CÁC DẠNG TOÁN điển HÌNH HÌNH học 10 CHƯƠNG 1

CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 1
Dạng 1. Chứng minh đẳng thức vectơ:
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Cơ sở : sử dụng các quy tắc về véctơ
 Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : uuur + uuur = uuur

AB BC

AC

A
B
C
D
 Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì uuur + uuur = uuur
AB AD AC

 Quy
về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
uuurtắcuuu
r uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
OB − OA = AB

(hoặc

OA − OB = BA

AB = OB − OA

)hay

 Tính chất trung điểm của đoạn thẳng : uur uur r
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔
 Tính chất trọng tâm của tam giác :
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC ⇔
BÀI TẬP
→

IA + IB = 0

uuur uuur uuur r
GA + GB + GC = 0
→

→

→

AC

BC

BD AD
Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
+
=

+
Bài 2 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
→

→

DO
a/

+
→

c/

OA

=
→

+

OB

→

→

AO

→

+

OC

→

OD

AB
→

+

OD

=

r
0

b/
d/

MA

+
→

→

+

→

OC

MC

BC
=

→

=

MB

→

+

MD

(với M là 1 điểm tùy ý)


→

→

OD
Bài 3 Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.CMR :
→

Bài 4 Cho ∆ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý
→

AA '

→

BB'

→

CC'

→

BA '

→

CB'

AA '

→

+

→

→

OC
=

AD

BC
+

→

BB' CC'
,
,

→

AC'

CMR :
+
+
=
+
+

.
Bài 5 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C
qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:

OA + OB + OC = OA' + OB' + OC '
Bài 6: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a) uuur + uuur + uuur + uuur + uuur + uuur = r
b) uuur + uuur + uuur = r
OA OB OC OD OE OF 0
OA OC OE 0
c) uuur + uuur + uuur = uuur
AB AO AF AD

d) uuuur + uuur + uuur = uuur + uuuur + uuur ( M tùy ý )
MA MC ME MB MD MF

Dạng 2 .Tính độ dài của hệ thức véctơ :
Cơ sở:
 sử dụng các quy tắc về véctơ :

uuur uuur uuur
⇒ AB + BC = AC

+ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : uuur + uuur = uuur

AB BC

AC

+ Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì uuur + uuur = uuur

AB AD

uuur uuur uuur
⇒ AB + AD = AC

A
B
C
D
+ Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:

AC


uuur uuur uuur
OB − OA = AB

uuur uuur uuur
OA − OB = BA

(hoặc
 Sử dụng tính chất hai véctơ :
+ Nếu hai véc tơ r ,

r
b

a

+ Nếu hai véc tơ r ↑↓

r uuur uuur
uuur uuur uuur ⇒ uuu
AB
= OB − OA
AB = OB − OA

)hay

r
b

r
b

cùng hướng thì | r + | = | r |+| |

a

r
b

a

a

r
b

r
b

r
b

và | | ≥ | r | thì | r + |=| |−| r |

a

a

a

BÀI TẬP
Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
→

AD

a/ Tính 

r
u

→

AB

−



→

r
u

→

CA

AB

b/ Dựng
=
−
. Tính  
Bài 2 Cho ∆ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
→

→

AB − AC

a/ Tính 

→

b/ Tính 

BA

→

BI

−




→

→

AB − AC

Bài 3 Cho ∆ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính
Bài 4 Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt uuur = r ; uuur = r
AO a BO b



Tính uuur ; uuur ; uuur ; uuur theo r và r
AB BC CD DA
a
b
→

→

AB + AD

Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính 
 theo a
Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
→

a/ Tính 

→

AB + AD
r
u

→



→

AB + AC

r
u

b/ Dựng =
. Tính  

Dạng 3. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương :


Ví dụ 1.Cho ∆ ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D,
Frlầnr lượt
r E,uuu
uuulà
r trung điểm của các cạnh

u = AE; v = AF

BC,
CA,
và EF. Đặt
. Hãy phân tích các vectơ
uur uuu
r AB
uuurvà
uuuIrlà giao điểm của AD
rr
AI , AG, DE , DC
u, v
theo hai vectơ
.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC.rĐiểm
uuurMrnằm
uuutrên
r cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích
uuuur
u = AB, v = AC

AM
vectơ
theo hai vectơ
.
Dạng 4. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
Cơ sở:
uuur
uuur
uuur
+ A, B,uuu
Crthẳnguuu
hàng
r ⇔

uuur
AB

cùng phương

AC

⇔∃ 0≠k ∈

¡

:

AB = k AC

AB = kCD

+ Nếu
và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC
1
3
sao AK= AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC.
Hai
M,
được
xác
uuur uuu
r điểm
r uuu
r Nuuu
r uuu
r định
r bởi hệ thức:
BC + MA = 0 AB − NA − 3 AC = 0
,
. Chứng minh MN//AC
BÀI TẬP
→

→

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2

AB

AC
+3

= 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
→
→
r
r
→
→
MC
NA
NC
0
MB
PA PB 0
Bài 2: Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho
=3
;
+3
= và
+
=
→

→

→

→

→

→

AC
PM PN
AB
a/ Tính
,
theo
và
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua
C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Dạng 5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ :
Cơ sở: uuur r

AB = 0 ⇔ A ≡ B
r
uuuur r
a
AM = a
+ Cho
điểm
A
và
.
Có

duy
nhất
M
sao
cho
:
uuur uuur
uuur uuur
AB = AC ⇔ B ≡ C ; AD = BD ⇔ A ≡ B
+

+
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết

uuur uuur
AG = 2GD

.


uur uur r
IA + 2 IB = 0
Ví dụ 2. Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho:
uuur . uuur uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0

Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho:
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của
EF.

→

→

a/ CMR :

AD

+

→

EF

→

+

OD
+

→

→

MB

r
0

→

OC
+

→

c/ CMR :

=2

OB
+

MA

→

→

OA
b/ CMR :

BC

→

→

MC

+

=

+

MD

MO
=4

(với M tùy ý)
−→

MA

−→

−→

−→

MB MC MD

d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho
+
+
+
 nhỏ nhất
Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1

điểm tùy ý.
→
→
r
→
→
0
AF BG CH DE
a/ CMR :
+
+
+
=
→

→

→

→

→

→

→

→

MA MB MC MD ME MF MG MH

b/ CMR :
+
+
+
=
+
+
+
→

→

c/ CMR :

→

→

AB + AC
+

AD

AG
=4

(với G là trung điểm FH)
→

→

→

AD

→

CF

BE

GH

Bài 3: Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. CMR :
+
+
=3
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
→
→
→
→
r
→
→
→
→
→
→
→

→
OA OB OC OD 0
EC
EA EB
AB
EB
EA
ED EC
a/
+
+
+
=
b/
+
+2
=3
c/
+2
+4
=

Bài 5: Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao
→

AN
cho

=

1 →
2 NC

. Gọi K là trung điểm của MN.
1
1 →
1
1 →
→
→
→
→
AK 4 AB 6 AC
KD 4 AB 3 AC
a/ CMR :
=
+
b/ CMR :
=
+
→

Bài 6: Cho ∆ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho
Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :

AD

→

→

=2

DB

→

CE
,

=3

EA

.


→

1
→
3 AB

1 →
8 AC

→

AM
a/

=
+
CÁC ĐỀ TỔNG HỢP

b/

MI

=

1
→
6 AB

+

3 →
8 AC

Đề 1:
Câu1: Cho tứ giác ABCD. I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, CD, IJ . Chứng
AC − DB = AD − CB

CA + CB + CD = 4CK

minh:
a)
. b)
.
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.

Tìm điểm M thoả:

MA + 2 MB + MC + MD = 3MO

.

Câu3: Cho tam giác ABC trọng tâm G, D và E là hai điểm thoả:
DE, DG

AD = 2 AC

AE =

,

2
AB
5

.

AB, AC

Phân tích các vectơ

theo các vectơ
, Suy ra ba điểm D, E G thẳng hàng.
Đề 2:
Câu1: Cho tứ giác ABCD. I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, CD, IJ . Chứng
AB + DC = AC + DB

AC + AB + AD = 4 AK

minh: a)
.
b)
.
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
Tìm điểm M thoả:

MA + MB + 2 MC + MD = 3MO

.

Câu3: Cho tam giác ABC trọng tâm G, D và E là hai điểm thoả:
DE, DG

BD = 2 BC

BE =

,

2
BA
5

.

BA, BC

Phân tích các vectơ
theo các vectơ
, Suy ra ba điểm D, E G thẳng hàng.
Câu 4: Cho tam giác ABC , G là trọng tâm
của tam giác. uuuur
uuuur uuuur uuuur
MA + MB + MC = 3MG
1/ Chứng minh với mọi M ta có:
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
| MA + MB + MC | = | MB − MC |
2/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho
uuuur
uuur
uuur
AC
AB
BE
3/ Gọi E là trung điểm của BG. Biểu thị
theo hai véctơ
và