Tài liệu Giải tích Véctơ docx

Gii tích véct

1. Cho A = 4a
y
+ 10a
z
& B = 2a
x
+ 3a
y
, tìm giá tr ca A chiu lên B. S: 3,33

2. Cho A = 7,07(a
x
+ a
z
) & B = 3(a
y
+ a
z
), biu din dng véc t ca hình chiu ca B lên A
theo hng ca A. S: 1,5(a
x
+ a
z
)

3. Tìm góc gia A = 10a
y

+ 2a
z
& B = –4a
y
+ 0,5a
z
. S: 161,5
o


4. Cho A = 2a
x
– a
z
, B = 3a
x
+ a
y
, C = –2a
x
+ 6a
y
– 4a
z
, chng minh rng C vuông góc vi c
A & B.

5. Tìm véct đn v hng t (2, –5, –2) ti (14, –5, 3). S: 0,92a
x
+ 0,38a

z


6. Tìm khong cách gia các đim (2, /6, 0) & (1, , 2), các đim đc cho  dng h ta đ
tr. S: 3,53

7. Tìm khong cách gia các đim (1, /4, 0) & (1, 3/4, ), các đim đc cho  dng h ta
đ cu. S: 2

8. Dùng h ta đ tr đ tính din tích ca mt tr thng đng có bán kính a & đ cao h.
S: 2ah

9. Dùng h ta đ cu đ tính th tích ca mt bán cu có bán kính trong 2 m & bán kính
ngoài 2,02 m. S: 0,162 m
3


Tài liu tham kho: Edminister, J. A., Theory and Problems of
Electromagnetics, McGraw-Hill, 1993


Lut Coulomb & cng đ đin trng

1. Hai đin tích đim Q
1

= 250 C & Q
2
= –300 C nm  (5, 0, 0)m & (0, 0, –5)m. Tính lc
tác dng lên Q

2
. S: 9,55(a
x
+ a
z
) N

2. Cho 4 đin tích đim, mi đin tích là 20 C, nm trên các trc x & y  ±4m. Tính lc tác
dng lên mt đin tích 100 C nm  (0, 0, 3)m. S: 1,73a
z
N

3. Cho 10 đin tích đim ging nhau, mi đin tích là 500 C, nm cách đu nhau trên mt
đng tròn bán kính 2m. Tính lc tác dng lên mt đin tích –20 C nm trên trc ca đng
tròn, cách mt phng cha đng tròn 2m. S: –79,5a
z
N

4. Cho 2 đin tích đng 
L
= 4n C/m song song vi trc z  x = 0, y = ±4m. Tính cng đ
đin trng E  (±4, 0, z)m. S: ±18a
x
V/m

5. Cho đin tích đng 
L
= 3,3 nC/m  x = 3m, y = 4m. Tính E  gc ta đ.
S: –7,13a
x

–9,50a
y
V/m

6. Hai mt phng ging nhau, rng vô hn, có đin tích mt 
S
= (10
–9
/6) C/m
2
, nm 
z = –5m & y = – 5m. Tính E  (4, 2, 2)m. Xác đnh mt đ đin tích đng nm  z = 0, y = 0
đ nó to ra mt E ging ht nh th. S: 0,667 nC/m

7. Mt đin tích mt 
S
= –50 nC/m
2
nm  y = 2m & mt đin tích đng 
L
= 0,2 C/m nm
 z = 2m, y = –1m.  nhng v trí nào E = 0? S: (x; –2,273; 2,0)m

8. Mt đin tích mt 
S
= (–1/3) nC/m
2
nm  z = 5m & mt đin tích đng

L

= –2,778 nC/m nm  z = –3m, y = 3m. Tính E  (0, –1, 0)m. S: 8a
y
V/m

9. Mt đin tích đng 
L
= 0,236.10
–8
C/m nm trên trc x & mt đin tích mt 
S
nm 
y = 5m. Dc theo đng thng y = 3m, z = 3m, đin trng E ch có thành phn z. Tính 
S
?
S: 125 pC/m
2



Tài liu tham kho: Edminister, J. A., Theory and Problems of
Electromagnetics, McGraw-Hill, 1993


Dch chuyn đin & lut Gauss

1. Tìm đin tích tng đc bao kín trong mt hình lp phng mi cnh 2m, các cnh song
song vi các trc ta đ, tâm trùng vi gc ta đ, bit 
v
= 50x
2

cos(y/2) C/m
3
. S: 84,9 C

2. Tìm đin tích tng đc bao kín trong mt 1 ≤  ≤ 3m, 0 ≤  ≤ /3, 0 ≤ z ≤ 2m, bit

v
= 2zsin
2
 C/m
3
. S: 4,91C

3. in tích đc phân b bên trong mt mt cu bán kính 2m vi mt đ 
v
= –200/r
2
C/m
3
.
Tính thông lng chy qua mt cu bán kính 1m, 4m, & 500m. S: –800 C, –1600 C,
& –1600 C

4. Mt đin tích đng 
L
= 3 C/m nm trên trc x. Tính thông lng chy qua mt mt cu
có tâm nm  gc ta đ & có bán kính 3m. S: 18 C

5. Cho D = 500e
–0,1x

a
x
C/m
2
, tìm thông lng  chy qua các mt có din tích 1 m
2
vuông
góc vi trc x, nm  x = 1 m, x = 5 m, & x = 10 m. S: 452 C, 303 C, & 184 C

6. Cho D = 2cosa

– [sin/(3)]a
z
, tính thông lng chy qua mt phng z = 0,  ≤ a, 0 ≤ 
≤ /2. S: –a/3

7. Cho mt đ đin tích 
v
= 5 (C/m
3
), dùng lut Gauss đ tìm D. S: (5 
2
/4)a

(C/m
2
)

Tài liu tham kho: Edminister, J. A., Theory and Problems of
Electromagnetics, McGraw-Hill, 1993


nh lý đive

1. Cho A = e
5x
a
x
+ 2cosya
y
+ 2sinza
z
, tính u.A  gc ta đ. S: 7,0

2. Cho A = 2cos
2
a

+ 3
2
sinza

+ 4zsin
2
a
z
, tính u.A. S: 4,0

3. Cho A = r
2
sina
r
+ 13a

+ 2ra

, tính u.A. S: 4rsin + 13cotg/r

4. Trong vùng 0 <  ≤ 2, D = (4
–1
+ 2e
–0,5
+ 4
–1
e
–0,5
)a

, trong vùng  > 2, D = (2,057/)a

.
Tính mt đ đin tích trong 2 vùng. S: –e
–0,5
; 0

5. Cho D = [3r/(r
2
+ 1)]a

r
, tính mt đ đin tích. S: 3(r
2
+ 3)/(r
2
+ 1)
2


6. Vùng r ≤ 2m có đin trng E = (5.10
–5
r/
0
)a
r
(V/m). Tìm đin tích tng đc bao kín
trong mt cu r = 2m. S: 5,03.10
–3
C

7. Cho D = 1,25r
2
a
r
, chng minh đnh lý đive đi vi phn không gian nm gia r = 1 & r =2.

8. Cho D = 10sina
r
+ 2cosa


, chng minh đnh lý đive đi vi phn không gian nm trong
mt cu r = 2.

Tài liu tham kho: Edminister, J. A., Theory and Problems of
Electromagnetics, McGraw-Hill, 1993


Nng lng & đin th

1. Tính công dch chuyn mt đin tích đim –20 C t gc ta đ ti (4, 2, 0) m trong đin
trng E = 2(x + 4y)a
x
+ 8xa
y
(V/m) dc theo đng x
2
= 8y. S: 1,6 mJ

2. Tính công dch chuyn mt đin tích đim 3 C t (4m, , 0) ti (2m, /2, 2m) trong đin
trng E = (10
5
/)a

+ 10
5
za
z
(V/m). S: – 0,392 J

3. Cho đim A nm  r = 2m trong đin trng E = (–16/r

2
)a
r
(V/m). Tính đin th ca đim
A, đim tham chiu  vô cùng. S: –8 V

4. in tích đim 0,4 nC nm  (2, 3, 3) m trong h ta đ Descartes. Tính hiu đin th V
AB
,
bit A  (2, 2, 3) m & B  (–2, 3, 3) m. S: 2,7 V

5. Mt đin tích đng 
L
= 2 nC/m nm trên mt phng z = 0, song song vi trc x  y = 3m.
Tính hiu đin th gia 2 đim A(2m, 0, 4m) & B(0, 0, 0). S: –18,4 V

6. Mt tm phng có 
S
= (1/6) nC/m
2
nm  x = 0 & mt tm phng khác có 
S
= (–1/6)
nC/m
2
nm  x = 10 m. Tính V
AB
, V
BC
, & V

AC
, vi A(10m, 0, 0), B(4m, 0, 0), C(0, 0, 0).
S: –36 V, –24 V, –60 V

7. Vùng 0 ≤  ≤ 2m có E = (5/)a

(V/m) và vùng  > 2m có E = 2,5a

V/m, tìm hiu đin th
gia A(1m, 0, 0) & B(4m, 0, 0). S: 8,47 V

8. Cho 3 đin tích đim ging nhau, mi đin tích là 2 nC, nm thng hàng, cách nhau 0,5m.
Tính nng lng ca h đin tích này. S: 180 nJ

9. Cho đin th V = 3x
2
+ 4y
2
(V), tìm nng lng có trong vùng 0 ≤ x ≤ 1m, 0 ≤ y ≤ 1m,
& 0 ≤ z ≤ 1m. S: 147 pJ



Tài liu tham kho: Edminister, J. A., Theory and Problems of
Electromagnetics, McGraw-Hill, 1993