GIOI1 HAN CO GIAI CHI TIET HAY

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Giới hạn – ĐS&GT 11. Đây là trích 1 phần tài liệu gần 2000 trang của Thầy Đặng Việt Đông. Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word Toán 11 và 12 của Thầy Đặng Việt Đông giá 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Giới hạn – ĐS&GT 11. MỤC LỤ. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Giới hạn – ĐS&GT 11. PHẦN I – ĐỀ BÀI....................................................................................................................................4 GIỚI HẠN DÃY SỐ.................................................................................................................................4 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP..................................................................................................4 B – BÀI TẬP.............................................................................................................................................4 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA...........................................................................4 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN......................................................................................................................................................7 GIỚI HẠN HÀM SỐ..............................................................................................................................15 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT.................................................................................................................15 B – BÀI TẬP...........................................................................................................................................15 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM.....................15 0 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 ............................................................................18  DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH  ...........................................................................23 DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC.............................................27 DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC...............................................................................................29 HÀM SỐ LIÊN TỤC..............................................................................................................................32 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP................................................................................................32 B – BÀI TẬP...........................................................................................................................................32 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM.........................................................32 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.............................................37 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH....................41 ÔN TẬP CHƯƠNG IV...........................................................................................................................42 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI.............................................................................................................50 GIỚI HẠN DÃY SỐ...............................................................................................................................50 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP................................................................................................50 B – BÀI TẬP...........................................................................................................................................50 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA.........................................................................50 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN....................................................................................................................................................55 GIỚI HẠN HÀM SỐ..............................................................................................................................78 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT.................................................................................................................78 B – BÀI TẬP...........................................................................................................................................78 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM.....................78 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Giới hạn – ĐS&GT 11. 0 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 ............................................................................85  DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH  ...........................................................................95 DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC...........................................106 DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC.............................................................................................110 HÀM SỐ LIÊN TỤC............................................................................................................................117 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP..............................................................................................117 B – BÀI TẬP.........................................................................................................................................117 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM.......................................................117 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH...........................................125 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH..................134 ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV.........................................................................................................135. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Giới hạn – ĐS&GT 11. PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 lim 0 (k   ) lim 0 k n   n n  n ; lim q n 0 ( q  1). n . lim C C. ;. n . 2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b u a lim n  vn b  (nếu b  0) b) Nếu un  0, n và lim un= a. un  a thì a  0 và lim u vn c) Nếu n ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 lim un  a d) Nếu lim un = a thì 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn u1  q  1 S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q. GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Giới hạn đặc biệt: lim n k  (k   ). lim n  lim q n  (q  1) 2. Định lí:. a) Nếu. lim un . lim. thì. 1 0 un. un b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 un  neáu a.vn  0   neáu a.vn  0 v thì lim n =  d) Nếu lim un = +, lim vn = a  neáu a  0  neáu a  0 thì lim(u .v ) =   n. vn. =0. n. * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 0  định: 0 ,  ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.. B – BÀI TẬP. DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp:.  Để chứng minh lim un 0 ta chứng minh với mọi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao u  a n  na cho n .  Để chứng minh lim un l ta chứng minh lim(un  l ) 0 .  Để chứng minh lim un  ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM u  M n  nM sao cho n .  Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim( un )  .  Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: lim un  lim un  A. Nếu , thì . lim un 0 lim un 0 C. Nếu , thì . 1 lim n  1 bằng: Câu 2. Giá trị của A. 0 B. 1 1 lim k n (k  *) bằng: Câu 3. Giá trị của A. 0. B. 2. Giới hạn – ĐS&GT 11. lim un . lim un   , thì . lim un a lim un  a D. Nếu , thì . B. Nếu. C. 2. D. 3. C. 4. D. 5. C. 5. D. 8. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. C. 2. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. 2. sin n n  2 bằng: Câu 4. Giá trị của A. 0 B. 3 lim(2 n  1) Câu 5. Giá trị của bằng:  A. B.   1  n2 lim n bằng: Câu 6. Giá trị của A.  B.   2 lim n  1 bằng: Câu 7. Giá trị của A.  B.   cos n  sin n lim n2 1 Câu 8. Giá trị của bằng:    A. B. n 1 lim n  2 bằng: Câu 9. Giá trị của A.  B.   3 3n  n lim n2 Câu 10. Giá trị của bằng: A.  B.   2 n lim n  1 bằng: Câu 11. Giá trị của A.  B.   2n  1 A lim n  2 bằng: Câu 12. Giá trị của A.  B.   2n  3 B lim 2 n  1 bằng: Câu 13. Giá trị của A.  B.   lim. 2. Câu 14. Giá trị của A. . C lim. n 1 n  1 bằng: B.  . Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Câu 15. Giá trị của A.  Câu 16. Giá trị của A.  Câu 17. Giá trị của A.  Câu 18. Giá trị của A.  Câu 19. Giá trị của A.  Câu 20. Giá trị của A. . A lim. Giới hạn – ĐS&GT 11. n 2 n 2n bằng:. B.   n sin n  3n 2 B lim n2 bằng:   B. 1 C lim 2 n  2 n  7 bằng: B.   4n  1 D lim 2 n  3n  2 bằng: B.   an lim 0 n! bằng: B.   lim n a với a  0 bằng: B.  . 1 C. 2. D. 1. C.  3. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 4. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp:  Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. f ( n) lim g (n) ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và  Khi tìm mẫu.. lim  k f (n)  m g (n)   Khi tìm trong đó lim f (n) lim g (n)  ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn. + Dùng các hằng đẳng thức:. . a. b   a  b  a  b;.  3 a  3 b   3 a2  3 ab  3 b2  a  b.  Dùng định lí kẹp: Nếu un vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:  Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.  Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.  Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.. Câu 1. Cho dãy số 1 A. 4 ..  un . với. un . un1 1 n  2 . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau: 4n và un. 1 B. 2 . n cos 2n   lim  5   n 2  1  là:  Câu 2. Kết quả đúng của A. 4.. B. 5. 2n  1 A lim 1  3n bằng: Câu 3. Giá trị của. B.   4n 2  3n  1 B lim (3n  1) 2 bằng: Câu 4. Giá trị của.. C. 0 .. D. 1 .. C. –4.. 1 D. 4 .. . A. . C.. A. . 4 C. 9. lim Câu 5. Kết quả đúng của 3  A. 3 .. B.    n 2  2n  1 3n 4  2 B.. . 2 3.. 2 3. D. 1. D. 1. là C.. . 1 2.. 1 D. 2 .. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Câu 6. Giới hạn dãy số.  un . A.   .. với. un . 3n  n4 4n  5 là:. B.  .. Câu 7. Chọn kết quả đúng của. lim. B.  . B lim Câu 9. Giá trị của. 3 C. 4 .. D. 0 .. C.   .. D.  .. 2 C. 3. D. 1. n3  2 n  5 3  5n :. 2 A. 5 . B. 5 . 2n 2  3n  1 A lim 2 3n  n  2 bằng: Câu 8. Giá trị của A. . Giới hạn – ĐS&GT 11. n 2  2n 3n 2  1 bằng:. n. 1. A.  Câu 10. Giá trị của A. . B.  .  2n C lim. 2.  1. 4.  n  2. D lim Câu 11. Giá trị của A. . n 1  4. 3. D. 1. 1 3 3 4 C. 2  1. D. 1. C. 0. D. 1. C. 8. D. 1. 1 C. 4. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. 3. 3n  2. 4. 2n  n  2  n bằng:. 4. 3n3  1  n. 2n 4  3n 1  n bằng: B.   (n  2) 7 (2n  1)3 F lim (n 2  2)5 Câu 13. Giá trị của. bằng: A.  B.   n3  1 C lim n(2n  1) 2 bằng: Câu 14. Giá trị của. Câu 12. Giá trị của A. . A. . C. 16. 3. bằng:. B.  . C lim. D. 1 . 9. n17  1 B.   2. C. 0. B.   n3  3n 2  2 D lim 4 n  4n 3  1 bằng: Câu 15. Giá trị của. A.  B.   n 3  2n  1 E lim n2 Câu 16. Giá trị của. bằng:    A. B.. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 4. F lim Câu 17. Giá trị của. A. . n 4  2n  1  2 n 3. 3n3  n  n. bằng:. B.  . un. un  n  1. Câu 18. Cho dãy số với A.   . B. 0 . 10 lim 4 n  n 2  1 bằng : Câu 19. A.  . B. 10 . n 1  4 lim n 1  n Câu 20. Tính giới hạn:. C.. Câu 23. Giá trị của bằng: A. . lim 3 . C. 0 .. D.   .. C.  1. 1 D. 2 .. 2 C. 3 .. D. 1 .. C. 2 .. 1 D. 2 .. n2  1 1  3  n 2 2n .. B. 3 . ak n k  ...  a1n  a0 D lim bp n p  ...  b1n  b0. B.   2  5n  2 lim n 3  2.5n là: Câu 24. Kết quả đúng của 5 1   A. 2 . B. 50 . n. D. 1. 2n  2 n  n 2  1 . Chọn kết quả đúng của lim un là: C. 1 . D.  .. B. 0 . 1  3  5  ....   2n  1 lim 3n 2  4 Câu 21. Tính giới hạn: 1 A. 0 . B. 3 . Câu 22. Chọn kết quả đúng của. 3 3 1. 3. 4. A. 1 .. A. 4 .. Giới hạn – ĐS&GT 11. a b 0 (Trong đó k , p là các số nguyên dương; k p ).. C. Đáp án khác. D. 1. 5 C. 2 .. D.. C. 0 .. D. 1 .. 1 3. D. 1. . 25 2 .. n 1. 3  4.2  3 3.2n  4n Câu 25. bằng: A.  . B.   . 3.2n  3n C lim n 1 n 1 2  3 bằng: Câu 26. Giá trị của lim. A.  Câu 27. Giá trị đúng của A.   .. B.   lim  3n  5n  B.  .. C.. . là: C. 2 .. D.  2 .. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Câu 28. Giá trị của. 1  A. 3. Giới hạn – ĐS&GT 11. 3.2n  3n 2n1  3n 1 bằng:. K lim. B.  . C. 2. D. 1. B. 1 .. C. 0. D.   .. 1 C. 4 .. D.  .. n. lim. Câu 29. A.  . Câu 30.. 5 1 3n  1 bằng :. lim 4. 4n  2n 1 3n  4n 2 bằng : 1 B. 2 .. A. 0 .. 3.3n  4n C lim n 1 n 1 3 4 Câu 31. Giá trị của. bằng: 1 A.  B. 2. D. 1 1  a  a  ...  a n I  lim a  1; b  1 1  b  b 2  ...  b n . Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa . Tìm giới hạn 1 b A.  B.   C. 1  a D. 1 k k 1 a .n  a n  ...  a1n  a0 A lim k p k  1 p  1 a b 0 bp .n  bp  1n  ...  b1n  b0 Câu 33. Tính giới hạn của dãy số với k p .: A.  B.   C. Đáp án khác D. 1 n   lim  n 2 sin  2n 3  5   bằng: Câu 34. A.  . B. 0 . C.  2 . D.   . C. 0. 2. Câu 35. Giá trị của. A.  Câu 36. Giá trị của.. M lim. Bài 40. Giá trị của. n 2  6n  n.  bằng:. B.   H lim. A.  Câu 37. Giá trị của A. . . . n2  n 1  n. . 2n 2  1  n. A.  Câu 38. Giá trị đúng của. . n2 1  n. . n2  1 . D. 1. C. 0. D. 1. 1 C. 2. D. 1.  bằng:. B.   lim. 1 C. 2.  bằng:. B.   K lim n. D. 1.  bằng:. B.   B lim. C. 3. 3n 2  2.  là:. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  . Câu 39. Giá trị của A.  Câu 40. Giá trị của A.  Câu 41. Giá trị của. B.   . A lim. . n 2  6n  n. . 3. . n 2  2n . A.  Câu 42. Giá trị của. 1  A. 12 Câu 43. Giá trị của. A.  Câu 44. Giá trị của.. M lim. . 3. 3. . 1  n 2  8n3  2n. 4n 2  1 . . 3. 3. 8n 3  n. . 3. Câu 47. Giá trị của. A.  Câu 48. Giá trị của A. . . D. 1. C. 0. D. 1. C.. n3  3n 2  1  n. D. 1. 3. 8n3  n . .  bằng:. 5 12. D. 1.  bằng: C. 0. D. 1. C. 1 .. D.  .. . n 1   là: 4n 2  3.  bằng:. B.   A lim. 1 C. 3. n 3  n 2  1  3 4 n 2  n  1  5n. . . D. 3. C. 0. B.   lim  n n  1   Câu 46. Giá trị đúng của A.  1 . B. 0 . H lim n. C. 0.  bằng:. B.   N lim. D. 1.  bằng:. B.   K lim. C. 3.  bằng:. n3  2n 2. B.   N lim. D. 1 ..  bằng:. B.  . A.  Câu 45. Giá trị của. A. . n 3  9n 2  n. B.   D lim. C. 0 ..  bằng:. B.   B lim. Giới hạn – ĐS&GT 11. n2  2n  2  n. C.. . 2 3. D. 1.  bằng:. B.  . 5 5 2 Câu 49. lim 200  3n  2 n bằng : A. 0 . B. 1 . 2n3  sin 2n  1 A lim n3  1 Câu 50. Giá trị của. bằng:    A. B. n n! B lim 3 n  2n bằng: Câu 51. Giá trị của. A.  B.  . C. 2. D. 1. C.  .. D.   .. C. 2. D. 1. C. 0. D. 1. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A D lim Câu 52. Giá trị của. A. . Giới hạn – ĐS&GT 11. n 1 2. 2. n ( 3n  2 . 3n 2  1) bằng:. B.  . 2 Câu 53. Giá trị của. E lim( n  n  1  2n) bằng: A.  B.   F lim n 1  n Câu 54. Giá trị của. bằng: A.  B.  . . 2 C. 3. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. . k. 2. Câu 55. Giá trị của. H lim( n  1  A.  B.  . p. 2. n  1) bằng:. C. Đáp án khác D. 1 1 1 1 un    ...  2 1 2 3 2 2 3 ( n  1) n  n n  1 : Câu 56. Tính giới hạn của dãy số A.  B.   C. 0 D. 1 (n  1) 13  23  ...  n3 3n3  n  2 Câu 57. Tính giới hạn của dãy số : 1 A.  B.   C. 9 D. 1 1 1 1 n(n  1) un (1  )(1  )...(1  ) Tn  T T T 2 .: 1 2 n Câu 58. Tính giới hạn của dãy số trong đó 1 A.  B.   C. 3 D. 1 un . 23  1 33  1 n3  1 un  3 . 3 .... 3 2  1 3 1 n 1 . : Câu 59. Tính giới hạn của dãy số 2 A.  B.   C. 3. D. 1. KHÚC NÀY TÔI XÓA ĐI VÀ QUA LUÔN PHẦN HƯỚNG GIẢI CHI TIẾT ĐỂ ĐẢM BẢO BẢN QUYỀN, QUÝ THẦY CÔ MUA SẼ CÓ RẤT ĐẦY ĐỦ Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Giới hạn – ĐS&GT 11. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Giới hạn – ĐS&GT 11. PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 lim 0 (k   ) lim 0 k n   n n  n ; lim q n 0 ( q  1). n . lim C C. ;. n . 2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b u a lim n  vn b  (nếu b  0) b) Nếu un  0, n và lim un= a. un  a thì a  0 và lim u vn c) Nếu n ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 lim un  a d) Nếu lim un = a thì 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn u1  q  1 S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q. GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Giới hạn đặc biệt: lim n k  (k   ). lim n  lim q n  (q  1) 2. Định lí:. a) Nếu. lim un . lim. thì. 1 0 un. un b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 un  neáu a.vn  0   neáu a.vn  0 v thì lim n =  d) Nếu lim un = +, lim vn = a  neáu a  0  neáu a  0 thì lim(u .v ) =   n. vn. =0. n. * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 0  định: 0 ,  ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.. B – BÀI TẬP. DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp:.  Để chứng minh lim un 0 ta chứng minh với mọi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao u  a n  na cho n .  Để chứng minh lim un l ta chứng minh lim(un  l ) 0 .  Để chứng minh lim un  ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM u  M n  nM sao cho n .  Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim( un )  .  Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: lim un  lim un  A. Nếu , thì . lim un 0 lim un 0 C. Nếu , thì . Hướng dẫn giải: Chọn C. Theo nội dung định lý.. Câu 2. Giá trị của A. 0 Hướng dẫn giải: Chọn A.. lim. 1 n  1 bằng: B. 1. na . Giới hạn – ĐS&GT 11. lim un . lim un   , thì . lim un a lim un  a D. Nếu , thì . B. Nếu. C. 2. D. 3. 1 1 1 1   a n  na 1 lim 0 a n 1 ta có n  1 na  1 nên có .. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn 1 lim k n (k  *) bằng: Câu 3. Giá trị của A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 1 1  k  a n  na na  k lim k 0 k na a ta có n n Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn nên có . 2 sin n lim n  2 bằng: Câu 4. Giá trị của A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 Hướng dẫn giải: Chọn A. sin 2 n 1 1 1    a n  na na   2 n  2 n  2 n  2 a  0 a a Với nhỏ tùy ý, ta chọn ta có nên có lim. sin 2 n 0 n2 .. Câu 5. Giá trị của lim(2n  1) bằng: A.  B.   Hướng dẫn giải: Chọn A.. C. 0. M1 2 Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn 2n  1  2nM  1  M n  nM  lim(2n  1)  Ta có: . 2 1 n lim n bằng: Câu 6. Giá trị của A.  B.   C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn B.. D. 1. nM . D. 1. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn M  M2 4  nM  2 .. nM. Giới hạn – ĐS&GT 11. nM2  1 M n M thỏa. n2  1 n2  1  M n  nM  lim  n Ta có: n 1  n2 lim   n Vậy . 2 lim n  1 bằng: Câu 7. Giá trị của A.  B.   C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2  na   1  1 a  Với mọi a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn 2 2  a n  na  lim 0 n 1 Suy ra n  1 . cos n  sin n lim n2 1 Câu 8. Giá trị của bằng:    A. B. C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. cos n  sin n 1 cos n  sin n 2 lim 2 0  lim 0  2 2 n n mà n n2 1 Ta có. D. 1. D. 1. Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word Toán 11 và 12 của Thầy Đặng Việt Đông giá 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: Facebook: Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>