He thongKien Thuc Toan 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>

<span class='text_page_counter'>(2)</span> = 19 x 2 y 2 − 11 xy 3 − 8 x3. Chủ đề 1: Nhân đa thức. * Bài tập về nhân đơn thức với đa thức. Bài 1: Thực hiện phép nhân. 2. 3. Thay x= 1 ; y=2 ta có: 2. 2. 19 .. 2. a. ( −2 x ) . ( x − 3 x − x +1 ). b.. (−10 x + 25 y − 13 z) .(− 12 xy). Giải: a. ( −2 x ) . ( x − 3 x − x +1 ) = −2 x + 6 x + 2 x − 2 x b.. (. 3. 2. 5. 2 1 1 −10 x 3 + y − z . − xy 5 3 2. )(. ). 4. 3. = 5 x 4 y − 1 xy 2+ 1 xyz 5. 6. a. 3 x ( 10 x 2 − 2 x +1 ) −6 x ( 5 x 2 − x − 2 ) với x = 15 b. c.. với x=− 1 ; y =− 1 5. 6 xy ( xy − y 2 ) −8 x 2 ( x − y 2 ) +5 y 2 ( x 2 − xy ). 36 x 3 y 4 −18 xy 6=9 xy3 . ( 4 x 2 y −2 y 3 ). với x= 1 ; y=2 2. 3 x ( 10 x 2 − 2 x +1 ) −6 x ( 5 x 2 − x − 2 ) =. = 30 x3 −6 x 2 +3 x −30 x 3 +6 x 2+12 x=15 x Thay x = 15 ta có: 15 x=15. 15=225 b.. 50x = - 100. ⇔ x=-2. = 5 x2 −20 xy − 4 y 2 +20 xy. b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 ⇔ 0,6x2 - 0,3x - 0,6x2 - 0,39x = 0,138. = 5 x2 − 4 y 2. c.. Bài 4: Tìm x biết a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100 b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 Giải: a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100 ⇔ 60x2 + 35x - 60x2 + 15x = - 100 ⇔. 5 x(x−4 y)−4 y ( y−5x). Thay. (). Giải: a. Vì . 4 x 2 y =36 x3 y 4 =9 xy 3 . 4 x 2 y nên dấu * ở vỊ phải là 9xy3 Vì * ở vế trái là tích của 9xy 3 với 2y3 nên phải điền vào dấu * này biểu thức 3 3 6 9 xy .2 y =18 xy vậy ta có đẳng thức đúng.. 2. Giải: a.. (). 3 4 2 3 a. 36 x y −=( 4 x y −2 y ). 2. Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau khi thực hiện các phép toán.. 5 x(x−4 y)−4 y ( y−5x). (). Bài 3: Điền vào chỗ dấu * để được đẳng thức đúng.. 3. 2. 3. 1 1 3 1 . 22 −11 . .2 −8. =19 −44 −1=− 26 2 2 2. N¨m häc: 2017 – 2018. 2 2 1 1 1 1 4 x= ; y=2 ta có: 5 . − −4 − = −1=− 2 5 2 5 5. ( ) ( ). 6 xy ( xy − y 2 ) −8 x 2 ( x − y 2 ) +5 y 2 ( x 2 − xy ) =. = 6 x 2 y 2 − 6 xy 3 −8 x 3 +8 x2 y 2 +5 x 2 y 2 − 5 xy 3 =. ⇔ ⇔. - 0,6x = 0,138. x = 0,138 : (- 0,6). ⇔ - 0,2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> * Bài tập về nhân đa thức với đa thức Bài 1: Làm tính nhân. a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1) b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a) Giải: a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1) = x4 + x3 + x2 + 2x2 + 2x + 2 = x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2 b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a) = 2a5 - 10a3 + 4a4 - a2 + 5 - 2a + 3a3 - 15a + 6a2 = 2a5 + 4a4 - 7a3 + 5a2 - 17a + 5 Bài 2: Cho x = y + 5. Tính a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 b. x2 + y(y - 2x) + 75 Giải: a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 Từ giả thiết x = y + 5 ⇒ x - y = 5 Ta có: x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 = x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 65 = x2- xy + y2 - xy + 2x - 2y + 65 =x(x - y) - y(x - y) + 2(x - y) + 65 = (x - y)(x - y) + 2(x - y) + 65 = (x - y)2 + 2(x - y) + 65 = 52 - 2.5 + 65 = 100 b. x2 + y(y - 2x) + 75 = x2 + y2 - 2xy + 75 = x(x - y) - y(x - y) + 75. = (x - y) (x - y) + 75 = 5.5 + 75 = 100 Bài 3: Tính giá trị của biểu thức. a. A = x3 - 30x2 - 31x + 1 tại x = 31 b. B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x tại x = 14 Giải: a. Với x = 31 thì A = x3 - 30x2 - 31x + 1 = x3 - (x - 1)x2 - x.x +1 = x 3 - x3 + x2 + 1 = 1 b. Với x = 14 thì B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13 = x5 - (x + 1)x4 + (x + 2)x3 - (2x + 1)x2 + x(x - 1) = x5 - x5 - x4 + x4 + 2x3 - 2x3 - x2 + x2 - x = -x = - 14 Chủ đề 2: Tứ giác. Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC bằng cạnh AD. Chứng minh cạnh BC nhỏ hơn đường chéo BD. A Giải: B Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Trong tam giác AOD ta có: AD < AO + OD (1) Trong tam giác BOC ta có C D BC < OC + BO (2) Cộng từng vỊ của (1) và (2) ta có: AD + BC < AC + BD (3) Theo đề ra: AC = AD nên từ (3) ⇒ BC < BD (đpcm) Bài 2: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA a. CMR: BD là đường trung trực của AC.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> b. Cho biết góc B = 1000, góc D = 700. Tính góc A và góc C.. B. A. A. Giải: B a. BA = BC (gt) DA = DC (gt) ⇒ BD là đường trung trực của AC. D. C. b. Δ ABD=Δ CBD (c.c.c) ⇒ Góc <BAD = <BCD (hai góc tương ứng). C D Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD có <A = <D = 90 0; AB = AD = 2cm, DC = 4cm. Tính các góc của hình thang. Giải: Kẻ BH vuông góc với CD. Hình thang ABHD có hai cạnh bên AD// BH ⇒ AD = BH, AB = DH. ta lại có: Góc <BAD + <BCD = 3600 - <B - <D = 3600 - 1000 - 70 0 = 1900 Do đó: Góc <A = <C = 1900 : 2 = 95 0 Chủ đề 3: Hình thang A B Bài 1: Tính các góc của hình thang ABCD (AB//CD) biết rằng góc <A = 3<D; <C = 300. Giải: H 0 0 0 Từ <A + <D = 180 , <A = 3<D ⇒ <D = 45 , <A = 135 D C Từ <B + <C = 1800, <B - <C = 300 Do đó: HB = HD = 2cm ⇒ HC = 2cm 0 0 Δ BHC vuông tại H ⇒ <C = 450 Ta tính được: <C = 2 180 − 30 =75 0 ❑. ⇒. <ABC = 1350 <B = 180 - 75 = 105 Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. trên các cạnh bên AB, AC lấy các Bài 2: Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia gica của góc D. CMR điểm M, N sao cho BM = CN. ABCD là hình thang. a. Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao? Giải: b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng <A = 400. Δ BCD có BC = CD ⇒ Δ BCD là tam giác cân ⇒ 0. 0. 0. <D1 = <B1 Theo gt <D1 = <D2 ⇒ <B1 = <D2. Do đó BC // AD Vậy ABCD là hình thang.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> A. M. O. N. B. A E. C. D. Giải: a. Tam giác ABCD cân tại A 0. 180 − A 2 Lại có BM = CN (gt) ⇒ AM = AN ⇒. <B = <C =. ⇒. Δ AMN. cân tại A. <M1 = <N1 = 1800 − A 2 ⇒. <B = <M1 do đó: MN //BC. Vậy tứ giác BMNC là hình thang Lại có: <B = <C nên BMNC là hình thang cân. b. <B = <C = 700, <M2 = <N2 = 1100 Bài 5: Cho hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. CMR OE là đường trung trực của hai đáy. Giải: ABCD là hình thang cân ⇒ <D = <C ⇒ Δ ODC cân ⇒ OD = OC ⇒ mà AD = BC (gt). ⇒. OA = OB. Vậy O thuộc đường trung trực của hai đáy. B. ⇒. Δ ADC=Δ BCD. C (c.c.c). ⇒ <C1 = <D1 ⇒ ED = EC (1)]. Lại có: AC = BD nên EA = EB (2) Từ (1) và (2) ⇒ E thuộc đường trung trực của hai đáy. Vậy OE là đường trung trực của hai đáy. Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ thù là trung điểm của AD, BC, AC. CMR a. EI // CD, IF // AB b. b. EF <. AB+ CD 2. Giải: Xét Δ ADC có: AE = ED AI = IC nên EI // DC, EI =. B 1 DC 2. A. Tương tự Δ ABC có: AI = IC, BF = FC F 1 AB 2. E. b. Trong Δ EFI ta có: EF. EI + IF D. Nên IF // AB, IF =. I. C.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ⇒. CD AB + 2 2. EF. Chủ đề 4: Các hằng đẳng thức đáng nhớ.. AB+ CD 2 Vậy EF. Dấu “=” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng, tức AB // DC Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN và BD, MN và AC. Cho biết AB = 6cm, AD = 14cm. Tính các độ dài MI, IK, KN. Giải: Vì MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên MN // AB // DC A B Xét Δ ADC có AM = MD, MK // DC ⇒ KA = KC I Do đó: MK = DC =14 =7 cm 2. 2. D. Tương tự: Δ ABD có AM = MD, MI // AB nên BI = ID Do đó: MI =. 1 6 AB= =3 cm 2 2. Từ đó ta có: IK = MK - MI = 7 - 3 = 4cm Xét Δ ABC có BN = NC, NK // AB ⇒ AK = KC. Vậy KN =. 1 6 AB= =3 cm 2 2. K. Bài 1: Biểu diễn các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng. a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 b. u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2 Giải: a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 = x2 +2x(y + 1) + (y + 1)2 = (x + y + 1)2 b. u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2 = (u2 + 2u + 1) + (v2 + 2v + 1) + 2(u + 1)(v + 1) C = (u + 1)2 + (v + 1)2 + 2(u + 1)(v + 1) = (u + 1 + v + 1)2 = (u + v + 2)2 Bài 2: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu * a. 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 b. 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3 c. x3 - * + * - * = (* - 2y)3 Giải: a. 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 ⇔ (2x)3 + * + * + (3y)3.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ⇔. 8x3 + 3(2x)2.3y + 3(2x).(3y)2 + (3y)2 = (2x + 3y)3. ⇔ 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3. b. 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3 ⇔ (2x)3 + 3(2x)2y + 3.2x (y)2 + y3 = (2x + y)3 ⇔ 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3 c. x3 - * + * - * = (* - 2y)3 ⇔ x3 - 3x2 .2y + 3x(2y)2 - (2y)3 = (x - 2y)3 ⇔ x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 = (x - 2y)3 Bài 3: Rút gọn biểu thức: a. (a - b + c + d)(a - b - c - d) b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z) c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1) d. (x + y)3 - (x - y)3 e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1) Giải: a. (a - b + c + d)(a - b - c - d) = [ ( a −b ) + ( c +d ) ] . [ ( a − b ) − ( c +d ) ] = (a - b)2 - (c + d)2 = a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2 = a2 + b2 - c2 - d2 - 2ab - 2cd b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z) = [ ( x+ 3 z ) +2 y ] . [ ( x+ 3 z ) −2 y ] = (x + 2z)2 - (2y)2 = x2 + 6xz + 9z2 - 4y2 c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1).  (x3 - 1) (x3 + 1) = x6 - 1 d. (x + y)3 - (x - y)3  (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) - (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3)  x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 - x3 + 3x2y - 3xy2 + y3  6x2y + 2y3 = 2y(3x2 + y2) e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)  [ ( x 2+ 3 x +1 ) . ( 3 x −1 ) ]2  (x2 + 3x + 1 - 3x + 1)2 = (x2 + 2)2 Bài 5: Trong hai số sau, số nào lớn hơn. a. A = 1632 + 74. 163 + 372 và B = 1472 - 94. 147 + 472 b. E =. x−y x+ y. 2. và H =. 2. x −y 2 2 x +y. với x > y > 0. Giải: a. A = (163 + 37)2 = 2002 = 40000 B = (147 - 47)2 = 1002 = 10000 Vậy A > B 2. b. E =. x+ y ¿ ¿ ¿ x − y (x − y )(x+ y) = ¿ x+ y. =H. (Vì x > y > 0) Chủ đề 5: Phân tích đa thức thành nhân tư. Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp đặt nhân tư chung. a. 12xy - 4x2y + 8xy2 b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y) c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> d. 3x(a - x) + 4a(a - x) Giải: a. 12xy - 4x2y + 8xy2 = 4xy(3 - x + 2y) b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y) = (x - 2y) (4x - 8y) = 4(x - 2y) (x - 2y) = 4(x - 2y)2 c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y) = 25x2(y - 1) + 5x3(y - 1) = (y - 1) (25x2 + 5x3) = 5x2(y - 1) (5 - x) d. 3x(a - x) + 4a(a - x) = (a - x) (3x + 4a) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp dùng HĐT b. (x + a)2 - 25 c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1 Giải: b. (x + a)2 - 25 = (x + a)2 - 52 = (x + a + 5) (x + a - 5) c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1 = (x + 2x + 1) - (y2 - 2y + 1) = (x + 1)2 - (y - 1)2 = (x + 1 + y - 1) (x + 1 - y + 1) = (x + y) (x - y + 2) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp nhóm hạng tư. a. 4x2 - 9y2 + 4x - 6y b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3 c. a2x + a2y - 7x - 7y d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2 Giải: a. 4x2 - 9y2 + 4x - 6y = (2x - 3y) (2x + 3y + 2) b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3. = x3 + y - 3x2y + 3xy2 - x - y3 = (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - (x - y) = (x - y)3 - (x - y) = (x - y). [ ( x − y )2 −1 ]. = (x - y) (x - y + 1) (x - y - 1). c. a2x + a2y - 7x - 7y = (a2x + a2y) - (7x + 7y) = a2(x + y) - 7(x + y) = (x + y) (a2 - 7) d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2 = [ x ( x +1 )2 − 5 ( x +1 )2 ] + x ( x −5 ) = (x + 1)2 (x - 5) + x(x - 5) = (x - 5). [ ( x+1 )2+ x ]. = (x - 5) (x2 + 3x + 1). Bài 4: Phân tích đa thức thnµh nhân tư bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. a. x4 + x2y2 + y4 b. x3 + 3x - 4 c. x3 - 3x2 + 2 d. 2x3 + x2 - 4x - 12 Giải: a. x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 )2 - (xy)2 = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 - xy) b. x3 + 3x - 4 = x3 - 3x2 + 3x - 1 + 3x2 - 3 = (x - 1)3 + 3(x2 - 1) = (x - 1)3 + 3(x + 1) (x - 1) = (x - 1). [ ( x − 1 )2+3 ( x +1 ) ]. = (x - 1) (x2 + x + 4). c. x3 - 3x2 + 2 = x3 - 3x2 + 3x - 1 - 3x + 3 = (x - 1)3 - 3(x - 1) = (x - 1) [ ( x − 1 )2 −3 ] = (x - 1) (x2 - 2x - 2).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> d. 2x3 + x2 - 4x - 12 = (x2 - 4x + 4) + (2x3 - 16) = (x - 2)2 + 2(x3 - 8) = (x- 2)2 + 2(x - 2) (x2 + 2x + 4) = (x - 2). [ ( x − 2 ) +2 ( x 2 +2 x+ 4 ) ]. = (x - 2) (2x2 + 5x + 6). Bài 5: Tìm x biết: a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0 b. (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2 Giải: a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0 ⇔ (x - 2) (x - 3 + 1) - 1 = 0. Chủ đề 6: Hình chữ nhật Bài 1: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?. ⇔ (x - 2)2 - 1 = 0 ⇔ (x - 2 + 1) (x - 2 - 1) = 0. ⇔ (x - 1) (x - 3) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3. Vậy nghiệm của phương trình: x1 = 1, x2 = 3 b. (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2 ⇔ (x + 2)2 - (x + 1)2 - 2x(2x + 3) = 0 ⇔ (x + 2 + x + 1) (x + 2 - x - 1) - 2x(2x + 3) = 0 ⇔ (2x + 3) - 2x(2x + 3) = 0 ⇔ (2x + 3) (1 - 2x) = 0 x = - 3 hoặc x = 1 ⇔ 2. Vậy nghiệm của PT: x. 2. 1. = - 3 , x2 = 1 2. 2. Giải: Tam giác ABC có AE = EB, BF = FC ⇒ EF = AC (1) Chứng minh tương tự: HG // AC (2) Từ (1), (2) ⇒ EF // HG (*) Chứng minh tương tự: EH // FG (**) Từ (*) và (**) EFGH là hình bình hành. EF // AC, BD AC ⇒ EF BD EF BD, EH // BD ⇒ EF EH Hình bình hành EFGH có góc E = 900 ⇒ là hình chữ nhật Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, Điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. a. Tứ giác EDME là hình gì? tính chu vi tứ giác đó..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> b. Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ Do đó: tam giác AED cân tại E ⇒ góc <A1 = <D1 nhất. Từ đó góc <G1 = <A1 Giải: Hình thang AEFG có hai góc kÌ một đáy bằng nhau nên là hình thang 0 a. Tứ giác ADME có góc <A = <D = <E = 90 cân. Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM - Chu vi của hình chữ nhật ADME bằng: a. CMR: Góc <HAB = <MAC 2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB b. Gọi D, E thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. CMR = 2 . 4 = 8cm AM vuông góc với DE b. Gọi H là trung điểm của BC, ta có AH BC ADME là hình chữ nhật ⇒ DE = AM A Ta có: DE = AM > AH. Giải: Dấu “=” xảy ra khi M H Vậy DE có độ dài nhỏ nhất là AH khi M là trung điểm của BC a. Ta có góc <A1 = <C (cùng phụ với <HAC) Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A . Điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền F, G theo thứ tự là trung điểm của BD , BC, DC. Chứng minh rằng tứ của tam giác ABC ⇒ AM = MC giác EFEG là hình thang cân. ⇒ góc <C = <A ⇒ góc <A = <A 2. Giải: Vì EF là đường trung bình của tam giác BDC nên EF // DC Do đó: AEFG là hình thang Do FG là đường trung bình của tam giác BDC Nên FG // BD ⇒ góc <G1 = <D1 (đồng vị) Vì tam giác ABD vuông tại A, AE là đường BD =ED trung tuyến nên AE = 2. 1. 2. b. Gọi O là giao điểm của AH và DE I là giao điểm của AM và DE Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) ⇒ OA = OE ⇒ góc <E1 = <OAE (1) Ta lại có: Δ AHC vuông ⇒ góc <C + <OAE = 900 (2) ta có: góc <C = <A2 (3) (cm ở câu a) Từ (1), (2), (3) ⇒ góc <E1 + <A2 = 900 ⇒ Góc <AIE = 900 tức AM. DE.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bài 2: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là chân các đường góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? Giải: Chủ đề 7: Hình thoi. Bài 1: Ta có; OF AB, OG CD a. Cho hình thoi ABCD, kỴ đường cao AH, AK. CMR: AH = AK b. Hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau. CMR: Mà AB // CD (t/c hình thoi) ⇒ E, O, G thẳng hàng. ABCD là hình thoi Giải:. Chứng minh tương tự ta có 3 điểm F, O, H thẳng hàng.. - Điểm O thuộc tia phân giác của góc B nên cách đều 2 cạnh của góc do a. Xét Δ AHB và Δ AKD có: đó: OE = OF AB = AD (vì ABCD là hình thoi) Tương tự ta cũng có: OF = OG, OG = OH Góc <B = <D (t/c hình thoi) Vậy tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật. ⇒ Δ vuông AHB = Δ AKD (cạnh huyền góc nhọn) ⇒ AH = Bài 3: Cho hình thoi ABCD có góc <A = 60 0. Trên cạnh AD lấy điểm AK (2 cạnh tương ứng) M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho AM = DN. Tam giác BMN là tam giác gì? vì sao? b. Xét tam giác vuông AHB và AKD có: Giải: AH = AK (gt) Ta có: Tam giác ABD cân tai A Và <A = 600 nên tam giác ABC là tam giác đều. Góc <B = <D (t/c hình bình hành) ⇒ AB = BD ⇒ tam giác Δ AHB=Δ AKD (cạnh góc vuông- góc nhọn kề) Vậy AB = AD (2 cạnh tương ứng) Hình bình hành ABCD có 2 cạnh kÌ bằng nhau nên là hình thoi.. góc <ABD = <D1 = 600 (t/c hình thoi).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Xét tam giác ABM và DBN có: AB = BD (chứng minh trên) Góc <A = <D2 (chứng minh trên) AM = DN (gt) ⇒ Δ ABM = Δ DBN (c.g.c) ⇒. BM = BN, <B1 = <B3. Ta lại có: góc, <B1 + <B2 = 600 ⇒. <B3 + <B2 = 600. Tam giác BMN cân có góc MBN = 600 nên là tam giác đều. Bài 4: Cho hình thoi ABCD, có AB = AC, kề AE BC, AF CD a. Chứng minh tam giác AEF là tam giác đều. b. Biết AB = 4cm. Tính độ dài các đường chéo của hình thoi. Giải: Tam giác ABC có AB = BC (đ/n hình thoi) AB = AC (gt) ⇒ Tam giác ABC đều ⇒ góc <B = 600 do đó: góc <D = 600 xét Δ ABE và Δ ADE có: AB = AD (đ/n hình thoi) <D = <B (chứng minh trên) ⇒. Δ ABE=Δ ADE (cạnh huyền- góc nhọn).  AE = AF (2 cạnh tương ứng) Vậy tam giác AEF cân tại A.. - Trong các tam giác đều ABC, AOC có AE và AF là các đường cao nên là phân giác của góc <BAC và <OAD do đó: góc <EAC = <FAC = 300 ⇒ góc <EAF = 600 Tam giác cân AEF có góc <EAF = 600 nên là tam giác đều. Chủ đề 8: Hình vuông Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vÊ đường thẳng song song với AB c¨t AC ở H. Qua I vÊ đường thẳng song song với AC c¨t AB ở K. a. Tứ giác AHIK là hình gì? b. Điểm I ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi. c. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật. Giải: a. Tứ giác AHIK có IH // AK, AH // KI ⇒ tứ giác AHIK là hình bình hành. b. Hình bình hành AHIK là hình thoi ⇔ AI là đường phân giác của góc A. Vậy nếu I là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AHIK là hình thoi. c. Hình bình hàng AHIK là hình chữ nhật ⇔. góc <A = 900. Vậy nếu tam giác ABC vuông tại A thì AHIK là hình chữ nhật..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài 2: Cho tam giác vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chóng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? Giải:. Tam giác AGC có góc <C = 450 Nên tam giác FGC vuông cân Do đó: GF = GC Chứng minh tương tự EH = HB Do BH = CG = HG nên EH = HG = GF Tứ giác EHGF có EH // FG (cùng vuông góc với BC) EH = FG (c/m trên) ⇒ Tứ giác EHGF là hình bình hành Hình bình hành EHGF có góc <H = 900 ⇒ là hình chữ nhật Lại có: EH = HG ⇒ tứ giác EHGF là hình vuông. Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm F, trên cạnh DC lấy điểm E sao cho AF = DE. Chứng minh rằng AE = BF và AE BF. ⇒. Δ ADE=Δ BAF (2 cạnh góc vuông). ⇒ AE = BF (2 cạnh tương ứng). F Góc <A1 = <B1 (2 góc tương ứng) Ta lại có: <A1 + <A2 = 900 Nên góc <B1 + <A2 = 900 D C Gọi H là giao điểm của AE và BF Thì góc <H = 900 Vậy AE BF Chủ đề 9: Phương trình bậc nhất một ẩn Bài 1: Giải các phương trình sau: a. - 2x + 14 = 0 b. 0,25x + 1,5 = 0 c.. 4 5 1 − = 3 6 2. d. 3x + 1 = 7x + 11 e. 11 - 2x = x - 1 Giải: a. - 2x + 14 = 0 ⇔ 14 = 2x ⇔ x = 7 b. 0,25x + 1,5 = 0 ⇔ 0,25x = - 1,5 ⇔ x = −. Giải: AF = DE (gt). 1,5 0 , 25. ⇔. x=-6.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> c.. 4 5 1 x− = 3 6 2. ⇔. 4 1 5 x= + 3 2 6. ⇔. 4 8 x= 3 6. ⇔. 8 3 x= . 6 4. ⇔ x=1. d. 3x + 1 = 7x + 11 ⇔ 3x - 7x = - 11 - 1 ⇔ - 4x = - 12 ⇔ x = 3 e. 11 - 2x = x - 1 ⇔ - 2x - x = - 1- 11 ⇔ - 3x = - 12 ⇔ x = 4 Bài 2: Chứng tỏ rằng các phương trình sau đây vô nghiệm. a. a(x + 1) = 3 + 2x b. 2(1 - 1,5x) + 3x = 0 c.. |x|=− 1. Giải: a. a(x + 1) = 3 + 2x ⇔ 0x = 1 ⇒ phương trình vô nghiệm b. 2(1 - 1,5x) + 3x = 0 ⇔ 0x = - 2 ⇒ phương trình vô nghiệm c. |x|=− 1 VT của phương trình không âm , VP âm  Phương trình vô nghiệm. d. x =. 10 9. Bài 4: Giải các phương trình tích sau: a. (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1) b. 3x(25x + 15) - 35(5x + 3) = 0 c. (2 - 3x)(x + 11) = (3x - 2)(2 - 5x) d. (2x2 + 1)(4x - 3) = (2x2 + 1)(x - 12) e. (2x + 1)2 + (2 - x)(2x - 1) = 0 f. (x + 2)(3 - 4x) = x2 + 4x + 4 Giải: a. (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1). {1, − 112 }. Vậy S =. b. 3x(25x + 15) - 35(5x + 3) = 0 Vậy S =. {− 35 ; 73 }. c. (2 - 3x)(x + 11) = (3x - 2)(2 - 5x) Vậy S =. {23 ;134 }. Bài 3: Tìm giá trị của x sao cho 2 biểu thức A và B cho sau đây có giá d. (2x2 + 1)(4x - 3) = (2x2 + 1)(x - 12) trị bằng nhau Vậy S = { −3 } a. A = (x - 3)(x + 4) - 2(3x - 2); B = (x - 4)2 b. A = (x + 2)(x - 2) + 3x2; B = (2x + 1)2 + 2x e. (2x + 1)2 + (2 - x)(2x - 1) = 0 c. A = (x - 1)(x2 + x + 1) - 2x; B = x(x - 1)(x + 1) 1 ;−1 Vậy S = 2 d. A = (x + 1)3 - (x - 2)3; B = (3x - 1)(3x + 1) f. (x + 2)(3 - 4x) = x2 + 4x + 4 Giải: 1 a. x = 8 Vậy S = − 2 ;. {. b. x = c. x = - 1. 5 6. {. }. 5. }. Bài 6: Giải các phương trình có ẩn ở mẫu..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> a.. 1−x 2 x +3 + 3= x+ 1 x+1. b.. ( x +2 )2 x 2 +10 − 1= 2 x−3 2 x −3. c.. 5 x −2 2 x −1 x + x −3 + =1 − 2− 2 x 2 1−x. d.. 5 − 2 x ( x − 1 )( x +1 ) ( x+2 )( 1 −3 x ) + = 3 3 x −1 9 x−3. e.. 2 x +1 5 ( x − 1 ) = x −1 x+1. d.. 5 − 2 x ( x − 1 )( x +1 ) ( x+2 )( 1 −3 x ) + = 3 3 x −1 9 x−3 ⇔. 2. 1 2 x −5 4 + = x −1 x 3 − 1 x 2 + x+1 1−x 2 x +3 + 3= x+ 1 x+1. b.. ĐKXĐ: x. ( x +2 )2 x 2 +10 − 1= 2 x−3 2 x −3 ⇔ x=. ⇒. c.. ± 1. (2 x+1)( x +1) 5(x − 1)(x −1) = (x −1)(x+1) (x −1)( x +1). ⇔ x(3x - 1)(x - 4) = 0 1 ⇔ x= (thoả mãn) ho¨c x = 4 (thoả mãn) 3. -1. Vậy S =. ĐKXĐ: x = 3. f.. 2. PT vô nghiệm hay S = Ø. 5 x −2 2 x −1 x 2+ x −3 + =1 − ĐKXĐ: x 2− 2 x 2 1−x 11 ⇔ x= (thoả mãn ĐKXĐ) 12 11 12. { }. {13 ; 4}. 1 2 x 2 −5 4 + 3 = 2 x −1 x − 1 x + x+1 ⇔. (loại). Vậy S =. §KX§: x. ⇔ 3x2 - x - 12x + 4 = 0. PT vô nghiệm hay S = Ø. 3 2. {115 }. ⇔ 2x2 + 2x + x + 1 = 5x2 - 5x - 5x + 5. ⇔ 0x = - 1 ⇒. 11. ⇔ (2x + 1)(x + 1) = (5x - 5)(x - 1). Giải: a.. 22. 2 x +1 5 ( x − 1 ) = x −1 x+1 ⇔. 2. f.. x = 10 = 5. Vậy S = e.. §KX§: x. §KX§: x. x 2+ x+1+2 x 2 − 5 4( x −1) = 3 x 3 −1 x −1. ⇔ x2 + x + 1 + 2x2 - 5 = 4x - 4. 1. ⇔ 3x2 - 3x = 0 ⇔ 3x(x - 1) = 0 ⇔ x = 0 (thoả mãn) hoặc x = 1 (loại). Vậy S = { 0 }. 1. 1 3.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Theo bài ra: 4x + 29 = 65 ⇔ x = 9 Vậy khối 8 nhặt được: 9 kg nhôm 9 + 15 = 24 kg đồng 9 + 24 - 1 = 32 kg kẽm Bài 9: Một xí nghiệp dệt thảm được giao làm một số thảm xuất khẩu * Giải bài toán bằng cách lập phương trình. trong 20 ngày. Xí nghiệp đã tăng năng suất 20% nên sau 18 ngày không Bài 7: Thùng dầu thứ nhất chứa gấp đôi thùng dầu thứ hai. Nếu chuyển những đã làm xong số thảm được giao mà còn làm thêm được 24 chiếc từ thùng dầu thứ nhất sang thùng dầu thứ hai 25 lít thì lượng dầu hai nữa. Tính số thảm xí nghiệp đã làm được trong 18 ngày. thùng bằng nhau. Tính lượng dầu trong mỗi thùng lúc đầu. Giải: Giải: Gọi số lượng dầu ban đầu trong thùng thứ hai là x (đk: x > 0) Gọi số thảm xí nghiệp đã làm được trong 18 ngày là x chiếc (x ⇒ lượng dầu trong thùng thứ nhất là 2x nguyên dương) Khi đó số lượng dầu trong thùng thứ hai là: x + 25 Theo gt: 2x - 25 = x + 25 ⇔ 2x - x = 25 + 25 ⇔ x = 50 Vậy lúc đầu lượng dầu trong thùng thứ nhất là 100 lít và thùng thứ hai là 50lít. Bài 8: Học sinh khối 8 nhắt được 65kg kim loại vôn. Trong đó đồng nhiều hơn nhôm 15kg, kẽm ít hơn tổng số khối lượng nhôm và đồng 1kg. Hỏi khối 8 đã nhặt được bao nhiêu kg mỗi loại Giải: Gọi số lượng nhôm nhặt được là x (kg) (x > 0) Số lượng đồng nhặt được là x + 15 (kg) Số lượng kẽm nhặt được là x + x + 15 - 1 = 2x + 14 (kg) Tổng số kim loại vôn nhặt được là x + x + 15 + 2x + 14 = 4x + 29. Một ngày đã làm được. x 18. chiếc.. Số thảm xí nghiệp được giao trong 20 ngày là: x - 20 chiếc. Một ngày phải làm. x −24 20. chiếc.. Do tăng năng suất 20% nên trong một ngày số thảm xí nghiệp đã làm so với số thảm xí nghiệp phải làm bằng 100% + 20% = 120% = 1,2 Theo bài ra ta có phương trình: x x −21 =1,2. 18 20. Giải PT tìm được x = 324 Vậy số thảm xí nghiệp đã làm trong 18 ngày là 324 chiếc. Bài 10: Một lớp học tham gia trồng cây ở một lâm trường trong thời gian đã định với năng suất 300 cây trong một ngày. Nhưng thực tế mỗi người đã trồng thêm được 100 cây nên đã trồng thêm được tất cả 600 cây và hoàn thành kế hoạch trước một ngày. Tính số cây dù định trồng..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Giải:. Theo định lý đảo của định lý TalÐt ta lại có: EF // DC ⇒ Tứ giác DEFC là hình thnag (dấu hiệu nhận biết). Gọi số cây dù định trồng là x cây (x nguyên dương) Khi đó số ngày dự định để trồng cây là :. x 300. ngày. Nhưng thực tế mỗi ngày đã trồng 400 cây (vì thêm 100 cây) Nên số cây đã trồng được tất cả x + 600 và số ngày là: Theo bài ra ta có phương trình:. x x +600 = +1 300 400. Giải ra ta được: x = 3000 cây Vậy số cây dù định trồng là 3000 cây.. x +600 400. Xét tam giác ABC và tam giác BAD có: AB là cạnh chung BC = AD (gt); AC = BD (gt) ⇒ Δ ABC=Δ BAD (c.c.c) ⇒ góc <C1 = <D1 (2 góc tương ứng) mà góc <D = <C (gt) nên <C2 = <D2 Hình thang DEFC có hai góc kÌ một đáy bằng nhau nên là hình thang cân. b. Theo câu a, ta có: EF // CD mà CD // AB (gt) ⇒ EF // CD // AB.. Do đó EF // AB. Theo định lý Ta lét ta có: Chủ đề 10: Tam giác đồng dạng AB OB OB OC AB OC = = = ⇒ mà (3) Bài 1: Cho hình thang ABCD, có đáy lớn là CD, đáy nhỏ là AB. Qua A EF OE OE OA EF OA kẻ đường thẳng song song với BC c¨t đường chéo BD ở E, qua B kẻ DC OC = Do CD // AB, theo định lý Ta lét ta có: (4) AB OA đường thẳng song song với AD c¨t đường chéo AC ở F. AB DC a. Chứng minh tứ giác DEFC là hình thang cân. = ⇒ AB2 = EF . DC Từ (3), (4) ⇒ AF AB b. Tính độ dài đoạn EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm. AB 2 52 25 Giải: = = =2,5 cm Do đó: EF = CD 10 10 a. Do AE // BC (gt) Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 14cm, CD = 35cm, Theo định lý TalÐt ta có: AD= 17,5cm. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho DE = 5cm. Qua E vÊ OE OA = (1) đường thẳng song song với AB cắt BC ở F. Tính độ dài EF OE OC Do BF // AD (gt) Theo định lý ta lét ta có: OB OF = OD OA. Từ (1) và (2). ⇒. (2) OE OB OA OF . = . OB OD OC OA. hay OE =OF OD. OC.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Giải: Gọi giao điểm của AC với EF là I Do IE // CD. b. Do EF // CD ta có: IE AI = DM AM IK IM = MC AM. EI AE = Theo định lý TalÐt ta có: CD AD CD . AE 35 .12 , 5 = =25 cm ⇒ EI = AD 17 , 5. Do IF // AB theo định lý TalÐt ta có IF CI = AB CA. mà. CI DE 5 = = CA DA 17 , 5. Do đó: IF = 5 AB. 17 , 5. ⇒ IF =. 14 . 5 =4 cm 17 , 5. EI AI = n AM IK AI = hay n AM. hay. (3) (4). Từ (3), (4) ⇒ EI = IK KF AI = Tương tự ta cũng có: MC AM. Từ đó ta có: EI = IK = KF (đpcm) Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là một điểm trên cạnh CD, K là một điểm trên cạnh CB sao cho. DG 1 = GC 2. và. BK 3 = . KC 2. Vậy EF = EI + IF = 25 + 4 = 29cm Gọi giao điểm của DB với AG và AK lần lượt là E và F. Tính độ dài các Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm cạnh CD. đoạn thẳng DE, EF, FB nếu biết BD = 24cm Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. Giải: a. Chứng minh: IK // AB DE DG = Do DG // AB nên b. Đường thẳng IK cắt AD và BC theo thứ tự ở E và F EB AB Chứng minh: EI = IK = KF mà AB = CD do đó DE DG 1 DE 1 Giải: = = = ⇒ EB DC 3 DB 4 §ÆtAB = m, MC = MD = n 1 a. Do AB // CD ta có: Vậy DE = DB = 6cm MI MD n = = (1) IA AB m MK MC n = = (2) KB AB m. 4. Tương tự: BF =. 3 BD = 9cm 8. Từ đó ta có: EF = 9cm Bài 5: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2,5cm, AD = 3,5cm, BD MI MK = ⇒ AI KB Từ (1), (2) = 5cm và góc <DAB = <DBC Theo định lý đảo của định lý talÐt đối với tam giác MAB ta có: a. Chứng minh: tam giác ADB đồng dạng với tam tam giác BCD b. Tính độ dài các cạnh BC, CD. IK // AB.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Giải: a. Ta có: góc <ABD = <BDC (2 góc so le trong) Góc <DAB = <DBC (gt) Vậy Δ ABD đồng dạng với Δ BDC (c.c.c) AB AD BD = = b. Ta có: BD BC DC. hay. 2,5 3,5 5 = = 5 BC CD. BC =. ⇒ DC =. Cộng vỊ với vỊ của (3) và (4) ta có: AE AE DE BE BD + = + = =1 AK AG DB BD BD. c. Đặt AB = a, AD = b Như vậy:. 5.5 =10 cm 2,5. BK a = KC CG. (*); và. KC CG = b DG. (**). Nhân vỊ với vỊ của (*) và (**) ta có: BK a = b DG. 5 . 3,5 =7 cm 2,5. ⇒ BK - DG = ab không đổi.. Chủ đề 11: Bất phương trình bậc nhất một ẩn. Bài 6:: Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ một đường thẳng tuỳ ý cắt Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức. BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G. Chứng minh: a. a2 + b2 + 1 ab + a + b a. AE2 = EK . EG 2 2 2 b. a + b + c a(b + c) 1 1 1 = + b. AE AK AG Giải: c. Khi đường thẳng đi qua A thay đổi thì tích BK. DG có giá trị không a. Ta có: (a + b)2 0 và (a - 1)2 0 đổi. ⇔ a2 + b2 2ab (1); ⇔ a2 + 1 2a (2) Giải: Lại có: (b - 1)2 0 EK BE ⇔ b2 + 1 2b (3) = a. Do BK // AD nên (1) AE ED ⇔ Cộng vế với vế của (2) và (3) ta có: AE BE = Do AB // DG nên (2) 2(a2 + b2 + 1) 2(ab + a + b) EG ED Từ (1) và (2). EK AE = AE EG. ⇒. ⇔ ⇔. 2. Do đó : AE = EK . EG AE DE AE DE = = ⇒ b. Ta có: EK EB AK DB AE BE = Tương tự: (4) AG BD. (3). 1 2. . 2(a2 + b2 + 1). a 2 + b2 + 1. 1 . 2(ab + a + b) 2. ab + a + b. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. ¿ a −b=0 a −1=0 ⇒a=b=1 b − 1=0 ¿{{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> b. Ta có: a2 + b2 + c2 a(b + c) 2 2 ⇔ 2a + 2b + 2c2 2ab + 2ac 2 2 2 ⇔ 2a + 2b + 2c - 2ab - 2ac 2ab + 2ac - 2ab - 2ac 2 2 2 2 ⇔ (a - b) + (a - c) + b + c 0 (1) BĐT (1) luôn đúng nên ta có đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 0 Bài 2: Giải các bất phương trình sau: a. 3x - 5 > 2(x - 1) + x b. (x + 2)2 - (x - 2)2 > 8x - 2 c. 3(4x + 1) - 2(5x + 2) > 8x - 2 d. 1 + x e. 5 +. x −3 x +3 + 4 3. x+4 5. <x-. ⇔. 2. 3. 30 .5+6 ( x+ 4) 30 x −15(x −2)+ 10(x+ 3) < 30 30. ⇔. ⇔ x>6. Vậy nghiệm của bất PT là x > 6 f. 2x2 + 2x + 1 -. 15(x − 1) ≥ 2. 2x(x + 1). 2. 2( 2 x +2 x +1)− 15( x − 1) 4 x ( x +1) ≥ 2 2. ⇔. x. 17 15. Vậy nghiệm của bất PT là x 2x(x + 1). x −3 x +3 + 4 3 12(1+ x) −3(x −3) 3(x +1)− 4( x −2) > 12 12. ⇔ x>-1. 5. x −2 x +3 + 2 3. Giải: a. 3x - 5 > 2(x - 1) + x ⇔ 0x > 3 Vậy bất PT vô nghiệm. b. (x + 2)2 - (x - 2)2 > 8x - 2 ⇔ 0x > - 2 Vậy bất PT vô số nghiệm. d. 1 + x -. e. 5 +. ⇔. 15(x − 1) ≥ f. 2x + 2x + 1 2 2. Vậy nghiệm của bất PT là x > - 1 x + 4 < x - x −2 x +3 +. 17 15. Bài 3: Cho các biểu thức sau: A=. x 2 +2 x+1 x 2 −4 x+5. và. B=. 2 x 2 − 8 x +10 3 2 x − x − 5 x −3. a. Tìm điều kiện có nghĩa của B b. Tìm giá trị bé nhất của A và giá trị tương ứng của x. c. Tìm giá trị của x để A. B < 0 Giải: a. Biểu thức B có nghĩa khi mẫu thức x3 - x2 - 5x - 3 0 ⇔ x2(x - 3) + 2x(x - 3) + (x - 3) 0 2 ⇔ (x - 3)(x + 2x + 1) 0 2 ⇔ (x - 3)(x + 1) 0.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> ⇔. ¿ x − 3≠ 0 x +1 ≠ 0 ¿{ ¿. ⇔. Vậy với x. = (x - 1)(x - 6)(x - 3)(x - 4) + 10 = (x2 - 7x + 6)(x2 - 7x + 12) + 10 = (x2 - 7x + 9 - 3)(x2 - 7x - 9 + 3) + 10 = (x2 - 7x + 9)2 - 9 + 10 2 2 = (x - 7x + 9) + 1 1 ∀ x. ¿ x≠3 x ≠ −1 ¿{ ¿. 3; x. - 1 thì B có nghĩa.. 2. b. Ta có: A =. x − 2¿ +1 ¿ ( x +1 )2 ¿. Ta có: (x + 1). Do đó (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 10 1 ∀ x 0∀ x. 2. và (x - 2) + 1 > 0 ∀ x 2. 2. Do đó:. x+ 1¿ ¿ x − 2¿ 2+1 ¿ ¿ ¿ ¿. hay A. 2. 0. e. |3 x −14|−|x +2|=5 ⇔. x=-1. 2. x +2 x+1 2 x − 8 x +10 . x 2 −4 x+5 x 3 − x 2 −5 x − 3 2. =. d. |x=3|=|5 − x|. c. |x − 3|−5 x=7. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 c. Ta có: A . B =. Bài 5: Giải các phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối sau. b. 5|x|− 2=x a. |x − 1|=2. x +1¿ ¿ 2 x +1¿ ( x − 3)¿ ¿ ¿. Do đó A. B < 0 ⇔. Giải: a. =. 2 x −3. ¿ 2 <0 x −3 x ≠ 3 ; x ≠ −1 ¿{ ¿. ⇔. Vậy với x < 3 và x - 1 thì A . B < 0 Bài 4: Chứng tỏ: (x - 1)(x - 3)(x - 4) (x - 6) + 10 Giải: VT = (x - 1) (x - 3)(x - 4)(x - 6) + 10. ¿ x <3 x ≠ −1 ¿{ ¿. 1. |x − 1|=2. ⇔ x − 1=2 ¿ x −1=−2 ¿ x=3 ¿ x=−1 ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿. b. Xét 2 trường hợp TH1: Nếu x ≥ 0 thì PT 5|x|− 2=x trở thành 5x - 2 = x ⇔ x =. 1 (thảo mãn đk x > 0) 2. TH2: Nếu x < 0 thì PT 5|x|− 2=x trở thành - 5x - 2 = x ⇔ x = -. 1 3. (thoả mãn đk x < 0).

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 1. Vậy phương trình có nghiệm: x = 2. ⇔ 3x - 14 - x - 2 = 5. và x = - 1 3. ⇔ 2x = 21. ⇔. 21 2. x=. c. |x − 3|−5 x=7 - Nếu x - 3 0 hay x 3 ta có PT x - 3 - 5x = 7 ⇔ x = - 2,5 (không thoả mãn đk x - Nếu x - 3 < 0 hay x < 3 ta có PT - x + 3 - 5x = 7 ⇔ x = -. 2 3. d.. Vậy nghiệm của phương trình là: x = 3). (thoả mãn dk x < 3). Vậy phương trình có nghiệm x = -. (thoả mãn ®k). 2 3. Hai vế không âm bình phương hai vế ta có. (x + 3)2 = (5 - x)2 ⇔ x2 + 6x + 9 = 25 - 10x + x2 ⇔ x=1 Vậy nghiệm của PT là: x = 1. |x=3|=|5 − x|. Bài 6: Cho biểu thức A =. (. 7 4. )(. a.. (. A =. 2− x 3 − x 2−x x − + 2 : 1− x +3 2+ 2 x +5 x+ 6 x−1. )(. x ≠ −3 ; x ≠ 1. 2− x 3 − x 2−x x −1 − x − + : x +3 x +2 (x +3)( x+ 2) x−1. e. |3 x −14|−|x +2|=5. A=. - Xét x ≤ −2 ta có Pt: (14 - 3x) - (- x - 2) = 5 ⇔ 14 - 3x + x + 2 = 5. (2 − x ) ( x +2)−(3 − x )(x+ 3)+2 − x x −1 . −1 (x +3)( x+2). 2 2 A = 4 − x −9+ x +2 − x . x − 1. - Xét - 2 < x. 14 3. (không thoả mãn ®k). ⇔ - 4x = - 7 ⇔. - Xét x >. 14 3. x=. A= A=. ta có PT. (3x - 14) - (x + 2) = 5. 7 4. (thoả mãn ®k). ). (x+ 3)(x +2). ta có PT. (14 - 3x) - (x + 2) = 5 ⇔ 14 - 3x - x - 2 = 5. ). a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm giá trị của x để A > 1. Giải:. (. ⇔ - 2x = - 11 ⇔. 2. 2− x 3 − x 2−x x − + 2 : 1− x +3 2+ 2 x +5 x+ 6 x−1. A=. 11 x= 2. và x = 21. b. Để a >1. −1. −( x +3) x −1 . ( x+ 3)(x+2) − 1. x −1 x+ 2. ⇔. ¿ x ≠ −2 x ≠ −3 x −1 > 1(1) x+ 2 ¿{{ ¿. ). ®kx®: x. −2 ,.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Giải (1) ⇔. x −1 >1 x+ 2. −3 >0 x +2. Vậy với. ⇔. x −1 x −1 − x −2 − 1> 0 ⇔ >0 x+ 2 x +2. ⇔ x+2<0 ⇔ x<-2 ¿ x <− 2 x ≠ −3 ¿{ ¿. thì A > 1 ⇔. Bài 7: Giải bất phương trình a. 3x3 + 4x2 + 5x + 6 > 0 b.. x −3 >2 x +2. Giải: a. 3x3 + 4x2 + 5x + 6 > 0 ⇔ 3x3 - 2x2 + 6x2 - 4x + 9x - 6 > 0 ⇔ x2(3x - 2) + 2x(3x - 2) + 3(3x - 2) >0. Vậy bất phương trình đã cho có các nghiệm là - 7 < x < - 2. ⇔ (3x - 2)(x2 + 2x + 3) > 0 ⇔ Ta thấy x2 + 2x + 3 > 0 nên 3x - 2 > 0 ⇔. b.. x −3 >2 x +2 ⇔. x −3 x − 3− 2 x − 4 −x−7 − 2>0 ⇔ >0 ⇔ >0 x +2 x +2 x+2. x +7 <0 ⇔ x+2 ¿ x+7< 0 x +2>0 ¿ ¿ ¿ x +7>0 ¿ x +2<0 ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ x<− 7 ¿ ¿ x>− 2 ¿ ¿ ¿. x>. 2 3.

<span class='text_page_counter'>(24)</span>