Tài liệu Bài giảng toán II: Giải tích nhiều biến docx

BÀI GIẢNG TOÁN II :
GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN
PGS . TS . NGUYỄN HỮU BẢO
Trưởng Bộ môn Toán học, phó trưởng Khoa C N T T
Trường ĐẠI HỌC THUỶ LỢI
Trong hầu hết các bài toán của thực tế , đối tượng nghiên cứu thường là các hàm
nhiều biến số chứ không chỉ là các hàm một biến như đã được học trong môn
TOÁN I .Trong môn học TOÁN II này , chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm nhiều
biến và đặc biệt là hàm 2 biến để đơn giản cho cách trình bày mà vẫn không giảm
tổng quát khi mở rộng cho nhiều hơn 2 biến. Các khái niệm khả vi , liên tục , khả
tích … đều có khác hàm 1 biến và đặc biệt là các tích phân 2 hoặc 3 lớp , tích phân
đường , tích phân mặt …là các khái niệm hoàn toàn mới so với các kiến thức được
học ở trường phổ thông . Các bài toán cực trị hàm nhiều biến cùng với các vấn đề
của lý thuyết trường sẽ là các kiến tức cốt lõi cho một kỹ sư trong tương lai

Tuần 1
Chương 1 : KHÔNG GIAN 3 CHIỀU VÀ HÀM 3 BIẾN
Hệ toạ độ trong không gian 3 chiều :

Không gian R
3
đã được học ở chương trình phổ thông . Ký hiệu P=( x,y,z ) để
chỉ một điểm P có toạ độ ( x,y,z ) trong không gian này . Hệ 3 véc tơ trực chuẩn
i,j,k là một cơ sở đã biết ở phổ thông . Khi đó , véc tơ R=
OP
uuur
sẽ viết dưới dạng:
R = x.i + y.j +z.k
Các khái niệm tích vô hướng , tích hữu hướng , khoảng cách , độ dài … đều
như ở phổ thông đã được học
Ví dụ 1 :Tìm cosin của góc

θ
giữa A( 1, 2, 2 ) và B(-3, 4, 0 )
Giải : Ta có |A| =
1 4 4 3
+ + =
, |B| = 5 , A.B = -3+8+0 = 5 do đó
cos
θ
=
.
| |.| |
A B
A B
= 1/3
Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác có đỉnh là P ( 2,-1,3 ) , Q (1,2,4 ) , R (3,1,1 )
Giải: Hai cạnh của tam giac là A=
PQ
uuur
= -i +3j +k , B =
PR
uuur
= i + 2j – 2k
Vì vậy , diện tích của tam giác là độ lớn của véc tơ :
A
×
B =
i
-1 3 1
1 2 2
j k

−
= -8i – j – 5k
tức là =
64 1 25
+ +
= 3
10
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG
3
R
Đường thẳng đi qua điểm P
0
= ( x
0
,y
0
,z
0
) có 2 dạng :
Dạng tham số : x = x
0
+ at , y = y
0
+ bt , z = z
0
+ ct
Dạng Đề các :
0 0 0
x x y y z z
a b c

− − −
= =
Mặt phẳng đi qua điểm P
0
với véc tơ pháp tuyến N = ai + bj + ck có dạng :
a(x- x
0
) + b(y- y
0
) + c( z – z
0
) = 0
CÁC MẶT TRỤ VÀ MẶT BẬC 2 TRONG R
3
Mặt trụ tròn xoay : Dạng tổng quát F (x,y) = 0
Mặt trụ elliptic tròn xoay có trục oz :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
,
Mặt trụ Parabolic tròn xoay có trục oz : z = ax
2
+ bx + c
Mặt nón tròn xoay có trục oz : f (
±
2 2
x y

+
,z ) = 0
Mặt ellípoid :
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
Mặt nón elliptic :
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
+ =
Mặt elliptic parabolid : z = ax
2
+ by
2
Và nhiều mặt cong khác , xem trong giáo trình
Hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu trong R
3
1.Hệ toạ độ trụ : Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R
3
như sau :
x = rcos
θ
, y = rsin
θ
, z = z , trong đó r = x

2
+ y
2
, tan
θ
= y / x
Ví dụ 1 : Tìm toạ độ trụ của điểm P = ( 3, 3, 7 ) trong R
3

Giải: Ta có r =
9 9 2 3+ =
, tan
θ
= 1 , z = 7 nên toạ độ trụ của P là (
2 3
,2, 5 )
Ví dụ 2 : V ẽ măt cong cho theo toạ độ trụ r( 2cos
θ
+5sin
θ
) +3z = 0
Giải: V ì x = rcos
θ
và y = rsin
θ
nên ta có phương trình của mặt cong nói trên
trong R
3
là 2x + 5y + 3z = 0 , đó là một mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và có vec
tơ pháp tuyến là ( 2, 5, 3 )

Hệ tọa độ cầu: Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R
3
như sau :
x =
ρ
sin
ϕ
cos
θ
, y =
ρ
sin
ϕ
sin
θ
, z =
ρ
cos
ϕ
,
trong đó
2
ρ
= x
2
+ y
2
+ z
2
, tan

θ
= y / x , tan
ϕ
=
2 2
x y
z
+
Ví dụ : Tìm phương trình trong tọa độ cầu của hình cầu x
2
+ y
2
+ z
2
- 2az = 0 ( a>0)
Giải: Vì
2
ρ
= x
2
+ y
2
+ z
2
và z =
ρ
cos
ϕ
nên phương trình mặt cầu có dạng :

2
ρ
- 2a
ρ
cos
ϕ
=0
⇔
ρ
(
ρ
-2acos
ϕ
) = 0 tức là
ρ
=0 hoặc

ρ
-2acos
ϕ
= 0 . Nhưng
ρ
=0 chỉ là trường hợp riêng của
ρ
-2acos
ϕ
= 0 nên ta có thể
kết luận là phương trình cần tìm là
ρ
-2acos

ϕ
= 0
Chú ý : Đây chính là phương trình của một mặt cầu có bán kính a , tiếp xúc với mặt
phẳng xoy tại gốc tọa độ

Tuần 2
Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến
1. Hàm n biến y = f( x
1
,x
2
, …x
n
) : là một ánh xạ từ không gian R
n
vào R
2. Miền xác định của y = f( x
1
,x
2
, …x
n
) : T ât c ả c ác điêm trong R
n
sao cho
x ác định 1 giá tri y thuộc R . Để đơn giản cho cách trình bay mà không làm
giảm tổng quát , ta sẽ chi xét hàm 2 biến z = f (x,y)
3. Giới hạn bội trong R
2
:

0
0
lim ( , )
x x
y y
f x y
→
→
đ ược hiểu là giới hạn của hàm 2
biến f (x,y ) khi biến điểm (x,y) tiến dần đến điểm ( x
0
, y
0
) , tức là x
→
x
0
và
y
→
y
0
đồng thời .
4. Tính liên tục : Hàm 2 biến f(x,y) đuợc gọi là liên tục tại điểm (x
0
, y
0
)
thuộc miền xác định của nó giá trị của hàm f (x,y) đ ủ gần giá trị f(x
0

, y
0
) khi
(x,y) đ ủ gần điểm ( x
0
, y
0
)
Vi dụ : Hàm z = xy liên tục tại mọi điểm (x,y) trong R
2

5. Đường mức : Cho một giá trị c bất kỳ , với 1 hàm số z = f(x,y) , phương
trình f(x,y) = c cho ta x ác đ ịnh một đường cong trong mặt phẳng xoy . Một
đường cong được gọi là đường mức nếu nó nằm trong miền xác định của hàm số
và trên đó giá trị của hàm số không thay đổi
6. Mặt mức : Mở rộng khai niệm trên cho hàm 3 biến , mặt mưc là mặt cong
trong miền xác định của hàm số f (x,y,z) sao cho trên nó hàm số nhận giá trị
không thay đổi
7. Đạo hàm riêng : Cho hàm 2 biến z = f(x,y) . Xét giới hạn

0
( , ) ( , )
lim
x
f x x y f x y
x
∆ →
+ ∆ −
∆
nếu tồn tại thì được goi là đạo hàm riêng của hàm z theo biến x và được ký hiệu

là
z
x
∂
∂
hoặc z
x
,
f
x
∂
∂
, f’
x
(x,y) . Hoàn toàn tương tự với đạo hàm riêng theo biến y
8. Đạo hàm riêng cấp 2 và cấp cao hơn 2 : Vì
f
x
∂
∂
,
f
y
∂
∂
đều là các hàm 2 biến
nên ta có thể lấy các đạo hàm riêng của chúng và ta có các đạo hàm riêng câp 2 :
(
x
∂

∂
)
x
∂
∂
hoặc ký hiệu là
2
2
f
x
∂
∂
hoặc f
xx
,
(
x
∂
∂
)
y
∂
∂
=
2
f
x y
∂
∂ ∂
= f

xy
,tương tự ta có
f
yy
và f
yx
và các đạo hàm riêng cấp cao hơn 2
Ví dụ : Cho f(x,y) = x
3
e
5y
+ y. sin2x . Tìm các đạo hàm riêng tới cấp 2 của nó
Giai: f
x
= 3x
2
e
5y
+ 2ycos2x , f
y
= 5x
3
e
5y
+ sin2x,
f
xy
= 15x
2
e

5y
+ 2cos2x , f
yx
= 15x
2
e
5y
+ 2cos2x
Chú ý : Nếu tồn tại các đạo hàm riêng cấp hai tồn tại v à li ên t ục trong lân cận
điểm (x
0
,y
0
) thì trong lân cận này , đạo hàm cấp 2 không phụ thuộc thứ tự lấy
đạo hàm
9. Vi phân toàn phần cấp 1 và cấp 2 của hàm 2 biến
Vi phân toàn phần cấp 1: dz =
f
x
∂
∂
dx +
f
y
∂
∂
dy
Vi phân toàn phần cấp 2: d
2
z =

2
2
f
x
∂
∂
dz
2
+2
2
f
x y
∂
∂ ∂
dxy +
2
2
f
y
∂
∂
dy
2
Các ví dụ luyện tập:
Tuần 3 Đạo hàm hàm hợp , hàm ẩn
Quy tắc dây chuyền tính đạo hàm riêng :
1. Giả sử w = f(x) , x= g(t) Khi đó


.

dw dw dx
dt dx dt
=
2. Giả sử w = f(x,y) , x = g(t) , y = h(t) Khi đó

.
dw w dx
dt x dt
∂
=
∂
+
.
w dy
y dt
∂
∂
3. Giả sử w = f( x,y,z ) , x, y, z là các hàm của một biến t Khi đó

.
dw w dx
dt x dt
∂
=
∂
+
.
w dy
y dt
∂

∂
+
.
w dz
z dt
∂
∂
4. Giả sử ư = f( x,y,z ) và x,y,z là các hàm 2 biến của t và u Khi đó


. . .
w w x w y w z
t x t y t z t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂



. . .
w w x w y w z
u x u y u z u
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Và khi đó vi phân toàn phần của w là:
dw =
. . .
w w w
dx dy dz

x y z
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
Ví dụ ứng dụng :
1. Cho w = 3x
2
+ 2xy – y
2
, trong đó x = cost , y = sint . Tính
dw
dt
= ?
Giải: Theo công thức
.
dw w dx
dt x dt
∂
=
∂
+
.
w dy
y dt
∂
∂
ta có
dw
dt
= ( 6x + 2y)(-sint) + ( 2x – 2y)( cost) =

= ( 6cost + 2sint )( -sint) +(2cost – 2sint )(cost) = 2cos2t – 4sin2t
2. Cho w = f( x,y ) , trong đó x = r cos
θ
, y = r sin
θ
. Chứng minh rằng :

2 2 2 2
2
w w w 1 w
( ) ( ) ( ) ( )
x y r r
θ
∂ ∂ ∂ ∂
+ = +
∂ ∂ ∂ ∂

Giải: Dựa vào công thức
. .
w w x w y
t x r y r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
;
. .
w w x w y
t x y
θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Ta sẽ có điều phải chứng minh.

Hai trường hợp hàm ẩn :
1 . F( x,y ) = 0 ( Không giải ra được y = f(x) )
2. F ( x,y, z ) = c ( Không giải ra được z = f( x,y ) )
Xét trường hợp 1
Định lý về hàm ẩn : Cho F(x,y) liên tục , có các đạo hàm riêng tong lân cận của điểm
(x
0
,y
0
) và giả sử F(x
0
,y
0
) = c , F
y
(x
0
,y
0
)
≠
0 thì tồn tại một hàm ẩn y = f(x) xác định và khả
vi trong một lân cận của điểm x
0
sao cho y
0

= f(x
0
)thỏa mãn ;
F[x, f(x)] = c . Hơn nữa , cách tính đạo hàm của hàm ẩn này trong lân cận điểm
(x
0
,y
0
) như sau :

x
y
F
dy
dx F
= −
Ví dụ : Cho hàm ẩn y = f(x) xác định từ
F(x,y) = x
2
y
5
– 2xy + 1 = 0
Tim đạo hàm f’(x)
Giải: Rõ ràng là hàm F(x,y) xác định tại điểm (1,1) và ta có F
x
= 2xy
5
- 2y ,
F
y

= 5x
2
y
4
– 2x , thỏa mãn định lý hàm ẩn , ta tìm được :
5
2 4
2 2
5 2
dy y xy
dx x y x
−
=
−
Xét trường hợp 2
Ta có định lý tồn tại hàm ẩn tương tự định lý ở trường hợp 1 và giả sử hàm w = F[ x,y,z ]
trong đó z = f (x,y) thỏa mãn điều kiện
F
z
∂
∂

≠
0 Khi đó

F
z
x
F

x
z
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂

F
z
y
F
y
z
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
Ví dụ : Cho z là hàm ẩn của 2 biến x và y thỏa mãn
x
2
z + yz
5
+ 2xy
3

= 13
Tìm các đạo hàm riêng của z theo các biến x và y
Giải: Ở đây hàm F (x,y,z) = x
2
z + yz
5
+ 2xy
3
. Ta tìm được :

F
x
∂
∂
= 2xz + 2y
3
,
F
z
∂
∂
= x
2
+ 5yz
4
. Từ đó ,
F
z
x
F

x
z
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
=
3
2 4
2 2
5
xz y
x yz
+
−
+
Tuần 4 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG & GRADIENT
CỦA HÀM 3 BIẾN

Cho f(x,y,z) là một hàm 3 biến xác định trong 1 miền nào đó cua R
3
và P là 1
điểm trong miền này . Tại đó tốc độ biến thiên của hàm f sẽ như thế nào nếu ta di
chuyển điểm P theo một hướng nhất định ? Theo hướng dương của các trục
Ox, Oy, Oz ,tốc đọ biến thiên của hàm f được xác định bởi các đạo hàm riêng của
nó
f

x
∂
∂
,
f
y
∂
∂
,
f
z
∂
∂
. Làm thế nào xác định được tốc độ biến thiên của hàm f nếu P
không di chuyển theo hướng các trục tọa độ ?
Để trả lời các câu hỏi này , chúng ta sẽ đưa ra 1 khái niệm rất quan trọng :
Gradient của một hàm số
Gỉa sử điểm P = (x,y,z) và gọi R là véc tơ OP = xi + yj + zk
còn Q = ( x+
x
∆
,y +
y
∆
, z +
z
∆
) . Gỉa sử khi Q dần đến P thì f thay đổi 1 lượng là
f∆
và

khoảng cách
s∆
= |
R∆
| của P và Q và dần tới 0 . Gọi u là véc tơ đơn vị của PQ . Khi đó

0
lim
s
df f
ds s
∆ →
∆
=
∆
Được gọi là đạo hàm của hàm f theo hướng u tại điểm P của hay gọi đơn giản là đạo hàm
theo hướng u của hàm f
Chú ý: Trong giáo trình đã chứng minh :
df f dy f dy f dz
ds x ds y ds z ds
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
và

( ).
df f f f
i j k u
ds x y z
∂ ∂ ∂

= + +
∂ ∂ ∂
Định nghĩa: Gradient của hàm f là một véc tơ được xác định như sau :
gradf =
( )
f f f
i j k
x y z
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
Chú ý: Từ định nghĩa véc tơ grad f ta có đạo hàm theo hương u của f có thể tính theo
công thức :
( ).
df
gradf u
ds
=
Tính chất của đạo hàm theo hướng:

Tính chất 1: Đạo hàm theo 1 hướng đã cho là tích vô hướng của véc tơ gradf với véc tơ
đơn vị của hướng lấy đạo hàm
Tính chất 2:Hướng của véc tơ trùng với hướng mà theo đó hàm f tăng nhanh nhất
Tính chất 3: Độ dài của gradf chính là tốc độ tăng nhanh nhất của f
Tính chất 4: Gradient của hàm f (x,y,z ) tại điểm P
0
chính là véc tơ pháp của mặt mức
của f tại điểm P
0
. Từ đó phương trình mặt phẳng tiếp diện tại điểm P

0
là:

0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
P P P
f f f
x x y y z z
x y z
∂ ∂ ∂
− + − + − =
∂ ∂ ∂
Ví dụ ứng dụng các tính chất trên:
Ví dụ 1: Cho f( x,y,z ) = x
2
– y + z . Tính đạo hàm theo hướng véc tơ 4i – 2j + 4k tại
điểm ( 1,2,1 )
Giải: Tại điểm ( 1,2,1 ) ta tìm được véc tơ gradf là 2i – j + 2k . véc tơ đơn vị của véc tơ
4i – 2j + 4k là 2/3i + 1/3j + 2/3k và vì vậy đạo hàm cần tìm là :

( ).
df
gradf u
ds
=
= ( 2i – j + 2k )(2/3i – 1/3j + 2/3k) = 3
( chú ý là ở đây hương của gradf trùng với hướng của u nên
( ).
df

gradf u
ds
=
=| gradf| và
lúc này
df
ds
đạt giá trị lớn nhất và cũng là tăng lớn nhất , thêm 3 đơn vị độ dài của nó )

Ví dụ 2: Tìm phương trình tiếp diện cua mặt cong xy
2
z
3
= 12 taị điểm ( 3,-2,1 )
Giải: Ta tìm được gradf = 4(I – 3j + 9k ) . Từ đó , phương trình tiếp diện cần tìm là :
( x-3) – 3( y + 2 ) + 9( z - 1) = x – 3y + 9z = 18
Một vài chú ý quan trọng :

1. Khái niệm gradient và đạo hàm theo hướng còn được định nghĩa trong không
gian 2 chiều
2. Gradient của một hàm số còn được viết dưới dạng toán tử như sau
gradf =
( )i j k
x y z
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
f
Nếu ký hiệu toán tử nay là del
∇

∇
=
( )i j k
x y z
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
Thì có thể viết: gradf =
∇
f ,
df
ds
=
∇
f.u
Tuần 5: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
1. CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM 2 BIẾN
Đặt vấn đề :
Bài toán khảo sát cực trị hàm nhiều biến là một trong các bài toán quan trong
nhất trong các nhiên cứu kỹ thuật và vì vậy , đây là kiến thức cơ bản nhất mà một
kỹ sư tương lai cần phải có . Để gọn nhẹ cho các trình bày , chúng tôi chỉ xét tới hàm
2 biến , việc mở rộng cho hàm nhiều biến hơn là không có gì khó khăn và hoàn toàn
có thể tự tìm hiểu.
Giả sử z = f(x,y) xác định trong một miền D nào đó . Điểm ( x
0
,y
0
) được gọi là
điểm cực đại nểu f(x,y) đạt giá trị cực đại tại điểm đó , tức là f(x,y)

≤
f ( x
0
,y
0
), với
mọi điểm (x,y)thuộc miền D . Cách định nghĩa hoàn toàn tương tự với điểm cực tiểu
Sau đây chúng ta sẽ đưa ra qui trình tìm các điểm cực trị của một hàm 2 biến z =
f(x,y) đã cho . Lý giải về mặt toán học của cách làm , các bạn hãy tìm hiểu trong
giáo trinh giải tích nhiều biến số

Quy tắc tìm cực trị tự do của hàm 2 biến :
Bài toán :
Tìm các điểm cực trị của hàm z = f(x,y) trong miền xác định của nó
QUY TẮC:

1. Tìm các điểm dừng bằng cách giải hệ :

0
z
x
∂
=
∂
,
0
z
y
∂
=

∂
2. Giả sử tìm được các điểm dừng là M
0
(x
0
,y
0
) , M
1
(x
1,
y
1
) …Tính các đạo hàm
riêng cấp hai : f
xx
, f
xy
, f
yy
tại các điểm dừng nói trên và gọi
A = f
xx
(x
0
,y
0
) , B = f
xy
(x

0
,y
0
) , C = f
yy
(x
0
,y
0
) ( tại mỗi điểm dừng đều
có một bộ số A , B , C nói trên )
Nếu : B
2
– AC < 0 thì * Nếu A < 0 , điểm (x
0
,y
0
) là điểm cực đại
* Nếu A > 0 , điểm (x
0
,y
0
) là điểm cực tiểu
Nếu B
2
– AC > 0 thì (x
0
,y
0
) không phải là điểm cực trị , tức là tại

đó hàm z = f(x,y) không có cực trị
Nếu B
2
– AC = 0 thì phải xét tiếp , chưa thể có kết luận gì
Ví dụ áp dụng :