Tài liệu Tĩnh học và động học ppt

Tĩnh học và động học


1
BÀI MỞ ĐẦU
1.Vị trí và tính chất của môn học
-Vị trí : Cơ kỹ thuật là một môn khoa học cơ sở, kiến thức của môn học
phục vụ cho các môn chuyên môn và giúp cho học sinh vận dụng phương
pháp nghiên cứu vào thực tiễn. Môn học có vị trí như sau:
Error: Reference source not found
-Tính chất môn học: Môn học có tính chất phân tích, lý luận, tổng quát
dựa vào các bài toán được đặt ra từ thực tế.
2.Mục tiêu của môn học
- Cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về tĩnh học, động lực
học, trên cơ sở đó học sinh có khả năng phân tích tính toán các chi tiết máy
đơn giản khi chịu các hình thức tác dụng của lực
-Bồi dưỡng cho học sinh có khả năng tư duy, phương pháp nghiên cứu
các bài toán cơ học một cách có hệ thống
-Học sinh cần nhớ được các khái niệm, các định lý, định luật cơ bản về
tĩnh học, động học, sức bền vật liệu, nguyên lý máy, chi tiết máy. Biết vận
dụng, phân tích, tổng hợp và giải được các bài toàn cơ học từ thực tế đặt ra.
3.Chương trình môn học : 70 Tiết gồm :
Chương 1: Tĩmh học 22 tiết
Chương 2: Động học 8 tiết
Chương 3: Sức bền vật liệu 18 tiết
Chương 4: Nguyên lý máy 12 tiết
Chương 5:Chi tiết máy 10 tiết

4.Các môn học liên quan: Toán, vật lý
Chương 1: TĨNH HỌC
Bài 1: Các khái niệm cơ bản về tĩnh học
1.Vật rắn tuyệt đối
-Khái niệm: Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất
kỳ thuộc vật luôn không đổi, tức là trong suốt quá trình chịu lực tác dụng vật
vẫn giữ nguyên hình dáng ban đầu.
Trong thực tế không có vật rắn tuyệt đối mà khi chịu lực tác dụng nó
đều bị biến dạng nhưng vì biến dạng nhỏ nên ta bỏ qua để đơn giản cho việc
tính toán và coi nó là vật rắn tuyệt đối.
2
2. Lực
-Định nghĩa: Lực là một đại lượng đặc trưng cho sự tác dụng tương
hỗ giữa các vật mà kết quả là làm thay đổi trạng thái động học của vật.
-Phân loại lực:
+ Lực trực tiếp sinh ra khi các vật tiếp xúc trực tiếp với nhau
+ Lực gián tiếp sinh ra không cần có sự tiếp xúc trực tiếp
Ví dụ: Lực từ trường, lực vạn vật hấp dẫn
3.Các yếu tố của lực:
Lực là một đại lượng véc tơ được xác định bởi ba yếu tố: điểm đặt, phương
chiều và trị số
-Điểm đặt: là phần tử vật chất của vật chịu tác dụng tương hỗ truyền
đến vật ấy.
-Phương chiều: Biểu thị khuynh hướng chuyển động mà lực gây ra cho
vật
-Trị số: thể hiện trị số của lực lớn hay nhỏ
+Đơn vị đo: N; và các bội số là: KN; MN
1MN = 10
3
KN = 10

6
N ; 1N = 10
-3
KN = 10
-6
MN
+ Cách biểu diễn lực : Lực được biểu diễn dưới dạng một véc tơ là
một đoạn thẳng có hướng, có gốc và có ngọn.
*Gốc của véc tơ đặt vào chỗ đặt lực
*Ngọn của véc tơ được ký hiệu bằng mũi tên
*Chiều dài của véc tơ được biểu diễn theo một tỷ lệ xích nhất
định nào đó được gọi là trị số của lực (trong một bản vẽ tỷ lệ xích phải
giống nhau)
+ Tên của lực được ký hiệu bằng chữ in hoa có thể kèm théo các con
số nhỏ phía dưới, phía trên có mũi tên.
Ví dụ:
,
1
→→
PQ
4.Hệ lực
- Khái niệm: Hệ lực là một tập hợp của nhiều lực cùng tác dụng lên một
vật rắn. Thông thường các lực cùng trong một hệ có cùng một tên gọi và
được đặt trong dấu ngoặc đơn.
Ví dụ :
- Hệ lực cân bằng : Là hệ lực khi tác dụng lên vật mà không làm thay
đổi trạng thái động học của vật
Ký hiệu:
3
(F

1
, F
2
: F
n
)
(F
1
, F
2
: F
n
) 0
-Hệ lực tương đương: Hai hệ lực được coi là tương đương khi chúng có
cùng tác dụng cơ học
Ký hiệu: (F
1
, F
2
: F
n
) (P
1
, P
2
: P
n
)
Hợp lực: Là một lực tương đương với tác dụng của một hệ
Ký hiệu: R (F

1
, F
2
: F
n
)
-Hai lực trực đối: là hai lực có cùng trị số, cùng đường tác dụng nhưng
ngược chiều nhau.
-Vật cân bằng : Vật ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng yên hoặc
chuyển động tịnh tiến thẳng đều với hệ toạ độ được chọn làm chuẩn, tức là
vật chịu tác dụng bởi hệ lực cân bằng

Câu hỏi ôn tập:
1.Khi nào vật được coi là vật rắn tuyệt đối? vì sao? Điều kiện để hai lực tác
dụng lên vật rắn được coi là cân bằng?
2.Lực là gì? các đại lượng đặc trưng của lực và cách biểu diễn chúng như thế
nào?
3.Hai lực trực đối là gì?
4.Lựa chọn và đánh dấu vào ý đúng nhất:
Hệ lực cân bằng là :

a, (F
1
, F
2
: F
n
)
Ngày tháng năm Biên soạn
Tổ môn duyệt

4
b, (F
1
, F
2
: F
n
)
(P
1
, P
2
: P
n
)
c, R (P
1
, P
2
: P
n
)
d, (P
1
, P
2
: P
n
)

Bích An
Bài 2: CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
VÀ CÁC LIÊN KẾT CƠ BẢN
1.Các tiên đề tĩnh học
-Tiên đề 1: Hai lực cân bằng
Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn được cân bằng là
chúng phải trực đối với nhau.
-Tiên đề 2: Thêm bớt hai lực cân bằng
Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không đổi khi ta cùng thêm vào hay
bớt đi hai lực cân bằng nhau.
Hệ quả: Tác dụng của một lực lên một vật rắn không đổi khi ta trượt lực trên
đường tác dụng của nó.
-Tiên đề 3: Hình bình hành lực
Hai lực đặt tại một điểm tương
đương với một lực đặt tại đirm đó
và được biểu diễn bằng đường chéo
của hình bình hành mà hai cạnh là
hai lực đã cho.
Error: Reference source not foundHình
1
-Tiên đề 4: Lực và phản lực tác dụng
. Lực tác dụng và phản lực tác
dụng là hai lực trực đối.
Error: Reference source not foundHình
2
2.Liên kết và phản lực liên kết
Liên kết là những điều kiện cản trở chuyển động của vật
2.1.Vật gây liên kết và vật chịu liên kết.
-Vật chịu liên kết hay còn gọi là vật khảo sát là những vật mà theo một
vài phương nào đó bị cản trở.

- Vật gây liên kết là vật gây ra sự cản trở chuyển động của vật khảo sát.
Ví dụ:
Quyển vở trên mặt bàn thì Quyển vở là vật khảo sát, mặt bàn là vật
gây liên kết.
2.2. Lực và phản lực tác dụng
- Lực tác dụng là lực mà vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết khi
chuyển động của nó bị cản trở.
5
Lực tác dụng có điểm đặt tại điểm tiếp xúc chung giữa hai vật, có
phương chiều là phương chiều của chuyển động.
-Phản lực tác dụng: là phản lực của vật gây liên kết tác dụng trở lại vật
khảo sát .
Phản lực tác dụng có điểm đặt tại điểm tiếp xúc chung giữa hai vật, có
phương chiều ngược với chiều của chuyển động bị cản trở.
Ví dụ: Hình 2: F là lực tác dụng
N là phản lực tác dụng
3.Các liên kết cơ bản
3.1. Liên kết tựa
Vật gây liên kết cản trở chuyển
động của vật khảo sát theo phương
vuông góc với mặt tiếp xúc chung
giữa hai vật.
Phản lực liên kết có phương
vuông góc với mặt tiếp xúc chung,
có chiều đi về phía vật khảo sát .
Ký hiệu: N. Trị số của N chưa
biết.
Error: Reference source not foundHình
3
3.2.Liên kết dây mềm.

Liên kết dây mềm cản trở chuyển
động của vật khảo sát theo phương
của dây.
Phản lực liên kết có phương theo
phương dây, chiều đi từ vật khảo sát
đi ra, trị số phụ thuộc vào số dây giữ
vật khảo sát.
Ký hiệu: T. Trị số của T chưa
biết.
Error: Reference source not found
Hình 4
3.3.Liên kết thanh
Liên kết gồm thanh thẳng hoặc cong, hai đầu
thanh là hai bản lề cố định, trên thanh không
có lực tác dụng và bỏ qua trọng lượng bản
thân của thanh. Liên kết cản trở chuyển động
của vật khảo sát theo phương nối hai bản lề cố
định ở hai đầu thanh của thanh.
Phản lực liên kết có phương dọc theo
phương thanh (phương nối hai bản lề cố định
đó )
Error: Reference source not
foundHình 5
6
S
A
P
B
A
C

S
B
S
A
Ký hiệu: S. Trị số của S chưa biết.
3.4. Liên kếtgối đỡ bản lề
-Gối đỡ bản lề di động : Gối đỡ bản
lề cho phép vật khảo sát quay xung
quanh trục của bản lề và di chuyển
theo phương vuông góc với mặt tựa
vì vậy chỉ có một chuyển động theo
phương vuông góc với mặt tựa bị
cản trở
Phản lực liên kết đi theo phương
vuông góc với mặt tựa, có điểm đặt
tại tâm bản lề.(Hình 6).chiều của
phản lực có thể theo một chiều giả
định nào đó, nếu kết quả tính mang
dấu dương thì chiều giả định là đúng
và ngược lại.
Ký hiệu: Y. Trị số của Y chưa biết.
-Gối đở bản lề cố định : Gối đở
bản lề cố định chỉ cho phép vật khảo
sát quay quanh trục của bản lề còn
mọi di chuyển đều bị cản trở. Chiều
được xác định như trên, phản lực
liên kết có trị số và phương chiều
chưa biết. Để thuận tiện trong tính
toán ta phân phản lực R thành hai
thành phần Y, X theo hai phương x

và y vuông góc (song song và vuông
góc với mặt tựa, có điểm đặt tại tâm
bản lề ) Hình 7
R = X + Y
Error: Reference source not foundHình
6
2.5: Liên kết ngàm : Liên kết này hạn chế chuyển động tịnh tiến và quay
theo mọi phương .
Phản lực liên kết là R và mô men
quay m có trị số và phương chiều
chưa biết nên phân thành hai thành
phần trên hệ trục OX và OY . các
phản lực XA,YA và m cần xác định
4. Giải phóng liên kết
7
R
X
R
α
Hình 7
m
X
Y
O
Y Y
X
Khi khảo sát một vật rắn hoặc giải một bài toán về cơ học, người ta
phải tách rời vật rắn ra khỏi vật gây liên kết và việc bỏ các vật gây liên kết,
thay thế vào đó là các phản lực liên kết gọi là giải phóng liên kết.
Sau khi giải phóng liên kết vật rắn được coi là cân bằng dưới tác dụng

của hệ lực gồm lực tác dụng (đã biết) và phản lực tác dụng (cần tìm)
Ví dụ
Quả cầu đồng chất có trọng lượng P, được treo vào
mặt tường thẳng đứng bằng một sợi dây (Hình 8).
Xác định các lực tác dụng lên quả cầu?
Giải phóng liên kết:
Vật gây liên kết: Sợi dây và mặt tường AB, P là
lực tác dụng đã biết .
Thay thế liên kết dây bằng phản lực liên kết T.
Thay thế liên kết tựa bằng phản lực liên kết N.
Khi đó xem như quả cầu đã được cân bằng bởi hệ
lực gồm: (P,T,N) đồng quy tại O
Error: Reference source
not found
Hình 8
Câu hỏi ôn tập
1.Phát biểu các tiên đề tình học?
2.Liên kết là gì? thế nào là vật gây liên kết, chịu liên kết? cho ví dụ?
3.Giải phóng liên kết là gì? cho một ví dụ và giải phóng liên kết đó?
4.Bài tập
Thanh đồng chất AB có khối
lượng m đầu A bắt bản lề cố địnhvà
tỳ lên tường tại C. Đầu B treo vật
nặng khối lượng m. Hãy xác định lực
tác dụng lên AB
Error: Reference source not found
Ngày tháng năm Biên soạn
Tổ môn duyệt
Bích An
BÀI 3: KHẢO SÁT HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY THEO PHƯƠNG

PHÁP HÌNH HỌC
1.Khái niệm

Hệ lực phẳng đồng
quy là hệ lực có các
đường tác dụng lực
Error: Reference source not found
8
N
A
T
B
O
P

F
2

F
3

F
n
cùng nằm trên một mặt
phẳng và cắt nhau tại
một điểm
Hình 1
2.Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học
2.1. Hợp lực của hai lực đồng
quy

2.1.1. Quy tắc hình bình hành
lực
Giả sử có hai lực F
1
và F
2
đồng quy tại O có hợp lực R là
đường chéo của hình bình hành
lực
(hình 2)

→→→
+=
21
FFR
Error: Reference source not found
Hình 2
Để xác định hợp lực
→
R
ta phải xác định trị số, phương chiều của nó.
Trị số của R : áp dụng hàm số cos cho tam giác OAC ta có :
R
2
= F
1
2
+ F
2
2

- 2 F
1
F
2
cos (180
0
-
α
). Vì cos (180
0
-
α
) = - cos
α
nên
R
2
= F
1
2
+ F
2
2
- 2 F
1
F
2
cos
α

R =
α
cos2
21
2
2
2
1
FFFF ++
Phương và chiều của
→
R
: áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác OBC ta
có :

αα
ααα
sinsin
sinsinsin
1
1
2
2
1
1
R
FRFF
=⇒==

αα

sinsin
2
2
R
F
=
1
α
và
2
α
cho ta xác định được phương chiều của
→
R
2.1.2. Các trường hợp đặc biệt
Hai lực song song cùng chiều
(hình 3a)
α
= 0, cos
α
= 1
Khi đó : R = F
1
+ F
2
Hai lực song song ngược chiều
(hình 3b)
α
= 180
0

, cos
α
= -1
Error: Reference source not found
Error: Reference
9

F
2

F
1




O

B

R

F
1

A

F
2

C


F
2
F
1


R

a,

b,
F
1
F
2
R
khi đó
R =
21
FF −

Nếu F
1
> F
2
thì R = F
1

- F
2

Hai lực vuông góc với nhau(hình
3c)
α
= 90
0
, cos
α
= 0
khi đó
2
2
2
1
FFR +=
source not found
2.2. Quy tắc tam giác lực(hình 4)
Ta có thể xác định
→
R
bằng cách từ
điểm mút A của
→
1
F
ta đặt
→
'

2
F
song
song cùng phương chiều và trị số
với
→
2
F
khi đó
→
R
có gốc đặt tại O
và có mút trùng với điểm mút của
→
2
F
→
R
=
→
1
F
+
→
2
F
Ta nói R khép kín tam giác lực
bởi các lực phần F
1
, F

2
Error: Reference source not found
Error: Reference
source not found
2.3. Phân tích một lực thành hai lực đồng quy (hình 5)
- Khi biết lực
→
R
đặt tại O và hai phương On, Om ta cần phân tích
→
R
thành hai lực thành phần
→
1
F
,
→
2
F
đặt trên các phương đó. Muốn vậy tại điểm
mút C của
→
R
ta kẻ các đường thẳng song song với các phương On, Om các
đường thẳng này cắt các phương đó tại A và B ta được
→→
=
1
FOA
và

→→
=
2
FOB
là
cáclực ta cần tìm.
-Khi biết phương, chiều và trị số của một lực
Giả sử ta biết lực
→
R
và một lực thành phần
→
1
F
ta phải phân tích
→
R
thành hai
lực thành phần
→
1
F
và
→
2
F
muốn vậy ta nối mút A của
→
R
với mút B của

→
1
F
ta có
véc tơ AB. Từ O ta kẻ véc tơ
→
2
F
song song cùng chiều và trị số với véc tơ AB
ta được
→
1
F
và
→
2
F
là các lực thành phần của
→
R
2.4.Hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy, phương pháp đa giác lực
Giả sử có hệ lực phẳng đồng quy tại
O (
→
1
F
,
→
2
F

→
n
F
). Muốn tìm hợp lực
của hệ lực ta áp dụng quy tắc tam

10

→
'
2
F


B

R
1

F
1


F
2
O

F
2

,

F
3

R
2

F
n

F
n
,

F
3
’

R


Hình 6
giác lực để hợp từng đôi lực một.
Từ điểm mút của
→
1
F
ta vẽ
→

'
2
F
song
song cùng chiều có cùng trị số với
→
2
F
ta có:
→
1
R
=
→
1
F
+
→
2
F
. Tiếp tục hợp
→
1
R
với
→
3
F
ta có
→

2
R
cứ như vậy ta có
→
R
=
→
−1n
R
+
→
n
F
.R là hợp lực của HLPĐQ đã cho

Error: Reference source not found
Nhận xét:
→
R
có gốc trùng với gốc của lực đầu tiên, và có mút trùng với
mút của lực cuối. Đường gẫy khúc
→
1
F
→
2
F

→
n

F
gọi là đa giác lực. Hợp lực
→
R
khép kín đa giác lực.
2.5.Điều kiện cân bằng theo phương pháp hình học
Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng quy được cân bằng là đa giác
lực phải tự khép kín nghĩa là hợp lực có điểm mút trùng với mút của lực cuối
cùng và có điểm gốc trùng với gốc của lực đầu tiên.
Câu hỏi ôn tập
1.Trình bày cách tìm hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy theo phương
pháp hình học?
2.Phát biểu điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy theo phương
pháp hình học?
Ngày tháng năm Biên soạn
Tổ môn duyệt

Bích
BÀI 4: KHẢO SÁT HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY BẰNG
PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU
1.Hình chiếu của một lực lên hai trục toạ độ
Giả sử có lực
→
F
và hệ trục XOY ta
phải xác định hình chiếu của lực
→
F
lên
các trục toạ độ

-Cách tiến hành :
+ Từ điểm mút và đểm gốc của lực
F, hạ đường vuông góc xuống hai trục
OX và OY
Error: Reference source not found
Hình 1
11

Y
+ Nối véc tơ đi từ hình chiếu của
điểm gốc đến hình chiếu của điểm mút
ta được Fx và Fy. Fx và Fy được gọi là
hình chiếu của lực
→
F
trên các trục. Khi
lực
→
F
hợp với trục một góc
α
(hình 1)
ta có :
Fx =
α
cos.F±
Fy =
α
sinF±
(1)

Dấu của hình chiếu là dương khi
véc tơ hình chiếu có chiều cùng chiều
dương của trục toạ độ và ngược lại.
Khi biết các hình chiếu Fx và Fy của lực
→
F
lên các trục toạ độ ta hoàn
toàn xác định được
→
F
Về trị số :
22
yx
FFF +=
(2)
Về phương chiều: tg
Fx
Fy
=
α
(3)
Nếu lực
→
F
song song với trục, chẳng hạn với trục OX (hình 2) thì Fy =
0
Fx =
F±
.
Như vậy: Lực song song với trục chiếu lên trục thì bằng chính nó, vuông góc

với trục chiếu lên trục thì bằng 0
2.Hình chiếu của một hợp lực phẳng đồng quy lên hệ trục toạ độ.
Giả sử có hệ lực phẳng đồng quy
tại O (
→
1
F
,
→
2
F

→
n
F
) có hình chiếu
tương ứng lên các trục là (
nxxx
FFF ,
21
) và (
nyyy
FFF , ,
21
)
ta có
→
R
là hợp lực của HLPĐQ
đã cho .

Trường hợp tổng quát là

→
R
=
→
1
F
+
→
2
F

→
n
F
=
∑
F
Hợp lực
→
R
có hình chiếu lên hai
trục là Rx và Ry. Theo kết quả
trong phép tính véc tơ th hình
chiếu của véc tơ tổng hợp bằng
Error: Reference source not found

12

Y

F

F
x

X

F
y

O

Hình 2

Y
tổng đại số hình chieéu của các
véc tơ thành phần do vậy ta có
Rx =
∑
=++
xnxxx
FFFF
21
Ry =
∑
=++
ynyyy
FFFF

21
(4)
Về trị số :
( )
( )
2
2
22
∑∑
+=+=
yxyx
FFRRR
(5)
Về phương chiều:
tg
∑
∑
==
Fx
Fy
Rx
Ry
α
(6)
3.Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy theo phương pháp chiếu
Điều kện cần và đủ đẻ hệ lực phẳng đồng quy được cân bằng là tổng
đại số hình chiếu của chúng lên hệ trục toạ độ vuông góc đều phải bằng 0
( )
( )
2

2
22
∑∑
+=+=
yxyx
FFRRR
mà
( )
2
∑
x
F
và
( )
2
∑
y
F
là những số
dương nên
→
R
chỉ bằng 0 khi
0=
∑
x
F

và
∑

y
F
= 0 (7)
Câu hỏi ôn tập
1.Trình bày cách tìm hình chiếu của một lực lên trục toạ độ?
2.Viết công thức tính hình chiếu của hệ lực phẳng đồng quy và phát biểu điều
kiện cân bằng
3. Nêu các bước giải bài toán về hệ lực phẳng đồng quy?
Ngày tháng năm Biên soạn
Tổ môn duyệt

Bích An
BÀI 5: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ HLPĐQ
1. Phương pháp giải một bài toán về hệ lực phẳng đồng quy
13
Để giải một bài toán về hệ lực phẳng đồng quy ta tiến hành như sau:
-Bước 1: +Phân tích bài toán
+Xác định các lực đã cho
+Giải phóng liên kết
+Xác định điều kiện cân bằng
-Bước 2: Giải hệ lực
+Theo phương pháp hình học
*Vẽ tam giác lực theo điều kiện tự khép kín
*Xác định các yếu tố của tam giác
*Tính toán các phản lực
+Theo phương pháp giải tích
*Chọn hệ trục toạ độ sao cho có nhiều lực song song hoặc
vuông góc với trục để phương trình của bài toán đơn giản
nhất.
* Chiếu các lực lên trục

* Lập phương trình cân bằng
*Giải phương trình tìm các phản lực liên kết.
-Bước 3: Nhận xét kết quả, nếu phản lực liên kếtcó giá trị dương thì
chiều phản lực ban đầu đặt đúng và ngược lại ta phải đổi chiều phản lực.
2.Bài tập 1
Tại điểm A của giá chịu lực (hình
1)người ta treo một vật có P =
100N. Biết AB = 20cm, AC = 40
cm. Xác định phản lực tác dụng lên
các thanh
Error: Reference source not found

Bài giải
- Phân tích: P = 100N, AB= 20 Cm, AC = 40Cm
- Gải phóng liên kết có S
1
và S
2
là các phản lực của các thanh
- Hệ lực (P, S
1
, S
2
) cân bằng đồng quy tại A
- Xét tam giác ABC có sin
α
=
0
1
2

30
2
1
40
20
===
S
S
Theo phương pháp hình học
- Vẽ tam giác lực (hb)
- Tính S
1
và S
2

14

A

P
α

B

S
1
S
2
S
1

α

P

C

Hình
1

S
2

S
2

S
1

Y

X

a,

b,

c,
S
1
=

N
P
116
3
2.100
30cos
0
==
S
2
= S
1.
sin 30
0
= 116.
=
2
1
58N
Theo phương pháp hình chiếu
-Đặt hệ lực vào hệ trục (hc)
-Chiếu các lực lên trụcvà lập được phương trình cân bằng
0=
∑
x
F

∑
⇒
x

F
= -S
1
+ S
2
.sin 30
0
= 0 (1)

∑
y
F
= 0
∑
⇒
y
F
= - P +S
2
cos 30
0
= 0 (2)
-Giải phương trình
từ (2) ta có S
1
. cos 30
0
= P
N
P

116
3
2.100
30cos
0
==⇒
từ (1) ta có: S
2
= S
1
. sin 30
0
= 116. 116.
=
2
1
58N
Từ hai phương pháp cho thấy các phản lực đều có giá trị dương nên chiều
phản lực đặt như vậy là đúng.
Bài tập 2
Một quả cầu đồng chất có P
= 50N tựa trên một mặt nghiêng
nhẵn và được giữ bởi sợi dây AB
song song với mặt nghiêng đó.
Biết
α
= 30
0
. Xác định các phản
lực lên quả cầu?

Bài giải
Error: Reference source not found

- Theo phương pháp hình học:
+ Lực tác dụng lên quả cầu gồm (P,T, N) và đồng quy tại O.
+ Xét tam giác IHK có I =
α
= 30
0
, H = 90
0
(giả thiết )
Ta có N = P .cos30
0
= 50.
2
= 43,3N
T = P.sin 30
0
= 50.
2
1
= 25N
- Theo phương pháp hình chiếu chọn hệ trục như hình vẽ ta có các
phương trình cân bằng
15

A

P

T

Hình 2

H
K
0=
∑
x
F

∑
⇒
x
F
= -T + P .sin 30
0
= 0 (1)

∑
y
F
= 0
∑
⇒
y
F
= N - P cos 30
0

= 0 (2)
Giải phương trình
từ (1) ta có P. sin 30
0
= T vậy T = 50.
2
1
= 25N
từ (2) ta có: N= P. cos 30
0
= 50.
2
= 43,3N
Câu hỏi ôn tập
1.Ôn các câu hỏi lý thuyết của bài 3,4
2.Bài tập 1,2,3,4,5,7 (41,42)
Ngày tháng năm Biên soạn
Tổ môn duyệt

Bích An
BÀI 6: MÔ MEN - NGẪU LỰC
1.Mô men của một lực đối với một điểm
1.1.Định nghĩa
Giả sử vật rắn chịu tác dụng
của lực
→
F
, vật có thể quay quanh
điểm O cố định. Tác dụng quay mà
lực

→
F
gây cho vật quay không chỉ
phụ thuộc vào trị số của lực mà nó
còn phụ thuộc vào
-Khoảng cách từ điểm O đến
đường tác dụng lực
-Chiều quay phụ thuộc vào
chiều quay của lực và vị trí đường
tác dụng đối với điểm O

Đại lượng đặc trưng cho tác dụng mà lực gây ra cho vật quay quanh điểm
O là mô men m của lực đối với một điểm.
Định nghĩa: Mô men của lực
→
F
đối với tâm O là tích số giữa trị số của lực
và cánh tay đòn của lực đối với điểm đó
m
0
(
→
F
) =
±
F. a (1)
16

Hình 1
A

O

B
→
F
m
0
()
Quy ước m
0
(
→
F
) lấy dấu (+) nếu chiều của lực
→
F
làm cho vật quay quanh
tâm O ngược chiều kim đồng hồ và ngược lại.
Trị số m bằng hai lần diện tích tam giác do lực và điểm O tạo thành.
m
0
(
→
F
) = 2 S
∆
OAB (Nm) (2)
Nếu đường tác dụng của
→

F
đi qua O thì m
0
(
→
F
) = 0 và a = 0
1.2.Mô men của hợp lực đối với một điểm
Định lý Va Ri Nhông: Mô men của một hợp lực của một hệ lực
phẳngđối với một điểm nào đó nằm trên mặt phẳng bằng tổng đại số mô men
của các lực thành phần đối với điểm đó.
m
0
(
→
R
) =






→
∑
Fm
0
(3)
2.Ngẫu lực
2.1. Định nghĩa (hình 2)

Hệ gồm hai lực song song ngược chiều có trị số bằng nhau gọi là một
ngẫu lực
Ký hiệu: (
→
F
,
→
F
)
Khoảng cách a giữa đường tác
dụngcủa hai lực gọi là cánh tay đòn
của ngẫu lực.
Ta có thể trượt các lực để đoạn
nối hai điểm đặt đúng là cánh tay đòn
Trường hợp này R = F – F
’
= 0
Vì F = F
’

2.2.Các yếu tố của ngẫu lực (hình 3)
Ngẫu lực được xác định bởi ba
yếu tố:
-Mặt phẳng tác dụng của ngẫu
lực là mặt phẳng chứa các lực của
ngẫu lực.
-Chiều quay của ngẫu lực là
chiều quay của vật do ngẫu lực gây
ra
Chiều quay là dương khi vật quay

ngược chiều kim đồng hồ và ngược

17
A

a

a
B
F
F
F
F
Hình 2


a
F
F
Hình 3
F
F

(+)

(-)
m
m

a

lại
-Trị số mô men của ngẫu lực là tích số giữa trị số của lực với cánh tay
đòn .
Ký hiệu m
m = F. a (Nm) (4)
2.3.Các tính chất của ngẫu lực
-Tác dụng của một ngãu lực không đổi khi ta di chuyển vị trí trong mặt
phẳng tác dụngcủa nó
-Ta có thể biến đổi lực và cánh tay đòn của ngẫu lực một cách tuỳ ý sao
cho vẫn đảm bảo trị số mô men và chiều quay của ngẫu lực là không đổi.
Từ tính chất trên ta thấy tác dụng của ngẫu lực trên một mặt phẳng
hoàn toàn được đặc trưng bởi chiều quay và trị số mô men của nó. Điều này
cho phép biểu diễnmột ngẫu lực bằngchiều quay và trị số mô men của nó như
sau
Error: Reference source not found
2.4. Hợp của hệ ngẫu lực phẳng
Giả sử ó hệ ngẫu lực phẳng lần lượt có mô men là m
1
, m
2
, m
n
(Hình
5). Ta biến đổi hệ ngẫu lực này thành hệ ngẫu lực (
→
1
F
,
→
1

F
);(
→
2
F
,
→
2
F
); (
→
n
F
,
→
n
F
)
có cùng tay đòn a. Hợp lực
→
R
của các lực
→
1
F
,
→
2
F
,

→
n
F
đặt tại A và B là hai lực
song song ngược chiều và có cùng trị số (R = RA = RB =
n
FFF −+−
21
) tạo
thành ngẫu lực (
→
R
,
→
R
) đó là ngẫu lực tổng hợp có mô men M = R. a =
∑
m
(5)
Như vậy : Hợp một hệ ngẫu lực phẳng cho ta một ngẫu lực tổng hợp có
mô men bằng tổng đại số mô men của các ngẫu lực thuộc hệ.
18
m
1
m
2
m
n
F
2

F
2
F
1
F
1
F
n
F
n
R
R
A B
a
Hình 4
Error: Reference source not found
Ví dụ : Một hệ ngẫu lực phẳng gồm
Hãy xác định M. Nếu ngẫu lực có a = 0,5m thì trị số R = ?
Bài giải: Từ công thức (5) ta có : M = 60 + 120 - 30 = 150Nm
Từ M = R.a
N
a
M
R 300
5,0
150
===⇒
2.5 Điều kiện cân bằng
Muốn hệ ngẫu lực phẳng cân bằng thì M = 0 mà M =
∑

m
do vậy M
chỉ bằng 0 khi
∑
m
= 0
Điều kiện cần và đủ để một hệ ngẫu lực phẳng được cân bằng là tổng
đại số mô men của các ngẫu lực thuộc hệ phải bằng 0
Câu hỏi ôn tập
1.Mô men của một lực đối với một điểm là gì? viết biểu thức và nêu quy ước
dấu?
2.Phát biểu và viết biểu thức toán học của định lý Va Ri Nhông?
3.Ngẫu lực là gì? nêu tính chất của ngẫu lực và cách biểu diễn nó trên bản vẽ?
4.Viết biểu thức tính mô men cho ngẫu lực tổng hợp và giải thích công thức
đó?
5. Bài tập 1,2,3,4,5, (trang 63, 64)
Ngày tháng năm Biên soạn
Tổ môn duyệt

Bích An
19
Hình 5
m
1
= 60Nm; m
2
=120Nm; m
3
=- 30Nm
BÀI 7: HỆ LỰC PHẲNG BẤT KỲ

1.Định nghĩa
Hệ lực phẳng bất kỳ là hệ lực có các đường tác dụng lực cùng nằm
trên một mặt phẳng và có hướng bất kỳ.
2.Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cho trước
2.1. Định lý rời lực song song
Khi rời song song một lực, để tác dụng cơ học không tháy đổi ta phải
thêm vào một ngẫu lực phụ có mô men bàng tổng các mô men của lực lấy với
điểm mới rời đến (hình 1)
Error: Reference source not found
Chứng minh: Cho lực
→
F
đặt tại A. áp dụng tiên đề 2 đặt thêm tại điểm B bất
kỳ hai lực
→
'
F
và
→
''
F
cân bằng nhau và có F
’
= F
’’
= F (Hình 2)
→
'
F
,

→
''
F
,
→
F
song
song với nhau khi đó (
→
'
F
,
→
''
F
,
→
F
)
→
F
Error: Reference source not found
→
''
F
và
→
F
tạo thành ngẫu lực nên
→

F
(
→
'
F
+ ngẫu lực (
→
''
F
,
→
F
) )
→
'
F
song song cùng chiều và có trị số của
→
F
nghĩa là có thể coi
→
'
F
là
→
F
dời
song song từ A đến B .
Ngẫu lực (
→

''
F
,
→
F
) có mô men m = - F. a. mặt khác
→
→






Fm
B
= - F. a nên
m =
→
→






Fm
B
. Định lý đã được chứng minh.
2.2.Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cho trước(hình 3)

Giả sử một hệ lực phẳng (
→
1
F
,
→
2
F
,
→
n
F
) đặt tại A,B, N (hình 3) cần phải thu
hệ lực đó về tâm O bất kỳ nằm trong mặt phẳng chứa các lực
Error: Reference source not found
Theo định lý rời lực song song ta dời tất cả các lực về tâm O ta có :

→
1
F
(
→
'
1
F
+ ngẫu lực (m
1
= m
0

(
→
1
F
) )

→
2
F
(
→
'
2
F
+ ngẫu lực (m
2
= m
0
(
→
2
F
) )
20
Hình 2
→
n
F
(
→

n
F
'
+ ngẫu lực (m
n
= m
0
(
→
n
F
) )
Như vậy hệ lực phẳng bấy kỳ đã cho tương đương với một hệ lực
phẳng đồng quy tại O và một hệ ngẫu lực phẳng.
Thu hệ lực phẳng đồng quy tại O ta được
→
R
Thu hệ ngẫu lực phẳng ta được ngẫu lực có mô men là:
M
0
=
∑
m
=







→
∑
Fm
0
Tóm lại (
→
1
F
,
→
2
F
,
→
n
F
) (
→
R
+ ngẫu lực có mô men là M
0.
Theo định
nghĩa của hợp lực thì
→
R
không phải là hợp lực mà ta gọi là véc tơ chính của
hợp lực đã cho, còn M
0
gọi là mô men chính của hệ lực đã cho đối với điểm O
Vậy: Hệ lực phẳng bất kỳ tương đương với một véc tơ chính và một mô

men chính .
Trị số của
→
R
=
( ) ( )
22
∑∑
+ YX
Phương, chiều : cos
'
R
X
∑
=
α
sin
'
R
Y
∑
=
α
Mô men chính M
0
=







→
∑
Fm
0
Chú ý: - Véc tơ chính không phụ thuộc vào tâm thu gọn vì các lực được
dời song song
-Mô men chính thay đổi theo tâm thu gọn vì mỗi tâm khác
nhau, lực có thể có cánh tay đòn và chiều quay khác nhau.
3. Điều kiện cân bằng
3.1.Điều kiện tổng quát:
Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ được cân bằng là véc tơ
chính và mô men chính của hệ ddối với một tâm bất kỳ đều phải bằng không.
3.2.Các dạng phương trình cân bằng
Dạng 1:
∑
Fx
= 0
∑
Fy
= 0






→
∑

Fm
0
= 0
21
Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ được cân bằng là tổng hình
chiếu của các lực lên hai trục toạ độ và tổng mô men của các lực lấy đối với
một tâm bất kỳ trên mặt phẳng các lực đều phải bằng không
Dạng 2:
∑
Fx
= 0
∑






→
Fm
A
= 0






→
∑

Fm
B
= 0 (X không vuông góc với phương AB)
Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ được cân bằng là tổng mô
men của các lực lấy đối với hai điểm A và B và tổng hình chiếu của các lực
lên trục X không vuông góc với phương AB đều phải bằng không
Dạng 3:
∑






→
Fm
A
= 0






→
∑
Fm
B
= 0







→
∑
Fm
C
= 0 (A, B, C không thẳng hàng)
Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ được cân bằng là tổng mô
men của các lực lấy đối với ba điểm A, B, C không thẳng hàng đều phải
bằng không.
Câu hỏi ôn tập
1.Hệ lực phẳng bất kỳ là gì? Phát biểu và chứng minh định lý dời lực song
2.Cách thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cho trước, kết quả thu đựơc như
thế nào?
3.Vì sao tâm thu gọn khác nhau thì véc tơ chính không đổi mô men chính lại
thay đổi?
4.Viết các dạng phương trình và phát biểu điều kiện cân bằng cho các trường
hợp đó?
Ngày tháng năm Biên soạn
Tổ môn duyệt

22
Bích An
BÀI 8: HỆ LỰC PHẲNG SONG SONG
1.Định nghĩa
Hệ lực phẳng song song là
hệ lực có các đường tác dụng lực

cùng nằm trong một mặt phẳng
và song song với nhau
Error: Reference source not found
2.Hợp hệ lực phẳng song song
2.1. Hợp hai lực song song cùng chiều
Giả sử có hai lực
→
1
F
và
→
2
F
song song cùng chiều đặt tại hai điểm A và B
của vật ta phải tìm hợp lực của chúng. Muốn vậy ta phải thay thế hai lực
→
1
F
,
→
2
F
bằng cáclực đồng quy tương đương.(Hình 2)
Tại A và B ta đặt thêm hai
lực cân bằng nhau
→
1
P
và
→

2
P
. Theo
tiên đề 2 ta có (
→
1
F
,
→
2
F
) (
→
1
P
,
→
1
F
,
→
2
P
,
→
2
F
).
Hợp hai lực
→

1
P
và
→
1
F
;
→
2
P
và
→
2
F
ta
có :
→
1
R
=
→
1
P
+
→
1
F
và
→
2

R
=
→
2
P
+
→
2
F
và (
→
1
F
,
→
2
F
) (
→
1
P
,
→
1
F
,
→
2
P
,

→
2
F
) (
→
1
R
→
2
R
)
→
'
1
P
và
→
2
'
P
cân bằng ta bỏ đi còn
lại
→
'
1
F
và
→
2
'

F
đặt tại D như vậy
ta đã thế hai lực song song
→
1
F
,
→
2
F
đặt tại A và B thành hai lực
→
'
1
F
và
→
2
'
F
đặt tại D
Error: Reference source not found
23
và chúng có hợp lực là
→
R
đó cũng chính là hợp lực của hai lực song song
→
1
F

,
→
2
F
đặt tại A và B
→
R
=
→
1
F
+
→
2
F
=
→
'
1
F
+
→
2
'
F
Về trị số R = F
1
+ F
2

Về phương chiều : song song, cùng phương chiều với hai lực ban đầu
Điểm đặt: trượt R về C nằm trên đường thẳng AB :
1
2
F
F
CB
CA
=
(1)
Theo tính chất của tỷ lệ thức ta có thể viết :
R
AB
FF
CBCA
F
CB
F
CA
=
+
+
==
2112
(2)
Như vậy: hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực song
song cùng chiều với chúng có trị số bằng tổng các trị số của chúng, co điểm
đặt chia trong đường nối điểm đặt của hai lực thành hai đoạn thẳng tỷ lệ
nghịch với trị số của hai lực đã ấy.
Ví dụ:

Một đòn AB dài 0,6 m. Tại A và
B treo vật có trọng lượng 80Kn và
20KN .Xác định điểm đặt cho đòn cân
bằng: (hình 3)
Giải: R = F
1
+ F
2
= 80 + 20 = 100KN
Điểm đặt của hợp lực là :
m
R
ABF
CA
R
AB
F
CA
12,0
100
6,0.20.
2
2
===⇒=
Error: Reference source not found
CB = AB - CB = 0,6 - 0,12 = 0,48 m
Nếu biết R= 100KN, AB = 0,6m và AC = 0,12m ta có thể tìm được F
1
và F
2

Từ
KN
AB
RAC
F
R
AB
F
AC
20
6,0
100.12,0.
2
2
===⇒=
F
1
= R - F
2
= 100 - 20 = 80 KN
2.2.Hợp hai lực song song ngược chiều
- Hợp hai lực song song ngược chiều có cùng trị số là trường hợp đặc
biệt ta đã xét ( bài 6 mục 2) (P = P
’

⇒
R = 0 vì R = P – P
’
)

- Hợp hai lực song song ngược chiều không cùng trị số (hình 4) Bằng
cách hợp dần hai lực một ta có
24
Hợp lực của hai lực song
song ngược chiều không cùng trị
số là một lực song song cùng
chiều với lực có trị số lớn hơn, có
trị số bằng hiệu của hai lực đã
cho, có điểm đặt chia ngoài
đường nối điêm đặt của hai lực
đã cho thành hai đoạn thẳng tỷ lệ
nghịch với trị số của hai lực ấy
(Nằm phía ngoài lực có trị số lớn
hơn)
Error: Reference source not found
Về trị số : R = F
1
- F
2
(3)
Điểm đặt: Từ (1) :
1
2
F
F
CB
CA
=
ta có:
R

F
AB
CA
2
=
và theo tính chất của tỷ lệ
thức ta có thể viết :
R
AB
F
CB
F
CA
==
12
(4)

Về phương chiều : Song song,ngược chiều với lực có trị số lớn
Ví dụ
Hai lực
→
1
F
= 30KN,
→
2
F
= 20KN, cho AB = 0,2m. Xác định hợp lực của
hai lực ấy.
Từ công thức (3) ta có R = F

1
- F
2
= 30 - 20 = 10 KN
Từ công thức (4) ta có :
mAB
R
F
CA
R
AB
F
CA
4,02,0.
10
20
.
2
2
===⇒=
2.3.Điều kiện cân bằng
Giả sử ta có hệ lực (F
1
, F
2
F
n
) (hình 5) chọn hệ trục OY song song
với phương của các lực ấyta có
∑

x
F
= 0 nên từ điều kiện cân bằng của hệ lực
phẳng ta có thể suy ra :

∑
y
F
= 0






→
∑
Fm
o
= 0 (5)
Điều kiện cần và đủ để hệ
lực phẳng song song được cân
bằng là tổng đại số hình chiếu
Error: Reference source not found
25