Gioi han

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN A. LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa: lim un L  lim(un  L) 0 2. Tính chất:  Định lí 1: Giả sử lim un L , khi đó: . . lim un  L , lim 3 un  3 L. lim un  L  Nếu un 0, n  L 0 và Định lí 2: Giả sử lim un L, lim vn M , c const  lim(un  vn ) L  M  lim(un  vn ) L  M  lim(un .vn ) L.M , lim c.un c.L u L lim n  ( M 0) vn M . Định lí 3: Cho 3 dãy số (un ), (vn ), ( wn ) . Nếu un  vn  wn , n và lim un lim wn L  lim vn L Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. u1  q  1 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q B. BÀI TẬP:  . Ví dụ 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau: 3n  1 lim  2n  3 a) n. n. 2 5 2.3n  3.5n c) Ví dụ 2: Tìm giới hạn của các dãy số sau: lim. b). lim. d). lim. 2n 2  n  1 n2  n  3 3n 2  n  4 2n  3 .. 2 u  n2  n a) un  n  2  n b) n Ví dụ 3: Tính giới hạn của các dãy số cho bởi các công thức sau: 1  3  5  ...  2n  1 1  2  22  ...  2 n  1 un  un  n 1 1  3  32  ...  3n  1 a) b) Ví dụ 4: Tính giới hạn của các dãy số sau: sin(3n) n lim lim n n 2 a) b) Ví dụ 5: Tính các tổng sau đây: 1 1 S 1   ...  n  ... 3 3 a). 2 3 4 n 1 n x 1 b) S  x  x  x  x  ...  ( 1) x  ... với Ví dụ 6: Tính các giới hạn sau: 3n 1  2n 1 3n1  2n1  5n lim n lim 5.3  4.2n  1 5.5n  3.2n  3n 1 a) b).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 9n  1 10n 1 lim 3n  1 2 n  5n c) d) Ví dụ 7: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn biết 26 1   u1  u2  u3  45 u1u2u3  27   S 3 S  3 5 4 a)  b)  Bài 20: 1  1  sin   sin 2   ...  sin n   ...     k 1  sin  2 a) Cho . CMR: lim. b) Cho. 0  .  4 . CMR:. 1  tan   tan 2   tan 3   ...  (  1) n tan n   ... . 2cos  2sin(  ) 4. 2. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC A. LÝ THUYẾT: 1. Dãy số có giới hạn +¥ : lim un   mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi. 2. Dãy số có giới hạn - ¥ : lim un    mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi. Chú ý: lim un = +¥ ® lim(- un ) =- ¥ 3. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực: o Qui tắc 1: lim un  . lim vn  . lim un .vn  m. o Qui tắc 2: lim un  . Dấu của. lim vn L  . lim un .vn  m. o Qui tắc 3: lim un L 0 Dấu của L. lim vn 0, vn 0 Dấu của lim vn. + -.  . lim.  m. B. BÀI TẬP: Bài 1: Tính các giới hạn sau: 3 a) lim(- 2n +12n + 5) 3 2 3 c) lim 5n - 2n + n - 1. 4 b) lim 2n + 7n - 6 n d) lim 2n + 5. un vn.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> e). lim. 2n3 + n 2 - 3n +1 3n - 2. f). lim. - n3 + n 2 - 3n +1 4n + 2. 2. 3n + n +1 2n3 +1 g) Bài 2: Tính các giới hạn sau: a) lim n( n + 3 - n + 2) lim. 2 c) lim( 2n +1 -. 2n 2 - 1). h). lim. - 3n 2 + 5n +1 2n 2 - n + 3. b) lim( 3n + 2 d). lim. 3n - 2). n 2 + 3n +1 - n n +1. 3. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT: 1) Giới hạn của hàm số tại một điểm: a) Giới hạn hữu hạn: Giả sử (a;b) chứa x0, f(x) xác định trên (a;b), có thể không xác định tại x0. lim f ( x) L  ( xn )  (a; b) \ {x0 }, lim xn x0  lim f ( xn ) L ĐN: x x0 lim f ( x )   ( xn )  (a; b) \ {x0 }, lim xn x0  lim f ( xn )  b) Giới hạn vô cực: x  x0 2) Giới hạn của hàm số tại vô cực: a) Giả sử hàm số f(x) xác định trên (a; ) . ĐN: lim f ( x) L  ( xn )  (a; ) \{x0 }, lim xn   lim f ( xn ) L. x  . lim f ( x) L lim f ( x)  b) Tương tự cho các định nghĩa: x   , x  ,… 3) Một số định lí về giới hạn hữu hạn: lim f ( x ) L, lim g ( x) M x  x0 a) Định lí 1: Giả sử x  x0 lim[ f ( x ) g ( x )] L M  x x0 lim[ f ( x ).g ( x)] L.M lim[c. f ( x)] c.L  x x0 , x x0 f ( x) L lim  ( M 0) x  x0 g ( x ) M  Nhận xét:. lim ax n ax0n. x  x0. lim f ( x) L b) Định lí 2: Giả sử x  x0 . Khi đó: lim f ( x)  L  x x0 lim 3 f ( x)  3 L x  x0  f ( x) 0, x  x0  L 0, lim f ( x)  L x  x0  Nếu c) Định lí 3: Giả sử ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên (a;b) chứa x0, có thể không xác định tại x0.  f ( x) g ( x) h( x), x  (a; b) \{x0 }  lim g ( x) L  lim f ( x)  lim h( x) L x  x0 x  x0  x x0 B. BÀI TẬP:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 1: a). lim(2 x 2 - 4 x + 7) x ®1. Tính giới hạn hàm số: 3x - 2 x2 lim x ®- 1 ( x - 1)(2 x + 5) b). c). lim 3 x - 2 x 2. x®- 1. 1 x lim x® 0 1 2x f) 3x 3 + 2 x 2 - x +1 lim x ®+¥ 2 x3 + 5 x - 3 k) 2+. 2 x2 - 5x - 3 - 2x - 4 d) x®1 æ3 ö lim x 2 ç - 4÷ ÷ ç ÷ ç x ®- 2 èx ø g) Bài 2: Tính các giới hạn sau: lim x. a) c).  lim  lim. e) h).   x  1  x .. lim. x ®- 1. x 2  3x  1  x .. x  . x  . lim. x ®- 2. 9 x2. 3x + 4 x +1 - 2x - 2 4 - x2.  lim . b).   x  1  x .. x 2  3x  1  x .. lim. x  . 9 x2. d) x    4. GIỚI HẠN MỘT BÊN A. LÝ THUYẾT:. 1) Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định trên ( x0 ; b) , lim f ( x) L  ( xn )  ( x0 ; b), lim xn x0  lim f ( xn ) L x  x0. 2) Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f(x) xác định trên ( a; x0 ) , lim f ( x) L  ( xn )  ( a; x0 ), lim xn  x0  lim f ( xn ) L x  x0.  lim f ( x ), lim f ( x ) x  x0  x  x0 lim f ( x ) L   x  x0 f ( x)  lim f ( x ) L  xlim  x0 x  x0 3) Nhận xét: B. BÀI TẬP: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau: 3x  9 lim  x  (  3) 3  x a) x  3x lim x 0 4 x  2 x c). b). lim. 2 x2  x  1 (1  x) 4. lim. 1 x  x  3x  4. x 1. d) 2 x  x  1, x  0 y  f ( x)   2 x  1, x 0 x 1. 2. Ví dụ 2: Cho hàm số lim f ( x ) lim f ( x) a) Tính x  0 , x 0. b) Tồn tại hay không giới hạn Ví dụ 3: Tìm giá trị của tham số a để:. lim f ( x ) x 0. 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 3 x  1, x  0 f ( x)   2 x  a, x 0 có giới hạn khi x  0 a) 3x 2  ax, x 1 f ( x)    2ax  3, x  1 có giới hạn khi x  1 b)  2 x 2  ax  b, x   1  f ( x) 4 x  2a,  1  x  1  ax 2  bx, x 1  Ví dụ 4: Tìm giá trị của a và b để hàm số có giới hạn tại x=-1 và x=1. 5. MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH A. LÝ THUYẾT: 1. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực: lim f ( x )  lim g ( x ) L 0  Quy tắc 1: Giả sử x x0 , x x0 Dấu của L lim f ( x ) x  x0.  .  Quy tắc 2: Giả sử. lim[ f ( x ).g ( x)]. x  x0.  .  m. lim f ( x ) L 0 lim g ( x ) 0; g ( x ) 0, x  x0 , x x0 Dấu của L Dấu của g(x) f ( x) lim x  x0 g ( x )     m  . x  x0. 0  ; ;0 ;  -  2. Các dạng vô định: 0  Chú ý: Để khử dạng vô định ta thường sử dụng PP:  Phân tích đa thức thành nhân tử hoặc áp dụng HĐT  Nhân liên hợp B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: 0 Dạng 1: Tìm giới hạn hàm số có dạng 0 Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau x 2  3x  2 lim 2 a) x  1 2 x  2 x x3  2 x2  5 x  6 lim x   1 ( x  2)( x 2  2 x  3) c) Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau: 2x  9  3 lim x 0 x a). 2 x 2  6 x  56 lim 2 b) x  4 16  x d). lim x 1. xn  1 x 1 3. b). lim. x  1. 5x  3  2 1 x.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 4  7x  5 x 3 3x  x 2 c). 1 2x  1  6x  2  2. lim. lim. d). x 1 3.  Dạng 2: Tìm giới hạn hàm số có dạng  Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau: 3x 2  x  1 lim 2 a) x   2 x  x  2 3x  1 lim x   4 x  3 x c) Ví dụ 4: Tính các giới hạn sau: 3x 4  x 2  7 lim 2 a) x   x  3 x  11 3. lim. c). x2  x  x. x   5. e). lim x 0. 3. lim. 5 x3  x  x. 1  x5  3 1  x3 x.  x 3  3x  3 2 b) x  2 x  x  5 2 x 2  3x  6 lim 3 d) x  4 x  3x  5 lim. x 2  3x  2 lim x   5 x 3  2 x  5 b) 3x lim x   4x  4x  4x d) 3. f). 1  x  x2  2 x 1 x. g) x  0 h) Dạng 3: Tìm giới hạn hàm số có dạng 0* Ví dụ 5: Tính các giới hạn sau: 2 lim  ( x  1) 2 x 1 a) x (  1). b) Dạng 4: Tìm giới hạn hàm số có dạng    Ví dụ 6: Tính các giới hạn sau: 4 x  20   3 lim    x 2 x  2 4  x2   a) Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau: a). lim ( 4 x 2  3x  2 x). x  . lim x 0. lim x 1. 1 2x  1  6x x. xn  1 ( n m ) xm  1. lim (3 x  1). x  . x2 3x 2  4. 6   3 lim    x 1 1  x 1 x   b) b). lim ( 3x 2  2 x  3 . x  . 3x2  x ). 6. HÀM SỐ LIÊN TỤC A. LÝ THUYẾT: 1) Hàm số liên tục tại một điểm . . Hàm số liên tục: Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) và x0  (a; b) . Hàm số f(x) liên tục  lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0 tại x0 Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2) Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn: Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b). f(x) liên tục trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f(x)  liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b). Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng [a;b]. f(x) liên tục trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f(x)  lim f ( x)  f (a ), lim f ( x)  f (b) x b liên tục trên khoảng (a;b) và x a Chú ý:  +,-,*,/ các hàm liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó.  Hàm sơ cấp: đa thức, phân thức, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 3) Tính chất của hàm số liên tục Định lí: Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và f (a )  f (b)  M nằm giữa f(a), f(b),  c  ( a; b) : f (c) M Hệ quả: Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và f (a ). f (b)  0  c  ( a; b) : f (c) 0  Nhận xét:  Dùng hệ quả để cm phương trình f(x)=0 có ít nhất nghiệm trên (a;b).  Đồ thị hàm số liên tục là đường liền nét B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, khoảng, đoạn Ví dụ 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra y  f ( x )  4 x  2 , x0 0 a) 3 y  f ( x)  , x0  2 2x  1 b) c).  2 x 2  x  1, x   1 y  f ( x)  , x0  1 3  2 x, x  1.  x 2  3x  2 , x 1  y  f ( x)  x 2  1 , x0 1 1  2 x, x 1  d) Ví dụ 2: Xác định giá trị của a để các hàm số sau đây liên tục tại điểm chỉ ra 4 x  1, x   2 y  f ( x)  2 ax  2 x  1, x  2 tại điểm x0=-2 a)  a x 0  y  f ( x)  2 x  3 x  x 2 , x 0 b) tại điểm x0=0 Ví dụ 3: Xác định giá trị của tham số để các hàm số sau đây liên tục trên R  2 x  a, x   3 y  f ( x)  2  x  ax  1, x  3 a)   sin 2ax, x   2 y g ( x)  3cos( x   ), x    3 2 b).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm Ví dụ 4: CMR: 3 a) Phương trình 2 x  x  1 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1;0) 3 b) Phương trình 2 x  6 x  1 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-2;2) Ví dụ 5: CMR: 2 a) Phương trình ax  bx  c 0, với a 0, 2a  2b  6c 0 luôn có ít nhất một nghiệm x0 thỏa mãn. 0  x0 . 2 3 3. x0  5. 4 9. b) phương trình 3 x  x  1 0 có nghiệm x0 thuộc (0;1) thỏa mãn Ôn tập Bài 1: Tìm giá trị của tham số để các hàm số sau đây liên tục trên R  4 x  a, x   1  f ( x) 2 x  1,  1 x 1  3 x  6, x  3 f ( x)  2  x 2  bx  2, x  1  ax  x  1, x 3 a) b) Bài 2: Xét sự liên tục của các hàm số sau:  3x 2  6 3 x  1, x   2 , x  2  3  f ( x )  x  2 x f ( x) 4 x  3,  2  x  2  A, x  2 3 x  4, x 2   a) b) Bài 3: CMR các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm 1  6x   2007 0 3 2 x  1  5 x  2 x  1  0 a) b) Bài 4: CMR các phương trình sau đây luôn có nghiệm với mọi m 3 2 a) 4 x  mx  2 x  5  m 0 b) m cos x  3(cos x  sin x) 0 Bài 5: CMR: 3 2 a) Phương trình 6 x  3x  31x  10 0 có 3 nghiệm phân biệt b) Phương trình 1  x  1  2 x  1  3x 3 có một nghiệm duy nhất. 5 x 9 8 Bài 6: CMR phương trình x  2 x  1 0 có ít nhất một nghiệm x0>0 và nghiệm x0 đó thỏa mãn 0 Bài 7: CMR: 4 3 2 a) phương trình 9 x  36 x  37 x  9 0 có 4 nghiệm phân biệt. b). x  a  x  1  a  x  2  a có nghiệm với mọi a..

<span class='text_page_counter'>(9)</span>