Tài liệu Sử dụng phương trình động lực học vật rắn giải bài toán liên kết ròng rọc với dây treo các vật docx

DẠNG 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN GIẢI BÀI TOÁN
LIÊN KẾT RÒNG RỌC VỚI DÂY TREO CÁC VẬT
I. PHƯƠNG PHÁP.
a. Áp dụng hai phương trình động lực học của vật rắn qanh một trục cố định.
M =
dt
dL
và M = I.
β
= Fd.
b. Áp dụng công thức liên hệ giữa các phần chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay:
Quãng đường và toạ độ góc: x = R
ϕ
.
Tốc độ dài và tốc độ góc: v
ω
R=
.
Gia tốc dài và gia tốc góc:
γ
Ra =
Trong đó R là bán kinh góc quay
II. BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Bài 1: Một ròng rọc có khối lượng m = 400g phân bố đều trên vành bán kính r = 10 cm.
1. Tính mô men quán tính của ròng rọc đối với trục quay qua nó.
2. Quấn trên rãnh ròng rọc một dây quấn khối lượng không đáng kể, không giãn, một đầu gắn vào ròng rọc đầu
kia gắn vào vật A khối lượng m
1
= 0,6 kg. Buông ra cho vật A chuyển động. tính gia tốc của vật A và lực căng
của sợi dây. Cho g = 10 m/s
2

.
Giải:
1. Tính I:
Mô men quán tính của ròng rọc: I = m.r
2
= 0,4.0,1
2
= 4.10
-3
kg.m
2
.
2. Tìm a và T:
Chọn chiều dương là chiều chuyển động như hình vẽ 3.1
Áp dụng pt của định luật II niuton cho vật A
m
1
g – T = m
1
a (1)
Áp dụng phương trình động lực học cho ròng rọc
M = T.r = I.
γ
(2)
Mặt khác gia tốc góc của ròng rọc là
γ
=
r
a
(3)

Thay (3) vào (2) ta được
T = ma (4)
Giải hệ phương trình (1)(4) ta tính được sức căng cúa sơị dây và gia tốc của vật A
a =
2
1
1
/6 smg
mm
m
=
+
. T = 2,4N.
Nhận xét: Đối với bài toán dạng này nếu cho biết khối lượng của ròng rọc, vật A và gia tốc trọng trường thì
lực căng của sợi dây và gia tốc a xác định theo công thức: a =
g
mm
m
+
1
1
. Và T = ma
Bài 2: Cho hệ cơ như hình 3.2. Ròng rọc có khối lượng m
1
= 1kg phân bố đều trên vành có bán kính R = 20 cm.
Dây nhẹ không dãn, một đầu gắn vào ròng rọc, đầu kia gắn vào vật nặng có khối lượng m = 1 kg. Hệ bắt đầu
chuyển động với vận tốc bằng 0. Lấy g = 10m/s
2
.
1. Tìm gia tốc của vật nặng A và sức căng của sợi dây.

2. Tìm vận tốc góc của ròng rọc khi nó đi được 0,4m.
3. Trường hợp có mô men cản tác dụng vào ròng rọc thì
vật nặng đi xuống 1m và đạt gia tốc 0,5m/s
2
. Tính mô men lực cản.
Giải:
1. Tìm a và T:
Áp dung kết quả bài trên ta suy ra:
a =
2
1
1
/5 smg
mm
m
=
+
. Và T = ma = 5 N.
2. Tìm v:
Áp dụng công th ức :
smsavsavv /2.2.2
2
0
2
==→=−
.
T
P

•o

A
T
+
Hình 3.1
•o
A
Hình 3.2
M
c
3. Tìm mô men cản M
c
:
Khi có mô men cản vật sẽ chuyển động chậm hơn với gia tốc a
,
, sức căng sợi dây lúc này là T
,
và gia tốc góc
,
γ
.
Áp dụng phương trình động lực học cho vật rắn A và ròng rọc:
,,
maTmg =−
(1)
,
1
,
2
1
,,

. aRm
R
a
RmIMRTM
c
===+=
γ
(2)
(Mô men quán tính I =
2
1
Rm
)
Giải hệ (1)và (2) ta suy ra:
[ ]
mgammRM
c
−+=
,
1
)(
(3).
Tính a
,
:
2
,
2
,
/125,0

2
sm
s
v
a ==
(4)
Thay (4) vào (3 ) ta suy ra :
mNM
c
.95,1−=
.
Nhận xét:
Thông thường bài toán ta xét thì không có mô men cản tuy nhiên đối với bài toán này lại xuất hiện mô men cản
vì vậy gia tốc khi chưa có mô men cản lớn hơn gia tóc khi không có mô men cản.
Mô men cản có tác dụng cản trở chuyển động quay nên ta có thể xem nó như lực ma sát trong chuyển động
tịnh tiến.
Nếu ròng rọc là một đĩa tròn phân bố đều lúc này bằng phép biến đổi tương tự và chú ý
2
2
1
mRI =
ta sẽ suy ra
được các kết quả bài toán như sau:
•Xét trường hợp không có mô men cản : a =
g
mm
m
2
2
1

1
+
. Và T =
2
1
ma.
•Xét trường hợp có mô men cản:






−+= mga
m
mM
c
,
1
)
2
(
Bài 3: Một ròng rọc là một đĩa tròn đồng chất có khối lượng m = 200g, bán kính r = 10 cm. Có thể quay quanh
trục nằm ngang qua tâm. Một dây mảnh có khối lượng không đáng kể, không dãn, vắt qua ròng rọc, hai đầu
dây gắn vào hai quả cân A, B khối lượng m
1
= 500 g và m
2
= 400g (Hình 3.4). Lúc đầu hệ đứng yên, buông ra
cho hai quả cầu chuyển động lúc t = 0. Lấy g = 10 m/s

2
.
1. Dự đoán xem vật chuyển động theo chiều nào.
2. Tính gia tốc của các quả cân và gia tốc góc của ròng rọc.
3. Tính lực căng của dây treo các vật.
Giải:
1. Dự đoán chiều chuyển động của hệ.
Nhận thấy P
1
> P
2
nên hệ sẽ chuyển động về phía của vật m
1
.
2.Tìm a và
γ
.
Chọn chiều dương là chiều chuyển động của hệ như hình vẽ.
Áp dụng phương trình định luật II Niniu tơn cho hai vật m
1
và

m
2
amTgm
111
=−
(1).
•o
m

1
m
2
Hình 3.3
•o
m
1
m
2
Hình 3.4
1
T

1
P

2
P

2
T

1
T

2
T

amgmT
222

=−
(2).
Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay của vật rắn
γ
IrTTM =−= )(
21
(3).
Với gia tốc góc và mô men quán tính xác định theo công thức:
r
a
=
γ
,
2
2
1
mrI =
(4).
Thay (4) vào (3) ta suy ra
2
21
ma
TT =−
(5).
Lấy (1) + (2) ta suy ra
ammgmgmTT )(
212112
+=−+−
(6).
Giải hệ phương trình (5) và (6) ta được Gia tốc:

2
21
21
/1
2
)(
smg
m
mm
mm
a =
++
−
=
Gia tốc góc:
./10 srad
r
a
==
γ
3. Tìm T
1
và T
2
.
Thay a vào các phương trình (1) và (2) ta suy ra
NagmT 5,4)(
11
=−=
.

NagmT 4,4)(
22
=+=
.
Bài 4: Ròng rọc có khối lượng m = 0,1 kg phân bố đều trên vành tròn bán kính r = 5 cm quanh trục của nó. một
dây mảnh có kích thước không đáng kể, không dãn vắt qua ròng rọc ở hai đầu gắn vào vật nặng A, B khối
lượng m
1
= 300g và m
2
= 100g. Hệ thống được thả cho chuyển động với vận tốc bằng không (Hình 3.5 ). Lấy g
= 10 m/s
2
.
1. Tính gia tốc của vật A,B và gia tốc góc của ròng rọc.
2. Tính tốc độ góc của ròng rọc khi vật A đi được 0,5 m.
3. Tính các lực căng hai bên ròng rọc.
Giải:
1. Tìm a và
γ
.
Áp dụng kết quả bài trên và để ý I = mr
2
ta suy ra
2
21
21
/4
)(
smg

mmm
mm
a =
++
−
=
; .
2
/80 srad
r
a
==
γ
.
2.Tìm
ω
.
Tốc độ dài của ròng rọc là:
smsav /2.2 ==
Tốc độ góc:
srad
r
v
/40==
ω
3.Tìm T
1
và T
2
.

NagmT 4,1)(
11
=−=
.
NagmT 8,1)(
22
=+=
.
Nhận xét: Bài toán này hoàn toàn giống như bài toán trên nhưng chỉ khác nhau ở
chỗ là đối với ròng rọc là đĩa tròn thì mô men quán tính là I = mr
2
/2 còn đối với
ròng rọc là vành tròn thì mô men quán tính là I = mr
2
. Vì vậy kết quả của biểu
thức tính gia tốc tổng quát chỉ khác nhau “một chút” thay m/2 bằng m trong
biểu thức của gia tốc ở mẫu mà thôi!
Bài 5: Một dây không dãn khối lượng không đáng kể vắt qua ròng rọc có
bán kính r = 10 cm, có thể quay quanh trục nằm ngang qua nó. Hai đầu gắn
vào hai vật A, B có khối lượng m
1
= 0,22kg và m
2
= 0,225kg. Lúc đầu hệ
đứng yên (Hình 3.6). Thả m
2
để m
2
đi xuống 1,8 m trong 6 giây. Lấy g = 10m/s
2

.
1. Tính gia tốc của vật m
1
, m
2
và gia tốc góc của ròng rọc.
2. Tính lực căng hai bên của ròng rọc.
3. Tính mô men quán tính của ròng rọc.
Giải:
1. Tìm gia tốc.
Tìm a:
•o
m
1
m
2
Hình 3.5
•o
m
1
m
2
Hình 3.6
Áp dụng công thức:
2
0
2
1
atvs +=
ta suy ra:

2
22
/1,0
6
8,1.22
sm
t
s
a ===
Tìm
γ
:
Gia tốc góc:
2
/1
1,0
1,0
srad
r
a
===
γ
2. Tính T
1
và T
2
.
Chọn chiều dương là chiều chuyển động
Áp dụng phương trình định luật II niu tơn cho vật m
1

và m
2
ta được
1 1
( ) 2,222T m g a N= + =
.
2 2
( ) 2,275T m g a N= − =
.
3. Tìm I.
Áp dụng phương trình động lực học
γ
IrTTM =−= )(
21
suy ra
23
21
.10.3,5
)(
mkgr
TT
I
−
=
−
=
γ
Bài 6: Hai vật có khối lượng m
1
= 0,5 kg và m

2
= 1,5 kg được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ, không dãn
vắt qua ròng rọc có trục qay nằm ngang cố định gắn vào mép bàn (Hình 3.7). Ròng rọc có mô men quán tính
0.03 kg.m
2
và bán kính 10 cm. Coi rằng dây không trượt trên ròng rọc khi quay. bỏ qua ma sát.
1. Xác định gia tốc của m
1
và m
2
.
2. Tính độ dịch chuyển của m
2
trên mặt bàn sau 0,4s kể từ lúc bắt đầu chuyển động.
Giải:
1. Tìm a:
Chọn chiều dương 0x là chiều chuyển động.
Áp dụng phương phương trình định luật II Niu tơn cho 2 vật
amTgm
111
=−
(1).
T
2
= m
2
g (2).
Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động của ròng rọc
M = (T
1

– T
2
)R = I
γ
=
R
a
I
(3). (Với
R
a
=
γ
)
Ta suy ra
2
21
R
a
ITT =−
(4).
Lấy (2) – (1) ta suy ra kết hợp với (4) ta suy ra:
2
2
21
1
/98,0 sm
R
I
mm

gm
a =
++
=
.
2. Tìm s:
Áp dụng công thức:
cmats 84,74,0.98,0.
2
1
2
1
22
===
Nhận xét: Bài toán này còn có thể khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau:
Tính gia tốc của hai vật.
Tính gia tốc góc của ròng rọc.
Tính lực căng của các dây liên kết với vật.
Tính quãng đường di chuyển của các vật m
1
và m
2
.
Tính vận tốc của m
1
và m
2
ở tại các thời điểm khác nhau.
Có những trường hợp ta còn khai thác ở cả góc độ vật m
2

chuyển động có ma sát trên mặt nằm ngang
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Hai vật được nối với nhau bằng một dây không khối lượng, không
dãn, vắt qua m
1
một ròng rọc gắn ở mép bàn. Vật ở trên bàn có khối lượng
m
1
= 0,25kg, vật kia có khối lượng m
2
= 0,2kg. Ròng rọc có dạng là một
hình rụ rỗng, mỏng, có khối lượng m = 0,15 kg. Hệ số ma sát trượt giữa
vật và mặt bàn là
µ
= 0,2. Biết ròng rọc không có ma sát và dây không
trượt trên ròng rọc. Lấy g = 9,8 m/s
2
. Thả cho hệ chuyển động.
Gia tốc của hai vật m
2
và các lực căng của hai nhánh dây
A. a = 2,45 m/s
2
; T
1
= 1,1 N ;T
2
= 1,47 N B. a = 2,54 m/s
2
; T

1
= 1,47 N ;T
2
= 1,1 N
+ x
m
1
m
2
Hình 3.7
C. a = 2,45 m/s
2
; T
1
= 1,74 N ;T
2
= 1,1 N D. a = 0,245 m/s
2
; T
1
= 1,1 N ;T
2
= 1,47 N
Câu 2: Một khối trụ P đồng chất, bán kính R = 60 cm, khối lượng M = 28kg có thể
quay không ma sát quanh một trục nằm ngang. Một sợi dây nhẹ quấn nhiều vòng
quanh khối trụ và đầu kia mang vật q có khối lượng m = 6kg. Buông hệ tự do vật Q đi
xuống làm hình trụ quay. Lấy g = 10m/s
2
.
Lực căng của dây trong quá trình chuyển

động là
A. 14N . B. 21N. C. 42N. D. 24N.
R
m
M