Tài liệu Giáo Trình Đại Số Tưyến Tính pptx

0
bài giảng
đại số tuyến tính
Người soạn: Lê Thị Nguyệt
1
Chương 0
tập hợp và ánh xạ
Bài 1: tập hợp
I. Khái niệm tập hợp.
1.1. Định nghĩa. Thuật ngữ ”tập hợp” được dùng rộng rãi trong toán học. Ta thường
nói về tập hợp các số nguyên, tập hợp các điểm trong mặt phẳng, tập nghiệm của
một phương trình, Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó được dùng
làm cơ sở cho các khái niệm khác nhưng bản thân nó không được định nghĩa qua các
khái niệm đơn giản hơn. Ta có thể hình dung tất cả những đối tượng xác định nào
đó hợp lại tạo thành một tập hợp.
Khi nói về tập hợp ta chỉ ra các đối tượng có tính chất nào đó. Chẳn hạn, khi nói
về tập hợp các học sinh của một lớp họ c, các đối tượng của tập hợp là học sinh của
lớp họ c đó, khi nói về tập hợp các số nguyên thì các đối tượng của tập hợp là các số
nguyên.
Mỗi đối tượng cấu thành tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp. Để chỉ a là
một phần tử của tập A ta viết a ∈ A(đọc là a thuộc A). Viết a/∈ A(đọ c là a không
thuộc A) nghĩa là a không là phần tử của tập A.
Ví dụ: ở chương trình toán phổ thông ta đã biết các tập hợp sau
a) Tập hợp N các số tự nhiên.
b) Tập hợp Z các số nguyên
c) Tập hợp Q các số hữu tỉ
d) Tập hợp R các số thực.
1.2 Cách mô tả tập hợp. Muốn mô tả một tập hợp ta phải làm đủ rõ để khi cho
ta một phần tử ta biết được nó có thuộc tập hợp đã cho hay không. Thường có hai
cách
1) Liệt kê ra tất cả các phần tử của tập hợp.

2) Mô tả tính chất của tập hợp.
1.3 Tập rỗng. Là tập hợp không có phần tử nào và được ký hiệu là ∅
II. Sự bằng nhau của hai tập hợp.
III. Các phép toán trên tập hợp.
3.1 Phép hợp. Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc
một trong hai tập A hoặc B, ký hiệu là A ∩B.
Như vậy
A ∪ B = {x|x ∈ A hoặc x ∈ B}
Tổng quát

i∈I
A
i
= {x|∃i ∈ I : x ∈ A
i
}
3.2 Phép giao. Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử đồng thời
thuộc A và B. Ký hiệu là A ∩ B. Như vậy
A ∩ B = {x|x ∈ A và x ∈ B}
Tổng quát

i∈I
A
i
= {x|∀i ∈ I,x ∈ A
i
}
2
3.3 Phép hiệu. Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc
A nhưng không thuộc B. Ký hiệu là A|B.Vậy

A|B = {x|x ∈ A và x/∈ B}
Nếu B là con của A thì A|B được gọi là phần bù của B trong A.
3.4 Tích đề các. Tích đề các của hai tập hợp A và B là tập tất cả các cặp (a, b),
trong đó a ∈ A, b ∈ B. Ký hiệu là A ×B.Vậy
A ×B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
Tương tự ta có thể định nghĩa tích đề các của n tập hợp A
1
,A
2
, , A
n
là
A
1
× A
2
× ×A
n
= {(a
1
,a
2
, , a
n
)|a
1
∈ A
1
,a
2

∈ A
2
, , a
n
∈ A
n
}
Nếu A
1
= A
2
= = A
n
thì ta viết A
n
thay cho A × A × ×A(n lần).
3.5 Các tính chất.
a) A ∪B = B ∪ A
b) A ∩B = B ∩ A
c) A ∪ A = A
d) A ∩A = A
e) (A ∪ B) ∩C = A ∪ (B ∩ C)
f) (A ∩ B) ∩C = A ∩(B ∩ C)
g) A ∪(B ∩C)=(A ∪ B) ∩(A ∪C)
h) A ∩(B ∪C)=(A ∩B) ∪(A ∩C)
Tính chất phân phối
(

α∈I
A

α
)

B =

α∈I
(A
α

B)
(

α∈I
A
α
)

B =

α∈I
(A
α

B)
Quy tắc De Morgan.
Cho A
α
,α∈ I là các tập con của tập X.Tacó
X|


α∈I
A
α
=

α∈I
(X|A
α
)
X|

α∈I
A
α
=

α∈I
(X|A
α
)
3
Bài 2:
ánh xạ
I. Các khái niệm cơ bản
1.1 Định nghĩa. Cho X và Y là các tập khác rỗng. Một ánh xạ từ tập X vào tập
Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của tập X với một phần tử xác định
duy nhất y của tập Y . Khi đó phần tử y được gọi là ảnh của của phần tử x qua ánh
xạ đã cho.
Thông thường, ánh xạ được ký hiệu bằng một chữ. Thuật ngữ "ánh xạ f từ X vào
Y mà phần tử x được đặt tương ứng với ảnh y = f(x)” được ký hiệu như sau

f : X −→ Y
x → y = f(x)
Tập hợp X được gọi là tập nguồn hoặc là miền xác định của f. Tập hợp Y được gọi
là tập đích của f.
Ví dụ: 1) Cho X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ứng
f : X −→ Y
1 → a
2 → c
3 → d
4 → b
là ánh xạ.
2) Cho X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ứng
g : X −→ Y
1 → a
2 → a
3 → d
4 → b
là ánh xạ.
3) Cho X = {1, 2, 3, 4, 5}; Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ứng
h : X −→ Y
1 → a
2 → a
3 → d
4 → b
4
không là ánh xạ.
4) Cho X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, d}. Khi đó tương ứng
k : X −→ Y
1 → a
2 → a

3 → d
4 → b
là ánh xạ.
5) Cho X = N tập các số tự nhiên, Y = {0, 1}. Quy tắc m xác định bởi
m(x)=
1 − (−1)
x
2
=

0, nếu x chẵn
1, nếu x lẻ
là ánh xạ.
6) Tương ứng
n : R −→ Z
x → n(x)=[x]
là ánh xạ.
1.2 Định nghĩa. Hai ánh xạ f : X −→ Y và f
1
: X
1
−→ Y
1
được gọi là bằng nhau
nếu X = X
1
,Y = Y
1
và với mọi x ∈ X,f(x)=f
1

(x).
Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ. Tập hợp
f(X)={f(x) |x ∈ X}
được gọi là ảnh của ánh xạ f và được ký hiệu là Imf.
Nếu A là tập con của X thì tập
f(A)={f(x)|x ∈ A}
được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f.
Nếu y ∈ Y là một phần tử cố định thì tập
f
−1
(y)={x ∈ X|f(x)=y}
được gọi là nghịch ảnh của y bởi ánh xạ f.
Nếu B ⊂ Y thì tập hợp
f
−1
= {x ∈ X|f(x) ∈ B}
được gọi là nghịch ảnh của B
1.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Đơn ánh.
ánh xạ f : X −→ Y được gọi là đơn ánh nếu với mọi y ∈ Y, tập f
−1
(y)
có không quá một phần tử. Như vậy, f là đơn ánh khi và chỉ khi
∀x
1
,x
2
∈ X, f(x
1
)=f(x

2
) ⇒ x
1
= x
2
5
hay
x
1
= x
2
⇒ f(x
1
) = f(x
2
)
Toàn ánh.
ánh xạ f : X −→ Y được gọi là toàn ánh ếu với mọi y ∈ Y, tập hợp
f
−1
(y) = ∅ . Tức là ∀y ∈ Y,∃x ∈ X : f(x)=y.
Như vậy f là toàn ánh khi và chỉ khi Imf = Y.
Song ánh. ánh xạ f : X −→ Y được gọi là nếu f đồng thời là đơn ánh và là toàn
ánh. Như vậy f là song ánh nếu và chỉ nếu
với mỗi y ∈ Y, ∃!x ∈ X : f(x)=y.
Câu hỏi: Trong các ánh xạ f,g,k,m,n ở trên ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh,
song ánh?
II. Tích các ánh xạ.
2.1 Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X −→ Y,g : Y −→ Z. Tích của hai ánh xạ f
và g là ánh xạ h : x −→ Z được định nghĩa theo quy tắc sau

∀x ∈ X,h(x)=g(f(x)).
Tích của hai ánh xạ f và g được ký hiệu là g
o
f hoặc gf . Như vậy ta có
∀x ∈ X, (g
o
f)(x)=g(f(x)).
Ví dụ: Cho f : R −→ R; g : R −→ R được xác định bởi f(x)=x
2
,g(x)=x
2
+2x+8.
Khi đó (g
o
f)(x)=g(f(x)) = g(x
2
)=x
4
+2x
2
+8. và
(f
o
g)(x)=f(g(x)) = f(x
2
+2x +8)=(x
2
+2x +8)
2
.

Như vậy, nói chung g
o
f = f
o
g.
2.2 Định lý. Cho các ánh xạ f : X −→ Y,g : Y −→ Z, h : Z −→ W. Khi đó
h
o
(g
o
f)=(h
o
g)
o
f
2.3 Định lý. Cho f : X −→ Y,g : Y −→ Z là các ánh xạ. Khi đó
a) Nếu f và g là đơn ánh thì g
o
f là đơn ánh.
b) Nếu f và g là toàn ánh thì g
o
f là toàn ánh.
c) Nếu f và g là song ánh thì g
o
f là song ánh.
III. ánh xạ ngược.
3.1 Định nghĩa. Cho f : X −→ Y là song ánh. Với mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất một
phần tử x sao cho f(x)=y.
ánh xạ f
−1

: Y −→ X đặt tương ứng mỗi phần tử y với
nghịch ảnh x của nó bởi f được gọi là ánh xạ ngược của f. Như vậy ta có
∀y ∈ Y,f
−1
(y)=x ⇔ f(x)=y.
Ta thấy rằng ánh xạ ngược f
−1
của song ánh f cũng là song ánh và ta có
3.2 Mệnh đề. Nếu f : X −→ Y là song ánh thì
a)(f
−1
)
−1
= f,
b) f
o
f
−1
=1
Y
,f
−1
o
f =1
X
.
3.3 Định lý. Cho ánh xạ f : X −→ Y . Nếu tồn tại ánh xạ g : Y −→ X sao cho
g
o
f =1

X
,f
o
g =1
Y
thì f là song ánh và g = f
−1
.
3.4 Định lý. Nếu f : X −→ Y,g : Y −→ Z là song ánh thì g
o
f là song ánh và
(g
o
f)
−1
= f
−1
g
−1
.
6
bài tập
Bài 1: Cho các ánh xạ f : A −→ B sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song
ánh
a) A = R,B = R,f(x)=x +7;
b) A = R,B = R,f(x)=x
2
+2x − 3;
c) A =[4, 9],B = [21, 96],f(x)=x
2

+2x − 3;
d) A = R,B =(0, +∞),f(x)=e
x+1
;
e) A = N,B = N,f(x)=x(x +1).
Bài 2: a)Cho ánh xạ f : R −→ R xác định bởi
f(x)=
2x
1+x
2
Nó có đơn ánh, toàn ánh? Tìm ảnh f(R).
b) Cho ánh xạ g : R/{0}−→R xác định bởi x →
1
x
.
Tìm ảnh f
o
g.
Bài 3: Xét hai ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f(x)=|x|;
g :[0, +∞) −→ R xác định bởi x →
√
x
Hãy so sánh f
o
g và g
o
f.
Bài 4: Cho hai tập E và F và ánh xạ f : E −→ F .
A và B là hai tập con của A. Chứng minh
a) A ⊂ B ⇔ f(A) ⊂ f(B);

b) f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩f(B);
c) f(A ∪ B)=f(A) ∪ f(B);
d) Nếu f là đơn ánh thì f(A ∩ B)=f(A) ∩ f(B).
7
Chương I
Cấu trúc đại số - số phức
Bài 1: luật hợp thành trong trên một tập hợp
I. Khái niệm luật hợp thành trong.
1.2 Định nghĩa: Luật hợp thành trong trên tập E, hay phép toán trên E, là một
quy luật khi tác động lên hai phần tử a và b của E sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử
cũng của E.
Theo nghĩa ánh xạ, luật hợp thành trong trên tập E là một ánh xạ từ E tới E.
1.2 Tính chất của một luật hợp thành trong.
Một luật hợp thành trong (∗) trên tập E có thể có một số tính chất sau đây.
1. Tính kết hợp. Luật hợp thành trong (∗) trên tập E có tính kết hợp nếu
∀a, b, c ∈ E : a ∗(b ∗c)=(a ∗ b) ∗ c
Vd: Phép cộng và phép nhân trên các tập hợp N, Z, Q, R có tính kết hợp.
2. Tính giao hoán: Luật hợp thành trong (∗) trên tập E có tính giao hoán nếu
∀a, b : a ∗b = b ∗ a.
Vd: Phép cộng và phép nhân trên các tập hợp N, Z, Q, R có tính giao hoán.
3) Phần tử trung hòa: Luật hợp thành trong (∗) trên tập E có tính trung hòa là e
nếu e ∈ E và
∀a ∈ E : a ∗e = e ∗ a = a.
Vd: Phép cộng và phép nhân trên các tập hợp N, Z, Q, R có phần tử trung hòa là 0.
4) Phần tử đối xứng: Phần tứ a

∈ E được gọi là phần tử đối của a ∈ E nếu
a ∗ a

= a


∗ a = e.
Vd: Đối với phép cộng trên tập hợp Z, Q, R, mọi phần tử a đều có phần tử đối là −a.
1.3. Khái niệm về cấu trúc đại số. Một tập có trang bị một hay nhiều luật hợp
thành trong với những tính chất xác định tạo thành một trong nhãng đối tượng toán
học được gọi là cấu trúc đại số.
Sau đây ta sẽ nghiên cứu các cấu trúc nhóm, vành, trường và đặc biệt là trường số
phức.
8
Bài 2:
các cấu trúc đại số
I. Cấu trúc Nhóm.
1.1 Định nghĩa: Một tập G không rỗng được trang bị một luật hợp thành trong (∗)
được ký hiệu là (G, ∗). Cặp (G, ∗) được gọi là một nhóm nếu thỏa mãn ba tính chất
sau
1) Phép toán (∗) có tính kết hợp.
2) Phép toán (∗) có phần tử trung hòa e.
3) Mội phần tử của G đều có phần tử đối.
Ba tính chất trên được gọi là ba tiên đề của nhóm.
Nếu có thêm tính chất thứ tư : Phép toán (∗) có tính giao hoán thì nhóm (G, ∗) được
gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.
Ví dụ: Các cặp (Z, +), (Q, +), (R, +) là những nhóm giao hoán.
1.2 Một số tính chất của nhóm.
Ta có các tính chất sau đây:
1) Phần tử trung hòa e là duy nhất.
2) Phần tử đối của một phần tử a bất kỳ là duy nhất.
3) Có quy tắc giản ước a ∗ x = a ∗y ⇒ x = y.
II. Cấu trúc vành.
2.1 Định nghĩa: Tập A khác rỗng được trang bị hai phép toán, phép toán thứ nhất
gọi là phép cộng, viết là +, phép toán thứ hai gọi là nhân, viết là Bộ ba (A, +,.)

được gọi là một vành nếu thỏa mãn các tính chất sau đây.
1) Cặp (A, +) là một nhóm giao hoán.
2) Phép nhân có tính chất kết hợp.
3) Phép nhân có tính phân phối về hai phía đối với phép cộng, nghĩa là ∀a, b, c ∈ A
ta có
a.(b + c)=a.b + a.c
(b + c).a = b.a + c.a
Nếu phép nhân có tính giao hoán thì ta nói vành A có tính chất giao hoán.
Nếu phép nhân có phần tử trung hòa, ký hiệu là 1 thì vành A được gọi là vành có
đơn vị.
Ví dụ: Các vành (Z, +,.), (Q, +,.), (R, +,.) là các vành có đơn vị.
2.3 Vành nguyên
Định nghĩa: Vành (A, +,.) được gọi là vành nguyên nếu có tính chất
a.b =0⇒ a =0hoặc b =0.
Ví dụ: Các vành (Z, +,.), (Q, +,.), (R, +,.) là các vành nguyên.
Vậy trong vành nguyên ta có: Điều kiện cần và đủ để một tích bằng không là một
trong hai nhân tử phải bằng không.
III. Cấu trúc trường.
3.1 Định nghĩa: Cho K là một tập khác rỗng được trang bị hai phép toán cộng (+)
và nhân (.).Tanóibộba(K, +,.) hay K là một trường nếu thỏa mãn cá tính chất
sau:
1) (K,+,.) là một vành giao hoán có đơn vị.
2) Với mọi a ∈ K, a =0(phần tử trung hòa của phép +), tồn tại phần tử a

sao cho
a.a

= a

.a =1, phần tử a


được gọi là phần tử nghịch đảo của a.
3.2. Một số tính chất
9
1) Trường là một vành nguyên.
2) K là một trường thì K{0} là một nhóm đối với phép nhân.
Bài 3:
số phức
1. Tính chất của tập hợp số thực: Trên tập hợp R các số thực ta có các phép
toán cộng hai số thực và nhân hai số thực. Các tính chất này có tính chất cơ bản sau
đây.
Với mọi số thực a
1
,a
2
,a
3
∈ R,
1) a
1
+ a
2
= a
2
+ a
1
,
2) (a
1
+ a

2
)+a
3
= a
1
+(a
2
+ a
3
),
3) a
1
+0=a
1
,
4) a
1
+(−a
1
)=0,
5) a
1
a
2
= a
2
a
1
,
6) (a

1
a
2
)a
3
= a
1
(a
2
a
3
),
7) a
1
.1=a
1
,
8) a
1
.
1
a
1
=1, (a
1
=0),
9) a
1
(a
2

+ a
3
)=a
1
a
2
+ a
1
a
3
.
Các tính chất 1) −9) của các phép toán cộng và nhân trên R được gọi là tính chất
trường của R và tập hợp R được gọi là trường số thực.
2. Xây dựng trường số phức.
Nhiều bài toán trong toán học dẫn đến các phương trình đại số. Để giải quyết các
bài toán này, một trong những yêu cầu được đặt ra là mở rộng các hệ thống số để
cho các phương trình đó có nghiệm. Trong tập hợp N các số tự nhiên, phương trình
x +3=0không có nghiệm. Để giải được phương trình này, người ta đã mở rộng tập
hợp N ra tập hợp Z. Trong tập Z, phương trình 3x =1không có nghiệm. Để giải được
phương trình này, người ta mở rộng tập Z ra tập hợp Q. Trong tập hợp Q, phương
trình x
2
=3không có nghiệm. Để giải được phương trình này, người ta mở rộng tập
Q ra rập R. Khi mở rộng hệ thống số, hệ thống mới giữ nguyên các tính chất của hệ
thống trước đó và có thêm các tính chất thuận tiện cho việc tính toán.
Ta thấy rằng, phương trình x
2
+1=0 không có nghiệm trong tập hợp các số thực
R. Vì vậy cần thiết phải mở rộng hệ thống số R ra hệ thống số mới, được gọi là số
phức mà phương trình x

2
+1=0có nghiệm trong tập hợp các số phức.
Ký hiệu C = R
2
= {(x, y)/x, y ∈ R}, mỗi phần tử của C được gọi là một số phức.
Phép cộng và nhân số phức.
Cho hai số phức z
1
=(x
1
,y
1
),z
2
=(x
2
,y
2
) ∈ C. Ta định nghĩa phép toán cộng và
nhân số phức như sau.
z
1
+ z
2
=(x
1
+ x
2
,y
1

+ y
2
)
z
1
z
2
=(x
1
x
2
− y
1
y
2
,x
1
y
2
+ x
2
y
1
)
Đặc biệt, (x
1
, 0)+(x
2
, 0)=(x
1

+ x
2
, 0),
(x
1
, 0)(x
2
, 0) = (x
1
x
2
, 0)
Như vậy khi cộng và nhân các số phức dạng (x, 0) ta được một số phức dạng (x, 0).
Vì vậy có thể đồng nhất số phức dạng (x, 0) với số thực x. Tức là x =(x, 0).
10
Bằng cách đó tập số thực R được xem là tập con của tập hợp các số phức C.
Ký hiệu i =(0, 1) ∈ C, ta có i
2
=(0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Như vậy i
2
+1=0, nên
i là nghiệm của phương trình x
2
+1=0. Số phức i được gọi là đơn vị ảo của C.
Với cách đồng nhất x =(x, 0), một số phức z =(x, y) được viết dưới dạng z =
(x, y)=(x, 0) + (0,y)=(x, 0) + (0, 1)(y,0) = x + iy(∗). Công thức (∗) được gọi là
dạng đại số của số phức z, số thực x được gọi là phần thực của số phức z và được
ký hiệu là Rez, số thực y được gọi là phần ảo của số phức z và được ký hiệu là Imz.
Dùng công thức (∗), phép cộng và nhân số phức được viết lại như sau
(x

1
+ iy
1
)+(x
2
+ iy
2
)=(x
1
+ x
2
)+i(y
1
+ y
2
),
(x
1
+ iy
1
)(x
2
+ iy
2
)=(x
1
x
2
− y
1

y
2
)+i(x
1
y
2
+ x
2
y
1
).
Dễ dàng chứng minh được rằng phép cộng và phép nhân số phức có đầy đủ các tính
chất của một trường và tập hợp C được gọi là trường số phức.
Số phức
z = x − iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z = x = iy. Rõ ràng ta
có z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
, z
1
z
2
= z
1
z

2
.
Giả sử z = x + iy =0, khi đó x
2
+ y
2
> 0, ký hiệu ϕ là góc xác định bởi
cos ϕ =
x

x
2
+ y
2
, sin ϕ =
y

x
2
+ y
2
.
Góc ϕ xác định sai khác một bội của 2π. Nó được gọi là acgumen của z và được ký
hiệu là argz.
Nếu z = x + iy thì số thực | z |=

x
2
+ y
2

được gọi là moddun của z. Ta có ngay
bất đẳng thức sau
| z
1
+ z
2
|| z
1
| + | z
2
| .
Với các ký hiệu trên số phức z được biểu diễn dưới dạng
z =| z | (cos ϕ + i sin ϕ)(∗∗).
Công thức (∗∗) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.
Nếu z
1
=| z
1
| (cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
),z
2
=| z
2
| (cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2

) thì
z
1
z
2
=| z
1
|| z
2
| (cos(ϕ
1
+ ϕ
2
)+i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)).
Do đó |z
1
z
2
| = |z
1
||z
2
|,arg(z
1
z
2

)=argz
1
+ argz
2
. Từ đây ta suy ra rằng, với n là
số nguyên thì z
n
= |z|
n
(cos(nϕ)+i sin(nϕ)). Công thức này được gọi là công thức
Moivre.
Số phức z
0
được gọi là căn bậc n của số phức z nếu z
n
0
= z. Tập hợp tất cả các căn
bậc n của số phức z được ký hiệu là
n
√
z.
Và ta có thể suy ra
n
√
z = {
n

|z|(cos
ϕ +2kπ
n

+ i sin
ϕ +2kπ
n
/k ∈ Z}
11
bài tập
1. Tính các biểu thức sau
a) (1 +
√
3i)
60
, (
1+
√
3i
1 − i
)
20
b) (2 −
√
2+i)
12
, (
√
3+i
1 − i
)
12
c) (
1 − i

√
3
2
)
n
,
3
√
2 − 3i,
√
3 − 4i
2. Chứng minh rằng nếu z +
1
z
= 2 cos ϕ thì z
n
+
1
z
n
= 2 cos nϕ, với n ∈ Z.
12
Chương II
ma trận- định thức
Bài 1: ma trận
I. Khái niệm về ma trận.
Cho M là một tập hợp và m, n là các số nguyên dương. Ta gọi một ma trận cỡ m ×n
trên M là một bảng hình chữ nhật
A =





a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
a
mn





gồm mn phần tử của M được xếp thành m hàng và n cột. Với 1  i  m,1  j  n,
phần tử a
ij
được gọi là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A hay cũng gọi
là phần tử ở vị trí (i, j) của A. Ta gọi i là chỉ số hàng và j là chỉ số cột.
Để đơn giản ma trận A còn được viết dưới dạng A =[a
ij
],i=1, 2, , m; j =1, 2, , n.
Hai ma trận A =[a
ij
] và B =[b
ij
] được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và
a
ij
= b
ij
với mọi i, j.
Ma trận A cỡ n ×n được gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận cỡ 1 ×n được gọi là
ma trận hàng, ma trận cỡ n × 1 được gọi là ma trận cột.
Từ đây về sau ta chỉ xét ma trận trên trường K với K là trường số thực R và trường
số phức C. Tuy nhiên, để đơn giản hầu hết các ví dụ được cho trên trường số thực R.
Ma trận cỡ m ×n gồm mn số 0 được gọi là ma trận không. Ma trận
I = I
n





10 0
01 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00 1




được gọi là ma trận đơn vị cấp n.
II. Các phép toán trên ma trận.
2.1 Phép cộng
Định nghĩa: Cho A =[a
ij
] và B =[b
ij
] là các ma trận cỡ m × n. Tổng của hai
ma trận A và B là ma trận C =[c
ij
] cỡ m × n, trong đó c

ij
= a
ij
+ b
ij
với mọi
i =1, 2, , m; j =1, 2, , n. Ký hiệu là C = A + B.
Ví dụ:

123
321

+

456
789

=

57 9
10 10 10

Từ định nghĩa về phép toán cộng ma trận, ta có các tính chất đơn giản sau.
Tính chất: cho A, B, C là các ma trận cỡ mXn trên K. Khi đó
a) A +(B + C)=(A + B)+C,
b) A + B = B + A,
c) A +0
m,n
= A
m,n

+ A = A,
d) Với A =[a
ij
], ký hiệu −A =[−a
ij
]. Khi đó A +(−A)=0. Ma trận −A được gọi
là ma trận đối của A.
Ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa: Nếu A, B là các ma trận cũng cỡ thì ta có A − B = A +(−B)
13
2.2 Phép nhân một số với ma trận.
Định nghĩa: Cho A =[a
ij
] là ma trận cỡ m ×n và α ∈ K. Tích của α với A là ma
trận B =[b
ij
] cỡ mXn và b
ij
= αa
ij
với mọi i =1, 2, , m; j =1, 2, , n.
Ví dụ: 3

123
456

=

36 9
12 15 18


Ta có các tính chất sau đây Cho A, B là các ma trận cỡ m ×n và α, β ∈ K. Khi đó
a)1.A = A,
b) (αβ)A = α(βA),
c) (α + β)A = αA + βA,
d) α(A + B)=αA + αB.
2.3 Phép nhân các ma trận.
Định nghĩa: Cho A =[a
ij
] là ma trận cỡ m ×n và B =[b
jk
] là ma trận cỡ m ×p.
Tích của các ma trận A và B là ma trận C =[c
ik
] cỡ m × p, trong đó
c
ik
= a
i1
b
1k
+ a
i2
b
2k
+ + a
in
b
nk
=

n

j=1
a
ij
b
jk
với i =1, 2, , m; k =1, 2, , p. Khi đó ta ký hiệu C = AB.
Ta thấy rằng a
i1
,a
i2
, , a
in
là các phần tử ở hàng thứ i của A và các phần tử
b
ik
,b
2k
, , b
nk
là các phần tử ở cột thứ k của B.
Ví dụ 1: Cho A =

12 5
0 −11

; B =



12 3
32 1
12−2


, khi đó
C = AB =

912−11
11 −1

Ví dụ 2: Cho A =

1+i 2
−11

; B =

−10
4 − i 1

. Khi đó
AB = A =

7 − 3i 2
5 − i 1

; BA = A =

−1 − i −2

4+3i 9 − 2i

Như vậy, với A, B là các ma trận vuông cấp n thì nói chung AB = BA.
Tính chất: 1) Cho A, B, C lần lượt là các ma trận cỡ m × n, n × p, p × q và α ∈ K.
Khi đó
a)A(BC)=(AB)C,
b) α(AB)=(αA)B = A(αB),
c) AI
n
= I
m
A = A
2) Nếu A, B là các ma trận cỡ m × n, C là ma trận cỡ n ×p thì
(A + B)C = AC + BC.
3) Nếu A là ma trận cỡ m × n, và B,C là các ma trận cỡ n × p thì
A(B + C)=AB + AC.
14
2.4 Ma trận chuyển vị.
Định nghĩa: Cho ma trận A cỡ m ×n
A =




a
11
a
12
a
1n

a
21
a
22
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
a
mn




Ma trận
A
c
=





a
11
a
21
a
m1
a
12
a
22
a
m2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1n
a
2n
a
mn





được gọi là ma trận chuyển vị của A.
Như vậy, nếu A =[a
ij
] thì A
c
=[a
ji
] với mọi i, j.
Ví dụ: Cho A =

123
456

thì A
c
=


14
25
36


III. Các phép biến đổi sơ cấp.
Cho ma trận A trên K. Các phép biến đổi sơ cấp các hàng của ma trận A là các phép
biến đổi sau:

1) Đổi vị trí hai hàng(hai cột) của ma trận A







.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
a
i2
a
in
.
.
.
.
.
.
.

.
.
a
j1
a
j2
a
jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.







−→








.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
j1
a
j2
a
jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
a
i2

a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.







2) Nhân một hàng(một cột) của ma trận A với một số α =0, tức là các phần tử của
hàng(cột) đó đượ c nhân với α.
α



.
.
.
.
.
.

.
.
.
a
i1
a
i2
a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.



=



.
.
.
.
.

.
.
.
.
αa
i1
αa
i2
αa
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.



3) Cộng vào hàng(cột) thứ i một bội α của hàng(cột) thứ j của ma trận A.








.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
a
i2
a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
j1
a
j2
a
jn

.
.
.
.
.
.
.
.
.







−→








.
.
.
.
.

.
.
.
.
a
i1
+ αa
j1
a
i2
+ αa
j2
a
in
+ αa
jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
j1
a
j2
a

jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.








15
Nếu ma trận B nhận được từ ma trận A bằng các phép biến đổi sơ cấp thì ta nói A
tương đương với B và ký hiệu A ∼ B.
Bây giờ ta xét một dạng ma trận đặc biệt mà được gọi là ma trận dạng bậc thang.
3.1 Định nghĩa: Cho ma trận A =[a
ij
] cỡ m × n.
Hàng thứ i của A được gọi là bằng không nếu tất cả các phần tử của hàng đó bằng
không. Tức là a
ij
=0, ∀j =1, 2, , n.
Phần tử a

ij
được gọi là phần tử khác không đầu tiên của hàng thứ i nếu a
ik
=0, với
mọi k =1, 2, , j − 1 và a
ij
=0.
Các khái niệm cột bằng không và phần tử khác không đầu tiên khác không của cột
được định nghĩa tương tự.
Ma trận A được gọi là ma trận có dạng bậc thang nếu nó có các tính chất sau đây.
i) Nếu hàng thứ i của A bằng không thì hàng thứ i +1của A phải bằng không.
ii) Nếu các phần tử khác không đầu tiên của hàng thứ i và i +1nằm ở cột thứ j và
thứ k thì j<k.
Ví dụ: Ma trận


12 5
0 −11
00 1


là ma trận bậc thang.
Ma trận


12 5
0 −11
02 1



không là ma trận bậc thang.
3.2 Định lý: Mọi ma trận đều có thể chuyển về dạng bậc thang bằng các phép biến
đổi sơ cấp. Nói cách khác mọi ma trận đều tương đương với một ma trận bậc thang.
Chứng minh: Giả sử A là ma trận cỡ m × n. Ta chứng minh định lý trên bằng
phương pháp quy nạp theo m.
Nếu m =1thì hiển nhiên A có dạng bậc thang.
Giả sử m>1 và định lý đúng đối với mọi ma trận có (m −1) hàng. Nếu A là ma
trận không thì nó là ma trận bậc thang. Giả thiết A là ma trận khác không.
Giả sử j
1
là cột khác không đàu tiên của A. Nhờ phép đổi chổ hai hàng ta có thể giả
thiết a
1j
1
=0. Cộng vào hàng thứ i của A với bội −
a
i
j
1
a
1j
1
,i =2, 3, , n của hàng thứ
nhất, ma trận A được đưa về dạng
A =




0 0 a

1j
1
a
1j
1
+1
a
1n
0 00b
2j
1
+1
b
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 00b
mj
1
+1

b
mn




Ma trận
A =


b
2j
1
+1
b
2n
.
.
.
.
.
.
b
mj
1
+1
b
mn



có m −1 hàng, theo giả thiết quy nạp ma trận này có thể đưa về dạng bậc thang nhờ
các phép biến đổi sơ cấp. Do đó ma trận A cũng đưa được về dạng bậc thang.
Ví dụ: Đưa ma trận sau đây về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp về hàng.
16
A =


12 5
2 −11
32 1


3.3 Định nghĩa: - Cho ma trận vuông A =[a
ij
] cấp n. Ma trận A được gọi là ma
trận đường chéo nếu a
ij
=0, với mọi i = j. Nghĩa là
A =




a
11
0 0
0 a
22
0
.

.
.
.
.
.
.
.
.
00 a
nn




- Ma trận A được gọi là ma trận tam giác trên nếu a
ij
=0với mọi i>j.Nghĩa là
A =




a
11
a
12
a
1n
0 a
22

a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00 a
nn




. - Ma trận A được gọi là ma trận tam giác dưới nếu a
ij
=0với mọi i<j. Nghĩa là
A =




a
11
0 0
a
21

a
22
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
nn




bài tập
Bài 1: Thực hiện các phép tính
a)

λ 1
0 λ

n

;b)

cos α −sin α
sin α cos α

cos β −sin β
sin β cos β

c)

cos α −sin α
sin α cos α

n
d)


3+2i −45
2 −31
3 −5+i −1




3+i 15
19− 2i
0 −1


e)



32 50
0 −112
32 10






125
−15 5
2 −11
321




+


14 5
3 −12
30 1


Bài 2: Cho ma trận A =



14 5
3 −12
30 1


Tính A
3
− 2A + I, với I là ma trận đơn vị cấp 3.
17
Bài 2: Định thức
I. Định thức của ma trận vuông.
Xét ma trận vuông cấp n
A =




a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n
.

.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
nn




Nếu b ỏ đi hàng thứ i và cột thứ j từ ma trận A thì ta thu được một ma trận vuông
cấp n − 1. Ta ký hiệu nó là ma trận M
ij
và gọi nó là ma trận con ứng với phần tử
a
ij
. Ta định nghĩa định thức của ma trận một cách quy nạp như sau.
Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là det(A) hoặc |A| và đượ c định
nghĩa như sau.
A là ma trận cấp 1: A =[a
11
] thì det(A)=a

11
.
A là ma trận cấp hai A =

a
11
a
12
a
21
a
22

thì
det(A)=




a
11
a
12
a
21
a
22





= a
11
det(M
11
) − a
12
det(M
12
)=a
11
a
22
− a
12
a
21
Tổng quát, A là ma trận vuông cấp n thì
det(A)=








a
11
a

12
a
1n
a
21
a
22
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
nn









= a
11
det(M
1
1)−a
12
det(M
12
)+ +(−1)
n+1
a
1n
det(M
1n
)
(Chú ý ràng a
11
,a
12
, a
1n
là các phần tử nằm ở hàng thứ nhất của ma trận A.
Định thức của ma trận cấp n được gọi là định thức cấp n.
Ví dụ:







123
456
789






=1




56
89




−2




46
79





+3




45
78




=0
II. Tính chất của định thức.
Tính chất 1: Nếu A là ma trận vuông cấp n và A
c
là chuyển vị của A thì |A| = |A
c
|.
Từ tính chất này ta tháy rằng, các tính chất của định thức đúng với hàng thì sẽ đúng
với cột và ngược lại. Do đó từ đây về sau ta chỉ chứng minh các tính chất của định
thức đối với hàng và kết quả đó cũng đúng đối với cột.
Tính chất 2. Nếu ma trận vuông cấp nA

thu được từ ma trận A bằng cách đổi chổ
hai hàng thì |A

| = −|A|.

Tính chất 3. Nếu một hàng của ma trận vuông cấp n bằng không thì định thức của
ma trận đó bằng không.
Tính chất 4. Nếu ma trận vuông A có hai hàng giống nhau thì |A| =0.
Tính chất 5. Nếu ma trận A

nhận được từ ma trận A bằng cách nhân một hàng
với số k thì |A

| = k|A|
Tính chất 6. Nếu ma trận A có hai hàng tỉ lệ thì định thức |A| =0
18
Tính chất 7. Khi tất cả các phần tử của một hàng nào đó của ma trận A có dạng
tổng của hai số hạng thì định thức của A có thể phân tích thành tổng của hai định
thức. Cụ thể











.
.
.
.
.

.
.
.
.
a
i1
+ c
i1
a
i2
+ c
i2
a
in
+ c
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
j1
a
j2
a

jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.











=












.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
a
i2
a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
j1
a

j2
a
jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.











+












.
.
.
.
.
.
.
.
.
c
i1
c
i2
c
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a

j1
a
j2
a
jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.











Tính chất 8. Cộng thêm vào một hàng của ma trận A một bội của hàng khác thì
định thức của A không đổi. Cụ thể













.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
+ αa
j1
a
i2
+ αa
j2
a
in
+ αa
jn

.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
j1
a
j2
a
jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.













=











.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
a

i2
a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
j1
a
j2
a
jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.












Tính chất 9. Nếu ma trận A có một hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác
thì định thức của nó bằng không.
Tính chất 10. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên
đường chéo.








a
11
a
12
a
1n
0 a
22
a
2n

.
.
.
.
.
.
.
.
.
00 a
nn








=








a
11

0 0
a
21
a
22
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
nn








= a

11
a
22
a
nn
Ví dụ 1: Tính định thức








1234
2345
3456
4567








HD: Chuyển ma trận cần tính định thức về
dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp về hàng.
Ví dụ 2: Định thức Vandermonde là định thức
d =











111 1
a
1
a
2
a
3
a
n
a
2
1
a
2
2
a
2
3
a
2

n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n−1
1
a
n−1
2
a
n−1
3
a
n−1
n











Bằng cách quy nạp theo n ta có thể chứng minh được rằng d =Π
1ijn
(a
j
− a
i
).
Thật vậy,
Với n =2, ta có




11
a
1
a
2




= a
2
− a

1
.
19
Giả sử n>2 và công thức đúng trong trường hợp định thức cấp n − 1.
Cộng vào các hàng thứ i của d với bội −a
1
của hàng thứ i − 1, 2  i  n, ta được
d =










111 1
0 a
2
− a
1
a
3
− a
1
a
n
− a

1
0 a
2
2
− a
1
a
2
a
2
3
− a
1
a
3
a
2
n
− a
1
a
n
.
.
. ,
.
.
.
.
.

.
.
.
.
0 a
n−1
2
− a
1
a
n−2
2
a
n−1
3
− a
1
a
n−2
3
a
n−1
n
− a
1
a
n−2
n











Khai triển định thức d theo cột thứ nhất và rút ra thừa số chung ta được
d =(a
2
− a
1
)(a
3
− a
1
) (a
n
− a
1
)











11 1
a
2
a
3
a
n
a
2
2
a
2
3
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n−2
2

a
n−2
3
a
n−2
n










Bây giờ dùng giả thiết quy nạp ta được
d =(a
2
− a
1
)(a
3
−a
1
) (a
n
− a
1
)Π

2ijn
(a
j
− a
i
)=Π
1ijn
(a
j
− a
i
)
II. Định thức của tích các ma trận vuông.
Định lý: Định thức của tích các ma trận vuông bằng tích các định thức của các ma
trận này. Nghĩa là |AB| = |A||B|.
Chú ý: Đối với một định thức cấp ba ngoài định nghĩa và phương pháp đưa về dạng
tam giác còn có thêm phương pháp tam giác và phương pháp đường chéo.
bài tập
Bài 1. Tính các định thức sau
a)




cos α −sin α
sin α −cos α





;b)




sin α sin β
cos α cos β




;c)






1 − i 10
10 −1
1 1+3i 0






Bài 2. Chứng minh rằng







b + cc+ aa+ b
b
1
+ c
1
c
1
+ a
1
a
1
+ b
1
b
2
+ c
2
c
2
+ a
2
a
2
+ b
2







=2






abc
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2







Bài 3. Biết rằng các số 20604, 53227, 2 5755, 20927 và 289 chia hết cho 17. Chứng
minh rằng định thức










20604
53227
25755
20927
00289










chia hết cho 17.
20

Bài 4. Giải phương trình sau
d =










1 xx
2
x
n−1
1 a
1
a
2
1
a
n−1
1
1 a
2
a
2
2
a

n−1
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 a
n−1
a
n−1
2 a
n−1
n−1











=0
Bài 5: Tính các định thức
a)








2009 1 1
1 2009 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11 2009









;b)










123 n
−103 n
−1
2
−20 n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

−1 −2 −3 0










;
c)






xyx+ y
yx+ yx
x + yx y






;d)









111 1
123 4
149 16
182764








Bài 3: ma trận nghịch đảo
Cho A là ma trận vuông cấp n, B là ma trận cỡ n × p. Môt vấn đề được đặt ra
là tìm ma trận X cỡ n × p thỏa mãn phương trình AX = B.
Khi n = p =1thì phương trình trên có dạng ax = b với a, b ∈ K, phương trình này
có nghiệm duy nhất khi a =0và nghiệm là x = −
b
a
= a
−1
b.
Xét trường hợp tổng quát. Ta biết rằng nếu I là ma trận vuông cấp n thì với mọi ma

trận X cỡ n × p, ta có IX = X. Như vậy phương trình AX = B có nghiệm khi tồn
tại ma trận vuông A

cấp n sao cho AA

= A

A = I.
Định nghĩa. Ma trận vuông cấp n được gọi là ma trận có nghịch đảo hay khả nghịch
nếu tồn tại ma trận vuông A

sao cho AA

= A

A = I. Ma trận A

được gọi là ma
trận nghịch đảo của ma trận A.
Định lý: Ma trận nghịch đảo nếu có của một ma trận A là duy nhất và được ký hiệu
là A
−1
.
Định nghĩa: Ma trận A được gọi là ma trận không suy biến nếu |A|=0.
Định lý: Ma trận A vuông cấp n khi và chỉ khi nó không suy biến và ma trận nghịch
đảo A

của nó được xác định bởi công thức
A


=
1
|A|




A
11
A
21
A
n1
A
12
a
22
a
n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
1n

A
2n
A
nn




trong đó A
ij
=(−1)
i+j
|M
ij
| và được gọi là phần phụ đại số của phần tử a
ij
.
Chứng minh: Nếu A

là ma trận nghịch đảo của A thì I = A

A do đó |A|=0, có
21
nghĩa là A không suy biến.
Ngược lại, nếu A không suy biến ta xet định thức d
kj
=









a
11
a
1k
a
1n
a
21
a
2k
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
nk

a
nn








trong đó a
1k
,a
2k
, , a
nk
nằm ở cột thứ j của định thức d
kj
. Theo tính chất của định
thức ta có
d
kj
=

0 nếu k = j
| A | nếu k = j
Khai triển định thức d
kj
theo cột thứ j ta được
d

kj
= a
1k
A
ij
+ a
2k
A
2j
+ + A
nk
A
nj
Như vậy a
1k
A
ij
+ a
2k
A
2j
+ + A
nk
A
nj
=

0 nếu k = j
|A| nếu k = j
Tương tự ta có

a
k1
A
j1
+ a
k2
A
j2
+ + A
kn
A
jn
=

0 nếu k = j
|A| nếu k = j
Từ đây suy ra rằng A

A = I. Do đó A

= A
−1
.
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =







12 −1
4 −13
21 1






Theo định lý trên,
ta tìm được
A
−1
= −
1
6






−4 −35
23−7
63−9







Hệ quả: Nếu |A|=0thì phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A
−1
B.
Mệnh đề: Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n không suy biến thì AB cũng
không suy biến và
(AB)
1
= B
−1
A
−1
HD: Ta cần chứng minh:
- det(AB) =0,
- (B
−1
A
−1
)(AB)=I
- (AB)(B
−1
A
−1
)=I.
Định lý: Nếu B là ma trận vuông cùng cấp với A sao cho BA = I(hoặc AB = I)
thì A khả đảo và B = A
−1
.
bài tập
Bài 1: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận

a)


12 −3+4i
01− i 4
00 2


;b)A =


223
1 −10
−12 1


22
Bài 2: Cho ma trận chéo
A =




a
11
0 0
0 a
22
0
.

.
.
.
.
.
.
.
.
00 a
nn




trong đó a
11
a
22
a
nn
=0. Chứng minh rằng A khả đảo và tìm A
−1
Bài 3: Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông thỏa mãn A
2
− 3A + I =0thì
A
−1
=3I −A
Bài 4: Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai
a) Bình phương bằng ma trận đơn vị.

b) Bình phương bằng ma trận không.
Bài 4: hạng của ma trận
I. Định nghĩa: Hạng của ma trận A =0là số r>0 có các tính chất sau.
- Có một định thức con cấp r khác không,
- Mọi định thức con cấp lớn hơn r đều bằng không.
Ta ký hiệu hạng của ma trận A là rank(A). Nếu A =0thì ta định nghĩa rank(A)=0.
Định thức con cấp r khác không của A được gọi là định thức con cơ sở của A.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A =




2 −43 0
1 −21 4
01 −13
4 −74 −4




Ma trận A có |A| =0và định thức con






2 −43
1 −21
01 −1







=1=0.
Do đó hạng của ma trận A bằng 3.
II Cách xác định hạng của ma trận.
2.1 Định nghĩa: - Ma trận hàng A =(a
1
,a
2
, , a
n
) được gọi là tổ hợp tuyến tính
của các hàng A
i
=(a
i1
,a
i2
, , a
in
); 1  i  m nếu có các số α
1
,α
2
, , α
m

sao cho
A = α
1
A
1
+ + α
m
A
m
hay a
j
= α
1
a
1j
+ α
2
a
2j
+ + α
m
a
mj
,j =1, 2, , n.
- Các hàng A
1
,A
2
, , A
m

được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực
α
1
,α
2
, , α
m
không đồng thời bằng không sao cho
α
1
A
1
+ α
2
A
2
+ + α
n
A
n
=0(∗).
- Các hàng A
1
,A
2
, , A
n
không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính.
Tức là hệ thức (∗) chỉ xảy ra khi và chỉ khi α
1

= α
2
= = α
n
=0.
2.2 Định lý: Các hàng A
1
,A
2
, , A
n
phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một
trong các hàng là tổ hợp tuyến tính của những hàng còn lại.
23
2.3 Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận không làm thay đổi hạng của
ma trận đó.
Ta thấy rằng nếu A là ma trận bậc thang có đúng r hàng khác không thì hạng của A
bằng r.
Thật vậy, nếu phần tử khác không đầu tiên của hàng thứ k là a
kj
k
=0,k =1, 2, , r
thì j
1
<j
2
< <j
k
và ta có định thức con cấp r của A là





a
1j
1
a
1j
2
a
1j
r
0 a
2j
2
a
2j
r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00 a
rj
r





= a
1j
1
a
2j
2
a
rj
r
=0
Vì hàng thứ i của A với i>jbằng không nên mỗi định thức con cấp lớn hơn r của
A có hàng thứ r +1bằng không, do đó dịnh thức con đó bằng không. Do đó cấp cao
nhất của định thức con khác không của A là r nên rank(A)=r.
Thuật toán tìm hạng của ma trận:
B1: Dùng các phép biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận về dạng bậc thang.
B2: Số hàng khác không của ma trận bậc thang bằng số hàng khác không của nó.
Ví dụ: 1) Tính hạng của ma trận


11 1 1
13 −24
1 −14 2


2) Xác định hạng của ma trận sau theo λ
a)



7 − λ −12 6
10 −19 −λ 10
12 −24 13 −λ


;b)




3 λ 12
14 7 2
110174
41 3 3




24
Chương III
không gian véc tơ
Bài 1: khái niệm không gian véc tơ
I. Định nghĩa: Cho tập hợp V = ∅ mà các phần tử của nó được ký hiệu là
a, b, c, và K là trường số thực R hoặc trường số phức C. Tập hợp V được gọi là
không gian véc tơ trên K nếu
a) Có một quy tắc đặt tương ứng hai phần tử a, b ∈ V với một phần tử của V mà
được ký hiệu là a + b và gọi là phép cộng(hay tổng) của a và b. Tức là có ánh xạ
V × V −→ V

(a, b) → a + b
b) Có một quy tắc đặt tương ứng số α ∈ K và một phần tử α ∈ V với một phần tử
của V được ký hiệu là αa và gọi là phép nhân(hay tích) vô hướng α với a. tức là có
ánh xạ
K × V −→ V
(α, a) → αa
c) Hai quy tắc trên thỏa mãn 8 tiên đề sau
1) Với mọi a, b, c ∈ V : (a + b)+c = a +(b + c).
2) Với mọi a, b ∈ V : a + b = b + a.
3) Tồn tại phần tử θ ∈ V sao cho ∀a ∈ V,a + θ = a. Phần tử θ được gọi là phần tử
trung hòa hay là véc tơ không.
4) Với mọi phần tử a ∈ V , tồn tại a

∈ V sao cho a + a

= θ.
5) Với mọi α ∈ K, mọi a, b ∈ V,α(a + b)=αa + αb.
6) Với mọi α, β ∈ K, mọi a ∈ V :(α + β)a = αa + βa.
7) Với mọi α, β ∈ K, mọi a ∈ V :(αβ)a = α(βa).
8) Với mọi a ∈ V :1.a = a.
Mỗi phần tử của V được gọi là một véc tơ, mỗi số trong K được gọi là vô hướng.
Ví dụ: 1) Tập hợp tất cả các véc tơ tự do trong không gian ba chiều với phép cộng
và phép nhân véc tơ với một số thực được định nghĩa như trong giáo trình hình học
giải tích ở phổ thông(cộng các véc tơ theo quy tắc hình bình hành, nhân một véc tơ
với một số thực α là một véc tơ mà độ dài của nó bằng độ dài của véc tơ đã cho nhân
với |α|).
2) Cho V = {θ} là tập hợp chỉ có phần tử θ. Khi đó V cùng với hai phép toán ở trên
cũng là một không gian véc tơ.
3) Đặt k
n

= {(x
1
,x
2
, , x
n
)/x
i
∈ K, i =1, 2, , n }. Ta định nghĩa các phép toán như
sau.
Với mọi x =(x
1
,x
2
, , x
n
),y =(y
1
,y
2
, , y
n
) ∈ K
n
, mọi α ∈ K
x + y =(x
1
+ y
1
,x

2
+ y
2
, , x
n
+ y
n
)
αx =(αx
1
,αx
2
, , αx
n
).
Rõ ràng 8 tiên đề về không gian véc tơ đúng trên K
n
với hai quy tắc cộng và nhân
được định nghĩa như trên, trong đó véc tơ không là θ =(0, 0, , 0), phần tử đối của
x là x =(−x
1
, −x
2
, , −x
n
).