15. |t|áp cả i trồ ng trong vư ờ n nhà Lan là: 50 X15 = 750 (cây). S9-T2.

(64) Vấ dụ 2». (Bài 31/tr 23 - Sgk): Tính đ ộ dài hai cạ nh góc vuông củ a m ậ t tam giác vuông, biế t rằ ng nế u tă ng môi cạ nh lên3cm thì diệ n túch tam giác đ ó sẽ tă ng thêm 36cm2, và nế u mộ t cạ nh giả m đ i2cm, cạ inh kia giả m đ i4cm thì diệ n tích củ a tam giác giám đ i 26cm2.. Jg$ Giả i Gọ i X và y là đ ộ dài củ a hai cạ nh góc vuông củ a mộ t tam giác vuồ ng (x.,y > 0, đ ơ n vị : cm). Nế u tă ng mỗ i cạ nh lên 3cm thì diệ n tích tam giác đ ó sẽ ng tà thêm 36cm 2. Do đ ó, ta có phư ơ ng trình: <*+3><y + 3> = 3 6 « ( x + 3)(y + 3 ) - x y = 72 ( 1) 2 2 Nế u mộ t cạ nh giả m di 2cm, cạ nh kia giả m đ i 4cm thì diệ ntích củ a taim giác giả m đ i 26cm2. Do đ ó, ta có phư ơ ng trình:. EL - - 4> = 26 o. (2). xy - (x - 2)(y - 4) - 52 2 2 Từ (1) và (2), ta có hộ phư ơ ng trình: (x + 3)(y + 3) - xy = 72 |x y - ( x - 2 ) ( y - 4 ) = 52. <=>. 3x + 3y = 63 4x + 2y = 60. o. =9 y = 12 X. Vậ y, đ ộ dài hai cạ nh củ a góc vuông là 9cm và 12cm. Vẩ ẩ f .ít Trong mộ t trang sách, nế u bớ t đ i4 dòng và mỗ i dòng bớ t đ i3 chữ thì cả trang sè bớ t đ i136 chữ , nế u tă ng thêm3 dòng và mỗ i dòn\g tă ng thêm 2 chữ thì cà trang sề tâng 109 chữ . Tính sô' dòng trong trang và số chữ củ a mỗ i dòng. Jg$ Giả i Gọ i X là số dòng trong trang sách, đ iề u kiệ n0 < X e N. Gọ i y là số chữ trong mỗ i dòng, đ iế u kiệ n 0 < y e N. Vớ i giả thiế t: ■ Nế u bớ t đ i 4 dòng (ứ ng vớ i việ c bớ t 4y chữ và trang còn lạ i X -4 dòmg) và mỗ i dòng bớ t đ i 3 chữ (ứ ng vớ i 3(x-4)) thì cả ữ ang sẽ bớ t iđ 136 c:hfr, ta đ ư ợ c: 4y + 3(x - 4) = 136 <=> 3x + 4y = 148. (1) ■ Nế u mỗ i dòng tă ng thêm 2 chữ ( trang tă ng đ ư ợ c 2x chữ mỗ và i dòmg có y + 2 chữ ) và tă ng thêm 3 dòng (tă ng đ ư ợ c 3(y + 2) chữ ) thì cảaing tr sẽ tă ng 109 chữ , ta đ ư ợ c: 2x + 3(y + 2) = 109 o 2x + 3y = 103.(2) X = 32 3x +4y = 148 Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình: 2x + 3y = 103 y = 13 V. sách có 32 dòng và mỗ i dòng có 13 chữ ..

(65) ^. Nhin xét: Như vậ y, trong lờ i giả i củ a thí dụ trên ta thây: 1. lự a chọ n hai ẩ n X, y tư ơ ng ứ ng vớ i số dòng trong trang sách và số chữ trong mỗ i dòng. 2. \ iệ c thiế t lậ p các phư ơ ng trình (1) và (2) dự a trên số dư. khi thêm hoặ c. ______ tót do dó cắ n có nhân đ ị nhthậ t chính xác._________________________. Van đ ề 5: BẢ I TOẢ N VỂ PHẨ N TRẢ M - NẰ NG SUẤ T________________ Vẩ dụ ft Có hai phân xư ở ng, phún xư ở ng I làm trong 20 ngày, phân xư ở ng II lùm trong 15 ngày, đ ư ợ c tấ t cả 1600 dụ ng cụ . Biế t sô dụ ng cụ phán xư ở ng I làm trong 4 ngày bằ ng sô dụ ng cụ phán xư ở ỉ ig II làm trong 5 ntỊ Ùy. Tính sô dụ ng cụ củ a mỗ i phán xư ở ng đ ã làm. J&} Gia G ọ i; là sô' dụ ng cụ phân xư ở ng I làm trong 1 ngày, đ iề u ki ộ n 0 < X € N. Gọ i 'I là số dụ ng cụ phân xư ở ng n làm trong 1 ngày, đ iề u kiệ n0 < y € N. Vớ i |iả thiế t: ■ Cả hai phân xư ở ng làm đ ư ợ c 1600 sả n phẩ m, ta đ ư ợ c: 20x + 15y = 1600 o 4x + 3y = 320. (1) ■ S) dụ ng cụ phân xư ở ng I làm trong 4 ngày bằ ng số dụ ng cụ phân xư ở ng n làm trong 5 ngày, ta đ ư ợ c: 4x = 5y. (2) X = 50 4x + 3y = 320 Từ (!) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình: o < , thoa mãn y = 40 4x = 5y đ iể u kiệ i. Vậ y phân xư ở ng I làm đ ư ợ c 50 sả n phẩ m và phân xư ở ng II làm đ ư ợ 40 c sả n phẩ m m>t ngày. Vẩ d y ?i (Bài 45/tr 27 —Sgk): Hai đ ộ i xây dipĩ g làm chung mộ t công việ c và dự đ ị nh hoàn thành trong 12 ngày. Như ng khi làm chung đ ư ợ c8 ngày thì đ ộ iI đ ư ợ c đ iề u đ ộ ng đ i làm việ c khác. Tuy chỉ còn mộ t mình đ ộ iII làm việ c, như ng do cả i tiế n cách làm, nă ng suấ t củ a đ ộ i II tă niỊ gấ p đ ôi, nên họ đ ã làm xong phầ n việ c còn lạ i trong 3,5 ngày. Hỏ i vớ i nă ng suấ t ban đ ầ u, nế u mỗ i đ ộ i làm mộ t mình thì phả i làm trong bao nhiêu lâu mớ i xong công việ c trên? JS$ Giá Gọ i c, y theo thứ tự là thờ i gian mà mỗ i đ ộ i làm mộ t mình thì hoàn thành công vi&, vớ i nă ng suấ t ban đ ầ u (x, y > 0; đ ơ n vị : ngày). Trong mộ t ngày:. ■. ■. Đ ộ i I hoàn thành đ ư ợ c — công việ c. X. Pộ i IỊ hoàn thành đ ư ợ c — công việ c..

(66) ■. Cả hai đ ộ i hoàn thành đ ư ợ c — + — công việ c. X y. Do đ ó, ta có phư ơ ng trình: — + — = — X y 12. (1). 1 2 Trong 8 ngày cả hai đ ộ i làm đ ư ợ c: 8. — = —. 2 1 SỐ công việ c còn lạ i là: 1 - — = — 6 3 3 Sau khi đ ộ i I nghỉ , nă ng suấ t đ ộ i 2 tă ng lên gấ p dổ i vàphả họ i hoàn thành phầ n công việ c còn lạ i trong 3,5 ngày. Do đ ó, ta có phư ơ ngtrình: =3,5. (2). 3 y. 1 !=-L Từ (1) và (2), ta có hộ phư ơ ng trình:. X + y “ 12. I 1-1. o. *. X =28. y = 21. 3:y " 2 Vậ y, nế u phả i làm mộ t mình thì đ ộ i I sau 28 ngày sẽ hoànthành cômg việ c và đ ộ i II sau 21 ngày sẽ hoàn thành công việ c. Y i ẩ ạ l i Mộ t tậ p đ oả n đ ánh cá dự đ ị nh trung bình mỗ i tuầ n bắ ư tợ đc 20 tấ n cá. Như ng trong thự c tế họ đ ã vư ợ t mứ c kế hoạ ch 6 tấ n mộ t tu iầ n nên chẳ ng nhữ ng đ ã hoàn thành sớ m mộ t tuầ n mà còn vư ợ t mứ c 10 tấ n nữ a. Tính đ ị nh mứ c k ế hoạ ch đ ã đ ị nh. MS Giả i Gọ i X (tuầ n) là thờ i gian thự c hiệ n đ ị nh mứ c kế hoạ ch, đ iề u kiệ n X > 0. Gọ i y (tấ n) là đ ị nh mứ c kế hoạ ch, đ iề u kiệ n y > 0. Vớ i giả thiế t: ■ Dự đ ị nh trung bình mỗ i tuầ n bắ t đ ư ợ c 20 tấ n cá, ta đ ư ợ c: 20x = y. (1) ■ Do họ đ ã vư ợ t mứ c kế hoạ ch 6 tấ n mộ t tuầ n (tứ c là, mỗ i tuần đ ánlhđ ư ợ c 20 + 6 = 26 tấ n) nên chẳ ng nhữ ng đ ã hoàn thành sớ m một tuầ n ((tứ c là, chỉ thự c hiệ n trong X - 1 mán) mà còn vư ợ t mứ c 10 tấ n nữ a (tứ c lià đ ánh đ ư ợ c y + 10 tấ n), ta đ ư ợ c: 26(x - 1) = y + 10 o 26x - y = 36. (2) Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình: 20x = y \ = 6 o , thoả mãn đ iề u kiộ n. 26x - y = 36 y = 120 ứ c kế hoạ ch đ ã đ ị nh bằ ng 120 tấ n..

(67) ^. Nhậ n xét: Như vậ y, trong lờ i giả i củ a thí dụ trên ta thây: 1. Cho dù bài toán chỉ yêu cầ u " Tữ ứ ì đ ị nh mứ c kế hoạ ch đ ã đ ị ",nh tư ơ ng ứ ng vớ i mộ t ẩ n, xong chúng ta lạ i lự a chọ n hai ẩ n (mộ t ẩ n đ ư ợ c đ ề xuât) đ ê chuyể n bài toán về hệ phư ơ ng trình bậ c nhât hai an. Khi đ ó:. ■. Phư ơ ng trình (1) đ ư ợ c thiế t lậ p dự a trên đ ị nh mứ c trong kế hoạ ch . ■ Phư ơ ng trình (2) đ ư ợ c thiế t lậ p dự a trên việ c thự c hiệ n kê hoach trong thự c tế . 2. Đ ê’ họ c sinh tiệ n so sánh, sau đ ây sẽ là lờ i giả i khi ta lự a chọ hưn ớ ng lậ p phư ơ ng trình: Gọ i X (tân) là m ứ c kê hoạ ch đ ã đ ị nh, đ iề u kiệ n X 0.>Suy ra:. ■. Thờ i gian dự đ ị nh là: — (tuầ n). ■. Khôi lư ợ ng thự c tế đ ánh bắ t đ ư ợ c trong mộ t tuầ n là 20 + 6 = 26 (tấ n) và khôi lư ợ ng thự c tê đ ánh bắ t đ ư ợ c là X + 10 ân). (t Suy ra,. thờ i gian thư c tế đ ánh bắ t là: x+ "~ (tuầ n). 26. ■. Vì tậ p đ oàn đ ã hoàn thành công việ c sám hơ n so vớ dựi đ ị nh mộ t tuầ n nên ta có phư ơ ng trình: X -f 1 0. —. -. 26. X. = —. 20. - 1 <=> 6 x - 5 0 0 = 0 o. Vậ y, tậ p đ oàn dự đ ị nh đ ánh bắ Vẩ riụ 2ĩ Trong tháng 3 hai tổ trồ ng đ vư ợ t mứ c 15%, tổ n vư ợ t mứ Tính xem trong tháng 3 mỗ i tổ. X = 120.. t 120 tấ n cá. ư ợ c720 cây xanh. Trong tHáng 4, tổ I c 12% nên trồ ng đ ư ợ c819 cây xanh. trồ ng đ ư ợ c bao nhiêu cây xanh.. JS^ Giả i Gọ i X là sô cây xanh tổ I trồ ng đ ư ợ c trong tháng 3, đ iể kiệ u n 0 < X G N.. Gọ i y là số cây xanh tổ n trổ ng đ ư ợ c trong tháng 3, đ iể u kiệ n 0 < ey N. Vớ i giả thiế t: ■ Trong tháng 3 hai tổ trồ ng đ ư ợ c 720 cây xanh, ta đ ư ợ c: Xy+ = 720. (1) ■. Trong tháng 4, tổ I vư ợ t mứ c 15% (trồ ng đ ư ợ c X +. ỉ 00. x), tổ II vư ợt mứ c. 12. 12% (trồ ng đ ư ợ c y + —— y) nên trồ ng đ ư ợ c 819 cây xanh. Ta đ ư ợ c:(x + — x) + (y + — y) = 819 «> 115x+ 112y = 81900. (2) 100 ÌOÍT 3 _ _ íx + y = 720 X = 420 Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình: < o < _ . [I15x + 112y = 81900 Ị y = 300 Vậ ỵ , troóftháng 3 tổ I trồ ng đ ư ợ c 420 cây xanh và tổ n trồ ng ưđợ c 300 cây xanh..

(68) vể. »1 (Bài 39/tr 25 - Sgk): Mộ t ngư ờ i mua hai loạ i hàng và phả i ttrcỉ t ổ n g cộ ng 2,17 triệ u đ ổ ng, kể cả thuế giá trị gia tă ng (VAT) \"ớ ị mứ c 10% đ ôi vớ i loạ i hàng thứ nhấ t và 8% đ ố i vớ i loạ i hàng tthứ hai. Nế u thuế VAT là 9% đ ố i vớ i cả hai loạ i hàng thì ngư ờ i đ ó phi ả trà tổ ng cộ ng 2,18 triệ u đ ồ ng. Hỏ i nế u không kể thuế VAT thì ngư ờ i đ ó phái trả bao nhiêu tiề n cho mỗ i loạ i hàng?. Giả i Gọ i X và y là giá tiề n mỗ i loạ i hàng, không kể thuế VAT (x,y > 0; đ ơ n vị : triệ u đ ồ ng). Mộ t ngư ờ i mua hai loạ i hàng và phả i trả tổ ng cộ ng 2,17 triệ u đ ồ ng, kể cả thuế giá trị gia tă ng (VAT) vớ i mứ c 10% đ ố i vớ i loạ i hàng thứ nhấ t và 8% đ ố i vớ i loạ i hàng thứ hai. Do đ ó, ta có: 110%x + 108%y = 2,17 Nế u thuế VAT là 9% đ ố i vớ i cả hai loạ i hàng thì ngư ờ i đ ó phả irả ti tổ ng cộ ng 2,18 triệ u đ ồ ng. Do đ ó, ta có: 109%x + 109%y = 2,18 Do đ ó, ta có hệ phư ơ ng trình: 1 X= — llOx + 108y = 217 110x + 108y = 217 2 <=> o x+y =2 109x + 109y = 218 y= 2 Vây, số tiề n ngư ờ i đ ó mua mỗ i loạ i là 500 000 đ ồ ng và 1 500 000 đg.ồ n V ấ dụ O I (Bài 46/tr 27 - Sgk): Nă m ngoái, hai đ ơ n vị sả n xuấ t nông nghiệ p thu hoạ ch đ ư ợ c720 tấ n thóc. Nă m nay, đ ơ n vị thứ nhấ t làm vutợ t mứ c 15%, đ ơ nvị thứ hai làm VU0 mứ c 12% so vớ i nă m ngoái. Do> đ ó, cả hai đ ơ nvị thu hoạ ch đ ư ợ c819 tấ n thố c. Hỏ i mỗ i nă m, môi đ cni vị thu hoạ ch đ ư ợ c bao nhiêu tấ n thócl Jẽ £ Gidi Gọ i X, y theo thứ tự là số thóc mỗ i đ om vị thu hoạ chđ ư ợ c trong nánn ngoái (x, y > 0; đ ơ n vị : tấ n). Nă m ngoái, hai đ ơ n vị sả n xuấ t nông nghiệ p thu hoạ ch đ ư ợ c072 tâVn thóc. Do đ ó: X + y = 720. Nă m nay, đ ơ n vị thứ nhấ t làm vư ợ t mứ c 15%, đ ơ n vị thứ hai làm TiKỢ t mứ c 12% so vớ i nă m ngoái. Do đ ó: 15%x + 12%y = 819. X + y = 720 Ta có hộ phư ơ ng trình: 150x + 120y = 819 Vậ y, trong nă m ngoái đ ơ n vị thứ nhấ t thu hoạ ch đ ư ợ c 420 tấ n, đ ơ ni vị thứ hai thu hoạ ch đ ư ợ c 300 tấ n. Vấ d y lỡ i Hai tổ sả n xuấ t phả i hoàn thành 90 sả n phẩ m. TỔ I vư ợ t mứ c 115% kè hoạ ch củ a tổ . TỔ XI vư ợ t mứ c 12% kế hoạ ch củ a tổ . Do đ ó, cai hai tô '*Tn đ ư ợ c 102 sàn phẩ m. Hỏ i theo kế hoạ ch mỗ i tổ phả i l à i m bao tiêu sả n phẩ m..

(69) Giả i Gọ i Xlà sô sả n phẩ m theo kế hoạ ch tổ I phả i làm, đ iề u kiệ n 0 <X e N. Gọ i y là sổ sả n phẩ m theo kế hoạ ch tổ n phả i làm, đ iề u kiệ n 0< y 6 N. Vói giả thiế t: • Hii tổ sả n xuấ t phả i hoàn thành 90 sả n phẩ m, ta đ ư ợ c: x + y = 90.. •. (1). Tổ I vư ợ t mứ c 15% kế hoạ ch củ a tổ (làm đ ư ợ cX + —— x). Tổ II vư ợ t 100 12 mứ c 12% kế hoach củ a tổ (làm đ ư ợ c y + —r r y). Do đ ó, cả hai tổlàm 100 đ ư ợ c 102 sả n phẩ m, ta đ ư ợ c:. (x + — x) + (y + — y)= 102 Ci> 115x + 112y = 10200. (2) 100 100 Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình: X + y = 90 . thoả mãn đ iề u kiệ n. 115x + 112y = 10200 0 y = 50 Vậ y, theo kế hoạ ch: ■ TÓ I phả i làm 40 sả n phẩ m. ■ Tử II phả i làm 50 sả n phẩ m.. c. BÀI TẬ P LUYỆ N TẬ P Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số . Biế t tổ ng các chữ số bằ ng 8, nế u đ ổ i vị trí hai chữ sô' chỉ nhau thì số tự nhiên đ ó tă ng lên 18 đ vịơ n. Bài 2: Tim sô' tự nhiên có hai chữ số . Biế t rằ ng số đ ó bằ ng tổ ng các chữ sô' củ a nó cộ ng vói 0 và số đ ó cũ ng bằ ng hai lầ n hiệ u củ a haichữ sô' củ a nó cộ ng vớ i 20. Bài 3: Tim sô' tự nhiên có hai chữ số . Biế t chữ số hàng chụ c lóm hơ n chữ số hàng đ ơ n vị là 5, nêJ viế t xen chữ số 0 vào giữ a chữ sô' hàng chụ c và chữ sô' hàng đ ơ n vị thì số tự nhiên dó ố ng 630 đ ơ n vị . Bài 4: Tim hai số biế t tổ ng củ a chúng bằ ng 156, nế u lấ y số lớ n chia cho số nhỏ thì đ ư ợ c thư cng là 6 và số dư là 9. Bài 5: Cá hai đ ộ i thi công từ hai phía củ a mộ t quãngđ ư ờ ng dài 2400m. Mỗ i ngày đ ộ i I làm đ ư ọ c 40m, đ ộ i n làm đ ư ợ c 60m. Hỏ i mỗ i đ ộ i đlàm ư ợ c bao nhiêu mét đ ư ờ ng. Biế t lằ ng hờ i gian hai đ ộ i làm là như nhau. Bài 6: Tong tuầ n đ ầ u hai tổ sả n xuấ t đ ư ợ c 1500 bộ uẩ qn áo. Sang tuầ n thứ hai, tổ A vư ợ t mứ c 25% kế hoạ ch, tổ B giả m 18%. Do đ ó, trong tu ầ n này cả hai tổ sả n xuấ t đ ư ợ c 1617 bộ . Hỏ i trong tuầ n đ ầ u mỗ i tổ sả n xuấ t đ ư ợ c bao nhiêu bộ ? Bài 7: Mộ t canô đ i xuôi từ A đ ế n B vớ i vậ n tố c trun g bình là 30 km/h sau đ ó đ i ngư ợ c lạ i từ B về A. Tính quãng đ ư ờ ng AB. Biế t thờ i igan đ i xuôi ít hơ n thờ i gian đ i ngư ợ c Là*Ọ ?pRut và vậ n tố c dòng nư ớ c là 3 km/h..

(70) Bài 8: Mộ t ngư ờ i đ i xe đ ạ p dự đ ị nh đ i hế t quãngngđ AB ư ờ vớ i vậ n tố c 10 km/h. Sai khi đ i đ uợ c nừ a quãng đ ư ờ ng vớ i vậ n tố c dự đ ị nhờ ingưấ y nghỉ 30 phút. Vì muôn đ ế r B kị p giờ nên ngư ớ i ấ y phả i đ i vớ i vậ n tố c 15 km/h rên t quãng đ ư ờ ng còn lạ i. Tính quãng đ ư ờ ng AB. Bài 9: Mộ t ngư ờ i đ i xe đ ạ p quãng dư ờ ng AĐ dài 80 km. Sau 1 giờ 30 phút thì mộ i ngư ờ i di xe máy cũ ng đ i quãng đ ư ờ ng AB và dã đ ế n Bmsớhơ n ngư ờ i di xe đ ạ p 1 giờ Tính vậ n tố c mỗ i xe biế t vậ n tố c xe máy gấ p 2,5 lầ n vậ n tố c xe đ ạ p. Bài 10: Hai ngư ờ i thợ cùng làm mộ t công việ c trong 16 giờ thì xong. Niế u ngư ờ i thí nhấ t làm 3 giò và ngư ờ i thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành đ ư ợ c 25% công việ c. Hỏ : nế u làm riêng thì mỗ i ngư ờ i hoàn thành cổ ng việ c đ ótrong bao lâu? Bài 11: Mộ t canô chạ y trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 km và ngiư ợ c dòng 63 km. Mộ t lầ n khác, canô cũ ng chạ y trong 7 giờ , xuôi dòng 81 km và ng ư ợ c dòng 8-1 km. Tính vậ n tố c dòng nư ớ c chả y và vậ n tố c thậ t củ a canô. Biế t vậ n tố c thậ t củ a canc không đ ổ i. Bàỉ 12: Mộ t ôtô đ i quãng đ ư òng AB vớ i vậ n tố c 50 km/h, rồ i đ i tiế p quãng đ ư ờ ng BC vói vậ n tố c 45 km/k. Biế t quãng dư ờ ng tổ ng cộ ng dài 165 km và thờ i giain ôtô đ i trên AB ít hơ n thờ i gian đ i trên BC là 30 phút. Tính thời gian ôtô đ i trên mỗ i quiãng đ ư ờ ng. Bài 13: Hai đ ị a đ iể m A và B cách nhau 56 km. Lúc 6iòg45 phút, mộ t ngniờ i đ i xe đ ạ p từ A vớ i vậ n tố c 10 km/h. Sau đ ó 2 giờ , mộ t ngư ờ i iđ xe đ ạ p từ B vớ i vậ n tố c 4 km/h. Hỏ i đ ế n mấ y giờ họ gặ p nhau và chỗ gặ p nhau cách A abo nhiêu km ?. Bài 14: Hai máy bơ m cùng bơ m nư ớ c vào môt bể thì sau —giờ thì đ ầ y Ibể . Nế u máy 7 bơ m I bơ m trong 10 phút, máy bơ m II bơ m trong 6 phút thì hai máy bơ mi đ ư ợ c — bể . Hỏ i mỗ i máy bơ m làm việ c mộ t mình mấ t bao nhiêu giờ thì đ ầ y bể ?. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP SỐ Bài 1: Gọ i số có hai chữ số là xy = lOx + y, vớ i X, y € N, 1 <,x,y ú 9. Vớ i giả thiế t: ■ Tổ ng củ a các chữ số bằ ng 8, ta đ ư ợ cX + y = 8. (]) ■ Nế u đ ổ i vị trí hai chữ số cho nhau ( yx = lOy + x)thì sô' tự nhiên đ ió tàng lên 18 đ ơ n vị , ta đ ư ợ c: yx - xy = 18 <=> (lOy + x) - (lOx + y) = 1 8 o x - y = —2. (2) Từ (1) và (2), ta có hộ phư ơ ng trình:. x +y =8 x=3 <=> , thoả mãn đ iể u kiệ n. X- y = -2 y=5. Vậ y, số cầ n tìm là 35. Bài 2: Gọ i số có hai chữ sô' là x y =10x + y, vớ i X, y 6 N, 1 £ X £ 9, 0 £ y <, 9. Vớ i giả thiế t: ■ SỐ đ ó bằ ng tổ ng các chữ số củ a nó cộ ng vớ i 9, ta đ ư ợ c:.

(71) Sô đ ó cũ ng bằ ng hai lẩ n hiộ u củ a hai chữ sô củ a nó cộ ng vớ i 20, ta đ ư ợ c: 10x + y = 2(x - y) + 20 <=> 8x + 3y = 20. (2) 7ừ ( \ ) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình. X= 1. 8x + 3y = 20. Vậ y, số cầ n tìm là 145. Bài 3: Gọ i số có hai chữ sô' là xy = lOx + y, vớ i. X,. <=>. X = 1. , thoả mãn đ iề u kiệ n.. y = 4. y e N, 1 < X < 9, 0 < y < 9.. ^ ớ i giả thiế t:. ■. Chữ sô hàng chụ c lớ n hom chữ số hàng đ ơ n vị 5 đ ơ vịn, ta đ ư ợ c: X -. ■. y. =. Khi viế t xen chữ. 5.. (1). sô 0 vào giữ a chữ. sô hàng chụ c và chữ. sô hàng đ ơ n vị (đ ư ợ. sô xOy = lOOx + y) thì sô tự nhiên đ ó tă ng 630 đ ơ n vị , ta đ ư ợ c: ( 2). (lOOx + y) - (lOx + y) = 630 <=> X = 7.. Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình:. x -y =5 X= 7. X=7 <=> < y=2. Vậ y, số cầ n tìm là 72.. Bài 4: Gọ i. ị. hai. sô cầ n tìm là X và y, vớ i X > y.. Vớ i giả thiế t: ■ Tổ ng củ a chúng bằ ng 156, ta đ ư ợ c:X + y = 156. ( 1) ■ Nế u lấ y số lớ n chia cho số nhỏ thì đ ư ợ c thư ơ ng là 6và số dư là 9, ta đ ư ợ c: X = 6y + 9 o X - 6y = 9.. Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình:. (2) X. + y = 156. x-6y =9. X = 13 5. y = 21. Vậ y, hai số cầ n tìm là 135 và 21. Bài 5: Đ ộ i I là đ ư ợ c 960m và đ ộ i n làm đ ư ợ c 1440m. Bài 6: Gọ i X là số bộ qụ ầ n áo tổ I sả n xuấ t đ ư ợ c tronguầt n đ ầ u, đ iề u kiệ n 0 < X 6 N.. Gọ i y là số bộ quầ n áo tổ n sả n xuấ t đ ư ợ c trong tuầnđ ầ u, đ iể u kiộ n 0 < y e Vớ i giả thiế t: ■ Trong tuầ n đ ầ u hai tổ sả n xuấ t đ ư ợ c 1500 bộ quầ áo, n ta đ ư ợ c: X + y = 1500.. ■. N.. (1). Trong tuẩ n thứ hai, tổ A vư ợ t mứ c 25% kế hoạ ch, tổ B giả m 18%. Do đ ó, tron tuầ n này cả hai tổ sả n xuấ t đ ư ợ c 1617 bộ , ta đ ư ợ c: (x+ — x) + ( y - — y)= 1617 0 125x + 82y= 161700. 100. 100. (2). + y = 1500 X = 900 <=> y = 600 125x + 82y = 161700 Vậ y, trqp$ktuầ n đ ầ u tổ I sả n xuấ t đ ư ợ c 900 bộ quầ áo n và tổ n sả n xuấ t đ ư ợ c 60 bộ qu( Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình:. X.

(72) 40 2 Bài 7: Ta thư c hiên đ ổ i đ cm vi: 40 phút = —- = —ờ gi . 60 3 Gọ i X là thờ i gian đ i xuôi dòng, đ iẻ ukiệ n X > 0. Gọ i y là đ ộ dài quãng đ ư ờ ng AB, đ iéu kiệ n y > 0. Vớ i giả thiế t: ■ Canô đ i xuôi từ A đ ế n B vớ i vậ n tố c trang bình 30 là km/h, ta đ ư ợ c: 30x = y. (1) ■ Khi đ i ngư ợ c dòng, chị u tác dụ ng củ a dòng nư ớ c với vậ n tố c dòng nư ớ c là 3 km/h (nên vậ n tố c còn lạ i 30 - 3 = 27 km/h) và thờ i gian đ i xuôi át hơ n thờ i 2. gian đ i ngư ợ c là 40 phút (thờ i gian đ i ngư ợ c bằ ng X + —), ta đ ư ợ c: 27(x + —) = y <=>27X- y = -18. Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình:. (2). 30x = y. Jx = 6. 2 7 x - ý = - 18 °. l y = 180. Vậ y, quãng đ ư ờ ng AB bằ ng 180 km. Bài 8: Thự c hiệ n đ ổ i đ ơ n vị 30 phút = — = —. 60 2 Gọ i X (giờ ) là thờ i gian dự đ ị nh, đ iể u kiệ n X > 0.. Gọ i y (km) là đ ộ dài quãng đ ư ờ ng, đ iề u kiệ n y > 0. Vớ i giả thiế t: ■ Vậ n tố c trung bình là 10 km/h, ta đ ư ợ c: lOx = y. ■. (1). y. Sau khi đ i đ ư ợ c nử a quãng đ ư ờ ng (bằ ng —) vớ i vậtố nc đ ó (thờ i gian đ i bằ ng 2 — giờ ) thì nghỉ 30 phút (bằ ng — giờ ). Quãng dư ờ ng còn lạ i ('bằ ng —), 2»10 2 2 ngư ờ i đ ó đ i bằ ng ôtô vớ i vậ n tố c 15 km/h (thờ i gianđ i bằ ng giỡ ) đ ể 2.13 vớ i dự đ ị nh, ta đ ư ợ c: — + — + — = x o l 2 x - y = 6. • 20 2 30 lOx = y Jx = 3 Từ (1) và (2), ta có hộ phư ơ ng trình: 12x-y = 6 |y = 30. Vậ y, quãng đ ư ờ ng ngư ờ i đ ó phả i đ i là 30 km. Bài 9: Hư ớ ng dẫ n: Gọ i vậ n tố c củ a ngư ờ i đ i xe đ ạ p là X (km/h), đ iề u kiệ n X > 0 . Gọ i vậ n tố c củ a ngư ờ i đ i xe máy là y (km/h), đ iề uiệ kn y > 0. Vớ i giả thiế t: ‘xe máy gấ p 2,5 lầ n vậ n tố c xe đ ạ p, ta đ ư ợ c: y =5x. 2,. đ úng. (2). (1).

(73) ^. ■. v. t ,. 80. ĩ hờ igian ngư ờ iđ i xe đ ạ p đ i hế tquãngđ ư ờ ng bă ng. —.. X. 80 ĩ hờ i gian ngư òi đ i xe máy đ i hế t quãng đ ư ờ ng bằ — ng y ■. _ „ 80 80 3 16 16 1 Do tó, ta đ ư ợ c: ——= —— — —- l o — — ——= —— . X. Từ. y. 2. X. y. 2. 2,5x = y 1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình: 16 161 , họ c sinh tự làm. X y ~ 2. Bài 10 Gọ i X và y là thờ i gian mà mỗ i ngư ờ i làm riÊng thì hoàn thành cỏ ng việ c. (x, y > ); đ ơ n vị : giờ ). Do đ ó: ■. Trong 1 giờ ngư ờ i thứ nhấ t làm đ ư ợ c —phầ n công việ c. ■. Trong 1 giờ ngư ờ i thứ hai làm đ ư ợ c —phầ n công vi ệ c. y. •. Trong 1 giờ cả hai ngư ờ i cùng làm đ ư ợ c — + — phầ ncông việ c. X y. X. Hai ngư ờ i thợ cùng làm mộ t công viộ c trong 16 giờ thì xong. Do đ ó, ta có phư ơ ng trình: ì_ X. _Ị_ _ _Ị _ y ” 16. (1). Nế u ngư ờ i thứ nhấ t làm 3 giờ và ngư ờ i thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành đ ư ợ c 1 3 6 1 25% = — công viêc. Do đ ó ta có phư ơ ng trình: — + — =— (2) 4 X y 4 Từ (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình:. 1 i-_L. 2 1 - 2.. 3. x + y ~ 16 x + y " 16 <=> y <=> * 3 6_Ị _ 3 3 6__Ị _ X y 4 X y 4 X. 16 y = 4S <=> X = 24 6 =Ị _ y 4. Vậ y, nế u làm mộ t mình thì ngư ờ i thứ nhấ t phả i làm trong 24 giờ và ngư òi thứ hai phả i làm trong 48 giờ ..

(74) CHƯ Ơ NG n-H À M SỐ y = a x 2, (a * 0) PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C HAI MỘ T Ẩ N SỐ. HỦ “Ể 1. H "# s ố. y = a x 2, a * 0. A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN VỂ d ụ. li. Hãy nêu tính chấ t biế n thiên củ a các hàm số sau: a. y = 8x2.. h. y = - —X2.. J&!> Giả i a. Xét hàm số y = 8x2 có a = 8 > 0, dò đ ó: ■ ■. Hàm số nghị ch biế n trong R_. Hàm số đ ồ ng hiế n trongR+.. b. Xét hàm số y = —- X2 có a = —ỉ - < 0, do đ ó: 2 2 ■ ■. Hàm số đ ồ ng biế n trong R _ Hàm số nghị ch biế n trong R+.. Vấ ẩ y 2 i. Cho hàm số : y = —X2. a. Hãy lậ p báng tính các giả trị f(-4), f(-2), f(0), f(2)„ f(4) và rút ra nhậ n xét. Tìm X, biế t f(x) = 1, f(x) = 2 - V3 ..

(75) JS$ Giii a. Talâi X In II >>. -4. _2. 0. 2. 4. 8. 2. 0. 2. 8. Tìrkế t quả trên, nhậ n t lấ y rằ ng: f(_4) = f(4) và f(-2) = f(2), tứ c là f(—x) = f(x). b. Ta lầ n lư ợ t xét: f(x) =1 <z> —x2= l o x 2 = 2 o x = ±\ f ĩ . 2 f(x) = 2 - V 3 o - x 2 = 2 - s 2 <=>X2 = 2 ( 2 -. vấ d ụ 3i. ) = 4 - 2 -v/3 = 3 - 2 ^ 3 + 1 = ( V ã - 1)2 » X = ±( V 3 - 1). (Bài 2/tr 31 —Sgk): Mộ t vậ t rơ i ở đ ộ cao so vớ i mặ t đ ấ t lùlOOm Quãng dư ờ ng chuyể n đ ộ ngs (mét) củ a vậ t rơ i phụ thuộ c vào thờ , gian t (giây) bở i công thứ c: s = 4t2. a. Sau 1 giây, vậ t này cách mặ t đ ấ t bao nhiêu mét? Tư ơ ng tự , sau1 giâyl b. Hỏ i sau bao láu vậ t này tiế p đ ấ ?t. Jg$ Gài a. Sai 1 giây, vậ t rơ i đ i đ ư ợ c quãng đ Vâ/, sau 1 giây, vậ t cách mặ t đ ấ t mộ Sai 2 giây, vậ t rơ i đ i đ ư ợ c quãng đ Vâ/, sau 2 giây, vậ t cách mặ t đ ấ t mộ. ư t ư t. b. Ttòi gian vậ t này tiế p đ ấ t là: t =J — =. ờ ng là: s = 4 X l 2 =(mét). 4 khoả ng là: d = 010 - 4 = 96 (mét). ờ ng là: s = 4 X 22 6= (mét). 1 khoả ng là: d = 100- 16 = 84 (mét). = 5 (giây).. Vậ y, thờ i gian từ lúc bắ t đ ầ u rơ i đ ế n lúc vậ t này tiế p đ ấ t làgiây. 5 Vẩ ầ ^ 4 i Cho hàm s ố y = (2m —4)x2 vớ i a = 2m - 4 Tìm giá trị củ a m đ ể : a. Hàm số nghị ch biế n vớ i X > 0. b. Có giá trị ỵ = 9 khi X = 3. c. Hàm s ố có giá trị nhỏ nhấ t là 0. d. Hàm số cố giá trị lớ n nhấ t lù 0. >ef Gài H àn sô đ ã cho có dạ ng y = ax2 vớ i a = 2m - 4 * 0. a. IHìm sô nghị ch biế n vớ i X > 0 khi và chỉ khi: a 2m -4<0«m <2. Vàrẩ vở i m < 2 hàm số nghị ch biế n vớ i X > 0..

(76) b. Thay X = 3 và y = 9 vào hàm số , ta đ ư ợ c: 9 = (2m - 4).32 <=> 2m - 4 = 1<=> m = —. 2 Vậ y, vớ i m = — thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. c. Đ ể hàm số có giá trị nhỏ nhấ t là 0 đ iề u kiệ n là: (2m - 4)x2> 0 <=>2m - 4 > 0 o m > 2 Vậ y, vớ i m > 2 hàm số có giá trị nhỏ nhấ t là 0. d. Đ ể hàm số có giá trị lớ n nhấ t là 0 đ iẻ u kiệ n là: (2m - 4)x2< 0 o 2 m - 4 < 0 o m < 2 . Vậ y, vái m < 2 hàm số có giá trị lán nhấ t là 0. ^. Chú ý: Trong lờ i giả i câu c) và d), chúng ta đ ã sử dụ ng tínhchấ t X2' > 0.. Vẩ. Sì. Cho hờ m số : y = f(x) = ax2, vớ i a * 0. a. Chứ ng minh rằ ng f(kx) = k2f(x). b. Tìm k đ ể hệ thứ c trong cáua) còn đ úngvớ i hàm sô : y = g(x) = ax2 + b, vớ i b * 0. Giả i a. Ta có: f(kx) = a(kx)2 = ak2x = k2(ax) = k2f(x), đ pcm. b. Ta xét: g(kx) = a(kx)2 + b = ak2x2 + b k g(x) = k (ax2 + b) = ak2x2 + bk2 Vậ y, đ ể có g(kx) = k^gíx), đ iề u kiệ n là: a k V + b = ak2x2 + bk2 <=> b = bk2 s. k2 = 1. k = ± 1.. c . BÀI TẬ P LUYỂ N TẬ P •. •. Bài 1: Hẫ y nêu tính chấ t biế n thiên củ a các hàm số sau: a- y = 3x2. c. y = (4 —2 -n$% b.. y = ——X2.. •. &'2.. d- y = (m2 + l)x2.. 2 e. y = (m - 1)x2. Bài 2: Cho hàm số y = 2x2. a. Hãy lậ p bả ng tính các giá trị f(-5), f(-3), f(0), f(3), f(5) và rút ra nhậ m xét. b. Tìm X, biế t f(x) = 8, f(x) = 6 - 4 yfĩ . Bài 3: Cho hàm số y = (m3 - 3m + 2)x2. Tìm giá trị củ a m đ ể : a. Hàm số đ ồ ng biế n vớ i X> 0. b.. Có giá trị y = 8 khi X = 2.. c. HàrrysỘ KÓ giá trị nhỏ nhấ t là 0. d.. có giá trị lớ n nhấ t là 0..

(77) Bài 4:. (Bài3/tr 31 - Sgk): Lự c F củ a gió khi thổ i vuông góc vàocánh buồ m tỉ lệ thuậ n. vớ i bình phư ơ ng vậ n tố c V củ a gió, tứ c là F = av2 (a là hằ rìg số ).Biế trằ ng khi vậ n. tố c gió. bằ ng 2m/s thì lự c tác đ ộ ng lên cánh buồ m củ a mộ t conthuyề n bằ ng 120 N (Niu-tơ n). a. Tính hằ ng sô a. b. Hỏ i khi V= lOm/s thì lự c F bằ ng bao nhiêu? Cùng câu hỏ i này khi V= 20m/s? c. Biế t rằ ng cánh buồ m chỉ có thể chị u đ ư ợ c mộ t áp lự c tố i đ a là 12000N, hỏ i con thuyề n có thể đ i đ ư ợ c trong gió bão vớ i vậ n tố c gió 90km/h hay không?. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP s ố Bài 1: a.. Xét hàm số y = 3x2có a = 8 > 0, do đ ó: ■. Hàm số nghị ch biế n trong R_. Hàm số đ ồ ng biế n trong R+. ■. b. Xét hàm số y =. 9 2. X2có a =. ■. 9 < 0, do đ ó: 2. Hàm số đ ồ ng biế n trong R_. ■. Hàm số nghị ch biế n trong R+.. c. Xét hàm số y = (4 - 2 \/3 )x2có a = 4 - 2 -n/ 3 > 0, do đ ó: ■. Hàm sô' nghị ch biế n trong R_. Hàm số đ ồ ng biế n trong R+. ■. d. Xét hàm sô y = (m2+ 1)x2có a = m2 + 1 > 0, do đ ó:. ■ Hàm sô nghị ch biế n trong R_. • Hàm sô' đ ồ ng biế n trong R+. e. Xét hàm số y = (m - 1)x2có a = m - 1, xét hai trư ờ ng hợ p: Trư ờ ng hợ p 1: Nế u m - 1 > 0 o m > 1 thì: ■. Hàm số nghị ch biế n trong R_.. • Hàm sô' đ ồ ng biế n trong R+. Trư ờ ng hợ p 2: Nế u m - 1 < 0 o m < 1 thì: ■ Hàm sô' đ ổ ng biế n trong R_ 'J Hàm số nghị ch biế n trong R+. Bài 2: a. Ta lậ p bả ng sau: X -5 -3 y = 2x2 Từ kế t. 50. 18. 0. 3. 5. 0. 18. 50. , nhậ n thấ y rằ ng: f(5) và f(-3) = f(3), tứ c là f(—x) = f(x).. S9-T2.

(78) b. Ta lầ n lư ợ t xét: f(x) = 8 o 2x2= 8 o X2 = 4 o X= ±2. f(x) = 6 —4 \fĩ . o 2x2= 6 - 4 \fĩ o x 2= 3 - 2 V Ĩ = 2- 2>/ 2 + 1 =(>/2 - l)2o x = ±(V2 -1 ). Bàỉ 3: Hàm số đ ã cho có dạ ng y = ax2vớ i a = m2-3m+ 2 * 0. a. Hàm số đ ồ ng biế n vớ i X> 0 khi và chì khi a > 0, túc là:. m2-3m + 2 > 0 o ( m - l)(m- 2 ) > 0 o. m -1 >0 m -2 > 0 m -1 <0 m-2<0. o m < 1 hoặ c m > 2.. Vậ y, vớ i m < 1 hoặ c m > 2 hàm số đ ồ ng biế n vớ i X>0. b. Thay X = 2 và y = 8 vào hàm số , ta đ ư ợ c: 8 = (m2- 3m + 2).22o m 2-3m = 0 o m = 0hoặ c m = 3. Vậ y, vớ i m = 0 hoặ c m = 3 thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u i.bà c. Đ ể hàm số có giá trị nhỏ nhấ t là 0 đ iể u kiệ n là: (m2- 3m + 2)x2ằ 0 o m2- 3m + 2 > 0 <=>m < 1 hoặ c m > 2. Vậ y, vớ i m < 1 hoặ c m > 2 hàm số có giá trị nhỏ nhấ t là 0. d. Đ ể hàm số có giá trị lớ n nhấ t là 0 đ iể u kiệ n là: (m2- 3m + 2)x2^ 0 <=>m2- 3m + 2 < 0 <=>(m - 1)(m - 2) < 0. Vậ y, vớ i 1 < m < 2 hàm sô' có giá trị lớ n nhấ t là 0. Bài 4: a. Khi vậ n tố c gió bằ ng 2m/s thì lự c tác đ ộ ng lên ácnh buồ m củ a mộ t con thuyề n bằ ng 120 N. Do đ ó, hằ ng số a là:. b. Khi vậ n tố c gió bằ ng lOm/s thì lự c tác đ ộ ng lêncánh buồ m củ a mộ tcon thuyể ri là: F = 30.Ĩ 02= 3000 (N). Khi vậ n tố c gió bằ ng 20m/s thì lự c tác đ ộ ng lên cán h buồ m củ a mộ tcon thuyề n là: F = 30.202= 12000 (N). 90000 c. Đ ổ i: 90km/h =--------= 25m/s. 3600 Khi vậ n tố c gió bằ ng 90km/h thì lự c tác đ ộ ng lên cá nh buồ m củ a mộ t con thuyề n 1;\: F = 30Ĩ 252= 18750 (N). uyề n không thể đ i đ ư ợ c trong gió bão vớ i vậ n tố c km/h. 90.

(79) III't»Ể 2. Đ Ổ THỊ HÀMSỐ. y = a x 2, a * 0. A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T Đ Đ ■• •. C t h ị h à m s ố y = a x 2, vớ i a * 0 ồ thị củ a hàm số y = ax2, vớ i a * 0 là mộ t đ ư ờ ng Parabol: Có 1^0 đainn ỉ nhialàgoc eố cloạtoaaọđ o Kồ J (0: ov Có trụ c đ ố i xứ ngÒy: ị . Nế u a > 0, đ ổ thị hàm số nằ m phía trên trụ c hoành và nhậ n đ iể m o là đ iể m "thấ p nhấ t".' 1 Nế u a < 0, đ ồ thịhàm số nằ m phía dư ớ i trụ c hoành và nhậ n đ iể mo là đ iể m "cao nhấ t". 2. CÁCH VẼ Đ Ổ THỊ Đ ể vẽ đ ồ thị hàm số y = ax2, a * 0 ta đ i lấ y 5 đ iể m: • Đ iể m 0(0; 0). Cặ p đ iể m A „ A2 có hoành đ ộ đ ố i xứ ng qua o . • Cặ p đ iể m Bị , B 2có hoành đ ộ đ ố i xứ ng qua o . Nố i các đ iể m B„ A„o, A2, Bị theo đ ư ờ ng cong ta nhậ n đ ư ợ c đ ổ thị củ a hàm số . I.. ị. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN 1 0. Vẩ ily 1« Cho hàm sô y = —X .. a. Vẽ đ ồ thị hùm sô. b. Các đ iể mA(0; 0), B(2; 1), C ( - ; — ), D(3; 4) có thuôc đ ồ thị 2. 16. củ a hàm sô không ? JS% Giả i a. Đ ể vẽ đ ồ thị hàm số , ta lấ y 5 đ iể m: • Đ iể m 0(0; 0). ■ Cặ p đ iể m Aị (-2; 1), A2(2; 1). - Cặ p đ iể m B,(-4; 4), B2(4; 4). ■ Nố i ẹ ác đ iể m Bị , A|,o, A2, B, theo đ ư òng cong ta ' “ ■ ' đ ồ thị củ a hàm số ..

(80) b. Thay toạ đ ộ các đ iể m A, B, c , D vào hàm số , ta nhậ n thấ y: ■ Các đ iể m A, B, c thuộ c đ ồ thị hàm số . ■ Đ iể m D không thuộ c đ thịồ hàm số . Vẩ d ụ 2i (Bài 6/tr 38 - Sgk): Cho hàm s ố y = f(x) = X2. a. Vẽ đ ồ thị hàm số đ ó. b. Tính các giá trị f ( - 8 ) ; f(—1,3); f(-0,75) ; f(l,5). c. Dùng đ ồ thị đ ể ư ớ c lư ợ ng các giá trị(0,5)2; (—1,5)2 ; (2,5)2. d. Dùng đ ồ thị đ ể ư ớ c lư ợ ng vị trí các đ iể m trêntrụ c hoành biể u diễ n các s ố V3 ; 4 Ĩ .. II. o* X. Giả i a. Ta có bả ng giá trị tư ơ ng ứ ng: X 0 1 3 2 -3 - 2 -1 4 0 4 9 1 1 9 Biể u diễ n các cặ p giá trị tư ơ ng ứ ng trên mặ t phẳ ng toạ đ ộ vànố i các đ iể m đ ó lạ i vớ i nhau, ta đ ư ợ c đ ư ờ ng cong gọ i là parabolHọ- c sinh tự vẽ hình . b. Ta có: f(-8) = (-8)2 = 64 ; f(-l,3 ) = (-1,3)2 = 1,69; f(-0,75) = (-0,75) = 0,5625 ; f(l,5) = (1,5)* = 2,25. c. Đ ể ư ớ c lư ợ ng giá trị (0,5)2, ta thự c hiệ n theo các bư ớ c sau: ■ Từ đ iể m (0,5 ; 0) trên trụ c hoành, kẻ đ ư òng thẳ ng song song vớ i trụ c tung cắ t (P) tạ i A. ■ Qua A, kẻ đ ư ờ ng thẳ ng song song vớ i Ox và cắ t Oy tạ i đ iể m có tung đ ộ nằ m giữ a 0,2 và 0,3. Vậ y, ư ớ c lư ợ ng giá trị (0,5)2 là khoả ng 0,25. Tư ơ ng tự , ư ớ c lư ợ ng giá trị (-1,5)2 là 2,2; ư ớ c lư ợ ng giá trị (2,5)2 là 6,2. d. Đ ể ư ớ c lư ợ ng vị trí các đ iể m trên trụ c hoành biể uễ di n số 4 Ĩ , ta thự c hiệ n theo các bư ớ c sau: ■ Qua đ iể m (0 ; 3) kẻ đ ư ờ ng thẳ ng song song vớ i Ox, cắ t (P) tạ D. i ■ Qua D, kẻ đ ư ờ ng thẳ ng song song vớ i Oy, cắ t Ox tạ i đ iể m D*. ■. Đ iể m D' trên đ ồ thị biể u diễ n số 3V.. Đ ể ư ớ c lư ợ ng vị trí các đ iể m trên trụ c hoành biể u diễ n -sốJ ĩ , ta thự c hiệ n theo các bư ớ c sau: ■ Qua đ iể m (0 ; 7) kẻ đ ư ờ ng thẳ ng song song vớ i Ox, cắ t (P) tạE.i ■ Qua D, kẻ đ ư ờ ng thẳ ng song song vớ i Oy, cắ t Ox tạ i đ iể m .E' ■. trên đ ồ thi biể u diễ n số - J ĩ ..

(81) Vấ d ụ 3i (Bài 10/tr 39 —Sgk): Cho hùm sô: y = -0,75 X2 Qua đ ổ thị hùm sỏ đ ó, hãy cho biế t khi X tă ng từ. -4-3-2. —2 đ ế n 4 thì giá trị nhỏ nhấ t vù giá trị lớ n nhấ t củ a y ìù bao nhiêu? Giả i Đ ồ th hàm số y = -0,75x2 là mộ t parabol mu hình vẽ .. 0. 2 3 4. .. N.. /. /. X. -3 -6 \ ■. Qua cồ thị hàm số , ta thấ y, khi X. tãng từ -2 đ ế n 4 thì: ■ Gá trị lớ n nhấ t củ a y là: -12 Maxy = 0 khi X bằ ng 0. ■ Gá trị nhỏ nhấ t củ a y là: 1 Miny = -1 2 khi X bằ ng 4. Vấ d ụ 4» Cho hàm sô: y = (m - l)x2 a. Xúc đ ị nhm đ ể đ ồ thị hàm sô đ i qua đ A(l; iể m -1). Vẽ đ ồ thị hùmsô vừ a tìm đ ư ợ c. b. Tìm đ iể m thuộ c parabol nói trên có hoành đ ộ bằ ng5. c. Tìm đ iể m thuộ c parabol nói trên có tung đ ộ bằ ng — 4. d. Tìm đ iể m thuộ c parabol có tung đ ộ gấ p đ ôi hoành đ ộ . Giả i T a. Đ ồ th hàm số đ i qua đ iểA(l; m -1), khi và chỉ khi: o J 3 » - = (m - l ) . l 2 <=> m - 1 = - l o m = 0. ,/<yr \ A>: X \ ! Vớ i n = 0, hàm số có dạ ng: (P): y= —X2. \Ị \| Đ ể vẽ đ ồ thị hàm số , ta lấ y 5 đ iể m: —\ < 2 B, ■ Đ iím 0(0, 0). ■ Cặ j đ iể m A ị (-1 ;-1 ), A2(1 ;-1). ■ C ạ đ iể m B,(-3; -4 ), B2(3; -4). Nố i các đ iể m B|, A|, o , A2,Bị theo đ ư ờ ng cong ta nhậ n đ ư ợ c đ ổ thị củ a hàm số . b. Gọ i đ ể m thuộ c Parabol (P) có hoành đ ộ bằ ng - 4 là B (5; b), suy :ra b = - 5 2o b = - 25. Vậ y, ciể m cầ n tìm là B(5; - 25). c. Gọ i đ ể m thuộ c Parabol (P) có tung đ ộ bằ ng - 4 là c (c; - 4 ) , suy ra: - ị = - c2 o c2 = 4 o c = ±2. Vầ vstỊ nỉ iân đ ư ợ c hai đ iể m cầ n tìm là c,(2; - 4) và C2(-2, -4).. r-'\. 1V m #. 1. 1. m m. V.

(82) d. Gọ i đ iể m thuộ c Parabol (P) có tung đ ộ gấ p đ ôi hoành đ ộ (m là M ; 2m), suy ra: , 2m = -m o m + 2m = 0 o m(m + 2) = 0 o ,. m=0 m = -2. Khi đ ó: ■. Vớ i m = 0, ta đ ư ợ c gố c 0(0; 0). ■. Vớ i m = -2 , ta đ ư ợ c đ iể m M (-2; -4).. Vậ y, có hai đ iể m là gố c 0(0; 0) và đ iể m M(-2; -4) thoả ãn m đ iể u kiộ n đ ầ i bài. Vẩ ẩ y. &1. Cho Parabol (P) có phư ơ ng trình ỵ = 2x2. a. Trên cùng mộ t hệ toạ đ ộ vẽ Parabol(P) và các đ ư ờ ng thẳ m X = -2 , x = 0, x = 2 , y = 8. b. Parabol (P) cắ t mỗ i đ ư ờ ng thắ ng trên tạ i mấ y đ iể m ? Xác đ ị nl toạ đ ộ các giao đ iể m đ ó. c. Đ ư ờ ng thẳ ngX = m có thể không cắ t Parabol (P) hoặ c cắ : Parabol (P) tạ i hai đ iể m phả n biệ t không? Vì sao ? d. Biệ n luậ n theo n vị trí tư ơ ng đ ố i củ a đ ư ờ ng thắ ng y = n \'ớ , Parabol (P). X = -2. J&> Giả i. y t. X = 2. a. Ta lầ n lư ợ t thự c hiệ n: ■. Vẽ Parabol (P) bằ ng cách lấ y 5 đ iể m: 0(0; 0), A ,(-l; 2) và A2(l; 2), B,(-2; 8) và B2(2; 8). ■. Đ ư ờ ng thẳ ngX = -2 song song vớ iOy cắ t Ox tạ i đ iể m có hoành đ ộ bằ ng -2.. và. Đ ư ờ ng thẳ ng X = 0 chính là trụ c Oy. ■. Đ ư ờ ng thẳ ng X = 2 song song vớ i Oy và cắ t Ox tạ i đ iể mó choành đ ộ bằ ng 2. Đ ư ờ ng thẳ ng y = 8 song song vớ i Ox và cắ t Oy tạ i đ iể m có tung đbâng ộ 8. ■. ■. b. Ta thấ y ngay: ■. Parabol (P) cắ t đ ư ờ ng thẳ ng X = - 2 tạ i đ iể m B|(-2; 8). ■. Parabol (P) cắ t đ ư ờ ng thẳ ng X = 0 tạ i gố c 0(0; 0). ■. Parabol (P) cắ t đ ư ờ ng thẳ ngX = 2 tạ i đ iể m B,(2; 8). (P) cắ t đ ư ờ ng thẳ ng y = 8 tạ i hai đ iể m B,(-2^8) và B,(2; 8)..

(83) c.. Niậ n xét ră ng: ■ Parabol (P) không thể không cắ t đ ư ờ ng thẳ ngX = m bở i hàm sô y = 2x2 có tậ p xác đ ị nh là R. Parabol (P) không thể cắ t đ ư ờ ng thẳ ngX = m tạ i hai đ iể m phân biệ t^>ở i ■. y = 2x2 là mộ t hàm số (vớ i mỗ i X chỉ có duy nhấ t 1 giá trị củ a y). d.. Dra vào đ ổ thị , ta có:. ■. Nế u n < 0. thì đ ư ờ ng thẳ ngy = n. ■. Nế u n = 0. thì đ ư ờ ng thẳ ngy = nvà Parabol (P) có đ iể m ung ch 0(0, 0).. Nế u n > 0. thì đ ư ờ ng thẳ ngy = ncắ t Parabol (P) tạ i hai điể m phân biệ t.. ■. Vẩ dq fií. (Bài 9/tr 39 - Sgk):. C h o h a i h à m s ô 'y. không cắ t Parabol (P).. = —X2 và y = -X + 6. 3 a. Vẽ đ ồ thị củ a cáchàm sô này trên cùng mộ t mặ t phẳ ng toạ đ ộ . b. Tìm toạ đ ộ cúc giao đ iể m củ hai a đ ồ thị đ . ó. JSỈ Í Giả i a. Đ ì thicác hàm số y = —X2 và 3. y = -X + 6 trên cùng mộ t mặ t. phẳ ngtoạ đ ộ . b. Hai đ ồ thị giao nhau tạ i hai đ iể m A(-6 ; 12) và B(3 ; 3). Thử lạ i: ■. -6. -3. Đ iể m A (-6 ; 12), ta có: 1 2 = ^ ( - 6 ) 2 = -(- 6 ) + 6(đ úng). ■. Vẩ l ậ. Đ iể m B(3 ; 3), ta có: 3 = - .32 = -3 + 6 (đ úng). 3 7ì. (Bài 55/tr 63 —Sgk): Cho phư ơ ng trình:. y = X2 y -'. X2 - X - 2 = 0. a. Giả i phư ơ ng trình. b. Vẽ hai đ ồ thị y = X2 vờ y = X + 2 trên. cùng mộ t trụ c toạ đ ộ . c. Chứ ng tỏ ;. 7T Ồ. rằ ng hai nghiệ m tìm đ ư ợ c y = X + 2 trong cả u a? là hoành đ ô giao đ iể m : 7. • đ ồ Ạ rthi. củ...»a hai. Tx.

(84) J&) Giài a. Ta có: 1 - (-1) - 2 = 0 Do đ ó, phư ơ ng trình có nghiệm X = -1 và X = 2. b. Vẽ hai đ ổ thị y = X2 và y = X + 2 trên cùng mộ t trụ c toạ đ ô. c. Hoành dộ giao đ iể m củ a hai đ ồ thị là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: x2 = x + 2 o x 2- x - 2 = 0. Vậ y, hoành đ ộ giao đ iể m củ a hai đ ổ thị là -1 và 2 nh chí là nghiộ m củ a phư ơ ng trình đ ã cho. U iạ J i. (Bài 54/tr 63 - Sgk): Vẽ đ ồ thi củ a hai hàm số :y = —X2 và y = ——X2 4 4 trên cùng mộ t hệ trụ c toạ đ ộ . a. Qua đ iể mB(0 ; 4) kẻ đ ư ờ ng thẳ ng song song vớ i trụ cOx. Nó cắ t đ ổ thị củ a hàm sô'Y= —X2 tạ i hai đ iể mM và M \ Tìm hoành đ ộ 4 củ a M và M'. b. Tìm trên đ ổ thị củ a hàm sô'y= —ỉ - X2 đ iể mN có cùng hoành đ ộ vớ i M, đ iể mN' cố cùng hoành đ ộ vớ iM'. Đ ư ờ ng thẳ ngNN' có song song vớ i Ox không? Vì sao? Tìm tung đ ộ củ aN và N' bằ ng hai cách: -. Ư ớ c lư ợ ng trên hình vẽ .. -. Tính toán theo công thứ c.. Jg$ Giả i Đ ổ thị hai hàm số y = —X2 và y = —- X2 4 4 đ ố i xứ ng nhau qua trụ c hoành. a. Qua đ iể m B(0 ; 4) kẻ đ ư ờ ng thẳ ng song song vớ i trụ c Ox cắ t đ ồ thị củ a hàm. số y = —X2 tạ i hai đ iể m M và M'. 4 Từ M kẻ MH song song vớ i Oy cắ t Ox tạ i y H có toạ đ ộ (-4 ; 0). Từ M' kẻ MK song song vớ i Oy cắ t Ox tạ i K có toạ đ ộ (4 ; 0). Vây, toạ đ ộ M (-4 ; 4) và M’ (4 ; 4).. 4A.

(85) b.. Trên đ ỗ thi củ a hàm sô y = ——X đ iế m N có cùng hoành đ ô vớ i M, đ iế m N' 4. có cùng hoành đ ộ vớ i M' Mà đ ổ thị cùa hai hàm số trên đ ôi xứ ng vớ i nhau qua Ox, nên N và N’ có cùng tung đ ộ . I)o dó, đ ư ờ ng thẳ ng NN' song song vớ i Ox. Thậ t vậ y: Tung đ ộ củ a N và N’ ư ớ c lư ợ ng trên hình vẽ là bằ ng —4. Kiêm tra bằ ng tính toán: y = ——(-4)2 = -4. 4. Vấ d ụ »1 (Bài 5/tr 37 - Sgk):. C h o b a h à m số :. y = —X2; y = X2 ; y = 2x2.. a. Vẽ đ ổ thị cùa ba hàm sô trên cùng mộ t mặ t phư ng toạ đ ộ . b. Tìm ba đ iể mA|, B|, C| có cùng hoành đ ộ X = -1,5 theo thứ (ự nằ m trên ba đ ồ thị . Xác đ ị nh tung đ ộ tư ơ ng ứ ng củ a chúng. c. Tìm ba đ iể mA2, B2, Cj có cùng hoành đ ộ X = 1,5 theo thứ tự nằ m trên ba đ ồ thị . Kiể m tra tính đ ố i xứ ng củ aA| và A2, B| và B2, c , và Cị . d.. Vớ i m ỗ i hàm. số. tr ê n , h ã y tìm g iá tr ị. củ a. Xđ ể. hùm. s ô đ ó c ó g ià. trị n h ỏ nhấ t.. Jg< Giả i a. Đ ồ thị củ a b.. ba hàm số trên cùng mộ t mặ t phẳ ng toạ đ ộ Họ- c sinh tự vẽ .. Giả sử A| e (dị ): y = —X2; B, € (d2): y = X2 ; c , e (dj): y = 2x2 cùng có. hoành đ ộ là X = —1,5. Do đ ó: ■. Đ iể m Aị có tung đ ộ là: y = —(-1,5)2 = 1,125.. ■. Đ iể m B, có tung đ ộ là: y = (-1 ,5)2 = 2,25. ■ Đ iể m Cị có tung đ ộ là: y = 2 (-l ,5)2 = 4,5. Vậ y A (-l,5 ; 1,125); B(-1,5 ; 2,25); C(-1,5 ; 4,5). c. Giả sử. A,e (dị ): y = —X2; B2 € (d2): y = X2 ; Q € (d3): y = 2x2 cùng có. hoành đ ộ là X= 1,5. Do đ o: ■. 7 ó tung đ ộ là: y = —(1,5)2 = 1,125. Đ iể m A2.

(86) ■ Vậ Dễ ■ ■ ■ d. Cả ĩ liạ. Đ iể mCị 7 ó tung đ ộ là: y = 2( 1,5)2 = 4,5. y A( 1,5 ; 1,125); B(l,5 ; 2,25); C(l,5 ; 4,5). dàng nhậ n thấ y, A, và A2 đ ố i xứ ng nhau qua trụ c tung. Bị và B2 đ ố i xứ ng nhau qua trụ c tung. c , và Q đ ố i xứ ng nhau qua trụ c tung. ba hàm số trên đ ề u có giá trị nhỏ nhấ t y = 0 khiX = 0. lữ l Cho các hàm số : y = f(x) = X2, y = g(x) = X2 - 6, y = h(x) = X2 + 5. a. Tìm tậ p xác đ ị nh củ a bơ hàm sô'trên. b. Vớ i X= -2; 0; 1; 2; 3 hãy tínhcác giá trị tư ơ ng ứ ng f(x), g(x),h(x). c. Có nhậ n xét gì về giá trị củ a các hùm s ố f(x), g(x), h(x)ứ ng vớ i cùng mộ t giá trị củ a biế n số X, từ đ ố đ ư a ra kế t luậ n vé đthịồ các hàm s ố y = g(x) v à ỵ = h(x). d. Vớ i giá trị nào củ a X thì các hàm số nhậ n giá trị nhỏ nhấ t ?. J&> Giả i a. Ba hàm số trên đ ẻ u có tậ p xác đ ị nh là R. b. Ta lậ p bả ng: 0 2 3 1 X -2 4 0 4 9 1 f(x) 3 -6 -2 -2 -5 g(x). II. s. 14 5 6 9 9 h(x) c. Từ bả ng, ta nhậ n thấ y vớ i bấ t kì hoành đ ộ nào thì ■ Tung đ ộ tư ơ ng úng củ a đ iể m trên đ ồ thị hàm số y = g(x) cũ ng nhỏ hơ n tung đ ộ tư ơ ng ứ ng củ a đ iể m trên đ ồ thị hàm số y = f(x) là 6 đ ơ n vị . ■ Tung đ ộ tư ơ ng úng củ a đ iể m trên đ ồ thị hàm số y = h(x) cũ ngn lớhơ n trnig đ ộ tư ơ ng úng củ a đ iể m trên đ ổ thị hàm số y = f(x) là 5 đ ơ .n vị Vậ y, ta thấ y rằ ng nế u đ ã có đ ư ợ c đ ồ thị hàm số y = X2 thì: ■ Bằ ng phép tị nh tiế n đ ồ thị này theo trụ c Oy y ‘ .y xuố ng dư ớ i 6 đ ơ n vị , ta nhậ n đ ư ợ c đ ồ thị 1 số y = X2 - 6. A , L 9. J a i\\ ■ Bằ ng phép tị nh tiế n đ ồ thị này theo trụ c Oy / /jy = \V lên trên 5 đ ơ n vị , ta nhậ n đ ư ợ c đ ồ thị hàm số y = X2 + 5. I•Aỉ I ‘X -3 \ 0 Vớ i X = 0 thì các hàm số nhân giá trị nhỏ nhấ t và '/3 X \ \ // í y = f(x) = X2 có giá trị nhỏ nhấ t bằ ng 0. -. -6..

(87) ■. Hèm số y = h(x) = X2 + 5 có giá trị nhỏ nhấ t bằ ng 5.. Nhár xét . Như vậ y, đ ể vẽ đ ư ợ c đ ồ thị hàm số y = ax2+ b, ta thựhiệ cn: ■. Vẽ đ ồ thị hàm số y = ax2. ■. Tị nh tiên đ ồ thị này theo trụ c Oy b đ ơ n vị (lên trên nế u b 0,> xuố ng dư ớ i nế u b < 0) ta nhậ n đ ư ợ c đ ồ thị hàm sô’y =x2a+ b.. c . BÀI TẬ P LUYỆ N TẬ P •. •. •. tài 1: cto hàm số y = f(x) = - 2x2. a.. Tírh f(l), f( —).. b. c. d.. Vẽ đ ồ thị hàm số . Tìn tậ p hợ p đ iể m thuộ c đ ồ thị hàm số có hoành đ ộ bằ ng Chímg minh rằ ng hàm số có giá trị nhỏ nhấ t là 0.. 4.. 2 2. Bài 2: Him cho các hàm sô y = —X . 3 a. Vẽ đ ồ thị hàm số .. b. Cá: đ iể m A(0 ; 0), B (3 ; 6), c (1 ; — ), D(3 ; 1)có thuộ c đ ổ thị củ a hàm số khồ ng? 2 Bài 3: Cìo hàm số : y = - 125x2. a. Khả o sát tính đ ơ n đ iệ u củ a hàm số .. b.. Tin giá trị cùa m vàn đ ể các đ iể m. A(1 ; m) và B(n 125) ; thuộ c đ ồ thị hàm số. trêi.. Bàỉ 4: Cio hàm số : y = (m -I- l)x2. a. Xác đ ị nh 1 ITđ ể đ ồ thị hàm số đ i qua đ iể m A (1 ; 2). b. c.. Vẽ đ ồ thị hàm số vừ a tìm đ ư ợ c. Tìn đ iể m thuộ c parabol nói trên có hoành đ ộ bằ ng 2.. d. e.. Tm đ iể m thuộ c parabol nói trên có tung đ ộ bằ ng - 8. Tin đ iể m thuộ c parabol có tung đ ộ gấ p ba hoành đ ộ .. Bài 5: Cio hàm số : y = (2m - l)x2. a.. XíC đ ị nh m đ ể đ iể m A (- 1 ; 2) thuộ c đ ồ thị hàm số .. b. • Vt đ ồ thị hàm số vừ a tìm đ ư ợ c. c. d.. Tin đ iể m thuộ c parabol nói trên có hoành đ ộ bằ ng 5. Tm đ iể m thuộ c parabol nói trên có tung đ ộ bằ ng - 7..

(88) t m BỀ 3. PU. ư ơ n. Í. t r ìn. U A. ậ. I. U ề Y. mộ t ẩ n số. A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Vẩ. lt. (Bài 11/tr 42 - Sgk): Viế t lạ i các phư ơ ng trình sau dư ớ i dự ì\<ị ax2 + bx + c, rồ i xác đ ị nh cúc hệ số a,b, c củ a chúng : a. 5x2 + 2x = 4 - X.. b. —X2 + 2x - 7 = 3x + —. 5 2 c. d.. 2x2 + X - -73 = \Ỉ 3 X + 1. 2x2 + m2 = 2(m - 1)x , m làhằ ng. số .. vễ T Giả i a. Ta có: 5x2+ 2x = 4 - X<=>5x2 + 3x - 4 = 0. Các hệ số :a = 5; b = 3; c = -4. b. Ta có: —X2 + 2x - 7 = 3x + — <=> —X2 - X5 25. — = 0. 2. Các hệ số : a = - ; b = -1; c = - — . 5 2 c. Ta có: 2x2 + \ - y/ỉ = >/3x + l « 2x2 ~(\Í3 - l)x - V3 —1 = 0 Các hộ số : a = 2; b = 1 - V3 ; c = - n/3 - 1. d. Ta có: 2x2 + m2 = 2(m - l)x <=> 2x2 - 2(m - 1)x + m2. Các hệ số : a = 2; b = - 2(m - 1); c = m2. Vấ d ụ 2t (Bài 12. c, 12. a/tr 42 - Sgk): Giài các phư ơ ng trình: ^ 0,4x2 + 1 = 0 . b. X2- 8 = 0..

(89) a. Kién đ ổ i phư ơ ng trìnhvé dạ ng: X2= - — <0, nên phư ơ ngtrình vỏ nghiệ m. b. Bién đ ỏ i phư ơ ng trình về dạ ng: X2 = 8 <=> X = ± 2\Ỉ 2 .. Vậ y, phư ư ĩ ig trình có hai nghiệ m phân biệ t X = ±y fĩ . Nhậ n xét: Như vậ y, vớ i phư ơ ng trình khuyế t b dạ ng: ax2+ c = 0 o x 2= - —. a ■. c. / c. Méu — > 0 thì phư ơ ng trình có nghiệ m X = ± J ---- . a ' V a c ■ Nléu — < 0 thì phư ơ ng trình vô nghiệ m. a Vẩ d y Si (Bài 12. d, 12. e/tr 42 - Sgk): Giả i các phư ơ ng trình: Gùi a. Biế n đ ỏ i phuơ ng trình vể dạ ng: xi(2x +. X= 0. X= 0 s/ĩ ) = 0 o. r-. Ị _2x + n/2 =0. o. 1.. Vậ y, phư cmg trình có hai nghiệ m phân biệ t X = 0 và X = - ^=' • b. Bién đ ố i phư ơ ng trình vể dạ ng: X= 0 Tx = 0 -*0,4x(x -- 3) -*0,4x(x 3) = = 00 o<=> o X- 3 = 0 x=3 Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X = 0 và X = 3. Nkậ in xét: Như vậ y, vớ i phư ơ ng trình khuyế t c dạ ng: X= 0 , |"x = 0 ax + bx = 0 o x(ax + b) = 0 o <=> |_ax + b = 0 Ị _x X= =— - b /a b Phư ơ ng trình luôn có hai nghiệ m phân biệ t X = 0 và X = — . a Vẩ diụ ầ » (Bài 13/tr 43 - Sgk): Giả i các phư ơ ng trình: a. X2 + 8x = -2.. b. X2 + 2x = - .. 3 Hãy cộ ng vào hai vế củ a mỗ i phư ơ ng trình cùng mộ t số thích hợ p đ ể đ uơ '(môt phư ơ tìg trình mà v ế trái thành niôt bình phư ơ ng..

(90) JS$ Giả i a. Ta có: X2 + 8x = -2 o X2 + 2.4x + 42 = -2 + 42 o (x + 4)2 = 14 o X + 4 = ±VĨ 4 <=> X = - 4 ±VĨ 4 . Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X = -4 ±VĨ 4 . b. Ta có: X2 + 2x = - o X2 + 2x + 1 = - + 1 <=> (x + l)2 = — 3 3 3 t 2V3 _ _ . 2V3 , o X + 1 = ± —— o x = ± —— - 1. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X Vẩ d ụ Si Giả i các phư ơ ng trình: a. X2 - 2x - 3 = 0.. = ±. 2V3. - 1.. b.. vễ T Giả i a. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng tích theo các cách: Cách I : (Sử dụ ng phép tách theo à): Ta có: X2 - 2x - 3 = 3x2 - 2x2 - 2x - 3 = (3x2 - 3) - (2x2 + 2x) = 3(x2 - 1) - 2x(x + 1) = 3(x - l)(x + 1) - 2x(x + 1) = ( X + l)[3(x - 1) - 2x] = ( X + l)(x - 3). X = 3 X- 3 = 0 <=> Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng: (x - 3)(x + 1) = 0 o X +1 = 0 X = -1 •. I-. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X = 3 và X = -1 . Cách 2: (Sử dụ ng phép tách theo b): Ta có: X2 - 2x - 3 = X2 +x - 3x - 3 = (x2 + x) - (3x + 3). = x(x + 1) - 3(x + 1) = (x + l)(x - 3). fx - 3 = 0 Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng: (x —3)(x + 1) = 0 o. X= 3 X = -1. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X = 3 và X = - 1 . Cách 3: (Sử dụ ng phép tách theo c): Ta có: X2 - 2x -. 3. = X2 -. 2x - 2 - 1 = (x2- 1) - (2x. = (X - 1)(x + 1) - 2(x +1) = (x = (x + l )(x - 3).. + 2). + 1)(x - 1 - 2 ). Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng: (x - 3)(x + 1) = 0 o. Ị "x - 3 = 0 X+ 1 = 0. Vậ y, ph[Ể f0ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X = 3 và X = -1.. <=>. X. =3. X = -1.

(91) Cách 4 (Sử dụ ng phép tách tạ o hằ ng đ ả ng thứ c):Ta có: X2 - 2x - 3 = X2- 2.X.1 +1 - 4 = (x - l)2 - 4 = (x - 1 - 2)(x - 1 + 2) = (x - 3)(x + 1). Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng: (x - 3)(x + 1) = 0 <=>. X- 3 = 0. x + 1=0. <=>. Vậ y phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X = 3 và X = - 1 . b. Biế r đ ổ i vế trái củ a phư ơ ng trình về dạ ng tích theo các cách: Cách I (Sử d ụ n g phép tách theo a): Ta có: 2x2- 5x + 3 = 5x2 - 3x2 - 5x + 3 = (5x2 -5x) - 3(x2 - 1) = 5x(x - 1) - 3(x - 1)(x + 1) = (x - 1)(5x - 3x - 3) = (x-l)(2x-3). x -1 =0 <=> Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng: (x - l)(2x - 3) = 0 <=> 2x - 3 = 0 Vậ >. phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t. X. = 1 và. X. = —.. Cách 2 (Sử dụ ng phép tách theo b): Ta có: 2x2- 5x + 3 = 2x2 - 2x - 3x + 3 = (2x2 -2x) - (3x - 3) = 2x(x - 1) - 3(x - 1) = (X - l)(2x - 3). Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng: (x - l)(2x - 3) = 0 « •. x -1 =0 2x - 3 = 0. Vâ), phư ơ ng trình có hai nghiêm phân biêt X = 1 và X = — . 2 Cách 3 {Sử dụ ng phép tách theo c): Ta có: 2x2- 5x + 3 = 2x2 - 5x + 5 - 2 = (2x2 - 2) - (5x - 5) = 2(x - l)(x + 1) - 5(x - 1) = (X - l)(2x + 2 - 5 ) = (x-l)(2x-3). X —1 = 0. Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng: (x - l)(2x - 3) = 0 <=> <=> 2x - 3 = 0. X.

(92) Cách 4: (Sử dụ ng phép tách tạ o hằ ng đ ẳ ng thứ c): Ta có: 5 3 2 -5 = 0 o x - 2 . —x + Í 5 V -X + 4 2 2 UJ —. o. 5 \2 1 X— =— o 4 16. -1 1 =. x x. .. 4 " 4 5 __ J _ 4 “. 4. Í 5Ì UJ. 3. 2. 3 X= — 2. X= 1. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biộ t X = 1 và X = —. Cách 5: (Sử dụ ng phép tách tạ o hằ ng đ ẳ ng thứ c):Ta có: 2x - 5x + 3 = 0 <=> 16x2- 40x + 24 = 0 «> (4x)2- 2.4x.5 + 25 - 1 = 0 3 X= — 4x - 5 = 1 <=i> o (4x - 5)2 = 1 o 2. 4x - 5 = -1 X= 1 Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X = 1 và X = — . ^. Nhậ n xét: Như vậ y, vớ i phư ơ ng trình không khuyế t; ax2+ bx + c = 0 ta lự a chọ n mộ t toong hai phư ơ ng pháp: Phư ơ ng pháp 1. Biế n đ ổ i thành phư ơ ng trình tích: a(x + m)(x + n) = 0. Phư ơ ng pháp 2. Biế n đ ổ i thành phư ơ ng trình dạ ng: a(x + m)2 = n. Và phư ơ ng pháp 2 luôn đ ư ợ c ư u tiên, bở i phư ơ ng pháp 1 chỉcó thể đ ư ợ c thự c hiệ n trong trư ờ ng hợ p phư ơ ng trình có 2 nghiệ m (mà như chúng ta đ ã biế t mộ t phư ơ ng trình bậ c hai có thể vô nghiệ m, có 1 nghiệ m hoặ c 2 nghiêm). Trong các cách 4 và cách 5 củ a câu b) đ ã chỉ ra cho chú ng ta hai cách biế n đ ổ i phư ơ ng ữ ình về dạ ng A2 = m, trong trư ờ ng hợ p hệ số a không phả i là số chính phư ơ ng. Vẩ ẩ f fli Cho phư ơ ng trình’. 2x2—mx - m + 1 = 0. Tìm m đ ể phư ơ ng trình có mộ t nghiêm là2 và giả i phư ơ ng trình đ ó. Giả i Phư ơ ng trình nhậ n X = 2 làm nghiêm khi: 2.22- m.2 - m + 1 = 0 o 3 m = 9 o m = 3. Vớ i m = 3, phư ơ ng trình có dạ ng: ~x = 2 2x2- 3 x - 2 = 0 Cĩ > (x - 2)(2x + 1) = 0 <=> x 2 -U o 2x +1 = 0.

(93) Nhìn xét: Trong lờ i giả i trên, sở dĩ biế n đ ổ i đ ư ợ c ngay: 2x - 3x - 2 = (x - 2)(2x + 1) do chúng ta tậ n dụ ng kế t quả trư ớ c đ ó là"Phư ơ ng trình có nghiệ m X =2", suy ra đ a thứ c 2x2—3x - 2 chia hế t choX - 2. Vẩ d ụ. Ị ị. C h o p h ư ơ n g tr ìn h :. a. b. c. d.. X2—(m + 1)x + m = 0.. Xúc đ ị nh các hệ sôa, b, c củ a phư ơ ng trình. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = —1. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 0. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 3.. G io i. a. Ta có ngay: a = 1, b = -(m + 1), c = m. b. Vói m = -1, phư ơ ng trình có dạ ng: X2- (-1 + l)x + ( - l ) = 0 o x 2- 1 = 0 o X2 = 1 <=> X = ±1. Vậ y vớ i m = -1 phư ơ ng trình có hai nghiêm phân biệ t X = ±1. 0, phư ơ ng trình có dạ ng: c. Vớ i m = X2- X = 0 <=> x ( x - 1) = 0 <=>. X=0 X —1 = 0. o. X= 0 X= 1. Vậ y vớ i m = 0 phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X = 0 và X = 1. d. Vớ i m = 3, phư ơ ng trình có dạ ng: x2- 4 x + 3 = 0 o x 2- 4 x + 4 = 4 - 3 ^ (X - 2 ỷ = 1 <=>. X- 2 = 1. o. X= 3. X- 2 = -1 X= 1 Vây vớ i m = 3 phư ơ ng trình có hai nghiộ m phân biệ t ^. X. = 3 và. X. = 1.. N h ìn xét: 1. Việ c nêu ra ví dụ trên giúp các em họ c sinh ôn tậ p đ ư ợ c lạ i các kiế n thứ c cơ tả n trong chủ đ ề này, bao gồ m: • Xác đ inh các hệ 9ố củ a phư ơ ng trình bậ c hai trong câu a) . • Giả i phư ơ ng trình bậ c hai khuyế t b toong câu b). • Giả i phư ơ ng trình bậ c hai khuyế t c trong câu c). • Giả i phư ơ ng trình bậ c hai đ ầ y đ ủ trong câu d) bằ ng việ c biế n đ ôi về dạ ng bình phư ơ ng. 2. Qua lờ i giả i củ a các câu b), c), d) chúng ta thấ y ngay rằ ng trong ba tư ờ ng hợ p này phư ơ ng trình đ ề u có nghiệ m X = 1, nhậ n đ ị nh này sẽ púp chúng ta có thê trình bày lờ i giả i gọ n hơ n, cụ thê: : —(m + l)x + m = 0 o x 2- x - m x + m = 0 <=>x(x- 1 ) - m(x-1 ) = 0 X= 1 x -1 =0 :*> o (x —l)(x - m) = 0 o o X- m = 0. X= m.

(94) Khi đ ■ Vớ ■ Vớ ■ Vớ. ó: i m = -1, phư ơ ng trình có nghiệ m X= 1 và X= -1. i m = 0, phư ơ ng trình có nghiệ m X= 1 và X= 0. i m = 3, phư ơ ng trình có nghiệ m X= 1 và X= 3.. c. BÀI TẬ P LUYỆ N TẬ P Bài 1: Viế t lạ i các phư ơ ng trình sau dư ớ i dạ ng ax2 + bx + c, rồ i xác đ ị nh các hệ sô' a, b, c củ a chúng: a. X2- 3x - 2 = X+ 2. c. \Ỉ 3 X2+ \Ỉ 2 X + 3 - X= 0. b. 4x2- 8x = 3x2 - 5. d. mx2 + 2mx - 3m = X2 -m x. Bàỉ 2: Cho phư ơ ng trình: X2- (4m + 1)x + 4m = 0.. a. Xác đ ị nh các hệ số a, b, c củ a phư ơ ng trình. b. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = —- , m = 0, m = 1. 4 c. Tìm m đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X, và x2 sao cho X, +x2 = 9. d. Tim m đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X) và x2 sao cho X, = \ ị .. Bài 3: Giả i các phư ơ ng trình sau: a.. 4x2 - 1 = 0 .. c. -v/3 X2 + 6x = 0.. b. (m2 + 2)x2 + 1 = 0. d m V - 2x = X - X2. Bài 4: Giả i các phư ơ ng trình sau bằ ng 5 cách: a. X2 + 2x - 3 = 0. d. X2+ 5x + 4 = 0. b. 4xỉ + 3 x - 7 = 0. e. 2xz + 5x + 3 = 0. c. -3 x 2 + 2x + 1=0. f. -7 x 2 + 5x + 12 = 0. Bài 5: Giả i các phư ơ ng trình sau: a. :x2- 2 x - 4 = 0. c. x2+ x - 3 = 0. b. 2x2 + 4x + 1 = 0. d. 3x2- 5x + 1 = 0. Bài 6: Cho phư ơ ng trình: mx2- (2m + 1)x + 4 = 0. 4 Tun m đ ể phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m là — và giả i ph ư ơ ng trình đ ó. Bài 7: Cho phư ơ ng trình: ax2+ bx + c = 0, vớ i a * 0. a. 'Chứ ng minh rằ ng nế ii a + b + c = 0thì phư ơ ng trình có hai nghiệ m X= 1 và X. a. .. b. Chứ ng minh rằ ng nế u a - b + c = 0 thì phư ơ ng trình có hai nghiêm X = -1 và. c a Bài 8: Cho phư ơ ng trình: ax,2 + bx + c = 0, vớ i a * 0. Bằ ng việ c biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng A2= m hãy hcứ ng minh rằ ng: a. Nế u b2- 4ac > 0 thì phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t. .2 ~ . . . . . . . b b. Nế u b —4ac = 0 thì phư ơ ng trình có nghiệ m X = 2a - 4ac < 0 thì phư ơ ng trình vô nghiệ m..

(95) D. HƯ Ớ NG DẢ N - Đ ÁP SÔ Bài 1: a. Chuyên phư ơ ng trình về su\ ra a = 1, b = -4, c = b. Chuyên phư ơ ng trình vể SU' ra a = 1, b = -8, c = c. Chuyể n phư ơ ng trình về. dạ ng: X2 - 4x —4 = 0 -4. dạ ng: X2- 8x + 5 = 0 5. dạ ng: \/3 X 2 + ( V2 - l)x + 3 = 0. ra a = y/ĩ , b = \ fĩ - 1, c = 3. d. Chuyể n phư ơ ng trình về dạ ng: (m —1)x2 3mx - 3m = 0 SU' ra a = m - 1, b = 3m, c = -3m. Bai 2: a. Ta có ngay a = 1, b = -4m - 1, c = 4m. b. Bien đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng tích bằ ng cách: X2- X- 4mx + 4m = 0 <=> x(x - 1) - 4m(x - 1) = 0 SU'. o (x - 1)(x —4m) = 0 <=>. X -1 = 0. <=>. X-4m = 0. Khi đ ■. X= 1 X = 4m. ó:. Vớ i m =. , phư ơ ng trình có nghiệ m X = 1 và X = -1 . 4. ■ c.. Vớ i m = 0 , p h ư ơ ■ Vớ i m = 1, p h ư ơ Đ c phư ơ ngt r ì n h c ó 4m * 1 1+ 4m = 9. = 1 v à X = 0. n g t r ì n h c ó n g h i ệ m X = 1 và X = 4. h a i n g h i ê m p h â n b i ệ t Xj và x2 s a o c h o n g trình c ó n g h iệ m X. <=>. m. m*—. 4m =8. m=2. Xị. + x2= 9, đ. i ề u k i ê n là:. 4<=>m = 2.. Vậ y, vớ i m = 2 thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. d. Đ í phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X, và x2 sao cho X| = xị y đ iề u kiệ n là:. 4. -1 = (4m>2. m = ±1/4.

(96) b. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vé dạ ng:. < 0, vô nghiêm.. (m2+ 2)x2= -1 <=> X2=. m +1 c. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vể dạ ng: r [x = 0 [x = 0 x( v3 X+ 6) = 0 <=> _ o r- . v3x + 6 = 0 |_x = -2v3 Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X= 0 và X= -2 yÍ3 . d. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vể dạ ng: (m2+ l)x2- 3x = 0 <=>x[(m2+ l)x - 3] = 0 o. "x = 0. X = 0. (m2 + l ) x- 3 = 0. o X =. m +1. Vây, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X= 0 và X= Bài 4: a. X= 1 và X= -3.. d. X= -1 vàX = -4.. m +1. 7 b. x = l v à x = —- . c. X= 1 và X= 4 3 e. X= -1 vàX = . f. x = - l vàx = 2. 1 —. 3 12 . 7. Bài 5: a. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vẻ dạ ng: X2 -. 2x +. -1 = 75. 1 = 1 + 4< = > ( x - 1 ) 2 = 5< = >. o. \ - l = -yÍ5. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X= 1 ± b. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình VỂ dạ ng: 4x2 + 8x + 4 = 4 - 2 o (2x + 2)2 = 2 o. x = l+ V?. X= l - V s '. .. 2x + 2 = V2. <=>. 2x + 2 = - \ í ĩ. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X =. X=. - 2 + 72 2 - 2 -V ã. -2±yỈ 2. c. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: 4xz + 4x + 1 = 1 + 12 o (2x + l)2= 13 o. 2x + 1= 7Ĩ 3. 2x + l=-VĨ 3 Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X=. -1±VĨ 3. X =. -uV ĩ i 2. <=> X=. -1-V Ĩ 3 '.

(97) d. Biéi đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: 36x2+ 60x + 25 = 25 - 12 o (6x - 5)2= 13 5 + 7Ĩ 3. <=>. 6 x - 5 = VĨ 3 6 \ - 5 = -■ v/Ĩ 3. X =. 6. o 5-Ự. Ũ. X =. Vậ \ phư ơ ng trình có hai nghiêm phân biệ t X = _ 4 Bài 6: Phư ơ ng trình nhậ n X = — làm nghiệ m khi: V m.| — - (2m + 1). — + 4 = 0 o 16m - 12(2m + 1) + 36 = 0 o 8m = 24 <=> m = 3. Vớ im = 3, phư ơ ng trình có dạ ng: 3x2- 7x + 4 = 0 <=> (3x - 4)(x —1) = 0 <=>. 3x-4 = 0 X- 1 = 0. o. X=. X= 1. Vậ >, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X = — và X= 1. Bài 7: a. Vớ i giả thiế t: a+ b+ c=0 o c =-a-b. Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng: ax2 + b x - a - b = 0 o a ( x 2- 1) + b(x - 1) = 0 o (x - l)(ax + a + b) = 0 o X= 1. o. X=. -a-b o. X-1 = 0. ax + a + b = 0. X= 1. c a. X= —. c VẠ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X = 1 và X= —. a b. Làm tư ơ ng tự như câu a). Bài 8: Hư ớ ng dẩ n: Biế n đ ổ i phư ơ ng trìnhvề dạ ng: Ị X ” ~ j =. b2 - 4ac 4a2.

(98) CHÉBỂ 4. CÔNG THỨ C NGHIỆ M CỦ A PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C HAI A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T. h CỔ NG THỨ C NGHIỆ M Phư ơ ng trình: ax2 + b c + c = 0. 0 thì phư ơ ng tình có nghiệ m kép X, = x2. GỌ N. 0, vớ i a 5 1. Nế u A’ < 0 thì phư ơ ng trình vô nghiêm. 2. Nế u A’ = 0 thì phư ơ ng trình có nghiệ m kép X, = x2 = 3. Nế u A' > 0 thì phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: x _ -b'+VÃ* A. 555. v. à a. A. B.. - b ,-VÃr. -------------------------------------------------------. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN. Vấ n đ ề 1; GIẢ I PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C HAI Phư ơ ng pháp Ta có thê sử d ụ n g m ộ t trong bố n phư ơ ng p h á p sau: Phư ơ ng pháp 1. Biế n đ ổ i thành phư ơ ng trình dạ ng: a(x + m)2 = n (a * 0). Phư ơ ng pháp 2. Biế n đ ổ i thành phư ơ ng trình tích: a(x + m)(x + n) = 0. Phư ơ ng pháp 3. D ùng cồ ng thứ c nghiệ m củ a phư ơ ng trình bậ c hai. Ta xét các trư ờ ng hợ p: ■ Nế u A > 0, phư ơ ng trình có 2 nghiệ m phân biộ t:. -b+V Ã. V. X, = ----- ------ và x2 =. - b - VÃ.

(99) ■. N ế u A = 0, phư ơ ng trình có nghiệ m kép: b. X, = x2 = ----- . 1. 2. 2a. ■ N ế u A < 0, phư ơ ng trình vô nghiệ m . Lư u ý: Nế u có b = 2b’ ta sử dụ ng tớ i A’ = b’2 - ac. ■ Nế u A’ > 0, phư ơ ng trình có 2 nghiệ m phân biệ t: -ty+VÃ7 - . _ - b - V Ã 7 X, = ----- ------ và x2 = ----------- . a a ■ N ế u A’ = 0, phư ơ ng trình có nghiệ m kép: b' X, = x 2 = a ■ N ế u À’ < 0, phư ơ ng trình vô nghiệ m . Phư ntg pháp 4. Trong trư ờ ng hợ p đ ặ c biệ t: ■ Nế u a + b + c = 0, phư ơ ng trình có nghiệ m : X = 1 và X = —. a _. ■. 1. '. _. c. N ế u a - b + c = 0, phư ơ ng trình có nghiệ m : X = -1 và X = - - . a. Vấ dy lì (Bài 15/tr 45 —Sgk): Không phả i giả i phư ơ ng trình, hãy xác đ ị nh các hệ sô a, b, c, tính biệ t thứ c A và xác đ ị nh sô nghiệ m củ a mỗ i phư ơ ng trình sau: a.. 7 x 2 - 2 x + 3 = 0.. b. 5 x 2 + 2 -n/Ĩ Õ x + 2 = 0.. c. - x 2 + 7 x + - = 0 . . 2 3. d. l,7x2 - l,2x - 2,1 = 0.. Jg$ Gici a. Phurmg trình có: a = 7 ; b = -2 ; c = 3 ^ = (-2) - 4.7.3 = -80 < 0 hoặ c A’ = (-1 )2 - 7.3= -20 < 0. Vây, phư ơ ng trình vô nghiêm. b.. Phiơ ng trình có: a = 5 ; b = 2 Vĩ õ ; c = 2. 1 = (2 V ĩ õ)2 - 4.5.2 = 0 hoặ c A’ = ( Vĩ õ )2 - 5.2 = Vậ ), phư ơ ng trình có 1 nghiệ m kép. 1 2 c. Phiơ ng trình có: a = — ; b = 7 ; c = —. 2 3 3 g trình có 2 nghiệ m phân biệ t.. 0..

(100) d. Phư ơ ng trình có: a = 1,7 ; b = -1,2 ; c = -2,1 A = (-l,2 )2- 4.1,7 .(-2 ,l)= 15,72 > 0. Vậ y, phư ơ ng trình có 2 nghiệ m phân biệ t. Vể d ụ 2t Giả i phư ơ ng trình: —6x2+ 7x - 2 = 0. Giả i Ta có thể thự c hiệ n theo các cách: Cách I: (Sử dụ ng công thứ c nghiệ m tổ ng quát): Ta có a = -6, b = 7, c = - 2, suyra A = 7 - 4.(-6).(-2) = 49 - 48 = 1 => VÃ = 1. Do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: -7+1 1 -7-1 2 X, = ——— = — , x2 = —------= —. -1 2 2 -1 2 3 1 2 Vây, phư ơ ng trình có hai nghiêm phân biêt X| = —, x2 = — . 2 3 Cách 2: (Sử dụ ng phép đ ổ i dấ u trư ớ c khi dùng công thứ c ngh iệ m tổ ng quát): Viế t lạ i phư ơ ng trình dư ớ i dạ ng: 6x2- 7x + 2 = 0. Ta có a = 6, b = -7, c = 2, suy ra A = (-7)2- 4.6.2 = 49 - 48 = 1 => VÃ =1. 7+1 1 7-1 2 Do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t:X, = —-— = —, x2 = ------= —. 1 2 Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biêt X| = —, x2 = —. 2 3 ^. Nhậ n xét: 1. Trong lờ i giả i củ a ví dụ trên, cho dù cùng là việ c sử dụ ng công thứ c nghiệ m tổ ng quát như ng chúng ta thấ y ngay cách giả i 2 sẽ tránh đ ư ợ c nhữ ng sai sót không đ áng có về dấ ủ toong khi tính toán. Do đ ó, khi giả i mộ t phư ơ ng trình bậ c hai, ta cầ n chú ý biế n đ ổ i về phư ơ ng trình có hệ số đ ơ n giả n nhấ t tư ơ ng đ ư ơ ng vớ i phươ ng trình đ ó đ ể việ c tính toán gọ n hơ n. Chẳ ng hạ n, như trong phư ơ ng trình trên có hệ sô a < 0, ta nhân cả hai vế cùa phư ơ ng trình vớ i -1 đ ể đ ư cợ phư ơ ng trình có hệ số a > 0. Chúng ta sẽ minh hoạ thêm mộ t ví dụ nữ a. 2. Các em họ c sinh hãy giả i phư ơ ng trình trên bằ ng phư ơ ng pháp phân tích. Vẩ ể f Giả i phư ơ ng trình: X2 + 2x —3 = 0. Giả i Ta có thể thự c hiộ n theo các cách: Cách I : Sử dụ ng kế t quả a + b + c = 0 Ta có: a + b + c = 1 + 2 - 3 = 0, suy ra. ahdSng trình có hai nghiệ m phân biộ t X, = 1, x2 = - 3..

(101) Cách 2: Sử dụ ng công thứ c nghiêm tổ ng quát: Ta có a = 1, b = 2, c = —3, suy ra A = 22- 4.1 .(-3) = 4 + 12= 16 => VÃ = 4. D ) đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: .. _ - 2 + 4 -2-4 _ , X, = - y -. = 1 , x2 = —. = - 3.. Vìy, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X, = 1, x2 = - 3.. Cứ í'/j 3: Sử dụ ng công thứ c nghiệ m thu gọ n: Ta có a = 1, b = 2 => b ’ = 1, c = - 3, suy ra: A’ = l 2- l.(-3 ) = 4=> VÃ7 = 2. Do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: - 1 + 2 =1 , x2 = —------ 1 - 2 =_- 3., X, = ——— 1 1 Váy, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X| = 1, x2 = —3. Cách 4: Sử dụ ng phư ơ ng pháp phân tích đ a thứ c thành nhân tử : x2 + 2 x - 3 = 0 o x 2- x + 3 x - 3 = 0<=>x(x - 1) + 3(x - 1) = 0 X- 1 = 0 X= 1 <=> o (x - 1)(x + 3) = 0 o X+ 3 = 0 X=-3 Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t Xị = 1, x2 = - 3. Cách 5: Sử dụ ng phư omg pháp biế n đ ổ i A2 = m: X2 + 2x - 3 = 0 o x 2 + 2x + 1 = 1 + 3 o ( x + l)2 = 4 x + 1 =2 X= 1 <=> <=> X = -3 x + 1= -2 Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biộ t X, = 1, x2 = - 3. Vấ dụ 4i Giủ i cúc phư ơ ng trình'. 4 a. ị x 2- 5 x + 3 = 0 . b. V 2 x 2- 2 ^ x - 1 2 V 2 = 0. JSĨ ) Giả i a. Thự c hiệ n việ c quy đ ồ ng mẫ u số , phư ơ ng trình có dạ ng: 4x2- 1 5 x + 9 = 0. Ta có a = 4, b = -15, c = 9, suy ra A = (-15)2- 4.4.9 = 2 2 5 - 144 = 81 => VÃ =9. Do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: 3 15 + 9 15-9 X, = — -— = 3 , x2 = 8 8 4 3 Vây, phư ơ ng trình có hai nghiêm phân biêt X, = 3, X, = —. ■ " 4.

(102) b. Nhân hai vế cùa phư ơ ng trình vớ i ' Ị ĩ , ta đ ư ợ c: 2x2- 2. X- 24 = 0.. Ta có a = 2, b = - 2 Vó => b’ = -V ó , c = -24, suy ra A’ = (-V ó )2- 2.(-24) = 6 + 48 = 54 => VÃ = 3 Vỏ . Do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biộ t: V6 ± 32^. = 2 V g V6 - 3V6 =. 2. vg. 2. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiộ m phân biệ t X, = 2 Vó , x2 = - Vó . ^. A7iậ /1 xét: Như vậ y, trong lờ i giả i củ a ví dụ trên: 1. Vớ i phư ơ ng trình ữ ong câu a), đ ể tránh việ c tính toán vớ i hệ số là phân số chúng ta đ ã thự c hiệ n phép quy đ ồ ng' (thự c chấ t là nhân hai vế củ a phư ơ ng trình vớ i 3). 2. Vớ i phư ơ ng trình trong câu b), đ ể tránh việ c tính toá n vớ i tấ t cả các hệ số đ ề u là số vô ri chúng ta đ ã thự c h iệ n ph ép nhân hai v ế củ a phư ơ ng trình vớ i 4 Ĩ .. YỂ ẩ y Sĩ. Giả i phư ơ ng trình: —= ---- X2+ ( V2 -1 )x - 2 = 0. •V 2 — 1. Giả i Ta có thể thự c hiộ n theo các cách: Cách 1: Thự c hiệ n việ c quy đ ồ ng mẫ u số , phư ơ ng trình có dạ ng: x 2+ ( V 2 - 1 ) 2x. - 2 ( V 2 - 1 ) = 0 o x 2+ ( 3 - 2 V 2 ) x + 2 - 2 V 2 =0 ). 2V2 , suy ra l —(3 —2V2 ) + 2 - 2V2 =0.. Ta có a = 1, b = 3 - 2 V2 , c = 2 a —b + c =. Do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: X, = 1 , x2= 2 V2 —2. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t Xị = 1, x2 = 2V2 - 2. Cách 2: Thự c hiệ n nhân liên hợ p, phư ơ ng trình có dạ ng: 7= ^ Ĩ ± L ------X2+ (V 2 - l ) x - 2 = 0 o ( V 2 + l ) x 2+ (V 2 - l ) x (V2 - 1XV2 +1) Ta có a = y fĩ + 1, b = V2 - 1, c = 2, suy ra a - b + c = V ĩ + 1 - ( V 2 - l ) + 2 = 0. Do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: X, = 1 , g trình có hai nghiệ m phân biệ t X| = 1, x2 = 2V2 - 2..

(103) a.. X2 -. c.. 4x2 + 12mx + 9m 2 = 0.. mx. -1=0.. b. d.. X2 + X2. (m + 4)x + 4m = 0.. + 2x + m 2 + 2 = 0.. Giả i Vớ i phư ư ng trình, ta có a = 1, b = -m , c = -1, suy ra:. a.. Á = (-m )2 - 4.1 .(-1 ) = m2 + 4 > 0.. Do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t. b. Vớ i phư ơ ng trình, ta có a = 1, b = m + 4, c = 4m, suy ra: A = (m + 4)2 - 4.1 ,4m = m 2 + 8m + 16 - 16m = m2 - 8m + 16 = (m - 4)2 > 0. Do đ ó:. •. Vớ i m = 4 thì phư ơ ng trình có nghiệ m kép. ■ Vớ i m * 4 thì phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t. c. Vớ i phư ơ ng trình, ta có a = 4, b = 12m, c = 9m2, suy ra: Â = (12m)2 - 4.4.9m2 = 144m2 - 144m2 = 0.. Do đ ó, phư ơ ng trình có nghiệ m kép. d. Vớ i phư ơ ng trình, ta có a = 1, b = 2, c = m2 + 2, suy ra: Á = 2 - 4.1 .(m2 + 2) = -4m 2- 4 < 0. Do đ ó, phư ơ ng trình vô nghiệ m. ^. Nhậ n xét: 1. Như vậ y, bằ ng việ c xác đ ị nh đ ư ợ c đ âu củ a A trong các phư ơ ng trình có tham sô' chúng ta đ ã đ ư a ra lờ i kế t luậ n nghiệ m cho ph ư ơ ng trình bậ c hai và đ ây chính là bài toán xuôi. Các bài toán ngư ợ c( Tìm đ iề u kiệ n củ a tham sò'đ ê phư ơ ng trìỉ ứ ĩ vô nghiệ m, có nghiệ m kép, có hai nghiệ m phân biệ t) đ ư ợ c thự c hiệ n theo chiề u ngư ợ c lạ i. 2. Ta biế t rằ ng vớ i phư ơ ng trình ax2+ bx + c = 0 có: A = b2- 4ac từ đ ó, nế u ac < 0 (đ ọ c là a và c trái dấ u) thì A = b2- 4ac > 0, tứ c là phư ơ ng trình luôn có hai nghiệ m phân biệ t. Việ c sử dụ ng kế t quả này, trong nhiề u trư ờ ng hợ p sẽ giúp giả m đ ư ợ c các phép tính không cầ n thiế t.. Vẩ. ĩ í. G iả i v ù b iệ n lu ậ n p h ư ơ n g tr ìn h :. X2 - 4mx + 3m2 = 0 .. Jg$ Giả i Ta có: A’ = ( - m )2 - 3m2 = - 2m2< 0, vớ i Vm. Khi đ ó, ta xét hai trư ờ ng hợ p: Trư ờ ng hợ p I: Vớ i A’ = 0 <=> - 2m2 = 0 <=> m = 0. Khi đ ó, phư ơ ng trình có nghiệ m kép X = 0. Trư ờ ng hợ p 2: Vớ i á ’ < 0 o - 2m2 < 0 o m ^ 0 , Khi đ ó, phư ơ ng trình vô nghiệ m. Vây, ta đ ư ợ c: •. Vớ i. 0, phư ơ ng trình có nghiệ m kép X = 0.. ), phư ơ ng trình vô nghiệ m.. (1).

(104) 1. Đ iề ukiệ n đ ể phư ơ ng ừ ừ ìlì có hai nghiệ m phân biệbao t, gồ m: ■ Đ iề u kiệ n đ ể phư ơ ng trình là mộphưt ơ ng trình bậ c h a i , tư ơ ng ứ ng VỚ I a * 0 .. gggilpdl. ■ ^. Vẩ d ụ. li. Đ iề u kiệ n đ ể phư ơ ng trình bậ c hai có hai nghiệ m phân " ijiệ t, tư ơ n g ử n g VỚ Ị A > 0 . m ""' ' | j j ị j j u | ị | ị | i g i ^ ^ ^ ^ _. c/ỉ o phư ơ ng trình: X2 —2(m - l)x - m2 - m - 1 = 0. a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 1. b. Tìm m í/ể phư ơ ng trình có nghiệ m.. JÊ% Giả i a. Vớ i m = 1, phư ơ ng trình có dạ ng: x2- 3 = 0 o x 2 = 3 o x = ±V3. Vậ y, vớ i TĨ1= 1 phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X = ±>/3 . b. Đ ể phư ơ ng trình có nghiộ m, đ iể u kiệ n là: A’ > 0 <=> (m —l)2- ( - m2 - m - 1) > 0 <=> 2m2 - m + 2 > 0 <=> 2(m ——)2+ — > 0, luôn đ úng, ọ i m phư ơ ng trình luôn có hai nghiêm phân biệ t..

(105) Nhậ n xét: Trong lờ i giả i củ a ví du trên: 1 ơ. câu a), vớ i m = 1 chúng ta nhậ n đ ư ợ c mộ t phư ơ ng rình t bậ c hai khuyế t b, đ o đ ó chúng ta thự c hiệ n việ c tìm nghiệ m bằ ng phép biế n đ ổ i. tư ơ ng đ ư ơ ng. 2 ơ câu b), chúng ta nhậ n thây rằ ng A' > 0 vớ i mọ i m, do đ ó câu b) còn có thể đ ư ợ c phát biêu dư ớ i dạ ng"Chứ ng minh rằ ng vớ i m ọ i m phư ơ ng trình luôn có hai nghiệ m phân biệ t". 3 Chúng ta có thể chứ ng tỏ đ ư ợ c A' > 0 vớ i mọ i m bằ ngcách biế n đ ổ i: 1 3 A = (m - 1)2+ m 2+ m + 1 = (m - 1)2+ (m + - ) 2+ — > 0, Vm .. Vẩ. d ụ 2:. Cho phư ơ ng trình: mx2 - 2(m + 1)x + m 4-2 = 0. a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 1. b. Chứ ng minh rằ ng vớ i mọ i m phư ơ ng trình luôn có nghiệ m.. js£ Giả i Ta lự a chọ n mộ t trong hai cách trình bày sau: Cách 1: (Thự c hiệ n tuầ n tự ): Ta có: a.. Vớ i m = 1, phư ơ ng trình có dạ ng: X2 - 4x + 3 = 0.. Nhậ n xét rằ ng a + b + c = 1 - 4 + 3 = 0 do đ ó, phư ơ ngrình t có hai nghiệ m X, = 1 và x2 = 3.. Vậ y, vớ i m = 1 phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X, = 1 và x2= 3. b. Ta xét hai trư ờ ng hợ p: Trư ờ ng hợ p ỉ : Vớ i m = 0, phư ơ ng trình có dạ ng: -2 x + 2 = 0 < » x = 1, tứ c là phư ơ ng trình có nghiệ m. Trư ờ ng hợ p 2: Vớ i m * 0, ta có: A’ = (m + 1)2 - m(m + 2) = do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t. Vậ y, vớ i mọ i m phư ơ ng trình luỏ n có nghiệ m. Cách 2: (Sử dụ ng phép đ ánh giá):Nhậ n xét rằ ng:. 1> 0. a + b + c = m - 2(m + l ) + m + 2 = 0 m+2 do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m Xị = 1 và x2 = — ----- . m a. Vớ i m = 1, phư ơ ng trình có hai nghiêm phân biệ t X, = 1 và x2 = 3. b. Ta thây ngay vớ i mọ i m phư ơ ng trình luôn có nghiệ m X = 1.. ^. Nhậ n xét: Như vậ y, trong cách 2 bằ ng việ c đ ánh giá đ ư ợ c: +a b + c = 0 ,. chúng ta đ ã nhậ n đ ư ợ c mộ t lờ i giai rât gọ n..

(106) Vể dụ 3t. Cho phư ơ ng trình: X2 + 2mx + 4m —3 = 0. Tìm m đ ể phư ơ ng trình cố nghiệ m kép và chì ra nghiệ m kép đ ó.. J&> Giàỉ Vớ i phư ơ ng trình, ta có a = 1, b = 2m => b’ = m, c = 4m - 3 suy ra: A’ = m2- 1.(4m - 3) = m2- 4m + 3. Phư ơ ng trình có nghiệ m kép khi và chỉ khi: A’ = 0 o m2- 4m + 3 = 0 <=>m t = 1 hoặ c m = 3. Khi đ ó: ■ ■. Vớ i m = 1, phư ơ ng trình có nghiệ m kép X = —— = -1 . Vớ i m = 3, phư ơ ng trình có nghiệ m kép X =. 3. = -3 .. Nhậ n xét: Trong lờ i giả i củ a ví du trên: 1. Khi thự c hiệ n giả i phư ơ ng trình m2 - 4m + 3 = 0 chúng ta đ ã sử dụ ng tính chấ t a + b + c = 0 đ ê’ nhậ n đ ư ợ c ngay hai nghiệ m m = 1 và m = 3. 2. Khi tìm nghiệ m kép ứ ng vớ i mỗ i giá trị củ a m, chúng ta thay m vào công u. _ ---b’= -m tnứ ' c X=. a Vẩ d ụ 4« Cho ba s ố dư ơ ng a, b, c và phư ơ ng trình: 7 a b c 5 X2 - 2 x ---------------- -------- — + = 0. b+c c+ a a+b 2 Chứ ng minh rằ ng phư ơ ng trình luôn có nghiệ m, từ đ ó xác đ ị nh đ iề u kiệ n cùa a, b, c đ ể phư ơ ng trình có nghiệ m kép. Giả i a — +b—— +c—-----5 a = —b——+ —c—— I-——-—. 3 H— — b+c c+ a a+b 2 b+c c + a a+ b 2 -. rr* A» = 11 Ta có: A. Nhậ n xét rằ ng: a b c a b c — + -r_ + — = (— + l) + ( - ^ - + 1) + ( —-— + 1) - 3 b+c c + a a+b b+c c+a a+b = (a + b + c)(— — + —ì— +— — ) - 3 b+c c+a a+b = ị [ ( a + b) + (b + c) + (c + a)][ J _ + _ L + _ L : ]_3 2 b+c c+ a a+b > - .3ự (a + b)(b + c)(c + a) .3. 2. 9 3 = - - 3 = 2 2. 1 -3 ự (a + b)(b + c)(c + a) (*).

(107) a. + ——. - -r > 0 <=> A ’ > 0.. 3+b 2 b +c c+a Váy, phư ơ ng trình luôn có nghiệ m. Đ é phư ơ ng trình có nghiệ m kép, đ iề kiệu n là: A’ = 0 <=> dấ u đ ẳ ng thứ c xả y ra tạ i (*) a+b=b+c=c+a 1 1 o a = b = c. 1. a +b b +c c +a Vây, vớ i a = b = c phư ơ ng trình có nghiệ m kép X = 1. Vẩ d y Sĩ. C h o p h ư ơ n g tr ìn h :. (m2 - l)x 2 + 2(m + l)x + 1 = 0.. a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 2. b. Tìm giá trị củ a m đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t. c. Tìm giá trị củ a m đ ể phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m. JS< , G i ả i. a. Vớ i m = 2, phư ơ ng trình có dạ ng: 3x2 + 6x + 1 = 0. Ta có: A’ = 32 —3 = 6 => y[Ã = Vó . 3 (ỳ Do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: X, =---- —---- , x2= ----------3. 3. Vậ y, vớ i m = 2 phư ơ ng trình có hai nghiêm phân biệ t: - 3 + Vó - 3 - Vó X| = ------— — , x2 = ------------. 3 3. b. Ta có: A’ = (m + 1)2 - (m2 - 1)= m2 + 2m + 1 - m2 + 1 = 2m + 2. a*0 m * ±1 m 2 - 1* 0 <=> < < => <=> < <=> [A' > 0 m > -1 2m + 2 > 0. 1< m * 1.. Vậ y, vói - 1< m * 1 phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t, c. Ta đ i xét các trư ờ ng hợ p sau: Trư ờ ng hợ p ì : Nế u m2—1= 0 <=> m = ± 1. Khi đ ó: ■ Vớ i m = 1, phư ơ ng trình có dạ ng: o.x2 + 4x + 1 = 0 o X = - — là nghiệ m duy nhấ t. ■. Vớ i m = -1 , phư ơ ng trình có dạ ng: o.x2 + o.x + 1 = 0, vô nghiệ m. Trư ờ ng hợ p 2: Nế u m2- l * 0 < = > m * ± l . Đ iề u kiệ n đ ể phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m là: A’ = 0 o 2m + 2 = 0<=>m = - 1, không thoả mãn đ iề u kiệ n. Vậ y, vợ ị ừ i = 1 phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m duy nhấ t..

(108) ^. Nhậ n xét: Trong lờ i giả i câu b), nế u ta chỉ xét đ iề u kiệ n: A' > 0 <=> 2m + 2 > 0 < = > m > - l thì vớ i m = 1, phư ơ ng trình (1) trở thành phư ơ ng trình bậ c nhấ t: 4x + 1 = 0 <=> X =. 4. .. là nghiêm duy nhấ t.. Vẩ d ụ fií Cho hai phư ơ ng trình: X2 - mx - 2 = 0, X2 - X + 6m = 0.. (1) (2). Tìm giá trị cùa m đ ể phư ơ ng trình(1) và phư ơ ng trình (2) có ít nhấ t mộ t nghiệ m chung. Biế t m là mộ t sô'nguyên. JS$ Giả i Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Giả sử x0 là nghiệ m chung củ a hai phư ơ ng trình. Do đ ó: x02- mx0- 2 = 0 ( ! ’) x02 - x0+ 6m = 0 (2’) Lấ y (1 ’) trừ (2’), ta đ ư ợ c: x0( - m + 1) - 2 - 6m = 0o (1 - m)x0 = 6m + 2. Ta xét hai trư ờ ng hợ p: Trư ờ ng hợ p I: Vớ i l - m = 0<=>m=l . Thay vào (1) và (2), ta đ ư ợ c: (1) <=> X2 - X - 2= 0, có 2 nghiệ m X, = 2 và x2 = - 1. (2) <=> X2 - X + 6 = 0, vô nghiệ m. Suy ra, m = 1 không thoả mãn. Trư ờ ng hợ p 2: Vớ i l - m * 0 < = > m * l , t a đ ư ợ c x0=. +^ 1- m. Thay x0 vào (2’), ta đ ư ợ c phư ơ ng trình ẩ n m: 6m + 2. 6m + 2 + 6m = 0 <=> 6m3 + 30m2 + 26m + 2 = 0 1- m 1- m o 6m3+ 30m2 + 24m + 2m + 2 = 0 <=> m(6m2 + 3Om + 24) + 2(m + 1) = 0 <=> m(m + l)(m + 4) + 2(m + 1) = 0 o (m + l)[m(m + 4) + 2] = 0 m = -1 m +1 = 0 o (m + l)[m2+ 4m + 2] = 0 o <=> m 2 +4m + 2 = 0 m = - 2 ± y f ĩ (loạ i) Thử lạ i, vớ i m = - 1, ta có: (1) <=> X2 + X - 2 = 0, có hai nghiệ m phân biệ t X, = - 2 và x2 = 1. (2) o X2 - X + 6 = 0, có hai nghiệ m phân biệ t x3 = - 2 và x4 = 3. Vậ y, vớ ỉ lh = - 1, hai phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m chung..

(109) Cách 2: Các phư ơ ng trình đ ã cho có nghiệ m chung khi và chỉ khihệ sau có nghiệ m: X2. - mx - 2 = 0. X2 - X + 6 m = 0. Dặ t X2= y, ta đ ư ợ c hệ :. y-m x-2 =0 y - X + 6m = 0. <=>. m x - y = - 2 (1) X. - y = 6m. (2). Xét phư ơ ng trình (2) củ a hệ , ta biế n đ ổ i: y =X - 6m. Thay (3) vào phư ơ ng trình (1), ta đ ư ợ c: mx - X + 6m = - 2 <=> (m - 1)x = -6m - 2. Trư ờ ng hợ p 1: Vớ i m - 1 = 0 o m = 1. X - y = -2 Khi đ ó, hê (I) có dang: , vô nghiệ m. [x - y = 6 Suy ra, m = 1 không thoả mãn. 6m + 2 Trư ờ ng hợ p 2: Vớ i l - m * 0 < = > m * l , t a đ ư ợ cX = 1- m 6m + 2 . Tnay X = — —— vào (3), ta đ ư ơ c: 1- m 6m + 2 6m + 2 - 6m(l - m) 6m 2 + 2 y = ——------ 6m = --------------------------------— ----- = — 1- m 1- m 1- m Do X2= y, nên ta phả i có:. (I). (3). 6m2 " - 2+ 2 <=> 3m5 + 15m2 + 13m + 1 = 0 1- m o (m + l)(3m2 + 12m + l) = 0 o m + 1 = 0<=>m = -1. Vậ y, vớ i m = -1 hai phư ơ ng trình có nghiệ m chung là X = 1. Vẩ d ụ 2 t Chứ ng minh ràng: a. Nghiệ m củ a phư ơ ng trình ax2 + bx + c = 0 cũ ng là nghiệ m củ a phư ơ ng trình -a x 2 - bx - c = 0. b. Hai phư ơ ng trình ax2+ bx + c = 0 và phư ơ ng trình ax2—bx + c = 0 cùng có nghiệ m hoặ c cùng vô nghiệ m. / 6m + 2 Ny2 1- m. JBỈ> Giả i *<-!) a. Nhậ n xét rằ ng: ax + bx + c = 0 o -ax 2 - bx - c = 0 do đ ó, nghiêm củ a phư ơ ng trình ax2 + bx + c = 0 cũ ng àl nghiệ m củ a phư ơ ng trình - a x 2—bx —c = 0. b. Nhậ n xét rằ ng, hai phư ơ ng trình: ax2 + bx + c = 0 và ax2- bx + c = 0 cùng có biệ t số : A = b2 —4ac. hư ơ ng trình cùng có nghiêm hoặ c cùng vô nghiêm..

(110) Vấ d ụ 81 Cho hai phư ơ ng trình: X2+ ax + b = 0 (1) x2+cx + d = 0. (2) Biế t rằ ng ac > 2(b + d). Chứ ng minh lằ ng ít nhấ t mộ t trong lun phư ơ ng trình có nghiệ m. J&> Giả i Gọ i A(1), A(2) theo thứ tự là biệ t số củ a phư ơ ng trình (1) và (2), ta có: A(l) = a2 - 4b; A(2) = c2 - 4d. Nhậ n xét rằ ng: A(1)+ A(2)= a2 - 4b + c2 - 4d = (a2+ c2) - 4(b + d) > 2ac - 4(b + d) > 4(b + d) - 4(b + d) = 0. o A(t)+ A(2)> 0 o ít nhấ t mộ t trong hai A(I),A(2) không âm <=> ít nhấ t mộ t trong hai phư ơ ng trình có nghiêm, đ pcm. Nhậ n xét: Trong lờ i giả i củ a ví dụ trên, chúng ta đ ã sử dụ ng kế quả t :. A + B > 0 <=>tồ n tạ i mộ t số không âm. Ngoài ra, chúng ta còn có:. 1.. A + B < 0 <=>tồ n tạ i mộ t số âm. Kế t quả này đ ư ợ c sử dụ ng đ ể chứ ng minh"ít nhâ't m ộ t trong hai phư ơ ng trinh vô nghiệ m. 2. A.B < 0 o hai số trái dâu. Kế t quả này đ ư ợ c sử dụ ng đ ể chứ ng minh"Chỉ có m ộ t trong hai phư ơ ng ừ ùìh có nghiệ m 3. A.B > 0 o hai số cùng dấ u. Kế t quả này đ ư ợ c sử dụ ng đ ể chứ ng minh "Hoặ c cả hai phư ơ ng trình đ ề u có hai nghiệ m phân biệ t hoặ c chúng cùng vô nghiệm VỂ d ụ 9 i Chứ ng minh rằ ng ít nhấ t mộ t trong hai phư ơ ng trình sau có hai nghiệ m phân biệ t: X2+ 2mx + 3 = 0. (1). x2+3x + 2m = 0.. (2). Jg$ Giả i Gọ i A(I), A(2) theo thứ tự là biệ t số củ a phư ơ ng trình (1) và (2), ta có: A(l) = m2 - 3, A(2) = 9 - 2m. Nhậ n xét rằ ng: A(I)+ A(2)= m2 - 3 + 9 - 2m = m2 - 2m + 6 = (m - l)2 + 5 > 0. A(2) > 0 <=> ít nhấ t mộ t trong hai A(I),A(2) dư ơ ng mộ t trong hai phư ơ ng trình có hai nghiêm phân biệ t..

(111) l i dụ 10ĩ ChíntỊ Ị minh rằ ng ít nhấ t mộ t trong hai phư ơ ng trình sau vô nghiệ m: x2+ 2x - 6m = 0 (1) x2+ 4 x + m 2+ 15 =0. (2) Giả i Gọ i A(]), A(2) theo thứ tự là biệ t số củ a phư ơ ng trình (1) và (2), ta có: A(l)= 1 + 6 m , A(2)= 4 - m2- 15 = - m 2 - 11. Nhậ n xét rằ ng: A,n+ ầ ữ >= 1 + 6m -m 2—11= -{m2- 6m + 9) - 1 = —(in - 3)2- 1 <0. <=> A(1)+ A(2) < 0 o ít nhấ t mộ t trong hai A(I),A(2) âm <=> ít nhấ t mộ t trong hai phư ơ ng trình vô nghiệ m. Vấ n đ ể 3: NGHIỆ M NGUYÊN VÀ NGHIỆ M HỮ U TỈ CỦ A PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C HAI Phư ơ ng pháp. Vớ i a, b, c là các số nguyên, xét phư ơ ng trình: ax2+ bx + c = 0. (1) vớ i yêu cầ u tìm đ iề u kiệ n đ ê phư ơ ng trình (1) có nghiệ m nguyên ha} nghiệ m hữ u tỷ . Khi đ ó ta sử dụ ng kế t quả củ a hai đ ị nh lý sau: Đ ị nh lý 1:Đ iề ukiệ n cầ n và đ ủ đ ể phư ơ ng trình (1) có nghiệ m hữ u tỷ là biệ t sc A là mộ t sỏ chính phư ơ ng. Đ ị nh lý 2:Nế u x0= — vớ i (p, q)=l là nghiệ m hữ u tỷ củ a (1) thì q là ư ớ c củ a a vỉ q p là ư ớ c củ a c.. vẩ d ụ. 1« Tìm các s ố nguyên a đ ể phư ơ ng trình :X2 - (3 + 2a)x + 40 - a = 0 có nghiệ m nguyên.. JẾ Ổ Giả i Phư ơ ng trình có nghiệ m nguyên khi A =4a2+ lóa - 151 là số chính phư ơ ng, tứ c là: 4a2+ l ó a - 151 = k 2v ớ i k e Z » ( 2 a + 4)2- k 2= 167vớ ik 6 z. «■ (2a + 4 + k)(2a + 4 - k) = 167 vớ i k e z. Í2a + 4 + k = 1 Vì 167 là sô nguyên tố , nên:. 2a + 4 - k = 167 2a + 4 + k = -1. ■. 2a + 4 - k = -167. (I). (II). Xét hệ (I), suy ra: 4a + 8 = 168 <=> a = 40 Vớ i a = 40, phư ơ ng trình có dạ ng: 83x = 0 <=>. X= 0 X = 83. , là các nghiệ m nguyên..

(112) ■. Xét hệ (II), suy ra: 4a + 8 = -168 <=> a = -44 Vớ i a = -44, phư ơ ng trình có dạ ng: X= 1 X2 - 85x + 84 = 0 => , là các nghiêm nguyên. X = 84. Vậ y, tồ n tạ i hai giá trị a = 40 và a = -4 4 đ ể phư ơ ng trình cónghiệ m nguyên. Vẩ ẩ f 2t Chứ ng minh rằ ng nế u phư ơ ng trình: X2+ ax + b = 0. vớ i a, b là các sở ' nguyên, có các nghiệ m hữ u tỷ , thì các nghiêm đ ó là nhữ ng số nguyên. Giãi , , . , -a±V a2-4b Nghiệ m củ a phư ơ ng trình đ ã cho là: Xị2= ------- ----------- . Do các nghiêm là hữ u tỷ nên a2- 4b phả i là số chính phư ơ ng, tứ c là: a2- 4 b = k \ k e z . Xét hai khả nă ng xả y ra đ ố i vói a a. Giả sử a là số lẻ , khi đ ó từ (1) suy ra k lẻ . b. Giả sử a là số chẵ n, khi đ ó từ (1) suy ra k chẵ n. Vậ y a, k cùng tính chẩ n , lẻ . Suy ra - a ± Va2 - 4 b là mộ t số chẵ n, tứ c Xị 2là nhữ ng số nguyên.. c . BÀI TẬ • P LƯ YÊN TẬ • P • Bài 1: a. b. Bàỉ 2:. Giả i các phư ơ ng trình sau: 4x2- 6x + 7 = 0. 9x2- 6x + 26 = 0. Giả i các phư ơ ng trình sau:. a. X - —X- — = 0 2 2 b. —X2 - — X - 1 = 0 . 3 2 Bài 3: Giả i các phư ơ ng trình sau: a. X2- (2 + yỈ 2)x + 2 y / ĩ = 0. b. Bài 4: a. b. Bài 5: a. b.. X2 +. c. X2+ 4x - 12 = 0. d. x2+ 8 x - 10= 0. c. 5x2-. X+ — = 0. 49 2 X 2+ -X 1 +— 1 = 0. d. — 5 3 15 c. d.. V2 x2- 5 x + 3V2 = 0. V6 x2+2C2x/3 +3 V ĩ )x+24. - = -—T= X + \Ỉ 6 = 0. V3 - V 2 Giả i và biệ n luân các phư ơ ng trình sau: X2 + 4x - 3m = 0. c. X2+ 2mx - 4 = 0 . X2 - 4x + 4 - m2 = 0. d. X2 - (m - 2)x + m2= 0. Cho phư ơ ng trình: X2 —3mx -- 6m2= 0. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 1. Tìmdivaể phư ơ ng trình vô nghiêm.. (1).

(113) Bài 6: Cho phư ơ ng trình: 5x2 + 2mx - 3m = 0. a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 1. b. Tìm m đ ể phư ơ ng trình có nghiệ m kép. Bài 7: Cho phư ơ ng trình: X2 + 3x - (m2 - 2m + 1) = 0. a. Giả i phư ư ng trinh vớ i m = 1. b. Tìm m đ ể phư ơ ng trình có hainghiộ m phân biệ t. Bài 8: Cho phư ơ ng trình: X2 - (m - 1)x - m2+ m - 1 =0. a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 3. b. Tìm m đ ế phư ơ ng trình có hainghiệ m phân biệ t. Bàỉ 9: Cho phư ơ ng trình: mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0. a. Tim m đ ể phư ơ ng trình có nghiệ m. b. Tìm m đ ể phư ơ ng trình có hainghiệ m phân biệ t. Bài 10: Cho phư ơ ng trình: mx2 + (m + l)x - 2m = 0. a.. Giả i phư ơ ng trình vớ i m =. .. b. Tìm giá trị cùa m đ ể phư ơ ng trình có nghiêm. Bài 11: Tim giá trị củ a m đ ê các phư ơ ng trinh sau có nghiệ m kép:. a. mx2 - 2x + 6m = 0. b.. m 2x 2 + lOx 4 - 1 = 0 .. Bài 12: Tìm giá trị củ a m đ ể các phư ơ ng trình sau vô nghiêm: a. mx2 + 2(m - 3)x + m = 0. b. (m —2)x2 - 2(m - 2)x - m = 0. Bàỉ 13: Cho phư ơ ng trình: mx2- (m + l)x + 1 = 0. a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 89. b. Chứ ng minh rằ ng vớ i mọ i m phư ơ ng trình luôn có nghiêm. Bàỉ 14: Cho phư ơ ng trình: mx2 - (3m + l)x + 3 = 0. a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 2. b. Chứ ng minh rằ ng vớ i mọ i m phư ơ ng trình luôn có nghiệ m.. Bài 15: Cho phư ơ ng trình: mx2+ 2(m - l)x - 2 = 0. a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m =. \Í3. b. Tìm m đ ể phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m. Bài 16: Chứ ng minh rằ ng vớ i mọ i m phư ơ ng trình sau luôn có nghiộ m: mx2 - (3m + 1)x + 2m + 2 = 0. Bài 17: Chứ ng minh rằ ng vớ i mọ i m phư ơ ng trình sau luôn có nghiệ m: m(m - l)x2 - (2m - 1)x + 1 = 0. di. b. b. a. Bài 18: Cho hai số dư ơ ng a, b và phư ơ ng trình: X2 - 2x - — - — + 3 = 0. Chứ ng minh rằ ng phư ơ ng trình luôn có nghiêm, từ đ ó xác đ ị nh đ iề u kiệcủ na a, b đ ể phư ơ ng trình có nghiệ m kép.. Bài 19: Cho a, b, c là đ ộ dài ba cạ nh củ a tam giác.Chứ ng minh rằ ng phư ơ ng trình: ^. X2 - 2x - ab(a + b - 2c) - bc(b + c - 2a) - ca(c + a - 2b) + 1 = 0. cổ nghiệ m. Khi đ ó tìm đ iề u kiệ n cùa a, b, c đ ể phư ng ơ trình có nghiệ m kép..

(114) Bàỉ 20: Giả sử a, b, c là ba cạ nh củ a mộ t tam giác. Chứ ng minh rằ ng phư ơ ng trình: b2x2+ (b2+ c2- a2)x + c2= 0 vô nghiệ m. Bài 21: Cho hai phư ơ ng trình: X2 - mx + 2 = 0; X2- 4x + m = 0 Tìm m đ ể hai phư ơ ng trình trén có ít nhấ t mộ t nghiê m chung. Bài 22: Cho hai phư ơ ng trình: x2+ X+ a = 0 và x2+ ax + 1 = 0. a. Vớ i giá trị nào củ a a thì hai phư ơ ng trình có nghiệ m chung. b. Vói giá trị nào củ a a thì hai phư ơ ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng. Bài 23: Tìm các số nguyên a đ ể phư ơ ng tình X2- 3ax+ 3 - a = 0 có nghiệ m nguyên. Bài 24: Tim các số nguyên a đ ể phư ơ ng trình: ax2-(a + 3)x + a + 2 = 0 có nghiệ m nguyên. Bài 25: Tìm các sô' nguyên a đ ể phư ơ ng trình (a + )x2 l - 3(a + l)x + 4a = 0 có nghiệ m nguyên.. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP SỐ Bài 1: a. Vô nghiệ m. c. X, = 2 và x2= -6.. b. Vô nghiệ m. d. X, = -4 + %/Ĩ 6 và x2 = -4 - \Ỉ 26. Bài 2: a. X|= 1 vàx2= - —. 2. b. X| = 2 và x2= — . 2. 1. c. x, = x2= ỳ .. d. x '=. Bài 3: a. X, = 2 và x2= \Ỉ 2 . c. X,= V2 và x2 = -y=.. 1 . 1 2 v à x 2= _ j -. b. Xị = - y / ĩ và x2= - \Ỉ 2 . d. x, = -2-v/3 và x2= - 2 72 .. V2. Bài 4: a. Ta có: A’ = 4 + 3m. Khi đ ó, ta xét ba trư ờ ng hợ p: 4 Trư ờ ng hợ p l : Vói A’ > 0 o 4 + 3 m > 0 o m > —-. 3 Khi đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: X| = - 2 + V4 + 3m và x2= -2 - V4 + 3m . 4 Trư ờ ng hợ p 2: Vớ i A’ = 0 o 4 + 3m = 0 o m = . 3 Khi đ ó, phư ơ ng trình có nghiệ m képX = -2. 4 Trư ờ ng hợ p 3: Vớ i A’ < 0 o 4 + 3 m < 0 o m < —-.. ■. Khi đ ó, phư ơ ng trình vồ nghiệ m. Vậ y: 4. Vớ i m > —-, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t:. X| = -2 + V4 + 3m và x2= -2 - sj4 + 3m ..

(115) ■. Vớ i tm =. , phư ơ ng trình có nghiêm kép X= -2. 4. ■. Vớ i m < - —, phư ơ ng trình vô nghiêm.. b. Ta có: À’ = 4 - (4 - m2) = m2> 0, vớ i Vm. Khi đ ,óta xét haitrư ờ ng hợ p: : Vớ i A ' = 0 o m2 = 0 <=> m = 0. Khi đ ó, phư ơ ng trình có nghiộ m kép X = 2. ờ n g h ợ p 2 : Vớ i A’ > 0 o m2 > 0 <=> m * 0. Khi đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: X| = 2 + m vàx2 = 2 - m. Vậ y: ■ Vớ i m = 0, phư ơ ng trình có nghiệ m kép X = 2. ■ Vớ i m *■ 0, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: X|= 2 + m và Xị = 2 - m.. T r ư ờ n g h<rp l. T rư. c. Ta có:/Y = m2+ 4 > 0, vớ i Vm. I)o đ ó, phư ơ ng trình luôn có hai nghiệ m phân biộ t: X, = -m + Vm2 +4 và x2= -m - \lm2 +4 . d. Tư ơ ng tự câu a).. Bài 5: a.. Vớ i m = 1, phư ơ ng trình có dạ ng: X2 - 3x - 6 = 0.. Ta có: A = 32+ 6 = 15 => VÃ = VĨ 5 . Do đ ó, phư ơ ng trình có hai ng hiệ m phân biêt: Xi = - —. , x2 = - ——— .. Vậ y, vớ ri m = 1 phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ tiX! = ^ +. , x2 =. 2. - —. b. Đ ể phữ íơ ng trình vô nghiệ m, đ iề u kiệ n là: A c 0<=> 9m2+ 6m2 < 0 « 1 5 m 2<0, vô nghiệ m. Vậ y, khiông tồ n tạ i m đ ể phư ơ ng trình vô nghiêm. Bài 6: a. Vớ i m = 1, phư ơ ng trình có dạ ng: 5x2+ 2x - 3 = 0. Ta có: a t - b + c = 5 —2 —3 = 0 3. do đ ó, phuomg trình có hai nghiệ m phân biệ t X| = —1 và x2 = —.. 3. Vậ y, vớ ii ni = 1 phuơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X| = -1 và x2= —.. b. Đ ể phơ íơ ng trình có nghiệ m kép, đ iề u kiộ n là: A’ = 0 <=>m2+ 15m = 0 o m ( m + 15) = 0 <=>m = 0 hoặ c m = -15.. Vậ y, vóri in = 0 hoặ c m = -15 phư ơ ng trình có nghiệ m kép. Bài 7: a.. Vớ i m = 1. phuơ ng trình có dạ ng: X2+ 3x = 0 o x(x + 3) = 0 o X= 0 hoặ c X= -3. Vậ y, vớ ri ni = 1 phư ơ ng trình có hai nghiêm phân biệ t X| = 0 và x2= -3.. b. Đ ể phurơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t, đ iể uiệ nk là: A >»c% 9 + m2- 2m + 1 > 0 o (m - 1)2+ 9 > 0, luôn đ úng. V| tnọ i m phư ơ ng trình luôn có hai nghiệ m phân biộ t.. 2. ..

(116) Bài 8: a. Vớ i m = 3, phư ơ ng trình có dạ ng: X 2 - 2x - 7 = 0. Ta có A’ = 12+ 7 = 8 => VÃ = 2 y/ĩ . Do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: X| = 1 + 2 n / 2 , x 2= 1 - 2 \ / 2 . Vậ y, vớ i m = 3 phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: X| = 1+2 ' l ĩ , x2= 1 -2\Ỉ 2 . b. Đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t, đ iể u kiệlà:n A > 0 o ( m - l ) 2+ m2- m+l >0<=>( m-l ) 2+ í m - —1 + — >0, luôn đ úng. V. 2J. 4. Vậ y, vớ i mọ i m phư ơ ng trình luôn có hai nghiệ m phân biệ t. Bài 9: a. Xét hai trư ờ ng hợ p: 3 Trư ờ ng hơ p 1: Vớ i m = 0, khi đ ó phư ơ ng trình có dang:4 x - 3 = O o x = —. 4 Vậ y, m = 0 thoả mãn đ iề u kiệ n có nghiệ m. Trư ở ng hợ p 2: Vớ i m * 0, khi đ ó đ ể phư ơ ng trình có nghiệ m đ iề iệ unklà: A’ ầ . 0 o (m - 2)2- m(m - 3 ) £ 0 o 4 - m > 0 o m < 4 . Vậ y, vớ i m í 4 phư ơ ng trình có nghiệ m. b. Đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t, đ iể u kiệlà:n a*0. ím*0. <=>m<4. 4 - m >0 Vậ y, vớ i m < 4 phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biộ t. Bài 10: o. A '> 0. a. Vớ i m = —- , phư ơ ng trình có dạ ng: - —X2 + (—- + l)x - 2(—- ) = 0 <=> X2 - X -2 = 0 o X| = -1 và x2 = 2.. 2. 2. 2. Vậ y, vớ i m = —— phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t Xị = -1 và x2= 2.. 2 b. Xét hai trư ờ ng hợ p: Trư ờ ng hợ p J: Vớ i m = 0, khi đ ó phư ơ ng trình có dạ ngX = 0. Vậ y, m = 0 thoả mãn đ iể u kiệ n có nghiệ m. Trư ờ ng hợ p 2: Vớ i m * 0, khi đ ó đ ể phư ơ ng trình có nghiệ m đ iề u kiệ n là: A ^ 0 o (m + l)2 + 2m2 ầ . 0, luôn đ úng. Vậ y, vớ i mọ i m phư ơ ng trình luôn có nghiệ m. Bài l i: a. Phư ơ ng trình có nghiệ m kép, đ iề u kiộ n là: m *■ 0 1 a*0 <=> o m =± A' = 0 1- 6 m = 0 V6 Vây, v ớ i^ = ± -Ị = phư omg trình có nghiệ m kép. v6.

(117) (a * 0 <. [m2 * 0 <=><. [A' = 0. [25 - m2 = 0. ». m = ± 5.. Vậ ỵ >vớ i m = ± 5 phư ơ ng trình có nghiêm kép. Bài 12: a. Xét hai trư ờ ng hợ p: T r ư ờ n g h ợ p 1 : Vớ i m = 0, khi đ ó phư ơ ng trình có dạ ng: - 6x = 0 o X = Vậ y, m = 0 không thoả mãn đ iéu kiộ n vô nghiêm.. Trư ờ ng ìurp 2: Vớ. i m * 0, khi đ ó đ ể phư ơ ng trình vố nghiệ m đ iề u kiệ n là:. A’ < 0 o (m - 3)2 - m2 < 0 <=> 9 - 6m < 0 <=> m > —. 2. 3 Vậ y, vớ i m > — phư ơ ng trình vô nghiệ m. b. Xét hai trư ờ ng hợ p: T r ư ờ n g h ợ p l \ Vớ i m - 2 = 0 o m = 2. Khi đ ó phư ơ ng trình có dạ ng: - 2 = 0 , mâu thuẫ n. Vậ y, m = 2 thoả mãn đ iề u kiệ n vô nghiệ m. T r ư ờ n g h ợ p 2 : Vớ i m * 2, khi đ ó đ ể phư ơ ng trình vô nghiệ m đ iề u kiệ :n là A’ < 0 o (m - 2)2 + m(m - 2) < 0 <=> (m - 2)(m - 2 + m) < 0 <=> ( m - 2 ) ( 2 m - 2 ) < 0 < = > l < m < 2 .. Vậ y, vớ i 1 < m < 2 phư ơ ng trình vô nghiệ m. Bài 13: Nhậ n xét rằ ng: a + b + c = m - m - l + l - 0 d o đ ó , p h ư ơ n g t r ì n h l u ô n c ó h a i n g h i ệ m Xj = 1 v à x 2 = — .. m. a.. Vớ i m = 2, phư ơ ng trình có nghiệ m X, = 1 và x2 = —.. b. Ta thấ y ngay, vớ i mọ i m phư ơ ng trình luôn có nghiêm X = 1. Bài 14:. a. Vớ i m = 2, phư ơ ng trình có dạ ng: 2x2- 7x + 3 = 0. Ta có: A = (-7)2- 4.2.3 = 25 => VÃ = 5. 7 -5. 1. I)o đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: X, = ----- = —, x2= Vậ y, vớ i m = 2 phư ơ ng trình có hai nghiêm phân biệ t Xị = —, x 2 = 3.. 2. b. Ta xét hai trư ờ ng hợ p: T r ư ờ n g h ợ p I : Vớ i m = 0, khi đ ó phư ơ ng trình có dạ ng: -X + 3 = 0 o. X = 3 , tứ c l à p h ư ơ n g t r ì n h c ó n g h i ệ m .. Vớ i m * 0. Ta xét: A = (3m + l)2 - 12m = (3m - 1)2>0, vớ i mọ i m * 0. T rư ờ n g h ợ p 2:. o. p h ư ơ n g tr ìn h lu ô n có n g h iê m .. Vâv. vqắ frỉ ọ i m phư ơ ng trình luôn có nghiêm. ề.

(118) Bài 15: a.. Vớ i. m =. \Í3 ,. phư ơ ng trình có dạ ng:. \fĩ. X2+ 2( \ ỉ ĩ. - l)x —2 = 0.. Ta có: A’ = (V3 - \ ý + 2 y f ĩ =4=> TÃ =2. Do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t: 1-73-2 -V ã -l -V 3+ 2_/r x , = ---- -7 =— = r , x2 =_ l---7 =— =V3 -. 1.. Vậ y, vớ i m = V3 phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X, =. ,. -7 3 -1. b. Xét hai trư ờ ng hợ p củ a m. Trư ờ ng hợ p 1. Vớ i m = 0 (1 )0 -2 X -2 = 0 0 x = - l . Trư ờ ng hợ p 2. Vớ i m * 0. Phư ơ ng trình (1) có nghiệ m duy nhấ t <=>A' = 0 <=>(m —1)2+ 2m = 0 o m2+ 1 = 0 vô nghiệ m. Vậ y, vớ i m = 0 phư ơ ng trình có nghệ m duy nhấ t. Bài 16: Họ c sinh tự làm. Bài 17: Họ c sinh tự làm. Bài 18: Ta có: A’ = 1 + - + - - 3 = - + - - 2. b a b a Nhậ n xét rằ ng: b. a. Vb a. (*). o - + - - 2 ^ 0 o A’ ^0. b a Vậ y, phư ơ ng trình luôn có nghiệ m. Đ ể phư ơ ng trình có nghiệ m kép, đ iể u kiệ n là: A’ = 0 o dấ u đ ẳ ng thứ c xả y ra tạ i (*) â. b. <=> — = — o a2= b2<=>a = b, vì a, b dư ơ ng, b a Vậ y, vớ i a = b phư ơ ng trình có nghiệ m kép X = 1. Bài 19: Ta có: A’ =1 + ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ca(c + a - 2b) - 1 = ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ca(c + ). Ta đ i chứ ng minh A’ ỉ 0 o ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ca(c + a - 2b) 2:0 a + b -2 c b + c -2 a c + a -2 b o ------ + ----- ------ + — -- ----- > 0 c a b a b b c c a . o - +- +- + — £6. c a a b b. (*).

(119) a b b c c a c c a a b b. Vậ y, phư ơ ng trình luôn có nghiệ m.. Đ ể phư ơ ng trình có nghiệ m kép, đ iề u kiệ n là: o dấ u đ ẳ ng thứ c xả y rata i (*) — = — = — =— = — = — <=> a = b = c. c c a a b b Vậ y, vớ i a = b = c phư ơ ng trình có nghiệ m kép X = 1.. Bài 20: Ta có: A= (b2+ c2- a2)2- 4b2c2= (b2+ c2- a2- 2bc)(b2+ c2- a2- 2bc) c = [(b - c)2 - a 2] [ ( b + c)2 - a2] = (b - c - a) ( b - c + a) ( b + c - a)(b + c + a). b -c -a <0 b - c + a >0 Vì a, b, c là đ ộ dài ba cạ nh củ a mộ t tam giác nên: b + c - a >0 b+c+a >0 do đ ó A < 0, tứ c là phư ơ ng trình vô nghiệ m. Bài 21 : Kí hiộ u hai phư ơ ng trình theo thứ tự là (1) và (2). Già àr x0 là nghiệ m chung củ a hai phư ơ ng trình. Do đ í: J02 - mx0+ 2 = 0 í02 - 4x0+ m = 0. 0 ’) (2 ’). Lây d ’) trừ (2’), ta đ ư ợ c: x0(- m + 4) + 2 - m = 0<=>(m- 4)x0 = 2 - m. Ta xet hai trư ờ ng hợ p: Trư ờ ng bợ p 1: Vớ i m - 4 = 0 o m = 4. Thay m = 4 vào (1) và (2), ta đ ư ợ c: (1) <=> X2 - 4x + 2 = 0, có 2 nghiêm X| = l . - y Ị Ĩ (2) o X2 - 4x + 4 = 0, có nghiệ m kép X = 2.. và x2 = 2 + \ í ĩ .. Suy la, m = 4 không thoả mãn.. Triàmg ị ợ p 2: Vớ i m - 4 * 0 o m * 4 , ta đ ư ợ c x0= ^ m m- 4. 'ĩ h.a) x0 vào (1), ta đ ư ợ c phư cmg trình ẩ n m: Ọ _„ 2 - m \2 - m. ---- -- + 2 = 0 « m3- 3m2 - 12m + 36 = 0 m -4. m- 4. o (tn - 3)(m2 -12) = 0 <=>. m -3 -0 m2-12 = 0. <=>. m=3 m = ±2\fĩ. Thiử ặ i: ■ \ớ i m = 3, ta có: (1) <=> X2 - 3x + 2 = 0, có hai nghiệ m X| = 1 và x2= 2. (2) o X2 - 4x + 3 = 0, có hai nghiệ m x3= 1 và x4 = 3. / ậ ỵ , vớ i m = 3, hai phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m chung X = 1..

(120) ■. Vớ i m = 2 73 , ta có: (1) o. X2 - 2 \Í3 X + 2 = 0, có hai nghiệ m X, 2 = 7 3 ± I.. (2) <=> X2 - 4x + 2 y / ĩ = 0, có hai nghiệ m:. x3= 2 - ( -v/3 - 1) = 3 - n/3 x4= 2 + ( 7 3 - 1)= 1 + 7 3 . Vậ y, vớ i m = 2 73 , hai phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m chung X = > /3 + 1 .. ■. Vớ im = -2>/3 , ta có: (1) o X2 + 2 V 3 X + 2 = 0, có hai nghiệ m X| 2. = - \ f ĩ ±1.. (2) o X 2- 4x - 2 >/3 =0, có hai nghiêm: Xj = 2 - ( V 3. + 1)= 1 -. 73. x4= 2 + (V3 + 1) = 3 + 73 .. Vậ y, vớ i m = 2 V3 , hai phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m chung X = 1 Vậ y, vớ i m = 3 hoặ c m = ±2 \Ỉ 3 hai phư ơ ng trình có nghiêm chung. Bài 22: Kí hiệ u hai phư ơ ng trình theo thứ tự là (1) và (2). a. Giả sử hai phư ơ ng trình cố nghiệ m chung x0, khi đ ó: xồ + x0+ a = 0 xổ + aXo+ 1 = 0 Lây (3)—(4), ta đ ư ợ c: (1 - a)(x0 - 1) = 0 o a = 1 ohặ c x0= 1. ■ Vớ i a= 1, ta thấ y: (1) o X2 + X + 1 = 0, vô nghiệ m. (2) <=> X2 + X + 1 = 0, vô nghiệ m.. Vậ y a = 1 khổ ng thoả mãn. ■ Vói Xo= 1, thay vào (3) đ ư ợ c: l + l + a = 0 o a = -2. Thử lạ i, vớ i a = -2, ta đ ư ợ c: (1) o X2 + X - 2 = 0, có hai nghiệ m XI = 1 và x2 = -2 . (2) <=> X 2 -2 x + 1 = 0, có nghiệ m kép X = 1.. Tứ c là, hai phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m chung là x=l. Vậ y, vớ i a = -2 thoả mãn đ iẻ u kiệ n đ ầ u bài. b. Hai phư ơ ng bình tư ơ ng đ ư ơ ng nế u xả y ra mộ t tronghai khả nă ng sau: Khá nă ng 1:Mọ i nghiệ m củ a (1) đ ề u là nghiệ m củ a (2) và ngư ợ clạ i. Khá nâng 2: Hai phư ơ ng trình (1) và (2) đ ể u vô nghiêm. Theo kế t quả câu a) khả nă ng thứ nhấ t không thể xả yra. Vậ y, chì có thể là hai phư ơ ng trình đ ể u vô nghiêm,tứ c là: A(l) < 0 1 - 4a < 0 1 <=> <=> - < a < 2. 6 (2)<0 a -4 < 0 4 Vậ y, vớ i — < a < 2 hai phư ơ ng trình đ ã cho tuơ ng đơ ng. ư. \Ỉ 3. .. (3) (4).

(121) HỆ. TH Ứ C VIÉT V À C Á C Ứ N G D Ụ N G A. TÓM TẮ T LÍ T H U Y Ế T. Níu pphư u u vơ / lng l ộ trình: UU IU . ax2+ UA I bx + c = 0, vớ i a * 0 '.ĩ iỉ ' -V’ c , s = X,, + xs Xj = — - a— có há nghiệ m X, và x2 thì: p=x ■ ' . i_________________ Ề - r• ____________. B.. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN. Vân n 1: NHẨ M NGHIỆ M CỦ A PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C HAI Phư ơ ìg pháp. Đ è thự c hiệ n việ c nhâm nghiệ m (nế u có thê) cho phư ơ ng trình: X2+ bx + c = 0. ta thíc hiệ n theo các bư ớ c: Bíớ c 1: Thiế t lậ p hệ thứ c Viét cho các nghiệ m Xj và x2:<x' + *2 _ [x,.x2 = c Biớ c 2: Thự c hiệ n phép phân tích c thành tích củ a hai thừ a số , c = m.n.. Vớ i mỗ i cặ p thừ a số phân tích đ ư ợ c, ta tính ngay m + n, khi đ ó: a. Nế u m + n = -b, chuyên sang bư ớ c 3. b. Nế u m + n * -b, thự c hiệ n lạ i bư ớ c 2. Biíớ c 3: Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m là X, = m và x2 = n. ^ Chú ý: 1. Thuậ t toán trên có tính đ ừ ngvà đ ư ợ c hiể u như sau: ■ Nế u tìm đ ư ợ c mộ t cặ p (m, n) thoả mãn đ iề u kiệ n m n+ = -b thì dừ ng lạ i phép thử và đ ư a ra lờ i kế t luậ n. ■ Nế u các cặ p (m, n) đ ề u không thoả mãn thì dừ ng và toong trư ờ ng hợ p này đ ư ợ c hiể u là không nhẩ m đ ư ợ c nghiệ m. 2. Chúng ta đ ã biế t hai trư ờ ng hợ p đ ặ c biệ t củ a phư ơ ng trình ax2+xb+ c = 0 là: ■. Nế u a + b + c = 0 thì phư ơ ng trinh có nghiệ m X, = 1 và x2 = —. a. ■. Nế u a - b + c = 0 thì phư ơ ng trình có nghiệ m X, = -1 và x2= - —. a Vấ dy l ĩ (Bài 26/tr 53 —Sgk): DùniỊ đ iề u kiệ na + b + c = 0 hoặ c a - b + c = 0 dê tính nhẩ m nghiệ m củ a mỗ i phư ơ ng trình sau: í .. ; c. 35 x 2 - 3 7 x + 2 = 0. X2 x - 49x - 50 = 0.. HĐ S9-T2. b. 7x2 + 500x - 507 = 0. d. 4321x2 + 2 1 x - 4300 = 0..

(122) J&> Giài a. Ta có 3 5 - 3 7 + 2 = 0. 2 Theo hộ thứ c Viét, phư ơ ng trình có nghiêm là X! = 1 và x2 = — . 35 b. Ta có: 7 + 500 - 507 = 0.. Theo hệ thứ c Viét, phư ơ ng trình có nghiệ m là X) = 1 và x2 =. .. c. Ta có 1 - (-49) - 50 = 0. Theo hộ thứ c Viét, phư ơ ng trình có nghiệ m là X) = -1 và x2 = - —^. = 50.. d. Ta có 4321 - 2 1 +(-4300) = 0 Theo hệ thứ c Viét, phư ơ ng trình có nghiêm là X, = -1 và x2= Vẩ. d ụ 2i. =. (Bài 26/tr 53 —Sgk): Tính nhẩ m nghiệ m củ a các phư ơ ng trình: a. l,5x2 - l,6x + 0,1 = 0. b. V3 X2 - (1 - V ã ) x - 1 = 0. c. ( 2 - V3)x2 + 2 V 3 x - ( 2 + V 3 ) = 0. d. (m - l)x2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0, vớ i m *1.. JS$ Giả i a. Ta có 1,5+ (-1 ,6 )+ 0,1 = 0. Do đ ó, phư ơ ng trình có nghiộ m x = l v à x = — = — . b.. Ta có s. - [ - ( 1 - V ã )] + ( - ! ) = 0.. Do đ ó, phư ơ ng trình có nghiệ mX = -1 và X = —= . c.. Ta có ( 2 - yf3) + 2yfĩ + [ - ( 2 + S ) ] = 0. Do đ ó, phư ơ ng trình có nghiê m X = 1 và X = -. d.. r- - - 7 - 4 73 . 2 -V 3. Ta có (m - 1) - (2m + 3) + m + 4 = 0. Do đ ó, phư ơ ng trình có nghiê m X = 1 và X =— — . m -1 Vẩ d ụ .SỸ ình bày cách nhẩ m nghiệ m cho phư ơ ng trình x2- 5 x + 6 = 0..

(123) jS. Ỉ. G iả i. Ta thấ y A = 52- 4.1.6 = 1 > 0 do đ ó, phư ơ ng trình luôn có ahi nghiệ m X, và mà 2 + 3 = 5. x2 tlioá mãn: < X, .x2 = 6 = 2.3 Váy, ta thấ y ngay phư ơ ng trình có hai nghiệ m X, = 2 và x2 = 3.. Vẩ dy I;. Trình bày cách nhẩ m nghiệ m cho các phư ơ ng trình sau: a.. - X2 - 13x + 4 8 = 0 .. b.. ị x 2- 2 x + 3 = 0 .. 4. JBỈ Giả i Viế t lạ i phư ơ ng trình dư ớ i dạ ng:. a.. X, +. Khi đ ó:. b.. x 2 = -13. XI .X2 = -48 = 3.(-16). X2 +. 13x. -. 48. =. 0.. mà 3 + (-16) = -13.. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m X, = 3 và x2 = -16. Viế t l ạ i phư ơ ng t r ì n h dư ớ i d ạ n g : X2 - 8 x + 12 = 0. , mà 2 + 6 = 8. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m Xj = 2 và x2 = 6.. ^. Nhậ n xét: Ví dụ trên, đ ư ợ c nêu ra vớ i mụ c đ ích khuyên cách em học sinh hãy thự c hiệ n việ c chuyể n đ ổ i phư ơ ng trình ban đ ầ u vềdạ ng đ ơ n giả n nhát trư ớ c khi thự c hiệ n công việ c nhẩ m nghiệm đ ể tránh đ ư ợ c nhữ ng sai sót không đ áng có.. Phư ơ ng pháp ?. :.;ị. |I |S p ạ. (đ iề u kiệ n s2-4P ỉ : 0) thì ta đ ư ợ c: 'V-: ^'. >0/. ba. ■. —. —. Vể d y 1:. -. -. --■ ■. —. .......... .................................. -. ----. --------. --------------. ----- ---------------. -. -------------. (Bài 26/tr 53 - Sgk): Tìm hai số u và V trong mỗ i trư ờ ng lìỢ Ị ) sau: a. u + V = 32, uv = 231. b. u + V = -8 , uv = -105. u + V = 2, uv = 9..

(124) Giả i a. Ta có: u + V = 32, uv = 231. Do đ ó, u vàV là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: X2 = 16 - V25 = 11. Vây, ta có hai cặ p nghiệ m u = 21 và V = 11 hoặ c u = 11 và V = 21. b. Ta có: u + V = - 8 , uv = -1 0 5 . Do đ ó, u vàV là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: X2 + 8x - 105 = 0 <=>. X, = 7. Vậ y, ta có hai cặ p nghiệ m u = -1 5 và V = 7 hoặ c u = 7 và V = -15. c. Ta có: u + V = 2, uv = 9. Do đ ó, u và V là nghiệ m củ a phư ơ ng trình:X2 - 2x + 9 = 0 (vô nghiệ m) Vậ y, không tồ n tạ i cặ p u, V nào thoả mãn đ iể u kiộ n trên. Vẩ d ụ 2« Tìm các cạ nh củ a hình chữ nhậ t, biế t chu vi bằ ng 3Om và diệ n tích bằ ng 54m2. JS$ Giả i Gọ i đ ộ dài hai cạ nh củ a hình chữ nhậ t là u vàV, đ iể u kiệ n u,V > 0. Vớ i giả thiế t: ■ Hình chữ nhậ t có chu vi bằ ng 30m, ta đ ư ợ c: 2(u + v) = 30 <=> u + V = 15. ■ Hình chữ nhậ t có diệ n tích bằ ng 54m2, ta đ ư ợ c: uv= 54.. ( 1) (2). Từ (1) và (2), ta có hê phư ơ ng trình:. u.v = 54 tứ c là, u và V là nghiệ m củ a phư ơ ng trình bậ c hai: X2- 15x + 54 = 0 <=> X, = 6 và x2 = 9. Vậ y, hình chữ nhậ t có hai cạ nh là 6m và 9m. N hậ n xét: 1. Trong lờ i giả i trên, vớ i hai nghiệ m Xj = 6 và x2= 9 chúng ta có thê gán u cho Xj còn V cho x2 hoặ c ngư ợ c lạ i chỉ có đ iề ucả hai cách gán này đ ề u cho đ áp số về mộ t hình chữ nhậ t. Tuy nhiên, trong nhiề u trư ờ ng hợ p vớ i mỗ i phép gán như vậ y chúng ta sẽ nhậ n đ ư ợ c mộ t nghiệ m (ví dụ u, ( v) là toạ đ ộ củ a mộ t đ iể m) củ a hệ phư ơ ng trình. 2. Như vậ y, đ iể m cố t yế u củ a ứ ng dụ ng này làchuyên việc " Giả i m ộ t hệ phư ơ ng trình " thành việ c " Giả i m ộ t phư ơ ng trình VI d y 3 i Giả i các hệ phư ơ ng trình sơ u: x+y =2.

(125) JS$ Giả i a. Tù hộ phư ơ ng trình, suy ra a-b+c=0. t2 - 2 t - 3 = 0. o. X, t,. y là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: X = -1 vày = 3 = -1 <=> X = 3 và y. t2 =3. = -. 1. Vậ y, hệ phư ơ ng trình có hai cặ p nghiệ m (-1, 3) và (3, -1). b. Tù hê phư ơ ng trình, suy ra X, y là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: t2 - 4t + 1 = 0 <=>. \= 2 -V 3. <=>. t 2 = 2 + V3. x = 2 - -\/3vày = 2 + V3 X = 2 + V 3vày = 2 - V3. Vậ y, hệ phư ơ ng trình có hai cặ p nghiệ m:. (2 - Vĩ ; 2 + Vã) và (2 + Vã; 2 - Vã). ^. Nhậ n xét: Như vậ y, trong ví dụ trên: 1. ơ câu a), chỉ mang tính minh hoạ cho phư ơ ng pháp chuyể n đ ổ i từ hệ phư ơ ng trừ ứ i thành phư ơ ng trừ ìh. Bở i vì, chúng ta thây ngay phép chuyên đ ôi này không hiệ u quả khi mà có thê nhâm đ ư cợ nghiêm ngay ^ r ^ X = 3 và y = -1 x+y =2 x+y =2 từ hệ đ ó, cụ thể : o o xy = -3 xy = 3 .(-l) X = -1 vày = 3 í. ^. f. 2. Ớ câu b), vì hệ không thể nhẩ m đ ư ợ c nghiệ m nên việc chuyể n đ ổ i là hoàn toàn phù hợ p. Vẩ d ụ 4í. Giả i hệ phư ơ ng trình:. jx2+y2 =12 xy = -4. JS$ Giả i Biế n đ ổ i phư ơ ng trình thứ nhấ t củ a hộ vể dạ ng: (x + y)2 - 2xy = 1 2 ». (x + y)2 = 4 <=>. x +y =2 X + y = -2. Khi đ ó: X+ y = 2 Vớ i X + y = 2, ta nhậ n đ ư ợ c hệ : < ■. xy = -4. suy ra X, y là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: t2 - 2t - 4 = 0 o. ”t, = 1 -V 5. <=>. ■. Lt 2 =1 + Vs Vớ i X + y = —2, ta nhân đ ư ợ c hộ :. & (/. )S9-T2. X = 1 - V 5 v à y = 1 + -y/5. X = l + V 5 v à y = l - V5. X + y = -2. xy = -4.

(126) t2+ 2 t - 4 = 0<=>. ft, = -1 - V5 X = - 1 - V s & y = -1 + s *_ <=> x = - l + >/5& y = - l - - \ / 5 _t2 = - l + V5. Vậ y, hệ phư ơ ng trình có bố n cặ p nghiệ m: ( 1 - V5; 1 + V 5),(1 + 7 5 ; 1 - 7 5 ) , ( - 1 - V 5 ;-l +V5)và(-1 + V 5 ; - l - V 5 ) . {^ > Nhậ n xét: Như vậ y, toong ví dụ trên, chúng ta cầ n sử dụ ng phép biế n đ ổ i hằ ng đ ẳ ng thứ c sau đ ó dùng phép thê đ ể nhậ n đ ư ợ cphưhệ ơ ng trình cơ bả n. Ngoài ra, ữ ong nhiề u trư ờ ng hợ p chúng ta còn cầ n sử dụ ng tớ i ẩ n phụ . Ví dụ sau sẽ minh hoạ đ iề u này. Vẩ dụ Si. Giả i hệ phư ơ ng trình:. ị /x + ị j ỹ = 4 xy = 27. Jg$ Giãi Đ ậ t:. u=ự ĩ. <=>. v = VỸ u + V= 4. u =X V3 = y. . Khi đ ó, hộ phư ơ ng trình có dạ ng:. u + V= 4. <=>. (uv)3 = 27 u3.v3 = 27 suy ra u, V là nghiệ m củ a phư ơ ng trình a-b+c=0. t2 - 4t + 3 = 0. <=>. <=>. Vx = 1và ị [ỹ = 3 ự x =3vàự ỹ = l. u + V= 4 uv = 3. u = 1và V = 3 t, =1 <=> u = 3và V = 1 ‘2 = 3 <=>. X = lv ày = 27 X = 27 vày = 1. Vậ y, nghiệ m củ a hộ đ ã cho là (1; 27) và (27; 1). Nhậ n xét: 1. Trong ví dụ trên bằ ng việ c sử dụ ng hai ẩ n phụ chúng ta đ ã chuyể n đ ư ợ c mộ t hệ vô tỉ về dạ ng chuẩ n đ ể có thể chuyên nó về mộ t phư ơ ng trình bậ c hai. Tuy nhiên, cho dù lờ i giả i này là tư ờ ng minh như ng chúng ta có thể thự c hiệ n gọ n hơ n mà không cầ n sử dụ ng tớ i ẩ n phụ , cụ thể : Xét phư ơ ng trình thứ nhấ t củ a hệ : V x + ự ỹ = 4 o ( V x + ự ỹ ) 3=43o x + y + 3 ự xỹ (V x + ị f ỹ ) -6 4 X + y = 28..

(127) X+ y = 28 xy = 27 »1=1 t 2 =27 Vậ y, nghiệ m củ a hệ đ ã cho là (1, 27) và (27,1). 2. Như vậ y, bằ ng việ c sử dụ ng hệ thứ c Viét chúng ta đ ã biế t cách chuyể n mộ t hệ phư ơ ng trình thành mộ t phư ơ ng trình bậ c hai đ êgiả i. Tuy rhiên, đ ó vẫ n chỉ là phép biế n đ ôi mộ t bư ớ c, chúng ta hãy thử quan Um tói sơ đ ồ biế n đ ổ i sau: Phư ơ ng trình o Hệ phư ơ ng trình <=> Phư ơ ng trình Ví du sau sẽ minh hoạ đ iề u này. Vẩ d ụ te Giờ i phư ơ ng trình : VVx + 9 -V x + VVx + 9 + Vx = 4. JỊ S Giã Đ iề i kiệ nX > 0. Đ ậ t:. u = yị yỊ x + 9 - Vx. 0 . t,=l t 2 =3. í V x + 9 — =1 -Ị 2. => -2 [Vx + 9 + Vx = 9. U= 1. Í-v/ 6 / x + 9 - Vx = 1. =3. VVx + 9 + Vx = 3. V. I— /— = - 8 <=> V x = 4 <=> X = 16.. VX. Vậ y phư ơ ng trình có nghiệ m X=16. c/iú _ý: Cuôi cùng, trong ví dụ tiế p theo chúng ta sẽ trình bày mộ t ví dụ về hệ có chứ a tham số . Cho hệ phư ơ ng trình:. ị x 2 + y2 = m X+ y = 6. a. b. c. 1:. Gidi hệ phư ơ ng trình vớ i m = 26. Xứ c đ ị nhm đ ể hệ vô nghiệ m. Xúc đ ị n h m đ ể hệ cónghiệ m duynhấ t,xác đ ị nhnghiệ m đ ó. Xác đ ị nhm đ ể hệ cóhai nghiệ m phân biệ t..

(128) [x + y = 6 J. (x + y) -2 x y = m. xy =. x+y = 6. 3 '6 -. ^ ^ khi đ ó, X, y là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: t2 - 6t +-------- = 0. éề. a. Vớ i m = 26, phư ơ ng trình (1) có dạ ng: 2t2 - 12t + 10 = 0 «. r t, = i . ‘2 - 5. o. X = 1 và y X = 5 và y. Vây, vớ i m = 26 hộ phư ơ ng trình có hai cặ p nghiệ m (1, 5) và (5, 1).. b. Hệ vô nghiộ m <=> (1) vô nghiệ m <=> A'(1)< 0 o m - 18 < 0 o m < 18. Vậ y, vớ i m < 18 hệ phư ơ ng trình vô nghiệ m. c. Hệ có nghiệ m duy nhấ t <=> phư ơ ng trình (1) có nghiệ m duy nhấ t <=> A’(1)= 0 o m - 1 8 = 0 o m = 18. Khi đ ó, hộ có nghiệ m X = y = 3. Vậ y, vớ i m = 18 hộ phư ơ ng trình có nghiệ m duy nhấ t X = y = 3. d. Hệ có hai nghiệ m phân biệ t <=> phư ơ ng trình (1) có hai nghiệ m phân biệ t A'0)> 0 <=> m - 1 8 > 0 o m > 18. Vậ y, vói m > 18 hệ phư ơ ng trình có 2 nghiệ m phân biệ t.. Biêu thứ c đ ố i xứ ng giữ a các nghiệ mX, và x2củ a phư ơ ng trìnlh >ng thay đ ổ i khi ta hoán vị theo s và p, ví dụ : a. x; + x ] . ( x , + b. X? + XỈ = (x-i +. và x2. tm. ( 1).

(129) Vẩ d ụ. It. phư ơ ng trình: V 3 X2— 15x + 3 = 0. a. C h ứ n g t ỏ r â n g phư ơ ng trình c ó h a i. C ho. n g h iệ m p h á n b iệ t. X|. và. X,.. b. Tính giá trị cùa biể u thứ c A = — + - ỉ - . X, x 2 Giả i Nhậ n xét rằ ng: A = 152 — 4. V3 .3 = 225 — 12 V3 > 0 do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biộ t X! và x2. a.. X, + X, = b. Hai nghiệ m X, và x2 củ a phư ơ ng trình thoả mãn:. Vã. = 5\fỉ. x, .x2 = 12 = Ậ. = V3 V3. Tacó: A =. - i + _ L jÌ L ± ^ X,. x2. x ,x 2. 5V3 = 5. yỉ ĩ. Nhậ n xét: Như vậ y, vớ i yêu cầ u trong câu b) củ a ví dụ trên nế u chúng ta đ i tính cụ thê các X, và x2rồ i thay vào biể u thứ c A thì sẽ phả i thự c hiệ n việ c đ ơ n giả n biêu thứ c chứ a că n rấ t phứ c tạ p. Trong khi, sử dụ ng hệ thứ c Viét chúng ta đ ã có đ ư ợ c mộ t lờ i giả i rấ t gọ n Vể d ụ 2ĩ Giả sử phư ơ ng trình: ax2+ bx + c = 0 có hai nghiệ m X|, x2. Hãy lậ p phư ơ ng trình cố nghiệ m như sau: a. -X |v à -X 2. b. xf và x \ . Giả i. s = X, + X2 = Phư ơ ng trình có hai nghiệ m. Xị ,. x2, suy ra:. a. p = X, ,x2 = — a. Ta có:. f(-x, ) + ( - x 2) = - S [ (- x ,) .( -x 2) = p. suy ra -X, và - x 2 là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: t2* St + p = 0. _ cs 22 - 2 P xf2 +. x*2 = b. Ta có: K .2X-.2Ỉ = P»»22 suy ra. và X2 là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: t2 - (S2 - 2P)t + p2= 0..

(130) 1 1 S I suy ra — và — là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: t2 - —t + — = 0.. Vẩ d ụ. lĩ. Cho phư ơ ng trình: xz—2mx + 2m - 2 = 0. a. Tìm m đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m X) vả x2. b. Tìm h ệ t h ứ c l i ê n h ệ g i ữ a X, và x2 k h ô n g p h ụ t h u ộ. c vào. m.. Giả i a. Nhậ n xét rằ ng: A’ = m2 - 2m + 2 = (m - 1)2 + 1 > 0 do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X, và x2. íx, + x 2 = 2m b. Hai nghiêm Xj và x2 củ a phư ơ ng trình thoa mãn: < x, .x2 = 2m - 2 Từ hộ trên, bằ ng cách thay 2m ờ phư ơ ng trình thứ nhấ t vào phư ơ ng trình thứ hai, ta đ ư ợ c: x,.x2 = Xj + x2- 2 <=> Xị + x2- X|.X2 = 2. Đ ó chính là hệ thứ c liên hộ giữ a Xị và x2 không phụ thu ộ c vào m. ^. Nhậ n xét: Như vậ y, vớ i yêu cầ u trong câu b) củ a ví dụ trên nế u chúng ta đ i tính cụ thể các X, và x2 rồ i thự c hiệ n các phép thử đ ể tìm ra đ ư ợ c mộ t hệ thứ c liên hệ giữ a các nghiệ m không phụ thuộ c vào m thì sẽ phả i thự c hiệ n khá nhiề u lầ n và quan trọ ng hơ n cả là không có đ ư ợ c đ ị nh hư ớ ng chính xác. Trong khi, sử dụ gn hệ thứ c Viét chúng ta đ ã có đ ư ợ mộ c t lờ i giả i rấ t gọ n. Vẩ d ụ 2t Cho phư ơ ng trình: X2 - 2mx - m2 = 0. TjgỊ hệ thứ c liên hệ giữ a các nghiệ m củ a phư ơ ng trình không phụ íc m..

(131) JS$ Giả i Nhậ n xét rằ ng: A’ = m2 + m2 = 2m2 > 0 do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X( và x2.. (X, + x2 = 2m .. Xị .Xọ = -m Từ hệ trên, bằ ng cách rút m từ phư ơ ng trình thứ nhấ t rồ i thay vào phư ơ ng (x +x y trình thứ hai, ta đ ư ợ c: Xị .x2 = ----- - — <=> (x, + x2)2 + 4 x Ế .x 2 = 0. Đ ó ch ín h là hệ thứ c liên hệ giữ a X, và x 2 không phụ thuộ c vào m .. Chú ý: Trong đ ạ ng toán trên việ c tìm đ iề u kiệ n đ ể phư ơ ng rìnht có hai nghiệ m Xt và x2 là bắ t buộ c phả i có. Và đ ể tránh cho các em họ c sinh mắ c phả i thiế u sót này, thư ờ ng thì bài toán đ ư ara câu hỏ i tìm đ iề u kiệ n trư ớ c. Vẩ d ụ 3i Cho phư ơ ng trình: (m - 1)x2 —2(m - 4)x + m - 5 = 0. a. Xúc đ ị nhm đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m. b. Tìm h ệ t h ứ c l i ê n h ệ g i ữ a c á c n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h k h ô n g phụ thuộ c m. js5 Giờ i a. Đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m Xj và x2, đ iề u kiệ n là: !"a * 0. Ím -1 * 0. ,. 11. <=> r <=> 1 * m < — . A’> 0 2m -1 1 < 0 Khi đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m X, 2và x2 thoả mãn:. (*). 2(m - 4). X, +x2 = - ^ ---- m -1 m —5 x,.x2 — m —1. (I). Khử m từ hộ (I) ta đ ư ợ c: 2(Xị + x2) - 3x,x2= 1, đ ó chí nh là hệ thứ c cầ n tìm. Chú ý: Trong nhiề u trư ờ ng hợ p, việ c khử tham số từ hệ (I) cầ n sử đ ụ ng các hằ ng đ ă ng thứ c, đ ặ c biệ t là các hằ ng đ ă ng lư ợ ng giác,ể cụ: th a. sin2a + cos2a = 1. b. tana.cota = 1. Vẩ i ặ 4« Cho phư ơ ng trình: X2 - 2xsina + cosa - 1 = 0 . a. Chứ ng minh rằ ng vớ i mọ i a phư ơ ng trình luôn có nghiệ m. Tìm hệ thứ c liên hệ giữ a cấ c nghiệ m mà không phụ thuộ c vào a..

(132) Giả i a. Ta có: A' = sin2a - cosa + 1 = sin2a + (1 - cosa) > 0, Va. Vậ y, vớ i mọ i a phư ơ ng trình luôn có hai nghiệ m Xj và x2. X, + X, X, +Xj = 2 sin a sina = <=> b. Ta CÓ: < l x ,.x 2 = c o s a - 1 cosa = x,.x2 +1 •in1a+cos1a=l. +X + (x,x2+ 1)2= 1. đ ó chính là hệ thứ c cầ n tìm. Vẩ ể y 5 i Cho phư ơ ng trình: X2 —2xtana —1 - cot2a = 0. Tìm hệ thứ c liên hệ giữ a các nghiệ m củ a phư ơ ng trình không phụ thuộ c a. Jg$ Giả i sina * 0 Đ iề u kiệ n: • cosa * 0 Trư ớ c hế t ta cầ n đ i tìma dể phư ơ ng trình có hai nghiệ m X, và x2 là: A’ > 0 <=> tan2a + 1 + cot2a > 0, luôn đ úng. Suy ra, phư ơ ng trình có hai nghiệ m x„ x2 thoả mãn: [x, + x 2 = 2 t a n a x,.x2 = -1 - cot2a. X, + x ,. ta n a = — —cot2a = - l -X..X Ị. . n. 2. una.cota»l. .(-1 - x , x 2) = 1 đ ó chính là hệ thứ c cầ n tìm. VI ẩ y fti Cho phư ơ ng trình: (1 + m2)x2 - 2mx + 1 - m2= 0. a. Chứ ng minh rằ ng vớ i mọ i m > 1phư ơ ng trình luôn có nghiệ m. b. Tìm hệ thứ c liên hệ giữ a các nghiệ m mà không phụ thuộ c vào m. Giả i a. Ta có: A' = m2 - (1 + m2)(l - m2) = m4+ m2 - 1 > 0, Vm > 1. Suy ra, vói mọ i m > 1 phư ơ ng trình luôn có hai nghiệ m x„ x2thoả mãn: 2m. (I).

(133) b. Khử m từ hộ (I) bằ ng nhậ n xét: (x, + x2)2+ (x,x 2)2=. 2m. 1- m'. 1+ m:. = 1 <=>(x, + x 2)2+ ( x ,x 2)2= 1.. đ óchính là hệ thứ c cầ n tìm.. 2. ■ ". .. -«f.'Ị ■ ■ ••’ .■ :•*••. 5. ẵ r s. -~v"? •*rí• • ;. ' .. K. . •••/ -; ■ỉ. :: •. I r-V■",: ■ ■ ■. A£ 0. 3. Phư ơ ng trình có hai nghiệ m dư ơ ng 0 < X1< x2 <£> t'ị 'à Wk ■ s< 0 'Jy'’£ Vể ẩ y li Cho phư ơ ng trình: X2 - 2x + m2 + 5 = 0. Chứ ng tỏ ràng nế u phư ơ ng trình có hai nghiệ m thì hai nghiệ m đ ó đ ề u ilư ơ tig. js£ Giả i Giả si phư ơ ng trình có hai nghiệ m Xị và x2, khi đ ó: | 5 , + X, = 2 > 0. =x> X,, x2 > 0 , đ pcm. ị. Ị x,.X2 = m +5 > 0 ^. Nhẹ n xét: Như vậ y, trong lờ i giả i củ a ví dụ trên chúng ta đ ãđ ánh giá đ ư ợ c phư ơ ng trình có hai nghiệ m dư ơ ng, dự a trên: Xj.x2 > 0 => Xj và x2cùng dấ ủ . X[ + x2 > 0 => X, và x2cùng dẩ u đ ư ơ ng.. Vấ d ụ 2i Cho phư ơ ng trình: X2 - 2x + m = 0.. Tmi m đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m. Khi đ ó, tuỳ theo m hãy chỉ ra tìíỉ u củ a hai nghiệ m củ a phư ơ ng trình..

(134) Giả i. Khi đ ó, hai nghiệ m X, và x2, thoả mãn:. Xị +. x2 = 2 > 0. X| .X2 = m. Đ > ■ ■ ■. ể chỉ ra dấ u củ a hai nghiệ m củ a phư ơ ng trình, ta xét: Nế u 0 < m < 1, phư ơ ng trình có hai nghiệ m dư ơ ng. Nế u m = 0, phư ơ ng trình có hai X, = 0 và x2 = 2. Nế u m < 0, phư ơ ng trình có hai nghiệ m trái dấ u và nghiệ m dư ơ ng có giá trị lớ n hơ n giá trị tuyệ t đ ố i củ a nghiệ m âm. Vẩ Ể ụ Cho phư ơ ng trình: X2 - 2(m + l)x —m + 1 = 0. Xác đ ị nhm đ ề phư ơ ng trình: a. Có hai nghiệ m trái dấ u. b. Có hai nghiệ m dư ơ ng phả n biệ t. Giả i a. Phư ơ ng trình có hai nghiệ m trái dấ u x , < 0 < x 2 o P < 0o-m + l< 0 om > l, Vậ y, vớ i m >1 phư ơ ng trình có hai nghiệ m trái dấ u. b. Phư ơ ng trình có hai nghiệ m dư ơ ng phân biệ t 0 < Xị < x2 ÍA'>0 m2 + 3 m> 0 O -P>0<=>l-m >0 <=>0 < m < 1. s >0 2(m +1) > 0 Vậ y, vớ i 0 < m < 1 phư ơ ng trình có hai nghiệ m dư ơ ng phân biệ t. Vẩ ể f 4« Cho phư ơ ng trình: (m - l)x2+ 2(m + 2)x + m - 1 = 0. Xác đ ị nhm đ ể phư ơ ng trình: a. Có mộ t nghiệ m. b. Có hai nghiệ m cùng dấ u. MS Giả i a. Xét hai trư ờ ng hợ p: Trư ờ ng hợ p 1: Vớ i m - 1 = 0 (tứ c m = 1) phư ơ ng trình có dạ ng: 6x = 0 <=> X = 0, là nghiệ m duy nhấ t củ a phư ơ ng trình. Trư ờ ng hợ p 2: Vớ i m -1 * 0 o m * 1. Khi đ ó, đ ể phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m, đ iể u kiệ n là: A’ = 0 » (m + 2)2- (m - l)(m - ] ) = 0 o 6 m + 3 = 0 o m = - - . = 1 hoặ c m = —— phư ơ ng trình có mộ t nghiộ m.. (1).

(135) A'> 0. p>0. <=> m - 1 m -1. >0. 2. < m * 1.. 1 Vậ y, vớ i - — < m * 1 phư ơ ng trình có hai nghiệ m cùng dấ u. VI. Sĩ. C h o p h ư ơ n g tr ìn h :. m x2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0.. Xúc đ ị nhm đ ể phư ơ ng trình'. a. Có h a i n g h i ệ m đ ỏ i nhau. b. Có đ úng mộ t nghiệ m âm. JS$ Giả i a. Phư ơ ng trình có hai nghiệ m đ ố i nhau khi và chỉ khi: > -4 ' “V - < 0 p<0 * o m = 3. <=> s =0 . m Vậ y, vớ i m = 3 phư ơ ng trình có hai nghiệ m trái dấ u. b. Xét hai trư ờ ng hợ p: Trư cmg hợ p 1: Vớ i m = 0. 2 Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng:-6 x - 4 = 0 <=> X = ——, thoả mãn. Trư ờ ng hợ p 2: Vớ i m * 0. Khi đ ó, đ ể phư ơ ng trình có đ úng mộ t nghiệ m âm, đ iề u kiệ n là: X,I ^ <V 0= - 6X-2 X, < 0 < x2 <=> X, < 0 < x2. X, = x2 < 0. X| =. f(0) = 0 s <0 p<0 A=0. -b/2a < 0. o. x2 < 0. ím-4 = 0 2(3-m ) <0 m m=4 m- 4 <0 <=> 0 < m < 4 . m 9 m = — —2m + 9 = 0 2 3- m <0 m. Vậ y, vớ i m 6 (0 ,4]u{ —} phư ơ ng trình có đ úng mộ t nghiệ m âm..

(136) Đ IỂ U KIỆ N CHO TRƯ Ớ C. có nghiệ m x„ X. Biể u diễ n đ iề u kiệ n K. Vẩ d ụ. li. (Bài 62/tr 64 - Sgk): Cho phư ơ ng trình: 7x2 + 2(m - 1)x - m2 = 0. a. Vớ i giá trị nào củ a m thì phư ơ ng trình có nghiệ m? b. Trong trư ờ ng hợ p phư ơ ng trình cố nghiệ m, dùng hệ thứ c Viét, hãy tính tổ ng các bình phư ơ ng hai nghiệ m củ a phư ơ ng trình đ ó theo m.. Giả i a. Phư ơ ng trình có nghiệ m khi và chỉ khi: A' > 0 <=> (m - 1)2 + 7m2 > 0, Vm Vậ y, vớ i mọ i giá trị củ a m phư ơ ng trình luôn có nghiệ m. b. Gọ i X, và x2 là nghiệ m củ a phư ơ ng trình, ta cố : x + x _ - 2 ( m - i ) _ 2(1- m ) x - ịtịI A|1T2Ai — — Vd A1.A 7 7 1 72— 7 .. Ta có: xf + x \ - (X1+ x:)2 - 2x,.x2---- — -------2. Vẩ J ụ 2 ì. (- m_ 2 >. 18m2 -8m + 4 49. Cho phư ơ ng trình: (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0. Xác đ ị nh m đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m X,, x2 thoở mãn: 4(x, + x2) = 7x,x2..

(137) JS$ Giả i Đ éphư ơ ng trình có hai nghiệ m X| và x2, đ iề u kiệ n là: a^0 m + 1* 0 <=> -1 * m < 3. <=> A’> 0. (*). 3 - m > 0. X, + x2 = Khi đ ó phư ơ ng trình có hai nghiệ m X, và x2 thoả mãn: x,.x2 =. 2(m -1) m+1. m-2. m+ ]. Suy ra: 4(x, + X,) = 7x,x-, <=> 4 . ^ ——— = 7 ,——— » m = -6 thoả mãn (*). m+1 m+ 1 Váy, vớ i m = -6 thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. Vấ 3ĩ Xứ c đ ị nhm đ ể phư ơ ng trình:mx2 - 2(m + 1)x + m +1 =0 có hai nghiệ m X, vờ x2 thocỉ mãn XI + x; = 2. Giả i Trư ớ c hế t, đ iể u kiệ n phư ơ ng trình có hai nghiệ m X, và X,là: a*0 m* 0 <=> 0 - 1 < m * 0. A’> 0 m + 1> 0. (*). X, + x2 = Khi đ ó phư ơ ng trình có hai nghiêmXị và x2 thoả mãn: x,.x2 =. 2(m + 1) m. m +1 m. 'T ' 2 . 2_-i „ / \2 ^ 4(m+l)2 2(m+l) - ____ 2 Ta có: X| + X2=2 <=> (x, + Xị ) - 2x,x2= 2 <=> =2<=>m = - —. m m Vậ y, vớ i m = - — thoả mãn đ iế u kiên đ ầ u bài. Vấ. 41 Cho phư ơ ng trình: X2 - 2kx - (k - 1)(k - 3) = 0. Chứ ng minh rằ ng vớ i mọ i k, phư ơ ng trình luôn có hai nghiệ m phán biêt X ,, x2 thoủ mãn —(X| + x2)2+ XjX2 - 2(x, + x2) + 3 = 0. 4. M.ỉ Giả i Ta có: A' = k2+ (k - l)(k - 3) = 2k2 - 4k + 4 = 2(k - l)2 + 2 > 0, Vk suy ra phư ơ ng trình luôn có hai nghiệ m phân biệ t X! , x2 thoả mãn: X. + x2 = 2k.

(138) Khi đ ó:. — ( x , + x 2)2+ x 1x 2- 2 ( x , + x 2) + 3 4. = —(2k)2 - (k - l)(k - 3) - 2.2k + 3 = 0 , đ pcm. 4 5» Giả sử phư ơ ng trình: ax2+ bx + c = 0 có hai nghiệ m X|, x2. Chứ ng minh rằ ng hệ thứ c b3+ a2c + ac2= 3abc là đ iề u kiệ n cầ n và đ ủ đ ể phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m bàng bình phư ơ ng củ a nghiệ m còn lợ i.. Vẩ. JB$ Giả i. s = X| + x2 =. a. Theo giả thiế t ta đ ư ợ c:. (I). p = X|.X2 = — Xét biể u thứ c: p = (x, - Xj)(X2- x f) = x,x2+ xf Xj - (x ỉ + Xj) = x,x2+ xf x ị - [ ( x ,+ x2)3- 3 \ 1x2(x, + x2)] c c' =_ — + —. b3 +a2c + ac2 -3abc. o p = 0 <=> (x, - X\ )(x2 - x f) = 0<=>. Xị -Xj = 0 x2 -x^ = 0. <=>. X, = X x2 =x;. . đ pcm.. c. BÀI TẬ • P LƯ YÊN T Ậ• P . • Bàỉ 1: Trình bày cách nhẩ m nghiệ m cho các phư ơ ng trình sau: a. X2- lOx + 16 = 0. c. x2-8 x + 65 = 0. b.. Bài 2: a. b. Bàl 3: Bài 4:. X2 + 9 x + 18 = 0 .. d.. X2 + 9 x - 2 2 = 0 .. Trình bày cách nhẩ m nghiệ m cho các phư ơ ng trình sau: -x2- 2 3 x - 132 = 0. 1 , 10.. c. — x + -r-x + 6 = 0. 3x2+ 9 x - 162 = 0. 14 7 Tim hai cạ nh củ a hình chữ nhậ t biế t chu vi bằ ng 24m và diệ n tích bằ ng 27m2. Giả i các hệ phư ơ ng trình sau: X+ y = 20. b.. X+ y = -21 xy = 54.

(139) Bài 5: Giả i các hệ phư ơ ng trình sau: 3(x + y) = 2. X+ y = 4. a.. b.. 9 *y = - I. xy = —3. Bài 6: Giả i các hệ phư ơ ng trình sau: a.. x+y =4. b.. (x2 + y2)(x3+ y3) = 280. X2 + xy + y 2 = 1 X-. y - xy = 3. Bài 7: Giả i các hệ phư ơ ng trình sau: a.. yỊ ĩ c + y2 + x/ĩ xỹ = &\fĩ n/ x. b.. + 7ỹ = 4. %/x + y + v * - y x2+y2 =128. +1 ' y - v t - Vxỹ xV^ỹ + y ^ - 7 8 Bài 8: Cho hộ phư ơ ng trình:. x + xy + y = m + 2 x2y + xy2 = m +1. a. Giả i hộ phư omg trình vớ i m = -3. b. Xác đ ị nh m đ ể hệ có nghiêm duy nhấ t. Bài 9: Cho hệ phư ơ ng trình:. X2 +. y2 = 2(1 + m). (x + y)2 =4. a. Giả i hệ phư ơ ng trình vớ i m = 1. b. Xác đ ị nh m đ ể hệ có đ úng hai nghiệ m phân biệ t. Bài 10: Cho hệ phư ơ ng trình:. x + y + xy = m +1 x2y + xy2 = 3m - 5. a.. Giả i hệ phư ơ ng trình vớ i m = —. 2 b.Xác đ ị nh m đ ể hệ vô nghiệ m. c.Xác đ ị nhm đ ể hệ có mộ t nghiệ m duy nhấ t. d.Xác đ ị nh m đ ể hộ có hai nghiệ m phân biệ t. Bài 11: Cho hệ phư ơ ng trình:. x + y + xz + y2 = 8 xy(x + 1)(y + l) = m. a. Giả i hộ phư ơ ng trình vớ i m = 12. b. Xác-dinh m đ ể hệ có nghiệ m..

(140) Bài 12: Cho phư ơ ng trình: •v/2x2- 4 \ / 3 x + 4 = 0 a.. C h ứ ng tỏ. rằ n g phư ơ ng trìn h c ó h a i n g h iệ m phân b iê t X, v à x 2.. b. Tính giá trị củ a biéu thứ c A = — + — . X,. xz. Bàỉ 13: Cho phư ơ ng trình: \ Í 2 X2- 2 y f ẽ X - 8 = 0 a.. Chứ ng tỏ. rằ ng phư ơ ng trình có hai n gh iệ m phân biệ t X| và x 2.. b. Tính giá trị củ a biể u thứ c A = -Ụ X,. + “V . *2. Bài 14: Tìm m đ ể phư ơ ng trình: X2- 2(m + 1)x + 2m+ 2 =0 có hai nghiệ m X|, x2. Khi đ ó hãy lậ p phư ơ ng trình có nghiệ m như sau: a. b.. —2x, và - 2 x 2. 1 i 3x, và 3x 2.. j 1 ,1 d. — và — .. c.. - x f v à -x * .. e.. X,. x2. Xị + X2 và-X |.x2.. Bài 15: Tim m đ ể phư ơ ng trình: mx2- 2(m + 3)x + m+ 1 = 0 có hai nghiệ m X|, x2. Khi đ ó hãy lậ p phư ơ ng trình có nghiệ m như sau: a. -x ,v à -x 2. , I . 1 d. —7 và —7 . b. 2x, và 2x2. X* X* c- x l v à x 1,.. e.. xf+xỉ. vàxíx^.. Bài 16: Tìm m đ ể phư ơ ng trình: mx2- 2(m + l)x + 2= 0 có hai nghiệ m X|, x2. Khi đ ó hãy lậ p phư ơ ng trình óc nghiêm như sau: a. -3Xị Và-3x2. b. x.tx, và X,X;.. c. d. xfvàxj. x; +x, và. x> x>. Bài 17: Cho phư ơ ng trình mx2 - 2mx + 3 = 0. Tim hệ thứ c liên hệ giữ a các nghiệ m củ a phư ơ ng trình không phụ thuộ c m. Bài 18: Cho phư ơ ng trình X2 - 2(m + l)x - tn + 1 = 0. Tìm hộ thứ c liên hộ giữ a hai nghiệ m X| và x2 củ a phư ơ ng trình mà không phụ thuộ c vào m.. Bài 19: Cho phư ơ ng trình: X2- 2xcosa + sina - 1 = 0 . a. Chứ ng minh rằ ng vớ i mọ i a phư ơ ng trình luôn có nghiệ m. b. Tìm hệ thứ c liên hệ giữ a các nghiệ m mà không phụ thuộ c vào a. Bài 20: Cho phư ơ ng trình: X2- 2xcota - 1 - tan2a = 0. Tìm hệ thứ c liên hệ giữ a các nghiệ m củ a phư ơ ng trình không phụ thuộ c a. Bài 21: Cho phư ơ ng trình: (1 + m2)x2- 2(m2- l)x+ m = 0. a.Tim ni đ ể phư ơ ng trình luôn có nghiêm. b. ^Tìiự nê thứ c liên hộ giữ a các nghiệ m mà không phụ thuộ c vào m..

(141) Bài 22: Cho phư ơ ng trình:. X2 + 2x + m = 0. Tìm m đ ế phư ơ ng trình có hai nghiêm. Khi đ ó, tuỳ theo m hãy chí ra dấ u củ a hai nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Bài 23: Cho phư ơ ng trình: X2 - 4mx + 1= 0. Tìm m đ ế phư ơ ng trình có hai nghiệ m. Khi đ ó, tuỳ theo ĩ ĩ ì hãy chỉ ra dấ u củ hai a nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Bài 24: Cho phư ơ ng trình: mx2 - 6x + m = 0. Tìm m đ ổ phư ơ ng trình có hai nghiệ m. Khi đ ó, tuỳ theo m hãy chỉ ra dấ u củ a hai nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Bài 25: Cho phư ơ ng trình: mx2 - 8x + 1 = 0. Tìm m đ ổ phư ơ ng trình có hai nghiệ m. Khi đ ó, tuỳ theo Ĩ Ĩ 1 hãy chỉ ra dấ u củ a hai. nghiêm củ a phư ơ ng trình. Bài 26: Cho phư ơ ng trình: X2 - 2(m + 7)x + m2 - 4 = 0. Xác đ ị nh m đ ể phư ơ ng trình: a. Có hai nghiệ m trái dấ u. b. Có hai nghiệ m cùng dấ u.. Bài 27: Cho phư ơ ng trình: (m - l)x2+ 2(m + 2)x + m - 1 = 0. Xác đ ị nh m đ ể phư ơ ng trình: a. Có hai nghiệ m âm phân biệ t. b. Có hai nghiệ m dư ơ ng phân biệ t. Bàỉ 28: Cho phư ơ ng trình: (m - l)x2+ 2mx + m + 1 = 0. Xác đ ị nh m đ ể phư ơ ng trình: a. Có hai nghiệ m âm phân biệ t. b. Có hai nghiệ m đ ố i nhau. Bài 29: Giả sử phư ơ ng trình: ax2+ bx + c = 0, vớ i a * 0 có đ úng mộ t nghiệ m dư ơ ng, gọ i nghiệ m đ ó là X|. Chứg nminh rằ ng: a. Phư ơ ng trình cx2+ bx + a = 0 cũ ng có đ úng mộ t ngh iệ m dư ơ ng, gọ i nghiêm đ ó là. b.. x2.. Xj + X2^ 2.. Bài 30: Tìm m đ ể phư ơ ng trình: x2+ 2mx + 4 = 0 có ha i nghiệ m X ị , x2. Khi đ ó: a. Tính theo m giá trị các biể u thứ c E = yị ĩ Tị + yị x^ và F = ị ị x^ + ị jx^ . b. Tim m sao cho Xị4 + x ị = 32. c.. Tim m sao cho. X1 +. = 47..

(142) Bài 31: Giả sử phư ơ ng trình: ax2+ bx + c = 0 có hai nghiêm X|, x2. Chứ ng minh rằ ng hệ thứ c: (k + 1)Jac - kb2= 0, vớ i k * 0 là đ iề u ki ệ n cầ n và đ ủ đ ể phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m bằ ng k lẩ n nghiệ m còn lạ i.. D. HƯ Ớ NG DẨ N - Đ ÁP SỐ Bài 3: 3m và 9m. Bài 4: a. (9, 11) và (11, 9). b. (-3,-18) và (-18,-3). Bài 5: a. Từ hệ phư ơ ng trình, suy ra X, y là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: 1 t, = —. x = ~ —& y = — 2 2 <=> t2 - 4 t - - = 0 o 9D 1 x = —&y = —2 2 tj 2 19 9 1 Vậ y, hộ phư ơ ng trình có hai cặ p nghiệ m , —) và ( —, —- ). 2 2 2 2 2 x + y =— 3 3 b. Biế n đ ổ i hệ phư ơ ng trình vể dạ ng: 1 *y=-ị suy ra X, y là nghiêm củ a phư ơ ng trình:. t,=l. x=l& y=-ì. t2 - - 1 - —= 0 o x = |& y = l Vậ y, hệ phư ơ ng trình có hai cặ p nghiệ m (1,. ) và ( - —, 1).. Bài 6: a. Ký hiệ u hệ :. x+y =4. (1). (x2 + y2)(x3 + y3) = 280 (2). Biế n đ ổ i phư ơ ng trình (2) vể dạ ng: 280 = [(x + y)z - 2xy][(x + y)3- 3xy(x + y)Ị =(16 - 2xy)(64 - 12xy). ệ. <=>3(xy)2- 40xy + 93 = 0 o. O. xy = 3 xy = 31/3. CDTĐ HĐ S9-T2.

(143) Vớ i xy = 3, hê có dạ ng:. xy = 3. suy ra, thì X, y là nghiệ m phư ơ ng trình:. t2 - 4t + 3 = 0 <=>. t=1 t =3. o. X. =I& y =3. X= 3 & y = 1. 31 ị x +y =4 Vớ i xy = —-, hê có dang: 4 3. 1xy = 31 /3. 31 suy ra, thì X, y là nghiệ m phư ơ ng trình: t - 4t + — = 0, vô nghiệ in. Vây, hệ có hai cặ p nghiệ m (1, 3) và (3, 1).. X2 - tx + t 2= 1 Đ ả t t = -y, ta đ ư ợ c: < X + 1+ xt = 3 X + 1= s. xt = p. . đ iề u kiệ n s 2 —4P > 0, ta đ ư ợ c:. f s —3 p = 1 , r = > S + 3 S - 10 = 0 o s+ p = 3. S = -5 s=2. iís:. = -5. =>. ,. II oc. Đ ặ t. -0. b.. , (1). s =2. <. <=> <. x +t= 2 xt = l. P=1. k h i đ ó X, t là n g h i ê m c ủ a p h ư ơ i i g t r ìn h :. z! - 2 z + l = 0 t > z = l = > x = t = l o x = l & y = - l . Vậ y, hộ phư ơ ng trình có nghiệ m duy nhấ t ( 1 ,- 1 ) .. Bài 7: a.. Đ iéu kiên X, y > 0. Đ ặ t:. S = yJx+yJỹ. (1) , đ iề u kiệ n s, p > 0 và s 2 - 4P > 0.. P = Vxỹ Khi đ ó, hệ phư ơ ng trình có dạ ng:. + >/ỹ )2 - 2-s/xỹ ]2 - 2xy + ự 2xỹ = 8n/ Ĩ Vx + 7ỹ = 4 o. [ 7<s» - 2 P f - 2P>. - 8V2 a V pĩ _ ■. :. ,-28 _ 8 _ p o p . 4. X. = y = 4.. s =4. \f\ s =4 <=> •! <=> p=4. "t* \fỹ. ĩ. -4. Ị ------. Ị ------. <=> v x = yjy = 2 o. y x y =4. Vậ y, h ệ c*S*Tighiệ m X = y = 4. S9-T 2. 143.

(144) b. Đ iề u kiệ n:. \ +ytO o x-y^O. y £ -x. o - x á y í x suy ra X > 0.. y<X. Viế t lạ i hệ phư ơ ng trình dư ớ i dạ ng: yị x + ỹ + yị x~-ỹ = 4 o. I—(x + y)2 + —(x - y)2 =128 , vớ i u, V £. u + V= 4. u+v=4 uv = 32. (x + y)2 + (x - y)2 = 256. 0.. u+v=4 o • uv(uv-32) = 0. u4+v4 =256 o. >/x + y + >/ x - ỹ = 4. hoặ c. (D. u. u +v = 4 uv = 0. (n). Giả i (I): ta thấ y u, V là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: t2- 4t + 32 = 0, vô nghiộ rn. Giả i cứ ): \y[x + ỹ =4 _ 0 1 )0. u_____ = 4 &____ V= 0 u =0 & V = 4. o/ x - ỹ = 0 J o yfx + ỹ = 0. X= y = 8 X = 8 & y = -8. %/x-y = 4 Vậ y, hệ phư ơ ng trình có hai cặ p nghiệ m (8, 8) và (8, -8). c. Đ iéu kiệ n X, y > 0. Viế t lạ i hệ dư ớ i dạ ng:. (x + y) + (-Vxỹ ) = 7 (x + y ).(-V ^ ) = -78. suy ra X + y v h - y ị x ỹ. là nghiệ m củ a phư ơ ng trình:. t2- 7t - 78 = 0 o. t , =13 Lt 2=-6. o. x + y = 13. -y[xỹ. = -6. o. x + y = 13 xy = 36. suy ra X, y là nghiệ m củ a phư ơ ng trình:. u2- 13u + 36 = 0 o. u, =4 u 2 =9. o. "x, = 4& y, =9 x2 = 9& y2 = 4. Vâỵ Jiệ H>Hư ơ ng trình có hai cặ p nghiệ m (4, 9), (9,4)..

(145) Bài 8: Đ ặ t:ị x f y s , đ iể u kiệ ns2- 4P > 0. xy = p (x + y) + xy = m + 2. Vitt lạ i hệ dirớ i dạ ng:. ÍS + P = m + 2. o <. (x + y).xy = in + I. [ s.p. =m+1. k h i đ ó 5, p là n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h :. t - (m + 2)t + m + 1 = 0 <=> r. x+y= i xy = m +1. <=> X,. y là nghiệ m. X + y = m +1. xy = l a.. o. 't = l t =m+I. X,. y. cùa. là n g h i ệ m. f(u)=u2-u+m+l=0.. (1). củ a g ( u ) = u 2- ( m + 1)u+l=0. (2). Vớ m = -3, ta đ ư ợ c: (1) o u2 - u - 2 = 0 o. u = —1. o. Vậ y,. vớ i. & y = -1. X= 2. u = 2. (2) o u2+ 2u + 1 = 0 o u = - l. X = —1 & y = 2. <=> X = y =. -1 .. m = 3 hệ phư ơ ng trình có 3 cặ p nghiệ m (-1, 2), (2, -1) và (-1, -1).. b. Hộ có mộ t nghiêm duy nhấ t (1) vô nghiệ m o. &. (2) có nghiệ m kép. (2) vô nghiệ m & (1) có nghiệ m kép (1) & (2) có nghiệ m kép u0. o. Af < 0 A, =0. -4m - 3 < 0. Ag <0. m2 + 2 m - 3 < 0. Af =0. m2 + 2 m - 3 = 0. o. -4 m - 3 = 0. m=1 o. 3. m=—. 4. Ag =Af =0 1 m +1 ?~ 1. m2 + 2m - 3 = -4m - 3 = 0 m=0. Vây, vớ i m = 1 hoă c m = - — hê đ ã cho có nghiêm duy nhấ t. 4.

(146) a. Nhậ n xét rằ ng A’ = (2 Vĩ ) 2- 4 . 4 Ĩ = 1 2 - 4 ^ 2 >0 do đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiêm phân biệ t X| và x2.. 4>/3 /— xr + x2=-^=- = 2V6 b. Hai nghiệ m X| và x2củ a phư ơ ng trình thoả mãn: x ,.x , = 12 = -Ị L = 2>/2. -v/2. TacóA=— +— X, x 2. x,x2. ^ = 73 . 2V2. Bài 13: Làm tư ợ ng tự bài tậ p 1. Bài 14: Đ phư ể ơ ng trình có hai nghiệ m X| và x2>đ iề u kiệ n là: i ' ^ 0 o ( m + l) 2- 2m - 2 £0 <=> m2ằ 1 o Iml ằ 1. Khi dó, hai nghiệ m X| và Xj thoả mãn: a. Ta có:. X, + x 2 =2(m + l). x,.x2 = 2m + 2. (-2 x ,) + (-2X j) = -2 (x l + x 2) = -4(m + l). (-2 x Y).(-2 x 2) = 4x ,x 2 =8(m + l). suy ra -2X| và -2x2 là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: t2+ 4(m + l)t + 8(m + 1) = 0.. b. Ta có:. (3x,)+(3x2) = 9(x, + x2) = 18(m+l) (3x, ).(3x 2) = 9x ,x 2 = 18(m +1). suy ra -2X| và -2 x 2là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: t2- 18(m + l)t + 18(m + 1) = 0.. T có:Ị (-x ?) + (_x2) = _(x' + x z) = - t(x' + x2)2-2 x ,x 2] = -4m 2 l(-x f)-(-x ỉ ) = xf.Xj =(x,xỉ )2 = 4(m + 1)2 suy ra - xf và - Xj là nghiệ m củ a phư ơ ng trình: t2+ 4m2t + 4(m +1)2= 0.. 1 _ X, + x2 _ X, x 2 x,x2 d. Ta có: • 1 1 1 1 X, x2 x,x2 2m + 2 J_. suy ra — và — là nghiêm củ a phư ơ ng trình: t2- 1+. 2m + 2. (x, + x 2) + (-x,x,) = 0 (x.+ x,).(-x.x2) = -4(m + l) \jỊ fk -x ,.x 2 là nghiêm củ a: t2- 4(m+l)2= 0.. = 0..

(147) Bài 17: Trư ớ c tiên, đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ mX| và x2, đ iề u kiệ n là:. ị. a*0 [A’>0. <=>. m*0 m 2 - 3m > 0. <=>. m>3 m<0. + x2 = 2 Khi đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ m Xị và x2thoả mã n: < 3_ • x,.x2 = — m Và từ hệ trên, ta có ngay hệ thứ c X| + x2= 2, chính là hệ thứ c cẩ n tìm. Bài 18: Tnrớ c tiên, đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m X, và x2, đ iề u kiệ n là: X,. >. m >0 m < -3. 0 <=> (m + 1)2 + m - 1 <=> m2 + 3m > 0 o. Khi đ ó, phư ơ ng trình có hai nghiệ mX| và x2thoả mãn: x, + x2 =2(m + l) f x , + x 2=2m + 2 + <=> X, + x2+ 2x ,x 2 = 4, 2x ,.x 2 = 2 - 2m x,.x2 = 1- m chính là hệ thứ c cầ n tìm. Bài 19: a. Ta c ó A' = cos2a - sina + 1 = cos2a + (1 - sina) > 0, Va. Vậ y, vớ i mọ i a phư ơ ng trình luôn có hai nghiệ m X! và x2. b. Ta có: X, +. x2 = 2cosa. ị c o sa. x 7 A .J, ị T_ x A .*). 2. 2 ____«. — — !-------- sin a+cos a=l. /. o < 2 x,.x2 = sin a -1 sina = XJ.X2 + 1. •+• X. + (x,x2+ 1)2= 1. đ ó chính là hộ thứ c cầ n tìm. Bài 22: Đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m, đ iề u kiệlà:A’ n ằ 0 o l - m>0<=>m<l. Khi đ ó, hai nghiệ m X| và x2, thoà mãn: Đ ể ■ Nế ■ Nế ■ Nế hơ. X,. + x2 = -2 < 0. x,.x2 = m. chỉ ra dấ u củ a hai nghiệ m củ a phư ơ ng trình, ta xét: u 0 < m < 1, phư ơ ng trình có hai nghiệ m âm. u m = 0, phư ơ ng trình có hai X| = 0 và x2= -2. u m < 0, phư ơ ng trình có hai nghiêm trái dấ u và nghiệ m dư ơ ng có giá trị nhỏ n giá trị tuyệ t đ ố i củ a nghiệ m âm.. Bài 23: Đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m, đ iề u kiệ nA’ là £ 0 <=>4m2- 1 > 0 o Iml > —. Khi đ ó, hạ ị nghiệ m X| và x2, thoả mãn. + x2 =4m xr x, =1 >0. X,.

(148) ■. Nế u m > —, phư ơ ng trình có hai nghiệ m dư ơ ng. 2 ■. Nế u m <, —ỉ -, phư ơ ng trình có hai âm.. Bài 24: Đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m, đ iề u kiệ n: là 0. IV. ỉ 3M. m *0 a*0 0 < A’^ 0 0. ì. ' m* 0 <» < -3 < m á 3. 6_ x,+x2= — Khi đ ó, hai nghiệ mX, và x2, thoả mãn: < m• X, .x2 = 1. Đ ế chỉ ra dấ u củ a hai nghiệ m củ a phư ơ ng trình, ta xét: ■ Nế u 0 < m <; 3, phư ơ ng trình có hai nghiệ m dư ơ ng. ■ Nế u -3 <, m < 0, phư ơ ng trình có hai nghiệ m âm. Bài 25: Đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m, đ iề u kiệ n: là a*0 o A’^0. m* 0 o 0 * m <, 16. 16- m > 0 x, +x2=. Khi đ ó, hai nghiệ mX) và x2, thoả mãn: • x,.x2= — m Đ ể chỉ ra dấ u củ a hai nghiêm củ a phư ơ ng trình, ta xé t: ■ Nế u 0 < m £ 16, phư ơ ng trình có hai nghiệ m dư ơ ng. ■ Nế u m < 0, phư ơ ng trình có hai nghiệ m trái dấ u và nghiệ m dư ơ ng có giá trị nhỏ hom giá trị tuyệ t đ ố i củ a nghiệ m âm. Bài 26: a. Đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m trái dấ u, đ iể u nkiệlà: p < 0 o m2- 4 < 0 o m2< 4 o Iml < 2. Vậ y, vớ i Iml < 2 phư ơ ng trình có hai nghiệ m trái dấ u. b. Đ ể phư ơ ng trình có hai nghiêm cùng dấ u, đ iề u nkiệlà: A’£0 [(m + 7)2 -(m 2 - 4 ) ^ 0 <=> o p>0 m2 - 4>0. 14m + 53>0 m2 >4. 53 < m _ < -2„ <=> 14 m>2. 53 Vây, vái - 7- < m < - 2 hoãc m > 2 phư ơ ng trình có hai nghiêm cùng dấ u. ^ 4.

(149) Bài 27: a. Đ ê phư ơ ng trình có hai nghiệ m âm phân biệ t, đ iềkiệu n là a*0. m -1 * 0. (m + 2)2-(m - l)(m -1) > 0 A' > 0 <=> <1>0 o m > 1. p> 0 2(m + 2) s<0 <0 m -1 Vậ y, vớ i m > 1 phư ơ ng trình có hai nghiệ m âm phân biộ t. b. Đ ê phư ơ ng trình có hai nghiêm dư ơ ng phân biệ t,iểđu kiệ n là m -l*0 a*0 (m + 2)2- (m - l)(m -1) > 0 A' > 0 <=> 1> 0 <=>—-1 < „m < ,1. p >0 2 2(m + 2) s>0 >0 m -1 1 Vậ y, vớ i < m < 1 phư ơ ng trình có hai nghiộ m dư ơ ng phân biộ t.. 3 1 3. Bài 28: a. Đ ê phư ơ ng trình có hai nghiệ m âm phân biệ t, đ iểkiộu n là m -1 * 0 a*0 A' > 0 o \ m +1 o 0 < m < 1. p>0 m -1 s<0 2m m -1 Vậ y, vớ i 0 < m < 1 phư ơ ng trình có hai nghiêm âm phân biệ t, b. Đ phư ể ơ ng trình có hai nghiệ m đ ố i nhau, đ iể u kiệ n là m +1 „ <0 p<0 m -1 o <=>m = 0. 2m s=0 =0 m -1 Vậ y, vớ i m = 0 phư ơ ng trình có hai nghiệ m đ ố i nhau. Bài 29: ì. Theo giả thiế t ta đ ư ợ c: ac < 0 o phư ơ ng trình CXJ+ bx + a = 0 cũ ng có đ úng mộ t nghiệ m dư ơ ng.. Do XI là nghiệ m củ a phư ơ ng trình ax2+ bx + c = 0 suy ra: 1 ax? + bx, + c = 0 <- X? # 0 » a + b( — ) + c( —7 ) = 0. Tứ c Là,. là nghiêm dư ơ ng củ a phư ơ ng trình cx2+ bx + a = 0, nên x2= — . X,.

(150) b. Ta có ngay: X| + x2= Xị + — 2.2, đ pcm. X. Bài 30: Đ ể phư ơ ng trình có nghiệ mX| và x2, đ iể u kiệ n là A> 0 o m2—4 ^ 0 o Iml > 2. Í x, + x 2 =-2m .. x ,. x 2 = 4. a. Đ ể các biể u thứ c E và F có nghĩ a thì phư ơ ng trìnhphả i cố hai nghiêm không âm, tứ c ứ ng vớ i m < -2. Khi đ ó: &=(\ỉ x~t + 7 x 7 f =*i +x 2+2Ự x,x 2 =-'2m+2yfÃ =4-2m<=>E= 7 4 - 2 m .. +yf* 2. F^=<^/x7 + b. Ta có:. +2^/x,Xj =4-2m+2V4 o F = -\/4-2m + V2 .. + X* = (x, + x 2)2- 2X|Xj= 4m 2- 8.. 4m2 =16. 0. m = 0(loạ i). 0 II M Tí*1. 1 3KI 1 00 II 1 00. )2- 2 xf xị = (4m2- 8)2- 32.. 00 II 00 1 N E 1■ ^r. <=>. X* + Xj = ( xf +. Do đ ó:\ * + \ ị = 32 o (4m2- 8)2-3 2 = 32 0. m = ±2. Vậ y, vớ i m =V2± 2/ thoả mãn đ iề u kiên đ ầ u bài. c. Ta có: + XJ-1 , x ; i x ^ (4in 8) 32 16 vx2 V*. V í . . \ 2 „ _ (4m2-8 )2-32 = 47 <=> -------- —------ = 47 Do đ ó: I X 16 o ( 4 m 2- 8 )2= 7 8 4 o. 4m2 - 8 = 28 4m2 - 8 = -28. o. 4m2 =36 4m2 =-201ọ ai. Vậ y, vớ i m = ± 3 thoả mãn đ iề u kiệ n đ ẩ u bài. X, + x 2 = - b / a Bài 31. Theo giả thiế t ta dư ợ c:. (I). Xị .Xj = c /a. Xét p = (x, - kx2)(x2- kx,) = X|X2- k(X* + Xj ) + k2x,x 2 = X|X2- k[(X| + x 2)2- 2X|X2] + k2X|X2 a. a. , £ _ (k + l)2a c -k b 2 a2. o P = 0 o ( X | - kx2)(x2- kx,) = 0 o. X, - k x 2 = 0 LXj -k x , = 0. o. X, = k x 2 l x 2 = kx,. , đ pcni..

(151) CHỦ. BỂ 6. PU ư ơ n Í t r ìn U q u y v ề p U ư ơ n Í t r ìn U BẬ C HAI A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T. Vẩ ể ly lì. Giả i các phư ơ ng trình sau: a. (Bài 36.a/tr 56 - Sgk): (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0. b. (Bài 39.ạ Ar 57 - Sgk): (3x2- 7x - 10)[2x2+ (1 - s. )x + yÍ5 - 3] = 0.. JS% Giúi a. Ta có: (3x2- 5x + 1)(x2 - 4) = 0 <=>. ~3x2 - 5 x + l = 0. (1). -4 = 0. (2). X2. X =. Giả i (1), ta đ ư ợ c: 3x2 - 5x + 1 = 0 <=>. 2 + VĨ 3 6 2-VĨ 3. X =. ■. Giả i (2), ta đ ư ợ c: x2- 4 = 0 o x = ±2. Vậ y phư ơ ng trình có 4 nghiệ m, b. Ta có: •3x2 - 7x - 10)[2x2 + (1 - V5 )x + V5 - 3] = 0 3x2 - 7x - 10 = 0. X = -1. V. -. 1. 0. X = —. 3. <=>. 2x2 + ( 1 - V 5 ) x + 7 5 - 3 = 0. >/5- 1 ± V30- I 0V5 X =. Vậ y phư ơ ng trình có 4 nghiêm. Vẩ d y 2ĩ Giả i các phư ơ ng trình sau: a.. (Bài 36.b/tr 56 - Sgk): (2x2 + X - 4)2 - (2x - l)2 = 0.. J# (B à i 39.d/tr 57 - Sgk): (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - X + 5)2..

(152) £ $ Giả i a. Ta có: (2x2 + X - 4)2 - (2x - 1)2 = 0. o [(2x2+ X - 4) - (2x - l)][(2x2+ X - 4) + (2x - 1)] = 0 o (2x2 - X - 3)(2x + 3x - 5) = 0 o. 5 X = -1 V X = ---2. 2x - X- 3 = 0 2x2 + 3x - 5 = 0. X = 1 V X= — 2 Vậ y, phư ơ ng trình có 4 nghiệ m, b. Ta có: (X2 + 2x - 5)2 = (x* - X + 5)2 o (x2 + 2x - 5)2 - (x2 - X + 5)2 = 0 _ 10 X= 3x -1 0 = 0 <=> <=> (3x - 10)(2xz + X) = 0 o 2x2 + X = 0 X = 0 V X= 2 Vậ y, phư ơ ng trình có 3 nghiệ m. Vấ ể y 3t (Bài 39.c/ứ 57 —Sgk): Giả i phư ơ ng trình: (x2—l)(0,6x + 1) = 0,6x2+ X. JSỈ> Giả i Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: (x2 - l)(0,6x + 1) = x(Ó,6x + 1) <=> (0,6x + l)(x2 - X- 1) = 0 X = - 5 /3 0,6x + 1=0 o o 1+ V5 \-y/5 X2 - X-1 = 0 X = — - ... V X = ---- —. Vẩ ẩ y 1». (Bài 37-d/tr 56 - Sgk): Gỉ ả i các phư ơ ng trình sau: 2x2 + 1 = —— 4.. MỈ Gidi 1 Đ ặX t 2 = t £ 0, ta đ ư ợ c: 2 t+ 'l = - - 4 o 2t2 + 5t - 1 = 0 t t= o t=. - 5 + 733 4 -5 -V 3 3. -5 + 733 (loạ i). g trình có hai nghiệ m.. X= <=> X=. 5 + V33 2 V -5 + V 3 3. 2.

(153) VI l ạ 2 i. (Bài 59/tr 63 - Sgk): Giả i các phư ơ ng trình sau: a. 2(x2 - 2x)2 + 3(x2 - 2x) + 1 = 0 . 2. b. JS $. G ả. X+. - 4 í X + —0 = 3 = 0.. i. Đ ítX2 - 2x. a.. lì. =. t. Ta đ ư ợ c: 2t2+ 3t. +. Ta lầ n lư ợ t: • Vớ i t = -1 => X2 - 2x + 1 = 0 o. t =-1. 1= 0 «. X. t = -1 /2. = 1.. •. Vớ i t = - - => 2x2 - 4x + 1 = 0 <=> X = 1 Vệ y, phư ơ ng trình có ba nghiêm,. 1 t=1. b. Đ ả Ịt X + —I = t. Ta đ ư ợ c: t2 - 4t + 3 = 0 o. t=3. Ta lầ n lư ợ t: •. 1 Vớ i t = 1 => X + — = l o x - x + l = 0 (vô nghiêm). X. ■. Vớ i t = 1 => X + — = 3 » x 2- 3 x + l = 0 o x = X. — ... 2. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m. Vấ ắ ụ ai (Bài 40/tr 57 - Sgk): Giả i cấ c phư ơ ng trình sau: a. 3(x2+ x)2 - 2(x2 + x) - 1 = 0. b. (x2 - 4x + 2)2 + X2 - 4x - 4 = 0. c. X - Vx = 5 Vx + 7.. X. X2 + x = l 1 <=>. lí 1 L*J 1«. <=>. x+ l. = t, ta đ ư ợ c: 3t2 - 2t - 1 = 0. 't = l 1. 10 X2 + X = —— 3. X =. x + x -1 = 0 3x +3x + l = 0 (vn). o X =. -1 + 75 2 -1-V5. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m. X= 0. o. 4^ X II. V - 4 x +2 = 2 [t = 2 <=> «• t = -3 X 2 - 4 x + 2 = -3 Jẩ ặ > Vây, phư ơ ng trình có hai nghiệ m.. xK'i 1. a.. Giả i Đ ặ X2 t +. d.. <=>. o X2 -. 4x + 5 = 0 (vn). X= 4.

(154) t2 - 6t - 7 = 0 o. t = -1 (loạ i). t=7 Vậ y, phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m, d. Đ iề u kiộ n X * 0 ; X * -1. Ị— => Vx = 7 o X = 49.. Đ ặ t —- — = t * 0, ta đ ư ợ c: t —10. - = 3 <=> t2 - 3t - = 100 x+1 t X = 5(x + l). 52 <=> X = ——hoặ c rx = — X = -2(x + l) 4 3. t=5 t = -2. VỂ ẩ y Ít. (Bài 57.C, 57.d/tr 63 —Sgk): Giả i các phư ơ ng trình sau: X 10-2x . x +0,5_7x + 2 b. a. ------ = —;-------- . 3x + l 9x2 -1 x-2 X -2x. Giả i a. Đ iể u kiệ n:X 0, X 2. Ta có: X = —I—VTT X _ 1 0 -2 x o X2 = 10 - 2x <=> X2 + 2x - 10 = 0 <=> x - 2 _ X2 - 2 x X = -[ + VĨ T Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m, b. Đ iế u kiệ n:X ± Ậ . 3 Ta có:. 3x + l. = 7x + 2 o (x + 0,5)(3x - 1) = 7x + 2 9x -1 X=. o 3x2 - 6,5x - 2,5 = 0 <=> 6x2 - 13x - 5 = 0 <=>. g trình có hai nghiệ m.. 1 3. 5 X= — 2.

(155) a.. x+2 6 +3= X- 5 2 -x. b.. 4 x+1. - x 2- x + 2. (x + l)(x + 2). JS$ Gi.ỉ i a. Tậ p xác đ ị nh: X * 5, X * 2. Ta có: + 3 = - 5 — <=> (x + 2)(2 - x) + 3(x - 5)(2 - x) = 6(x - 3) 2 -x X= 4 4x2 - 15x - 4 = 0 <=> 1•. X- 5 o. X = —-. 4. Vậ v phư ơ ng trình có hai nghiệ m, b. Tậ p xác đ ị nh: X * -1 , X * -2. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: X = -2 (loạ i) 4(x + 2) = - x 2 - x + 2 o x 2 + 5x + 6 = 0 o X = -3 Vậ v phư ơ ng trình có mộ t nghiệ m. Ch ú ý: Trong mộ t vài trư ờ ng hợ p, việ c quy đ ồ ng mẫ u số không phả i là giả i pháp tôi ư u, đ ặ c biệ t khi quy đ ồ ng chúng ta nhậ n đ ư mộ ợ c t phư ơ ng trình bậ c cao hơ n 2, trong nhữ ng trư ờ ng hợ p như vậ y chúng ta thư ờ ng nghĩ tớ i nhữ ng phư ơ ng pháp giả m bậ c cho phư ơ ng trình và mộ t trong số đ ó là phư ơ ng pháp đ ặ t ẩ n phụ . Ví dụ usasẽ minh hoạ nhậ n đ ị nh này. X2 + 2 X2 + 2 5 X í i ụ i l Giả i phư ơ ng trình: - ■ — --------- 2 = X -2 x + 2 X +3x + 2 Giỉ i Đ iéu kiệ n:. X2 - 2 x + 2 * 0 X2 +3x + 2 * 0. <=>. x*-l X ^ —2. (*). Nhin xét rằ ng X = 0 không phả i là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Chia cả tử và 2 2 X+ — x + X _ £_ 5 X mẫ u CÙI VT củ a phư ơ ng trình cho X* 0, ta đ ư ợ c: X -2 + — Đ ặ tt = X + —, khi đ ó phư omg trình đ ư ợ c chuyể n về dạ ng:.

(156) ------ —----- = - o 2t = (t - 2)(t -+- 3) <=> t2 —t —6 = 0 ( t - 2 ) ( t + 3) 2. <=>. X+ —= 3. t=3. X2 - 3 x + 2 = 0. t = -2. X2 +2x + 2 = 0 loạ i XH--- = —2 X Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m X = 1 và X = 2.. X= 1 X=2. Nhậ n xét: 1. Như vậ y, vớ i bài toán trên nế u chúng ta lự a chọ n hư ớ ng quy đ ồ ng mẫ u số thì sẽ nhậ n đ ư ợ c mộ t phư ơ ng trình bậ c 4 và việ cgiả i phư ơ ng trình này phụ thuộ c rấ t nhiề u vào kỹ nă ng đ oán nghiệ m cùn g phép chia đ a thứ c đ ể chuyể n phư ơ ng trình về dạ ng tích. Tuy nhiên, mộ t câu hỏ i thư ờ ng đ ư ợ c các em họ c sinh đ ặ t ra ở đ ây là "Tạ i sao lạ i có thê’nghĩ ra đ ư ợ c cách chia choX rồ i đ ặ t ấ n phụ như vậ y?", câu trả lờ i có thể đ ư ợ c khẳ ng đ ị nhò dạ ng phư ơ ng trình tố ng quát: ax2— + mx—1 + c + ax2 +: px — Ị __ z+ c- - 0. ax +nx + c ax +qx + c Ta có thể lự a chọ n phép chia cả tử và mẫ u cho X ( hoặ c X2 ) rồ i đ ặ t ẩ n phụ t = ax + — (hoặ c t = a + —=■ ). X. '. X. Ý tư ở ng trên đ ư ợ c mở rộ ng, cho phư ơ ng trình dạ ng: mx nx —Ị ——----- + —X— --------- = pax + bx + d ax + cx + d 2. Việ c lự a chọ n ẩ n phụ , trong hầ u hế t các trư ờ ng hợ p luôn cầ n tớ i nhữ ng biế n đ ổ i đ ạ i số đ ể làm xuấ t hiệ n dạ ng củ a ẩ n phụ đvàể thự c hiệ n tố t công việ c này các em họ c sinh luôn phả i thậ t linh hoạ t và sáng tạ o. Ví dụ sau sẽ minh hoạ nhậ n đ ị nh nả y. 4x2 Vẩ dụ 4» Giả i phư ơ ng trình: X + = 5. (X + 2)3 Giả i Đ iề u kiệ n: x +2 * 0 < = > x * - 2 . Viế t lạ i phư ơ ng trình dư ớ i dạ ng: 2x 2x X2 + =5o X X +2 x+2 + 4. X. +2. -5=0.. (*) = 5 - 2.X.. 2x X +2.

(157) +2 r + 4t - 5 = 0 <=> t = 1 hoặ c t = -5. X. Vớ i t = 1, ta đ ư ợ c: ■. X = -1 =. 1 <=>x 2 =. x. + 2. o. x. 2 -. x. - 2. = 0<=>. x+2. Vớ i t = - 5, ta đ ư ợ c. X2. X+2. X=2. = - 5 o x2= -5x - 10 <=> X 2 + 5x + 10 = 0, vn.. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m. X. = -1 và X = 2.. Ván đ ể 4: GIẢ Ĩ PHƯ Ơ NG TRÌNH BẤ C BA Phư ơ ngpháp. Đ ể giả i phư ơ ng trình: ax3+ bx2 + cx + d = 0. ta thự c hiệ n các bư ớ c: Bư óc 1: Đ oán nghiêm x0 củ a (1). Bư ớ c 2: Phân tích (1) thành (x - x0)(ax2 + b,x + c,) = 0 ». (1). *u g(x) = axJ + b,x + c, = 0 (2). Bư ớ c 3: Giả i (2) rồ i kế t luậ n về nghiệ m cho phư ơ ng trình. m. :. r Chú ý : 1. Dự đ oán nghiệ m dự a vào các kế t quả sau: í. Nế u a + b + c + d = 0 thì (1) có nghiêm X “ 1. b. Nế u a - b + c - d = 0 thì (1) có nghiệ m X- -1. t.. Nế u a, b, c, d nguyên và (1) có nghiệ m hữ u tỷ — thì p, q theo thứ. q. tự là ư ớ c củ a d và a.. i.. Nế u ac3 = bd3 (a, d * 0) thì (1) có nghiệ m X =. .. 2. Vớ i các phư ơ ng trình có chứ a tham sô' có thể coitham sô' là ân đ ể thự c hiệ n việ c phân tích da thứ c._____________________________________ Vấ í dy dụ lì lĩ Giả i các phư ơ ng trình sau: a. 2x 3+ 5x + b. 2x 3+ X + 3 = 0. a. 2x3 +X X2 2 - 5x + 22 = = 0. 0. Jế > Già a. Nhệ n xét rằ ng: a + b + c + d = 0 d o đ óphư ơ ng trình có nghiệ m X BiêV đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: X= 1. X - 1)(2x 2 + 3 x - 2 ) = 0 < ». X —1 = 0. 2x2 + 3x - 2 = 0. <=>. 1 2. X= — ..

(158) Vậ y, phư ơ ng trình có ba nghiệ m phân biệ t x = l , x = - 2 ,. X =. — .. 2 b. Nhậ n xét rằ ng: a - b + c - d = Odođ óphư ơ ng trình có nghiệ m X = —1. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: 'x + l = 0 (x + l)(2xz - 2 x + 3) = 0 o 2x2 - 2 x + 3 = 0 Vậ y, phư ơ ng trình có nghiệ m duy nhấ t X = -1 . Vấ 2 t (Bài 57/tr 63 —Sgk): Giả i các phư ơ ng trình sau: a. 1,2x3 - X2—0,2x = 0. b. 5x3 —X2 - 5x + 1 = 0. Giả i a. Ta có:. l,2x3- X2 - 0,2x = 0 o x(l,2x2- X - 0,2) = 0 o. X=0 l,2x2 - x - 0, 2 = 0. X= 0. <=>. X= 1 V X=. 6. Vậ y, phư ơ ng trình có ba nghiệ m, b. Ta có: 5x3- X2- 5x +1 = 0 <=>5x3- 5x - X2+ 1 =0<=>5x(x2- 1) —(x2—1) = 0 x = ±l X2 -1 = 0 <=> <=> (x2 —l)(5x - l ) = 0 o X = 1/5 5x - 1 = 0 Vậ y, phư ơ ng trình có ba nghiệ m. Vấ d ụ a» Giả i các phư ơ ng trình sau: a. 3x3 —8x2 - 2x + 4 = 0.. b.. Giả i a. Nhậ n xét rằ ng: a = 3 có ư ớ c là ±1, ±3 và d = 2 có ư ớ c là ±1, ±2 do đ ó phư ơ ng trình nế u có nghiệ m hữ u tỷ thì chỉ có thể là mộ t trong các giá trị ±1,. Nhậ n thấ y X = — là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: (3x - 2)(x2 - 2x - 2) = 0 «>. 3x - 2 = 0 X2 - 2 x - 2 = 0. 2 3. X = —. <=>. = 1± f i. Vậ y, ph)0$ig trình có ba nghiệ m phân biệ t X= —, X = 1 - V3 , X = 1 + y / ỉ ..

(159) b. Nhậ n xét rằ ng: ac3 = l.(—V2) 3 = - 2 V2 = bd1 do đ ó phư ơ ng trình có nghiệ m. X = —— = V. 2. .. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: (x —V2 )[x2 + ( +. X- ' Ị ĩ = 0. 1)x + 2] = 0. c=> X. X2 + (V 2 + l)x + 2 = 0. Vậ y, phư ơ ng trình có nghiệ m duy nhấ t X = V2 . Chú ý: Khi đ ã thành thạ o các phư ơ ng pháp nhẩ m nghiệ m các bạn họ c sinh không cầ n nêu nhậ n xét trong lờ i giả i cho mỗ i phư ơ ng trình. Vấ ilp 4 ĩ (Bài 39.b/tr 57 —Sgk): Giả i c á c p h ư ơ n g t r ì n h s a u : X3 + 3x2—2x —6 = 0.. JS% Giả i Ta có: x 3+ 3x 2- 2 x - 6 = 0<=>(x + 3)(x 2- 2 ) = 0<=> x + ^ _0 <=> X - 2 = 0. Vậ y, phư ơ ng trình có 3 nghiệ m. Vẩ d ụ. Sĩ. C h o p h ư ơ n g tr ìn h :. X3 - (2m + 1)x2 + 3(m + 4)x —m - 12 = 0.. (1). a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = —12. b. Xác đ ị nhm đ ể phư ơ ng trình có3 nghiệ m phân biệ t. Jg$ Giả i Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: (x - 1)(x2 - 2mx + m + 12) = 0 <=>. X- 1 = 0. g(x) = x2 - 2 m x + m + 12 = 0. a. Vớ i m = -1 2 , hệ (I) có dạ ng:. (2). x -1 = 0. X +24x = 0. ~x = 1 <=>. X. =0. X. = -24. Vây, phư ơ ng trình có ba nghiệ m phân biệ t X = 1, X = 0, X = - 24. b. Phư ơ ng trình có 3 nghiệ m phân biệ t khi: Phư ơ ng trình (2) có 2 nghiệ m phân biệ t khác 1 A>0 m2 - m -1 2 > 0 m < -3 o 4 < m * 13 13- m * 0 [g(l) * 0 Vậ y, vớ i m < -3 hoặ c 4 < m * 13 phư ơ ng trình có ba nghiêm phân biộ t. ^. Chú ý: Nế u phư ơ ng trình có chứ a tham số m, ta có thể coi m là ẩ n, còn X tham sô'. Sau đ ó tìm lạ iX theo m..

(160) m2x3 - 3mx2 + (m2 + 2)x - m = 0, vớ i m cổ ba nghiệ m phân biệ t.. 0.. Jg$ Giả i Viế t lạ i phư ơ ng trình về dạ ng: (x3 + x)m2 - (3x2 + l)m + 2x = 0 Coi m là ẩ n, còn X là tham số , ta đ ư ợ c phư ơ ng trình bậ c 2 theo m. , 1, 2x Giả i ra ta đ ư ợ c: m = — hoặ c m = X. X +1. Do đ ó phư ơ ng trình đ ư ợ c chuyể n về dạ ng: mx - 1 = 0 (mx - 1)(mx2 - 2x + m) = 0 o f(x) = mx2 - 2x + m = 0 Phư ơ ng trình có ba nghiệ m phân biệ t o Phư ơ ng trình f(x) = 0 có hai nghiệ m phân biệ t khác — m m *0 a*0 m*0 <=> - A'> 0 0 - 1 - mJ > 0 <=> • mk 1 f(-l/m)*0 m -l/m ^o Vậ y, vớ i m e( - 1, 1)\{0} phư ơ ng trình có ba nghiệ m phân biệ t. ^. Chú ý: Nế u các phư ơ ng pháp nhẩ m nghiệ m không có tác dụ ng ta có thể thử vậ n dụ ng kiế n thứ c về phân tích đ a thứ c. Vẩ ẩ y Tí Giả i phư ơ ng trình: X3 —3x2V3 + 7x —V3 —0. Giả i Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vể dạ ng: (1)<=>X3 - X2V3 - 2x2y/ỉ + 6X + X - V3 = 0 o x 2( x - V ã ) - 2 x V 3 ( x - Vã) + ( x - V3) = 0. <=>(x- Vã)(x2-2 x V ã + D = 0 o. =0 x2- 2 x V ã + 1 = 0. X = V3 ±V2 '. Vậ y, phư ơ ng trình có ba nghiệ m phân biệ t X = V 3 , X = V 3 ± V 2 .. ấ n dể *. «.

(161) (Bài 56/tr 63 - Sgk): Giả i các phư ơ ng trình sau: a. 3x - 12x2 + 9 = 0. b. 2x4 + 3x2- 2 = 0. c. X 4 + 5x2 + 1 = 0 . 1. Jg$ Giả i t=3. Vậ y, phư ơ ng trình đ ã cho có 4 nghiệ m. b. Đ ặ Xt 2 = t > 0. Ta đ ư ợ c: t = 1/2 2ĩ + 3t - 2 = 0 <=> => X2 t = -2 (loạ i) Vậ y, ohư ơ ng trình đ ã cho có 2 nghiệ m.. = —. <=>. X2 = 3. => X = ±. <=>. X = ±1 X II 1 + Lõ. ft = 1. a. Đ ặ t x! = t > 0. Ta đ ư ợ c: 3t2 - 12t + 9 = 0 <=>. 1. li. Xro II. Vẩ d ụ. £. 2. - 5 + V 2T .. t = ------------ < 0 (loạ i). c. Đ ặ X2 t = t ^ 0. Ta đ ư ợ c: t2 + 5t + 1 = 0 o -5 -V 2 T. l—. < 0 (loạ i). Vậ y, phư ơ ng trình vô nghiệ m. Chí. ý: Ta cũ ng có thể đ ư a ra rử iậ n xét đ ể kế t luậ n phư ơ ng trìn h vô nghiêm như sau: Dễ tháy: X4 + 5x2ằ 0 => X4 + 5x2 + 1 > 0. Vậ y, phư ơ ng trình vô nghiệ m. Vẩ d ụ 2i Cho phư ơ ng trình : mx4 - 2(m - l)x2 + m - 1 = 0. (1) Tìm m đ ể phư ơ ng trình: a. Có nghiệ m duy nhấ t. b. Cố hai nghiệ m phân biệ t. c. Có ba nghiệ m phân biệ t. d. Cố bố n nghiệ m phân biệ t. Giả i Đ ặ t t = X2 vớ i đ iề u kiệ n t > 0. Khi đ ó, phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ dạổ ing: về f(t) = mt2 - 2(m - 1)t + m - 1 = 0. ' (2) Ta xé: hai trư ờ ng hợ p : Trư ờ ng hỵ p I : Vớ i m = 0, ta đ ư ợ c : (1) <=> 2t - 1 = 0 <=> t = - 0 X2 = — <=> X = ± - ) = . 2 2 = 0 phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t. S9-T2. 72.

(162) Trư ờ ng hợ p 2: Vớ i m * 0. a. Phư ơ ng trình (1) có nghiệ m duy nhấ t <=> (2) có nghiêm t|< 0 = t2<=>. m m -1. <=> m = li.. Vậ y, vớ i m = 1 phư ơ ng trình có nghiệ m duy nhấ t. b. Phư ơ ng trình (1) có hai nghiệ m phân biệ t <=> (2) có nghiệ m t ị C O c ^ o P c O c ĩ ’ m(m - 1)<0<=>0<1TĨ 1<1. Vậ y, vớ i 0 < m < 1 phư ơ ng trình có 2 nghiệ m phân bi ệ t . c. Phư ơ ng trình (1) có ba nghiệ m phân biệ t A'> 0 <=> (2) có nghiệ m 0 = t, < t2 <=> p = 0 « s>0. 1 -m > 0. m— - = 0 vỏ nglhiệ m. m 2(01-1) l m Vậ y, không tồ n tạ i m đ ể phư ơ ng trình có 3 nghiệ m phânbi ệ t . d. Phư ơ ng trình (1) có bố n nghiệ m phân biệ t 1- m > 0 A'>0 m —1 <=> (2) có nghiệ m 0 < t, < t2 <=> O o -i ———> 0 m s>0 2(m -1) Vậ y, vớ i m < 0 phư ơ ng trình có 4 nghiệ m phân biộ t.. _. <=> m < 0..

(163) Khi đ ó, phư ơ ng trình (2) có dạ ng: (2) o at2 + bt + c - 2a = 0.. (3). Dạ ng ĩ : {Phư ơ ng trình phả n hồ i quỷ ) Đ ể giả i phư ơ ng trình:. ax4 + bx3+ cx2 - bx +a = 0. (1) Ta ử iự c hiệ n theo các bư ớ c: Bư ớ cl: Nhậ n xét rằ ng X = 0 khổ ng phả i là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Chia cả hai vế củ a phư ơ ng trình cho x2*0, ta đ ư ợ c: a(x2+ -Ỉ Ị -Í + K x - - ) + c = 0.. (2). Bư ớ c2: Đ ă =ttx - —, su y r a x 2 + - y = l* + 2. X. X. Khi đ ó, phư ơ ng trình (2)có dạ ng: at2 + bt + c + 2a = 0.. (3). có các hệ số thoả mãn Khi đ ó ta sử dụ ng ấ n phụ t = x +. Vẩ d ụ. li Giả i phư ơ ng trình X4 - —X3- X2 —- X + 1 = 0. 2 2. js£ Giả i Nhậ n xét rằ ng X = 0 không phả i là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Chia cả hai vế củ a phucng trình cho X2* 0, ta đ ư ợ c: X - —X - 1 — — + -Ụ = 0 o (x2 + — ) —— ( x + —) —1=0. 2 2x X2 X2 2 X Đ ă t tX = + —, đ iề u kiên |t| >2,suy ra X2 + \ = t2 - 2. X X Khi dó phư ơ ng trình có dạ ng: t2- - t - 3 = 0 o. t =23 _=> X+ — 1 =2 < t = - —(loai) X 2. o x 2- 2 x + l = 0 o x = l . Vậ y, ohư ơ ng trình có nghiệ m X = 1. ỉ i phư ơ ng trình: x4+ 3x3 - — X2- 3x + 1 = 0..

(164) Giả i Nhậ n xét rằ ng X = 0 không phả i là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Chia cả hai vế củ a phư ơ ng trình cho X2*■ 0, ta đ ư ợ c: 1 ~ 35 3 1 ,2 1 V 1 x 35 _ X + 3 x - ~ r - — + - y = 0 o ( x 2+ - y ) + 3( x- —) - — =0. 4 X X' Đ ặ t t =X - —, suy ra X2 + \ X. = t2 + 2.. X. Khi đ ó phư ơ ng trình có dạ ng: t2+ 2 + 3t - — = 0 « 4 t 2+ 1 2 t - 2 7 = 0 4 1_ 3 3 2x2 -3 x - 2 = 0 X 2 <=> o ÌỴ ~ 2 0 0 1_ 9 2x2 +9x - 2 = 0 2. .. x. X. 2. X.. = 2&x, = —2 2. X3.4 =■. - 9 ± V 97 '. Vậ y, phư ơ ng trình có bố n nghiệ m phân biệ t: _ 1 _ - 9 ±>/97 x , = 2 , X2 = ~ Ỷ , x34= — Ỵ — .. Chú ý: Ví dụ tiế p theo minh họ a cho dạ ng mỏ rộ ng vớ i đ iề ukiệ n cho các 2. ĩ U ẹ A. Giả i phư ơ ng trình: 2x4 - 21x3+ 74x2- 105x + 50 = 0.. Má Giả i Nhậ n xét rằ ng X = 0 không phả i là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Chia cả hai vế củ a phư ơ ng trình cho X2* 0, ta đ ư ợ c phư ơ ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng: 5 2(x2+ - 7 ) - 21(x + —) + 74 = 0 X'. X. _5 Đ ặ t t =X + —, suy ra X2 +. = t2- 10.. X. Khi đ ó, phư ơ ng trình trên có dạ ng: 2t2- 211+ 54 = 0 <=> ■. t = 6 (loạ i) t = 9 /2. Vớ i t = 6, ta đ ư ợ c: X + — =6<=>x2- 6 x + 5 = 0<=>x,= 1 và x2= 5. X. ■. Vớ i t = - , ta đ ư ợ c:X + — = — o 2x2 - 9x + 10 = 0 <=> x3 = 2; x4 = - . 2 x 2 2. Vậ y, pt]pqp3g trình có bố n nghiệ m phân biệ t là X, = 1, x2 = 5, x3 = 2, x4= —..

(165) Chú ý: Nhiề u phư ớ ng trình ở dạ ng ban đ ầ u không phả i là một phư ơ ng trình hồ i quy hay phả n hồ i quy, tuy nhiên vớ i phép đ ặ t ân phụ thích hợ p ta có thể chuyên chúng về dạ ng hồ i quy hoặ c phả n hồ i. quy, từ đ ó áp dụ ng phư ơ ng pháp đ ã biế t đ ê giả i. Ta đ mi xe xét hai ví dụ sau.. Vẩ iiụ 4i Giòi phư ơ ng trình: (X - 2)4 + (x - 2)(5x2 - 14x + 13) + 1= 0. JS$. (1). G iả i. Nhậ n xét rằ ng đ ây không phả i là mộ t phư ơ ng trình hồ i quy, tuynhiên nế u đ ặ t ẩ n phụ thích hợ p ta sẽ có mộ t phư ơ ng trình hồ i quy. Thậ t vậ y, đ ặ t y = X - 2, phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ ổ i về dạ ng: y4 + y[5(y + 2 )2 - 14(y + 2) + 13] + 1 = 0 y + 5y3 + 6y2 + 5y + 1 = 0. (2) Nhậ n xét rằ ng y = 0 không phả i là nghiệ m củ a phư ơ ng trình. Chia cả hai vế củ a phư ơ ng trình cho y2* 0, ta đ ư ợ c phư ơ ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng:. (y’ + * ) + 5(y+ i ) + 6 = 0 y. y. Đ ặ t t = y + —, suy ra y2 + A- = t2 - 2. y y' Khi đ ó, phư ơ ng trình trên có dạ ng: t2 + 5t + 4 = 0 o. ■. t = -1 t = -4. 1 Vớ i t = -1 , ta đ ư ợ c: y + — = - 1 o y2 - y + 1 = 0, vônghiệ m. y Vớ i t = -4 , ta đ ư ợ c: ] y + — = -4<=>y2 + 4 y + l = 0 o. = - 2 -Vã. <=>. = - 2 + 73 Vậ y, phư ơ ng trình có 2 nghiệ m phân biệ t là X, = —s/3 , x2 = -s/3 . Vẩ ẩ ụ Sĩ Giả i phư ơ ng trình: (x2 —x)2 - 2x(3x —5) —3 = 0. Giả i Nhậ n xét rằ ng đ ây không phả i là mộ t phư ơ ng trình phả n hồ i quy, tuy nhiên nế u đ ặ t ẩ n phụ thích hợ p ta sẽ có mộ t phư ơ ng trình phả n hổ iquy. Thậ t vậ y, đ ặ t y = X - 1, phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ ổ i về dạ ng: [(y + I) - (y + 1)] - 2(y + l)[3(y + 1) - 5] - 3 = 0. o y 4*- 2y3 —5y2 - 2y + 1 = 0..

(166) Nhậ n xét rằ ng y = 0 không phả i là nghiêm củ a phư ơ ng trình. Chi;a cả hai vế củ a phư ơ ng trình cho y2* 0, ta đ ư ợ c phư ơ ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng:. (y2 + “ T ) + 2(y - —) - 5 = 0 y 1 , Ị_ Đ ặ t t = y - —, suy ra y2 + = t2 + 2. y y2. y2. Khi đ ó, phư ơ ng trình trên có dạ ng: t2 + 2t - 3 = 0 « ■. ~t = i t = -3. Vớ i t = 1, ta đ ư ợ c:. ■. 1 I 2 , _n_ _ 1±V5 _ _ 3:±V5 y - - = l o y - y - l = 0 o y, 2 = ——— o x u = — — y 2 2 Vớ i t = -3 , ta đ ư ợ c:. y. 1 ,2 o , n - 3 ±VĨ 3 -1 ± y/Tĩ = -3 <=>jr + 3y - 1 = 0 o y34 = ----- _ ^ _ o x 34= ---y 2 2 3 í "V ?. — 1 i t V l3. Vậ y, phư ơ ng trình có 4 nghiêm phân biệ t là X,, = ----- — , X34 = -------------- .. Vẩ d ụ. li. Giả i phư ơ ng trình: (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4.. j&) Giả i Viế t lạ i phư ơ ng trình dư ớ i dạ ng: (x2 + 12x + 32)(x2 + 12x + 35) = 4. Đ ặ t t = X2 + 12x + 32, suy ra X + 12x + 35 = t + 3. Khi đ ó, phư ơ ng trình trên có dạ ng: ~t = -4 t(t + 3) = 4 <=> t + 3t - 4 = 0 <=> ■. Vớ i t = -4 , ta đ ư ợ c: x2+ 12x + 32 = - 4 o x a+ 12x + 28 = 0 o x u = - 6 + 2 ^ 2 ..

(167) •. Vớ i t = 1, ta đ ư ợ c: x2 + 12x + 32 = 1 o x 2 + 12X + 31 = 0 » x 3i4= - 6 ± y f ỉ .. Vậ y, phư ơ ng trình c ó 4 nghiệ m phân biệ t là X| 2 = - 6 ± 2 V 2 và X34 = - 6 ± V5 .. Chú ý: Dạ ng phư ơ ng trình trên đ ư ợ c mớ rộ ng tự nhiên cho lớ p phư ơ ng trình: (a]X + a 2) ( b jX + b2)(c,x + c 2) ( d j X + <i2) = n i vớ i đ iề u kiệ n:. a,.b, = c,.d, a , .b 2 + a , . b , = d ị .c 2 + di.c,. khi đ ó ta đ ặ t t = (ajX +. Vẩ «iụ 2ĩ JS$. + b2).. Giủ i phư ơ ng trình: (2x —1)(x - 1)(x - 3)(2x + 3) = —9.. G iả i. Viế t lạ i phư ơ ng trình dư ớ i dạ ng: (2x2 - 3x + l)(2x2 - 3x - 9) = - 9. Đ ặ t t = 2x: - 3x + 1, suy ra 2x2 - 3x - 9 = 1 - 10. t=1. Khi đ ó, phirơ ng trình c ó dạ ng: t(t - 10) = - 9 <=> t2 - lOt + 9 = 0 <=>. •. Vớ i t = 1, ta đ ư ợ c: 2x2 - 3x + 1 = 1 <=> 2x2 - 3x = 0<=>. •. Vớ i t = 9, ta đ ư ợ c: 2x2 - 3x + 1 = 9 <=> 2x2 - 3x - 8 = 0 o x34 =. Vậ y, phư ơ ng trình có 4 nghiệ m phân biệ t là Xj = 0, x2 =. 3. 2. t =9. X, = 0 x2 =3/2. 3±VỸ 3. 3 + V 73. x34 = -. 4.

(168) W Ỉ Ĩ T ~ ^ W SíMKlSriỉ fe. Vẩ ẩ f l i. Giãi phư ơ ng trình: (x + 4)4 + (x + 6)4 = 82.. M.|T Giả i 4+6 [x + 4 = t - 1 Đ ặ tt=X + —-— = X + 5, suy ra: < 2 Ị x + 6 = t +1 Khi đ ó, phư ơ ng trình đ ư ợ c chuyể n vể dạ ng:. _. s. _. _. _. (t - l ) 4 + (t + l ) 4 = 82 <» 2t4 + 12t2 + 2 = 82. <=> t4 + 6t2 - 40 = 0 o. *= 4 . [t = -1 0. ■. Vớ i t = 4, ta đ ư ợ c: x + 5 = 4 o x = - l . ■ Vớ i t = - 10, ta đ ư ợ c: x + 5 = -10<=>x = -15. Vậ y, phư ơ ng trình có 2 nghiệ m X = -1 và X = -15. Vẩ dụ 21 Cho phư ơ ng trình: (x + l)4 + (x + 3)4 = 2m. a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 1. b. Tìm m đ ể phư ơ ng trình có hai nghiêm phân biệ t.. ( 1). Giả i "x +1 = t —1 1+ 3 Đ ặ t t = X + —— = X + 2, suy ra x+3=t+l Khi đ ó, phư ơ ng trình (1) đ ư ợ c chuyể n về dạ ng: ( t - l)4 + (t + l)4 = 2 m o 2 t 4 + 12t2 + 2 = 2m o t4 + 6t2 + 1 - m = 0. Đ ặ t u = t2, đ iề u kiệ nầ .u0. Khi đ ó, phư ơ ng trình (2) đ ư ợ c chuyể n về dạ ng: f(u) = u2 + 6u + 1 - m = 0. a. Vớ i m = 1, ta đ ư ợ c: u2 + 6u = 0 o. u= 0. u = -6 (1). ,. „. o t 2= 0 o x + 2 = 0 o x = - 2 .. Vậ y, vớ i m = 1 phư ơ ng trình có nghiệ m X = - 2. b. Đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t, đ iề u kiệ là: n (3) có hai nghiệ m trái dấ u < = > p < 0 < = > l - m < 0 < = > m > l . Vậ y, vớ i m>l phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t.. (2) (3).

(169) Vấ n dể 9:. SỬ DỤ NG PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C HAI GIẢ I PHƯ Ơ NG TRÌNH CHỨ A DẤ U TRỊ TUYỆ T Đ ố i Phư ơ ng pháp. Vớ i các phư ơ ng trình chứ a dâu trị tuyệ t đ ố i, có thể đư ợ c chuyể n về phư ơ ng trình bậ c hai bằ ng mộ t trong các cách sau: Cách 1: Sử dụ ng các phép biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng, bao gồ m: .. .. .. ff(x) í v \ -= g(x). .. I f(X) I = I g(x) I. f(x) = -g(x) * f(x) ;> 0 f(x) = g(x) f(x) < 0 - f(x) = g(x). Vẩ dy l t. Giả i phư ơ ng trình: |x2- 2x - 2| = |x2+ 2x|.. MS Giả i Phư ơ ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng vớ i: X2 - 2 x - 2 = X2 +2x X2 - 2 x - 2 = -X2 - 2x. '2/. ». 1 X= — 2. 2x = -1 Í2x = -1 ■> <=> X —1 = 0 X —1 =0. Vây, phư ơ ng trình có ba nghiệ m phân biệ t. X =. , X = ±. .. X = ±1. 1.. Nhậ n xét: Như vậ y, ví dụ trên đ ã minh hoạ cho phép biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư gơ n thứ nhấ t củ a phư ơ ng trình chứ a đ âu trị tuyệ t đ ố ĩ . Vấ d ụ 2ĩ Giả i phư ơ ng trình: |x2+ x| = - x2+ X + 2. J&ì Giả i Phư ơ ng trình tư ơ ng đ ư ơ ng vớ i: - X2 + x + 2 > 0 í- 1< X < 2 X2 + X = - x 2 + X+ 2 <=> 2x2 = 2 X2 + X = X2 - X- 2. 2x = -2. -1 < X < 2 <=>*! X2 = 1. o x = ± 1.. X = -1. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t X = ± 1. Chú ý y ^ á c ví dụ tiế p theo, sẽ minh hoạ việ c sử dụ ng ẩ n phụ đ ể hc uyể n ^phư ơ ng trình chứ a dâu trị tuyệ t đ ôi về phư ơ ng trình bậ c hai..

(170) Vẩ d y 3 ì. Giả i phư ơ ng trình: (X - l)2+ 4 |x - l| + 3 = 0.. Giả i Đ ặ t t = |x - 11, đ iể u kiệ n t > 0. Khi đ ó, phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ ổ i về dạ ng: "t = - l (1) o t =3 t2+4t + 3 = 0 o t=3. o | x - l| = 3 o. X- 1 = 3 X- 1 = -3. Vậ y, phư ơ ng trình có 2 nghiệ m là X = 4 và X = -2.. có thể đ ư ợ c chuyể n về phư ơ ng. các phư ơ ng trtnh ề hãi bằ ng mộ t tr<. w«ng dư ong, bao gám:. ;. '. trình chứ a că n thứ c đ ư ợ c. li Vẩ d ụ. lĩ. Giả i các phư ơ ng trình: a.. Vx2 - 4 x + 5 = VxTT.. b.. Vx2 - 2 x + 3 = 4 ĩ x 7 -7 x ”+ 9 .. Giả i Phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng thành: ÍX x>-1 X+ 1> 0 X= 1 1 1 <=> • X = 1 <=> x=4 X -5 x + 4 = 0 X= 4 *Vậ y, phư ơ ng trình có nghiệ m X = 1 và X = 4. Phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng thành: X2 - 2x + 3 = 2x2 - 7x + 9 > 0 '(x -1 )2 + 2 > 0 X2 - 2 x + 3 > 0 <=>•< <=> <!fx = 2 o X -5 x + 6 = 0 X= 3 trình có nghiệ m X = 2 và X = 3..

(171) ■. ử. câu a), chúng ta lư a chọ n đ iề u kiệ n X + 1 > 0, vì óc cả m giác nó đ ơ n f'iả n hơ n đ iề u kiệ n X2 - 4x + 5 > 0. T uv n h iên , thự c tê ta thây đ iề u kiệ n. X2- 4x + 5 > 0 là đ ơ n giả n hơ n vì X2- 4x + 5 = (x- 2)2 + 1 > 0, luôn đ úng Và trong Irư ờ ng hợ p này, chúng ta không cầ n kiêm tra lạ i nghiệ m.. ■. ơ câu b), chúng ta lự a chọ n đ iề u kiệ n X2- 2x + 3 >,0VI đ iề u này luôn đ ung.. Ví dụ 2i. Giả i phư ơ ng trình: V2x2 + X- 3 = X - 1.. JSỈ> Giả i Phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng thành:. X- 1 > 0 2x' + X - 3 = (x - 1); Vậ y, phư ơ ng trình có nghiệ m Vẩ dụ. &. 3». X> ] X2 + 3x X=. Giả i phư ơ ng trình: Vx + 4. - 4=0. <=> X = 1.. 1. - Vl. -. X = Vl -. 2x .. Giả i X+ 4 > 0. Đ iề u kiệ n: •. Phư ơ ng trình viế t lạ i dư ớ i dạ ng: v l -~x + yf\ - 2 x = Vx + 4 » V ^ Õ ^ Õ. = 2x + 1 X.-A. \2x +1 > 0. x>-i <=> <=> 2 1(1—x)(1 - 2 x ) = (2x + l)2 2x2 + 7x = 0 Vậ y, phư ơ ng trình có nghiệ m. X=. 2. X= 0. <=> X = 0 .. 7 2. X = —-. 0.. Chú ý: Các ví dụ tiêp theo, sẽ minh hoạ việ c sử dụ ng ẩ n phụ đ ể chuyể n phư ơ ng trình chứ a că n về phư ơ ng trình bậ c hai. Vẩ J y 4i. Cho phư ơ ng trình: 2(x2 - 2x) + Vx2 -2 x - 3 - 9 = 0.. Giả i Đ iề u kiộ n:X2 —2x - 3 > 0 o. "x >3 X < -I. (*). Viế t lạ i phư ơ ng trình dư ớ i dạ ng : 2(x2 - 2x - 3) + Vx2 -2 x - 3 - 3 = 0 D ẳ t è ^ S 2 - 2 x - 3 , t > 0. 171.

(172) 't = l 3 o t = 1 o V x 2- 2 x - 3 t = - - (loạ i). 2t2 + t - 3 = 0 <=>. 2. o x 2- 2 x - 4 = 0 o x = l ± V s thoả mãn đ iể u kiệ n (*). Vậ y, phư ơ ng trình có nghiệ m là X = 1 ± Vs .. c. BÀI TẬ • P LƯ YÊN TẬ • P • Bài 1: Giả i các phư ơ ng trình sau:. J ____ J _ = 1. a. b. x - l x +l Bài 2: Giả i các phư ơ ng trình sau:. X2- 2 x - l a. x2- x + l. 9(x2 + X + 1)7<x+l)=0 X—1. 1. -. 2 x. 2- 3. x. 1 +3. x. 2- 3. x. 15 +4. 2( x 2 - 3. x. + 5). Bài 3: Giả i các phư ơ ng trình sau: 2x 2 +3x + 8 ---- + — , 2x +3x + 8 2x +7x + 8 Bài 4: Giả i các phư ơ ng trình sau:. a.. a.. 2x 2 + 5 x + 8. ,. x. 2- 3. x. ———. +2. X +5x + 2. 2x. + - —-----= 0. X -5x +2. -. -----. . 5x 2+ 6 x + 9. =0. 5x +4x + 9. 5x 2 +10x + 9. 5x. 2x Ế + x + 3. b. — 7——------+ 2x. b. +7x + 9 3x. - 7 x + 32 x + 6x + 3. -. — r —------------. Bài 5: Giả i các phư ơ ng trình sau: a.. Ọ x2 X2+ — — -8 = 0.. (x + 3). X2. b. 4x 2+ — - — -. (2x + l). a b Bài 6: Cho phư ơ ng trình: —— + ———=2. x -b x -a a. Tìm a, b đ ể phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ .t b. Tìm a, b đ ể phư ơ ng trình có nghiêm. Bài 7: Giả i các phư ơ ng trình sau: a. 4x3- 9x2 + 6x - 1 = 0. d. 2x3 + 7x2+ 7x + 2 = 0. b. 2x3+ x 2- 5 x + 2 = 0. e. 2x3- 9 x + 2 = 0. c. 2x3+Jfiị + 3 = 0. f. 8x3 - 4x2+ lOx - 5 = 0.. -----. -5=0..

(173) Bài 8: Giả i phư ơ ng trình sau, biế t rằ ng phư ơ ng trình có mộ t nghiêm không phụ thuộ c v à o a , b v à b > 0: X3 - ( 2 a + 1 ) x 2 + ( a 2 + 2 a - b ) x - ( a 2 - b ) = 0.. Bài 9: Cho phư ơ ng trình: mx3 + (3m - 4)x2 + (3m - 7)x + m —3 = 0. a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 3. b. Xác đ ị nh 11 Ĩ đ ể phư ơ ng trình có 3 nghiệ m phân biệ t khồ ng dư ơ ng. Bài 10: Cho phư ơ ng trình: X3 - 2mx2 + mx + m - 1 =0. Xác đ ị nh m đ ể : a. Phư ơ ng trình có đ úng 1 nghiệ m. b. Phư ơ ng trình có 2 nghiêm phân biệ t. c. Phư ơ ng trình có 3 nghiêm phân biệ t. Bài 11: Cho phư ơ ng trình: X3 - 2mx2 + (2m2 - l)x - m(m2 - 1) = 0. Xác đ ị nh m đ ể : a. Phư ơ ng trình có 3 nghiệ m phân biệ t. b. Phư ơ ng trình có 3 nghiệ m phân biệ t dư ơ ng.. c. Phư ơ ng trình có 3 nghiêm phân biệ t âm. Bài 12: Xác đ ị nh m đ ể phư ơ ng trình: X3 - ( m + 1 ) x 2 - ( 2 m 2 - 3 m + 2 ) x + 2 m ( 2 m - 1) = 0. có 2 nghiệ m phân biệ t.. Bài 13: Cho phirơ ng trình: 2x3 + 2(6m - l)x2- 3(2m - l)x - 3(1 + 2m) = 0. Tìm m đ ể phư ơ ng trình có ba nghiệ m phân biệ t có tổ ng binh phư ơ ng bằ ng 28.. Bài 14: Giả i các phư ơ ng trình: a. X4 - 10x 1 + 35 x 2- 5 0 x + 24 = 0. c. X4 - 2x3 - 6x2 + 8x + 8 = ơ .. b. X4 - 6x3 - X2 + 54x - 72 = 0. d. 2x4 - 13x3 + 20x2 - 3x - 2 = 0.. Bài 15: Giả i các phư ơ ng trình: a.. X4 - 3x2 - 4x - 3 = 0.. b. X4 - 4x3 + 3x2 - 2x - 1. = 0.. Bài 16: Cho phirơ ng trình: mx4 - (m + 2)x3+ 2(1 - 2m)x2+ 4(2 + m)x - 8 = 0. a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 2. b.. Xác đ ị nh m đ ể phư ơ ng trình có đ úng 3 nghiệ m phân biệ t.. c. Xác đ ị nh m đ ể phư ơ ng trình có 4 nghiêm phân biệ. t Bài 17: Cho phư ơ ng trình: mx4 - 6mx3 + (2 + 1lm)x2- 6(m + l)x + 4 = 0. a. Giả i phư ơ ng trình vớ i m = 1. b. Xác đ ị nhm đ ể phư ơ ng trình có đ úng 2 nghiệ m phân biệ t. c. Xác đ ị nh m đ ể phư ơ ng trình có đ úng 3 nghiệ m phân biệ t. d. Xác đ ị nh m đ ể phư ơ ng trình có 4 nghiệ m phân biộ. t Bài 18: Cho phư ơ ng trình: X4 - 4mx3+ 4(m2- l)x2 + 12x - 9 = 0. a. Xác đ ị nh m đ ể phư ơ ng trình có đ úng 1 nghiệ m. b. Xác đ ị nhm đ ể phư ơ ng trình có đ úng 2 nghiêm phân biệ t. c. Xác đ ị nhm đ ể phư ơ ng trình có đ úng 3 nghiệ m phân biệ t. d. Xác đ ị nhm đ ể phư ơ ng trình có 4 nghiệ m phân biệ t. Bài 19: Giả i các phư ơ ng trình sau: a.. X4- X2 - 2 = 0. + 1=0.. c. d.. X4- 3x2 + 2 = 0. X4- 4x 2 + 1 = 0.

(174) Bài 20: Cho phư ơ ng trình: X4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0 .. Tìm m đ ể phư ơ ng trình có 4 nghiệ m phân biệ t. Bài 21: Giả i các phư ơ ng trình: a. X- V2x + 3 = 0. b. 73x7*4 - \Í2x +T = yjx + ĩ . c.. V 5x-1 -. \j3 x. - 2 = Vx- 1 .. Bài 22: Giả i các phư ơ ng trình: a. x2+ Vx2 + ll =31. c.. b.' (x + 5)(2 - x) = 3 Vx2 + 3x .. yị ị x + 1)(2 - x) = 1 + 2x - 2x2.. Bài 23: Giả i các phư ơ ng trình: b.V2x2+5x + 2 - 2 n/2x 2+5x - 6 = 1.. a. Vx2- 3 x + 3 + Vx2- 3x + 6 =3. Bài 24: Giả i phư ơ ng trình: a.. Vx 2 + 3 x + 2 - 2 V 2 x 2 + 6 x + 2 = - V 2 .. b. V x - V ^ T + >/x + Vx^-T =2. Bài 25: Giả i phư ơ ng trình (x - 3)(x + 1) + 4(x - 3)./—— = -3. Vx - 3. Bài 26: Giả i phư ơ ng trình: 2 íj/(l + x )2 - 3 Vl - X 2 + íj/(l-x )2 = 0, vớ i n chẩ n.. D. HƯ Ớ NG DẨ N - Đ ÁP SỐ Bài 1. a.. Đ iề u kiệ n X * ±1. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vể dạ ng: X + 1 - (X - 1) = (X - l)(x + 1) o 2 = X2- 1. o x ỉ = 3 o x = ± ^ , thoả mãn đ iề u kiệ n . Vây, phư ơ ng trình có hai nghiêm X = ±\/3. .. b. Đ iề u kiệ n X* 1. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vể dạ ng: 9 ( x 2 + x + 1). 7 ( x + 1). X -x+l. X-1. -. o. - =. 9 (x 3 - 1) = 7(x3 + 1 ). ,v. o x. Bài 2. Đ iề u kiệ n: X2- 2x. *■ 0. o. 2. 3 = 8 o x = 2, thoả mãn đ iéu kiệ n .. Vây, phư ơ ng trình có nghiêm X =2.. a.. ,w. ■ <=>9(x - l)(x2+ X + 1) = 7(x + l)(x2 - X + 1). x(x - 2) * 0 o. X* 0. x*2.

(175) í\. _. t - 1 - -1 = ()<=>---^ t - 1 = -1 0 1(1-1/ = n6 o í, - 1 - 6 = 0 2n ---t. 6. l. ". “. II X. r. ỉ. 't =3 1 = -2. r1. 1. o. t. 6. ‘. <=> X2 -. 2x = -2. r X = —]. o. x = -3. Vậ y, phinmg trình có hai nghiệ m X = -1 và X = 3. b. Đ ạ t t =X 2 - 3x + 4, phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ ổ i thành: — + - = — - <=>4t(t + 1) + 2(t - 1)(t + 1) = 15t(t - 1) <=>9t2- 19t + 2 = 0 t-] t 2(t +1) t=. 1. t= 9. Y. x2 -3x + 4 - 2. 2. 1 °. » X2. -3x + 4 = 9. -3x + 2 = 0 15. X' - 3 x + — = 0. X -1 <=>. 9. X =. 1. 2. V ậ y , p h ư c m g t r ì n h c ó h a i n g h i ệ m X = 1 v à X = 2.. Bài 3. Chia cả tử và mẫ u cho Xhoặ c X2. Bài 4. Chia cả tử và mẫ u cho X. Bài 5. Thêm vào hai lầ n tích (2ab).. Bài 6. a.. a * 0 v à b * 0 và a * ±b.. b.. Vớ i mọ i a, b không đ ổ ng thờ i bằ ng khóng.. Bài 7. a.. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: (x - l)(4x2 - 5x + 1) = 0 <=>. X = 1 X =. 1/4. Vây, phư ơ ng trình có hai nghiêm X = 1 và X = —. 4 X — 1. b.. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: (x - 1)(2x2 + 3x - 2) = 0 o. X. = 1/2. X. = -2. Vậ y, phư ơ ng trình có ba nghiệ m X = 1, X = — và X = -2. c.. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vể dạ ng: (x + 1)(2x2 - 2x + 3) = 0o X = - 1 . Vậ y, phư ơ ng trình có nghiệ m X = - I . "x = - l. d. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vể dạ ng: (x + 1)(2x2 + 5x + 2) = 0o. Vậ y, phư ơ ng trình có ba nghiệ m X = -1 , X = —- và X = -2.. X. = -1 /2. X. = -2.

(176) X=. L f.. Vậ y, phư ơ ng trình có ba nghiệ m X= 2, X=. -2±\Í6. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: 8x3- 4x2+ lOx - 5 = 0 o (2x - l)(4x2+ 5) = 0 o x = —. Vậ y, phư ơ ng trình có nghiệ m X= —.. Bài 8. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vé dạ ng: (x - l)(x2- 2ax + a2- b) = 0 o. X= 1. x = a±Vb. Vậ y, phư ơ ng trình có ba nghiệ m X = 1, X = a ± Vb . J. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vể dạ ng: (x + l)[mx2+ 2(m - 2)x + m - 3) = 0 X + 1= 0. o. g(x) = mx2+ 2(m - 2)x + m - 3 = 0 (2). a. Vớ i m = 3, hệ (I) có dạ ng:. x + 1= 0 3x2+2x = 0. o. (I). 'x = - l X = -2 /3 . x =0. Vậ y, phư ơ ng trình có ba nghiệ m phân biệ t X = - 1 ,X = 0, x = ——. b. Đ ể phư ơ ng trình có 3 nghiệ m phân biệ t không dư ơ ng o (2) có 2 nghiệ m phân biệ t không dư ơ ng (X| < x2^ 0) khác - 1 a*0 A'g > 0 <=> <P^O s <0 g (-l)^ 0. m* 0 4 -m > 0 m- 3 ^0 o 3 í m < 4 . m m - 2. m. <0. 1*0. Vậ y, vớ i 3 <, m < 4 phư ơ ng trình có ba nghiệ m phân biệ t không dư ơ ng. Bài 10. Hư ớ ng dẫ n: Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: (X - l)[x2 UIX - (2m - l)x - m + 1] = 0. ặ. ■. -1. =. 0. 0 = X2 -(2 m - l)x - m +1 = 0 (2). (I).

(177) a. Phvơ rig trình có đ úng1 nghiệ m: o b.. (2 ) n g h iệ m. kép bằ ng 1. Phư ơ ng trìn h c ó 2 n g h iệ m p h â n b iộ t:. •=> c.. (2 ) v ô n g h iệ m. ( 2 ) có h a i n g h i ệ m (2 ) n g h iệ m. p h â n b iệ t v à n h ậ n. X=. 1 là m. 1 n g h iệ m. kép khác 1. Phư ơ ng trìn h có 3 n g h iệ m phâ n b iệ t:. o (2) có hai nghiêm phân biộ t khác 1. Bài 11. Hư ớ ng dẫ n: Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vể dạ ng: (x - m)(x - mx + m - 1) = 0 o. X- m = 0. g(x) = x2-m x + n r -1 = 0 (2). (I). a. phuơ ng trình có 3 nghiêm phân biệ t: o b.. (2 ) có h a i n g h iê m p hâ n b iê t kh á c m .. Phư ơ ng trình có 3 nghiêm phân biộ t dư ơ ng: <=> (2 ) có hai n g h iệ m phân biộ t dư ơ ng khác m và m > 0.. c. Phư ơ ng trình có 3 nghiệ m phân biệ t âm:. <=>(2) có hai nghiệ m phân biệ t âm khác m và m < 0. Bài 12. Hư ớ ng dẫ n: Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: (x + m )[x2 - (2m + 1)x + 2(m - 1)] = 0. o. X+ m = 0. (I). g(x) = X2 - (2m + l)x + 2(m -1) = 0 (2)'. Phư ơ ng trình có 2 nghiệ m phân biộ t: <=>. (2 )c ó hai nghiệ m phân biệ t và nhân X = - m làm nghiêm. (2) nghiệ m kép khác - m. Bài 13. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: (x - 1)[2x2+ 12mx + 3(1 + 2m)] = 0. <=>. X = 1. f(x) = 2x2+ 12mx + 3(l + 2m) = 0 (2) ’ Trư ớ c hế t, phư ơ ng trình (1) có ba nghiệ m phân biệ t <=> phư ơ ng trình (2) có hai nghiệ m phân biệ t khác 1. o. Af >0. 36m2 -12m -6 >0 <=> f(l)?fc0O 117 + 6m * 0. ĩĩì> 17 6. 1+V7 6. 1- \ Ị Ĩ. ^ m < ---------—. 6.

(178) x ,.x ,=. 3(1 + 2 m ). Tổ ng bình phư ơ ng hoành đ ộ các cự c trị bằ ng 28 <=> xf + Xj + l1= 28 <=> xf + = 27 o ( Xị + x2)2- 2x,x2= 27 "m = l o 36m2- 3(1 + 2m) = 27 o. m = —— (I) 12. Vậ y, vớ i m = 1 thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. Bài 14: a. Nghiệ m X = 1, X = 2,. X. = 3, X = 4. b. Nghiệ m. c. Nghiệ m X= ±2, X= 1± \Ỉ 3 .. X. = -3 ,. X. = 2,. X. = 3, X= 4.. d. Nghiệ m X= 2, X = —, X = 2± V? .. Bài 15: a. Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: (X4 - 2x2 + 1) - (X2 + 4x + 4) = 0 o (x2 - 1)2 - (X + 2)2 = 0. o (x2-. X -. 3)(x2+ X. +. 1) = 0 <=>. X2 - X - 3 = 0 X2 + X + 1 = 0. o. X =. (vô nghiệ m). 1±VĨ 3. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biộ t Xị 2=. 1±V Ĩ 3. b. Hư ớ ng dẫ n: Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: (x4- 4x3+ 4x2) - (x2+ 2x + 1) = 0 o (x2- 2x)2- (x + l )2= 0. Bài 16: Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vẻ dạ ng: ~ X- 1 = 0 (X. - l)(x - 2)(x + 2 ) ( m. x -2 ) = 0 o. x -2 = 0 x+2=0 mx - 2 = 0 (*). Bài 17: Hư ớ ng dẫ n: Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng: x -1 = 0 (x - l)(x - 2)(mx2- 3mx + 2) = 0 <=> x - 2 = 0 mx2 -3m x + 2 = 0 (*). Bài 18: Hư ópíệ dẫ n: Biế n đ ổ i phư ơ ng trình về dạ ng (x 2- 2mx)2- (2x - 3)2=0..

(179) Bài 19: a. Đ ãt t =X 2 , đ iể u kiệ n t > 0. Khi đ ó, phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ ổ i về dạ ng: t —t —2 = 0 <=>. t = - l (I). t- 2. o. X2 = 2 <=> X| 2 = ±. Vậ y, phir<mg trình có hai nghiệ m phân biệ t là X, 2=. >/2. .. ± \Ỉ 2 .. = 0 <=>. Vậ y, phư ơ ng trình c ó c.. 1. 1-. 1. t= 4. K =±i 2. X II. 5t +. 0. b. Đ ặ t t = X2, diề u kiệ n t > 0. Khi đ ó, phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ ổ i về dạ ng: 't = l 'x = ±l V = 1 L. 4. bố n nghiệ m phân biệ t là X,. 2. = ±1. và X34. = ± —.. và X34. = ± \Ỉ 2. Đ ặ t =t X2, đ iề u kiệ n t> 0. Khi đ ó, phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ ổ i vể dạ ng: t2- 3t + 2 = 0. 't = i t=. V. 2. = ±1. X. = 1. 0. 0. X = ±\fĩ. X2 = 2. Vậ y, phư ơ ng trình c ó bố n nghiệ m phân biệ t là X| 2= ±1 d. Đ ặ t t = X2, đ iề u kiệ n t > 0. Khi đ ó, pliư <mg trình đ ư ợ c biế n đ ổ i vể dạ ng: t2 - 4t + 1 = 0 o. t = 2 -yfĩ. t = 2 + V3. o. Ị. x. 2= 2 -. sỉ. 3. = 2+73. o. r xX = ± V 2 - V 3 X. =±v 2+V3. Vậ y, phư ơ ng trình có bố n nghiệ m phân biệ t là: vàx34 = ± \Ị Ĩ + V ĩ . Bài 20: Đ ặ t t = X2, đ iề u kiệ n t > 0. Khi đ ó, phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ ổ i vể dạ ng: t2 - 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0 .. (2). Phư ơ ng trình ban đ ầ u có bố n nghiệ m phân biệ t o phư ơ ng trình (2) có hai nghiệ m phân biộ t dư ơ ng 0 < tị < t2 (m + 1)2- 2m - l >0 ÍA' > 0 <=> s > 0 -i 2(m + 1) > 0 2m +1 > 0 p >0. 2. < m * 0.. 1 Vậ y, VÓỊ V^- < m * 0 phư ơ ng trình có bố n nghiệ m phân biệ t..

(180) Bài 21: a. Phư ơ ng trình đ ư ợ c biế n đ ổ i tư ơ ng đ ư ơ ng: >/2x + 3 = X. x^O x;>0 í ,<=> > <=> 1 X = X -2 x -3 = 0 12x + 3 = X V X =; xSĩ O. <=>. Vậ y, phư ơ ng trình có nghiệ m X = 3. 3x + 4 ^ 0 b. Đ iề u kiệ n: 2x + l ằ 0 o x > 2 x +3^0 Phư ơ ng trình đ ư ợ c chuyể n về dạ ng: Vx + 3 + >/2x + l = V3x + 4 o ( x + 3) + (2x + 1) + 2 ^/(x + 3)(2x + 1) =3x+4 x = -3 <=> 7 ( x + 3X2x + 1) = 0 <=> (x + 3)(2x + 1) = 0 o. 1 <=> X = X = — —. 2. Vây, phư ơ ng trình có nghiệ m X. =. 2. 1 2. - - .. .. 5x-l£0 c.. Đ iề u kiệ n: 3 x - 2 ^ 0 o X > 1. x - 1^ 0 Biế n đ ổ i phư ơ ng trình vẻ dạ ng: V S x -l = 7 x ^ 1 + n/3x-2 o 5 x - 1 = x - 1 + 3 x - 2 + 2 Ặ o. X+. x - ĩ )(3x^2). 2 = 2 n/(x-1X 3x-2) <» ( x + 2)2= 4(x - l)(3x - 2). o 11X2—24x + 4 = 0 o x = 2 (vìx = — loai). 11 Vậ y, phư ơ ng trình có nghiệ m là X = 2. Bài 22: Hư ớ ng dẫ n: a.. Viế t lạ i phư ơ ng trình dư ớ i dạ ng: X2 + 11 + v x 2+ 11 =20. Đ ặ t t = \/x 2+11, đ iề u kiệ n t £ VĨ T. Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng: t2+ t - 20 = 0.. b.. Viế t lạ i phư ơ ng trình dư ớ i dạ ng: - (x2+ 3x - 10) = 3 \/x2+3x . Đ ặ t t = Vx 2+3x , đ iể u kiệ n t> 0. Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng: 2t + 3t - 10 = 0.. c.. Viế t lạ i phư ơ ng trình dư ớ i dạ ng: -v/l + X- X2 = 2(1 + X- X2) - 1. Đ ặ t t =^$® hx-x 2 , đ iể u kiệ n ầt . 0. Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng2t2—t —1 = 0..

(181) Bài 23: a.. Đ ặ t t = X2 - 3x + 3. Khi đ ó phư ơ ng trình có dạ ng:. ■ Ị ỉ + Vt + 3 = 3 <=> t + t + 3 + 2 \fĩ {ỉ + 3) —9 o 3- t > 0 o <. t(t + 3) = ( 3 - t ). , o. ít < 3. <. t= l. o t = l o x. t(t + 3) —3 —t. - 3 x + 3 = l<=>. X = 1 X. Vậ y, phư ơ ng trình có hai nghiệ m X = 1, X = 2. Bài 24: Họ c sinh tự làm. X >3 Bài 25: Đ iể u kiệ n: ——- > 0 <=> x < -f x -3. =2. (*). /x + 1 , suy ra (x - 3)(x + 1) = t2. Đ ặ t t= (x - 3) X -3 Khi có phư ơ ng trình có dạ ng: t2+ 4t + 3 = 0 o Vjri t = - 3, ta đ ư ợ c: (x —3). t = -3 t= -i' -3 < 0 (x-3)(x + l) = 9 X. X +1. x -3 X <3. X <3 o < , o X - 2x -12 = 0. <=> X X. = 1± VĨ 3. = 1 - VĨ 3 .. Vẳ i t = - 1, ta đ ư ợ c: x -3 < 0 x -3. [(x-3Xx + l) = l. X <3 X2 - 2 x - 4 = 0. <=>. X <3 Ị—. x = 1±V5. = 1 -7 5 -. Vậ y, ohư ơ ng trình có hai nghiệ m X = 1 - \/Ĩ 3 và X = 1 — V 5. Bài 2 6 : Nhậ n xét rằ ng X = ±1 không phả i là nghiệ m củ a phư ơ ng trình, chia cả hai vế củ a phư ong trình cho. 1—X. 1 - x )2 * 0, ta đ ư ợ c: 2ị ị Ị ~—— -3 tị -. 1+ x. 1+ X. Nhậ n xét rằ ng: ^Ị —— -Ị ị Ị 11 - X. 11- X. 1+ x. .. , .. = 1, nên nế u đ ậ t t =Ị. /l + x 1- X. +. 1 = 0. ... , đ iể u kiệ n t >0, suy. ]. ra ri----- = - . Khi đ ó, phư ơ ng trình có dạ ng: 1 +• X. t. t=l 2 - - + l= 0 o 2 t 2+ t - 3 = 0 <=> t = -3 / 2 loạ i t Víi t = 1, ta đ ư ợ c:p — - = 1 o —+— = l o l + x = l - x o x = 0. 1—X. 1- X.

(182) ‘ H<. 7. GIẢ I TOÁN BẰ NG CÁCH LẬ P PHƯ Ơ NG TRÌNH A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T ——. phư ợ ng ti hệ phư ơ n, phư ơ ng trình bậ c hai mộ t ẩ n, ta thự c Chọ n ẩ n và xác đ ị nh đ iề u kiệ n thích hợ p cho ẩ n. Clhú ý phả i ghi rõ đ ơ n vị củ a ẩ ri Biể u thị các đ ạ i lư ợ ng chư a biế t khác theo ẩ n. Chia vào các dữ kiệ n và đ iề u kiệ n cùa bài toán đ ể lậ Ị p phư ơ ng B u á c2 : Giả i ph. Bư ớ c 3: Thử iạ i, SSm. mộ t trong 5 dạ ng sau. Bài toán về s. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN _________________________________________:______- ............... ............ ...................... ....................... : ______________ ,_________ _____________________ í____________________________________________________________________________. Vẩ d ụ. li. Mộ t đ oàn xe vậ n tả i dự đ ị nh đ iề u số xe cùng loạ i đ nể chuyể vậ n 40 tấ n hàng. Lúc sắ p khở i hành, đ oàn xe đ ư ợ c giao thêm 14 tấ n nữ a. Do đ ó phả i đ iề u thêm 2 xe cùng loạ i và mỗ i xe ban đ áu phả i chỏ thêm nử a tấ n nữ a. Tính số xe phả i đ iề u theo dự đ ị nh.. Jg$ G iả i 1. Lậ p phư ơ ng trình a. Lự a chọ n ẩ n ■ Gọ i X là số xe phả i đ iề u theo dự đ ị nh, đ iề u kiộ n 0 < X e N. b. Thiế t lậ p hai phư ơ ng trình Vớ i giả thiế t: ■ Vớ i X xe vậ n chuyể n 40 tấ n hàng, suy ra mỗ i xe phả i chờ số hàng theo.

(183) Vì đ oàn xe phả i nhậ n thêm 14 tấ n hàng nên số hàng lúc sau là: 40+ 14 = 54. Vì đ oàn xe phả i đ iể u thêm 2 xe nên sô' xe lúc sau là X + 2 và mỗ i xe 54 phả i chờ sô hàng lúc sau bă ng ———. X + 2 Vì mỗ i xe phả i chở thêm nử a tấ n nên ta có phư ơ ng trình: 40 1 54 + —= X 2 X +2 2. Giai phư ơ ng trình X , = 10 8ơ (x + 2) + x(x + 2) - !08x = 0 <=> X 2 - 26x + 160 = 0 x2 = 16 3. Kế t luậ n. Vậ y, sô xe dự đ ị nh phả i đ iề u là 10 xe hoặ c 16 xe. ^. Nhậ n xét'. Như vậ y, trong lờ i giả i củ a ví dụ trên ta thây: • Chúng ta lự a chọ n ân X cho giá trị cầ n tìm là sô' xe phả i đ iề u. ■ Việ c thiế t lậ p phư ơ ng trình dự a trên phép so sánh khôi lư ợ ng mỗ i xe phả i chở . ■ Lờ i giả i đ ư ợ c trình bày thành ba phầ n đ ộ c lậ p nhau,ớ vi mụ c đ ích minh hoạ đ ê giúp các em họ c sinh hiể u đ ư ợ c cách trìn h bày bài toán theo thuậ t toán đ ã đ ư ợ c chỉ ra. Tuy nhiên, kê từ các ví dụ sau chúng ta không cầ n phân tách như vậ y mà chỉ yêu cầ u các em họ c sinh khi đ ọ c phả i biế t mình đ ang ở bư ớ c nào.. Vẩ d ụ 2ĩ. (Bài 65/tr 65 - Sgk): Mộ t xe lử a đ i từ Hà Nộ i vào Bình Sơ n (Quả ng Ngãi). Sau đ ó1 giờ , mộ t xe lử a khúc đ i từ Bình Sơ n ra Hà Nộ i vớ i vậ n rố c lớ n hơ n vậ n tố c củ a xe lử a thứ nhấ t là 5km/h. Hai xe gặ p nhau tạ i mộ t ga à chính giữ a quãng đ ư ờ ng. Tìm vậ n tố c củ a mỗ ixe, giả thiế t rằ ng quãng đ ư ờ ng Hủ Nộ i - Bình Sơ n dài900km.. G iả i. Gọ i X là víỊ n tố c củ a xe lử a đ i từ Hà Nộ i (x > 0; đ om vị : km/h) Vậ n tố c xe lử a đ i từ Bình Sơ n là X + 5. Hai xe gặ p nhau tạ i mộ t ga ở chính giữ a quãng đ ư ờ ng. Do đ ó, ta có phư ơ ng trình: X. X +5. +1 <=> 450(x + 5) = 450x + x(x + 5). o x 2- 5 x - 2250 = 0 o. "x =45 X = -50 (loạ i). Vậ y1vậ |í tố c củ a hai xe lử a là 45km/h và 50km/h..

(184) Vể Ể ặ a» (Bài 52/tr 60 - Sgk): Khoả ng cách giữ a hai bế n sông A và B lù 30km. Mộ t cơ nô đ i từ bế nA đ ế n bế nB, nghỉ 40 phút ở bế n B rồ i quay lạ i bế n A. K ể từ lúc khở i hành đ ế n khi vê tớ i bế nA hế t tấ t cả 6 giờ . Hãy tìm vậ n tố c củ a canô trong nư ớ c yên lặ ng, biế t rằ ng vậ n tố c củ a nư ớ c chày là 3km/h. Giả i Đ ổ i: 40 phút = — giờ . Gọ i X là vậ n tố c củ a canô đ i trong nư ớ c yên lặ ng (x > 3;đ ơ n vị : km/h). Suy ra, vân tố c củ a canô đ ỉ xuôi theo dòng nư ớ c làX+3 và cfi nguọ c dòng là X- 3. Ta có phư ơ ng trình: X =12 30 30 2 _, _ . 2 + + — =6<=>4x - 4 5 x - 3 6 = 0 o x+3 x - 3 3 X = - 3 / 4 (loạ i) Vậ y, vậ n tố c thự c củ a canô là 12km/h. Vấ d ụ 4t (Bài 43/tr 58 - Sgk): Mộ t xuồ ng du lị ch đ i từ thành phô'Cù Mau đ ế n Đ ấ t Mũ i theo mộ t đ ư ờ ng sông dài 120km. Trên đ ư ờ ng đ i, xuồ ng có nghỉ lạ i 1 giờ tạ i thị trấ n Nă m Că n. Khi về , xuổ ng đ i theo đ ư ờ ng khác dài hơ n đ ư ờ ng lúc đ i là 5 km vớ i vậ n tố c nhỏ hơ n vậ n tố c lúc đ i là5km/h. Tính vậ n tố c củ a xuồ ng lúc đ i, biế t rằ ng thờ i gian vê bằ ng thờ i gian đ i. M ỉ Giả i Gọ i vậ n tố c lúc xuồ ng đ i là X (x > 5, đ ơ n vị : km/h). Suy ra, vậ n tố c lúc xuồ ng về là X - 5 (km/h). 120 Thờ i gian chạ y xuồ ng lúc đ i (không kể thờ i gian nghỉ ) àl ——. X 125 Thờ i gian chạ y xuồ ng lúc vể là x -5 Ta có phư ơ ng trình: 125 120 + 1 <» 125x = 120(x - 5) + x(x - 5) X- 5 X [x = 30 o X2- lOx - 600 = 0 o X = -20 (loạ i) Vậ y, vậ n tố c củ a xuồ ng lúc đ i là 30km/h. Vấ d ụ 5» Hai bế n sông A và B cách nhau 40 km. Cùng mộ t lúc vớ i canô đ i xuôi từ A có mộ t chiế c bè trôi từ A vớ i vậ n tố c 3km/h. Sau khi đ ế nB cụ nỏ trở vê bế n A ngay và gặ p bè khi đ ã trôi đ ư ợ 8c km. Tính vậ n ị ' riêng củ a canô. Biế t vậ n tố c cùa canô không thay đ ố ỉ ..

(185) G iả i. Mộ Gọ Từ ■ ■. t chiế c bè trôi vớ i vậ n tố c 3 km/h, tứ c là vậ y vậ n tố c dòngnư ớ clà 3 km/h. i vậ n lố c riêng củ a canỏ là X (x > 0, km/h). giả thiế t, suy ra: Vậ n tố c canô đ i xuôi dòng là: X + 3. Vậ n tố c canô đ i ngư ợ c dòng là:X - 3. 40 Vậ y thờ i gian canô đ i xuôi từ A đ ế n B là: —— . X+ 3. Khi đ i từ B trở về A, canô gặ p bè đ ã trôi đ ư 8ợ ckm, suy ra: Thờ i gian đ ể bè trôi đ ư ợ 8c km là: —. ■ ■. Quãng đ ư ờ ng từ B đ ế n chỗ gặ p bè là: 4 0 - 8 (km) 32 Vây thờ i gian canô đ i từ B đ ế n chô gặ p bè là: —— X. 3. Nhậ n thấ y rằ ng, canô và bè cùng khở i hành mộ t lúcvàthờ i gian đ ộ ng củ a hai vậ t đ ế n chỗ gặ p là như nhau. Vậ y ta có phư ơ ng trình: 40 X + 3. chuyể n. 32 = I c > 1 2 0 (x -3 ) + 96(x + 3 ) - 8 ( x + 3 )(x - 3 ) X- 3. 3. O 8 x 2-2 1 6 x = 0 = > x = 27. Vậ y, vậ n tố c thự c củ a canô là 27 km/h. Vấ dụ fti Mộ t ngư ờ i đ i xe máy trên quãng đ ư ờ ng AB dài 120 km vớ i vậ n tố c đ ị nh trư ớ c. Sau khi đ i đ ư — ợ cquãng đ ư ờ ng vớ i vậ n tố c đ ó, ngư ờ i lái xe tâng vậ n tố c thêm 10 km/h trên quãng đ ư ờ ng còn lạ i. Tìm vậ n tố c dự đ inh và thờ i gian xe lă n bánh trên đ ư ờ ng. Biế t ngư ờ i đ ế ónB SỚ TÌÌ hơ n dự đ ị nh24 phút. Giả i Đ ổ i 24 phút = — = — (giờ ). 60 5 Gọ i vậ n tố c dự đ ị nh củ a ngư ờ i đ i xe máy là X (x > 0, km/h). 120 Suy ra, thờ i gian dự đ ị nh đ ể đ i hế t quãng đ ư ờ ng AB là: —— (giờ ). X Vớ i giả thiế t: •. Thờ i gian ngư ờ i đ i xe máy đ i hế t — quãng đ ư ờ ng (tư ơ ng ứ ng vớ i.

(186) ■. ■. — quãng đ ư ờ ng còn lạ i ngư ờ i đ ó tă ng vậ n tố c thêm 10 km/h nên thờ i 2 gian ngư ờ i đ i xe máy đ i hế t — quãng đ ư ờ ng là: ■ —— (giờ ). 3 X“1”10 Do ngư ờ i đ ó đ ế n B sớ m hom dự đ ị nh 24 phút nên ta có phư ơ trình: ng 80 2 120 _ 40 X +10 5 X X o 120.5(x + 10) = 40.5(x + 10) +80.5x + 2x(x + 10) X = 40 o 2x2+ 20x + 4000 = 0 <=> X = -50 (loạ i) Vậ y, ta đ ư ợ c: , 120 Vậ n tố c dự đ ị nh là 40 km/h và thờ i gian dự đ ị nh là —— = 3giờ . Thờ i gian xe lă n bánh trên đ ư ờ ng là thờ i gian dự đ ị nh trừ ờ ithgian đ ế n sớ m bằ ng: 3 - — = 2 — (giờ ) = 2 giò 36 phút.. Vẩ d ụ. li. BÀI TOÁN VỂ SỔ VẢ CHỮ S ố ____________________________ (Bài 41/tr 58 —Sgk): Trong lúc họ c nhóm, bạ n Hùng yêu cầ u bạ n Minh và bạ n Lan mỗ i ngư ờ i chọ n mộ t sô sao cho hai sô này hơ n kém nhau là 5 và tích cùa chúng phả i bằ ng 150. Vậ y hai bạ n Minh và Lan phả i chọ n nhữ ng s ố nào?. Giả i Gọ i X là số Minh chọ n, thì số Lan chọ n là X - 5 (x e R) Ta có phư ơ ng trình: x(x - 5) = 150 o. '2- 55xx - 150 = 0 »o r* = -1 °. X2 -. X = 15. Vậ y, Lan và Minh có thể chọ n mộ t trong hai cặ p số (10; 15) hoặ c (-10; -15) Chú ý: Ta cũ ng có thể gọ i các sô' cầ n tìm là Xvà X + 5. Kế t quả ta cũ ng có hai cặ p số (10 ; 15) hoặ c (—10 ; -15) thoả mãn đ iề u kiệ n đ ề bài. Vẩ d ụ 2i Tìm hai số biế t hiệ u củ a chúng bằ ng 8 và tổ ng các bình phư ơ ng củ a chủ ng bằ ng 424. Giả i Gọ i số thứ nhấ t là X. Vớ i giả thiế t:. 80.

(187) Tổ ng bình phư ơ ng củ a hai số bằ ng 424 nên ta có phư ơ ng trình: X2 + (x + 8)2 = 424 <=> 2x2 + 16x - 360 = 0 <=>. XI = 10 x 2 = -1 8. V ậ y , ta đ ư ợ c:. •. Nế u số thứ nhấ t là 10 thì sô thứ hai bằ ng 18.. ■. Nế u số thứ nhấ t là -18 thì sỏ thứ hai bằ ng -10. Nhậ n xét'. Như vậ y, trong lờ i giả i củ a ví dụ trên ta thấ y: 1.. Cho dù bài toán yêu cầ u chúng ta đ i tìm hai sô (đ iềnày u có thê khiế n hoe sinh hiể u theo hư ớ ng cầ n hai ẩ n) như ng cầ n hiể u rằ ng, sô thứ hai đ ư ợ c xác đ inh thông qua sô thứ nhât (bở i hiệ u giữ ahúng c bằ ng 8). Do đ o, chúng ta lự a chọ n ân X cho số thứ nhât và dễ thấ y số thứ hai là X + 8.. 2. Việ c thiế t lậ p phư ơ ng trình là đ ơ n giả n, khi đ ã có đợ cư hai sô cầ n tìm. 3. Vớ i nhậ n đ ị nh toong 1, bài toán có thể đ ư ợ c giả i thông qua hệ hai ẩ n X,. y vớ i Xlà sô' thứ nhấ t và y là sô' thứ hai), cụ thê: ■. ■. H iệ u c ủ a c h ú n g b ằ n g 8 n ê n : X - y = 8.. (1 ). Tổ ng bình phư ơ ng củ a hai số bằ ng 424 nên: X2+ y2 = 424.. (2). X- y = 8. Tư (1) và (2), ta có hệ phư ơ ng trình: •{. X + y = 424. Họ c sinh tự giả i bằ ng cách chuyể n về phư ơ ng trình bậ c hai. Vẩ J ụ 3i (Bài 64/tr 64 —Sgk): Bùi toán yêu cầ u tìm tích củ a mộ t sô dư ơ ng vớ i mộ t sô lớ n hơ n nó 2 đ ơ n vị như ng bạ n Quân nhầ m đ ầ u bài lạ i tính tích củ a mộ t số dư ơ ììg vớ i mộ t số bé hơ n nó 2 đ ơ n vị . Kế t quả củ a bạ n Quân là 120. Hỏ i nế u làm đ úng đ ầ u bài đ ã cho thì kế t qua phả i là bao nhiêu'? JS$ Gi di Gọ i Xlà số dư ơ ng cầ n tìm. Theo Quân thì X thoả mãn phư ơ ng trình: X X - 2) = 120 o X2 - 2x - 120 = 0 o. \. =. 12. X = -1 0 (loạ i). Vậ y, ỉ ố dư ơ ng cầ n tìm đ ó là 12 và nế u làm đ úng thì kế quả t là: 12.(12 + 2 ) = 168. Vấ d ụ 4i (Bài 44/tr 59 —Sgk): Đ ô em tìm đ ư ợ c mộ t sô mù mộ t nử a củ a nó trừ đ i mộ t nử a đ ơ n vị rồ i nhân vớ i mộ t nử a củ a nó bă ng mộ ử tanđ ơ n vị ..

(188) X= 2. Vậ y, có hai số thoả mãn đ iề u kiệ n. Vẩ ẩ y ỉ l t (Bài 45/tr 59 - Sgk): Tích củ a hai sô' tự nhiên liên tiế p lớ n hơ n tổ ng củ a chúng là 109. Tìm hai s ố đ ó. J&> Giả i Gọ i X là số tự nhiên thì số kế tiế p củ a nó là X + 1 (x e N). Ta có phư ơ ng trình: x(x + 1) = X + X + 1 + 109 <=>x2- x - 1 1 0 = 0<=>. X = 11 X = -10 (loạ i). Vậ y, hai số tự nhiên liên tiế p cầ n tìm là 11 và 12. Vẩ d ụ ẩ to Mộ t lớ p họ c đ ư ợ c nhà trư ờ ng phát phơ n thư ở ng ba lầ n và chia đuề cho các em họ c sinh. Lầ n thứ nhấ t chia hế t 66 quyể n vở như ng vắ ng 5 em, lun thứ hai chia hế t 125 quyể n vở như ng vắ ng 2 em còn lầ n thứ ba thì không vắ ng em nào và chia hế t 216 quyể n vở . Biế t tì' họ c sinh có mặ t cả ba lầ n đ ã nhậ n đ ư ợ c s ố vở(trong lẩ n bà) bùng tổ ng s ố vở đ ã nhậ n trong hơ i lầ n đ ầ u. Tính sô họ c sinh. JS$ Giả i Gọ i số họ c sinh là X (x > 0, em). Trong lầ n phát phầ n thư ở ng thứ nhấ t: -. SỐ họ c sinh đ ư ợ c nhậ n vở là: X - 5.. -. Và mỗ i em đ ư ợ c nhậ n:. X- 5. Trong lầ n phát phầ n thư ở ng thứ hai: -. Số họ c sinh đ ư ợ c nhân vở là: X - 2.. -. 125 Và mỗ i em đ ư ợ c nhậ n: —— X- 2. Trong lầ n phát phầ n thư ờ ng thứ ba: - SỐ họ c sinh đ ư ợ c nhậ n vở là:X . -. .. 216. Và môi em đ ư ợ c nhậ n: ——. X.

(189) Biế t mộ t họ c sinh có mặ t cả ba lầ n đ ã nhậ n đ ư ợ c sô vở (trong lầ n ba) bằ ng tổ ng sổ vờ đ ã Iihậ n trong hai lầ n đ ầ u nên ta có phư ơ ng trình: 216 66 + 125 <=> 66x(x - 2) + 125x(x - 5) - 216(x - 2)(x - 5) X - 5 X - 2 J _. _. <=> 25x2 - 755x + 2160 = 0 <=>. X= — (loạ i) X= 27. Vậ y, trong lớ p có 27 em họ c sinh. Vân đ ề 3: BÀI TOÁN VÒI NƯ Ớ C Vẩ dụ l ĩ Có hai vòi nư ớ c. Ngư ờ i ta mỏ vòi thứ nhấ t cho nư ớ c chả y đ ầ v mộ t bê cạ n rồ i khoá lạ i. Sau đ ó mỏ vòi thứ hai cho nư ớ c cháy ra hế tvớ i th ờ i g ia n. lâ u h ơ n s o. v ớ i th ờ i g ia n. v ò i m ộ t c h ả y là. 4 giờ .. N ê u C Ù I 1ÌỊ. mở cả hai vòi thì b ể đ ầ y sau19 giờ 15 phút. Hỏ i vòi thứ nhấ t chả y trong bao lâu mớ i đ ầ y b ể klìi vòi hai khoú lạ i. JS$ Giả i Ta thự c hiệ n đ ổ i đ ơ n vị : 19 giờ 15 phút = 19— = — 60 4 Gọ i thờ i gian vòi thứ nhấ t chả y đ ầ y bể là X (giờ ), đ iề u kiệ n X > 0. Suy ra, mỗ i giờ vòi mộ t chả y vào bể đ ư ợ c: — (bể ) X Vói giả thiế t: ■ Thờ i gian vòi thứ hai chả y cạ n bể là: X + 4, suy ra mỗ i giờ vòi hai chả y. •. ra đ ư ơ c: —ỉ — (bể ). X + 4 Nế u mở cả hai vòi thì sau 19 giờ 15 phút mớ i đ ầ y bể ,suy ra mỗ i giờ cả. hai vòi cùng chả y thì đ ư ợ c:—— = — (bể ). 77/4 77 Từ đ ó, ta có phư ơ ng trình: --------- — = — <=> 77(x + 4) - 77x - 4x(x + 4) = 0 X X+ 4 77 <=> 4x2 + 16x - 308 = 0 <=>. X=7. X = -11 (loạ i). Vậ y, sau 7 giờ thì vòi thứ nhấ t chả y đ ầ y bể khi vòi hai khóa. Chú ý: Trong bài toán trên, các em họ c sinh cầ n lư u ý: ■ Vòi thứ nhấ t chả y đ ể cho nư ớ c vào bể . ■ Vòi thứ hai chả y đ ể lấ y nư ớ c từ bê’ ra..

(190) 1. 1. 4. trừ thờ i gian củ a vòi thứ hai: — ----- -— = ——. X X + 4 77 Còn trong trư ở ng hợ p cả hai vòi cùng chả y vào bể thì ta có: X. X +. 4. 77. Vấ d y 1« (Bài 46/tr 59 - Sgk): Mộ t mánh đ ấ t hình chữ nhậ t có diệ n tích240m \ Nêu tă ng chiề u rộ ng3m và giả m chiề u dài 4m thì diệ n tích mả nh đ ấ t không đ ổ i. Tính kích thư ớ c củ a mành đ ấ t. Giả i Gọ i X là chiề u dài hình chữ nhậ t (x > 4; đ ơ n vị : mét) 240 Suy ra, chiề u rộ ng hình chữ nhậ t là ——. X. Ta có phư ơ ng trình: (X - 4)1 — + 31 = 240 <» (x - 4)(240 + 3x) = 240x <=> 3x2- 12x - 960 = 0 <=>. X = 20. X = -16 (loạ i) Vậ y, hình chữ nhậ t có chiề u dài là 20m và chiế u rộ ng là 12m. Vẩ 2ĩ Tính chiề u dài và chiề u rộ ng củ a mộ t hình chữ nhậ t. Biế t hình chữ nhât đ ó cố chu vi bằ ng340m và diệ n tích bằ ng 7200m2. Jg$ Giả i ■ Gọ i chiề u dài củ a hình chữ nhậ t là X (x > 0, m). ■ Gọ i chiề u rộ ng củ a hình chữ nhậ t là y (0 < y < X, m). Do hình chữ nhậ t đ ó có chu vi bằ ng 340m và diệ n tíchbằ ng 7200m2 nên ta X + y = 170 2(x + y) = 340 có hệ phư ơ ng trình: <=> -í xy = 7200 xy = 7200 Theo đ ị nh lí Viét, X và y là nghiệ m củ a phư ơ ng trình:. X2- 170X + 7200 = 0 «. X = 8° . X = 90. Vậ y, hình chữ nhạ t có chiế u dài bằ ng 90 m và chiề u rộ ng bằ ng 80 m. ^. Nhậ n xét'. Như vậ y, trong lờ i giả i củ a ví dụ trên ta thây: ■ Vớ i hai giá trị phả i tìm chúng ta lự a chọ n nó cho hai ẩ n tư ơ ng ứ ng. Từ đ ó, cào đ i thiế t lậ p mộ t hệ hai phư ơ ng trình theoaih ẩ n đ ó. 'ơ ng trình đ ư ợ c giả i nhờ hệ thứ c Viét..

(191) Vẩ dy 3ĩ. (Bài 66/tr 64 - Sgk): Cho AABC có BC = 16cm, đ ư ờ ng caoAH = 12cm Mộ t hình chữ nhậ t MNPQ có đ ỉ nhM thuộ c cạ nh AB, đ ỉ nhN thuộ c cạ nh AC còn hai đ ỉ nhp vù Q thuộ c cạ nh BC. Xúc dinh vị trí củ a đ iể n M trên cạ nh AB sao cho diệ n tích củ a hình chữ nhậ t đ ób ằ n g 36cm2.. Giả i Ta có: SmNPQ= MN.NP = MN(AH - AK) => MN(AH - AK) = 36. ( 1). 6 m I - AAWV, MN Lạ i có AAMN —AABC nên: — = ' AB BC => MN = k.NC = 16k AK = k.AH = 12k Thay vào ( 1), ta đ ư ợ c: k = 1/4 16k(12 —12k) = 36 <=> k = 3 /4. 3 = — hoă c AB 4 ■ AB 4 Vẩ dụ 71 Cho mộ t thử a ruộ ng hình chữ nhậ t, mộ t ngư ờ i đ i theo chiề udài hế i 1 phút 5 giây, đ i theo chiề u rộ ng hế t39 giây. Ngư ờ i tu làm mộ t lôi di xung quanh thử a ruộ ng rộ ng 1,5 m thì diệ n tích còn lạ i lù 552S m2. Tính kích thư ớ c củ a thử a đ ấ t. Vậ y, đ iể m M cầ n chọ n trên cạ nh AB sao cho. JS$ Giả i Đ ổ i: 1 phút 5 giây = 65 giây. Gọ i chiéu dài củ a thử a ruộ ng là X (x > 0, m). Gọ i chiể u rộ ng củ a thử a ruộ ng là y (y > 0, m). Mộ t ngư ờ i đ i bộ theo chiề u dài hế t 65 giây, theo chiề urộ ng hế t 39 giây nên , . A. X 65 _ 5 .,, ta có tỉ số : —= — = - . ( 1) y 39 3 Ngư ờ i ta làm mộ t lố i đ i xung quanh thử a ruộ ng rộ ng 1,5 m do đ ó: -. Chiề u dài còn lạ i là: X - 2x 1,5 = X - 3.. - Chiề u rộ ng còn lạ i ]à: y - 2x 1.5 = y - 3. Biế t diệ n tích còn lạ i là 5529 m2nên ta có phư ơ ng trình: (X - 3)(y - 3) = 5529 Từ (1) và (2) ta có hộ phư ơ ng trình: X 5 5y X= (3) <=> y 3 (x -3)(y -3 ) = 5529 (4) . (x,«*3)(y - 3) = 5529 4 , S9-T2. (2).

(192) Ẽ L - 3Ì (y - 3) = 5529 o (5y - 9)(y - 3) = 16587. 3 ) <=> 5y2 - 24x - 16560 = 0 o. Vẩ d ụ l t. y = 60 276 .. y = — -— (loạ i). (Bài 63/ứ 64 - Sgk): Sau hai nă m, s ố dân củ a mộ t thành phô' tă ng từ 2 000 000 ngư ờ i lên 2 020 050 ngư ờ i. Hỏ i trung bình mỗ i nânt dân số củ a thành phố đ ó tă ng bao nhiêu phẩ n tră? m. Giả i Gọ i X là tỉ lệ tă ng dân số hàng nă m củ a thành phố (x > 0, đ on vị :%). Suy ra, số dân tă ng sau nă m thứ nhấ t là 2000000x. Do đ ó, sau nă m thứ nhấ t số dân thành phố là: 2000000 + 2000000X = 2000000(1 + x ).. Sau nă m thứ hai, số dân củ a thành phố là 2000000(1 +x)x. Ta có phư ơ ng trình: 2000000(1 + x) + 2000000(1 + x)x = 2020050 c=>x = 0,5. Vậ y, trung bình mỗ i nă m dân số củ a thành phô' đ ó tăg thêm n 0,5%. Vẩ d ụ 2« (Bài 49/tr 59 - Sgk): Hai đ ộ i thợ quét sơ n mộ t ngôi nhà. Nế u họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việ c. Nế u họ làm riêng thì mỗ i đ ộ i phả i làm trong bao nhiêu ngày đ ể xong việ c? JS$ Giài Gọ i X là thòi gian riêng đ ộ i I hoàn thành công việ c (x > 0, đ ơ n vị : ngày) Do đ ó, thờ i gian đ ộ i n làm riêng là (x 6) + ngày. Trong 1 ngày: ■. Đ ộ i I hoàn thành — công việ c. X • 1 Đ ộn i hoàn thành công việ c. X + 6. ■. 1 Cả hai đ ôi cùng làm thì hoàn thành — công viêc. 4. Từ đ ó, ta có phư ơ ng trình: —+ —í— = —<=>x2- 2x - 24 = 0 o X X +6 4. X = 6 X =. —4 (loạ i). Vậ y, nế u phả i làm riêng thì đ ộ i I hoàn thành công viộ ctrong 6 ngày và đ ộ i II hoăn thẳ!ftrong 12 ngăy..

(193) Ví d ụ 3:. &. Muôn làm xong mộ t việ c cầ n 480 công tliợ . Ngư ờ i ta có thê thuê mộ t trong hai nhóm thợ A hoặ c B. Biế t nhóm A ít hơ n nhóm B lù 4 nạ ư ờ i và nế u giao cho nhóm B thì công việ c hoàn tlìànli sớ m hơ ìi 10 ngày so vớ i nhóm A. Hỏ i sô ngư ờ i củ a mỗ i nhóm.. G iả i. Gọ i số ngư ờ i củ a nhóm A là X (x > 0, ngư ờ i). Suy ra, sô ngư ờ i củ a nhóm B là: X + 4 (ngư ờ i). Vói giả thiế t: ■. Nế u tliuê nhóm A thì thờ i gian hoàn thành công việ c là: ■. X. .. Nế u thuê nhóm B thì thờ i gian hoàn thành công viêc là:. . X+ 4. •. Do nhóm B hoàn thành sớ m hơ n so vớ i nhóm A là 10 ngày nên ta có phư ơ ng trình:. - 10 = X. <=> 48(x + 4) - x(x + 4) - 48x X+ 4. <=> X2 + 4x - 192 = 0 <=>. X = 12. X= -16 (loạ i). Vậ y, nhóm A có 12 ngư ờ i và nhóm B có 16 ngư ờ i. c®"’ Chú ý: Vớ i ví dụ trên, ta có thể gọ i Xlà số ngư ờ i nhóm A và y là số ngư ờ i nhóm B. Sau đ ó ta thiế t lậ p đ ư ợ c hệ phư ơ ng trình: y - X= 4. íx = 12. L80 480 ín o \ - - — = 10 ly = 16 y. Vẩ d ụ 4 ĩ. X. (Bài 42/tr 58 - Sgk): Bác Thờ i vay 2 000 000 đ ồ ng củ a ngủ n hàng đ ể làm kinh tế gia đ ình trong thờ i hạ n1 nă m. Lẽ ra cuố i nă m bác phả i trả cả vố n lẫ n lãi. Song bác đ ã đ ư ợ c ngân hàng cho kéo dùi thờ i hạ n thêm 1 nă m nữ a, s ố lãi củ a nă m đ ầ u đ ư ợ c gộ p vào vớ i vố n đ ể tính lãi nă m sau và lãi suấ t vẫ n như cũ . Hế t hai nă m hả pi trả tấ t cà là 2 420 000 đ ồ ng. Hỏ i lãi suấ t cho vay là bao nhiêu phầ n tră m trong mộ t nă m?. J&) Giả i Gọ i X là lãi xuấ t vay ngân hàng trong mộ t nă m (x > 0, đ ơ nị :v%) Bác Thờ i vay 2 000 000 đ ổ ng củ a ngân hàng đ ể làm kinh tếgia đ ình trong thờ i hạ n 1 nă m. Do đ ó, tiề n lãi củ a nă m thứ nhấ t là 2000000x Vậ y, cả tiề n vay và tiề n lãi phả i trả sau 1 nă m là: )0 + 2000000X = 2000000(x + 1)..

(194) Số tị ề n cả vố n lẫ n lãi sau nă m thứ hai là: 2000000(x + 1) + 2000000(x + l)x = 2000000(x + l)2. Do đ ó, ta có phư ơ ng trình: 2000000(x + l )2= 2420000 <=> X2 + 2x — — = 0 » 100. x. X=. 100. 1107 (loạ ,1 i) 100. Vậ y, Bác Thờ i vay vớ i lãi suấ t 10%. Vẩ dụ Sì Mộ t tổ sán xuấ t theo k ế hoạ ch phả i làm đ ư ợ c720 sả n phẩ m. Nế u tă ng nă ng xuấ t lên 10 sàn phẩ m mỗ i ngày thì so vớ i giả m nă ng xuấ t đ i20 sả n phẩ m mỗ i ngày thờ i gian hoàn thành ngắ n hơ n 4 ngày. Tính nă ng xuấ t dự đ ị nh. JS$ Giả i Gọ i nă ng xuấ t dự đ ị nh là X (x > 0, sả n phẩ m/ngày). Nế u tă ng nă ng xuấ t lên 10 sả n phẩ m mỗ i ngày thì thờ i gian hoà n thành ... công việ c. p. 720. l à : ------ - .. X+10. Nế u giả m nă ng xuấ t đ i 20 sả n phẩ m mỗ i ngày thì thờ i gian hoàn thành công X việ• A c .là:. 7 2 0. ~ .. X- 2 0. Do thờ i gian chênh lệ ch là 4 ngày nên ta có phư ơ ng trình: 720 + 4 = _720 O 720(x -2 0 ) + 4(x +10Xx -20)-72Q ( x +10) x + 10 x -20 X = 80 <=>4x2- 40x -2 2 4 0 0 = 0 o X = -70 ( l o ạ i ) Vậ y, nă ng suấ t dự đ ị nh là 80 sả n phẩ m mộ t ngày.. c . BÀI TẬ • P LUYỆ • N TẬ • P Bài 1: Tìm hai sô' biế t hiệ u củ a chúng bằ ng 5 và tổ ng các bình phư ơ ng củ a chúng bằ ng 125. Bài 2: Tìm hai số biế t tổ ng củ a chúng bằ ng 25 và hiêu các bình phư ơ ng củ a chúng cũ ng bằ ng 25. Bài 3: Lúc 7 giò sáng mộ t ôtô khở i hành từ A đ ể đ ế n cách B A 120 km. Sau khi đ i 2 đ ư ợ c — quãng đ ư ờ ng ôtô dừ ng lạ i 20 phút đ ể nghỉ rổ i đ i chậ m hơ n trư ớ c 8 km/h. Ôtô. đ ế n B lúc1(Xgị ờ . Hỏ i nó nghỉ lúc mấ y giờ ?.

(195) Bài 4: Mộ t ngư ờ i đ i từ A đ ế n B rổ i lạ i trở về A. Lúc vềđ i đ ư ợ c 30 km ngư ờ i đ ó nghi 20 phút. Sau khi nghỉ xong, ngư ờ i đ ó đ i vớ i vậ n tố c nhanh hơ n trư óc 6 km/h. Tính vậ n tố c lúc đ i. Biế t quãng đ ư ờ ng AB dài 90 km và thờ i gian đ i gbằ thờ n igian về kể cả nghi. Bài 5: Mộ t ngư ờ i đ i xe đ ạ p từ A đ ế n B cách nhau 33 kmi vớvậ n tố c xác đ ị nh. Khi từ B về A ngư ớ i đ ó đ i bằ ng đ ư ờ ng khác dài hơ n đ ư ờ ng trư ớ c 29 như kmng vớ i vậ n tố c lơ n hơ n vậ n tố c lúc đ i 3 km/h. Tính vậ n tố c lúc đ i. Biế hờt ti gian về nhiề u hom thờ i gian đ i là 1 giờ 30 phút. Bài 6: Mộ t ôíô đ i từ A đ ế n B rồ i quay trở vể A ngay. Sau khi ôtô đ i đ ư ợ c 15 km thì mộ t ngư ờ i đ i xe đ ạ p từ B về A. Tính vậ n tố c mỗ i xe. Biế: t - Quãng đ ư ờ ng AB dài 24 km. - Vậ n tố c ôtỏ nhanh hơ n xe đ ạ p 37 km. - Ôtô quay trở về A sớ m hơ n xe đ ạ p đ ế n B là 44 phút. Bài 7: Mộ t ôtỏ dự đ ị nh đ i quãng đ ư ờ ng AB dài 60 km. Trong mộ t ithờgian nhấ t đ ị nh, trén nử a quãng đ ư ờ ng AB do đ ư ờ ng xấ u nên ồ tồ chỉ đ i vớ i vậ cníttố hơ n dự đ ị nh 6 km/h. Đ ể đ ế n B đ úng dự đ ị nh, ôtồ phả i đ i quãng đ ư ờ ng cònvậlạ ni vớtôci nhanh hơ n vậ n tố c dự đ ị nh 10 km/h. Tính thờ i gian dự đ ị nh đ i hế t quãng đ ư ờ ng. Bài 8: Mộ t tổ lao đ ộ ng hoàn thành đ ào đ ắ p 8000 m3 đ ấ t trong mộ t thờ i gian hấ t n đ ị nh. Nế u mỗ i ngày vư ợ t mứ c 50 m3 thì tổ lao đ ộ ng hoàn ành th kế hoạ ch sớ m 8 ngày. Tính thờ i gian dự đ ị nh. Bài 9: Mộ t nông trư ờ ng phả i trồ ng 75 ha rừ ng vớ i nãng suấ t đ ã đ hị ntừ trư ớ c. Như ng trong thự c tế , khi bắ t tay vào trồ ng rừ ng thì mỗ i tuầ n nông trư ờ ng trồ ng thêm đ ư ợ c 5 ha. Do vậ y, họ đ ă hoàn thành công việ c sớ m hom dự đ ị nh 1 tuầ n.ínhT nàng suấ t dự đ ị nh củ a nông trư ờ ng. Bài 10: Mộ t khu vư ờ n hình chữ nhậ t có chu vi 280 m. Ngư ờ i ta làm mộ t lố i đ i xung quanh khu vuờ n rộ ng 2 m. Diệ n tích còn lạ i là 4256. Tính chiể u dài và chiề u rộ ng củ a khu vư ờ n. Bài 11: Hai vòi nư ớ c cùng chả y vào mộ t bể nư ớ c cạ n nế u cả hai vòi cùng chả y mộ t lúc thì sau 4 giờ thì đ ầ y bể . Nế u từ ng vòi chả y mộ t thì thổ i gian òvi I chả y nhanh hơ n vòi II là 6 giờ . Hỏ i mổ i vòi chả y mộ t mình thì sau bao lâu đ ầ ybể . Bài 12: Hai vòi nư ớ c cùng chả y vào bể trong 6 giò 40 phút. Nế u chả y riêng từ ng vòi mộ t thì mỗ i vòi phả i chả y trong bao lâu mớ i đ ầ y bể . Biế t rằ ngvòi thứ hai chả y lâu hơ n vòi thứ nhấ t 3 giờ .. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP s ố Tham khả o các ví dụ cơ bả n trong phầ n phư ơ ng pháp giả i toán..

(196) PH Ẩ. N. h ìn h. HỌ C. CHƯ Ơ NG ra - GÓC VỚ I Đ Ư Ờ NG TRÒN CHỦ. I> Ể 1. GÓC Ở TÂM -SỐ. Đ O CUNG. A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T gtrỏ nlầ ể ỏ c mà đ ỉ nhcùànỏ là tâm củ a đ ư ờ ng tròn. Ig ứ òn tạ ĩ hai đ iể m, do đ ó xác đ ị nh hai cung tròn và Ị. ■. XB. x - n. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN VI d ụ l i. (Bài 1/tr 68 - Sgk): Kim giờ và kim phút cùa đ ồ ng hồ tạ o thàntì mộ t gố c ở tâm có số đ o là bao nhiêu đ ộ vào nhữ ng thờ i đ iểsau: m a. 3 giờ . b. 5 giờ . c. 6 giò. d. 12 giờ . e. 20 giờ. Giãi a. 90°. b. — x5 = 150°. 12. Vấ đ y2t JỀ. Ã. c. 180°.. d. 0°.. e.. 12. Cho đ ư ờ ng tròn(O, R), dây AB = R. Tính sô'đ o hai cungAE.. Gidi Xét AOAB, ta có: OA = OB = AB = R » AOAB đ ể u => Ấ ÕB = 60°. Từ đ ó, ta đ ư ợ c: ■ Số đ o ^ ộ ) củ a cung nhò AB bằ ng 60°. ■ củ a cung lớ n AB bằ ng 360° - 60° = 300°. P. — x4 = 120°..

(197) Vẩ d ụ 3» (Bài 5/tr 69 - Sgk): Hai tiế p tuyế n củ a đ ư ờ ng tròn(O) tạ i A và B cắ t nhau tạ i M. Biế t AMB = 35°. a. Tính sô đ o củ a góc ở tâm tạ o bở i hai bán kínhOA, OB. b. Tính sô đ o mỗ i cungAB (cung lớ n và cung nhỏ ). Jg$ Giả i a. Ta có: Ấ OB + OBM + BMA + MÃÕ = 360° Do đ ó: Ấ ÕB = 360° - 90° - 90° - 35° = 145°. b. Ta có: sđ ABnhỏ = 145°. sđ AB,2 = 360° - 145° = 215°. ___ Vẩ dụ 4t Cho dư ờ ng tròn (O), góc ở tâm AOB = 120°, góc ở tâm AOC = 30°. Tính sô đ o cungB C . Giả i Ta có hai trư ờ ng hợ p: Trư ờ ng hợ p I : Đ iể m c nằ Khi đ ó: sđ BC = sđ Ấ Trư ờ ng hợ p 2: Đ iể m c nằ Khi đ ó: s đ ẽ c = sđ Ấ. m trên cung lớ n AB. B + sđ Ấ C = 120° + 30° = 150°. m trên cung nhỏ AB. AV' / 'VB B - sđ Ấ C = 120° - 30° = 90°. Vy (T----^ Nhậ n xét: Nhiề u em họ c sũ ih khi tììự c hiệ n ví dụ trên chỉ xét mộ t trong hai trư ờ ng hợ p, đ ê tránh mắ c phả i nhữ ng thiế t sót kiêu này cầ n họ c thuộ c thậ t kỹ đ ị nh nghĩ a về góc ở tâm. Vấ dụ Si Cho AABC có Â = a, B = p. Đ ư ờ ng tròn(O) nộ i tiế p tam giác tiế p xúc vớ i AB, AC, BC theo thứ tự* ở D, E, F. A a. Tính sô đ o cung nhỏ và cung lớ nD E . b. Tính sô'đ o cung nhỏ và cung lớ nE F . Giài a. Xét tứ giác ADOE, ta có: B p DÕÈ = 360° - Â - D - Ê = 360° - a - 90° - 90° = 180° - a. Vậ y, ta đ ư ợ c: ■ Sô' đ o (đ ộ ) củ a cung nhỏ DE bằ ng 180° - a. •Số đ o (đ ộ ) củ a cung lớ n DE bằ ng 360° - (180° - a ) = 0° 18 + a . b. Trong AABC, ta có c = 180° - Â - B = 180° - a - p. Xét tứ giác CEOF, ta có: Ẽ ÕF = 360° - c - F - Ê = 360° - (180° - a - p) - 90° - 90° = a + p. Vậ y, ta đ ư ợ c: ■ Sô đ o (đ ộ ) củ a cung nhò EF bằ ng a + p. đ o (đ ộ ) củ a cung lớ n EF bằ ng 360° - (a + P). V-.

(198) Vẩ d ụ Bi Chứ ng minh rằ ng nế u mộ t tiế p tuyế n song song vớ i mộ t dây thì tiế p đ iể m chia đ ôi cung că ng dây. £ $ Giài Gọ i I là tiế p đ iể m, nố i 01 cắ t AB tạ i M, ta có: OI -L xy (tính chấ t củ a tiế p tuyế n) Mặ t khác:AB//xy=>OI±AB => IA = IB, tính chấ t đ ư ờ ng kính vuông góc vớ i mộ t dây. ^ Vẩ. Nhậ n xét: Ví dụ ữ ên là mộ t trư ờ ng hợ p đ ặ c biệ t củ a đ ị nh lý ha i cung chắ n giữ a hai dây song song. ể f 7i Cho đ ư ờ ng tròn(O) đ ư ờ ng kínhAB và mộ t cung AC có sô' đ o nhỏ hơ n 90°. V ẽ dây CD vuông góc vớ i AB và dây DE song song vớ i AB. Chứ ng minh rằ ng: a. AC = B E . b. Ba đ iể m c , o ,E thẳ ng hàng.. J&> Giả i a. Ta có AB vuông góc vớ i CD nên: AC = AD => Ấ c = Ấ D . Ta có AB song song vớ i DE nên: AD = BE => Ẩ c = BE.. (1) (2). Từ (1) và (2) suy ra Ấ c = BE. b. Ta có: Ô2 + Ò3 = 180° (hai góc kề bù), Ôj = Ô2(vì AC = BE < 180°). => ô, + ỏ 3 = 180° => c, o , E thẳ ng hàng.. c. BÀI TẬ • P LUYÊN TẬ • P • Bài 1: Cho đ ư òmg tròn (O, R), dây AB = R.V 2 . Tính số đ o hai cung AB . Bài 2: Cho AABC có Â = 70°. Đ ư òng tròn (O) nộ i tiế ptam giác tiế p xúc vớ i AB, AC theo thứ tự ở D, E. Tính số đ o cung nhỏ DE. Bài 3: Từ mộ t đ iể m A ở bên ngoài đ ư òng tròn (O) vẽ ihatia tiế p tuyế n AM và AN, chúng tạ o vớ i nhau mộ t góc a. a. Tính số đ o (đ ộ ) củ a cung lớ n MN . b. Từ mộ t đ iể m I trôn cung nhỏ MN , vẽ tiế p tuyế n vớ iđ ư ờ ng tròn cắ t AM và AN lầ n lư ợ t tạ i B và c. Tia OB và o c cắ t đ ư ờ ng tròn lầ n lư ợ t tạ i D và E. Chứng minh rằ ng sô' đ o củ a cung nhỏ DE có giá trị không ổ đi khi đ iể m I chạ y trên cung nhỏ MN. Bài 4: Cho đ ư ờ ng tròn (O) và dây AB. Lấ y hai đ iể m M và N nằ m trên cung nhỏ AB chia cung này thành ba cung bẳ ng nhau AM = MN = NB. Các bán kính OM và ON cắ t AB tạ i c vàD, G$uĩ ig minh rằ ng AC = BD và AC > CD..

(199) Bài 5: Cho đ ư ờ ng tròn (O, R) và mộ t cung nhò AB. Tính diệ n tích AAOB. Bài 6:. ỏ í\y AB sao cho. Cho hai đ ư ờ ng tròn đ ồ ng tâm (O, R) và. ^ O;. sô đ o củ a cung lớ n AB gấ p đ ồ i r. V3. . Tiế p tuyế n củ a đ ư ờ ng. tròn nhó cắ t đ ư ờ ng tròn lớ n tạ i A và B. Tính sô đ o củ a hai cungAB . Bài 7: Cho c là mộ t đ iể m nằ m trên cung AB củ a đ ư ờ ngòn tr (O). Đ iể m c chia cung AB thành hai cung AC và CB. Chứ ng minh rằ ng sđ AB = sđ AC sđ + BC . Bài 8: Cho AABC. Gọ i o là tâm củ a đ ư ờ ng tròn đ i qua ba nh đ ỉ A, B, c. a. Tính sô đ o các góc ờ tâm tạ o bở i hai trong ba bán íknh OA, OB, o c . b. Tính số đ o các cung tạ o bở i hai trong ba đ iể m A, B, c.. D. HƯ Ớ NG DẨ N - Đ ÁP SỐ Bài 1. Xét AOAB, ta có: OA2 + OB2 = R2 + R2 = 2R 2 = AB2 <=> AOAB vuông cân tạ i o. => Ấ ÕB = 90°. Từ đ ó, ta đ ư ợ c: ■ Sô đ o (đ ộ ) củ a cung nhỏ AB bằ ng 90°.. A. • Sô đ o (đ ộ ) củ a cung lớ n AB bằ ng 360° - 90° = 270°. Bài 2. Xét tứ giác ADOE, ta có: DÕỀ. = 360° - Â - Ò - Ê. = 360° - 70° - 90° - 90° = 110°. Vậ y, sô đ o (đ ộ ) củ a cung nhỏ. DE bằ ng 110°.. Bài 3. a. Xét tứ giác AMON, ta có:. MÕN = 360° —Â —M -N = 360° - a - 90° - 90° = 180° - a. Khi đ ó, số đ o (đ ộ ) cùa cung lớ n MN bằ ng: 360° - (180° —a)180° = + a.. b. Nhậ n xét rằ ng: •. BM và BI là hai tiế p tuyế n nên BOM = BOI => BOI = —M O I.. ■. CN và CI là hai tiế p tuyế n nên CON = COI => COI = —N O I. 1. 1. Khi đ ó: DÔE = B O I+ C O I= - MOI + - N O I = - ( M O I+ N O I ) 2 2 2. 1. = — M O N = — (180° - a ) = 90° — — có giá trị khổ ng đổ i. <=> SỔ. ào củ. "3ÉÍ ỉ Ị Ễ 0. a cung nhỏ. DE có giá tri khỏ ng đ ổ i..

(200) a. Xét hai tam giác AOAC và AOBD, ta có: AOC = AOD, vì AM = NB OA = OB, bán kính đ ư ờ ng tròn OAC = OBD, vì AOAB cân tạ i o Do đ ó: AOAC = AOBD => AC = BD, đ pcm. b. Trong AOAD có o c là tia phân giác, do đ ó: AC OA OA , .„ . — = —Ị Ị > —— = 1 => AC > CD, đ pcm. CD OD ON ^ Bài 5.Vớ i giả thiế t "Số đ o củ a cung lớ n AB gấ p đ ôi cung nhò AB", suy ra: Ấ ÕB = 120°. Hạ OH vuông góc vớ i AB. Xét AOAH vuông tạ i H, ta có: Ấ ÕH = - Ấ ÕỖ. = 60° => Ố ÂH = 90° - 60° = 30°. Khi đ ó: OH = - OA = — 2 2 AH2= OA2- OH2= R2- — = —. oAH=. 2. Xét AOAB, ta có: Saoab = - OH.AB = -O H .2AH = OH.AH =. R R n/3. R2n/3. Bài 6. Nhậ n xét rằ ng, trong AOAB cân tạ i o có: OA = OB = R và đ ư ờ ng cao OH = => AOAB đ ề u => Ấ ÕB = 60°. Khi đ ó: ■. Sô' đ o cung nhỏ AB bằ ng 60°.. ■ Số đ o cung lớ n Ấ B bằ ng 360° - 60° = 300°. Bài 8. Họ c sinh tự vẽ hình. a. Ta có: Ấ ÕB= 180° - (Ố ÃB + Ố BẦ ) = 180° - (30° + 30°) = 120°. Ấ ÕC= ẽ õ c = 120°. b. Ta có: sđ ABnhồ = 120°;sđ A B tón = 2400. sđ ACnhò= 120 0 ;sđ AClớ n = 2400. 6 = 120°; sđ BC)(ta = 240°..

(201) €BÌỈ 'BỀ. 2. L iê n h ệ g i ữ a c u n g v à d â y A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T. Đ ố i vớ i hai cung nhỏ trong mộ t đ ư ờ ng tròn: 1. Hai cung bằ ng nhau khi và chỉ khi chúng că ng hai dây bằ ng nhau. 2. Cung lớ n hơ n khi và chỉ khi nó că ng dây lớ n hơ n. Trong dư cmg tròn (O), ta có minh hoạ : AB = C D o A B = CD<=> Ấ ÕB= CÕD. Ẩ B >CD o A B > C D <=> Ấ ÕB> CÕD.. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN VI d y I t. Cho AABC vuông cân tạ i A và nộ i tiế p troníỊ đ ư ờ ng tròn(O). Clubig (ỏ rằ ng: a. Ấ B = Ấ c .. b. Ấ B < BC.. Giả i Xét AABC vuông cân tạ i A, ta có ngay: AB = AC (hai cạ nh bên củ a tam giác cân) o. AB = AC. AB < BC (cạ nh góc vuông nhỏ hơ n cạ nh huyề n) <=> AB < BC. Chú ý. 1. Giữ a đ ư ờ ng kính vớ i dây và cung că ng dây có sự liênệ hnhư " Đ ư ờ ng kính vuông góc vớ i dãy thì : • Dư ờ ng kính đ i qua trung đ iể m củ a dây • Đ ư ờ ng kính đ i qua đ iể m chừ ứ i giữ a củ a cung " 2. Hai cung chắ n giữ a hai dây song song thì bằ ng nhau. Vấ dy 2i (B;u 1o/tr 71 —Sgk): a. Vẽ đ ư ờ ng tròn tâmo , bán kính R = 2cm. Nêu cách vẽ cung AB có sô đ o bâng60°. Hỏ i dây AB dùi bao nhiêu xentimétl b. Làm thê nào đ ể chia đ ư ợ c đ ư ờ n\> tròn thành sáu cung bâng nhau như trên hình sgk. JS$ Giả i a. Cách vẽ : ■ Lấ y đ iể m A tuỳ ý trên đ ư ờ ng tròn. ■ Vẽ đ ư ờ ng tròn tâm A, bán kính OA = 2cm. ■ Đ ư ờ ng tròn (A) cắ t (O) tạ i B. ■ Cung AB = 60° cầ n dự ng và AB = 2cm. Chứ ng minh: Đ ư cmg tròn tâm A, bán kính OA = 2cm cắ t (O) tạ i B => OA = AB. Ngop^ra ta có OA = OB Vậ y, AOAB đ ể u => AÔB = 60° => cung AB = 60°..

(202) b. Đ ể chia hình tròn (O ; R) thành6 cung bằ ng nhau. Ta thự c hiệ n theo các bư ớ c sau: Bư ớ c 1: Từ đ iể m A bấ t kì trên đ ư ờ ng tròn (O ; R), vẽ đ ư ờ ng tròn ;(AR) cắ t (O) tạ i B. Bư ớ c 2: Từ đ iể m B vừ a vẽ , vẽ đ ư ờ ng tròn (B ; R) cắ t (O) tạ i c . Bư ớ c 3: Từ đ iể m c vừ a vẽ , vẽ đ ư ờ ng tròn (C ; R) cắ t (O) tạ i D. Bư ớ c 4: Từ đ iể m D vừ a vẽ , vẽ đ ư ờ ng tròn (D ; R) cắ t (O) tạ i E. Bư ớ c 5: Từ đ iể m E vừ a vẽ , vẽ đ ư ờ ng tròn (E ; R) cắ t (O) tạ i F. Vậ y, các đ iể m A, B, c, D, E chia đ ư ờ ng tròn (O) thành 6 cung bằ ng nhau. Vẩ d ụ 3i Cho đ ư ờ ng tròn(O), dây AB. Gọ i M là đ iể m chính giữ a củ a cung AB. V ẽ dây MC cắ t dây AB tạ i D. Vẽ đ ư ờ ng vuông góc vớ iAB tạ i D, cắ t o c ở K. Chứ ng minh rằ ng AKCD lù tam giác cân. JSZ Giả i Vì M là đ iể m chính giữ a củ a cung AB nên: OM _L AB => OM // KD A => KDC = OMC = OCM » AKCD là tam giác cân. Nhậ n xét: Như vậ y, ví dụ trên đ ã minh hoạ cho chứ ng ta thây việ c sử dụ ng tính chấ t đ ư ờ ng lánh vuông góc vở i mộ t dây đ ể giả i toán. Ví dụ tiế p theo sẽ minh hoạ việ c sử dụ ng tính chấ t" Hai cung chấ n giữ a hai dây song song". Vấ d ụ 4t (Bài 13/tr 72 —Sgk): Chứ ng minh rằ ng hai cung chắ n giữ a hai (lây song song thì bâng nhau. J&) Gidi Xét hai dây song song AB và CD, kẻ đ ư ờ ng kính MN _LAB, khi đ ó v ì: A B //C D = > M N ±C D . Do tính đ ố i xứ ng trụ c: NA = NB và NC = ND Suy ra: N A -N C = N B -N D => Ấ c = BD. ^. Nhậ n xét: MỞ rộ ng, chúng ta có thêm tính chát: " Tiế p tuỵ êh song song vớ i m ộ t dây thì tiế p đ iể m chia đ ôi cung că ng dây Tứ c là, theo hình vẽ ta có:. xy // AB => AM = BM o Ấ M = BM . Vể d ụ Si Cho AABC có ba góc nhọ n nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn(O). Đ ư ờ ng caoAH củ a tam giác cắ t đ ư ờ ng tròn ở D. Vẽ đ ư ờ ng kính AOE. a. Chứ ng minh rằ ng BEDC là hình thang cân. b. Gọ i M là đ iể m chính giữ a củ a cungDE, OM cắ t BC tạ i I. Chứ rnỊ minh rằ ng I là trung đ iể m củ aBC. Tính bán kính đ ư ờ ng tròn biế tBC = 24cm, IM = 8cm..

(203) MS Gicii a.. Ta có: A D. 1. BC - theo giả thiế t. AD _L DE - vì AE là đ ư ờ ng kính. => BC // DE => BE = CD - hai cung chắ n giữ a hai dây song song. => BE = CD - liên hệ giữ a cung và dây. ẠA Mặ l khác ta có:. BE + Ẽ D = CD + Ẽ D=>BD = CE=>BD = CE. Vậ y, BEDC là hình thang cân. b. Ta có: BÈ + Ẽ M = CD + DM => MB = MC: => IB = IC - đ ư ờ ng kính đ i qua đ iể m chính giữ a củ a cung. c. Ta có : BI = IC OI -L BC (đ ư ờ ng kính đ i qua trung đ iể m dây). Đ ặ t o c = OM = R, xét AOIC vuông: o c 2 = OI2+ IC2 <=>R2 = (R - 8)2+ 122 » R 2 = R 2 - 16R + 6 4 + 144 => 16R = 2 0 8 => R = 13cm .. ^. Nhậ n xét. 1. Hình thang có hai canh bên bằ ng nhau chư a đ ủ là hình thang cân. Do đ ó không thê chứ ng minh BDEC ỉ à hình thang cân bằ ngcách chứ ng minh BD = CE đ ể suy ra BD = CE. 2. Câu c) là mộ t bài toán thự c tế : "Biế t đ ộ dài dây BC và khoả ng cách IM từ trung đ iể m dây đ ế n đ iể m chính giữ a cung bị trư ơ ng, ta tìm đ ư ợ c bán kùih củ a đ ư ờ ng tròn Vể d ụ flĩ (Bài 11/tr 72 —Sgk): Cho hai đ ư ờ ng tròn bằ ng nhau(O) và (O') cắ t nhau tạ i hai đ iể mA và B. Kẻ các đ ư ờ ng kínhAOC, AO'D. Gọ i E là giao đ iể m thứ hai củ a AC vớ i đ ư ờ ng tròn (O1). a. So sánh các cung nhỏ BC và B D . b. Chứ ng minh rằ ng B lù đ iể m chính giữ a củ a cungEBD (tứ c lù đ iể mB chia cung EBD thành hai cung bằ ng nhau: BE = BD). Giả i a. Tứ giác AOBO' là hình thoi do AO = OB = Ơ A = 0'B Do đ ó: Ấ OB = Ấ CTB.Suyra, Ế ÕC = Ẽ Õ D =>sđ BC = sđ BD. Do (O) và (O') là các đ ư ờ ng tròn bằ ng nhau và sđ BC = sđ BD nênC B = BD. b. Gọ i I là giao đ iể m củ a 0'B và DE. Lạ i có, OA // 0'B Theo đ inh lý Talét, ta có: =— J DE DA 2 Suy ra, I là trung đ iể m củ a DE..

(204) Mặ t khác, AEAD vuông tạ i E (vì EO' = 0'A = 0'D) => DE 1 AO => DE -L BO' (vì AO // BO ). Xét ABED có BI vừ a là đ ư ờ ng cao vừ a là trung tuyế n => ABED là tam giác cân đ inh B. Do đ ó: BD = BE => cung BD = BE hay B là đ iể m chính giữ cung a EBD.. c . BÀI TẬ • P LƯ YÊN TẬ • P • Bài 1. Tứ giác ABCD có B = D = 90°. Biế t AB < AD, chứ ng minh rằ ng BC > CD. Bài 2. Hai đ ư ờ ng tròn (O) và (O’) cùng bán kính cắ t nh au tạ i M và N. a. Chứ ng minh rằ ng hai cung nhỏ MN củ a hai đ ư ờ ng tr òn bằ ng nhau. b. Vẽ các đ ư ờ ng kính MOA và MO’B. Chúng minh rằ ng N A = NB . c. Vẽ đ ư ờ ng kính NOC. Tia BM cắ t đ ư ờ ng tròn (O) tạ D.i Chứ ng minh rằ ng các cung nhỏ M N , AC và CD bằ ng nhau. Bài 3. Cho AABC. Trên tia đ ố i củ a tạ i AB lấ y mộ t đ iể m D sao cho AD = AC. Vẽ đ ư ờ ng tròn tâm o ngoạ i tiế p ADBC. Từ o lầ n lư ợ t hạ các đ ờư ng vuông góc OH, OK vớ i BC và BD (H e BC, K e BD). a. Chứ ng minh rằ ng OH > OK. b. So sánh hai cung nhỏ BD và BC. Bài 4. Trên dây cung AB củ a đ ư ờ ng tròn (O) lấ y hai đ miể c và D sao cho AC = CD = DB. Các bán kính qua c và qua D cắ t cung nhỏ AB lầ n lư ợ t tạ i E và F. Chứ ng minh rằ ng Ấ E = BF<EF. Bài 5. (Bài 14/tr 72 - Sgk): a. Chứ ng minh rằ ng đ ư ờ ng kính đ i qua đ iể m chính giữcủ aa mộ t cung thì đ i qua trung đ iể m củ a dây că ng cung ấ y. Mệ nh đ ể đ ả o có đ hông? úng k Hãy nêu thêm đ iéu kiệ n đ ể mệ nh đ ẻ đ ả o đ úng. b. Chứ ng minh rằ ng đ ư cmg kính đ i qua đ iể m chính giữ aa củmộ t cung thì vuông góc vớ i dây că ng cung ấ y và ngư ợ c lạ i.. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP s ố Bài 1. Vớ i giả thiế t B = D = 90°, suy ra: ABCD nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AC. Ta có: AB < AD o AB < AD o. —AB > —AD. o 180°- Ấ B > 180° —Ấ D o Ấ c —AB > Ấ C - Ấ D rrs 4= __ _ o BC > CD o B C > CD, đ pcm.. B. Bài 2. a. Vì MN ispídây cung chung củ a hai đ ư ờ ng tròn bằ ngnhau nên hai cung nhỏ củ a h^dpộ ngjj-òn bằ ng nhau.. MN.

(205) b.. Ta có: AM = MB , vì hai đ ư ờ ng tròn bằ ng nhau. AN = AM - MN = MB - MN = N B , đ pcm. c. Tứ pác ACMN là hình bình hành vì có hai đ ư ờ ng chc o cắ t nhau tạ i trung đ iể m mỗ i đ ư ờ ng, nên: CM // AN => Ấ c = MN . Mặ t khác, ta có:. (1). A, N, B thẳ ng hàng và AN = BN => ON là đ ư ờ ng trung bình củ a AABD => CN // DM => MN = CD .. 2) (. Từ (1) và (2), ta đ ư ợ c MN = AC = CD , đ pcm. Bài 3. a. Xét AOBD và AOBC cân tạ i đ ính o có các đ ư ờ ng cao kẻ từ đ ỉ nh theo thứ tự là OK và OH nên chúng đ ồ ng thờ i là các trung tuyế n.. Do dó: KD = —BD ; HC = —BC. 2 2 Mặ t khác, trong ADBC có: BD = BA + AD = BA + AC > BC. Suy ra KD > HC.. Xét AOKD và AOHC vuông, ta có: OK = V oD 2 - K D 2 = V o c 2 - K D 2 < V o c 2 - H C 2 = OH. Vậ }, ta luôn có OK < OH. b. Ta có: BD > BC => cungBD > BC. Bài 4 . ( H ọ c s i n h t ự v ẽ h ì n h ) H ư ớ tig d ẫ n : a. Ta di chứ ng minh AE = BF . Nhìn xét rằ ng: AAOC = ABOD (c.g.c) => Ấ ÕỀ = BÕF o Ấ E = BF . b. Ta di chứ ng minh AE < E F. Cá(h J: Chứ ng minh rằ ng AOẼ < E O F . Cách 2: sử dụ ng phư ơ ng pháp chứ ng minh phả n chứ ng. Bài 5. a. Già sử đ ư ờ ng kính CD củ a đ ư ờ ng tròn (O) có c làể đmichính giữ a củ a cung AB. NgHa là, ta có: AC = CB. Suy ra, Ồ | = ồ 2. Gọ i I là giao đ iể m củ a CD và AB, ta có: OI vừ a là tia phân giác vừ a là trung tuyế n cùa AOAB. V â\ I là trung đ iể m củ a AB. Mệ ih đ ể đ ả o không đ úng, ta cầ n bổ sung thêm: "Đ ư kính ờ ng đ i qua trung đ iể m mộ t dâ' không đ i qua tâm củ a đ ư ờ ng tròn thì nó vuông góc vớ i dây đ ó". b. Đ ư mg kính CD đ i qua c là đ iể m chính giữ a cung nên: AB AC = CB. Suy ra: AOC = COB => o c là tia phân giác củ a góc AOB. tạ i o nên đ ư òng phân giác đ ồ ng thờ i là đ ư ờ ng cao. lA B o C D lA B ..

(206) rn i BỂ 3. GÓC NỘ I TIẾ P A. TÓ M TẮ T L Í T H U Y Ế T. 1. ..Đ Ị NH NGHĨ A Đ ị nh nghĩ a:Góc nộ i tiế p là góc có đ ỉ nh nằ m trên mộ t đ ư ờ ng tròn và hai cạ nh củ a nó cấ t đ ư ờ ng tròn. ____ Trong hình minh hoạ bên, ta thấ y: ABC là góc nộ i tiế p chắ n cung AbC. CAB là góc nôi tiế p chắ n cung CB. ■ ■ iJ •- Q~J y m r " 7 ° 2. GÓC NỘ I TIẾ P VÀ CUNG BỊ CHẮ N Đ ị nh tí:Trong mộ t đ ư òng tròn, số đ o củ a góc nộ i S p b i n g nư a i do cùacuBgbị c h L Tacóm inh hoạ : /^ ~. /C / \ \ 1° / \ à ( / ° \ A_____ Z u. Ấ BC = - s đ Ấ C = - Ấ õ c . X d ế l) 2 2 \ _ 7C 3. CÁC HỆ QUẢ — Hệ quả 1: Các góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung hoặ c hai cung bàng nhau Iiiộ t đ ữ òng tròn thì bằ ng nhau. Ta có minh hoạ vớ i các đ iể m A, Aj, A2 ở cùng mộ t phía đ ố i vớ i BC BÃC = B Ã ^ = BÃ^C = is đ B C. AEB ás CFD. ^ <=>AB = CD. Aị A ( ị. /. \\. \ í ^ y. \A. (. / \. \. 1 / \\ \ V V. o A B = CD. -----x -------------------- F H ệ quả 2: Góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn là góc vuông. Ta có minh hoạ : /7 X \. BAC = 90 ° o BC là dư òng kính (O 6 BQ. H ệ quả 3: Trong mộ t đ ư òng tròn, mọ i góc nộ i tiế p không quá 90° có số đ o bằ ng nử a số đ o củ a góc ờ tâm cùng chắ n mộ t cung. Ta có minh hoạ : Ấ BC = - Ấ Õ C .. Ợ. /. / -----ị.

(207) B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Vấ n dề 1:. GIẢ I BÀI TOÁN Đ Ị NH LƯ Ợ NG. H iL ụ ùlỉ (Bài 17/tr 75 —Sgk): Muôn xác đ ị nh tâm củ a mộ t (Ìư ờ ìì ự tròn mà chỉ (lùng êke thì phả i lùm như thế nào? J&í Giả i Đ e xác đ ị nh tâm củ a mộ t đ ư ờ ng tròn mà chỉ dùng êke, ta thự c hiệ eo n thcác bư ớ c sau: Bư ớ c l . Kẻ đ ư ờ ng thẳ ng cắ t đ ư ờ ng tròn tạ i A và B. Bư ớ c 2. Qua B, dùng êke kẻ đ ư ờ ng thẳ ng vuông góc vớ iAB tạ i Bvà cắ t đ ư ờ ng tròn tạ i c. Bư ớ c 3. Nố i c vớ i A. Bư ớ c 4. Qua A, dùng êke kẻ đ ư ờ ng thẳ ng vuông góc vớ i AB tạ i A và cắ t đ ư ờ ng tròn tạ i D. Bư ớ c 5. Nố i B vớ i D. Giao đ iể m củ a AC và BD là tâm củ a đ ư ờ ng tròn. Vể dụ 21 Dự ng mộ t tam giác vuông, biế t cạ nh huyề n dài 4cm vàmộ t cạ nh góc vuông dài 2,5cm. JBỈ Giả i Giả sử dự ng đ ư ợ c AABC vuông có cạ nh huyề n BC = 4cm, cạnh góc vuông AB = 2,5cm. Gọ i o là trung đ iể m củ a BC. Ta có: OB - o c = OA = 2 (cm) Vậ y, AABC nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính BC có cạ nh AB = 2,5cm. Cách dự ng: Ta thự c hiệ n theo các bư ớ c sau: Bư ớ c 1. Dự ng đ ư ờ ng tròn bán kính r = 2cm. Bư ớ c 2. Qua o kẻ đ ư ờ ng thẳ ng d cắ t đ ư ờ ng tròn tạ i hai đ iể m B và c. Bư ớ c 3. Dự ng đ ư ờ ng tròn tâm B, bán kính 2,5cm và cắ t đ ư ờ ng tròn (O) tạ i A, và A2. Vậ y, AA|BC và A2BC thoả mãn đ ề bài. Chú ý: Vẩ ẩ y 3i. Tạ i bư ớ c 3, ta cũ ng có thể dự ng đ ư ờ ng tròn tâm c , bán kính 2,5cm và cắ t đ ư ờ ng tròn (O) tạ i A 3và A4. Cho AABC. Đ ư ờ ng tròn(I) nộ i tiế p tam giác tiế p xúc vớ i BC, AC,. BA theo thứ tự ả D, E, F. Cho biế t BAC = EDF . Tính sô đ o củ a góc BÃC. Giả i. A. Ta có: EDF = — EIF , góc nộ i tiế p và góc ở tâm - Ể Ĩ F Ci> ÉĨ F =2Ỗ Ã C. 2. B. „ ^ D.

(208) Xét tứ giác AEIF, ta có: Ấ EI = Ấ FI = 90°, vì (I) tiế p xúc vớ i AB, AC Ỗ ÃC+ Ấ ÈĨ + Ế Ĩ F + Ấ FÌ = 360° o BÃC+900 + 2 BÃÕ+ 90° = 360°o BÃC= 60°. Nhậ n xét: Như vậ y, trong lờ i giả i củ a ví dụ trên chúng ta đ ãsử dụ ng các kế t quả đ ể giả i nó, cụ thể : ■ Mố i liên hệ giữ a góc nộ i tiế p vớ i góc ở tâm. ■ Tính chấ t củ a đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p tam giác. ■ Tổ ng các góc trong mộ t tứ giác. Vấ d ụ l i (Bài 19/tr 75 - Sgk): Cho đ ư ờ ng tròn tâm o , đ ư ờ ng kính AB Vớ s là mộ t đ iể m nằ m bên ngoài đ ư ờ ng tròn. SA và SB lầ n lư ợ t cắ t đ ư ờ ng tròn tạ i M, N. Gọ i H là giao đ iể m củ aBM và AN. Chứ ng minh rằ ng SH vuông góc vớ i AB. Giả i -H ọ c sinh tự vẽ hình Ta có, AMB và ANB là các góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn nên: BMA = ANB = 90°. Do đ ó: B M 1 AS, AN 1 SB => H là trự c tâm củ a ASAB. Vậ y, ta đ ư ợ c AH X AB. Vẩ dụ 2t Cho đ ư ờ ng tròn(O), đ ư ờ ng kínhAB, đ iể mD thuộ c đ ư ờ ng tròn. Gọ i E là đ iể m đ ố i xứ ng vớ Ai qua D. Gọ i K là giao đ iể m củ aEB vớ i đ ư ờ ng tròn(O) và H là giao đ iể m củ aBD vớ i AK. g a. AABE là tam giác gì ? b. Chứ ng minh rằ ng EH vuông góc vớ i AB. c. Chứ ng minh rằ ng OD vuông góc vớ i AK. Giả i a. Xét AABE, ta có: ADB = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn <=> BD -L AE tứ c là BD vừ a là trung tuyế n vừ a là đ ư ờ ng cao, do đ ó AABE cân tạ i. B. (1). b.. Ta có ngay: AKB = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn <=> AK _L BE . (2) Từ (1) và (2) suy ra H là trự c tâm AABE, do đ ó EH ± AB. c. Nhậ n xét rằ ng OD là đ ư ờ ng trung bình củ a AABE, do đ ó: O D / / B E o O D i AK, đ pcm. Nhậ n xét: Như vậ y, toong lờ i giả i củ a ví dụ trên chứ ng ta đ ã sử dụ ng các kế t quả về số đ o củ a góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn..

(209) Vẩ dụ a». (ỉ ỉ ài 22/tr 76 —Sgk): Trên dư ờ ng tròn (O) đ ư ờ ĩ ìg kínhAB, lấ y đ iể m M (Khác A và B). Vẽ tiế p tuyế n củ a (O) tạ i A. Đ ư ờ ng thẳ ngBM cấ t tiế p tuyế n đ ó tạ ic. Chứ ng minh rằ ng ta luôn có: MA2= MB.MC. MẼ. Giả i —Họ c sinh tư vẽ hình Ta có: CA _L AB (tính chấ t củ a tiế p tuyế n). Suy ra AABC vuông tạ i A. Mặ t khác, AMB = 90° (góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn) nên AMlà đ ư ờ ng cao củ a AABC. Theo hệ thứ c lư ợ ng trong tam giác vuông, ta có: MA2= MB.MC - đ pcm Vẩ dụ 4t Cho AABC có ba góc nhọ n. Đ ư ờ ng tròn(O) có đ ư ờ ng kínhBC cát AB, AC theo thứ tự ỏ D, E. Gọ i I là giao đ iể m củ aBE và CD. a. Chứ ng minh rằ ng AI X BC. b. Chíừ ĩ g minh rằ ng IAE = IDE . c. Cho BAC = 60°, chứ ng minh ADOE là tam giác đ êu. J S $ G iả i. a. Ta có: BDC = BEC - vì góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn => BE, CD là đ ư ờ ng cao củ a AABC => I là trự c tâm AABC => AI -L BC. b. Ta có thể lự a chọ n mộ t trong hai cách sau: ® Cách I : Ta có: IAE = CBE - vì góc nhọ n có cạ nh tư ơ ng tứ ng vuông góc C B 1 IA , B E ± AE. IDE = CBE - vì góc nộ i tiế p cùng chắ n cung CE =í> IAE = ID E . Cách 2: Ta có: ADI = AEI= 90° => D, E thuộ c đ ư ờ ng tròn có đ ư ờ ng kínhIA . Khi đ ó, các góc IAE và IDE là góc nộ i tiế p chắ n cung IE củ ađ ư ờ ng tròn đ ó nên ÍAỀ = ID E . c. Trong AACD vuông tạ i D có Â = 60°, ta suy ra: Ấ CD = 30° => DÔÈ = 2 Ấ CD = 60°. Khi đ ó, ADOE cân có DOE = 60° nên là tam giác đ ề u. Vẩ dụ s« (Bài 26/tr 76 —Sgk): Cho AB, BC, CA là ba dây củ a đ ư ờ ng tròn(O). Từ đ iể m chính giữ aM củ a cung AB vẽ dây MN song song vớ i dây BC. Gọ i giao đ iể m củ aMN và AC là s. Chứ ng minh rằ ng SM = s c vù SN = SA. M ỉ Giờ i —Họ c sinh tự vẽ hình Sổ i AM và NC. Xét AAMS và ANCS, ta có: CNS (góc nộ i tiế p cùng chắ n cung MBC) NCS (góc nộ i tiế p cùng chắ n cung AN).

(210) Lạ i có: MB = MA (M là đ ỉ nh chính giữ a cung AB) MB = NC (hai cung chắ n giữ a hai dây song song). Suy ra cung AM = NC => MA = CN. Vậ y, ta có AAMS = ANCS (g.c.g) => SM = s c và SN = SA. Vấ d y fti Cho hai đ ư ờ ng tròn(O) vờ (O’) bằ ng nhau, cắ t nhau tạ i A và B. Qua B vẽ mộ t cát tuyế n cắ t đ ư ờ ng tròn(O) và (O’) lầ n lư ợ t tạ i c và D. a. Chứ ng minh AC = AD. b. Tìm quỹ tích trung đ iể mM củ a CD khi cát tuyế n CBD quay quanh B. Giả i a. Từ giả thiế t " hai đ ư ờ ng tròn (O) và (0'ị bằ ng nhau", nên hai cung nhỏ AB củ a chúng bằ ng nhau, do đ ó: ÃCB = ADB o AACD cân tạ i A <=> AC = AD, đ pcm. b. Ta lầ n lư ợ t thự c hiệ n: Phầ n thuậ n: Vớ i M là trang đ iể m CD, suy ra: AM -L CD, vì AACD cân tạ i A o Ấ MB = 9 0 ° o M e (AB). Vậ y, đ iể m M thuộ c đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AB. Phầ n đ ả o: Lấ y đ iể m M6 (AB) và giả sử đ ư ở ng thẳ ng BM cắ t (O) và ( ơ ) theo thứ tự tạ i c và D, ta cầ n đ i chúng minh M là trung đ iể m củ a CD. Thậ t vậ y, trong AACD cân tạ i A, ta có: AMB = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn o AM -LCD => CM = DM, vì tam giác cân đ uờ ng cao là trun g tuyế n. Kế t luậ n: Quĩ tích đ iể m M là đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AB. *** Nhậ n xét: Vớ i các đ ị nh lí về góc nộ i tiế p, góc ở tâm, khả nă ng chứ gnminh các góc bằ ng nhau và tính số đ o củ a góc đ ư ợ c tă ng thêm nhiề u. Vẩ đ y 7t (Bài 23/tr 76 —Sgk): Cho mộ t đ ư ờ ng tròn(O) vù mộ t đ iể mM c ố đ ị nh không nầ m trên đ ư ờ ng tròn. QuaM vẽ mộ t cát tuyên cắ t đ ư ờ ng tròn ở A và B. Chứ ng minh rằ ng tích MA.MB không phụ thuộ c vị trí củ a cát tuyế n. Jg$ G iả i. Nố i MO cắ t (O) ờ c và D. Ta có hai trư ờ ng hợ p: Trư ờ ng hợ p 1: Hai tam giác AAMD và ACMB có: M chung ADM = CBM - góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung.

(211) => AAMD ~ ACMB => —4 = ^ <=> MA.MB = MC.MD, không đ ổ i MC MB 5 Trư ờ ng hợ j) 2: Hai tam giác AAMD và ACMB có: Ấ MD = BMC - đ ôi đ ỉ nh ADM = CBM - góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung => AAMD ~ ACMB => — MC. p <=> MA.MB = MC.MD, khổ ng đ ổ i MB 6. c. BÀI TẬ P LUYỆ N TẬ P Bài 1. Cho nử a đ ư ờ ng tròn (O) có đ ư ờ ng kính AB và là c mộ t đ iể m bên ngoài đ ư ờ ng tròn . Nố i CA, CB gặ p đ ư ờ ng tròn theo thứ tự ờ M, N . Gọ i H là giao đ iể m củ a BM và AN. a. Chứ ng minh rằ ng CH X AB. b. Cho ACB = 60°, chứ ng minh AOMN là tam giác đ ể u. Bài 2. Cho hai đ ư ờ ng tròn bằ ng nhau (O) và (ơ ) cắ tnhau tạ i A và B. Vẽ đ ư ờ ng thẳ ng qua A cắ t (O) tạ i M và (O') tạ i N (A nằ m giữ a M và N). Hỏ i MBN là tam giác gì? Tạ i sao? Bài 3. Hai dư ờ ng tròn (O, R) và ( 0 \ r) cắ t nhau tạ i A và B. Từ A vẽ đ ư ờ ng kính AOC và AO'D. a. Chứ ng minh rằ ng ba đ iể m B, c, D thẳ ng hàng và ABvuông góc vớ i CD. b. Biế t R > r và CD = a, hãy tính BC và BD. Bài 4. Cho AABC. Hai đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AB và AC cắ t nhau tạ i mộ t đ iể m thứ hai là D. a. Chứ ng minh rằ ng ba đ iể m B, D, c thẳ ng hàng. b. Đ ư ờ ng thẳ ng AC cắ t đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính ABE,tạ iđ ư ờ ng thẳ ng AB cắ t đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AC tạ i F. Chứ ng minh rằ ng ba đ ư ờ ng thẳ ng AD, BE, CF cùng đ i qua mộ t đ iể m. Bài 5. Cho đ ư ờ ng tròn (O) và hai dây AB, CD bằ ng nha u cắ t nhau tạ i M (đ iể m c nằ m trên cung nhỏ AB, đ iể m B nằ m trên cung nhỏ (CD). a. Chứ ng minh AC = DB. b. Chứ ng minh AMAC = AMDB. c. Tứ giác ACBD là hình gì ? Chứ ng minh. Bài 6. Cho nử a đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AB. Gọ i o là đ iể hính m c giữ a củ a nử a đ ư ờ ng tròn và M là mộ t đ iể m bấ t kì củ a nử a dư ờ ng tròn đ ó. Tia AM cắ t đ ư ờ ng tròn (O; OA) tạ i đ iể m thứ hai là N. Chứ ng minh rằ ng MN = MB. Bài 7. Cho đ ư ờ ng tròn (O) và hai dây MA, MB vuông ógc vớ i nhau. Gọ i I và K lẩ n lư ợ t là đ iể m chính giữ a cùa các cung nhỏ MA và MB. Gọ i plà giao đ iể m củ a AK và BI. a. Chứ ng minh rằ ng ba đ iể m A, o, B thẳ ng hàng. b. Chứ ng minh rằ ng p là tâm đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p AMA B. c. Giả sử MA = 12cm, MB = 16cm, tính bán kính củ a đư ờ ng tròn nộ i tiế p AMAB. Bài 8. Cho dư ờ ng tròn tâm o đ ư ờ ng kính AB và mộ t đ iể m cchạ y trên mộ t nử a đ ư ờ ng tròn. Vẽ mộ t đ ư ờ ng tròn (I) tiế p xúc vớ i đ ư gòm tròn (O) tạ i c và tiế p xúc vớ i tạ i D, đ ư ờ ng tròn này cắ t CA và CB lầ n lư ợ t tạ i cácđ iể m thứ hai là M nh rằ ng:.

(212) a. Ba đ iể m M, I, N thẳ ng hàng. b. ID 1 MN. c. Đ ư ờ ng thẳ ng CD đ i qua mộ t đ iể m cô' đ ị nh d. Nêu cách dự ng đ ư ờ ng tròn (I) nói trên. Bài 9. Cho AABC có ba góc nhọ n nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn O), ( dư ờ ng cao AH. Ké đ ư ờ ng kính AE. a. Tính Ấ CÈ. b. Chứ ng minh rằ ng BAH = OAC. c. Gọ i K là giao đ iể m củ a AH vói đ ư ờ ng tròn (O). Tứgiác BCEK là hình gì ? Bài 10. Cho AABC nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn (O). Tia phân igác góc A cắ t đ ư ờ ng tròn ờ M. a. Chứ ng minh rằ ng ABMC là tam giác cân. b. Chứ ng minh rằ ng BMC = ABC + ACB. c. Gọ i D là giao đ iể m củ a AM và BC. Chứ ng minh rằ ngAB.AC = AD.AM. Bài 11. Cho AABC đ ể u nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn (O) và M mộ là t đ iể m trên cung BC. Trên tia AM lấ y đ iể m D sao chõ MD = MB. a. AMBD là tam giác gì ? So sánh hai tam giác ABDA và ABMC. b. Chứ ng minh rằ ng MA = MB + MC. Bài 12. Cho nử a đ ư ờ ng tròn đ ư òmg kính AB, K là đ iểchính m giữ a củ a cung AB. Vẽ bán kính o c sao cho BÕC = 60°. a. Gọ i M là giao đ iể m củ a AC và OK. Chứ ng minh rằ ngMO = MC. b. Cho AB = 2R, tính MC theo R. D. HƯ Ớ NG DẨ N - Đ ÁP SỐ Bài 1. a. Xét AABC, ta có: ANB = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn O A N 1B C (1) AMB = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn o BM1 AC Từ (l), (2), suy ra: H là trự c tâm AABC => CH _LAB, đ pcm. b. Xét ABMC vuông tạ i M, ta có: Ấ CB = 60° o MBC = 30° o sđ MN = 60°. Mặ t khác, ta cố : MÕN =sđ MN =60°.. A. (2). o. B. Vậ y, AOMN cân (vì OM = ON) và có mộ t góc MON = 60° nên là tam giác đ ề u. Bài 2. Hai đ ư ờ ng tròn (O) và (ơ ) bằ ng nhau nên AOBO’là hình thoi. Do đ ó: AOB = AO ’B . Theo tính chấ t củ a góc nộ i tiế ,pta có: AMB = - Ấ ÕB= - Ấ CTB = ANB = MNB. 2 2.

(213) Vậ y, ta đ ư ợ c ABMN là tam giác cân tạ i B.. Bài 3. a. Ta có nhộ n xét: ABC = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn (O ) ABD = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn (O'). => CBD = 180° o ba đ iể m B,c, D thẳ ng hàng Ta cũ ng thấ y ngay AB vuông góc vớ i CD. b. Đ át BC =X, khi đ ó BD = a — X. ■ Trong AABC vuông tạ i B, ta có: AB2 = AC2 —BC2 = 4R2 —X2.. * Trong AABD vuông tạ i B, ta có: AB2= AD2—BD2= 4r2—(a —x)2. Từ (l), (2), suy ra: 4R2- X2 = 4r2—(a - x)2<=> 4R2—X2 = 4I-2 - a2+ 2ax —X2 4R3- 4 r 2+ a: o 2ax = 4R2- 4r2+ a2<=> X = 2a Vậ y, ta đ ư ợ c: 4R2—4r2 + a: 4R2- 4 r 2+ a2 BC = , BD = a — 2a 2a Bài 4. a. Ta có nhậ n xét:. M. ADB = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn (0) ADC = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn (ơ ) => BDC = 180° <£> ba đ iể m B, c, D thẳ ng hàng Ta cũ ng thấ y ngay AD X BC. b. Giả sử BE cắ t CF tạ i M. Xét AMBC, ta có: BEC = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn o CE -LBM BFC = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn o B F i CM từ (1), (2) suy ra: A là trự c tâm AMBC => MA -L BC, đ pcm. Vậ y, ba đ ư ờ ng thẳ ng AD, BE, CF cùng đ i qua đ iể m M. Bài 5. a. Từ giả thiế t: AB = C D o A B = CD.. ( 1) (2). Khi đ ó: Ấ C = A B - BC = CD-BC = BD o A C = BD, đ pcm. b. Xét hai tam giác AMAC và AMDB, ta có: MAC = MDB , góc nộ i tiế p cùng chắ n cung BC AC = BD, theo kế t quả câu a) MCA = MBD = MDB , góc nộ i tiế p cùng chắ n cung AD do đ ó AMAC = AMDB (g.c.g). c. Ta có: Ề ữ 1= BD o AD // BC. Vậ y, tứ giác ACBD là hình thang cân..

(214) Bài 6. Từ giả thiế t, ta có ngay: AOB = 90° và AMB = 90° vì chúng đ ề u là góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn ờ đngư kính AB. Mạ t khác, ta cũ ng có: OA = OB => B e (O, OA) Do đ ó: Ấ NB =- Ấ ÕB = 45°. 2 Khi đ ó, ABMN vuông tạ i M có MNB = 45° nên nó là tamgiác vuông cân, suy ra MN = MB, đ pcm. Bài 7. a. Từ giả thiế t: Ấ MB = 90° c* AB là đ ư ờ ng kính => ba đ iể m A, o, B thẳ ng hàng. b. Xét AMAB, ta có: ■ Vì I là đ iể m chính giữ a cung nhỏ MA nên: Ấ ì = MÌ o Ấ BÌ = MBÌ o BI là phân giác góc ABM ■ Vì K là đ iể m chính giữ a cung nhỏ MB nên: BK = MK o Ẽ ÃK = MÃK o AK là phân giác góc MAB Từ đ ó, suy ra p là tâm đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p AMAB (vì nó là giao đ iể m cùa hai đ ư ờ ng phân giác). c. Gọ i r, p theo thứ tự là bán kính đ ư ờ ng tròn nộ itiế p và nử a chu vi củ a AMAB, ta có:. Sề mề A = p.r o —MA.MB = —(MA + MB + AB)r 2 MA.MB. 2. _ MA.MB = 4cm. MA + MB + AB- MA + MB + VMA2+ MB2 Vậ y, bán kính cùa đ ư òng tròn nộ i tiế p AMAB bằ ng 4cm . Bài 8. a. Ta có: ACB = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tr òn (O) o r=. => MCN = 90° o MN là đ ư cmg kính ơ ). Vậ y, ba đ iể m M, I, N thẳ ng hàng. b. Từ giả thiế t: ■ Vì (I) tiế p xúc vớ i AB tạ i D nên ID -L AB. ■ Vì (I) tiế p xúc vớ i (O) tạ i c nên c, I, o thẳ ng hàng. Ta có: INC = ICN, vì AICN cân tạ i I; OBC = OCB, vì AOBC cân tạ i o. (1). Suy ra: ÍNC = Ố BC o MN // AB. (2) Từ (1), (2) suy ra ID 1 MN, đ pcm. c. Gọ i K là giao đ iể m củ a CD vớ i (O), ta có: I D iM N o M D = N D o MCD = NCD <=> Ấ cìc = ẽ c k o AK = BK o K là đ iể m chính giữ a củ a cung AB , Do đ ó K cô' đ ị nh. Vậ y, CD luôn đ i qua đ iể m cô' K. đ ị nh d. Đ ể dự n^^ờ ng tròn (I), ta thự c hiệ n: vuông góc vớ i AB, vớ i K thuộ c nử a đ ư ờ ng tròn khôngchứ a đ iể m c..

(215) • Nố i CK cắ t AB tạ i D. ■ Dự ng đ ư ờ ng thẳ ng qua D vuông góc vớ i AB cắ t c o tạ i I.. • Dư ng đ ư ờ ng tròn (I, ID) —đ ây chính là đ ư ờ ng tròn cầ n dự ng. Bài 9. a. Ta có ngav: ACE = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nừ a đ ư ờ ng tròn. b. Ta có: ABC = AEC , góc nộ i tiế p cùng chắ n cung AC. o BAH = OAC , cùng phụ vớ i hai góc bằ ng nhau ờ trên. c. Ta có: AKE = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tr òn <=> EK 1 AK o EK // BC, vì cùng vuông góc vớ i AH => BK = CE <=> BK = CE.. ( 1) (2). Từ (1) và (2), ta kế t luậ n BCEK là hình thang cân.. Bài 10. a. Từ giá thiét" A M. là tia p h à n g iá c g ó c. Ậ. ta suy ra:. BÃM = CÁM o BM = CM o BM = CM o AMBC cân tạ i M. b. Ta có: BĨ Ũ C = BMẦ + CMA = Ấ CB + Ấ BC, đ pcm. c. Xét hai tam giác AAMB và AACD, ta có: BMÃ = Ấ CD và MÀB = CÂD => AAMB - AACD. AB <=> AB.AC = AD.AM, đ pcm. AD Bài 11. ___ ___ ___ a. Xét AMBD, ta có: MB = MD, giả thiế t BMD = BMA = BCA = 60° Do đ ó, ANÍBD là tam giác đ ể u. Xét hai tam giác ABDA và ABMC, ta có: <=>. AM AC. BD = BM, vì AMBD là tam giác đ éu. ABD = CBM , vì tổ ng củ a chúng vớ i CBD bằ ng 60° AB = CB, vì AABC là tam giác đ ề u do đ ó ABDA = ABMC (c.g.c). b. Ta có ngav: MA = MD + DA = MB + MC, đ pcm.. Bài 12. a. Vì AOAC cân tạ i o (OA = OC) nên: Ố CA = Ố ÃC = —BÁC = —.60° = 30°. 2. 2. (1). Mặ t khác, ta lạ i có: CỠ M = BỠ Ĩ C - ẽ õ c = 90° - 60° = 30°. Từ (1) và (2), suy ra: AMOC cân tạ i M o MO = MC, đ cpm. b. Xét AOAM vuông tạ i o, ta có: MO = OA.tanÂ = R.tan30° = - ì . >/3 D Vâv, ta đ ư ơ c MC =—Ị=. z n/3. A. ( (2).

(216) C1,i. 4. GÓC TẠ O BỞ I TIA TIẾ P TUYẾ N VÀ DÂY CUNG A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T. ---. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN ỵ Á IL d ill GIẢ I BẢ Ĩ TOẢ N Đ Ị NH TÍNH ______________________________ Vẩ ẩ y l ĩ (Bài 34/tr 80 —Sgk): Từ đ iể mM bên ngoài đ ư ờ ng tròn(O) ta kẻ mộ t tiế p tuyế n MT và mộ t cát tuyế n MAB củ a đ ư ờ ng tròn đ ó. Chứ ng minh rằ ng MT2 = MA.MB. rp Jg$ Giả i Hai tam giác AMAT và AMTB có: M chung ATM = MBT - vì góc tạ o bở i mộ t tia tiế p tuyế n và mộ t dây và góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung => AMAT ~ AMTB ^ Vẩ. MB. =. MT. = MA.MB.. Nhậ n xét: Ví dụ tiế p theo sẽ sử dụ ng sử dụ ng kế t quả MA.MB không đ ổ i đ ể giả i bài toán quĩ tích. 2i Cho đ ư ờ ng tròn(O) và mộ t đ iể mM ở bên ngoài đ ư ờ ng tròn. TiaMx quay quanh M cắ t đ ư ờ ng tròn tạ iA và B. Gọ i I là mộ t đ iể m thuộ c tia Mx sao cho MI2= MA.MB. Tìm quỹ tích củ a đ iể mI.. Giài Phầ n thuậ n: Kẻ hai tiế p tuyế n ME, MF tớ i đ ư ờ ng tròn (O). Ta có: ME2= MF2= MA.MB = MI2 o ME = MF = MI ^ u ộ c đ ư òmg tròn (M, ME).. E.

(217) Hạ n ché quĩ tích: Vì A chỉ chạ y trên cung EF củ a đ ư ờ ng tròn (O) nén I chỉ chạ y trcn cung EF củ a đ ư ờ ng tròn (M, ME) nằ m trong đ ư cmg tròn (O). Phầ n đ ả o: Lấ y đ iể m I e EF củ a đ ư ờ ng tròn (M, ME) nằ m trong đ ư ờ ng tròn (O). Nố i MI cắ t đ ư ờ ng tròn (O) tạ i A và B, ta cầ n chứ ng minh MA.MB = MI2. Thãt vậ y:MI2= ME2= MA.MB, đ pcm. Kế t luậ n: Vậ y, quỹ tích củ a đ iể trong dư ờ ng tròn (O). VI dụ íti (Bài 33/tr 80 —Sgk): là tiế p tuyế n củ a đ cắ t AB tạ i M và cắ t. m I thuộ c cung EF củ a đ ư ờ ng tròn (M, ME) m nằ Cho A, B, c là ba đ iể m trên mộ t đ ư ờ ng tròn. At ư ờ ng tròn tạ iA. Đ ư ờ ng thắ ng song song vớ At i AC tạ i N. Chứ ng minh AB.AM = AC.AN.. Giả i - Họ c sinh tự về hình Ta có: Ố At = Ấ BC = - sđ A C ; CAt = Ấ NM (do MN // At) Suy ra: Ấ BC = Ấ MN Xét AABC và AAMN có: BAC chung; ABC = AMN Suy ra: AABC - AANM => — = — => AB.AM = AC.AN - đ pcm. AN AM Vẩ dụ 41 (Bài 29/tr 79 - Sgk): Cho hai đ ư ờ ng tròn o( ) và (O’) cắ t nhau tụ i A và B. Từ A ta vẽ hai tiế p tuyế n vớ i hai đ ư ờ ng tròn. Hai tiế p tuyế n này gặ p đ ư ờ ng tròn(O) ở c và đ ư ờ ng tròn(O') ỏ D. Chứ ng minh rằ ng ABC = Ấ BD . JS% Giả i Xét hai tam giác AABC và ADBA có: ACB = DAB - vì góc nộ i tiế p và góc tạ o bở i mộ t tia tiế p tuyế n và mộ t dây cùng chắ n mộ t cung BAC = BDA - vì góc tạ o bở i mộ t tia tiế p tuyế n và mộ t dây và góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung => Ả BC = ABD, đ pcm. ^. Nhậ n xét: Nế u khai thác thêm sự bằ ng nhau củ a hai cặ p góc đ ể dẫ n tới hai tam giác đ ồ ng dạ ng chúng ta sẽ nhậ n đ ư ợ c kế t quả khác , ví dụ : a. AB2= BCBD..

(218) AB BC AC Thậ t vậ y, ta đ ư ợ c AABC ~ ADBA suy ra: ——= —— = —— y DB BA DA Từ đ ó: a. Vớ i: ^ 7 = -5^. o AB2= BC.BD, đ pcm. DB BA , „ , s_ AB AC BC AC AC AC b. Vớ i: ^7—= 77—& —— = 77— => — DB DA BA DA AD AD o Vấ ùụ Sĩ. AB BC - . --BD AB. 6 7 Ỵ < 7 6 7 < 7 . —— = —— o —— = ,/ —— , đ pcm. AD) BD AD VBD. (Bài 27/tr 79 - Sgk): Cho đ ư ờ ng tròn tâm o , đ ư ờ ng kính AB. Lấ y đ iể m p khác A và B trên đ ư ờ ng tròn. Gọ i T là giao đ iể m củ a AP vớ i tiế p tuyế n tạ i B củ a đ ư ờ ng tròn. Chứ ng minh rằ ng: APO = P B T .. Giả i -B ạ n đ ọ c tự vẽ hình Ta có: PBT = - sđ PB. 2. ( 1). PÂB = - sđ PB. 2. (2). Từ (1) và (2) suy ra PBT = PAB .. (3). Xét AOAP cân tạ i o , ta có APO = PAB .. (4). Từ (3) và (4) suy ra: APO = PBT - đ pcm. tán đ ể ì: Vể Ể Ẹ l i. GIẢ I BẢ I TOẢ N Đ Ị NH LƯ Ợ NG. ____________________. (Bài 11/tr 72 —Sgk): Cho đ ư ờ ng tròn(O ; R) và dây cung BC = R. Hai tiế p tuyể n củ a đ ư ờ ng tròn(O) tạ i B và c cắ t nhau ở A. Tính số đ o các gócABC, BAC.. Giả i -Bạ n đ ọ c tự vẽ hình Ta có: BC = OB = o c = R. Suy ra, AOBC đ ể u và ẽ õ c = 60°. Vậ y, ta đ ư ợ c: sđ BC = Ẹ OC = 60°; ABC = —sđ BC = 30°; 2 Ấ CB = — 2 sđ BC = 30°; BÃC= 180°-(Ấ B C + Ấ CB) = 120°. Vẩ d ụ 2i Cho đ ư ờ ng tròn(O) đ ư ờ iig kínhAB. Mộ t tiế p tuyế n củ a đ ư ờ ng tròn tạ i D cắ t đ ư ờ ng thẳ ngAB tạ i T (đ iể mB nằ m giữ a o vờ T). Tinh + 2TPB ..

(219) Ta có: TTB = —sđ PB = -ỉ -sđ PÕB = -sđ PÕT => 2TPB = PÕT. 2. 2. 2. Do PT là tiế p tuyế n vớ i (O) tạ i p nên: OP -L PT Lạ i có, AOPT vuông tạ i p. Do đ ó: 90°= PÕ T+ BTP = 2TPB + BTP -đ pcm . Vẩ d ụ .lĩ. Cho nử a đ ư ờ ng tròn (O) đ ư ờ ng kínhAB. Trên tia đ ố i củ a tiaAB lấ y mộ t đ iể mM. Vẽ tiế p tuyên MC vớ i nử a đ ư ờ ng tròn. Gọ iH lù hình chiế u củ a c trên AB. a. Chứ ng minh rằ ng tia CA là tia phân giác củ a góc MCH . b. Giả sử MA = a, MC = 2a, tính AB và CH.. & Giả i a. Nhậ n xét rằ ng: ACB = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn <=> AC _LBC Suy ra: ACH = ABC, góc có cạ nh tư ơ ng ứ ng vuông góc. Mặ t khác, ta lạ i có: ABC = ACM vì góc nộ i tiế p và góc tạ o bở i mộ t tia tiế p tuyế n và mộ t dây cùng chắ n mộ t cung. Từ đ ó: ACH = ACM cs> CA là tia phân giác củ a góc M CH . b. Ta có: MC2= MA.MB <=> MB =. MA. = 4a,. ". AB = MB —MA = 4a - a = 3a.. B. o H A. M. Xét AOCM, ta có: o c 1 MC AB 1. Suy ra: s,vxw =. 2. 1. rx/ '7! 1 yr/^1. OC.MC = —C H .O M oC H = 2. .lVlv^. = —ĩ -------------= l,2a. OM . . . AB ’ MA+ 2. c . BÀI TẬ P LUYÊN TẬ P •. •. •. Bài 1. Từ mộ t đ iể m M ờ bên ngoài đ ư ờ ng tròn (O) taẽ vtiế p tuyế n MT và cát tuyế n MAB. Vẽ đ ư ờ ng tròn (O’) ngoạ i tiế p AMAT. Từ M vẽ ti ế p tuyế n xy củ a đ ư òng tròn (O’) Chứ ng minh rằ ng: a MT2psMA.MB. b. BT//xy..

(220) Bài 2. Cho hai đ ư ờ ng tròn (O) và (O’) cắ t nhau tạ i Avà B. Trên đ ư ờ ng thẳ ng AB lấ y mộ t đ iể m M (đ iể m M không thuộ c đ oạ n thẳ ng AB). Vẽ iế p ttuyế n MT củ a đ ư ờ ng tròn (O) và cát tuyế n MCD củ a đ ư ờ ng tròn (O’). Chứ ng minhrằ ng MT2= MC.MD. Bài 3. Cho hai đ ư ờ ng tròn (O) và (O’) cắ t nhau tạ i Avà B. Vẽ dây BC củ a đ ư ờ ng tròn (O) tiế p xúc vớ i đ ư ờ ng tron (0'). Vẽ dây BD củ a đ ư ờ ng tròn (O’) tiế p xúc vớ i đ ư ờ ng tròn (O). Chứ ng minh rằ ng:. Bài 4. Cho AABC ngoạ i tiế p đ ư ờ ng tròn (O). Gọ i D, E,F là các tiế p đ iể m củ a đ ư ờ ng tròn trên các cạ nh AB, BC, CA. Gọ i M, N, p lầ n luợ t là giao đ iể m củ a đ ư ờ ng tròn (O) vớ i các tia OA, OB, o c . Chứ ng minh rằ ng các đ iể m M,N, p lầ n lư ợ t là tâm củ a đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p các tam giác AADF, ABDE và ACEF. Bài 5. Cho hai đ ư ờ ng tròn (O) và (O’) cắ t nhau tạ i Avà B. Mộ t đ ư ờ ng thẳ ng tiế p xúc vớ i đ ư ờ ng tròn (O) tạ i c và tiế p xúc vói đ ư ờ ng tròn (O’) tạ i D. Vẽ đ ư ờ ng tròn (I) qua ba đ iể m A, c, D, cắ t đ ư ờ ng thẳ ng AB tạ i đ iể m thứ i là haE. Chứ ng minh rằ ng: a. CÃD + CBD = 180°. b. Tứ giác BCED là hình bình hành. Bài 6. Cho nử a đ ư ờ ng tròn (O) đ ư ờ ng kính BC. Đ iể m A cthuộcung nử a đ ư ờ ng tròn (AB < AC). Tiế p tuyế n tạ i A cắ t dư ờ ng thẳ ng BC ờ I. Kẻ AH -L BC. Chứ ng minh rằ ng: a. AB là tia phân giác củ a góc Ỉ AH. b. IA2= IB. IC. Bài 7. Cho nử a đ ư ờ ng tròn (O) đ ư ờ ng kính BC. Đ iể mthuộA c cung nử a đ ư ờ ng tròn (AB < AC). Gọ i E là đ iể m đ ố i xứ ng vói B qua A. a. ABCE là tam giác gì ? b. Gọ i D là giao đ iể m củ a CE vớ i nử a đ ư ờ ng tròn. Kẻtiế p tuyế n Bx vớ i nử a đ ư ờ ng tròn (Bx và A cùng phía đ ố i vớ i BC). Chứ ng nh mi rằ ng BA là tia phân giác củ a góc DBx. c. CA cắ t BD, Bx theo thứ tự ờ I, K. Tứ giác BKEI là hình gì ? Bài 8. Cho hai đ ư ờ ng tròn (O) và (ơ ) cắ t nhau tạ i A và B , Tiế p tuyế n tạ i A củ a đ ư ờ ng tròn (ơ ) cắ t đ ư ờ ng tròn (O) tạ i đ iể m thứ p. haiTia PB cắ t đ ư ờ ng tròn (O') tai Q Chứ ng minh dư ờ ng thẳ ng AQ song song vớ i tiế p tuyế n tạ i p củ a đ ư ờ ng tròn (O). Bài 9. Cho AABC vuông tạ i A, đ ư ờ ng cao AH. Vẽ đ ư ờ ng tròn tâm I có đ ư ờ ng kính BH, nó cắ t AB ờ M. Vẽ đ ư òng tròn tâm K có đ ư ờ ng kín h CH, nó cắ t AC ờ N. a. Tứ giác AMHN là hình gì? b. Chứ ng minh rằ ng MN là tiế p tuyế n chung củ a hai đư ờ ng tròn (I) và (K). c. Vẽ tiế p tuyế n Ax củ a đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p tam igác ABC. Chứ ng minh rằ ng Ax song song vớ i MN..

(221) D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP SỐ Bài 1. a.. Hai tam giác AMAT và AMTB có: M chung ATM = MBT - vì góc nộ i tiế p và góc tạ o bở i mộ t tia tiế p tuyế n và mộ t dây cùng chắ n mộ t cung => AMAT ~ AMTB =>. MB. =. MT. o MT2= MA.MB.. b. Ta có ngay:. y. AMx = ATM —vì góc nộ i tiế p và góc tạ o bở i mộ t tia tiế p tuyế n và mộ t dây cùng chắ n mộ t cung. /. v M". => AMx = MBT o xy // BT, vì có hai góc so le trong bằ ng nhau. Bài 2. Ta lầ n lư ợ t xét: M ■ Xét hai tam giác AAMD và ACMB, ta có: M chung ADM = CBM — góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung suy ra: AAMD ~ ACMB. MA = MD ^ MC MB ■. m6. .MB = MC.MD.. Xét hai tam giác AMAT và AMTB, ta có: M chung ATM = M BT — vì góc nộ i tiế p và góc tạ o bở i mộ t tia tiế p tuyế n và mộ t dây. cùng chắ n mộ t cung. Suy ra: AMAT ~ AMTB => — = ^ MB. MT. o MT2= MA.MB.. (2). Từ (1) và (2), suy ra: MT2= MC.MD, đ pcm. Bài 3. Xét hai tam giác AABC và AADB có:. ACB = ABD — vì góc nộ i tiế p và góc tạ o bờ i mộ t tia tiế p tuyế n và mộ t dây cùng chắ n mộ t cung ABC = ADB — vì góc tạ o bở i mộ t tia tiế p tuyế n và mộ t dây và góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung. suy ra: AABC ~ AADB => — = AD. DB. AB. ..

(222) ■ Chứ ng minh M là tâm củ a đ ư òmg tròn nộ i tiế p tam igác AADF, tứ c là cầ n chứ ng minh M là giao đ iể m củ a haitia phân giác củ a AADF. Trư ớ c tiên, vì AD, AF là tiế p tuyế n củ a đ ư ờ ng tròn (O ) nên: AM là tia phân giác củ a góc DAF . FM = DM o MDF = MFD = MDA vì góc nộ i tiế p và góc tạ o bờ i mộ t tia tiế p tuyế n và môt dây cùng chắ n mộ t cung o DM là tia phân giác củ a góc ADF. Vậ y, M là tâm củ a đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p tam giác AADF ■ Chứ ng minh tư ơ ng tự cho các đ iể m N và p. Bài 5. a. Sử dụ ng tính chấ t góc nộ i tiế p và góc tạ o bờ i mộ t tia tiế p tuyế n và mộ t dây cùng chắ n mộ t cung, ta có: CAB = BCD và DAB = BDC. Trong ABCD, ta có: 180° = BCD + BDC + CBD = CÃB + DAB + CBD = CÃD + CBD, đ pcm. b. Trong đ ư ờ ng tròn (ACD), ta có: Ẽ DC = CÃB = BCỒ. (O). => BC// DE.. Ẽ CD= DÃB = BDC =>BD//CE. Vậ y, tứ giác BCED là hình bình hành. Bài 6. a. Nhậ n xét rằ ng: BAC=90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ồ ư mg tròn O A C 1A B suy ra: ACH = B A H , góc có cạ nh tư ơ ng ứ ng vuông góc. Mặ t khác, ta lạ i có:. ^. o H B. I. ACH = BAI vì góc nộ i tiế p và góc tạ o bờ i mộ t tia tiế p tuyên và mộ t dây cùng chắ n mộ t cung. Từ đ ó: B ^H = BAI o AB là tia phân giác củ a góc IAH. b. Hũ íii-íìuề ĩ tư làm..

(223) a.. Xét ABCE, ta có: BAC = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a dư ờ ng tròn O C A IB E (1) tứ c là CA vừ a là trung tuyế n vừ a là đ ư ờ ng cao, do đ ó ABCE cân tạ i c . b.. Ta có nhậ n xét: KBÃ = BCA = Ẽ CÃ = DCÃ = DBA. <=> BA là tia phân giác cùa góc DBx , đ pcm. c. Trong ABKI, có BA vừ a là phân giác vừ a là đ ư ờ ng cao nên: ABKI cân tạ i B => KA = IA và BK = BI. Xét tứ giác BKEI, ta có nhậ n xét: Hai đ ư ờ ng chéo KI và BE cắ t nhau tạ i trung đ iể m mỗ i đ ư ờ ng. Hai cạ nh liên tiế p BK và BI bằ ng nhau. Vậ y, tứ giác BKEI là hình thoi. Bài 8. B ạ n đ ọ c t ự v ẽ h ì n h . Xét đ ư ờ ng tròn (O), ta có: PAB = —sđ PB (góc nộ i tiế p chắ n cung PB) PBy = —sđ PB (góc tạ o bờ i tia tiế p tuyế n Py và dây cung PB). Suy ra PBy = PAB . Xét dư ờ ng tròn (0 ), ta có:. ( 1). AQB = —sđ AmB (góc nộ i tiế p chắ n cung AmB). PAB = —sđ AmB (góc tạ o bờ i tia tiế p tuyế n AP và dâ y cung AB) Suy ra AQB = PAB .. (2). T ừ (l) và (2), suy ra: Ấ QB = p iỳ .. (3). Đ ẳ ng thứ c (3) chứ ng tỏ rằ ng AQ // xy (hai góc so le trong bằ ng hau) n. Bài 9. Hư ờ ng dẫ n: a. Tứ giác AMHN là hình chữ nhậ t vì nó có ba góc vuông. b. Ta đ i chứ ng minh MN X MI và MN ± NK.. Thậ t vậ y: NMI = NMH + ÍMĨ Ỉ = Ấ Ĩ ÌM + IHM. = Ấ HÌ = 90° OMNIMI chứ ng minh tư ơ ng tự cho MN _L NK c. Ta có: '= ABC = MBH = NMH = MNÃ o Ax // MN..

(224) C H Ủ. B Ề. 5. GÓC c ó Đ Ỉ NH ở. BÊN TRONG Đ Ư Ờ NG. TRÒN GÓC CÓ Đ Ỉ NH Ở. BÊN NGOÀI. Đ Ư Ờ NG TRÒN A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T G Đ Ư Ờ NG TRÒN 7 7. 1. GÓCCÓĐ Ỉ N1 Đ ị nh lí 1:Góc c đ o hai cung bị ch Ta có minh h. 2. GÓC CÓ Đ Ỉ NH Ở B Đ ị nh lí 2:Góc có đ ỉ n đ o hai cung bị chắ n gi r r > l L - '. ,. đ o bằ ng nử a tổ ng củ a số ia đ ố i củ a hai cạ nh ấ y. „. n ngoài đ ư ờ ng tròn cố số đ o bằ ng nử a hiệ u củ a số cạ nh củ a gổ c.. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Vẩ d ụ 1« (Bài 36/tr 82 - Sgk): Mộ t đ ư ờ ng tròn(O) vờ hai dây AB, AC. Gọ i M, N lầ n lư ợ t là đ iể m chính giữ a cùa các cungAB và AC. Đ ư ờ ng thẳ ng MN cấ t dây AB tạ i E và cắ t dây AC tạ i H. Chứ ng mình AAEH lù tam giác cân. Giả i -Bạ n đ ọ c tự vẽ hình Ta có: Ấ Ẽ Ĩ Ì = -[s đ Ấ N + sđ BM ] = —[sđ CN + sđ Ấ MAM] = Ấ HẼ . 2. 2. Vậ y, ta đ ư ợ c AAEH cân tạ i A. Vẩ d ụ 2ì Cho hình thang ABCD có AB // CD và AD = DC = CB nộ i tiế p ìg đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AB. Tính số đ o củ a góc AIB vớ i I là ĩ giư o đ iể m củ a AC vàBD..

(225) Giả i Từ giả i thiế t, ta nhậ n đ ư ợ c: sđ AB = 180° sđ Ấ D = sđ DC = sđ CB = —sđ AB =60° 3 Sô' đ o củ a góc AIB đ ư ợ c cho bờ i: 1 AIB = —(sđ AB + sđ D C ) = —(180° + 60°) = 120°. 2 2 Nhậ n xét: Cách làm trong lờ i giả i củ a ví dụ trên đ ư ợ c hiể u là"Đ ê chứ ng mừ ứ i m ộ t tam giác là tam giác đ ề u ta đ i chứ ng mừ ử ì nóà ltam giác cân và có m ộ t góc bằ ng 6Ơ Vấ d y 3» (Bài 40/tr 83 - Sgk):Từ mộ t đ iể mM ở bên ngoài đ ư ờ ng tròn(O) kẻ hai tiế p tuyế n MB, MC. Vẽ đ ư ờ ng kínhBOD. Hai đ ư ờ ng thẳ ngCD và MB cắ t nhau tạ i A. Chứ ng minh rằ ng M là trung đ iể m củ aAB. G iả i. Ta có: MB = MC - vì tính chấ t củ a hai tiế p tuyế n.. (1). Vì BAD là góc ờ đ ỉ nh bên ngoài đ ư ờ ng tròn nên: ^ s d BmD - sd BnC B0D,à dư im«kinh sd BĨ Ĩ D - sd ẽ í c B A D = ----------------------= ---------------------2 2 crỊ p T ^. =—. 2. góc tạ o bở i tiế p tuyế n. .=. và dây cung. _____ góc dố i d ỉ n h _________. xCD. =. ACM.. V ậ \ AMAC cân tạ i M, suy ra MA = MC. Tiừ (1) và (2) suy ra MA = MB, tứ c M là trung đ iể m củ a AB.. (2). Nhậ n xét: Trong ví dụ trên, ta phả i chứ ng minh MA = MB như ng MB = MC (tính chấ t củ a hai tiế p tuyên) nên ta cầ n chứ ng minh MA = MC, tứ c là ta phả i chứ ng minh AMAC cân.. VI. Khi tính sô' đ o củ a góc A ta đ ã thay thế cung BmD bở i ctang Bn D có cùng sô' đ o. Nói chung khi phả i tính tông (hay hiệ u) sô' đ o củ a hai cung nào đ ó, ta thư ờ ng dùng phư ơ ng pháp thay thế mộ t cung bở i mộ t cung khác bằ ng nó đ ể đ ư ợ c hai cung liề n nhau (nế u tính tông) hoặ c hai cung có mộ t phầ n chung (nêu tính hiệ u). i i (Bài 37/tr 82 - Sgk): Cho đ ư ờ ng tròn(O) và hai dây cung bằ ng nhau *Tì, AC. Trên cung nhỏ AC láy đ iể mM. Gọ i I là giao đ iể m củ aAM ívậ BC. Chứ ng minh rằ ng AIC = ACM..

(226) J&> Giả i Ta có ngay: AB = A C , vì AB = AC Ấ ĩc = Ấ ĩỗ. = —(sđ Ấ B - sđ M C) ,. góc có đ ỉ nh bên ngoài đ ư ờ ng tròn = —(sđ Ấ C - sđ MC ) = — Ấ M. ( 1). ACM = — A M , góc nộ i tiế p. (2). Từ (1) và (2) suy ra: Ấ ĩ c = Ấ CM, đ pcm. ^. Nhậ n xét’. Ta có hai trư ờ ng hợ p đ ặ c biệ t củ a góc có đ ỉ nh ở bên ngoà i đ ư ờ ng trò n , cụ thể : Trư ờ ng hợ p 1: Vớ i MT là tiế p tuyế n và AB là đ ư ờ ng kính. Khi đ ó: TMB = —(sđ TB - s đ T A ) B = —[(180° - sđ T A ) - sđ TA ] = 90° - sđ TA = - [sđ TB - (180° - sđ TB)] = sđ TB - 90°. Trư ờ ng hợ p 2. Vớ i MT, MT' là hai tiế p tuyế n.. M*. TMT' = 180°- sđ TĨ nT' = s đ f n T ' -180°. Vẩ d ụ Sĩ (Bài 37/tr 82 - Sgk): Trên mộ t đ ư ờ ng tròn, lấ y liên tiế p ba cungAC, CD, DB sao cho sđ AC = sđ CD = sđ DB = 60°. Hai đ ư ờ ng thắ ng AC và BD cắ t nhau tạ i E. Hai tiế p tuyế n củ a đ ư ờ ng tròn tạ iB vờ c cắ t nhau tạ i T. Chứ ng minh rằ ng: a. AEB = BTC. b. CD là tia phân giác củ a BCT. Gidi -B ạ n đ ọ c tự vẽ hình a. Ta có: sđ Ấ B = 360° - (sđ AC + sđ CD + sđ DB) = 180°;. ị [sđ A B - sđ CD ] ị = [180° - 60°] = 60°;. Ể O.

(227) = - [ 180° + 60° - (60° + 60°)] = 60°. Vậ y, ta đ ư ợ c AEB= BTC. b. Ta có: 3CÒ = - sđ DB = - sđ CD = DCT . 2~ 2 Vây. ta đ ư ợ c CD là tia phân giác củ a góc BCT.. c . BÀI TẬ P LUYỆ N TẬ P Bài 1. Cho AB và CD là hai đ ư ờ ng kính vuông góc củ ađ ư ờ ng tròn (O). Trên cung nhỏ BD lấ y nộ t đ iể m M. Tiế p tuyế n tạ i M cắ t tia AB ở E, ođạ n thẳ ng CM cắ t AB ờ s. Chứ ng minh ES =EM. Bài 2. "ừ mộ t đ iể m M ờ bên ngoài đ ư ờ ng tròn (O) ta vẽtiế p tuyế n MT và cát tuyế n MAB đ i .ị ua tâm (A nằ m giữ a M và B). Giả sử số đ oùac cung nhỏ AT bằ ng 60°. Tính số đ o củ í góc TMB. Bài 3. Qua đ iể m A nằ m ngoài đ ư ờ ng tròn (O) vẽ hai cát tuyế n ABC và AMN sao cho hai đ ư ờ rụ thẳ ng BN và CM cắ t nhau tạ i mộ t đ iể m s m nằ bên trong đ ư ờ ng tròn. Chứ ng minh Ẩ - BSM = 2CMN . Bài 4. Cho đ ư ờ ng tròn (O) và mộ t dây AB. Vẽ đ ư ờ ng kín h CD vuông góc vớ i AB (D thuộ c cuig nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấ y mộ t đ iể m N.Các đ ư ờ ng thẳ ng CN và DN lầ n lư ợ t :ắ t đ ư ờ ng thẳ ng AB tạ i E và F. Tiế p tuyế n ủ ca đ ư ờ ng tròn tạ i N cắ t đ ư ờ ng thẳ ng AI tạ i I. Chứ ng minh rằ ng: a. Gc tam giác AINE và AINF là tam giác cân. b. Aí = —(AE + AF). 2 Bài 5. Cho đ ư ờ ng tròn (O, R) và hai đ ư ờ ng kính AB, CD vuông góc vớ i nhau. Trên tia AB lâr đ iể m M sao cho AM = rV2 . Vẽ dây CN đ i qua M. Từ vẽN tiế p tuyế n xy vớ i đ ư ờ n; tròn. Chứ ng minh rằ ng: a. x; // AC. b. Ta CN là tia phân giác cùa góc BCD. Bài 6. "ừ mộ t đ iể m A ờ bên ngoài đ ư òng tròn (O) ta vẽ ptiế tuyế n AB và cát tuyế n ACD. Ví dây BM vuông góc vớ i tia phân giác củ a góc BAC, dây này cắ t CD tạ i E. Chứ ng mnh rằ ng: a. IM là tia phân giác củ a góc CBD. b. VD2= ME . MB Bài 7. Cho AABC cân tạ i A nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn (O).Đ ư ờ ng phân giác củ a hai góc B và c cắ t nhíU f?và cắ t dư ờ ng tròn ờ F và D. Chứ ng minh rằ ng tứ giác EDAF là mộ t hình th o i..

(228) Bàỉ 8. Cho AABC nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn, p, Q, R theo thứ tự là các đ iể m chính giữ a củ a các cuni bị chắ n BC, CA, AB bờ i các góc A, B, c. a. Chứ ng minh AP -L QR. b. AP cắ t CR tạ i I. Chứ ng minh ACPI là tam giác cân. Bài 9. Cho AABC nhọ n và AB < AC nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn tâmo. Gọ i D, E, F lầ n lư ợ t là đ iể m chính giữ a củ a các cung nhỏ AB, BC, CA. Tiế p tuy ế n tạ i A củ a đ ư ờ ng tròn cắ t các dư ờ ng thẳ ng BC và DF lầ n lư ợ t tạ i M và N. Gọ i p và Q lầ n lư ợ t là giao đ iể m củ a đ ư òmg thă ng BC vớ i đ ư ờ ng thẳ ng DF và AE. a. Chứ ng minh rằ ng AE J- DF. b. Chứ ng minh rằ ng MA = MQ, MN = MP Bài 10. Cho đ ư ờ ng tròn (O) đ ư ờ ng kính AB, cung CD = °80nằ m cùng phía đ ố i vói AB (D thuộ c cung BC). Gọ i E là giao đ iể m củ a AC và BD, Flà giao đ iể m củ a AD và BC. Tính Ấ ÊB, Ấ FB. Bài 11. Cho tam giác ABC cân tạ i A nộ i tiế p đ ư ờ ng trò n (O). Lấ y đ iể m M thuộ c tia đ ố i củ a tia BC. Gọ i I là giao đ iể m củ a MA vớ i đ ư ờ ng tròn. Chứ ng minh rằ ng: a. Ấ MC = Ấ cì . b. AI.AM = AC2. Bài 12. Cho đ ư ờ ng tròn (O), đ ư ờ ng kính AB vuông góc vớ i dây CD. Qua đ iể m M thuộ c cung AD, kẻ tiế p tuyế n vớ i đ ư ờ ng tròn, cắ t CD ờ I.Gọ i E là giao đ iể m củ a BM và CD. a. Chứ ng minh rằ ng IM = IE. b. Gọ i F là giao đ iể m củ a AM và CD. Chứ ng minh rằ ng AFC= ABM .. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP s ố Bài 1. Bạ n đ ọ c tự vẽ hình Ta có: Ể SM = - [sđ Ấ c + sđ B M ]= —[sđ CB + sđ BM] = Ẽ M S. Suy ra AESM cân tạ i E => ES = EM. Bài 2. Ta có: ÍMB = —(sđ BT —sđ tẤ ) = —[(sđ Ấ B -sđ Ấ T ) 2 2 = - (180° - 60° - 60°) = 30°. Bài 3. Bạ n đ ọ c tự vè hình Ta có: Â= —Ị sđ CN - sđ BM ] —[sđ CN + sđ BM ] = Â + Ẽ SM = sdCCN 2C = MN. 2.

(229) Bài 4. a.. Tìr già thiế t: CD X AB và CD là đ ư ờ ng kính=>Ẩ C = B C v à A D = BD. Ta có: Ấ Ẽ C = —(sđ Ấ c - sđ BN ) = —( sđ BC - sđ B N ) = — NC sđ = CNx = INẼ 2 2 2 <=> AINE cân tạ i I.. 1. 1. NFI = —(sđ AD +sđ BN )= - (sđ BD +sđ BN ) = - sđ ND = IND 2 2 2 o AINF cân tạ i I.. b. Từ kế t quả câu a), ta có: IE = IN = IF. Nhậ n xét rằ ng: AI = AE - IE và AI = AF + IF => 2AI = AE + AF <=> AI = —(AE + AF), đ pcm. 2 Bài 5. Họ c sinh tự làm. Bài 6. a. Xét AABE, ta nhậ n thấ y: AH vừ a là phân giác vừ a là đ ư ờ ng cao o AABE cân tạ i A o ABE = AEB <=> —sđ BM = —(sđ BC +sđ D M ) 2. 2. cosđ BC + sđ CM = sđ BC + sđ DM <x>sđ CM = sđ DM o CBM = DBM <=> BM là tia phân giác củ a góc CBD. b. Xét hai tam giác ABDM và ADEM, ta có: M chung DBM = Ễ DM Do đ ó: ABDM ~ ADEM Bài 7. Hư ờ ng dẫ n: • Chứ ng minh EDAF là hình bình hành do có các cặ p cạ nh đ ố i song song. ■ Chứ ng minh AE J_ DF bở i DF // BC. Vậ y, EDẠ F là mộ t hình thoi..

(230) Bài 8.. a.. B ạ n đ ọ c tự. v ẽ h ìn h. Gọ i K là giao đ iể m củ a AP và RQ. Ta có: Ấ KR = - [sđ Ấ R + sđ CQ + sđ CP ] =Ị -—sdẤ B + —sdẤ C + —sdBC 2 2 \2 2. 2J. = - (sđ Ẩ B + sđ Ấ C + s đ ỗ c ) = 90°. Vậ y, ta đ ư ợ c AP -L QR. b. Ta có: Ố Ĩ P = -[s đ Ấ R + sđ C P ]= —[sđ BR + sđ BP ] = ÍCP 2 2 Vậ y, ta đ ư ợ c A CPI cân tạ i p. Bài 9. Trư ớ c hế t, từ giả thiế t "D, E, F lầ n lư ợ t là đ ể im chính giữ a củ a các cung nhò AB, BC, CA ", ta đ ư ợ c: Ấ D = BD, BE = C Ề , CF = AF . a. Gọ i I là giao đ iể m củ a AE và DF, ta có ngay: Ấ Ĩ D = —(sđ AD + sđ Ẽ F ) = —(sđ Ấ D + sđ Ế C + sđ CF ) 2. 2. = —( —sđ AB + —sđ BC + —sđ CA ) 2 2 2 2 = —(sđ Ấ B + sđ BC + sđ CA ) = - .360° = 90° 4. 4. o AE J- DF, đ pcm. b. Xét AMAQ, sử dụ ng đ ị nh lí về góc tạ o bở i tia tiế p tu yế n vớ i mộ t dây và góc có đ ỉ nhở bên trong đ ư ờ ng tròn ta có: MÃQ = -s đ Ấ E = - (sđ Ẩ B +sđ BE )= - (sđ Ẩ B +sđ CE )=Ấ QM 2 2 2 <=> AMAQ cân tạ i M <=>MA = MQ, đ pcm. A F. E Xét AMNP, sử dụ ng đ ị nh lí về góc có đ ỉ nh ờ bên ngoà i đ ư ờ ng tròn và hai góc đ ố i đ ỉ nh ta có: MPN = -(sđ C F -sđ B D )=-(sđ Ấ F -sđ Ấ D )= Ấ NF = MNP 2 2 <=>AMNP cân tạ i M <=> MN = MP, đ pcm..

(231) Đ Ề. C ung chứ a g ó c. 6. A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T. M riUỄ i uuư t. yivivị LUGrri iritAUL. riỉ ỉ iỉ i II U.CU LU Iiriri ir iu i I ). VJUI IVI la. 1I1UI u.1^11. Kế i luậ n:. bấ t kì thuộ c hình H , ta đ i chúng minh đ iể m M có tính chấ t T. Quỹ tích các đ iể m M có tính chấ t T là hình H.. C®P Ciú ý: Ta đ ã họ c ba quỹ tích cơ bả n ở Hình họ c 7 và mộ t quỹ tích cơ bả r ỏ Hình họ c 8, cụ thể : ■ Q uỹ tích các đ iể m cách đ iể m o cô' đ ị nh mộ t khoàng R không đ ổ i la đ ư ờ ng tròn (O, R).. i. w. i. l. Iv. •» • - *. ■. •. Quỹ tích các đ iể m nằ m trong m ộ t góc cố đ ị nh và rách lỉ ề uaih canh củ a góc là tia phàn giác củ a góc ấ y. Q uỹ tích các đ iể m cách đ ề u hai đ iể m A, B cô đ ị nh là đg ư trung ờ n i ----- 1. Ao ■ ’. -. ■ ệị. '. ■. A. •Ặ .. ’ •.

(232) B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN. Phư ơ ng pháp Đ ể đ ơ n giả n, trư ớ c hế t ta chỉ xét m ộ t nử a mặ t^phă ng có bờ AB. P hẩ n thuậ rr. Gọ i M là đ iể m thuộ c nử a mặ t phang đ ang xét thoả mãn AMB = a. Vạ ch đ ư ờ ng tròn (O) ngoạ i tiế p AMAB, thì m ọ i đ iể m N nằ m trên cung AB chứ a đ ỉ nh M củ a góc AMB, ta kí hiệ u là AmB (cung còn lạ i kí hiệ u là AnB) luôn có: Ấ NB = Ấ MB = a. Ta cầ n đ i chứ ng minh đ ư ờ ng tròn (O) là xác đ ị nh không phụ thuộ c vào vị trí củ a đ iể m M, thậ t vậ y: Trong nử a mặ t phă ng đ ố ì củ a nử a mặ t phă ng đ ang xét dự ng tia Ax sao cho xAB = a , suy ra: Ax là tiế p tuyế n củ a đ ư ờ ng tròn (O) => Ax 1 AO. Vậ y, tâm là giao đ iể m củ a đ ư ờ ng trung trự c củ a AB vớ i tia Ay vuông góc vớ i Ax. P hẩ n đ ẳ ơ .Vớ i đ iể m M bấ t kỳ thuộ c cung AmB, ta có: AMB —xAB = a . Trên mặ t phang đ ố i củ a nử a mặ t phă ng đ ang xét, ta có mộ t cung đ ố i xứ ng đ ổ i vớ i cung AmB qua AB.. K ế t luân. Q uỹ tích các đ iể m M tạ o thành vớ i hai m ú t củ a đ oạ n thẳ ng A B cho trư ớ c m ộ t gócAMB có sô'đ o không đ ổ i bằ ng ữ (ơ < a < 18Ơ ), là hai cung tròn đ ố i xứ ng nhau qua A B g ọ i là cim g chứ a góc a dự ng trên đ oạ n thẳ ng AB. c r ' Nhậ n xét: Ta có: 1. Hai đ iể m A và B đ ư ợ c coi là thuộ c quỹ tích, vì: ■. Khi M trùng vớ i A thì góc AMB đ ■ Khi M trùng vớ i B thì góc AMB đ 2. Quỹ tích các đ iể m M tạ o thành vớ i trư ớ c mộ t góc vuông là đ ư ờ ng ữ òn đ. ư ợ c thay bở i xAB . ư ợ c thay bở i ABx ’. hai mút củ a đ oạ thă n ng AB cho ư ờ ng kính AB..

(233) Vể ẩ f lì. (Bài 44/tr 86 - Sgk): Cho AABC vuông ở A, có cạ nh BC cô đ ị nh. Gọ i ĩ là giao đ iể m củ aba đ ư ờ ng phân giác trong. Tìmq u ỹ tích đ iể m I khi A thay đ ổ i.. Jg$ Giả i - Bạ n đ ọ c tự vẽ hình Ta có: BĨ C = 180° - ( ÍBC + ÍC B ) = 180° -. B c 2 +2. = 180°- - (B + C ) = 180°- — = 135°. 2 2 B, c cố đ ị nh, A thay đ ổ i, I luôn nhìn cạ nh BC dư ớ i mộ t góc 135°. Vậ y, quỹ tích đ iể m I là cung chứ a góc 135° dự ng trên cạ nh BC ốđi xứ ng nhau qua BC. Vẩ d y 2ĩ (Bài 48/tr 87 —Sgk): Cho hai đ iể mA, B cô đ ị nh. Từ A vẽ cúc tiế p t u y ế n v ớ i đ ư ờ t ì g t r ò n t â m B c ó b ủ n k í n h k h ô n g l ớ n h ơ n AB. T ì m q u ỹ tích các tiế p đ iể m.. JS$ Giả i - Bạ n đ ọ c tự vẽ hình Theo tính chấ t củ a tiế p tuyế n ta có: A T1B T Do đ ó, A, B cố đ ị nh, T nhìn AB dư ớ i mộ t góc vuông Vậ y, quỹ tích tiế p tuyế n T là đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AB Vấ d ụ 3i Xét các AABC cố BC = 6cm cố đ ị nh,Â = 120°. a. Tìm quỹ tích các đ iể mA. b. Đ iể mA ở vị trí nào thì AABC có diệ n tích lớ n nhấ t ? Tính giá trị lớ n nhấ t đ ó. Jg$ Giả i A___ a. Ta thự c hiệ n theo các phầ n: Phầ n thuậ n: Do BC cố đ ị nh, BAC = 120° nên A di chuyể n trên hai cung chứ a góc 120° dự ng trên BC. Phầ n đ ả o: Lấ y đ iể m A thuộ c cung chứ a góc 120° dự ng trên BC, ta thấ yngay BÃC= 120°. Kế t luậ n: Quỹ tích đ iể m A là hai cung chứ a góc 120° dự ng trên đ oạ n BC. b. Hạ AH vuông góc vớ i BC, ta có ngay: ^ Saabc = ị AH.BC 6 6 < 7 7 ó giá trị lớ n nhấ t khi: do đ ó, S AH lớ n nhấ t o A là đ iể m ờ chính giữ a cung chứ a góc. Khi AABH vuông tạ i H, ta có: 60° => Ấ BH = 30° => AB = 2AH.

(234) ( bcV. AB2 = A H 2 + BH2 <=> (2A H)2 = A H 2 + ^. J. __. /—. <=> 3A H 2 = 9 <=í> AH = V 3 .. Do đ ó SAabc = —yfỉ .6 = 3 V3 cm2. 2 ^. Vẩ. Nhậ n xét: Trong ví dụ trên, việ c chỉ ra quỹ tích củ a đ iể m Ađ ư ợ c suy ra ngay từ giả thiế t, do đ ó các bư ớ c thự c hiệ n là rấ t đ ơ niả gn. Tuy nhiên, trong nhiề u trư ờ ng hợ p chúng ta cầ n chỉ ra đ ư ợ c cung chứ a góc ữ onghình vẽ . 4ì Cho nử a đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ìig kính AB và cung EF củ a nử a đ ư ờ ng tròn (E nằ m trên cung AF sao cho sđ EF = 60°.Hai tiư AE và BF cắ t nhau tạ i M. Tìm quỹ tích các đ iể mM khi cung EF chuyể n đ ộ ng trên nử a đ ư ờ ng tròn. Giả i. Phầ n thuậ n: Giả sử có đ iể m M sao cho EF = 60°, ta có: aC™ _ sdẤ B - sdẼ F 180°-60° _ ,_0 AMB = ----------------- = ------------- = 6 0 . 2 2 Vậ y đ iể m M nằ m trên cung chứ a góc 60° dự ng trên đ oạ n thẳ ng AB (cung này thuộ c nử a mặ t phẳ ng bờ AB có chứ a nử a đ ư ờ ng tròn cho trư ớ c). Giớ i hạ n: Ta có: ■ Nế u E = A => M s Mo, vớ i Mo là giao đ iể m củ a cung X chứ a góc vói tiế p tuyế n Ax củ a nử a đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AB. M„ ■ Nế u F s B => M = M,, vói Mj là giao đ iể m củ a cung chứ a góc vớ i tiế p tuyế n By củ a nử a đ ư ờ ng tròn dư ờ ng kính AB. A’ Do đ ó, đ iể m M chỉ nằ m trên cung MoM! . Phầ n đ ả o: Lấ y đ iể m M nằ m trên cung M0Mj . Nố i MA, MB, cắ t nử a đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AB lầ n lư ợ t tạ i E và F. Ta phả i chứ ng minh sô' đ Ế o F = 60°. Thậ t vậ y: Ấ MB = sdA B ; - EF =>sdẾ F =sđ Ấ B -2Ấ M B = 1 80°-2.6QP = 60°. Kế t luậ n: Quỹ tích các đ iể m M là cung MqMị củ a cung chứ a góc 60° ựdng trên đ oạ n thẳ ng AB (cung này thuộ c nử a mặ t phẳ ng bờ AB óc chứ a nử a đ ư ờ ng tròn đ ã cho). c»- Nhậ n xét: Phư ơ ng pháp giả i bài toán trên đ ư ợ c tổ ng quát choyêu cầ u ~. sđ ÊF = ot, vớ i 0° < a < 180°.

(235) Vấ n đ ề 2: DỤ NG CUNG CHỨ A GÓC <x (0° < <x < 180*) TRÊN Đ OẠ N AB = a CHO TRƯ Ớ C Ph ư. ơ. n g Ị 'h ú p. Ta lầ n lư ợ t thự c hiệ n: ■. Dự ng đ oạ n AB = a và đ ư ờ ng trung trự c Iz củ a AB. • Dự ng tia Ax sao cho xAB = a. • Dự ng tia Ay vuông góc vớ i Ax cắ t Iz tạ i o . • Cự ng đ ư ờ ng tròn (O, OA) và chỉ lây phầ n cung cùng phía vớ i o, kí hiệ u AmB .. •. z. o /y ✓ X. Lầ y đ ố i xứ ng cung A mB qua AB đ ư ợ c cung Am,B.. Vậ y, hai cung AmB và Am,B là cung chứ a góc cầ n dự ng.. m,. ^. Nhọ n xét: 1. Như vậ y, nế u chỉ vớ i yêu cầ u dự ng cung chứ a góc chúng ta chỉ cầ n triih bày phầ n cách dự ng. Tuy nhiên vớ i bàitoán sử dụ ng kế t quả ctng chứ a góc đ ê dự ng hình (ví dụ dự ng tam giác...) chún g ta cầ n trình b<y đ ủ 4 bư ớ c. 2. Trong trư ờ ng hợ p đ ặ c biệ t vớ i a = 90°, chúng ta đ ã biế t đ ư ợ c cách đ ự ng đ ín giả n hơ n nhiề u, vì nó chính là đ ư ờ ng tròn đ ư ờ kính ng AB. Vấ d ụ li Dự ng cung chứ a góc 60° trên đ oạ nAB = 4cm. JS^ Giả i Ta lầ i lư ợ t thự c hiệ n: ■. ■ ■ ■. ■. Eự ng đ oạ n A B = 4 cm và đ ư ờ ng trung trự c Iz. cia AB. Cụ ng tia Ax sao cho xAB = 60°. Eự ng tia Ay vuông góc vớ i Ax cắ t Iz tạ i o. Eự ng đ uờ ng tròn (O, OA) và chỉ lấ y phầ n cung cing phía vớ i o , kí hiệ u AmB .. z 0 /y ✓ ^ X m,. Líy đ ố i xứ ng cung AmB qua AB đ ư ợ c cung Am IB .. Vậ y, hai cung AmB và AmjB là cung chứ a góc góc cầ n dự ng. Vấ dụ 2: (Bài 49/tr 87 —Sgk): Dự ng AABC, biế t BC = 6cm, Â = 40° và đ ư ờ ng cao AH = 4cm. Giidi - Bọ n đ ọ c tự vẽ hình. Phân ttíờ i: ■. Gả sử dự ng đ ư ợ c AABC thoả mãn đ iể u kiộ n: BC = 6cm, Â = 40°, AH = 4cm..

(236) ■ ■ Cách ■ ■ ■. Khi đ ó, đ iể m A nằ m ngoài đ ư ờ ng thẳ ng d song song vớ i đ ư tròn ờ ng BC và cách BC 4cm. Mặ t khác, BAC = 40° nên A nằ m trên cung chứ a góc 40° dự ng trên BC. dự ng: Trên đ ư ờ ngthẳ ng A lấ y đ oạ n thẳ ng BC = 6cm. Dự ng các đ ư ờ ng thẳ ng dị // A và d2// A cách A mộ t khoảng 4cm. Dụ ng các cung chứ a góc 40° dụ ng trên BC là BmC = 40°, BnC = 40° và cắ t. d| và d2tạ i A|, A2, A3, A4.. Vậ y, các AAị BC, AA2BC, AA3BC, AA4BC thoả mãn các đ iề u kiộ n đ ề bài. Vấ a« Dự ng AABC biế t BC = a, Â = a (0° < a < 90°) và đ ư ờ ng caoBH = h vớ i h < a. Gidi Phán tích: Giả sử đ ã dự ng đ ư ợ c AABC thoả mãn đ iể u kiệ n đ ầ u bài, ta thấ y: a. Cạ nh BC = a dự ng đ ư ợ c ngay A b. Đ iể m H thoả mãn hai đ iể u kiệ n: ■ H nằ m trên đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính BC. ■ H nằ m trên đ ư ờ ng tròn (B, h). Ị //h Vậ y H là giao củ a hai đ ư ờ ng tròn đ ó. 0 *-— c. Đ iể m A thoả mãn hai đ iề u kiệ n: ■ A nằ m trên cung chứ a góc a dự ng trên đ oạ n thẳ ng BC A ■ A nằ m trên tia CH. Vậ y A là giao đ iể m củ a tia CH vớ i cung chứ a góc a. Cách dự ng: Ta lầ n lự ơ t thự c hiệ n: c - Dự ng đ oạ n BC = a. - Dụ ng cung chứ a góc a dụ ng trên đ oạ n thẳ ng BC. - Dự ng đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính BC. - Dạ ng đ ư ờ ng tròn (B, h) cắ t đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính BC tạ i H. A - Tia CH cắ t cung chứ a góc a tạ i A. - Nố i AB ta đ ư ợ c AABC phả i dự ng. Chứ ng minh: Ta có ngay: BC = a theo cách dự ng. Â = a - vì A nằ m trên cung chứ a góc a dự ng trên đ oạ nthẳ ngBC. BH = h - vì H thuộ c đ ư ờ ng tròn (B, h). BĨ ÌC = 90° => BH = h là đ ư ờ ng cao củ a AABC. Vậ y, AABC thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. Biệ n luậ n: Ta dự ng đ ư ợ c hai AABC và AA’BC thoả mãn đ iề u kiên đ ề bài, như ng hai tam giác này bằ ng nhau (đ ố i xứ ng qua BC) nên bài toán chỉ có mộ t ng hiệ m ày là bài toán dự ng hình về kích thư ớ c)..

(237) 1. Qua ví dụ trên ta thấ y giả i mộ t bài toán đ ự ng hình thư ờ n g đ ư ợ c quy về việ c xác đ ị nh mộ t đ iể m thoả mãn hai đ iề u kiệ n. Đ iể mxác cầ nđ ị nh là giao củ a hai quỹ. tích (cũ ng có khi là giao củ a m ộ t quỹ. tích vớ i mộ t. đ ư ờ ng thă ng hoặ c mộ t đ ư ờ ng tròn cho trư ớ c). Sô' nghiệ hình m củ a bài toin phụ thuộ c vào số giao đ iể m củ a hai quỹ tích. Phư ơ ngpháp dự ng hình như vậ y gọ i là phư ơ ng phấ p quỹ tích tư ơ ng giao. 2. Nế u thay giả thiế t đ ư ờ ng cao BH = h bằ ng đ ư ờ ng cao AH = h, khi đ ó A thuộ c đ ư ờ ng thă ng scng song vớ i BC và cách BC mộ t khoả ng bằ ng h, V í t r o n g t r ư ờ n g h ợ p n à y b à i t o á n c ó th ê v ô n g h i ệ m. hinh, có mộ t nghiệ m hình hoặ c hai nghiệ m hình, vì no phụ thuộ c vào số giao đ iể m củ a đ ư ờ ng thắ ng vơ i cung chứ a góc. 3. Nâu thay giả thiế t đ ư ờ ng cao BH = h bằ ng đ íờ ng trung tuyế n AM = m, khi đ ó A thuộ c đ ư ờ ng ữ òn (M, m) vố i M là trung đ iể m BC, và tiong trư ờ ng hợ p này bài toán có thê vô nghiệ m hình, có mộ t nghiệ m hình hoặ c hai nghiệ m hình, vì nó phụ thuộ c vào sô' giao đ iể m cua đ ư ờ ng tròn vớ i cung chứ a góc.. H ,c. Phư ơ ng pháp. Việ c sử. dụ ng quỹ. tích cung chứ a góc a đ ể. chứ ng minh nhiề u đ iể m cùng nằ m trên mộ t đ ư ờ ng tròn, dự a trên nhậ n xét:. " Mêã các đ iể m M, N nằ m cùng phía đ ố i vớ i AB và AMB = ANB thì bôn đ iể mA, M, N, B cùng thuộ c m ộ t đ ư ờ ng tròn ^. Vể d ụ. Chl ý: Đ iề u kiệ n cùng phía củ a các đ iể m M, N đ ố i vớ i AB là buộ bắ t c, bở i trong trư ờ ng hợ p khác phía chỉ đ úng vớ i: li. Ấ MB = Ấ NB = 90°. (Bài 51/tr 87 —Sgk): Cho I, o lầ n lư ợ t lờ tâm đ ư ờ ngtròn nộ i tiế p, tám đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p tam giácABC vớ i Â = 60°. Gọ iH là giao đ ị ể m củ a các đ ư ờ ng cao BB' và CC'. Chíừ ig minh các đ iể mB, c, o, ,1 cùng thuộ c mộ t đ ư ờ ng tròn..

(238) Jg$ Giả i -Bạ n đ ọ c tự vẽ hình Xét tứ giác AB'HC', ta có: Ĩ ÍHC' = 3602 - ( Â + B + C ) = 360° - (60° + 90° + 90°) = 120°. => BHC = B^HC' = 120° Xét ABIC, ta có: BĨ C = 180°-(ÍBC + ICB)= 180°- — + —j = 18ơ °—-(1 8 0 P- Â ) = 120°. Như vậ y, H và I đ ề u nằ m trên cung chứ a góc 120° dự ng trênBC. Mặ t khác, AABC nộ i tiế p trong đ ư ờ ng tròn tâm o nên góc nộ i tiế p BÂC trong đ ư ờ ng tròn (O) có số đ o là: 60°= BAC = —sđ BC = - BÕC => BÕC = 120° 2 2 Vây, o nằ m trên cung chứ a góc 120° dự ng trên BC. Nghĩ a là 5 đ iể m B, c , o , H, I nằ m trên cùng mộ t đ ư ờ ng tròn chứ a cung chứ a góc120° dự ng trên BC. Vẩ d ụ 2« Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Chứ ng minh rằ ng bố n đ iể m A, B, c , D thuộ c cùng mộ t đ ư ờ ng tròn. JS$ Giả i Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Xét hai tam giác AABD và ABAC, ta có: AB chung BAD = ABC, vì ABCD là hình thang cân AD = BC, vì ABCD là hình thang cân Do đ ó:. X*. * JKX. A. B. AABD = ABAC (c.g.c) => Ấ DB = Ấ CB. Vậ y, các đ iể m c , D nằ m phía đ ố i vớ i AB và thoả mãn ADB = ACB nên bố n đ iể m A, B, c , D thuộ c cùng mộ t đ ư ờ ng tròn. Cách 2: Xét hai tam giác AACD và ABDC, ta có: CD chung ADC = BCD, vì ABCD là hình thang cân AD = BC, vì ABCD là hình thang cân Do đ ó: AACD = ABDC (c.g.c) => CÃÒ = CBD . Vậ y, cá&riđ iẽ m A, B nằ m phía đ ố i vớ i CD và thoả mãn CAD = CBD nên bố n cUể tp ẩ LB, c , D thuộ c cùng mộ t đ ư ờ ng tròn..

(239) Nhậ n xét'. Đ ư ờ ng tròn đ i qua bôn đ ỉ nh củ a hình thang ABCD đ gọư ợ i clà " Đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiôp ABCD" hoặ c " Hình thang ABCD nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn này". Vẩ. 3» Cho AABC cân tạ i A. Lấ y hai đ iể mE, F theo thứ tự thuộ c AB, AC sao cho AE = AF. Chứ ng minh rằ ng bố n đ iể mB, c , E, F thuộ c cùng mộ t đ ư ờ ng tròn. Giả i Ta có thể trình bày theo các cách sau:. Cách I:. Xét hai tam giác A A B F và AACE, ta có:. A3 = AC, vì AABC cân tạ i A Âchung A? = AE, giả thiế t Do đ c: AABF = AACE (c.g.c) => Ấ BF = Ấ CẼ. <=> Ẽ BF = F C È .. Vậ y, các đ iể m B, c nằ m phía đ ố i vớ i EF và thoả mãn EBF = FCE nên bố n đ iể m B, c, E, F thuộ c cùng mộ t đ ư ờ ng tròn. Cách 2: Chứ ng minh như trong cách 1, ta đ ư ợ c: A\BF = AACE (c.g.c) => Ấ FB = Ấ ic o 180°- Ấ FB = 180°- Ấ Ẽ CO Ố Ẽ B = BẼ C. Vậ y, các đ iể m B, c nằ m phía đ ố i vớ i EF và thoả mãn EBF = FCEnên bố n đ iể m B, c, E, F thuộ c cùng mộ t đ ư ờ ng tròn. Cách 3: '<ét hai tam giác AEBC và AFCB, ta có: E3 = AB - AE = AC - AF = FC, vì AABC cân tạ i A BBC = FCB , vì AABC cân tạ i A Bc chung do đ ó: AEBC = AFCB (c.g.c) => BẼ C = CFB . Vậ y, tác đ iể m E, F nằ m phía đ ố i vớ i BC và thoả mãn BÊC = CFB nên bố n đ iể m B., c, E, F thuộ c cùng mộ t đ ư ờ ng tròn.. Vấ n đ ề 4 TOÁN TỔ NG HỢ P Vẩ dy l i (Bài 47/tr 86 —Sgk): Gọ i cung chứ a góc 55° ở bài tậ p 46 là AmB. Lây đ iể mMị nằ m bên trong và đ iể mM2 nằ m bên ngoài đ ư ờ ng tròn chứ a cung này sao cho M|, M2 và cung AmB nằ m cùng mộ t phía đ ố i vớ i đ ư ờ ng thẳ ng AB. Chứ ng minh rằ ng: L Ấ M 3 > 55°.. b. Ấ M 3 < 55°..

(240) Giả sử AmBlà cung chứ a góc 55° dự ng trên đ oạ n AB. Đ miể M, nằ m trong đ ư ờ ng tròn chứ a cung AmB. Đ ư ờ ng thẳ ng AM, cắ t cung AmBi tạc. Nôi BC. Ta CÓ: AM,B = ACB + CBM, > ACB = 55°. Đ iể m M2 ngoài đ ư ờ ng tròn chứ a cung AmB. Gọ i D là giao đ iể m củ a M2B vớ i cung AmB. Nố i A vớ i D, ta có: Ấ M^B + M^ÃD = Ấ DB ADB = 55° => Ấ M^B <55°.. c . BAI TÀP LUYẸ N TẠ P Bài 1. Cho các hình thoi ABCD có cạ nh AB cố đ ị nh. Tìmquỹ tích giao đ iể m o củ a ' ‘i đ ư ờ ng chéo củ a các hình thoi đ ó. *. Xét các AABC có BC = 2cm cố đ ị nh, Â = 60°. a. Tìm quỹ tích các đ iể m A. b. Đ iể m A ở vị trí nào thì AABC có diệ n tích lớ n nhấ ?t Tính giá trị lớ n nhấ t đ ó. Bài 3. Cho nử a đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AB và cung EF acủ nử a đ ư ờ ng tròn (E nằ m trên cung AF sao cho sđ EF = 30°. Hai tía AE và BF cắ t nh au tạ i M. Tim quỹ tích các đ iể m M khi cung EF chuyể n đ ộ ng trên nử a đ ư òng tròn. Bài 4. Cho hình vuông ABCD. Trên cạ nh BC lấ y đ iể m E,trên tia đ ố i cùa tia CD lấ y đ iể m F sao cho CE = CF. Gọ i M là giao đ iể m cùa haiư òng đ thẳ ng DE và BF. Tìm quỹ tích các đ iể m M khi E di đ ộ ng trên cạ nh BC. Bài 5. Cho AABC vuông góc ở A. Vẽ hai nử a đ uờ ng trònđ ư òng kính AB và AC ra phía ngoài củ a tam giác. Qua A vẽ cát tuyế n MAN (M thuộ c nử a đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AB, N thuộ c nử a đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AQ. a. Tứ giác BCNM là hlnh gì ? b. Tim quỹ tích trung đ iể m I củ a MN khi cát tuyế n M AN quay quanh A. Bài 6. Cho nử a đ ư ờ ng tròn (O) đ ư ờ ng kính AB cố đ ị nh, iể mđ c đ i chuyể n trên nử a đ ư ờ ng tròn, ở phía ngoài AABC, vẽ ABCD vuông cân tại c. Tìm quỹ tích các đ iể m D. Bài 7. Cho AABC có Â = 60°, nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn (O).Trên cung nhò AC lấ y mộ t đ iể m D. Trên dây BD lấ y đ iể m M sao cho DM = DC. a. Chứ ng minh rằ ng AMCD là tam giác đ ề u. b. Tìm quỹ tích các đ iể m M khi đ iể m D di đ ộ ng trên cung nhỏ AC. Bài 8. Cho cung mộ t phầ n tư đ ư òng tròn vớ i hai bán kí nh OA, OB vuông góc vớ i nhau. Trên cung này lấ y mộ t đ iém c tuỳ ý không trùng vớ iA và B. Vẽ CH vuông góc vớ i OA. Gọ i I là tâm đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p AHOC. a. Chứ ng minh rằ ng AAIO = ACIO. b. Tìm quỹ tích các đ iể m I khi c di đ ộ ng trên cung AB. Bài 8. Dự ng cung chứ a góc 45° trên đ oạ n AB = 4cm. ABC biế t BC = 3cm, Ả = 50° và AB = 2cm..

(241) Bài 10. Dự ng AABC biế t: a. BC = 4cm, Â = 60° và đ ư ờ ng cao BH = 3cm. b. BC = 6cm, Â = 45° và đ ư ờ ng cao BH = 4cm. Bài 1 ]. Dự ng AABC biế t: a. BC = Hem, Â = 60° và đ ư ờ ng cao AH = 6cm. b. BC = 6cm, Â = 120° và đ ư ờ ng cao AH = -v/3 cm. c. BC = 4cm, Â = 60° và đ ư ờ ng cao AH = 9cm. Bài 12. Dự ng AABC biế t: a. BC = 6cm, Â = 45° và trung tuyế n AM = 5cm. b. BC = 4cm, Â = 60° và trung tuyế n AM - 2 \ [ i cm. Bài 13. Dự ng tam giác vuông biế t: a. Cạ nh huyề n 6cm, bán kính đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p bằ ng lcm. b. Cạ nh huyề n 5cm, bán kính đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p bằ ng lcm. Bài 14. Cho AABC cân tạ i A. Đ ư ờ ng thẳ ng d song song vớ iBC, cắ t các cạ nh AB và AC theo thứ tự tạ i E và F. Chứ ng minh rằ ng bố n đ iể m B, c,E, F thuộ c cùng mộ rđ ư ờ ng tròn. Bài 15. Cho AABC có B, c là các góc nhọ n, đ ư ờ ng cao AH, trung tuyến AM thoả mãn BAH = MAC . Gọ i E là trung đ iể m củ a AB.. a. Hỏ i AAEH là tam giác gì ? b. Chứ ng minh rằ ng A, E, H, M thuộ c cùng mộ t đ ư ờ ng tròn. c. Chứ ng minh AABC là tam giác vuông.. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP SỐ Bài 1. Bạ n dọ c tự vẽ hình Theo tính chấ t củ a hình thoi, các đ ư ờ ng chéo hìnhthoi vuông góc nhau.. Do đ ó, nế u cạ nh AB cố đ ị nh, giao đ iểomcủ a các đ ư ờ ng chéo hình thoi ABCD nhìn AB dư ớ i mộ t góc 90° không đ ổ i. Vậ y, quỹ tích giao đ iể mo củ a hai đ ư ờ ng chéo hình thoi ABCD khi AB cố đ ị r 1 là đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AB.. Bài 2.. A. a. Quĩ tích đ iể m A thuộ c cung chứ a góc 60° dự ng trê n cạ nh BC. b. Hạ AH vuông góc vớ i BC, ta có ngay: S6 6 < 7 = —AH.BC Do đ ó,SAABCcó giá trị lớ n nhấ t khi: AH lớ n nhấ t o A là đ iể m ờ chính giữ a cung chứ a góc. Khi. đ ó, vì AABC đ ề u nên: Sa a bc. Bài 3. Tham khả o ví dụ 2.. =. BC2V3. = \Ị ĩ cm2..

(242) Bài 4. Họ c sinh tự vẽ hình. Phầ n thuậ n: Xét hai tam giác vuông ABCF và ADCE, ta có: BC = DC, vì ABCD là hình vuông, CF = CE, giả thiế t Do đ ó: ABCF = ADCE (hai cạ nh góc vuông) => CBF = CDE. Mặ t khác ta có nhậ n xét: BEM = CED , vì đ ố i đ ỉ nh 90°= CDÈ + Ể Ẽ D = CBF + BẼ M=> BMD =90° Vậ y, đ iể m M nằ m trên đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính BD. Giớ i hạ n: • Nế u đ iể m E trùng vớ i đ iể m B thì đ iể m M trùng vớ ể imđ B. i ■ Nế u đ iể m E trùng vớ i đ iể m c thì đ iể m M trùng đvớ iiể m c. Do đ ó, đ iể m M chỉ nằ m trên cung nhỏ BC củ a đ ư ờ ng òntrđ ư ờ ng kính BD. Phầ n đ áo:Lấ y đ iể m M nằ m trên cung BC củ a đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng ínhk BD. Nố i BM cắ t CD tạ i F, nố i DM cắ t BC tạ i E. Ta phả i chứ ng minh CE = CF. Thậ t vậ y: BMD = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tr òn => ABCF = ADCE (g.c.g) => CF = CE. Kế t luậ n: Quỹ tích các đ iể m M là cung nhỏ BC củ a đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính BD. Bài 5 a. Xét tứ giác BCNM, ta có: AMB = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư òmg tròn BM±MN ANC = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn => ■ CN1MN do đ ó BM // CN. Vậ y, tứ giác BCNM là hình thang vuông. b. Ta thự c hiệ n theo các phầ n: Phầ n thuậ n: Gọ i E là trung đ iể m BC, ta có ngay: EI là đ ư ờ ng trang bình củ a hình thang BCNM = > E I//C N = > E I±M N o Ấ Ĩ Ề =90°. Vậ y, đ iể m M nằ m trên đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AE. Giớ i hạ n: Ta có: ■. Nế u M sB = > N = A = i> IsP là trung đ iể m củ a AB.. ■. Nế u M = A=>N = C=>I = Qlà trang đ iể m củ a AC. Do đ ó, đ iể m I chi nằ m trên cung PQ củ a đ ư ờ ng tròn ư ờ ng đ kính AE.. Phầ n đ áo:Lấ y đ iể m I nằ m trên cung PQ củ a đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng ínhkAE. Nố i AI cắ t (AB) và (AQ theo thứ tự tạ i M và N. Ta phả i chúng minh MI = NI. Thậ t vậ y: AIE = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư cmg tr òn <=>EIX MI J o EI // BM => EI là đ ư ờ ng trung bình củ a hình thangBCNM => Mĩ = NI. Kế t luậ n^Qđ ỹ tích các đ iể m I nằ m trên cung PQ củ a đ ư ờ ng tròn ờ đngư kính AE. 9.

(243) Bài 6. P h ẩ n th u ậ n .. Ta có ngay:. Ấ Ĩ 5A =45°. Do AB cô đ ị nh, ADB = 45° nên D di chuyể n trên cung chứ a góc 45° dự ng trên AB. G i ớ i h ạ n : Ta có: ■ Nế u C = A => D = E (E là giao đ iể m củ a củ a đ ư ờ ng thẳ ng qua A vuông góc vớ i AB vớ i cung chứ a góc 45° dự ng trên AB thuộ c nử a mặ t phẳ ng có bờ AB chứ a đ iể m C). • Nế u c s B => D = B. Do đ ó, đ iổ m D chỉ nằ m trên cung BE củ a cung chứ a góc 45° dự ng trên AB thuộ c nử a mậ t phả ng có bờ AB chứ a nử a đ ư ờ ng tròn.. Phầ n đ áo:Lấ y đ iể m D thuộ c cung BE cùa cung chứ a góc 45° dự gn trên AB thuộ c nử a mặ t phẳ ng có bờ AB chứ a nử a đ ư ờ ng tròn (O). Nố i ADcắ t nử a đ ư ờ ng tròn (O) tạ i c. Ta phả i chứ ng minh ABCD vuông cân tạ i c. Thậ t vậ y, xét ABCD, ta có:. BCD = 90°, vì Ấ CB = 90° CDB =45°. Do đ ó ABCD vuông cân tạ i c. Kế t luậ n Quỹ tích đ iể m D thuộ c cung BE củ a cung chứ a góc 45° dự ng trên AB thuộ c nử a mặ t phẳ ng có bờ AB chứ a nử a đ ư ờ ng tròn (O). Bài 7. a. Xét AMCD, ta có: DM = DC, giả thiế t CDM = CDB = CÃB = 60° do đ ó, AMCD là tam giác đ ể u. b. Ta thự c hiệ n theo các phầ n: Phầ n thuậ n: Từ kế t quả câu a), ta có:. D. BMC = 180°- CMD = 180°-60°= 120°. Do BC cô' đ ị nh, BMC = 120° nên M di chuyể n trên cun g chứ a góc 120° dự ng trôn BC. Giớ i hụ in Vì D chỉ chạ y trên cung AC nên M chỉ chạ y trên mộ t cung chứ a góc 120° dự ng tr<ên BC thuộ c nử a mặ t phẳ ng bờ BC có chứ a đ iểm A. Phầ n đ de:Lấ y đ iể m M thuộ c cung chứ a góc 120° dự ng trên BChuộ t c nử a mặ t phẳ ng bờ BC có chứ a đ iể m A. Ta phả i chư ng minh DM = DC. Thậ t vậ y, xét AMCD, ta có: CDM = CĂ B = 60° CMỒ. = 1 8 0 ° - BMC = 1 8 0 ° - 120° = 60°. Do đ ó: AV1GDlà tam giác đ ề u DM = DC. >S9-T2.

(244) Kế t luậ n: Quỹ tích đ iể m M là mộ t cung chứ a góc 120° dự ng tr ên BC thuộ c nứ a mặ t phă ng bờ BC có chứ a đ iể m A. Bài 8. a. Xét hai tam giác AAIO và ACIO, ta có: 01 chung AOI = COI, vì I là tâm đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p AHOC nên O I là phân giác củ a Ô B. OA = oc Do đ ó: AAIO = A ơ o (c.g.c). b. Ta thự c hiệ n theo các phầ n: Phầ n thuậ n: Từ kế t quả câu a), ta có:. Q. Ấ ĩ ồ = cĩ ồ. = 180°- ( ío c + í c ồ ) = 180°- - (Ĩ Ĩ ÕC + HCỒ ) 2 = 180°-45°= 135°.. Do AO cố đ ị nh, AIO = 135° nên I di chuyể n trên cungchứ a góc 135° dự ng trên AO. Giớ i hạ n: Vì c chỉ chạ y trên cung AB nên I chỉ chạ y trên mộ t cung chứ a góc 135° dự ng trên AO thuộ c nử a mặ t phẳ ng bờ AO có chứ a đ iể m B. Phầ n đ ả :oHọ c sinh tự làm. Kế t luậ n: Họ c sinh tự làm. Bài 8. Ta lầ n lư ợ t thự c hiệ n: Dự ng đ oạ n AB = 4cm và đ ư òng trung trự c Iz củ a AB. Dự ng tía Ax sao cho xAB = 45°. Dự ng tia Ay vuông góc vớ i Ax cắ t Iz tạ i o. Dự ng đ ư ờ ng tròn (O, OA) và chỉ lấ y phầ n cung cùng phía vớ i o, kí hiệ u AmB . Lấ y đ ố i xứ ng cung AmB qua AB đ ư ợ c cung AiHị B . Vậ y, hai cung AmB và Aiĩ Iị B là cung chứ a góc góc cầ n dự ng. Bài 9. Ta lầ n lư ợ t thự c hiệ n: Phán tích: Giả sử đ ã dự ng đ ư ợ c AABC thoả mãn đ iéu kiệ n đ ầ u tabài, thấ y: a. Cạ nh BC = 3cm dự ng đ ư ợ c ngay. b. Đ iể m A thoả mãn hai đ iể u kiệ n: ■. Vì BAC = 50° nên A nằ m trên cung chứ a góc 5CP dự ng trên đ oạ n thẳ ng BC. ■ VÌAB = 2cm nên A nằ m trên dư ờ ng tròn (B, 2cm). YâyJvfa giao đ iể m củ a hai hình trên..

(245) Ta lầ n lự ơ t thự c hiệ n: Dự ng đ oạ n BC = 3cm. Dự ng cung chứ a góc 50° dự ng trẻ n đ oạ n thẳ ng BC. Dự ng đ ư ờ ng tròn (B, 2cm) cắ t cung chứ a góc ở trên tạ i A.. Nố i AB, AC ta đ ư ợ c AABC phả i dự ng.. C ách dư ng.. Chứ ng minh Ta có ngay: BC = 3cm theo cách dự ng. Â = 5CJP—vì A nằ m trên cung chứ a góc 50Pdự ng trên đ oạ n BC. AB = 2cm, A nằ m trên đ ư ờ ng tròn (B, 2cm). Vậ y, AABC thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. B i ệ n l u ậ n : Ta dự ng đ ư ợ c hai AABC và AA’BC thoả mãn đ iề u kiệ nề đ bài, như ng hai tam giác này bằ ng nhau (đ ố i xứ ng qua BC) nên bài toánhcỉ có mộ t nghiêm hình (bài toán này là b à i to á n d ự n g h ìn h v ề k íc h th ư ớ c ).. Bài 10. a. Ta lầ n lư ợ t thự c hiệ n: P h á n t í c h . Giả sử đ ã dự ng đ ư ợ c AABC thoả mãn đ iể u kiệ n đ ầ u bài, thấ ta y: Cạ nh BC = 4cm dự ng đ ư ợ c ngay. Đ iể m H thoả mãn hai đ iể u kiệ n: ■ H nằ m trên đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính BC.. ■ H nằ m trên đ ư ờ ng tròn (B, 3cm). Vậ y H là giao củ a hai đ ư ờ ng tròn đ ó. Đ iể m A thoả mãn hai đ iề u kiệ n:. ■ C ách. A nằ m trên tia CH.. Vậ y A lí\ giao đ iể m củ a tia CH vớ i cung chứ a góc 60P. d ự n g : Ta lầ n lự ơ t thự c hiệ n:. Dự ng đ oạ n BC = 4cm. Dự ng cung chứ a góc 60° dự ng trên đ oạ n thẳ ng BC Dự ng đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính BC. Dự ng đ ư ờ ng tròn (B, 3cm) cắ t đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính BC tạ i H. Tia CH cắ t cung chứ a góc 6ũ Ptạ i A. Nố i AB ta đ ư ợ c AABC phả i dự ng.. Chícng minh. Ta có ngay: BC = 4cm theo cách dự ng. Â = 60°, vì A nằ m trên cung chứ a góc 60° dự ng trên đ oạ nBC.. BH = 3cm, vì H thuộ c đ ư ờ ng tròn (B, 3cm). BHC = 90°, vì góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn => BH = 3cm là đ ư ờ ngcao củ a AABC. v Vây, AẠ BC thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. /.

(246) Biệ n luậ n: Ta dự ng đ ư ợ c hai AABC và AA’BC thoả mãn đ iể ukiệ đn ề bài, như ng hai tam giác này bằ ng nhau (đ ố i xứ ng qua BC) nên bài toán hcỉ có mộ t nghiệ m hình(bàitoán này là bài toán dự ng hình về kích thư ớ c).. b. Họ c sinh tự làm tư ơ ng tự câu a). Bài 11. a. Ta lầ n lư ợ t thự c hiệ n: Phả n tích: Giả sử đ ã dự ng đ ư ợ c AABC thoả mãn đ iề u . kiệ n đ ầ u bài, ta thấ y: Cạ nh BC = 8cm dự ng đ ư ợ c ngay. Đ iể m A thoả mãn hai đ iề u kiệ n: ■ A nằ m trên cung chứ a góc 60P dự ng trên đ oạ n thẳ ng BC. ■ A nằ m trên đ ư ờ ng thẳ ng d song song và cách BC mộ t khoả ng bằ ng 6cm. Vậ y A là giao đ iể m củ a d vớ i cung chứ a góc 6CP. Cách dự ng-. Ta lầ n lự ơ t thự c hiệ n: Dự ng đ oạ n BC = 8cm. Dự ng cung chứ a góc 60° dự ng trên đ oạ n thẳ ng BC. Dự ng đ ư ờ ng thẳ ng d song song và cách BC mộ t khoả ng bằ ng 6cm, đ ư ờ ng thẳ ng d cắ t cung chứ a góc 60° tạ i A.. 8cni. d' A' A\ Nố i AB, AC ta đ ư ợ c AABC phả i dự ng. Chứ ng minh: Ta có ngay: BC = 8cm theo cách dự ng. Â = 60°, vì A nằ m trên cung chứ a góc 60° dự ng trên đ oạ n BC. AH = 6cm, vì A thuộ c đ ư ờ ng thẳ ng d song song và các h BC mộ t khoả ng bằ ng 6cm. Vậ y, AABC thoả mãn đ iể u kiệ n đ ầ u bài. Biệ n luậ n: Đ ể xác đ ị nh xem bài toán cố bao nhiên nghiệ m hình ta cầ n tính đ ộ dài AoHo, trong đ ó Ao là đ iể m chình giữ a cung chứ a góc 60° và Ho là hình chiế u vuông góc củ a A0 lên BC. Trong AAoBC cân tạ i A, ta có:. d. 6. Ẽ Ã^C = 60° => AAoBC đ ề u AoHo =. < 7. V3. 2. = 4 \fĩ >6 = AH. do đ ó, đ ư ờ ng thẳ ng d cắ t mỗ i cung chứ a góc tạ i hai đ iể m phân biệ t. Vậ yJ}ặ ị toán có hai nghiêm hình.. B. Ao.

(247) b. Ta lár hrợ t thự c hiệ n: P h â n t í c h Giá sử đ ã dự ng đ ư ợ c AABC thoà mãn đ iể u kiệ n đ ấ i,uta bàthấ y: Cạ nh BC = 6cm dự ng đ ư ợ c ngay. Đ i im A thoả mãn hai đ iể u kiệ n: ■ A nằ m trên cung chứ a góc 12Ơ ’ dự ng trên đ oạ n thẳ ng BC. ■ A nằ m trên đ ư ờ ng thẳ ng d song song và cách BC BB HH 6cm mộ t khoả ng bằ ng y / ĩ cm. Váy A là giao đ iể m củ a d vớ i cung chứ a góc 12Ơ ). C á c h d ư r . g : Ta lẩ n lự ơ t thự c hiệ n: Dirng đ oạ n BC = 6cm. Dư ng cung chứ a góc 120° dự ng trên đ oạ n thắ ng BC.. C hứ. c. Dmg đ ư ờ ng thẳ ng d song song và cách BC mộ t khoả ng bằ ng \ [ ị cm, đ ư ờ ng thing d cắ t cung chứ a góc 120° tạ i A. Nói AB, AC ta đ ư ợ c AABC phái dự ng. n g t r i n h : Ta có ngay: FC = 6cm theo cách dự ng. Ầ = 120°, vì A nằ m trên cung chứ a góc 120° dự ng trén đ oạ n BC. /H =. \Ỉ 3. cm, vì A thuộ c đ ư ờ ng thẳ ng d song song và cách BC mộ t khoả ng. bằ ng \ Í 3 cm. Vậ y, AABC thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. B i ệ n l u ậ t : Đ ẽ xác đ ị nh xem bài toán có bao nhiêu nghiệ m hình ta cầ n tính đdài ộ A0H(), troig đ ó A0 là đ iể m chính giữ a cung chứ a góc 120° và H0 là hình chiế u vuông góc củ a Ào lên BC. Trong AAoBHo vuông tạ i H, ta có:. Bv ĩ 0 = 60° =* Ã^BH0 = 30° => A()B = 2AoHo. d. A. / 0B2 = A0HỔ + BHỔ o. 4 A0HỔ = A0Hq + 9 o AoHo =. s. =. AH. B. do đ ó, đ ư mg thẳ ng d cắ t m ỗ i cung chứ a góc tạ i duy nhấ t mộ t đ iể m .. Vậ y, )ài toán có mộ t nghiệ m hình. c.. H ọ »c i n h t ự. là m tư ơ n g t ự. c â u ci) v à b ) .. Bài 12. a. Ta lầ i lư ợ t thự c hiộ n: P h á n t u c h Giả sử đ ã dự ng đ ư ợ c AABC thoả mãn đ iể u kiệ n đ áu a bài, thấ ty: Cinh BC = 6cm dự ng đ ư ợ c ngay. Đ êm A thoả mãn hai đ iề u kiệ n: 0 A nằ m trên cung chứ a góc 45° dự ng trên đ oạ n thẳ ng BC. A nằ m trẻ n đ ư ờ ng tròn (M, 5cm) vớ i M là trung đ iể in BC. ;Ị à giao đ iể m củ a (M, 5cm) vớ i cung chứ a góc 6ũ P.. w. fxTn.

(248) Cách dự ng'. Ta lầ n lự ơ t thự c hiệ n: Dự ng đ oạ n BC = 6cm. Dự ng cung chúa góc 45° dự ng trên đ oạ n thẳ ng BC. Dụ ng dư ờ ng tròn (M, 5cm) cắ t cung chứ a góc 45° tạ i A. Nố i AB, AC ta đ ư ợ c AABC phả i dự ng. ! Chứ ng minh: Ta có ngay: < BC = 6cm theo cách dự ng. Â = 45°, vì A nằ m trên cung chứ a góc 45° dự ng trên đ oạ n BC. AM = 5cm, vì A thuộ c đ ư òng tròn (M, 5cm). Vậ y, AABC thoả mãn đ iể u kiệ n đ ầ u bài. Biệ n luậ n: Đ ể xác đ ị nh xem bài toán có bao nhiêu nghiệ m hình ta cầ n tính đ ộ dài AqM, trong đ ó A0 là đ iể m chính giữ a cung chứ a góc5°.4 Trong AAoBM vuông tạ i M, ta có: BÁTm = —Â = 22.5° 0. 2. Ấ ^BM = 90° - Ẽ Ấ ^M = 67.5° AoM = BM.tan Ấ ^BM = 3.tan67.5° * 7.24 > AM do đ ó, đ ư ờ ng tròn (M, 5cm) cắ t mỗ i cung chứ a gố ci tạhai đ iể m phân biệ t. Vậ y, bài toán có hai nghiệ m hình. Bài 13. a. Ta lẩ n lư ợ t thự c hiệ n: Phán tích: Giả sử đ ã dự ng đ ư ợ c AABC thoả mãn đ iể u kiệ n đ i,ầ utabàthấ y: Cạ nh BC = 6cm dự ng đ ư ợ c ngay. Gọ i I là tâm đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p AABC, nên I là gia o đ iể m các đ ư òng phân giác củ a AABC, do đ ó: BĨ C = 180°-(ÍBC + ÍCB) = 180°- ị (Ấ B C + Ấ CB)= 135°. A 2 /7 \ Do BC cô' đ ị nh, BIC = 135° nên I di chuyể n trên haicung R chứ a góc 135 dự ng trên BC. Tứ c là, đ iể m I thoả mãn hai đ iể u kiệ n: ■ I nằ m trên cung chứ a góc 135° dự ng trên đ oạ n thẳ gn BC. ■ Vì bán kính đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p bằ ng lcm nên I nằ mtrên đ ư ờ ng thẳ ng d song song và cách BC mộ t khoả ng bằ ng lcm. Vậ y I là giao đ iể m củ a đ ư ờ ng thẳ ng d vớ i cung chứ góc a 135°. Đ iể m A thoả mãn hai đ iề u kiệ n: ■ A nằ m trên đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính BC. ■ A nằ m trên tia Bx sao cho BI là tia phân giác củ a góc xBC . Vậ y A là giao đ iể m củ a (BC) vớ i tia Bx. Cách dự ng: Ta lầ n lự ơ t thự c hiệ n: Dự ng đ oạ n BC = 6cm. Dung cung chứ a góc 135° dự ng trên đ oạ n thẳ ng BC..

(249) Dự ng đ ư ờ ng thẳ ng d song song và cách BC mộ i khoả ng bằ ng lcm, ưđ ờ ng thắ ng d cắ t cung chứ a góc 135° tạ i I. Dự ng đ ư ờ ng tròn (BC). Dự ng tia Bx sao cho BI là tia phân giác cùa góc xBC , khi đ ó Bx cắ t (BC) tạ i A. Nố i AB, AC ta đ ư ợ c AABC phả i dự ng.. Chứ ng minh. Ta có ngay: = 6cm theo cách dự ng. Â = 90°, vì A nằ m trên cung chứ a góc 60° dự ng trên đ oạ n BC. Khoả ng cách từ I đ ế n BC bằ nglcm, vì I thuộ c d. Ta cầ n chứ ng minh I là tâm đ ư ờ ngtròn nộ i tiế p AABC, tứ c làchứ ng minh CI là tia. phân giác củ a góc c, thậ t vậ y: ÍCB = 180° - BĨ C - c ĩ ĩ i = 180° - 135° - CBĨ = 45° - C B Ì. ICA = Ấ CB - ÍCB = (90° - ABC) - (45° - CB I). = (90° - 2CBĨ ) - (45° - CBi) = 45° - CBI = ICB o CI là tia phân giác củ a góc c.. Vậ y, AABC thoả mãn đ iề u kiệ n đ ầ u bài. Đ ể xác đ ị nh xem bài toán có bao nhiêu nghiệ m hình ta cầ n tính đ ộ dài I0M, trong đ ó lo là đ iể m chính giữ a cung chứ a góc 135° và M làrung t đ iể m BC.. B i ệ n lu ậ n :. Trong AI0BM vuông tạ i M, ta có:. r-r—. 1 -A. _. d. BI0M = - BI0C = 67.5°. 2 CỖ M = 90° - BĨ ^M = 22.5°. 6cm. IoM = BM.tan Ĩ ^BM = 3.tan22.5°« 1.24 > 1 do đ ó, đ ư ờ ng thẳ ng d cắ t mỗ i cung chứ a góc tạ i hai đ iể hân m p biệ t.. Vậ y. bài toán có hai nghiệ m hình. Bài 15. a. Xét AABH vuông tạ i H, ta có: EH = —AB, trung tuyế n thuôc cạ nh huyề n o EH = EA o AEAH cân tạ i E.. b. Nhậ n xét rằ ng: AHE = Â|, vì theo kế t quả câu a) ta có AEAH cân tạ i E À| = Â 2, g iả. thiế t. A2= AME, hai góc so le trong vì ME // AC do tính chấ t đ ư ờ ngtrung bình suy ra \HE = AME. Vậ y, các đ iể m M, H nằ m phía đ ố iớ iv AE vàthoả mãn AHE = 6 ME nên bố n đ iể m A, E, H, M ihuộ c cùng mộ t đ ư ờ ng tròn. c. Từ kít quá câu b), ta suy ra: AEM = AHM = 90°, góc nộ i tiế p cùng chắ n cung AM =>ME±AB. (1) M ạ t khác, ta cũ ng có ME // AC. (2) Vây từ Q|Ị ivà (2) suy ra: AB J_ AC => AABC vuông tạ i A..

(250) CHŨ BỀ. 7. X ứ GIÁC NỘ I TIẾ P. A . TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T 1. Đ Ị NH NGHlA Tứ GIÁC NỘ I TIÊP Đ ị nh nghĩ a:Nế u qua bố n đ ỉ nh củ a mộ t tứ giác (lồ i) cỏ mộ t đ ư ờ ng tròn thì tứ giác đ ố gọ i là tứ giác nộ i tiế p đ ư ờ ng ư òn, còn đ ư ờ ng tròn đ ó gộ i lấ đ ư òng tròn ngoạ i tiế p tứ giác. Ta có minh hoạ vớ i tứ giác lồ i ABCD như sau: B A, B, Q D e (0, R ) o ABCD nộ i tiế p trong (0, R) và khi đ ó, ta thấ y ngay: 1. Theo đ ị nh nghĩ a đ ư ờ ng tròn thì: OA = OB = OC = OD = R nhậ n xét đ ó sẽ gợ i ý cho chúng ta mộ t phư ơ ng pháp chứ ng minhtứ giác ABCD nộ i tiế p mộ t dư ờ ng tròn (hoặ c nói tứ giác ABCD nộ i tiế p đ ư ợ c). 2. Vớ i từ ng đ iế u kiệ n: OA = OB <=>o thuộ c đ ư ờ ng trung trự c củ a AB. OA = OD <=>o thuộ c đ ư ờ ng trung trự c củ a AD. nhậ n xét đ ó sẽ gợ i ý cho chúng ta phư ơ ng pháp xác đ ị nhmtâcủ a mộ t tứ giác nộ i tiế p đ ư ợ c. 2. TÍNH CHẨ T Đ ị nh lí ■ Thuậ n: Trong mộ t tứ giác nộ i tiế p, tổ ng số đ o hai gócđ ố i diệ n nhau bằ ng hai góc vuông. ■ Đ ả o: Nế u mộ t tứ giác cỗ tổ ng số đ o hai góc đ ố i diệ n nhau bằ ng 2v thì tứ giác đ ó nộ i tiế p đ ư ợ c trong mộ t đ ư ờ ng tròn. A ÉH Ta có minh hoạ vớ i tứ giác nồ i ABCD như sau: ABCĐ nộ i tiế p o. r Â + c = 180°. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Phư ơ ng pháp Đ ê’ chứ ngm inh tứ giác nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn chúng ta có thê’ lự a chọ n m ộ t các cách sau: Cách 1: Chứ ng minh bôn đ ỉ nh củ a tứ giác cùng cách đ ề u m ộ t đ iể m. Tứ c là, nế u ta có: OA = OB = o c = OD thì tứ giác ABCD nộ i tiế p (O, OA)..

(251) Cách 2: Chứ ng minh tổ ng hai góc đ ố ĩ diệ n bằ ng hai góc vuông.. A. Tứ c là, nế u ta có: BAD + BCD = 180° hoặ c Ấ BC + Ấ DC = 180c thì tứ giác ABCD nộ i Dùng cung chứ a góc a Tứ c là, nế u ta có: ACB = ADB và c , D cùng phía ------~ 7 g thì tứ giác ABCD nộ i tiế p. Chú ý: Trong các tứ giác đ ã họ c thì hình thang cân, hìnhchữ nhậ t, hình. __________ vuỏ ng bao giò cũ ng nố i tiế p đ ư ợ c trongmộ t đ ư òng tròn. Ví d ụ. lĩ. chứ m> minh rằ ng hình chữ nhậ t ABCD nộ i tiế p đ ư ợ c.. G iả i. Gọ i o là giao đ iể m củ a hai đ ư ờ ng chéo AC và BD, ta có ngay: OA = o c = OB = OB <=> ABCD nộ i tiế p trong (O, OA). Vẩ d ụ 2» (Bài 58/tr 90 —Sgk): Cho AABC đ ề u. Trên nử a mậ t phàng bờ BC không chứ a đ ỉ nhA, lấ y đ iể mD sao cho DB = DC vù DCB = — ACB . a. Chứ ng minh ABCD lù tứ giác nộ i tiế p. b. Xúc đ ị nh tâm củ a đ ư ờ ng tròn đ i qua bố n đ A, iể mB, c, D. Giả i —Ban đ ọ c tự vẽ hình a. ADBC cân đ ỉ nh D nên DBC = DCB = - Ấ CB = 30°. 2. Suy ra: Ố DỀ = 180° - ( DBC + DCB) = 120°. Tứ giác ABCD có tổ ng hai góc đ ố i:. Â + D= 60°+ 120°= 180°. Vậ y, tứ giác ABCD nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn. b. Do đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p AABC cũ ng đ ồ ng thờ i ià đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p tứ giác ABCD nên đ ể xác đ ị nh tâm đ ư ờ ng tròn qua A, B, c , D chỉ cầ n tìm giao đ iể m o củ a AD vớ i đ ư ờ ng cao BB’ củ a AABC. Đ ư ờ ng tròn (O ; OA) đ i qua A, B, c , D. ¥ẩ d ụ 3t Cho hình thoi ABCD tâm o , cạ nh bằ ng a. Gọ i M,N, p, Q theo thứ tự là trung đ iể m củ aAB, BC, CD, DA. Chíữ ig minh rằ ng AMNC là mộ t tứ giác nộ i tiế p, rp s ặ (bỵ Chítng minh rằ ng MNPQ lù mộ t tứ giác nộ i tiế p..

(252) JỂ Ỉ Giả i a. Ta có thể lự a chọ n mộ t trong hai cách sau: Cách 1: Xét hai tam giác AAMC và AANC, ta có: ACchung;. MÃC = NCẦ ; AM = CN = —. B \ N. M. o Y. 0 N. Suy ra: AAMC = AANC (c.g.c) => Ấ MC = Ấ NC Vậ y, tứ giác AMNC nộ i tiế p đ ư ợ c mộ t đ ư ờ ng tròn. Cách 2: Ta có: M N //A C - vì MN là đ ư ờ ng trung bình AM = NC = Suy ra AMNC là hình thang cân, do đ ó nó nộ i tiế p đ ư ợ c mộ t đ ư ờ ng tròn. b. Ta có thể lự a chọ n mộ t trong hai cách sau: Cách 1: Vì OM, ON, OP, OQ theo thứ tự là đ ư ờ ng trang tuyế n củ a cáctam giác vuông AOAB, AOBC, AOCD, AODA nên: OM = —AB = —, 2 2. ON = —BC = —, 2 2. OP = —CD = —,. OQ = —DA = —,. 2. 2. 2. 2. Suy ra: OM = ON = OP = OQ = — <=> MNPQ nộ i tiế p đ ư ờ ngtròn (O, —). 2 2 Cách 2: Vì MN, PQ theo thứ tự là đ ư ờ ng trung bình củ a các tam giác A A1' AADC nên: // " 1 H1 MN = —AC, PQ= —AC MN= PQ => MNPQ là hình bình hành.. 2. 2. Mặ t khác: MNP = BOC = 90° —vì là hai góc có cạ nh tư ơ ng ứ ng song song Suy ra NMPQ là hình chữ nhậ t, do đ ó nó nộ i tiế p đ ư ợ c mộ t đ ư ờ ng tròn.. GIẢ I CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌ C Khi đ ã có đ ư ợ c mộ t tứ giác nộ i tiế p ho giác nộ i tiế p ta cổ *ê' suyTa:. Đ ó chính là lợ i ích củ a tứ a bai toan hình họ c. Vẩ dụ. 1«. 89 - Sgk): Tứ giác ABCD có ABC+ ADC = 180° Chíơ ix các đ ư ờ ng trung trự c củ aAC, BD, AB cùng đ i qua mộ t đ iể m..

(253) e f Giói - Bạ n dọ c tự vè hình tiế đ trự Vẩ. Tứ giác ABCD có tổ ng hai góc đ ố i ABC + ADC = 180° nên Vió là tứ giác nộ i p đ ư ờ ng tròn tâm o . Đ iròng tròn (O) cũ ng là đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p AABC nên o làao gi đ iể m các ư ờ ng trung trự c củ a AB và AC. Tư ơ ng tự , (O) là đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p ABCD nên o nằ m trên đ ư ờ ng trung c củ a BD. Vây. các trung trự c củ a AB, BD, AC cùng đ i qua đ iể m o . d ụ 2i Tìm đ iề u kiệ n đ ể hình thang ABCD (AB // CD) nộ i tiế p đ ư ợ c.. JSỈ ) Gici Vì ABCD là hình thang, nên ta có Â + D = 180°.. (1). Đ ể 6 BCD nộ i tiế p đ ư ợ c, đ iề u kiệ n là B + D = 180°. (2) Ạ Từ (1) và (2) suy ra: \ = B <=> ABCD là hình thang cân. Xi d p (Bài 55/tr 89 —Sgk): Cho ABCD là mộ t tứ giác nộ i tiế p đ ư ờ ỉ ig tròn tâm M, biế t DÃỀ. = 80°, DÂM = 30°, BMC = 70°. Hãy tính số đ o. các góc MÃB,BCM, Ấ MB, DMC, Ấ MD, MCD, BCD. M í Giíi - Bạ n đ ọ c tự vẽ hình Ta có: MÃB = DÃB - DÂM = 80° - 30° = 50°. BCD = 180°- DÃỀ = 180°-8 0 °= 100°. Kẻ lư ờ ng kính CC', ta có: BCM = Ẽ CC' = —[sđ Ố C' - sđ BC ] = —[ 180° - 70°] = 55°. Siuyra:. MCD = BCD - BCM = 100° - 55° = 45°. Ấ MD= 180° - ( DÃM + Ấ DM) = 180° - (30° + 30°) = 120°. Ấ M C=sđ. CD = s đ C B - s đ ỗ c. = 160°-70° = 90°.. Ấ MB = 360° - ( BMC + CMD + DMA) = 360° - (70° + 90° + 120°) = 80° Vấ dqp 4« Cho nử a đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kínhAB và mộ t dây CD. Qua c vẽ dư ờ ng thang vuông góc vớ i CD, cắ t AB tạ i I. Các tiế p tuyế n tạ i A vù B củ a nử a đ ư ờ ng tròn cắ t đ ư ờ ng thẳ ng CD theo thứ tự tạ i E và F. Chứ ng minh rằ ng: a. Các tứ giác AECI và BFCI nộ i tiế p đ ư ợ c. b. AIEF~ ACAB, từ đ ó suy raAIEF vuông..

(254) JS$ Giả i a. Theo tính chấ t củ a tiế p tuyế n ta có AE -L AB, BF -L AB. ■ Tứ giác A EƠ có: Ẽ ÀÌ + Ẽ. c ì = 90° + 90° = 180°. Suy ra tứ giác AECI nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn (O,). ■ Tứ giác BFƠ có: ÍBF + ÍCF = 90° + 90° = 180°. Suy ra tứ giác BFCI nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn (0 2). b. Xét hai tam giác AIEF và ACAB, ta có: IEF = CAB —vì hai góc nộ i tiế p cùng chắ n cung CI củ a đ ư ờ ng tròn (O,). IFE = CBA —vì hai góc nộ i tiế p cùng chắ n cung CI củ a đ ư ờ ng tròn (0 2). Vậ y AIEF ~ ACAB suy ra Ẽ Ĩ F = Ấ CB. Mặ t khác: ACB = 90° - vì góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng ròn t đ ư ờ ng kính AB nên EIF = 90°, suy ra AIEF vuông. Nhậ n xét: Khi đ ã chứ ng minh đ ư ợ c mộ t tứ giác nộ i tiế p ta cóhê’t vẽ đ ư ờ ng tròn đ i qua bố n đ ỉ nh củ a nó, đ ê dễ nhậ n ra góc các nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung thì bằ ng nhau. Vấ d ụ 5i Cho AABC, các đ ư ờ ng phân giác củ a các góc trongB và c và gặ p nhau tạ i s, các đ ư ờ ng phân giác củ a các góc ngoài B và c gặ p nhau tạ i E. Chứ ng minh rằ ng: a. BSCE là tứ giác nộ i tiế p. b. Ba đ iể mA, s, E thẳ ng hàng. c. Trung đ iể mM củ a SE thuộ c đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế pAABC. Gidi a. Ta có: ■ Vì BS, BE là các tia phân giác củ a hai góc kề bù nên BS -L BE. ■ Vì c s , CE là các tia phân giác củ a hai góc kề bù nên c s J_ CE. Suy ra: SBÈ + SCỀ = 90° + 90° = 180° do đ ó tứ giác BSC E là tứ giác nộ i tiế p (cụ thể nó nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính SE). b. Vì AS và AE đ ế u là tia phân giác củ a góc BAC nên A, s, Ethẳ ng hàng. c. Ta có thể lự a chọ n mộ t trong hai cách sau: Cách I : Vì M ià târri đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p tứ giác BSCE nên: SCB = Ỉ S M B . Mặ t khác:. Ễ ÌA C B => SMB = ACB 2. ( 1).

(255) Tirơ iig tự , la cũ ng có SMC = ABC .. (2). Tu . 1) và (2), ta đ ư ợ c : BMC = SMB + SMC = Ấ CB + Ấ BC => B M C + B Ã C = Ấ C B + Ấ B C + BÃC = 180°. Do đ ó tư giác ABMC nộ i tiế p. Vậ y đ iể m M thuộ c đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p AABC. Cách 2: Chứ ng minh tư ơ ng tự như trong cách 1 ta đ ư ợ c: 3M B = Ấ C B o. Ấ M B = Ấ CB. Suy ra, VI và c thuộ c cùng mộ t cung chứ a góc vẽ về mộ t phía củ a AB. Vậ y. M thuộ c đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p AABC. Nhân xét'. Đ ê’ chứ ng minh ABMC là tứ giác nộ i tiế p (câu b) trong cách 1 ta sử dụ ng đ ị nh lí đ ả o Nêu " m ộ t tứ giác có tổ ng hai góc đ ôi bằ ng 18ứ thì tứ giác đ ó nộ i tiế p đ ự ơ c m ộ t đ ư ờ ng ừ ",òntrong cách 2 ta sử đ ụ ng cung chứ a góc"Nế u các đ iể m c M nằ m. Vấ d ụ t:. cùng phía đ ôi vớ i AB và AMB = ACB thì c, M, A, B thuộ c cùng m ộ t đ ư ờ ng tròn Cho hai đ ư ờ ng tròn(O) và (O’) cấ t nhau tạ i A và B. Vẽ mộ t dư ờ ng thẳ ng qua A cắ t đ ư ờ ng tròn(O) tạ i c và cắ t đ ư ờ ng tròn(O’) tạ i D. Vẽ mộ t dư ờ ng thẳ ng qua B cắ t đ ư ờ ng tròn(0) tạ i E và dư ờ ng tròn (O') tạ i F. Hai dư ờ ìig thẳ ng CD và EF không cắ t nhau ở bên trong hai đ ư ờ ng tròn. Chứ ng minh rằ ngCE // DF.. Giá Vẽ cây chung AB, ta có:. DÀB + CÃỀ = 180°. Tứ pác ABEC là tứ giác nộ i tiế p nên: ÕẼ B + Ố ÃB = 180° =ì> CÊB = DÃB Tử pác ABFD là tứ giác nộ i tiế p nên: ÕÃB + DFB = 180° => Ỗ Ẽ Ẽ ^. + DFỒ. = 180°=> CE // DF.. Nhìn xét: Trong ví dụ này, ta đ ã chứ ng minh CEB = DAB. Mộ t cách tong quát " M ỗ i góc củ a tứ giác n ộ i tiế p bằ ng góc ngoài củ a góc đ ố i diệ n vớ i nó. c. BÀI TẬ • P LUYỆ • N TẬ • P Bài 1.. rhứ ng minh rằ ng tứ giác ABCD nộ i tiế p đ ư ợ c,biế t: a. /BCD là hình thang cân. b. /BCD Ỉ à hình chữ nhậ t..

(256) Bài 2. Cho nử a đ ư ờ ng tròn (O) đ ư ờ ng kính AB và tiaế pti tuyế n Bx cùa nừ a đ ư ờ ng tròn. Trên tia Bx lấ y hai đ iể m c và D (C nằ m giữ a Bvà D). Các tia AC và AD lẩ n lư ợ t cắ t đ ư ờ ng tròn tạ i E và F. Hai dây AE và BF cắ t nha u tạ i M. Hai tia AF và BE cắ t nhau tạ i N. Chứ ng minh rằ ng: a. MN // Bx T b. Tứ giác CDFE nộ i tiế p đ ư ợ c. Bài 3. Cho AABC, các đ ư ờ ng cao BE và CF cắ t nhau tạ i H . Gọ i D là đ iể m đ ố i xứ ng củ a H qua trung đ iể m M củ a BC. a. Chứ ng minh tứ giác ABDC nộ i tiế p đ ư ợ c trong mộ t ư đờ ng tròn. Xác đ ị nh tâm o củ a đ ư ờ ng tròn đ ó. b. Đ ư ờ ng thẳ ng DH cắ t đ ư ờ ng tròn (O) tạ i đ iể m thứi làhaI. Chứ ng minh rằ ng 5 đ iể m A, I, F, H E cùng nằ m trên mộ t đ ư òng tròn. Bài 4. Cho hai đ ư ờ ng tròn (O) và (O’) cắ t nhau tạ i Avà B. Tia OA cắ t đ uờ ng tròn (O’) tạ i c, tia 0 ’A cắ t đ ư ờ ng tròn (O) tạ i D. Chứ ng minhrằ ng: a. Tứ giác 0 0 ’CD nộ i tiế p. b. Tứ giác OBO’C nộ i tiế p. c. Nãm đ iể m o , O’, B, c, D cùng nằ m trên mộ t đ ư ờ ngròn. t Bài 5. Cho tứ giác ABCD nộ i tiế p nử a đ ư ờ ng tròn đ ư gờ nkính AD. Hai đ ư ờ ng chéo AC và BD cắ t nhau tạ i E. Vẽ EF -LAD. Gọ i M là trung đ iể m củ a DE. Chứ ng minh rằ ng: a. Các tứ giác ÀBEF, DCEF nộ i tiế p đ ư ợ c. b. Tia CA là tia phân giác củ a góc BCF. c. Tứ giác BCMF nộ i tiế p đ ư ợ c. Bài 6. Chứ ng minh, rằ ng trong mộ t đ ư ờ ng tròn hai dây hkông đ i qua tâm không thể cắ t nhau tạ i trung đ iể m củ a mỗ i dây. Bài 7. Hai đ ư ờ ng tròn (O) và (O’) cắ t nhau tạ i A vàB. Trên đ ư ờ ng tròn (O’) lấ y mộ t đ iể m M. Các đ ư òng thẳ ng MA, MB cắ t đ ư ờ ng tròn (O) ạ i ct và D. Từ M vẽ tiế p tuyế n xy vớ i đ ư ờ ng tròn (O’). Chứ ng minh rằ ng xy // CD. Bài 8. Hai dư òng tròn o và (O’) cắ t nhau tạ i A và B. Mộ t đ ư ờ ng thẳ ng qua A cắ t đ ư ờ ng tròn (O) và (O’) lầ n lư ợ t tạ i c và D. Vẽ dây C E củ a đ ư ờ ng tròn (O) và dây DF củ a đ ư ờ ng tròn (O’) song song vớ i nhau. Chứ ng minhrằ ng ba đ iể m B, E, F thẳ ng hàng. Bài 9. Cho hình vuông ABCD. Trên cạ nh AB lấ y mộ t đ iể m M . Đ ư ờ ng thẳ ng qua c vuông góc vớ i CM cắ t các tia AB, AD lầ n lư ợ t tạ i E và F. Tia CM cắ t đ ư òng thẳ ng AD tạ i N. Chứ ng minh rằ ng: a. Tứ giác AMCF nộ i tiế p đ ư ợ c. b. Tứ giác ANEC nộ i tiế p đ ư ợ c. c. CM + CN = EF. Bài 10. Cho Hình bình hành ABCD. Đ ư òng tròn đ i qua đbainh A, B, c cắ t đ ư ờ ng thẳ ng CD tạ i p khác c. Chứ ng minh AP = AD. Bài 11. Từ mộ t đ iể m M ở bên ngoài đ ư ờ ng tròn (O) ta vẽhai tiế p tuyế n MA, MB vớ i đ ư ờ ng tròn. Trên cung nhỏ AB lấ y mộ t đ iể m c. Vẽ CD i. AB, CE _L MA, CF _L MB. Goi I là giao đ iể m củ a AC và DE, K là giao đ iể m củ BC a và DF. Chứ ng minh rằ ng: a. Tứ giác AECD nộ i tiế p đ ư ợ c. b. Tứ giác BFCD nộ i tiế p đ ư ợ c..

(257) D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP SỐ Bài 1. a. Ta có thể trình bày theo các cách sau: C c ic h I . Vì ABCD là hình thang cân, nên ta có:. D. B Ã Ì) + BCD = B Ã D + CDA. B = 180°, tổ ng hai góc trong cùng phía Vậ y, hình thang cân ABCD nộ i tiế p đ ư ợ c. C á c h 2 : Gọ i E, M, N theo thứ tự là trung đ iể m củ a AD, AB, CD. Dự ng đ ư ờ ng trung trự c Ex củ a AD cắ t MN tạ i o , ta có: OA = OB, vì o thuộ c MN là trung trự c củ a AB o c = OD, vì o thuộ c MN là trung trự c cùa CD OA = OD, vì o thuộ c Ex là trung trự c cùa AD Suy ra OA = OB = o c = OD.. Vậ y, hình thang cân ABCD nộ i tiế p đ ư ợ c trong đ ư ờ ng tròn (O, OA). C á ch 3:. Xét hai tam giác AABD và ABAC, ta có:. AB chung BAD = ABC , vì ABCD là hình thang cân AD = BC, vì ABCD là hình thang cân. D. Do đ ó: AABD = ABAC (c.g.c) => ADB = ACB .. Vậ y, các đ iể m c, D nằ m phía đ ố i vớ i AB và thoả mãn ADB = ACB nên bố n đ iể m A, B, c, D thuộ c cùng mộ t đ ư ờ ng tròn. C á c h 4:. Xét hai tam giác AACD và ABDC, ta có:. CD chung ADC = BCD, vì ABCD là hình thang cân AD = BC, vì ABCD là hình thang cân do đ ó: AACD = ABDC (c.g.c) => CÃỒ = CBD. Vậ y, các đ iể m A, B nằ m phía đ ố i vớ i CD và thoả mãn CAD = CBD nên bố n đ iể m A, B, c, D thuộ c cùng mộ t đ ư òmg tròn. b. Họ c sinh tự làm. Bài 2. a. Trong AABN, ta có:. AEB = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn O A E IB N . (1) AFB = 90°, góc nộ i tiế p chắ n nử a đ irờ ng tròn o B F l AN. (2) Từ (1) và (2), suy ra M là trự c tâm AABN, suy ra: MN1 AB MN // Bx’ đ pcm. b. Ta có thể lự a chọ n mộ t trong hai cách sau: Cách 1: Nhậ n xét rằ ng: CDEssỊ r ABF , góc có cạ nh tư ơ ng ứ ng vuông góc AEF, góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung )S9-T2. ĩc D \. n. /ì\ c "Jrt* L£ 1 ' ! B. .. 257.

(258) Khi đ ó, trong tứ giác CDFE, ta nhậ n thấ y: CEF + CDF = CEF + AEF, = 180° => Tứ giác CDFE nộ i tiế p đ ư ợ c. Cách 2: Nhậ n xét rằ ng: 90° = DFE + BFE = DFE + BAE, BCA + BÃC = BCẦ + BÃẼ = 90° => DFÈ = BCẦ . Khi đ ó, trong tứ giác CDFE, ta nhậ n thấ y: DCE + DFE = DCE + BCA = 180° => Tứ giác CDFE nộ i tiế p đ ư ợ c. Bài 3. a. Nhậ n xét rằ ng, tứ giác CDBH có hai đ ư ờ ng chéo CBvà DH cắ t nhau tạ i trung đ iể m mỗ i đ ư ờ ng nên nó là hình bình hành, suy ra: CD//BH và vì B H 1 AC z > C D 1A C o Ấ CD = 90°. B D //C H vàvìC H ±A B = > B D ±A B o Ấ BD =90°. Vậ y, tứ giác ABDC nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AD . Do đ ó, tâm o là trung đ iể m củ a AD. b. Nhân xét rằ ng: Ấ Ẽ H = 90°, vì BE là đ ư ờ ng cao B AFH = 90°, vì CF là đ ư ờ ng cao AIH = AID = 90°, vì góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng trò n. Vậ y, các đ iể m E, F, I cùng nhìn AH dư ớ i mộ t góc vuô ng, do đ ó 5 đ iể m A, I, F, H, E cùng nằ m trên mộ t đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AH. Bài 4. a. Nhậ n xét rằ ng: ODO' = OAD, vì AOAD cân tạ i o Ố Ă D = CÃO', vì đ ố i đ ỉ nh CÃO' = ố c o ', vì AO'AC cân tạ i O’ Từ đ ó, suy ra: Ố DO’= ÕCO'. Vậ y, các đ iể m c, D nằ m phía đ ố i vớ i OO' và thoả mãn ODO' = OCO' nên bố n đ iể m o, ơ , c, D thuộ c cùng mộ t đ ư ờ ng tròn, tứ c là tứ giác0 0 ’CD nộ i tiế p. b. Xét hai tam giác AAOO' và ABOO', ta có: OO' chung OA = OB, vì cùng bằ ng bán kính đ ư ờ ng tròn (O) 0'A = 0'B, vì cùng bằ ng bán kính đ ư òmg tròn (O') Do đ ó: AAOO' = ABOO’ (c.c.c) => Ố ÃỐ ' = Ố BO’. Khi đ ó, ta đ ư ợ c: OBO'+ OCO' = OAO' + CAO'= 180° tứ c là,ứ tgiác OBO’C nộ i tiế p. c. Nhậ n thấ y rằ ng: ■ Từ kế t quả câu a) suy ra D thuộ c đ ư ờ ng tròn ngoạ itiế p ACOO'. • Ị i Từ1 ữ kkếê Utauả câu b) suy ra B thuộ c đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p ACOO'. ỉ iể m o, O’, B, c, D cùng nằ m trên mộ t đ ư ờ ng tròn ngoạ i iết p ACOO'. \. W.

(259) Bài 5. (Họ c sinh tụ vẽ hình) Hư ớ ng dẫ n: a.. Nhậ r xét rằ ng: Tc giác ABEF nộ i tiế p đ ư ợ c là do ABE = AFE = 90°. (nó nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AE) Tc giác DCEF nộ i tiế p đ ư ợ c là do DCE = DFE = 90°. (nó nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính DE) b. Tronị đ ư ờ ng tròn (AD), ta có: ÃCB = ADB , góc nộ i tiế p cùng chắ n cung AB .. Troní đ ư ờ ng tròn (DE), ta có: ADB = ACF , góc nộ i tiế p cùng chắ n cung EF . (2) Từ (1) và (2), suy ra: ACB = ACF <=>CA là tia phân giác củ a góc BCF. Bài 6. "a đ i chúng minh bằ ng phả n chứ ng.. Giả si trái lạ i có hai dây cung AC và BD cắ t nhau tạ i trung đ iể m I củ a mỗ i đ ư ờ ng và không đ i qua tâm o. Khi có tứ giác ABCD là hình bình hành => ABCD là hình chữ nhậ t => BAD = 90° => BD là đ ư ờ ng kính => o e BD, mâu thu ẫ n. Bài 7. Vẽ dây cung AB, ta có: MAB + CAB = 180°. Tứ gác ABCD là tứ giác nộ i tiế p nên: '5d < + CÃB = 180° => CDB = MÃB Mậ t chác trong đ ư ờ ng tròn (O'), ta có: vlAB = xMB => CDB = xMB => CD // xy, đ pcm. Bài 8. Vẽ dây chung AB, ta lầ n lư ợ t thấ y: • Vi CE // DF nên: Ấ CẼ + Ấ DF = 180°. ■ Tr giác ABEC là tứ giác nộ i tiế p nên: Ấ BÈ + Ấ CẼ = 180°. • Tí giác ABFD là tứ giác nộ i tiế p nên: Ấ BF + Ấ DF = 180°. Cônị theo vế (1) và (2), ta đ ư ợ c: VBẼ + Ấ CÈ + Ấ BF + Ấ DF = 360° o Ẽ BF + (Ấ CE + Ấ DF) =360° EBF = 180° o ba đ iể m B, E, F thẳ ng hàng. Bài 9. a. Ta lâì lư ợ t thấ y: vĨ AF = 90°, vì ABCD là hình vuông vĨ CF = 90°, theo giả thiế t EF _LCM Do đ ó, ti giác AMCF nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kínhF.M b. Ta lín lư ợ t thấ y: ■ ÍAẼ = 90°, vì ABCD là hình vuông 'Ỉ C ^ ^ 90°, theo giả thiế t EF L CM Do ÌC nộ i tiế p dư cmg tròn đ ư ờ ng kính NE. ™ i^H > S 9 -T 2.

(260) c. Ta lầ n lư ợ t xét: ■ Xét ACMF vuông tạ i c, ta có: CMF = CAF = 45°, cùng chắ n cung CFcủ a (MF) => ACMF vuông cân tạ i c => CM = CF. (1) ■ Xét ACNE vuông tạ i c, ta có: CNE = CAE = 45°, cùng chắ n cung CE củ a (NE) => ACNE vuông cân tạ i c => CN = CE. (2) Cộ ng theo vế (1) và (2), ta đ ư ợ c: CM + CN = CF + C! E = EF, đ pcm. Bài 10. Bạ n đ ọ c tự vẽ hình Ta có: B + APC = 180° (ABCP là tứ giác nộ i tiế p). D + APC = 180° ( D = B , tính chấ t hình bình hành). APD + APC = 180° (hai góc kẻ bù). Suy ra: D = APD => AAPD cân tạ i A => AP = AD. Bài 11. a. Xét tứ giác AECD, ta có: Ấ DC + Ấ Ẽ C = 90° + 90° = 180° Do đ ó, tứ giác AECD nộ i tiế p đ ư ợ c. Xét tứ giác BFCD, ta có: BDC + BFC = 90° + 90° = 180° Do đ ó, tứ giác BFCD nộ i tiế p đ ư ợ c. b. Xét hai tam giác ACDE và ACFD, ta có: CED = CAD, góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung trong đ ườ ng tròn ngoạ i tiế p tứ giác AECD CAD = CBF, góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung và góc tạ o bở i tiế p uyế n vớ i dây cung đ ó CBF = CDF, góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung trong đ ư nờ g tròn ngiạ i tiế p tứ giác BFCD => CẼ D = CDF. (1) CDE = CAE , góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung trong đ òư mg tròn ngcạ i tiế p tứ giác AECD CAE = CBD, góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung và góc tạ o bở i tiế p uyên vớ i dây cung đ ó CBD = CFD, góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung trong đ ư ờng tròn ngcạ i tiế p tứ giác BFCD => CDẼ = CFD. (2) Từ (1) và (2) suy ra: ACDE ~ ACFD => 7. c. Họ c sinỊ uglàm.. CF. CD. o CD2= CE . CF, đ ptm..

(261) CHỦ. Đ Ư Ờ NG TRÒN NGOẠ I TIẾ P - Đ Ư Ờ NG. BỂ 8. TRÒN NỘ I TIẾ P A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T 1. Đ Ư Ờ NG TRÒN NGOẠ I TIẾ P VÀ Đ Ư Ờ NG TRÒN NỘ I TIẾ P Đ ÁC A GI Đ Ề U Đ inh nghĩ a 1: Đ ư ờ ng tròn đ i qua tấ t cả các đ inh củ ađ mộa giác t đ ư ợ c gọ i là đ ư ờ ng tì òn ngoạ i tiế p đ a giác đ ố và khi đ ố đ a giác đ ư ợ c nộgọ i là tiế p đ ư ờ ng tròn. Đ ị nh nghĩ a 2: Đ ư ờ ng tròn tiế p xúc vớ i tấ t cả các cạ nh củ a mộ at giác đ đ ư ợ c gọ i là đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p đ a giác đ ó và khi đ ó đ cađgiá ư ợ c gọ i là ngoạ i tiế p đ ư ờ ng tròn. Đ ị nh lí: Bấ t kì đ a giác đ ề u nào cũ ng có mộ t đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p và mộ t đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p. Ta có: ■ Tâm chung củ a đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p và đ ư ờ ng tròn ngoạ tiếi p mộ t đ a giác đ ề u gọ i làtám củ a đ a giác đ ề đu ó. ■ Khoả ng cách từ tâm củ a đ a giác đ ề u đ ế n cạ nh củ a gọnói là trung đ oạ n (cũ ng là bán kính củ a đ ư òng tròn nộ i tiế p). 2. BÁN KÍNH CỦ A Đ Ư Ờ NG TRÒN NGOẠ I TIẾ P VÀ Đ Ư Ờ NG TRÒN NỘ I TIẾ P Đ A GIÁC Đ Ể U Gọ i R, r, n và a lầ n lư ợ t là bán kính đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p, đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p, số cạ nh và đ ộ dài mỏ i cạ nh. Xét AOHA, ta có: ÃÔB =. Ã õ íỉ = 2 S L . 2n D AH _ a . 180 R = OA = — = ------— T- => sin— n sinAOH 2sinM n. AH a r = OH = ------d U r = — tanAOH 2tan—. vO a _ 180° => tan—— = — . n. 2r. n Đ ị nh l:íVớ i mọ i đ a giác đ ề u có cùng số cạ nh, tỉ số giữ a chu vi đ a giác vớ i đ ư ờ ng kính củ a đ ư òng tròn ngoạ i tiế p không phụ thuộ c đ ộ dài củ a đ ư ỉ mg kính. 3. CÁCH VẼ CẲ C Đ A GIÁC Đ Ể U THÔNG DỤ NG BẰ NG THƯ Ớ C VÀ COMPA. a. Để vẽ AABC đ ề u, nôi tiế p đ ư ờ ng tròn (O), ta thư c hiên: Ve đ ư ờ ng kính Vẽ đ ư ờ ng tròii (A’, A ’0 ), cắ t (O) ờ Bvà c..

(262) B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Vấ ề ụ. li. (Bài 61/tr 91 -Sgk): a. Vẽ đ ư ờ ng tròn tâmo , bán kính 2cm. b. Vẽ hình vuông nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn(O) đ ó. c. Tính bán kính r củ a đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p hình vuông ở câub) rồ i vẽ đ ư ờ ng tròn(O ; r).. Giả i a. Cách vẽ : Mở compa mộ t khoả ng bằ ng 2 cm. Quay mộ t vòng đ ể vẽ dư ờ ng tròn (O ; 2). b. Cách vẽ : ■ Từ đ iể m A bấ t kì trên đ ư ờ ng tròn, vẽ đ ư ờ ng kính AC. ■ Vẽ đ ư òng kính BD vuông góc vớ i đ ư ờ ng kính AC. ■ A, B, c, D là bố n đ ỉ nh cùa hình vuông cầ n dự ng. c. Đ ư ờ ng tròn nộ i tiêp hình vuông có đ ư ờ ng kính bằ ng cạ nhacủhình vuông ABCD. Ta có: OE2 + EA2 = OA2 <s> 2Ĩ 2 = 22 => r = V 2. Cách vẽ đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p hình vuông: Kẻ OE1AB. vẽ đ ư ờ ng tròn (0;GE). Vẩ đ v2« (Bài 62/tr 91 - Sgk): a. Vẽ AABC đ ề u cạ nha = 3cm. b. Vẽ đ ư ờ ng tròn(O ; R) ngoạ i tiế p AABC. Tính R. c. Vẽ đ ư ờ ng tròn(O ; r) nộ i tiế p AABC. Tính r. Vẽ tam giác đ êuIJK ngoạ i tiế p đ ư ờ ng tròn(O ; R)..

(263) JỊ $ Giãi a. Cách vẽ : ■ Vẽ BC = 3cm. ■ Vẽ các đ ư ờ ng tròn (B ; 3cm) và (C ; 3cm) cắ t nhau tạ i A. ■ AABC là tam giác đ ể u có cạ nh bằ ng 3cm. b. Tâm o củ a đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p tam giác đ ể u ABC trùng vớ i trọ ng tâm củ a tam giác đ ó. Ta có bán kính R củ a đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p AABC là: D. 2 A U _ 2 _ 2 , Ằ R R _= — AH = — A B -r- = — .3. — —= -y/3 cm.. 3. 3. 2. 3. 2. c. Bán hình r củ a đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p AABC là: 1 AH A U =- — 1 A B —— _= — Vã ' r= — —cm. 3 3 2 2. _ J. d. Vẽ các đ ư ờ ng tròn (A ; AB), (B ; AB) và (C ; AB). Các đ ư ờ ng tròn này cắ t nhau tạ i I, J, K thì AIJK là tam giác ngoạ i tiế p đ ư ờ ng tròn (O ; R). Vẩ dụ 3t Mộ t đ ư ờ ng tròn có bún kínhR. a. Tính diệ n tích tam giác đ ề u nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn đ ó theo R. b. Tính diệ n tích hình vuông nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn đ ó theo R. c. Tính diệ n tích lụ c giác đ ề u nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn đ ó theo R. JS% Giả i a. Gọ i a là đ ộ dài cạ nh tam giác đ ể u, ta có: R = -------— - => a = 2Rsin60° = R ->/3 . 180° 2 sin— — 3. Kh,i đ ó diệ n tích tam giác đ ư ợ c cho bờ i:. c _ a2Vã _ (RVã)2V3 _ 3R2VJ 4 4 4 b. Gọ i a là đ ộ dài cạ nh hình vuông, ta có:. 4. R = ------ -— - => a = 2R.sin45° = RV2 . „ ; 180° 2 sin — — Khii đ ó diệ n tích hình vuông đ ư ợ c cho bở i: s = a2 = ( R>/2 )2 = 2R2.. c. Ditệ n tích lụ c giác đ ề u gồ m 6 tam giác đ éu có cạ nh bằgnR, do đ ó: R 2V3 3R2Vã.

(264) ^. Nhậ n xét: Như vậ y, đ ể tính diệ n tích củ a mộ t đ a giác đ ề u bấ t kì chúng ta chỉ cầ n xác đ ị nh đ ư ợ c đ ộ dài củ a cạ nh đ a giác đó ề và u đđ ố i vớ i các đ a giác đ ề u chúng ta đ ã có đ ư ợ c công thứ c liêngiữhệ a canh vớ i bán kính đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p và nộ i tiế p. Vấ d ụ 4t (Bài 63/tr 92 - Sgk): Cho đ ư ờ ng tròn(O, R). tính theo R: a. Cạ nh củ a tam giác đ ề u nộ i tiế p. b. Cạ nh củ a hình vuông nộ i tiế p. c. Cạ nh củ a lụ c giác đ ề u nộ i tiế p. Giả i a. Ta có: 180° a = 2R.SÌĨ 1—— = 2R.sin60° =. S .. r. b. Ta có: a = 2R.sin. 180° = 2R.sin45° = 4. r. VĨ .. c. Ta có: a = 2R.sin Vẩ dụ lít. 180°. = 2R.sin30° = R.. Cho lụ c giác đ ề a. Gọ i a là đ ộ ngoạ i tiế p R b. Gọ i M là mộ hình chiề u củ. uABCDEF tâm o . dài cạ nh lụ c giác đ ề u. Tính bán kính đ ư ờ ng tròn và bán kính đ ư ờ ng tròn nộ i tiế pr củ a lụ c giác. t đ iể m bấ t kì trongAAOB. Gọ i H, I, K theo thứ tự là a M trên OA, OB, CF. Chứ ng minh rằ ng nă m đ iể m M, H, I, o, K cùng thuộ c mộ t đ ư ờ ng tròn. c. Chứ ng minh rằ ng AHIK là tam giác đ ề u.. Giả i a. Ta có: R =■. = a. 2 sin. r=. 180°. a 180° 2 tan. 2 sin 30° D. h/3 2 tan 30°. b. Nhậ n xét rằ ng: ÕHM = OĨ M = ÕKM =90° , K thuộ c đ ư òmg tròn có đ ư ờ ng kính OM I, K, o , M cùng thuộ c mộ t đ ư ờ ng tròn..

(265) c. Giả sử K thuộ c đ oạ n thẳ ng OF. Xét đ ư ờ ng tròn đ i qua nă m đ iể m H, I, K, o , M, ta có: HKJ = HOI = 60° - vì góc nộ i tiế p cùng chắ n mộ t cung. Trong AHIK ta có: HIK = HOK = 60° nên AHIK là tam giác đ ề u. ^. Nhậ n xét. 1. Trong lờ i giả i ở câu a), ta tính đ ư ợ c R, r dư a trên ôc ng thứ c đ ã biêt, tuy. nhiên cũ ng có thể sử dụ ng việ c xét tam giác vuông đ ê xác đ ị nh R, r. 2. Nhờ chứ ng minh đ ư ợ c nă m đ iể m M, H, I, o , K cùng thuộ c mộ t đ ư ờ ng tròn, các góc HKIvàHOI là hai góc nộ i tiế p củ a đ ư ờ ng tròn đ ó, do đ ó áp dụ ng tính chấ t củ a góc nộ i tiế p,, ta tính đ ư ợ c: U IR = 60° và IKH = 60°. Vẩ dụ «1 (Bài 64/tr 92 —Sgk): Trên mộ t đ ư ờ ng tròn bán kínhR, ta lầ n lư ợ t đ ặ t theo cùng mộ t chiề u, kể từ mộ t đ iể mA, mộ t cung AB= 60° rồ i mộ t cung BC = 90° và mộ t cung CD = 120°. a. Tứ giác ABCD là hình gì ? b. C h ứ n g minh rằ ng hai đ ư ờ ng chéo củ a nó vuông góc vớ i nhau. c. Tính các cạ nh và đ ư ờ ng chéo củ a tứ giácABCD theo R. & Giả i a. Ta có:. BDC= —sđ BC =45° 2 sđ Ấ D = 360° - (60° + 90° + 120°) = 90° => ABD = —sđ AD = 45° = BDC => AB // CD, vì so le trong Do đ ó, ABCD là hình thang và hình thang nộ i tiế p đ ư ờ ng òn tr nên nó là hình thang cân. b. Gọ i M la giao đ iể m củ a AC và BD, vì góc AMD là vìgóc có đ ỉ nh ờ bên trong đ ư ờ ng tròn nên: AMD = — AD- +SdBC = 90° + 9() = 90° => AC L_BD. c. Ta lầ n lư ợ t có nhậ n xét: ■ AOAB đ ề u nên AB = OA = R. ■ AOAD vuông cân nên: AD = OA-v/2 = R.V2 = BC. /3 Kẻ OH 1 CD, ta có: CD = 2CH = 2. R sin 60° = 2. R . — = rV 3 .. 2. Tiế p theo; BD = AC = AM + MC = AB.sin 45° + CD.sin 45°= — (V2 + V 6 ). — 2.

(266) ^. Nhậ n xét: Trong lờ i giả i củ a câu a) chúng ta có thể thự c hiệ n đ ơ ngiả n. hơ n, bằ ng cách: sđ ÁD = sđ BC = 90° => Ấ D = BC => AB // CD. Vẩ Mụ 7i Cho đ ư ờ ng tròn (O, R). Cho mộ t dây cung AB bằ ng cạ nh hình vuông nộ i tiế p và mộ t dây cung BC bằ ng cạ nh tam giác đ êu nộ i tiế p (C và A nằ m cùng phía đ ố i vớ iBO). Tính các cạ nh củ a AABC và đ ư ờ ng caoAH củ a nó theo R. Giả i Theo giả thiế t, ta có: AB = r V 2, BC = r V3. Trong đ ư ờ ng tròn (O), ta có: sđ Ấ C = s đ ẽ c -sđ Ẩ B = 120°-90° = 30° => Ấ BC = 15°. Trong AABH, ta có: AH = AB.sin 15° = r V2 .0,2588 * 0,37R. Vì AAHC vuông cân: AC = A H V ỉ = 2R. 0,2588 * 0,52R. ^. Nhậ n xét: Ví dụ trên thuộ c dạ ng-toán tính toán đ ơ n giả n. Tuynhiên, đ ể. thự c hiệ n đ ư ợ c nó các em họ c sinh cầ n nhớ đ ư ợ c công thứ c tính đ ộ dài củ a tam giác đ ề u và tứ giác đ ề u nộ i tiế p trong đ ư ờ ng tròn (O, R).. c. BÀI TẬ P LUYỆ N TẬ P Bài 1. Mộ t đ a giác đ ể u nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn (O, R). tBiếđ ộ dài mỏ i cạ nh củ a nó là R\/2 . Hỏ i đ a giác đ ó là hình gì ? Bài 2. Cho lụ c giác đ ề u ABCDEF cạ nh a. Các đ ư ờ ng thẳ ng AB và CD cắ t nhau tạ i M, và chúng cắ t đ ư ờ ng thẳ ng EF theo thứ tự tạ i N và p. a. Chứ ng minh rằ ng AMNP là tam giác đ ề u. b. Tính bán kính đ ư òng tròn ngoạ i tiế p AMNP. Bài 3. Cho ngũ giác đ ể u ABCDE. Hai đ ư ờ ng chéo AC và ADắ tcBE lầ n lư ợ t tạ i M vàN. c. Tính tỉ số giữ a các bán kính củ a đ ư ờ ng tròn nộ i iết p vâ đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p ngũ giác đ ề u đ ó. d. Chứ ng minh rằ ng các tam giác AAMN và ACMB là tam giác cân. e. Chứ ng minh rằ ng AB . BC = BM . AC. Bài 4. Cho tam giác đ ề u nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn (O) cóạ nh c 3cm. a. Tính bán kính củ a đ ư ờ ng tròn (O). b. Tính cạ nh lụ c giác đ ể u ngoạ i tiế p đ ư ờ ng tròn (O). Bài 5. Cho AABC đ ề u, nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn (O, R). Gọ i , DE, F theo thứ tự là đ iế m chính giữ a các cung AB, BC, CA. a. Chứ ngạ giinh rằ ng ADBECF là lụ c giác đ ề u..

(267) D. HƯ Ớ NG DAN - Đ AP SO Bùi 1. Gọ i a, n theo thứ tự là số đ ỉ nh, đ ộ dài cạ nh củ a đ a giác đ ề u đ ó, ó: ta c a= R\fĩ. 180° 180° a Rv/2 _ s í ĩ _ . .*(, = - - = — — = —1 = sin45 => — — = 45 <=>n = 4. n 2R 2R 2 n Vậ y, da giác cànn tìm là tứ giác đ ể u (hình vuông). Bài 2. (6-2). 180° = 120° a. Hình lụ c giác đ ể u có số đ o mỗ i góc trong bằ ng: 0 Suy ra, số đ o mỗ i góc ngoài bằ ng: .80°- 120° = 60°. Xét 6 MBC, ta có ngay: sin——. 3MC = 180° —( MBC + MCB) = 60°. Xét 6 AFN, ta có ngay: \ N F = 1 8 0 ° - ( N Ã F + N F Ầ ) = 60°.. Vậ y AMNP có hai goác bằ ng 60° nên nó là tam giác đ uề . b. Gọ i ^ là bán kính đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p AMNP, tacó: R=_ M N ^ = _ 3 ạ _ ^ " a7ĩ - .180° 2 sin 60° 2sin—— 3 Bài 3. a. Gọ i a, R, r theo thứ tự là đ ộ dài mỗ i cạ nh, bán íknh đ ư ờ ng tròn ngcụ i tiế p và đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p ABCDE, ta có : R = _ ! _ v à r= — = > - - 2tan36° _ sin36 ^ 4 2 sin 36° 2 tan 36° R a tan 36° 5 2sin36° b. Vì 6 BCDE là ngũ giác đ ề u nên: AB = BC =CD = DE =EA . 1 Troig AAMN, ta có: AMN = —(sđ EA + sđ BC) = - (sđ AB + sđ DE) = ANM 2. 2. » AAMN cân tạ i A. Troig ACMB, ta có: BMC = - (sđ BC + sđ EA ) = —(sđ CD + sđ DE ) = MBC 2 2 o ACMB cân tạ i B. c. Nhìn xéyồ ng: AABC ~ AAMB => = -5^- o BM . AC = AB . BC, đ pcm. w AB MB.

(268) CHỦ. BỀ. 9. Đ. ộ. DÀIĐ Ư Ộ NG TRÒN, I u n Í. t r ò n. A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Vẩ d ụ. lĩ. (Bài 66/tr 95 - Sgk): a. Tính đ ộ dài cung60° củ a mộ t đ ư ờ ng tròn có bán kính2dm. b. Tính chu vi vành xe đ ạ p có đ ư ờ ng kính 650mm.. JSỈ Giả i a. Ta có: / = b.. 180. = — & 2,09 dm. 3. T a có : c = 71.650 w 221 Omm.. Vẩ d ụ 2ĩ. Tính đ ộ dài củ a đ ư ờ ng tròn, biế t'. a. Có bán kính bằ ng 6cm. b. Có đ ư ờ ng kính bằ ng8cm. c. Đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p tam giác đ ề u có cạ nh bâng 2. cm.. js£ Gidi a. Vớ i giả thiế t, ta có: R = 6cm => c = 2t ĩ R = 2n.6 =1271 cm. b. Vớ i giả thiế t, ta có: 2R = 8cm <=> R = 4cm => c = 2nR = 2nA = 8ĩ i cm. c. Vớ i giả thiế t, ta có: R = —Ĩ 2Ị 2. = 2cm => c = 2ttR = 2n.2 = 4Tí cm. 2 sin 60° Vẩ d ụ a« (Bài 75/tr 96 —Sgk): Cho đ ư ờ ng tròn(O), bán kính OM. Vè đ ư ờ ng tròn tâm 0 \ đ ư ờ ng kínhOM. Mộ t bán kính OA củ a đ ư ờ ng tròn(O) cắ t đ ư ờ ng tròn(O') tạ i B. Chứ ng minh sđ MA = sđ MB. Giả i -B ạ n đ ọ c tự vẽ hình Trong đ ư ờ ng tròn (O), ta có: a = Ấ ÕM = BÕM = —sđ MB = - BCHVl => BOĩ M= 2Ấ OM =2a. 2. Đ ộ dài cụ pg AM là: / = -K-— 180. 2. ( 1).

(269) rc.O'M .2a. n .'M .a. 180. 180. Đ ộ dài cung AM là: /' =. (2). Từ (1) và (2), ta thấ y đ ộ dài các cung AM và BM bằ ng nhau. Cho dư ờ ng tròn (O) đ ư ờ ng kínhAB. Vẽ clây CD vuông góc vớ i AB Ỉ U ạ iỉ tạ i M. Giả sử AM = lem, CD = 2y[ĩ cm . Tính: a. Đ ộ dài đ ư ờ ng tròn. b. Đ ộ dài củ a cungCAD. Giả i a.. Từ giả thiế t ta có AB -L CD nên: MC = MD = V3 cm, ACB = 90° - vì góc nộ i tiế p chắ n nử a đ ư ờ ng tròn. Trong tam giác vuông ACAB, áp dụ ng hệ thứ c h2= b ’c ’ , ta đ ư ợ :c. CM2 _ (V2): = 3 cm . MA 1 Khi đ ó: AB = AM + MB =1 + 3 =4 c m = > R = 2 cm. Đ ộ dài đ ư ờ ng trònlà: c = 2nR = 4rt cm. b. Ta có: OA = 2cm, MA = lcm => MA = MO. Từ giả thiế t: CM 1 OA => CA = c o và o c = OA C U 2 = MA . MB => MB =. => CA = o c = OA => AOAC là tam giác đ ề u => AOC = 60°, Do đ ó DOC = 120°. Đ ộ dài củ a cung CAD là:i = ^. TtRn71.2.120 4n cm 180 180 3. .. Nhậ n xét: 1. Trong câu a), đ ể tính đ ư ợ c đ ộ đ ài đ ư ờ ng tròn chúng tacầ n đ i tìm bán kính R dự a trên việ c tính đ ộ dài củ a đ ư ờ ng kính AB.Tuy nhiên, ta cũ ng có thê tính đ ư ợ c R bằ ng cách: Trong tam giác vuông AOMC, ta có: o ơ = OM2 + MC2= (OA - AM)2+ MC2 <=>R2= (R - l) 2 + (V3 )2<=>R = 2cm. 2. Trong câu b), vớ i yêu cầ u " Tứ ử ì đ ộ dài củ a cung C A D", chúng ta cầ n thự c hiệ n theo hai bư ớ c:. Bư ớ c 1\ Tính số đ o củ a cung CAD, tứ c là tính COA . Bư ớ c 2. sử dụ ng công thứ c tính đ ộ dài cung. Vấ ẩ y Sĩ Cho đ ư ờ ng tròn(O), dây AB = 9cm có khoả ng cách đ ế n tâm bằ ng mộ t nử a bán kính củ a đ ư ờ ng tròn. Tính chu vi đ ư ờ ng tròn. Tính đ ộ dài cungAB (cung nhổ )..

(270) Giả i a. Kẻ OH -L AB, khi đ ó trong tam giác vuông AOHB, ta có: O H = — => Ố Ẽ H =30° và BÕÌÌ =60°. 2 HB— = _ 4’5 _ —— 9^ _ =a 3V3 / ĩ cm. OB = —— =■ = sin 60° V3 3. 2 Chu vi đ ư ờ ng tròn:c = 2n.3yfĩ = 67C-\/3 cm. b. Ta có: Ấ ÔB = 120° => sđ Ấ B = 120°. Khi đ ó, đ ộ dài cung AB đ ư ợ c cho bở i: /AB6nyfĩ = .—= 271^3 c m . 3 ATỉ ậ n xế /:. 1. Đ ê’ tính chu vi đ ư ờ ng tròn hoặ c đ ộ dài cung tròn, bao giờ ta cũ ng phả i tính bán lánh củ a nó. Bán kính này là cạ nh huyề n OB củ a tam giác vuông OHB. Tam giác đ ó có cạ nh góc vuông OH bằ ng mộ t rử a cạ nh. huyề n. Hãy nhớ lạ i: nế u mộ t tam giác vuông có cạ nh góc vuỏ ng bằ ng mộ t nử a canh huyề n thì góc đ ố i diệ n vớ i canh góc vuông đ ó bằ ng 30°. Có thê chứ ng minh trự c tiế p đ iề u này vào bài toán: ~ OH 1 sin B = —— = —=> B = 30 . OB 2 2. Trong lờ i giả i câu b, ta tính trư c tiế p đ ô dài cung AB, đ óà l—chu vi đ ư ờ ng 3 ừ òn (vì AOB = 120°). Nế u áp dụ ng công thứ c tính đ ộ dài cung 120° ta có: TtR.120 7C3V3.120 ' _ pr ——— = — ——-----= 2ĩ w3 c m 180 180 (Bài 68/tr 95 - Sgk): Cho ba đ iể mA, B, c liêntì tiế p trên mộ t đ ưu "í ờ ng thẳ ng. Chứ ng minh rằ ng đ ộ dài củ a nử a đ ư ĩ ờgng tròn ờ ng ính tròn có có đ ư đ ờ ư ng k k có có đ ưđ ờ ư ng kính , AC bằ ng tổ ng các đ ộ dài cùa hai nử a đ ư ờ ngròn tròn ờ ng kính AB và BC. .. Vẩ Ể ậ. Giả i Gọ i đ ộ dài các nử a đ ư ờ ng tròn có dư ờ ng kính theo thứ tự AC, AB, BC là l ị , l2, /j, ta có:. A B. c. /, = —71.AC, l2 = —7T.AB, L =-tc.BC. 1 2 2 2 3 2 ằ ng: /2 + /3 = =-7i.A B + —7I.BC = -7i(AB + BC) = -Tt.AC = /,.. 2. 2. 2. 2. 1.

(271) 1. Ngư ờ i ta có thể phát biể u bài toán trên theo chiề u ngư ợ c lạ i, như sau "Cho ba đ iế m A, B c . Biế t rằ ng đ ộ dài đ ư ờ ng tròn dư ờ ng hkínAC bàng tông các đ ộ dài hai đ ư ờ ng tròn đ ư ờ ng kính AB và BC. Chứ ng minh ràng ba đ iể m A, B, c thă ng hàng và đ iể m B nằ m giữA avà C". 2. Từ đ ó, ta có kế t quả tông quát: C(AQ < C(AB) + C(B).C. c. BÀI TẬ P LUYỆ N TẬ P Bài 1. Mộ t tam giác đ ề u và mộ t hình vuông cùng có chu vi là 72cm. Hỏ i đ dài ộ đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p hình nào lớ n hơ n? Lớ n hơ n bao nhiêu?. Bài 2. Cho đ oạ n thẳ ng AD = 12cm. Các đ iể m B, c thuộ coan đ thẳ ng AD sao cho AB = CD. Vẽ các đ ư ờ ng tròn có đ ư ờ ng kính theo thứ ự tlà AD và BC. Biế t chu vi đ ư ờ ng tròn lớ n bằ ng ba lầ n chu vi đ ư ờ ng tròn nhỏ . Tính chu vi acủ đ ư ờ ng tròn nhỏ . Bài 3. Cho hai đ ư ờ ng tròn (O, R) và (O’; R ’) tiế p xúc ngoài vớ i nhautạ i A. Mộ t đ ư ờ ng thẳ ng qua A cắ t đ ư ờ ng tròn (O) tạ i B, cắ t đ ư ờ ng tròn (O’) tạ .i Chứ c ng minh. rằ ng nế u R' = —R thì đ ộ dài củ a cung AC bằ ng nử a đ dài ộ củ a cung AB (chỉ xét các cung AC, AB nhỏ hơ n nử a đ ư ờ ng tròn). Bài 4. Cho nử a đ ư ờ ng tròn (O) đ ư ờ ng kính AB = 2R. c là đ iể m chính giữ ủ aa cnử a đ ư ờ ng tròn. Cung AD có tâm B bán kính 2R, cung BE có tâm A bán kính 2R, cungDE có tâm c bán kính CD. a. Chứ ng minh rằ ng hai cung AC và AD dài bằ ng nhau.. b. Tính đ ộ dài củ a đ ư ờ ng cong ADEB do ba cung AD, DE , EB chắ p nố i thành. Bài 5. Cho AABC vuồ ng ờ A, c = 30° và AB = 4cm. Vẽ đ ư ờ ng cao AH. Gọ i M và N theo thứ tự là trung đ iể m củ a AB và AC. a. Chứ ng minh rằ ng tứ giác AMHN nộ i tiế p đ ư ợ c. b. Tính đ ộ dài đ ư òmg tròn ngoạ i tiế p tứ giác AMHN. Bài 6. Cho hình vuông ABCD có AC = 4cm. Ở phía ngoài hình vuông, vẽ các nử a đ ư ờ ng tròn có đ ư ờ ng kính theo thứ tự là AB, BC, CD, DA. Bố n nửa đ ư ờ ng tròn đ ó tạ o thành hình hoa bố n cánh. Tính chu vi củ a hình hoa ấ y.. D. HƯ Ớ NG DẨ N - Đ ÁP SỐ Bài 1. Gọ i ab a2 theo thứ tự là đ ộ dài cạ nh củ a tam giác đ ể u vàhình ông, vu suyra:. 3a, = 72 <=> a, = 24cm; 4a2= 72 <=>a2= 18cm. Gọ i Rj, R2 theo thứ tự là bán kính đ ư ờ ng tròn ngoạ tiếi p tam giác đ ề u và hình â 24 Ị— vuông, suy ra: R, = ---- =1— = „ = 8 V3 chứ ng minh _ . 180 2sin60 2 sin — 3. C| = 2nR, = Ỉ 6n n/Ĩ w 87.06cm.. 18 2sin45. „ /r. R2= -----=2—^ = — U L _ = 9 ^ 2 cm => Q = 2jĩ RI = 1871 \ Ị. - . 180° 2 sin. 4 ấ y C) > Cj và. c, -. Q « 7.08cm.. Ĩ. «79.97cm..

(272) CHỦ BỀ. 10. E ) ị ệ n Xị C H. PÈNH t. r ò n , U ìn. U. quạ t. TRÒN A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T Diệ n tích hình ữ òn bầ n kính R là:. s = nR2. 2. DIỆ N TÍCH HÌNH QUẠ T TRÒN. Đ ị nh nghĩ a:Hình quạ t tròn lá mộ t phầ n hình tròn bao gồ m giữ a mộ t I/ i ■ t • *■ * ; iỉ hắI ỉ bán kính qua hai đ ầ u..mút củ a cuhg đ ỗ . '; Trong hình minh hoạ bên, ta có hình quạ t tròn AOB. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Vẩ d ụ l i. (Bài 77/tr 98 —Sgk): Tính diệ n tích hình tròn nộ i tiế p mộ t hình vuông có cạ nh là 4cm.. JS$ Giả i Hình tròn nộ i tiế p hình vuông có đ ư ờ ng kính d bằ ng cạ nh hình vuông: d = 4 cm . Hình tròn nôi tiế p hình vuông canh 4cm là: s =. 4. Vẩ d ụ 2t Tính diệ n tích hình tròn, biế t: a. Bán kính bằ ng 8cm. b. Đ ư ờ ng kính bằ ng12cm. Chu vi củ a đ ư ờ ng tròn đ ó bằ ng 18n.. 4. = 4n « 12,56 cm2..

(273) Giả i a. b.. Vớ i già thiế t, ta có: R = 8cm => s = 71.82 = 64rt cm2. Vớ i giả thiế t, ta có: 2R = 8cm <=> R = 4cm => s = 7I.42= 16rc cm2.. c.. Vớ i giả thiế t,ta có: 2nR = 1871 <=> R = 9cm => s = U.92= 8171 cm2.. Vẩ d ụ a». (Bài 81/tr 9 9 —Sgk): Diệ n tích hình tròn sẽ thay đ ổ i thế nào nế u: a. Bán hình tă ng gấ p đ ôil b. Bún hình tă ng gấ p bu? c. Bán hình tùng gấ p k lẩ n (k > 1)?. JS$ Giả i a. b. c. Vấ. Diệ n tích hình tròn có bán kính (k.R) là: s = 7t(kR)2 = k2.(7iR2). Nế u bán kính tă ng gấ p đ ôi thì diệ n tích hình tròn tă ng gấ p 4 .lầ n Nêu bán kính tă ng gấ p ba thì diệ n tích hình tròn tă ng gấ p 9 n. lầ Nế u bán kính tă ng gấ p k lầ n thì diệ n tích hình tròntă ng gấ p k2 lầ n. d ụ 4t (Bài 79/tr 98 —Sgk): Tính diệ n tích hình quạ t tròn có bán kính bằ ng 6cm và góc ở tâm tư ơ ng ứ ng là 36°. Giả i. Vẩ dụ iti Tính diệ n tích hình viên phún AmB (hình trên), biế t AOB= 60° vù bán kính đ ư ờ ng tròn bâng8cm. Giả i _ 82V3 * 5.79 cm2. 360 4 Lấ y cạ nh BC củ a mộ t tam giác đ ề u lùm đ ư ờ ng ờ ng tròn vê cùng mộ t phía vớ i tam giácáy đ ố i Cho biế t cạ nh BC = a, hãy tính clỉ ệ n tích củ a ư ợ c tạ o thành.. Ta có ngay: SAmB = S quatA O B -S AAOB Vẩ dụ «1 (Bài 87/tr 100 - Sgk): kinh, vẽ mộ t nử a đ ư vớ i đ ư ờ ng thẳ ngBC. hai hình viên phân đ. 71.82.60. Jg$ Giả i - Bạ n đ ọ c tự vẽ hình Gọ i o là trung đ iể m củ a BC, ta có: OB = o c = —. Gọ i D, E theo thứ tự là giao đ iể m củ a AB và AC vớ i đ ư ờ ng tròn đ ư ờ kính ng BC. Dễ thấ y^A B , OEC là các tam giác đ ể u..

(274) s= 2 Vẩ i y 7t. MỀ. Tĩ .a2. 24. a. -Ị Ỉ. 71. 2 2 2. 2. 12. 1 a. 4 Ỉ \ a2« 0,045a2. 8. Cho AABC vuông tạ i A có AB = lOm, Ề = 60°. V ẽ nử a đ ư ờ ng tròn (O) đ ư ờ ng kínhBC và đ i qua đ iể m A. Tính tổ ng diệ n tích hai hình viên phân ứ ng vớ i cung AB và cung AC.. Giả i. Tổ ng diệ n tích hai hình viên phân bằ ng diệ n tích nử a hình tròn trừ đ i diệ n tích AABC. _s_ Tt.OB2 71.100 _____2 Diệ n tích nử a hình tròn: — -— = —- — = 5071 m .. 2. 2. Vớ i AABC, ta có: AC = AB.tanóO0 = 10V ĩ m ; BC = 2AB = 20 m s ABC - AB.AC = - . 10.10V3 = 50& m 2. 2 2 Tổ ng diệ n tích hai hình viên phân: 50;t - 50V3 = 50(71 - >/3) m 2 Vẩ dụ 81 (Bài 83/tr 99 - Sgk): a. V ẽ lạ i hình sgk {tạ o bở i các cung tròn) vớ i HI = lOcm và HO = BI = 2cm. Nêu cách vẽ . b. Tính diệ n tích hình HOABINH (miề n gạ ch sọ c). c. Chứ ng tỏ rằ ng hình tỉ òn đ ư ờ ng kínhNA có cùng diệ n tích vớ i hình HOABINH đ ó. Giả i —Bạ n đ ọ c tự vẽ hình a. Cách vẽ :. ■. ■. Kẻ đ ư ờ ng thẳ ng HI = lOcm. ■. Vẽ cung tròn HI có số đ o bằ ng 180°. ■. Lấ y o thuộ c đ oạ n HI sao cho HO = 2cm. Vẽ cung tròn HOcó sô' đ o bằ ng 180° củ a đ ư ờ ng tròn (S, ; 5cm). Lấ y B thuộ c đ oạ n HI sao cho BI = 2cm. Vẽ cung tròn BIcó sô' đ o bằ ng 180° củ a đ ư ờ ng tròn (S 2 ; lcm). »g tròn BO có số đ o bằ ng 180° củ a đ ư ờ ng tròn (S3; lcm)..

(275) 0. HI2. OB2. HOJ. 8. 8. 4. s = n —— + Tt------- 71. _flOO. = 71. t. 36 4 . , , , 2, + — - — = 1671 (cm ).. 8. 8. 4. Ta có: AN = 3 + 5 = 8 (cm). c. Diệ n tích hình tròn đ ư ờ ng kínhNA là:. s=. 71.8 — = 1Ó71 (cm ).. Vẩ dụ tH Tính diệ n tích cùa phẩ n gạ ch sọ c trên hình. JS$ Giả i Diệ n tích phả i tìm bằ ng hiệ u củ a diệ n tích thang vuông ABCD và hình quạ t 30°. Kẻ DH X BC, ta đ ư ợ c: /ĩ. DH = CDsin30° = ị ,H C =C D cos30° = 2 í a a2 Ệa + a - i S Khi đ ó: s ABCD 2 28 V Diệ n tích phả i tìm:. s = sABCD. quạ t. 2. 8. 12. hình B1^. , AD = BH = B C -H C = a na'. aV3 v. 24. Jĩ. q u ? , _ 12. (12 - 3^3 -271) *0 ,0 2 5 a2.. c . BÀI TẬ • P LƯ YÊN TẬ • P • Bài 1. Mộ t hình vuông và mộ t hình tròn có cùng chu vi. Hỏ i hình nào có diên tích lớ n hơ n ? Bài 2. Cho AABC đ ề u nộ i tiế p đ ư ờ ng tròn (O; 6cm). Tín h diệ ntích viên phân giớ i hạ n bờ i dây BC và cung nhỏ BC. Bài 3. Hình vành khă n là phầ n hình tròn bao gồ m giữ ahai đ ư ờ ng tròn đ ồ ng tâm. Tính diệ n tích hình vành khă n tạ o thành bờ i đ ư ờ ngròn t nộ i tiế p và ngoạ i tiế p tam giác đ ề u có cạ nh 6cm. Bài 4. (Bài 84/tr 99 - Sgk): a. Vẽ lạ i hình tạ o bở i các cung tròn xuấ t phat từ đ nh ỉ c củ a tam giác đ ề u ABC cạ nh lcm. Nêu cách vẽ . b. Tính diệ n tích miề n gạ ch sọ c. Bài 5. Mộ t đ ư ờ ng tròn có đ ộ dài là 72cm. Tính diệ nchtí hình viênphân tạ othành bờ i môt cạ nh cùa Lam giác đ ề u nộ i tiế p và cung nhỏ bi trư nơ g..

(276) Bài 6. Cho đ ư ờ ng tròn (O; 2cm), mộ t đ iể m M có MO2yỊ = ĩ cm. Qua M vẽ hai tiế p uyế n MA, MB vớ i đ ư ờ ng tròn (A, B là tiế p tuyế n đ iể m) . Tính diệ n tích giớ i hạ n bờ i các đ oạ n thẳ ng MA, MB và cung nhỏ AB. Bài 7. Cho đ ư ờ ng tròn (O) đ ư ờ ng kính AB = 2R, c làiể đm chính giữ a củ a cung AB. Vẽ cung AB có tâm c bán kính CA. Tính diệ n tích hình tră ng giớ i hạ n bớ i :ung AB củ a đ ư ờ ng tròn (Q và cung AB không chứ a c củ a đ ư ờ ng tròn (O).. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP SỐ Bài 1. Gọ i c là đ ộ dài chu vi củ a hình vuông và hìnhtròn.. c. Goi a là đ ô dài canh hình vuông, suy ra: c = 4a o a= — => Sj,v= a2= — . 4 Gọ i R là bán kính củ a hình tròn, suy ra:. c. c2. c2. c2. 2n. 4n. 4n. 16. c2 16. C = 2 n R o R = — =>Sto = Ji.Rỉ = Ji.-^- = — > — . Vậ y, hình tròn có diệ n tích lớ n hơ n hình vuông. Bài 2. Hư ớ ng dẫ n:Ta có ngay:SBmC=Squ,tBOC - S 4B0C . Bài 3. Gọ i R, r theothứ tự là bán kính đ ư ờ ng tròngnoạ i tiế p và bán kính đ ư ờ ng tròn nộ i tiế p tam giác đ ể u, ta cố : R=7 Ì Ũ & ' 2 sin—— 3. c. m. =. >. !. I W.. ■. r= — 7 1 ^ = 5 ^ = ' /ĩ c m = * S- « ' = ’‘,i = " '<' / ĩ ) í = W ' 2 tan—— 3 Khi đ ó, hình vành khă n có diệ n tích: s = Sng0ạjpli4—Snộ i ,jíp = 1271 - 3rt = 9x crrr. Bài 4. a. Cách vẽ : ■ Vẽ cung CD có số đ o bằ ng 120° củ a đ ư ờ ng tròn (Alcm). ; ■ Vẽ cung DE có số đ o bằ ng 120° củ a đ ư ờ ng tròn (B2cm) ; ■ Vẽ cung EF có số đ o bằ ng 120° củ a đ ư ờ ng tròn (C3cm) ; b.. e. n. rc.22 71.32147T21 .. sc. Diệ n tích miể n gạ ch sọ c là: s = —+ ——— h— — = ———w 14,65 (cm ). 3 3 33. í ____ 2.

(277) CHƯ Ơ NG IV- HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN - HÌNH CẦ U H ìn. U. t r ự. D Y ệ n t íI U x u n Í q u ề n U v à CỦ A HÌNH TRỤ A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T. t. U. ể. t íI U. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Vể dụ. 18 (Bài 6/tr 111 — Sgk): Chiề u cao củ a mộ t hình trụ bằ ng bán kính dư ờ ng tròn đ áy. Diệ n tích xung quanh củ a hình trụ là314cm2. Hãy tính bán kính dư ờ ng tròn đ áy và thể tích hình trụ (làm tròn kết quả đ ế n sô thậ p phân thứ hai).. js£ Giả i Gọ i bán kính đ áy củ a hình trụ là r thì chiề u cao h = r. Sxq = 2nrh => Inr1 = 314. Lây n = 3,14 => r2 = J. 2.3,14. = 5 0 = > r = 5y/ ĩ .. Thể tích hình trụ : V = TtT^h = 71.50.5 -Jĩ = 250 V2 ,7t =»1110 (cm3). Vẩ dụ 2 1 (Bài 7/tr 111 - Sgk): Mộ t bóng đ èn huỳ nh quang dùi l,2m, đ ư ờ ng kínlĩ củ a đ ư ờ ng tròn đ áy lủ4cm, đ ư ợ c đ ặ t khít vào mộ t ố ng giấ y ciiĩ ìg dụ ng hình hộ p. Tính diệ n tích phầ n giấ y cứ ng dùng đ ể làmhộ p (Hộ p mở hai đ ầ u, không tính lê và mép dán). Giả i Chu vi đ áy hộ p: 2p = 16 (cm) Diệ n tích xung quanh hình hộ p là: 16 X120 = 1920 (cm2) Vẩ dụ 3 l Mộ t hình tì ụ có bán kính đ áyR và thiế t diệ n qua trụ c là mộ t hình vuông. a. Tính diệ n tích xung quanh và diệ n tích toàn phầ n củ a hình trụ . b. Tính thể tích củ a khố i trụ tư ơ ng ứ ng. Tính thể tích củ a khố i lủ ng trụ tứ giác đ ề u nộ i tiế p trong khố i rụt đ ã cho..

(278) J&> Giãi a. Vì thiế t diệ n qua trụ c là mộ t hình vuông nên hình trụ có chiể u cao bằ ng 2R. Ta có ngay: sxq = 2nR.2R = 4 tt R2. Stp = s„q + 2B = 4ĩ iR4 + 2t iR2 = 6nR2. b. Ta có ngay: V = 7iR2.R = 27ĩ R3. c. Gọ i ABCD.Aị BiQDị là khố i lă ng trụ tứ giác đ ề u nộ i tiế p trong kh ố i trụ đ ã cho, ta có AB = R ^ ỉ ĩ . Do đ ó, thể tích V, củ a đ ư ợ c cho bờ i: V, = ( R>/2 )2.2R =4R3. VỂ d ụ 4i (Bài 48/tr 129 —Sgk): Hãy tính thể tích, diệ n tích bê mặ t mộ t chi tiế t máy theo kích thư ớ c đ ã cho trên hình114 - SGK. Giả i Diệ n tích cầ n tính gồ m diệ n tích xung quanh hai hình trụ và diệ n tích hai hình tròn: ■ Hình trụ thứ nhấ t có đ ư ờ ng kính đ áy 1lcm và chiể u cao 2cm, có diệ n tích: Sị =. n.. 11.2 = 2271 (cm2).. ■. Hình trụ thứ hai có đ ư òmg kính đ áy 6cm và chiề u caocm, 7 có diệ n tích: s* = 71.6.7 = 4271 (cm2) ■ Phầ n còn lạ i có liên quan đ ế n: Mộ t hình tròn có bán kính đ áy 5,5cm. Mộ t hình vành khă n có bán kínhlớ n 5,5cm và bán kính nhỏ là 3cm. Mộ t hình tròn có bán kính 3cm. => Tổ ng diệ n tích các hình tròn này bằ ng: S3 = 71.(5,5)2 + 71.(5,52 - 32) + 60,5 n. Diộ n tích chi tiế t máy là: s = Sị + Sị + S3 » 319 (cm2) Thể tích chi tiế t máy là: V = rc.(5,5)2.2 + Tĩ .32.7 = 123,571« 388 (cm3).. n.ỷ =. c . BÀI TẬ • P LƯ YÊN TẬ • P • Hình. Chiẻ u Chu vi Diệ n tích Diệ n tích Thể đ áy cao đ áy xung quanh tích 10 4 8 4rt Bài 2. Cho mộ t hình trụ có hai đ áy là hai đ ư ờ ng tròn tâm o và O’, bán kính R, chiề u cao hình trụ là r V2 . Trên hai đ ư ờ ng tròn o và O’ có hai đ iể m di đ ộ A, ng B sao cho (OA, 0 ’B) = a không đ ổ i. a. Tính diệ n tích xung quanh hình trụ . b. Jdnlluuỉ tích hình tru. Bán kính đ áy 1 5.

(279) Bài 3. Mộ t hình trụ có bán kính đ áy là 7cm, diệ n tích xung quanh bằ ng 352cm2. T ính chiề u cao củ a hình trụ đ ó. Bài 4. Mộ t hình trụ có thể V không đ ổ i. Tính bán kính áđy và chiể u cao củ a hình trụ đ ể : a. Diệ n tích toàn phầ n đ ạ t giá trị nhỏ nhấ t. b.Diệ n tích xung quanh cộ ng diệ n tích mộ t đ áyđ ạ t giá trị nhỏ nhấ t.. Bài 5.. (Bài 10/tr 112- Sgk):. a.. Diệ n tích xung quanh củ a mộ t hình trụ có chu vi hình tròn đ áy là 13cmvà chiề u cao là 3cm. b. Thê tích củ a hình trụ có bán kính đ ư ờ ng tròn đ áy là 5mm và chiể u cao là 8mm.. Bài 6. Ngư ờ i ta nhấ n chìm hoàn toàn mộ t tư ợ ng đ á nh ỏ vào mộ t lọ thuỷ tinh có nư ớ c hình dạ ng trụ . Diệ n tích đ áy lọ thuỷ tinh là 12,8cm 2. Nư ớ c trong lọ dâng lên thêm 8,5mm. Hỏ i thể tích củ a tư ợ ng đ á là bao nhiêu? Bài 7. Cho hình chữ nhậ t ABCD (AB = 2a, BC = a). Quay hình chữ nhậ t đ ó quanh. AB thì đ ư ợ c hình trụ có thể tích V,; quay quanh BCthì đ ư ợ c hình trụ có thể tích V2. Chứ ng minh rằ ng V2 = 2V,.. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP SỐ Bài 1: Ta cỏ bả ng kế t quả : Hình Bán kính Chiề u đ áy cao. Chu vi đ áy. Diệ n tích. 2ít 107t. n. 10 8. Bài 2: a. Sxq=27iR2V2. r, Bài 3: Ta có: SY „ = 27trh *q W. J S . T. r p. -. -. ,. Bài 4: a. h = 2R.. đ áy. 25n 4rt 4rt b. V= 7 i R 3V2.. , h= 2nr. 2 n .l. Diệ n tích xung quanh. Thê tích. 20n. 1071 10Ơ 7I. 40 ji 32t7. 3271. 352352 ~ 8(cm) 14.3,14. b. h = R.. Bài 5: a. Diệ n tích xung quanh củ a mộ t hình trụ có chu vi hình tròn đ áy là 13cm và chiể u cao là 3 cm : SX(, = 13.3 - 39 (cm2) b. Thể tích củ a hình trụ có bán kính đ ư ờ ng tròn đ là áy5mm và chiể u caolà 8mm: V = n rh * 3,14.52.8 = 628 (mm3).. Bài 6: Thê tích củ a tư ợ ng đ á bằ ng thê tích phầ nnư ớ c dâng lên trong ố ng nghiệm bằ ng: 12,8 X0,85 = 10,88 (cm1) Bài 7: Khi quay hình chữ nhậ t xung quanh AB thì ta đ ư ợ c hình trụ có: ■ Chiể u cao: h| = AB = 2a ■. Bán kính đ áy:Tị. =. BC = a. ■ Thể tích: Vị = 7t.a2.2a = 2na3 Khi quay hình chữ nhậ t xung quanh BC thì ta đ ư ợ c hì nh trụ có: Chiề u cao: h2 = BC = a ■ Bán kính đ áy: r2= AB = 2a ■ Thể tích: v 2 = Jt.(2a)2.a = 47ia3 Vạ y, ta có đ ẳ ng thứ c:—v '- -= 2 ra ’ . ỉ. 47^. o V, - 2V„.

(280) a r i , * Ể. H ìn h NÓ N-H ÌN H NÓN CỤ T. 2. D iệ n t í c h x u n g q u a n h v à t h ể t í c h CỦ A HÌNH NÓN, HÌNH NỐ N CỤ T A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T ............ .. ’ 1 ' ""V' ■. 1. HÌNH NÓN 1. Khi cắ t' hình nón bờ i mộ t mặ t phă ng song song vớ i đ áy thì đ ư ợ c mặ t cắ t là mộ t hình ư òn. 2. Khi cắ t hình nón bở i mộ t mặ t phẳ ng song song vớ i trụ c thì đ ư ợ c mặ t cắ t là mộ t tam giác cân. 3. Diệ n tích xung quanh củ a hình nón dư ợ c tính theo công thứ c 4. Diệ n tích toàn phẩ n củ a hình nón đ ư ợ c tính theo công thứ c: Sn, = m ì + Ttr2. 1 5. Thể tích củ a hình nón đ ư ợ c tính theo công thúc: V = - n ^ h . 3. 2. HÌNH NÓN CỤ T. Cho hình nón cụ t có đ ư ờ ng cao h, đ ư ờ ng sinh / và r,, r2 là các bán kính đ áy. 1. Khi cắ t hình nón cụ t bở i mộ t mặ t phẳ ngsong song. vớ i đ áy thì đ ư ợ c mặ t cắ t là mộ t hình tròn.. r /. h". Ị '. 2. Khi cấ t hình nón cụ t bở i mộ t mặ t phẳ ngsong song V ị£ vói trụ c thi đ ư ợ c mặ t cắ t là mộ t hình thangcân. 3. Diệ n tích xung quanh củ a hình nón cụ t đ ư ợ c tính heo t công thứ c. .*. h. '. ’. ... L. 4. Diệ n tích toàn phầ n củ a hình nón cụ t đ ư ợ c tính the o công thứ c: s,p = 7r(r, + r2)l + UTỈ + n TỈ . 5. Thể tích củ a hình nố n cụ t đ ư ợ ctính theo công thứ c: 1 v = —7i(r,2 + rị + rị r2)h.. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Vấ d ụ. lĩ. (Bài 15/tr 1 17 —Sgk): Mộ t hình nón đ ư ợ c đ ặ t vào hên trong mộ h tì n h lậ p phư ơ ng (cạ nh củ a hình lậ p phư ơ ng bằ ng 1). Hãy tính: a. Bún kính đ áy củ a hình nón. Đ ộ dài đ ư ờ ng sinh..

(281) Giả i a. Mộ t hình nón đ ư ợ c đ ặ t vào bên trong mộ t hình lậ p phirung có cạ nh bằ ng 1. Đ áy củ a hình nón nộ i tiế p đ áy củ a hình lậ p phư ơ ng. A. Do đ ó, bán kính hình nón là: r =-Ị -. 2. b. Chiề u cao củ a hình nón cũ ng là chiề u cao củ a hình lậ p phư ơ ng nên: SH = 1 ; HA = r = — => l = SA, SA2 = SH2 + AH2 = 12 + T 2 v2y. 5 4. Vậ y, ta đ ư ợ c / =- - . Vẩ d ụ 2ĩ. Thiế t diệ n qua trụ c củ a mộ t hình nón là mộ t tam giác vuông cân có cạ nh góc vuông b ằ n g a. a. Tính diệ n tích xung quanh và diệ n tích toàn phầ n củ a hình nón. b. Tính thể tích củ a khố i nón tư ơ ng ứ ng.. G iả i. a. Vì thiế t diệ n qua trụ c củ a hình nón là mộ t tam giác vuông cân có cạ nh góc vuông bằ ng a nên hình nón có: R = h = Ta có ngay: Sxq = 71. S|p —. +B—. a. 7 ta 2 V. b. Ta có ngay: V = —71 Vẩ dụ 3 i. 7ta. .a = 2. + rt. ì 2. và / = a.. ■. aV2. \i. (V2 + l)7ta2. aV2. na3Vỉ. 2. 12. (Bài 16/tr 117 - Sgk): Mậ t cắ t xung quanh củ a mộ t hình nón theo mộ t đ ư ờ ng sinh và trả i phẳ ng ra thành mộ t hìnli quạ t. Biế tbán kính hình quạ t tròn bằ ng đ ộ dài đ ư ờ ng sinh và đ ộ dài cung bằ chu ng vi đ áy. Quan sát lùnli sau và tính số đ o cung củ a hình qu ạ t tròn.. 2x 7ĩ x 2 (cm).

(282) Jg$ Giãi Gọ i góc ờ tâm hình quạ t là x°. Bán kính hình tròn chứ a hình quạ t là R = 6cm. Do đ ó, chu vi củ a hình tròn này là: s = 2nR =2n.6 = 12n. Đ ộ dài cung củ a hình quạ t là: / = 2.2.71 = 471. Vậ y, góc ờ tâm hình quạ t là: X = Vấ. .360° = 120°.. 4« (Bài 21/tr 118 - Sgk): Cái mũ củ a chú hê vớ i các kích thư ớ c cho theo hình vẽ (hình 97 - sgk). Hãy tính tổ ng diệ n tích vái cầ n có đ ể làm nên cái mũ (không kể riề m, mép, phầ n thừ a).. JSỈ ) Gidi Bán kính đ áy hình nón: r = — - 10 = 7,5 (cm). Diệ n tích xung quanh hình nón: Sxq.7Tr/ = 71.7,5.30 = 225rc (cm2). Diệ n tích phân vành khă n: s = (17,52- 1,52).1I = 25071 (cm2). Tổ ng diệ n tích vả i cầ n đ ể làm mũ : 225n + 25071 = 475rc « 706 (cm2). Vấ J ụ Sĩ (Bài 27/tr 119 - Sgk): Mộ t dụ ng cụ gồ m mộ t phầ n có dạ ng hình trụ , phầ n còn lạ i có dạ ng hình nón. Các kích thư ớ c cho trên hình. Hãy tính: a. Thể tích củ a dụ ng cụ này. b. Diệ n tích mặ t ngoài củ a dụ ng cụ (không tính nắ p đ ậ y). js£ Giài a. Thể tích phầ n hình nón là: V, = —7I.(70)2.90 = 14700071 (cm3). 3 Thể tích phầ n hình trụ là:. v 2= Ĩ I.(70)2.90 = 34300071 (cm3) Thể tích củ a dụ ng cụ là: 14700071 + 3430001T = 49000071« 1538600 (cm3) * 1,54 (m3) b. Diệ n tích phầ n hình trụ : 27t.70.70 = 980071 (cm2) Đ ư ờ ng sinh củ a hình nón là: /2 = 902 + 702 = 13000 => / w 114 (c m) Diệ n tích phầ n hình nón 71.70.114 = 7980n (cm2) Diệ n tích mặ t ngoài dụ ng cụ : 7980rt + 98007Ĩ = 1778Ỏ Ĩ C * 55829 (cm2) « 5,6 (m2). Vấ d ụ 6i Hình nón cụ t có chiề u cao 2a và hai bán kính đ áy lầ n lư ợ t làa va 4a. a. Tính đ ộ dài đ ư ờ ng sinh. Tính diệ n tích xung quanh vù diệ n tích toàn phầ n củ a hình nón cụ t. Tính thể tích củ a khố i nón cụ t tư ơ ng ứ ng..

(283) JS$. G iả i. a. Ta thây ngay thiế t diệ n ABCD là hình thang cân và 0 |A = a, 0;D = 4a, 0 , 0 2 = 2a. Gọ i 11 là hình chiế u vuông góc cùa A lên CD, ta có: 3vB AH = O j0 2 = 2a. / = AD = V aH 2 + DH2 =. ìỊ Õ ị O ị. + (D 02 - AC^)2. = -^4a2 +(4a-a)2 = aVĨ 3 .. V ỉ ti. b. Ta có: Sxq = 7i(a + 4a). aVĨ 3 = 571 a2V n . s,p = s xq + B, + B2= 5ĩ t a2VỈ 3 + 7ĩ a2 + 167ia2 = 7ĩ a2(5>/Ĩ 3 + 17). c. Ta có: V = - 7i(a2 + 16a2 + 4a2).2a = 147ia3. 3. c . BÀI TẬ P LUYỆ N TẬ P Bài 1. Khi quay tam giác vuông AOC (vuông tạ i O) quanh cạ nh AO đ ể tạ o ra mộ t. hình nón thì góc CAO gọ i là nử a góc ở đ ỉ nh củ a hình ónn. Biế t nử a góc ở đ ỉ nh củ a mộ t hình nón là 30°, đ ộ dài đ ư ờ ng sinh là a. Tínhố sđ o cung củ a hình quạ t khi khai triể n mặ t xung quanh củ a hình nón. Bài 2. Cho hình nón tròn s, đ áy là mộ t hình tròn tâmo bán kính R, chiề u cao củ a hình nón bằ ng 2R. Tính thể tích củ a hình nón. Bài 3. Tính thể tích củ a hình nón trong các trư ờ ng hợ p sau: a.. Đ ư ờ ng sinh là / và góc hợp bờ i đ ư ờ ng sinh và bán kính đ áy tư ơ ng ứ ngằ b ng oc.. b. Bán kính đ áy là R, góc giữ a đ ư ờ ng sinh và trụ c củ a hìn h nón là p. c. Thiế t diên qua trụ c là mộ t tam giác vuông cân có diệ n tích là s. Bàỉ 4. Viế t công thứ c tính nử a góc ở đ ỉ nh củ a mộ t hình nón (góc a củ a tam giác. vuông AOS) sao cho diệ n tích mặ t khai triể n củ a mặ t nón bằ ng mộ t phầ n tư diệ n tích củ a hình tròn (bán kính SA). Bài 5. Cho ba đ iể m A, o, B thẳ ng hàng theo thứ tự đ, óOA = a, OB = b (a, b cùng đ ơ n vị : cm). Qua A và B vẽ theo thứ tự các tia Ax vàBy cùng vuông góc vớ i AB và cùng phía vớ i AB. Qua o vẽ hai tia vuông góc vớ i nhau và cắ t Ax ở c, By ở D. a. Chĩ mg minh AOC và BDO là hai tam giác đ ồ ng dạ ng;từ đ ó suy ra tích AC.BD không đ ổ i. b. Tính diệ n tích hình thang ABCD khi Ố OẦ = 60°. c. Vớ i COA= 60° cho hình vẽ quay xung quanh AB. Hãy tính tỉ số thể tích các hình do các tam giác AÔC và BOD tạ o thành. Bài 6. Mộ t hình nón cụ t có các đ ư ờ ng chéo củ a thiế tdiệ n qua trụ c vuông góc vớ i nhau, đ ư ờ ng sinh có đ ộ dài 1và tạ o vớ i bán kínhơ tưng ứ ng thuộ c đ áy lớ n mộ t góc a. a. Tính diệ n tích xung quanh củ a hình nón cụ t. b. Tính thể tích củ a khố i nón cụ t tư ơ ng ứ ng. Bài 7. Cho hình nón cụ t có bán kính đ áy lớ n gấ p 2 lầ n bán kính đ áy nhỏ , chiề u cao. hình nón cụ t là h, đ ư ờ ng chéo củ a thiế t diệ n qua tr ụ c vuông góc vớ i cạ nh bên củ a thiế t diệ n đ ó. a. Tính diệ n tích toàn phầ n củ a hình nón cụ t. tj|ể tích củ a khố i nón cụ t tư ơ ng ứ ng..

(284) Bài 8. Cho hình nón cụ t có bán kính đ áy lớ n gấ p 2 lần bán kính đ áy nhỏ , chiể u cao hình nón cụ t là h, đ ư ờ ng chéo củ a thiế t diệ n qua tr ụ c vuông góc vớ i cạ nh bên củ a thiế t diệ n đ ó. a. Tính diệ n tích toàn phầ n củ a hình nón cụ t. b. Tính thể tích củ a khố i nón cụ t tư ơ ng ứ ng.. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP SỐ Bài 1: Bán kính đ áy hình nón: r =oc = a.cos30° = a. -2 = -2 Gọ i n° là đ ộ lổ m củ a góc ờ tâm củ a khai triể n hìnhnón thì: a. Bài 2:. n° = - .360°= — .360° = 180°. 1 a 2nR’. 1 1 Bài 3: V = —rcl3cos2a.sina.; b. —nR3cosB.; c. —n sVs . 3 3 3 Bài 4: Gọ i a là nử a góc ờ đ ỉ nh hình nón, ta có: sina = —, / là đ ư òmg sinh, r là bán kính đ áy hình n. nó Theo giả thiế t ta có:. nrl. =. 1. — n l 2. = > - = — .. 4. 1 4. Vậ y, ta đ ư ợ c sina = — => a = 14°28'. 4 Bài 5: a. Ta có: Ô, + Ồ 2= 90°, = 90° => Ô, = . Suy ra, AAOC - ABDO AC BC => —— = —— => AC.BD = AO.BO => AC.BD = a.b - không đ ổ i. AO BD _____. R. b. Ta có: COA = 60° => AC = a.tanóO0 = a-v/3 ■ =>BD = b.tan30° = ——. Vậ y, ta đ ư ợ c: 1. 1. 2. 2. (. S6 < 7 d = - AB(AC + BD) = - (a + b) a V 3 + —. Bài 6: a. nl2.sina.; Bài 7: a. Bài 8: a.. 1lĩ th 3. 1lTTh2. 7tl ^. ^. 3. b. V = —— (2sin2a + l)sina. b. V = b.. 7rth-. Inh’. '. = — (a + b)(3a + b)..

(285) CH Í BỂ 3. H |n. CẬ Ư. h. _ D. iệ. n. t. |7. h. m ặ. t. CẬ Ư. VÀ. THỂ TÍCH HÌNH CẦ U A. TÓM TẮ T LÍ THUYẾ T Cho hình cầ u có bán kính đ áy bằ ng R. 1. Khi cắ t hình cầ u bờ i mộ t mạ t phẳ ng thì đ ư ợ c mặ t cắ t là mộ t hình tròn. 2. Khi cắ t mặ t cầ u bở i mộ t mặ t phẳ ng thì đ ư ợ c mặ t cắ t là mộ t đ ư ờ ng tròn: • Đ ư ờ ng tròn có bán kính R nế u mặ t phẳ ng đ i qua tâm (gọ i là đ ư ờ ng tròn lớ n). ■ Đ ư ờ ng tròn có bán kính nhỏ hơ n R nêu mạ t phẳ ng không đ i qua tâm. 3. Diộ n mặ t cầ u đ ư ợ c tính theo công thứ c:s = 4ttR2. 4 4. Thể tích củ a hình cầ u đ ư ợ c tính theo công thứ c: V = —i7R3.. B. PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I TOÁN Vấ dụ. It. Cho hình cầ u có bcìn kính R =. 5aVĨ. a. Tính diệ n tích mặ t cầ u. b. Tính thể tích củ a khôi cầ u tư ơ ng ứ ng. JS$ Giả i a. Ta có: s = 4n. 5aV2 \. b. Ta có: V = —7t 3. 5aV2. 2. = 5Ơ 7ĩ a2. V. 125a-’ V2. Vể J ụ 2ĩ (Bài 36/tr 124 —Sgk): Mộ t chi tiế t máy gồ m mộ t hình trụ và hai nử a hình cầ u vớ i kích thư ớ c đ ã cho trên hình111 (đ ơ n vị :cm). a. Tìm mộ t hệ thứ c giữ a X và h khi AA' có đ ộ dùi không đ ổ i vù bằ ng 2a. b. Vớ i đ iề u kiệ n â câua), hãy tính diệ n tích bề mặ t vù thể tích củ a c h i r iế t m á y th e o. X vờ a.. JS$ Giả i a. Bán kính hình cầ u là X. Ta có: AA*’- h + 2x => 2a = h + 2x => y = 2a - 2x M. M l / CDTĐ .7l ■ -k ™ HĐ S9-T2. 285.

(286) b.. Diệ n tích hình trụ 27ĩ xh = 4n(a - x)x Diộ n tích hai nử a mặ t cầ u 47Ĩ X2 Diộ n tích bề mặ t chi tiế t máy 4n(a - x)x + 4t ĩ x 2 = 4nax. Thể tích phầ n hình trụ V, = 7TX2h = 2ĩ tx2(a - x) Thể tích 2 nử a hình cầ u V2 = —7ĩ x \ 2 3. Thể tích chi tiế t máy Vị + V2 = 27TX2(a - x) + —7tx3 = - 7ĩ x3(3a - 1). 3 3 Vẩ d ụ 3i (Bài 36/tr 124 - Sgk): Cho hình vuông ABCD nộ itiế pđ ư ờ ng tròn tám o , bán kính R và GEF là tam giác đ ề u nộ i tiế pđ ư ờ ìigtròn đ ó, EF là dây song song vớ i AB. Cho hình đ ó quay xung quanh trụ c GO. Chứ ng minh rằ ng: a. Bình phư ơ ng thể tích củ a hình trụ sinh ra bở i hình vuông bằ ng tích cùa thể tích hình cầ u sinh ra bở i hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đ ề u sinh ra. b. Bình phư ơ ng diệ n tích toàn phầ n củ a hình trụ bằ ng tích củ a diệ n tích hình cầ u và diệ n tích toàn phầ n củ a hình nón. Jg$ Giả i -H ọ c sinh tự vẽ hình a. Gọ i r là bán kính đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p, ta có: ■. Cạ nh hình vuông: AB = AD = ĩ - J Ĩ .. ■ Cạ nh tam giác đ ề u: EF = r-y/3 . Khi quay xung quanh OG, hình vuông tạ o thành mộ t hình trụ có: ■ ■. B á n k í n h đ á y : R= 16 B = — . 2 2 Chiề u cao: h = AD = r yỈ 2 . Thể tích: V, = n.. nr. 'rV2V. Khi quay xung quanh OG, AGEF tạ o thành mộ t hình nón có: ■. Bán kính đ áy: R '= —EF = — 2 2 Chiề u cao: h' = rV3 . Thể tích: v 2= -71. 2 3. 2. 8. ung quanh OG, hình tròn tao thành mộ t hình cầ u có V3 = —7ĩ r3. 3.

(287) V* =. Vĩ. V-. _ 2 _6. 71 r. ( 1). TtV 3 V2.Vj = —nr3. —nr3 = 8 Từ (1) và (2) suy ra Vị 2 = V2.V3. b. Tư ơ ng tự , ta có diệ n tích toàn phầ n củ a hình trụ : s, = 3rt. 9 2 Diệ n tích toàn phầ n hình nón: Sị = —7ir .. ( 2). Diệ n tích mặ t cầ u: S3 = 4nr2. Từ đ ó, ta có: = (3nr2)2 = 97i2r4; S2.S3 = —nr2A n r = 9rcV. 4 Vậ y, ta thấ y sf = S2.S3.. c. BÀI TẬ • P LUYỆ • N TẬ • P 0,3mm. Bán kính hình cầ u Diên tích mă t cầ u Thê tích hình cầ u. 6,2 ldm. Bài 2. Cho hình cầ u có bán kính R =. 2. 0,283m. lOOkm. 50dam. 6hm. . Tính diộ n tích củ a mặ t cầ u và thể tích. củ a hình cầ u. Bài 3. Cho mộ t hình cầ u bán kính R, mộ t hình nón nộ i tiế p trong hình cầ u có chiề u cao là X (0 < X < 2R). a. Tính thể tích V và diệ n tích xung quanh s củ a hình nón. b. Tìm hệ thứ c liên hệ giữ a V, s, R đ ộ c lậ p đ ố i vớ X.i Vớ i. c.. g i á trị n à o c ủ a X t h ì. V. lớ n n h ấ t ?. D. HƯ Ớ NG DẪ N - Đ ÁP SỐ 0,3mm s 0,36rt mm2 V 0,036t i mm2 r. Bài 2: a. s = 2na2', b.. 6,2 ldm 154,2671 dm2 319,31rt dm2. 0,283m. 0,3271 m2 0,03tt mJ. lOOkm 40000n 1333333rt. 6hm 144n 288rt. 50dam lOOOOn 16666771. na. :(2R-x); b. s = n\-j2R(2R - x ); c. S^órtRV; d. X =. 4R.

(288) MỤ C LỤ C. CHƯ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ. PHẦ N Đ Ạ I SỐ Ơ NG III. HỆ HAI PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C NHÂT HAI Ẩ n s ố đ ề 1: Phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n sô............................................ ....................5 ......................................................... 14 đ ề 2: Hệ phư ơ ng trình bậ c nhấ t hai ẩ n sô' đ ề 3: Giả i hệ phư ơ ng trình bằ ng phư ơ ng pháp th ế .... ...................................... 25 đ ề 4: Giả i hệ phư ơ ng trình bằ ng phư ơ ng pháp cộ ng........................................ 39 đ ề 5: Giả i bài toán bằ ng cách lậ p hệ phư ơ ng trình .......................................... 53. CHƯ Ơ NG IV. HÀM SỐ y = ax2 (a * 0) PHƯ Ơ NG TRÌNH BẬ C HAI MỘ T Ẩ n s ố Chủ đ ề 1: Hàm số y = ax2, a * 0 ........................................ .....................................74 Chủ đ ề 2: Đ ổ thị củ a hàm số y = ax2, a 0 ...................... .......................................79 Chủ đ ể 3: Phư ơ ng trình bậ c hai mộ t ẩ n số .......................... .....................................88 Chủ đ ề 4: Công thứ c nghiệ m củ a phư ơ ng trình bậ c h a.......................................... i 98 Chủ đ ề 5: Hệ thứ c Vi-ét và các ứ ng dụ ng.......................... ...................................121 Chủ đ ề 6: Phư ơ ng trình quy về phư ơ ng trình bậ c hai............................................ 161 Chủ đ ề 7: Giả i bài toán bằ ng cách lậ p phư ơ ng trình.. ............................................195. CHƯ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ Chủ. PHẦ N HÌNH HỌ C Ơ NG ra . GÓC VỚ I Đ Ư Ờ NG TRÒN đ ề 1: Góc ở tâm - Sô' đ o cung.................................... ....................................196 đ ề 2: Liên hộ giữ a cung và dây.................................... ..................................201 đ ề 3: Góc nộ i tiế p..................................................................... .....................206 đ ề 4: Góc tạ o bở i tia tiế p tuyế n và dây cung........ .......................................... 216 đ ề 5: Góc có đ ỉ nh ở bên trong đ ư ờ ng tròn - Gócđcóỉ nh ở bên ngoài đ ư ờ ng tròn 224 đ ề 6: Cung chứ a góc............................................................ ......................... 231 đ ề 7: Tứ giác nộ i tiế p....................................................................................250 đ ề 8: Đ ư ờ ng tròn ngoạ i tiế p - Đ ư ờ ng tròn nộ ii........................................261 tiế p đ ề 9: Đ ộ dài đ ư ờ ng tròn, cung tròn.............................. ..................................268 đ ề 10: Diệ n tích hình tròn, hình quạ t tròn............... ....................................... 272. CHƯ Ơ NG IV. HÌNH TRỤ. - HÌNH NÓN - HÌNH CẦ U. Chủ đ ề 1: Hình trụ - Diên tích xung quanh và thể tí ch củ a hình trụ ..................... 277 Chủ đ ề 2: Hình nón - Hình nón cụ t Diên tích xung quanh và thể tích củ a hình nón, hình nón cụ t...............280 Chủ đ ể 3: Hình cầ u - Diên tích mă t cầ u và thể tích hình cầ u.............................. 285.

(289)

Cac dang toan dien hinh 9tap 2

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về