de thi HSG Toan THCS tinh phu yen nam 20152016

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN. KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2015-2016 Môn TOÁN Ngày thi : 02/3/2016 Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề). Câu 1. (4,00 điểm) Cho biểu thức: a a −1 a √ a+ 1 1 3 a 2+ a p= √ − +( √ a − )( √ − √ ). a −√a a+ √ a √ a √ a −1 √ a+1 a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6.. √ 4 x 2 +5 x+1 −2 √ x2 − x +1=9 x −3 .. Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình. Câu 3. (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn Chứng minh rằng xyz ≤. 1 1 1 + + =2 . 1+2 x 1+2 y 1+ 2 z. 1 . 64. ¿ 900 Câu 4. (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có .Dựng các tam giác vuông cân ¿^ A ¿ tại A là BAM và DAN (B và N cùng nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN. Câu 5 (5.00 điểm) Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G là trọng tâm.Tiếp tuyến tại B của (O) cắt CG tại M.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại N.Gọi X,Y theo thứ tự là giao điểm của CN ,AN và đường thẳng qua B song song với AC; Z,T theo thứ tự là giao điểm của BM,AM và đường thẳng qua C song song với AB. Chứng minh rằng : a). AB.CZ = AC.BX. b) M^ A B=N ^ AC . ------Hết-----Thí sinh không sử dụng tài liệu.Giám thị không giải thích gì thêm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN Câu 1. (4,00 điểm) Cho biểu thức: a a −1 a √ a+ 1 1 3 a 2+ a p= √ − +( √ a − )( √ − √ ). a −√a a+ √ a √ a √ a −1 √ a+1 a) Rút gọn biểu thức P. √ a 3 − 13. √ a3 +13. a2 −1 √ +( )(. 3 √ a ( √ a+1) (2+ √ a)( √ a −1) − ). √ a( √a −1) √ a( √ a+1) √a ( √ a− 1)( √ a+1) (√ a −1)(√ a+1) ( √ a −1)(a+ √ a+1) ( √ a+1)(a − √ a+1) a − 1 3 a+3 √ a −2 √ a+2 −a+ √ a − + . ( √ a −1)( √ a+1) √ a( √ a− 1) √a (√ a+1) √a (a+ √ a+1) (a − √ a+1) a − 1 2a+ 2 √ a+ 2 − + . √a √a √ a ( √a − 1)( √a+ 1) 2 √ a ( √ a −1)( √ a+1) 2(a+ √ a+1) + . ( √ a −1)( √ a+1) √a √a 2(a+ √ a+1) 2+ √a 2 √ a+ 2a+ 2 √a+ 2 √a 2 2 √ a+ + 4 √a. p=. −. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6. 2 2 Ta có 2 √ a+ ≥2 2 √ a. =4 vậy p≥ 8 hay p>6 (đpcm). √a √a Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình √ 4 x 2+5 x +1 −2 √ x 2 − x+1=9 x − 3 . ⇔ (√ 4 x 2 +5 x +1 −2 √ x2 − x +1)( √ 4 x 2+5 x +1+2 √ x 2 − x+1)=(9 x − 3)( √ 4 x 2 +5 x +1+2 √ x2 − x +1) ⇔9 x −3=(9 x − 3)( √ 4 x 2 +5 x +1+2 √ x2 − x +1) ⇔ (9 x − 3)(√ 4 x 2 +5 x +1+2 √ x2 − x +1− 1)=0 ⇔ 9 x −3=0 ặ 1 ⇔ x= 3 2 Ta dễ chứng minh được phương trình √ 4 x +5 x+1+2 √ x2 − x +1− 1 = 0 vô nghiệm 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 3. √. Câu 3. (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn Chứng minh rằng xyz ≤ Ta có :. 1 1 1 + + =2 . 1+2 x 1+2 y 1+ 2 z. 1 . 64. 1 1 1 2y 2z 4 yz =1− +1 − = + ≥2 1+2 x 1+2 y 1+2 z 1+2 y 1+ 2 z (1+2 y )(1+ 2 z ). √.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 4 xz 1 4 xy ≥2 , ≥2 1+2 y (1+2 x)(1+2 z) 1+2 z (1+2 x )(1+2 y ) 2 1+2 z ¿ ¿ ¿ ¿ 1 8 xyz ⇔ ≥ 8. (1+2 x)(1+2 y )(1+ 2 z ) (1+2 x)(1+2 y)(1+ 2 z ) 2 1+2 y ¿ ¿ Khi đó : 1+2 x ¿ 2 ¿ ¿ 64 x 2 y 2 z 2 ¿ ¿ 1 1 1 . . ≥ 8. √ ¿ 1+2 x 1+2 y 1+2 z. √. Tương tự ta có :. √. ¿ 900 Câu 4. (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có .Dựng các tam giác vuông cân ¿^ A ¿ tại A là BAM và DAN (B và N cùng nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN. N. B. C. H A. D M. Gọi H là giao điểm của MN và AC . N^ A D+ B ^ A M =2 v Ta có : ⇒ N ^ A B+ B ^ A D+B ^ A D+ D ^ A M =2 v ⇒N ^ A M +B ^ A D=2 v.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ^ C=2 v Mặt khác : AB // CD ⇒ B ^ A D+ A B ^ C (¿ 2 v − B ^ Do đó : N ^ A M =A B A D) Xét tam giác NAM và tam giác CAB ta có : AM=AB AN= BC ^ C (cmt) N^ A M =A B Do đó hai tam giác bằng nhau Suy ra : B ^ A C= A ^ M N (Hai góc tương ứng). Trong tam giác AHM có góc AMN +góc MAH =góc BAC + góc HAM=góc BAM = 900. Vậy : góc AHM = 900.Hay AC vuông góc với MN (đpcm). Câu 5 (5.00 điểm) Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G là trọng tâm.Tiếp tuyến tại B của (O) cắt CG tại M.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại N.Gọi X,Y theo thứ tự là giao điểm của CN ,AN và đường thẳng qua B song song với AC; Z,T theo thứ tự là giao điểm của BM,AM và đường thẳng qua C song song với AB. Chứng minh rằng : a). AB.CZ = AC.BX. b) M^ A B=N ^ AC .. Y T A M O N G B C X Z. Xét tam giác BZC và tam giác ACB ta có : Góc CBZ = Góc BAC ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tt và dây cùng chắn 1 cung) Góc BCZ = Góc ABC ( so le trong ,AB//CX)..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Nên tam giác BZC đồng dạng với tam giác ACB (g-g). BZ CZ BC = = => . AC BC AB AB BC ⇒ = AC BZ => AB.CZ=BC.BC (1) Tương tự tam giác ABC đồng dạng với tam giác CXB (g-g) AB BC AC ⇒ = = CX BX CB BC AC ⇒ = BX CB AC.BX=BC.CB (2) Từ (1) và (2) => AB.CZ = AC.BX (= BC2). Câu b. Mình nhìn không ra nhờ các bạn cùng suy nghĩ và đưa ra lời giải nhé (cảm ơn).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>