Tài liệu Giáo trình đại số đại cương pptx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
F 7 G







GIÁO TRÌNH
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG



ĐỖ NGUYÊN SƠN




2000
Đại Số Đại Cương
- 2 -
MỤC LỤC
mục lục ..........................................................................................................................2
CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ ................................................7
1. Tập hợp - Ánh xạ - Quan hệ..................................................................................7
1.1 Tập hợp............................................................................................................7
1.2 Ánh xạ..............................................................................................................8
A, B ⊂ X
⇒

⎩
⎨
⎧
∩⊂∩
∪=∪
)()()(
)()()(
BfAfBAf
BfAfBAf
....................................................................8
U, V ⊂ Y
⇒

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∩=∩
∪=∪
−−−
−−−
)()()(
)()()(
111
111
VfUfVUf
VfUfVUf
.........................................................9

1.3 Tập hữu hạn - vô hạn - đếm được....................................................................9
1.4 Quan hệ hai ngôi. ...........................................................................................9
1.5 Quan hệ tương đương. ...................................................................................10
1.6 Mệnh đề.........................................................................................................11
1.7 Quan hệ thứ tự...............................................................................................12
2. Cấu trúc đại số.....................................................................................................13
2.1 Phép tóan đại số.............................................................................................13
2.2 Các tính chất của phép toán đại số...............................................................14
2.3 Các phần tử đặc biệt......................................................................................15
2.4 Cấu trúc đại số...............................................................................................15
2.5 Các cấu trúc đại số cơ bản.............................................................................16
BÀI TẬP......................................................................................................................18
CHƯƠNG 2: SỐ HỌC TRÊN 9..............................................................................21
1. Số tự nhiên...........................................................................................................21
1.1 Xây dựng số tự nhiên .....................................................................................21
1.2 Phép cộng trên ∠...........................................................................................21
1.3 Đònh lí.............................................................................................................22
1.4 Phép nhân trên ∠...........................................................................................23
1.5 Đònh lí..............................................................................................................23
1.6 Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên.......................................................23
1.7 Đònh lí: ............................................................................................................23
2. Vành số nguyên...................................................................................................24
2.1 Xây dựng tập số nguyên ................................................................................24
2.2 Phép cộng ......................................................................................................25
2.3 Phép nhân .....................................................................................................25
2.4 Đònh lí.............................................................................................................26
2.5 Quan hệ thứ tự trên 9....................................................................................27
3. Sự chia hết trên tập số nguyên...........................................................................27
3.1 Đònh nghóa.......................................................................................................27
3.2 Tính chất ( a, b, c, d là các số nguyên)........................................................27

3.3 Đònh lí ( phép chia Euclide) ..........................................................................28
3.4 Ước chung lớn nhất (ƯCLN).........................................................................28
3.5 Đònh líù ............................................................................................................28
3.6 Hệ quả...........................................................................................................29
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 3 -
3.7 Đònh líù ............................................................................................................29
3.8 Đònh lí..............................................................................................................30
3.9 Thuật toán tìm ƯCLN của hai số.................................................................30
4. Số nguyên tố cùng nhau. ....................................................................................30
4.1 Đònh nghóa.......................................................................................................30
4.2 Đònh lí (Bezout) ..............................................................................................31
4.3 Đònh lí (Gauss)...............................................................................................31
4.4 Đònh lí.............................................................................................................31
5 Bội chung nhỏ nhất (BCNN) ...............................................................................32
5.1 Đònh nghóa :.....................................................................................................32
5.2 Mệnh đề.........................................................................................................32
5.3 Mệnh đề..........................................................................................................33
6. Số nguyên tố.......................................................................................................33
6.1 Đònh nghóa......................................................................................................33
6.2 Đònh lí..............................................................................................................33
6.3 Đònh lí..............................................................................................................33
6.4 Đònh lí.............................................................................................................34
6.5 Đònh líù .............................................................................................................34
6.6 Đònh lí.............................................................................................................34
6.7 Sàng Eratosthène...........................................................................................34
6.8 Đònh lí ( cơ bản của số học) ..........................................................................35
6.9 Dạng phân tích chính tắc...............................................................................36
6.10 Đònh lí...........................................................................................................36

6.11 Cách tìm ƯCLN và BCNN........................................................................36
7 Đồng dư.................................................................................................................37
7.1 Đònh nghóa......................................................................................................37
7.2 Lớp đồng dư..................................................................................................37
7.3 Tính chất ........................................................................................................38
BÀI TẬP......................................................................................................................39
CHƯƠNG 3: NHÓM...................................................................................................42
1 Nửa nhóm - Vò nhóm ............................................................................................42
1.1 Đònh nghóa.......................................................................................................42
1.2 Tích của n phần tử trong nửa nhóm ..............................................................42
1.3 Đònh lí..............................................................................................................42
1.4 Đònh lí..............................................................................................................43
2 Nhóm.....................................................................................................................44
2.1 Đònh nghóa.......................................................................................................44
2.2 Các tính chất cơ bản của nhóm.....................................................................45
3. Nhóm con ............................................................................................................47
3.1 Đònh nghóa......................................................................................................47
3.2 Đònh lí (tiêu chuẩn để nhận biết một nhóm con)..........................................47
3.3 Nhóm con sinh bởi một tập con của nhóm...................................................48
4. Nhóm con chuẩn tắc - Nhóm thương..................................................................49
4.1 Lớp kề - Quan hệ tương đương xác đònh bởi một nhóm con .......................49
4.2 Mệnh đề.........................................................................................................50
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 4 -
4.3 Đònh lí (Lagrange) .........................................................................................51
4.4 Nhóm con chuẩn tắc......................................................................................51
4.5 Nhóm thương .................................................................................................52
5. Đồng cấu nhóm....................................................................................................54
5.1 Đònh nghóa.......................................................................................................54

5.2 Ảnh và nhân của đồng cấu ...........................................................................55
5.3 Các tính chất của đồng cấu nhóm.................................................................55
5.4 Đònh lí ( cơ bản của đồng cấu nhóm).............................................................57
5.5 Hệ quả.............................................................................................................58
6. Nhóm cyclic .........................................................................................................58
6.1 Đònh nghóa.......................................................................................................58
6.2 Cấp của một phần tử trong nhóm .................................................................58
6.3 Đònh lí ( phân loại nhóm tuần hoàn)..............................................................59
7. Tác động của một nhóm lên một tập hợp...........................................................59
7.1 Đònh nghóa:......................................................................................................59
7.2 Nhóm con ổn đònh của một phần tử..............................................................60
7.3 Quỹ đạo của một phần tử..............................................................................60
8. Nhóm đối xứng ....................................................................................................60
8.1 Đònh nghóa.......................................................................................................60
8.2 Đònh lí (Ceyley)..............................................................................................61
8.3 Nhóm đối xứng S
n
..........................................................................................61
8.4 r - chu trình....................................................................................................61
8.5 Tính chất .........................................................................................................62
8.6 Đònh lí.............................................................................................................62
8.7 Đònh liù .............................................................................................................62
8.8 Hệ quả.............................................................................................................63
BÀI TẬP......................................................................................................................65
CHƯƠNG 4: VÀNH VÀ TRƯỜNG..........................................................................70
1. Vành và trường ....................................................................................................70
1.1 Đònh nghóa......................................................................................................70
1.2 Các tính chất.................................................................................................71
2. Vành con – Trường con........................................................................................72
2.1 Đònh nghóa.......................................................................................................72

2.2 Đònh lí (tiêu chuẩn nhận biết một vành con).................................................73
2.3 Đònh lí (tiêu chuẩn nhận biết một trường con)............................................73
3. Ideal - Vành thương .............................................................................................74
3.1 Đònh nghóa.......................................................................................................74
3. 2 Ideal chính.....................................................................................................75
3. 3 Vành thương..................................................................................................75
4. Đồng cấu vành.....................................................................................................76
4.1 Đònh nghóa.......................................................................................................76
4.2 Các tính chất của đồng cấu vành...................................................................77
4.3 Đònh lí ( cơ bản của đồng cấu vành).............................................................78
4.4 Hệ quả............................................................................................................78
4.5 Đặc số của vành .............................................................................................78
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 5 -
5. Các đònh lí nhúng đẳng cấu.................................................................................78
5.1 Đònh lí (nhúng đẳng cấu một vò nhóm)..........................................................78
5.2 Đònh lí ( nhúng đẳng cấu một vành nguyên).................................................80
6. Số học trên vành nguyên - Vành chính - Vành Euclide - Vành Gauss ............82
6.1 Các đònh nghóa................................................................................................82
6.2 Các tính chất.................................................................................................83
6.3 Vành chính.....................................................................................................84
6.4 Đònh líù .............................................................................................................84
6.5 Đònh lí..............................................................................................................85
6.6 Vành Euclide ................................................................................................86
6.7 Đònh lí..............................................................................................................86
6.8 Thuật tóan tìm ƯCLN....................................................................................86
6.9 Vành Gauss (Vành nhân tử hóa)...................................................................87
6.10 Đònh lí............................................................................................................88
6.11 Đònh lí............................................................................................................89

BÀI TẬP......................................................................................................................91
CHƯƠNG 5: VÀNH ĐA THỨC.............................................................................96
1 Vành đa thức một biến .........................................................................................96
1.1 Đònh nghóa......................................................................................................96
1.2 Đònh lí.............................................................................................................97
1.3 Đònh lí..............................................................................................................97
1.4 Đònh lí..............................................................................................................98
1.5 Không điểm của đa thức ...............................................................................99
1.6 Đònh lí............................................................................................................100
1.7 Cấp của không điểm ..................................................................................100
1.8 Đònh lí............................................................................................................100
1.9 Đònh lí............................................................................................................100
1.10 Đònh lí..........................................................................................................101
1.11 Hàm đa thức................................................................................................101
1.12 Đònh lí..........................................................................................................102
1.13 Đònh lí.........................................................................................................103
2. Vành đa thức nhiều biến ...................................................................................104
2.1 Đònh nghóa.....................................................................................................104
2.2 Cách sắp xếp đa thức theo lối tự điển.......................................................105
2.3 Đònh lí...........................................................................................................105
2.4 Đa thức đối xứng ........................................................................................106
2.5 Đònh lí...........................................................................................................106
2.6 Đònh lí...........................................................................................................107
3. Các đa thức trên trường số ................................................................................108
3.1 Đònh lí (d' Alermbert) ...................................................................................108
3.2 Đònh lí............................................................................................................108
3.3 Đònh lí ( tiêu chuẩn Eisenstein) ..................................................................109
BÀI TẬP....................................................................................................................110
PHỤ LỤC..................................................................................................................112
1. Trường số thực ..................................................................................................112

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 6 -
1.1 Lát cắt hữu tỉ................................................................................................112
1.2 Các quan hệ trên 3

.......................................................................................112
1.3 Phép cộng .....................................................................................................113
1.4 Phép nhân .....................................................................................................113
2. Trường số phức ..................................................................................................113
2.1 Xây dựng số phức.........................................................................................113
2.2 Đònh lí (d' Alermbert) ...................................................................................115
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 7 -
CHƯƠNG 1:
ĐẠI CƯƠNG VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
1. Tập hợp - Ánh xạ - Quan hệ.
1.1 Tập hợp.

• Tập hợp là một khái niệm ban đầu. Tập hợp được mô tả như một tòan thể nào
đó bao gồm những đối tượng nào đó có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất
đònh. Các đối tượng lập nên tập hợp gọi là phần tử. Ta thường kí hiệu các tập hợp
bằng các chữ cái A, B, X, Y.... còn các phần tử của chúng bằng các chữ cái nhỏ a,
b, x, y… Có hai cách để xác đònh một tập hợp, một là liệt kê ra tất cả các phần tử
của nó, A = {a
1
,a
2
,…a

n
}; hai là miêu tả đặc tính các phần tử tạo nên tập hợp,
X = {x : x có tính chất E }. Nếu a là phần tử của tập hợp A thì ta viết a A. Nếu
a không là phần tử của tập hợp A thì ta viết a
∈
∉
A. Tập hợp không chứa một phần tử
nào được gọi là tập hợp rỗng và kí hiệu là
∅
.

Ví dụ, các tập hợp số mà ta đã quen biết : tập các số tự nhiên (không có số 0) ∠
= {1, 2, 3, …, n,…}; tập số tự nhiên (với số 0), ∠
0
= {0,1, 2, …, n,…}; tập các số
nguyên 9 = {0,
±
1,
±
2,…, n,…}; tập các số hữu tỉ Θ = {
±
n
m
: m
∈
9, n
∈
∠}; tập
các số thực 3; tập các số phức ∀ = {a + bi : a,b
∈

3}.

• Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là các phần tử của tập hợp B thì ta nói A nằm
trong B, hay B chứa A, hay A là tập con của B , và kí hiệu là A ⊂ B hoặc B
A.
⊃

trong các tập hợp A
và được kí hiệu là B = A
VÍ DỤ:
∪
[0, 1 –

• Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất
một trong các tập hợp đã cho. Hợp của hai tập hợp được kí hiệu là A
∪
B. Hợp của
họ các tập hợp {A
} là một tập hợp B gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một
α
α
∪
α

α
∞
•
=
1n
n

1
] = [0, 1)
ợ ệu là A
B.
• Giao của họ các tập hợp {A
} là một tập hợp B gồm tất cả các phần tử đồng
ïc kí hiệu là B =
• Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử đồng thời
thuộc tập hợp A và tập hợp B. Giao của hai tập hợp đư c kí hi
∩
α

α
∩
A
α
.
thời thuộc vào mọi tập hợp A
α
và đươ
• VÍ DỤ:
=
∩
1n
[–
∞
n
,
1

n
] = {0}
1
B A A

• Hợp và giao các tập hợp có các tính chất

1) A
= B
∪ ∩
B = B
∩
A (Giao hóa
∪
n)
2) A
(B C) = (A B) C A
∪
∪ ∪
∪ ∩
(B
∩
C) = (A
∩
B)
∩
C (Kết hợp)
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 8 -

3) A A ) = (A A ) A
∩
(
α α α
∪
α
∪
∩
α
∪
(
∩
A ) =
α
α
∩
(A A ) (Phân phối)
tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử của tập hợp
mà không phải là phần tử của tập hợp B. Hiệu của hai tập hợp được kí hiệu là A
A và B là tập hợp (A – B)
(B – A). Hiệu đối
∪
α

• Hiệu của hai
A
\ B hay A – B

Hiệu đối xứng của hai tập hợp•
∪

xứng của hai tập hợp được kí hiệu là A
∆
B. Rõ ràng rằng A
∆
B = B
∆
A.

• Tích trực tiếp hay tích Descartes của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm
mọi cặp (x,y) ở đây x
∈
A và y
∈
B, và được kí hiệu là A
×
B.
Tích D sca tes của ï các tập hợp {A
} là một tập hợp gồm các họ
e r ho

α
I.∈α

(a
α
)
I.∈α
,

với a

α
∈
A
α

với mọi
α
∈
I, và được kí hiệu là
∏
∈α I
A
α
.

• Nếu B là tập con của tập h ïp A thì A – B được go là ph àn bơ ïi a ù của tập hợp B đối
với tập hợp A và được kí hiệu là C
B. Đối với phần bù ta có luật đối ngẫu
A ) = CA ) C
A
C(
α
∪
α
α
∩
(
α
(
α

∩
A ) = CA ).
α
α
∪
(
α
1.2 Ánh xạ


• Cho hai tập hợp X và Y. Một ánh xạ từ X vào Y là một qui luật f nào đó cho
tương ứng một phần tử x
∈
X với duy nhất một phần tử y
∈
Y . X được gọi là tập
nguồn hay miền xác đònh còn Y là tập đích hay miền giá trò. Phần tử y được gọi là
ïo
ø Y. Tập hợp f
: x
ủa tập hợp U qua ánh xạ f
–
X (
ảnh của x, còn x được gọi là ta ảnh của y qua ánh xạ f, khi đó ta viết y = f(x). Để
chỉ một ánh xa từ X vào Y thường dùng kí hiệu

f : X
→
Y, x
a

y = f(x)
Cho ánh xạ f : X
Y và U, V lần lượt là các tập con của X va
•
(U
→
) = {f(x)
∈
U} được gọi là ảnh c , còn tập hợp f
1
(V) = {x
∈
: f x)
∈
V } được gọi là nghòch ảnh của tập hợp V.

• Ánh xạ f

U
:U Y, xác đònh bởi f
→
U
(x) = f(x) với mọi x
∈
U, được gọi là hạn
. Ánh xạ id
X
: X X, id
X
(x) = x, được gọi là ánh xạ

⊂ X

chế của ánh xạ f trên U
đồng nhất trên X.
→

• Ta có các tính chất sau
⇒

⎩
⎨
⎧
∩⊂∩
∪=∪
)B(f)A(f)BA(f
)B(f)A(f)BA(f

A, B
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 9 -
U, V ⊂ Y
⇒

fUV fU fV
fUV fU f
−−−
−−−
∪= ∪

⎧
⎨
⎩
111
1 1
()()()
()( V
∩= ∩
1
)()

)

CHÚ Ý : Đẳng thức f(A
∩
B) = f(A
∩
f(B) nói chung không đúng. Chẳng hạn,
xét ánh xạ f : 3

→
3

, f(x) = sinx; và A = [0,
4
3π
], B
2
π
,

2
3π
= [ ].
1 2

• Hai ánh xạ f
1
: X
1
→
Y
1
và f
2
: X
2

→
Y
2
được gọi là bằng nhau nếu X
1
= X
2
và
f
1
(x) = f
2
(x) với mọi x

∈
X
1
, khi đó ta viết f = f .

• Cho hai ánh xạ f : X
→
Y và g : Y
→
Z . Hợp của f với g, ký hiệu là gof, là ánh
xạ từ X vào Z, được xác đònh bởi (gof)(x) = g(f(x)). Nếu h : Z
→
T là một ánh xạ
khác thì ta có ho(gof) = (hog)o f.

Ánh xạ f : X
→
Y được gọi là đơn ánh nếu ảnh của hai phần tử khác nhau trong
•
X là hai phần tử khác nhau trong Y. Ánh xạ f được gọi là tòan ánh nếu f(X) = Y,
tức là đối với mỗi phần tử y
∈
Y tồn tại một phần tử x
∈
X sao cho y = f(x). Một
ánh xạ vừa đơn ánh vừa tòan ánh được gọi là song ánh.

• Nếu f : X
→
Y là một song ánh thì đối với mỗi y thuộc Y có duy nhất một x

thuộc X sao cho y = f(x). Điều này cho phép xác đònh một ánh xạ f
–1
từ Y vào
với f
–1
(y) := x nếu f(x) = y. Ánh xạ f
–1
được
X
gọi là ánh xạ ngược của ánh
xạ f
o f
–1
= id
Y
. Ta cũng có thể dễ kiểm
. Hiển nhiên rằng f
–1
o f = id
X
và f
tra rằng, nếu f : X
→
Y, g : Y
→
Z là các song ánh thì f
–1
: Y
→
X, (g o f) : X

→
Z cũng là các song ánh và (g o f)
–1
= f
–1
o g
–1
.
1.3 Tập hữu hạn - vô hạn - đếm được
Nếu có một song ánh f : X
→
Y từ tập hợp X vào tập hợp Y thì ta nói X và Y có
cùng lực lượng. Tập hợp X gọi là đếm được nếu nó cùng lực lượng với tập hợp các
ố tự nhiên ∠. Nói cách khác, tập hợp đếm được là

tập hợp mà các phần tử của nó s
có thể đánh số thành dãy vô hạn x
1
, x
2
, …, x
n
,…. Một tập hợp X gọi là hữu hạn
nếu nó cùng lực lượng với tập hợp {n
∈
∠:1
≤
n
≤
k

o
} (với k
o
là một số tự nhiên nào
đó). Tập hợp không hữu hạn gọi là vô hạn.

• VÍ DỤ:Tập hợp các số nguyên có cùng lực lượng với tập số tự nhiên vì ta có song
ánh f : 9
→
∠, được xác đònh bởi f(n) = 2n +1 nếu n 0, và f(n) = 2
≥
n
nếu n <
0.
1.4 Quan hệ hai ngôi.
• Quan hệ (hai ngôi) trên tập l ø moX a ät tập con R của X
×
X. Nếu cặp phần tử (x,
à viết x R y.
co a
y)
∈
R thì ta nói x có quan hệ R vơi y, v

M hệ R trên tập X được gọi là ù tính ch át• ột quan

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 10 -
1) phản xạ nếu x R x, x

∀
∈
X
ùng nếu x R y
y R x.
x R y và y R z x R z.
ûn xạ, không đối xứng,
phả
1.5 Quan hệ tương đương.
2) đối xư
⇒
3) phản xứng nếu x R y và y R x
⇒
x = y.
4) bắc cầu nếu
⇒

• VÍ DỤ:
a) Quan hệ bé hơn ''
≤
'' thông thường trên tập ∠ là pha
n xứng, bắc cầu.

b) Quan hệ vuông góc trong tập hợp các đường thẳng của mặt phẳng là đối
xứng, không phản xạ, không phản xứng, không bắc cầu.

hệ tương đương nếu nó có các tính chất:
ba
Cho R là một quan hệ tương đương trên X. Đối với mỗi x thuộc X, tập hợp con
R y

o ] oặc
• Quan hệ R trên tập X được gọi là quan
phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Người ta thường kí hiệu quan hệ tương đương R
èng dấu '' ~ '' và đọc '' a ~ b'' là a tương đương với b.


•
{
y
∈
X : x
}
của X được gọi là một lớp tương đương của x (modulo R)
và được kí hiệu là [x]
, h ặc [x , h
R
x
hoặc
∧
x
. Mỗi phần tử của [x] được gọi
là một đại diện của [x
,
R
]
R
.

• Tập hợp
R

X
:= { [x] : x
∈
X } được gọi là tập thương của X đối với quan hệ
tương đương R . Ánh xạ
π
: X
→

R
X
,
π
(x x], là một ) = [ tòan ánh và được gọi
ø tòan cấu chính tắc.
uan hệ bằng nhau trong một tập hợp bất kì X là một quan hệ tương
la

VÍ DỤ:
a) Q
đương. Với mỗi x thuộc X, ta có [x] = {x} và
R
X
= {{x}, x
∈
X}.

b) Với mỗi n
∈
∠, quan hệ đồng dư modulo n trên 9, kí hiệu x

≡
y(mod n)
và đọc là '' x là đồng dư với y modulo n '', được xác đònh bởi:

y(
. t g ơng của x được gọi là lớp đồng dư
k i là
x
≡
mod n) ⇔ x – y chia hết cho n


là một quan hệ tương đương Lớp ươn đư

x
= {x + kn, k
∈

modulo n của x , và thường được í h ệu
9 }.
a lớp (hay phân hoạch)
của
1) X

} cacù tập con của X gọi là một ph ân
• Một họ P = {X
I∈α
α
X nếu
α

≠

∅
,
∀

α

∈
I.

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 11 -
2) X =
I
∈α
∪
X
α

3) X
α

∩
X
β

≠

∅

⇒
X
α
= X
β
.
1 Mệnh đe.6 à
một quan hệ tương đương trong X thì tập thương


R
X
a) Nếu R là là một
phân lớp của X.
b) Nếu P = {X
} là một phân lớp của X thì R(P) = {(x
α
I∈α
,y)
∈
X
×
X : tồn
tại X
α
∈
P để x, y

∈
X
α
} là một quan hệ tương đương trên X, và P =
)P(R
X
.

Chứng minh:
a) Giả sử R là một quan hệ tư n đương ong Xơ g tr .
Vì nếu x thuộc X thì x thuộc [x] nên [x] ≠ ∅ và X =
Xx∈
∪
[x]. •
• Nếu [x]
∩
[y] ≠ ∅, tức là tồn tại z
∈
[x]
∩
[y]. Khi đó zRx và zRy. Vì vậy xRy (do
tính đối xứng và bắc cầu của R). Từ đó, [x]= [y].

b) Giả sử P = {X
⇔ ∃
α
}
I∈
α
là một phân lớp của X và R(P) là quan hệ trên X

xác đònh bởi : x R(P) y X
α

∈
P, x, y
∈
X
α
.

• Tính phản xạ và tính đối xứ g c ûa R(P) ø rõ r øng. Giả sử x, y, z
∈
X sao cho x
R(P) y và y R(P) z. Khi đó tồn tại X
và X sao cho x, y
n u la a
∈
X và y, z
∈
X
β
α
β
α
.
Như vậy, X
α
∩
X
β

≠ ∅ và do P là phân lớp của X nên X
α
= X
β
. Từ đó, x, z
thuộc X
α
= X
β
, tức là x R(P) z. Điều này suy ra tính bắc cầu của R(P).

• Ta có nhận xét rằng, nếu x
∈
X
α
thì [x]
)P(R
= X
α
. Thật vậy, nếu lấy bất kì y
ì y R(P) x nê àn i X
thuộc [x]
)P(R
th n to tạ
β
∈
P sao cho y, x
∈
X . Nhưng khi đó, vì
X ,

a [x
⊂ X thì do x cũng
β
X
β
và X
α
có chung phần tử x nên trùng nhau; tức là y cũng là phần tử của
α
. Ngược lại, nếu lấy bất kì y thuộc X
α
điều này suy r ]
)P(R
α
thuộc X
nên x R(P) y, tức là y
∈
[x] . Từ đó, X [x]
)P(R
α
⊂
)P(R
.
α
• Nhận xét trên suy ra phần còn lại của mệnh đề. 

• NH
a) thì với mọi x, y thuộc X ta có
ẬN XÉT :
Nếu R là một quan hệ tương đương trong X,

x R y ⇔ [x] = [y] ⇔ x
∈
[y] ⇔ y
∈
[x]

b) Mệnh đề 1.6 cho thấy một sự tương ứng 1 – 1 giữa tập các quan hệ tương đương
trên X và tập các phân hoạch của X.
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 12 -
1.7 Quan hệ thứ tự
• Quan hệ 2 ngôi R trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự không chặt nếu nó có
ác tính chất phản xạ, phản xứng và bắc cầu, và được gọi là quan hệ thứ tự
ó chỉ cóù các tính phản xứng và .
quan hệ thứ tự trên X. Hai phần tử a, b
c
chặt nếu n bắc cầu

• Cho R là
∈
X được gọi là so sánh được
ái a
sánh
thứ tự bộ phận.

hết trong ∠, được kí hiệu là a ξ b và đọc là a chia hết b, là

hận, tòan phần) nếu trong nó có xác đònh một quan hệ thứ tự (chặt, không chặt, bộ

đo với R nếu luôn luôn có R b hoặc b R a. Một quan hệ thứ tự R trên X gọi là
quan hệ thứ tự tòan phần nếu mọi cặp phần tử khác nhau của X đều so
được, còn trái lại thì được gọi là quan hệ

VÍ DỤ: •
a) Quan hệ bé hơn
≤
thông thường trong 3 là một quan hệ thứ tự không chặt,
tòan phần.

b) Quan hệ chia
một quan hệ thứ tự không chặt, bộ phận.

c) Quan hệ bao hàm ⊂ trong tập các tập con của X là một quan hệ thứ tự bộ phận.

• Nếu R là một quan hệ thứ tự trong X thì ta thường kí hiệu R bằng dấu
≤
và đọc
'' a
≤
b '' là '' a bé hơn b''. Ta xem kí hiệu b
≥
a là đồng nghóa với a
≤
b và đọc là
'' b lớn hơn a ''.
• Tập hợp X được gọi là được sắp thứ tự ( hay được sắp) (chặt, không chặt, bộ
p

≤

, và viết (X,
≤
phận, tòan phần)
).

• Giả sử (X,
≤
) là một tập được sắp. Phần tử a
∈
X gọi là phần tử cực tiểu
(tương ứng: cực đại ) của X khi và chỉ khi nếu có quan hệ
≤
a (tương ứng: x
x
a ) thì kéo theo x = a . Phần tử a
∈
X gọi là phần tử bé nhất ( tương ứng: phần
≥
≤
tử lớn nhất ) của X khi và chỉ khi a
x ( a
≥
x) với mọi x
∈
X.

NHẬN XÉT: •
a) ếu tập được sắp (X,
≤
) có phần tử bé nhất ( phần tử lớn nhất ) a thì a là phần

N
tử bé nhất (tương ứng: lớn nhất ) duy nhất. Thật vậy, giả sử còn có b là phần tử bé
nhất thì ta suy ra a
≤
b và b
≤
a, từ đó, do tính phản xạ, a = b.

b) Một bộ phận A của tập được sắp (X,
≤
) có thể có hoặc không có phần tử
ớn nhất hoặc bé nh
≤
ất. Chẳng hạn trong (3

, ), tập ∠
0
có phần tử bé nhất là 0,
g c
l
nhưng khôn ó phần tử lớn nhất.

c) Một bộ phận A của tập được sắp (X,
≤
) có thể không có phần tử cực đại,
cực tiểu hoặc có một, hoặc có nhiều. Chẳng hạn: Trong (3

,
≤
) bộ phận ∠ không

0
có phần tử cực đại, đoạn [0, 1] có một phần tử cực đại và chỉ một, đó là 1 đó cũng
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 13 -
là phần tử lớn nhất của [0,1]; trong (∠ – {1}, ξ ) có vô số phần tử cực tiểu, đó là
các số nguyên tố.

d) Nếu (X,
≤
) được sắp thứ tự toàn phần thì X có nhiều nhất một phần tử cực đại,
đó cũng là phần tử lớn nhất của X. Thật vậy, nếu a là phần tử cực đại của X. Lấy
bất kì x thuộc X , vì
là quan hệ thứ tự toàn phần nên ta có x a hoặc a x.
, vì a là cực đại nên suy ra a = x. Vậy, ta luôn có x a với
mọi x

Ta nói một tập hợp X là sắp thứ tự tốt nếu nó là sắp thứ tự và mọi bộ phận khác
≤ ≤ ≤
Trong trường hợp a
≤
x
≤
∈
X, tức là a là phần tử lớn nhất.
•
rỗng của X có một phần tử bé nhất. Chẳng hạn, (∠,
≤
) là tập được sắp tốt.
2. Cấu trúc đại số

2.1 Phép tóan đại số

• Cho X và Y là hai tập khác ∅. Phép tóan trong ( hay luật hợp thành trong)
trên X là một ánh xạ F : X x X
→
X. Phép tóan ngòai(hay luật hợp thành
ngòai) trên X với tập tóan tử Y là ánh xạ G : Y x X
→
X. Phần tử F(x,y),
G(x,y) được gọi là cái hợp thành của x và y.

Người ta thường viết cái hợp thành của x và y bằng cách viết x và y theo một thứ
nh với một dấu đặc trưng cho phép toán đặt giữa x và y. Chẳng hạn,
kí hiệu
viết xy) lúc này được gọi là tích của x và y.
,y)
xy; (x,y) x + y ( phép nhân và cộng thông
ường) là các phép toán trong. Ánh xạ (x,y)
x
*
y = 2x + 6xy + 5y cũng là phép
9, vì
g thuộc 9.
ác
hép toán ngòai trên 3

với tập toán tử ∠.
•
tự nhất đò
F(x,y) = x + y, F(x,y) = x.y, F(x,y) = x

*
y, F(x,y) = x ⊥ y, …. Phép toán trong
bằng dấu + được gọi là phép cộng, cái hợp thành x + y lúc này được gọi là tổng
của x và y. Phép toán trong kí hiệu bằng dấu • được gọi là phép nhân, cái hợp
thành x • y (đôi khi cũng được

• VÍ DỤ:
a) Trên 9 các ánh xạ (x
a a
th
a
toán trong trên 9. Tuy nhiên ánh xạ (x,y)
a
x
y
không phải là phép toán trên
nói chung x
y
khôn

b) Trên P(X) = {A : A ⊂ X }, các ánh xạ (A, B)
a
A ∪ B, (A, B)
a
A B
là các phép toán trong.
∩

c) Trên tập M(X) = {f : X
→

X}, các ánh xạ từ X vào X, ánh xạ (f, g)
a
f o g
là phép toán trong

d) Đối với mỗi số thực x và số tự nhiên n, các ánh xạ (n, x)
a
nx, (n,x)
a
x
n
là c
p

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 14 -
• M
2
, …, x
n
} thường được cho bằng
ách trình bày dưới dạng một bảng. Trong bảng , người ta viết các phần tử của X ở
ên.
rong phần giao của hàng thứ i và cột thứ j, người ta viết cái hợp thành x
i

*
x
j

.
::::::
::::::
x...x...x
ột phép toán
*
trên một tập hữu hạn X = {x
1
, x
c
bên trên và bên trái của bảng, dấu
*
của phép toán được đặt ở góc trái phía tr
T

nj1*
n*1j*11*11
xx...xx...xxx

n*ij*i1*ii
xx...xx...xxx

n*nj*n1*nn
xx...xx...xxx

2.2 Các tính chất của phép toán đại số

Một phép toán
*
trên tập X có thể thỏa mãn một số trong các tính chất sau đây:

*

• Tính kết hợp : (a
*
b)
*
c = a
*
(b c) với mọi a, b, c
∈
X

Tính giao hoán• : a
*
b = b
*
a với mọi a, b
∈
X
) phân phối trái đối với ⊥ nếu a
*
(b ⊥ c) = a
*
b ⊥ a
*
c,

• Tính phân phối : Giả sử ⊥ là một phép toán khác trên X. Khi đó phép
toán
*

được gọi là

a
∀
a, b, c X
∈
b) phân phối phải đối với ⊥ nếu (b ⊥ c)
*
a = b
*
a ⊥ c
*
a,
∀
a, b, c
∈
X
c) phân phối đối với phép toán ⊥ nếu nó phân phối trái lẫn phân phối phải.

• T
được gọi là thỏa mãn
) luật giản ước trái nếu với mọi a, b, c
hỏa luật giản ước : Phép tóan
*

a
∈
X, từ a
*
b = a

*
c kéo theo b = c
i mọi a, b, cb) luật giản ước phải nếu vớ
∈
X, từ b
*
a = c
*
a kéo theo b = c
) luật giản ước nếu nó thỏa luật giản ước trái lẫn luật giản ước phải.
ết hợp, giao hoán, phép nhân phân phối đối với phép cộng; phép toán mũ hóa (m,
ùn hợp g o f có tính kết hợp,
o )
c

• VÍ DỤ:
1) Trong tập các số tự nhiên ∠, phép cộng và phép nhân thông thường có tiùnh
k
n)
a
m
n
không giao hoán ( 2
1
≠ 1
2
), không kết hợp ( (2
1
)
2

≠ 2
)1(
2
).

2) Trong tập hợp các ánh xạ từ X vào X, phép toa
okhông giao hoán ( nếu X c ù nhiều hơn m ät phần tử
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 15 -
2.3 Các phần tử đặc biệt
ối với phép toán
*
nếu e
*
a = a
*
e = a, với mọi a X.
ïc gọi
X nếu a'
*
a = e
đảo phải của x
X nếu a
*
a' = e
ò phải
à đơn
nhất là

) Phần tử đơn vò đối với phép cộng thường được kí hiệu bằng 0, và phần tử
ơn vò của phép toán cộng thông thường là số 0, phần tử
ơn vò của phép toán nhân thông thường là số 1.
ùp a t
ùn xạ đồng nhất id
X
.
Cho tập hợp X và trên đó có một phép toán
*
.

• Phần tử e
∈
X được gọi là

– phần tử đơn vò trái đối với phép toán
*
nếu e
*
a = a, với mọi a
∈
X.
– phần tử đơn vò phải đối với phép toán
*
nếu a
*
e = a, với mọi a
∈
X.
– phần tử đơn vò đ

∈

• Giả sử e là phần tử đơn vò đối với phép toán
*
trên X. Phần tử a'
∈
X đươ
là

– nghòch đảo trái của x
∈
– nghòch
– nghòch
∈
đảo của x
∈
X nếu a'
*
a = a
*
a' = e

CHÚ Ý: •
1) Nếu đối với phép toán
*
trên X có phần tử đơn vò trái e' và phần tử đơn v
e'' thì e' = e''. Điều này suy ra từ e' = e'
e'' = e'' ( đẳng thức thứ nhất do e'' l
*
v

ò phải, đẳng thức thứ hai do e' là đơn vò trái).
Từ điều trên suy ra g
một phần tử đơn vò.
n ay lập tức rằng, đối với một phép toán trong có nhiều
3
nghòch đảo của x được kí hiệu là – x.
Phần tử đơn vò đối với phép nhân thường được kí hiệu bằng 1, và phần tử nghòch
đảo của x được kí hiệu là x
–1
.

• VÍ DỤ:
1) Trong tập P(X) các tập con của X, phần tử đơn vò của phép toán ∪ là e = ∅,
phần tử đơn vò của phép toán
∩
là e = X.

2) Trong 9, phần tử đ
đ

3) Đối với phe toán hợp trên tập các ùnh xạ ừ X vào X, phần tử đơn vò là
ha
2.4 Cấu trúc đại số

• M
2
, ⊥
2
, ..., Y

m
, ⊥
m
) bao gồm tập hợp X khác
, các phép tóan trong T
i
trên X ( 1
ột bộ (X, T
1
, T
2
, ...,T
n
; Y
1
, ⊥
1
, Y
≤
i
≤
n), các phép tóan ngòai ⊥
j
trên X với
∅
tập tóan tử Y
j
( 1
≤
j

≤
m ) được gọi là một cấu trúc đại số.
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 16 -

• Giả sử (X, T
1
, T
2
, ...,T
n
; Y
1
, ⊥
1
, Y
2
, ⊥
2
, ..., Y
m
, ⊥
m
)
cấu trúc đại số có
các tập toán tử. Khi đó ánh xạ f : X
X' được gọi là một đồng cấu giữa hai cấu
úc đại số này nếu :
'

i
f(b), với mọi a, b
và (X ', T'
1
, T'
2
, ...,T'
n
; Y
1
, ⊥'
1
, Y
2
, ⊥'
2
, ..., Y
m
, ⊥'
m
) là hai
cùng số lượng các phép toán trong, có cùng số lượng các phép toán ngòai với cùng
→
tr

a) f(a T
i
b) = f(a) T
∈
X, với mọi i = 1, 2, …, n.

) f(
j
b) = ⊥'
j
f(b), với mọi
b
α
⊥
α α

∈
Y
j
, b
∈
X, với mọi j = 1, 2, …, m.
gọi là đơn cấu, tòan cấu, đẳng cấu nếu ánh xạ f tương ứng là
ơn ánh, toàn ánh, song ánh.
ản

• Đồng cấu f được
đ
2.5 Các cấu trúc đại số cơ b
* *
*
*
có tính kết hợp, có phần tử đơn vò, và mọi phần tử của X
ò nhóm (X, • ) cũng được gọi là phần tử đơn vò
thì vành (X, +. • ) được gọi là vành
o .

) là một vành, nó có thể xảy ra trường hợp rằng, tồn tại các phần tử a,
hoán, không có
miền nguyên.
ần tử khác 0 dều có nghòch đảo đối với phép toán • .

Cấu trúc đại số (X,
), trong đó là phép toán trong trên X, được gọi là
•

a) nửa nhóm nếu phép toán
*
có tính chất kết hợp.
b) vò nhóm nếu phép toán
có tính kết hợp, có phần tử đơn vò
) nhóm nếu phép toán c
đều có nghòch đảo.

Nếu phép toán
*
có tính giao hoán thì (X,
*
) được gọi là nhóm ( vò nhóm, nửa
nhóm) giao hoán.

• Cấu trúc đại số (X, +, • ), trong đó + và • là hai phép toán trong trên X, được gọi
là một vành nếu:

a) (X, +) là một nhóm giao hoán.
b) (X, • ) là một vò nhóm.
c) Phép toán • phân phối đối với phép +.

Phần tử đơn vò ( kí hiệu là 1) của v
của vành. Nếu phép toán • có tính giao hoán
ia hoáng

Cho (X, +, •
b
∈
X sao cho a ≠ 0, b ≠ 0 ( 0 là phần tử đơn vò của nhóm (X,+)) nhưng xy = 0.
Những phần tử như thế được gọi là ước của không. Một vành giao
ước của không và 1 ≠ 0 được gọi là vành nguyên hoặc

• Vành (X, +, • ) được gọi là một trường nếu nó là giao hoán, phần tử đơn vò 1
khác 0, và mọi ph

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 17 -
• Cho (A, +, • ) là một vành với pha 1. Cấu trúc đại số (M, +, • ), trong
ó + là phép toán trong trên M và • là phép toán ngòai trên M với tập toán tử A,
trên vành A nếu :
a các điều kiện sau
i)
(x + y) = x + y với mọi
àn tử đơn vò là
đ
được gọi là một modul

a) (M, +) là một nhóm giao hoán.
b) Phép toán ngòai • thỏ

α α α α

∈
A, với mọi x,y
∈
M.

)x = x) với mọi
ii) (
α
+
β
)x =
α
x +
β
x
(
α
β
α
(
β
α
,
β
∈
A, với mọi x

∈
M.
với mọi x iii) 1x = x
∈
X.
Một modul trên một trường được gọi là là một không gian vector hay không
.

•
gian tuyến tính

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 18 -
BÀI TẬP

1. Chứng minh rằng :

1) A ⊂ B
⇒
A
∩
B = A và A ∪ B = B
2) A
∩
B = A
⇒
A ⊂ B
3) A ∪ B = B
A ⊂ B

⇒

2. Cho X, Y là hai tập con của Z, hãy chứng tỏ

1) Z – X ⊂ Z – Y ⇔ Y ⊂ X
2) (Z –Y) ∪ Y = X ⇔ Y ⊂ X

n
3. Chứng minh rằng : (
1
k
=
∪
A
k
) –
1
n n
1
k
=
∪
k
=
∪
B
k
) ⊂ (( (A
k
– B

k
).
äp hợp bất kì A, B, C thì
C) = (A ×B ) (A ×C)
A
n 1 2 n
nhất một tập hợp A
i
không chứa một tập hợp nào trong các
f : ∠
∠, f(n) :=
− nn
0

nn
Cho ví dụ chứng tỏ nói chung dấu ' = ' không xảy ra.

. Chứng minh rằng với các ta4

1) A × (B ∪ C) = (A ×B) ∪ (A ×C)
2) (A ∪ B)×C = (A ×C) ∪ (B ×C)
) A ×(B3
∩ ∩
4) (
∩
B) ×C = (A ×C)
∩
(B ×C)

5. Xét tập hợp {A

1
,A
2
,…….,A } mà các phần tử A ,A ,…….,A là những tập hợp.
hứng minh rằng có ítC
tập hợp còn lại.

6. Cho n
0
là một số tự nhiên. Xét tính đơn ánh, tòan ánh, song ánh của ánh xạ

→

⎩
+ nn
0
khi
0
nn ≥
⎨
⎧
khi

0
<

. Cho f : X
Y, g : Y Z là các ánh xạ và h = go f là hợp của f
h
) Nếu h đơn ánh và f tòan ánh thì g đơn ánh.

òan ù ø tòan ánh.
n án ánh thì f tòan ánh.
2
: A X, hãy chứng minh
) Nếu f đơn ánh và f o g
1
= f o g
2
thì g
1
= g
2
.

7
→ →
và g, chứng minh:

1) Nếu h đơn ánh thì f đơn án
2
3) Nếu h là t anh thì g la
4) Nếu h tòa h và g đơn

8. Cho ba ánh xạ f : X
→
Y và g
1
, g

→

1
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 19 -
2) Nếu với mọi g
1
, g
2
mà từ fo g
1
= fo g
2
kéo theo g
1
= g
2
, thì f là đơn ánh.
Y và g
1
, g
2
: Y A, hãy chứng minh
ø g
1
o f = g
2
o f thì g = g‘.
) Nếu với mọi g
1
, g

2
mà g
1
o f = g
2
o f kéo theo g
1
= g
2
, thì f là tòan ánh.
a á tự nhiên và tập hợp các số tự nhiên chẵn.
) Tập hợp các số tự nhiên và tập hợp các số nguyên chẵn.
) Đoạn [0, 1 ] và đoạn [a, b ]
) Đoạn [0, 1 ] và nửa trục [a, +

9. Cho ba ánh xạ f : X
→ →

1) Nếu f tòan ánh va
2

10. Hãy thiết lập các song ánh giữa các tập hợp sau

1) Tập hợp c ùc so
2
3) Tập hợp các số hữu tỉ ở trong đọan [0, 1 ] và tập hợp các số tự nhiên .
4
5
∞
], a > 0.

) Đoạn [0, 1 ] và khoảng (0, 1 )
1. Chỉ ra rằng các tập hợp ∠ và ∠ ×∠ , trong đó ∠ là tập hợp các số tự nhiên, có
ùng lực lïng.
2. Cho E là một tập hợp, R là một quan hệ phản xạ trong E sao cho với
mọi x, y, z
E, từ xRy và yRz kéo theo zRx. Chứng tỏ R là một quan hệ tương
đương.

14. Cho E là một tập hợp, R là một quan hệ phản xạ và bắc cầu trong E.
S là một quan hệ trong E xác đònh bởi x S y ⇔ (xRy và yRx). Chứng tỏ R là một
quan hệ tương đương.

14. Cho ánh xạ f : 3
3

, f(x) = x
2
– x. Trên 3

xác đònh một quan hệ S như sau x
Sy ⇔ f(x) = f(y). Chứng tỏ R là một quan hệ tương đương, và xác đònh lớp tương
đương chứa phần tử x: [x]
S
.

15. Cho một đơn ánh f : X
∠. Trên X xác đònh một quan hệ R như
sau xRy ⇔ f(x)
f(y). Chứng tỏ R là quan hệ thứ tự toàn phần.

16. Xét tính kết hợp, giao hoán, tồn tại phần tử đơn vò trái - phải của
phép toán
*
trên tập hợp X.
1) a
*
b = 2a + b – a
2
, X = 9

2) a
*
b = , X = 9

3) a
*
b =
6

1
c

1
∈

→

→

≤

⎩
⎨
⎧
+
a
ba

khi
khi

0b
0b
<
≥
22
ba +
, X = (0, +
∞
).

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 20 -
4) a
*
b = a + b – ab, X = 3

5) a
*
b = e

x + y
, X = 3


7. Cho X là một tập hợp mà trên đó có hai phép toán trong
*
và ⊥ với phần tử
o
X.
P g trên tập các số vô tỉ không?



6) a
*
b = a
b
, X = ∠
1
đơn vò tương ứng là e
0
và e. Ngòai ra phép toán
*
phân phối trái đối với phép ⊥ và
phép toán ⊥ phân phối trái đối với phép
*
. Chứng minh rằng a
*
a = a và a ⊥ a =
với m ïi a

∈
a

á 18. hép nhân các so vô tỉ có phải là phép tóan tron






Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 21 -
CHƯƠNG 2:
SỐ HỌC TRÊN 9
1. Số tự nhiên
1.1 Xây dựng số tự nhiên

•
a
Ta xây dựng tập số tự nhiên bằng phương pháp tiên đề, đó là tập hợp ∠ cùng với
ùnh xạ
σ
: ∠
→
∠ thỏa mãn các tiên đề (gọi là tiên đề Peano) sau đây :

1) Có một phần tử kí hiệu là 1
∈
∠ .

)
σ
: ∠
→
+
:= {n
∈
∠ : n ≠ 1} là một song
2
∠ ánh.
gọi là một số tự nhiên.
gười ta kí hiệu
(1) = 2, (2) = 3,

3) Nếu
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
.
.
.
)n(
1
S
σ∈
∈
⊂
S

S
IN

khi Sn ∈
thì S = ∠ .

Tập ∠ với ánh xạ
σ
thỏa mãn các tiên đề trên được gọi là tập số tự nhiên, mỗi
phần tử của nó được

σ σ σ
(3) = 4,
σ
N
(4) = 5, …

• NHA
u
ÄN XÉT:
a) Nếu ta kí hiệ
σ
(n) bằng n và hình dung n như là '' phần tử đứng liền sau
hì tiên đề 2) nói rằng:
c 1 đều đứng liền
q ột số tự nhiên.
nạp.
ếu muốn chứng minh một tính chất E nào đó đúng với mọi số tự nhiên, thì trước
n ó đúng cho số tự nhiên 1, sau đó chứng minh nó đúng
ho số n

+
( số đứng liền sau số n ), với '' giả thiết qui nạp'' rằng tính chất E đúng
= n
+ +
phần tử n '' t
-
σ
(n) ≠ 1, n, tức là, số 1 không đứng liền sau bất kì số tự nhiên nào.
+
-
∀
n
∈
∠ , ∃! m ∠ :
σ
(m) = m
+
= n, tức là mỗi số tự nhiên khá
sau không uá m

b) Tiên đề 3) cho một phương pháp chứng minh gọi là phép chứng minh qui
N
hết ta chứ g minh tính chất đ
c
cho số n.

+
c) m = n ⇔ m
+

1.2 Phép cộng trên ∠

Phép cộng trên ∠ là ánh xạ (n, m)
n + m thỏa mãn các tính chất sau
•
a

+
a) n + 1 = n
với mọi n
∈
∠
+ +
ới mọi n m
b) n + m
= (n + m) v ,
∈
∠ .
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 22 -

• Để đònh nghóa phép cộng được đúng đắn, cần phải chỉ ra rằng tổng của hai số tự
hiên tồn tại và được xác đònh duy nhất.

Sự t
n
ồn tại. Đặt S = {n
∈
∠ :

∀
m
∈
∠, ∃ ánh xạ (n,m) n + m thỏa a) và b)}
Với n = 1, đặt 1 + m = m
+
thì rõ ràng rằng 1
a
-
∈
S.
n
+
+ m = (n + m)
+
thì
= ((n + m)
+
)
+
= (n
+
+ m)
+

ùp toán (m,n n
*
m thỏa mãn các tính chất

*

1 = n
+
và n m
+
= (n
*
m)
+
. Đặt S = {m
- Giả sử n
∈
S, tức là xác đònh được n + m với mọi m thỏa a) và b). Với n
+
nếu ta đặt

n
+
+ 1 = (n + 1)
+
= (n
+
)
+
và n
+
+ m
+
= (n

+ m

+
)
+

- Từ đó, n
+

∈
S, và theo tiên đề 3) thì S = ∠ .

Sự duy nhất. Giả sử còn có phe )
a
n
∈

*
∠ : n + m = n m, n ∠}. Vì n
+1 =
∀
∈

*
n
+
= n
*
1 nên 1
∈
S . Giả sử m
∈

S, tức là n + m = n
*
m, khi đó n
*
m
+
=
(n
*
m)
+
= (n + m)
+
= n + m
+
, suy ra m
+

∈
S. Từ đó, theo tiên đề 3) ta có S = ∠.

• NHẬN XÉT Trong chứng minh sự tồn tại của phép toán +, người ta đã đònh
nghóa 1 + m := m
+
.

1.3 Đònh lí
(∠, +) là nửa nhóm giao hoán, thỏa luật giản ước.

Chứng minh:

• Tính kết hợp: Đặt S = {k
∈
∠ : m + (n + k) = (m + n) + k
∀
n, m
∈
∠
, vì m + (n + 1) = m + n
+
= (m + n)
+
= (m + n) + 1.
iả sử k
S,
= (m + (n + k))
+
= ((m + n) + k)
+
= (m + n) + k
+
.
iao hoán : Nếu đặt S = {m
}.
Ta có 1
∈
S
G
∈
khi đó m + (n + k
+

) = m + (n + k
+
) = m + (n + k)
+



Suy ra k
+
∈
S. Từ đó S = ∠ .

• Tính g
∈
∠ : m + n = n + m,
∀
n
∈
∠}
iả sử m
S,
Suy
+
ó S = ∠ .

m
+
, từ đó n = m.
iả sử k
S và n + k

+
= m + k
+
Ta có 1
∈
S, vì 1 + n = n
+
= n + 1
G
∈
khi đó n + m
+
= (n + m)
+
= (m + n)
+
= m + n
+
= m + (1 + n)
= (m + 1) + n = m
+
+ n.

ra m

∈
S. Từ đ
• Thỏa luật giản ước : S = {k
∈
∠ : nếu n + k = m + k thì n = m }.

Ta có 1
∈
S, vì nếu n + 1 = m + 1 thì n
+
=
G
∈
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 23 -
khi đó (n + k)
+
= (m + k)
+
n + k = m + k n = m

⇒

⇒
Suy ra k
+

∈
S. Từ đó S = ∠ .

1.4 Phép nhân trên ∠

• Phép nhân trên ∠ là ánh xạ (n, m)
a
n • m thỏa mãn các tính chất sau :

a) n • 1 = n với mọi n
∈
∠
b) n • m
+
= n • m + m với mọi n, m
∈
∠

• Để đònh nghóa phép nhân được đúng đắn, cần phải chỉ ra rằng tích của hai số tự
át. Điều này được làm bằng cách tương tự
hư đã làm đối với phép cộng.
nhiên tồn tại và được xác đònh duy nha
n

1.5 Đònh lí
a) (∠, • ) là vò nhóm giao hoán, thỏa luật giản ước.
Chứng minh: a
1.6 Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên
b) Phép nhân phân phối đối với phép cộng

Chứng minh bằng phương ph ùp qui nạp tương tự như đối với phép
cộng. Phần tử đơn vò là số 1. 



• Nếu với hai số m và n cho trước , có một số k
∈
N

r
sao cho m = n + k thì ta nói
m ằng n bé hớn m và viết n <
, nếu n bé hơn hoặc bằng m thì
.
ệ số tự nhiên ∠.
*
) là nhóm (vò nhóm, nhóm) sắp

từ x < y kéo theo x
*
a < y
*
a và a
*
x < a
*
y với mọi a X.
và X được gọi là nhóm (vò nhóm, nhóm) sắp thứ tự mạnh nếu thêm tính chất

< a
*
y kéo theo x < y, với mọi a X.
rằng m lớn hơn n và viết > n, khi đó ta cũng nói
. Nếu m lớn hơn hoặc bằng n thì viết m
≥
n
m
viết n
≤

m

• Các quan hệ
≤
, < là các quan h thứ tự trên tập

Ta nói một nửa nhóm (vò nhóm, nhóm) (X, •
thứ tự (bộ phận, tòan phần, tốt, chặt, không chặt) nếu trên tập X đã xác đònh một
quan hệ thứ tự (bộ phận, tòan phần, tốt, chặt, không chặt), < , sao cho

∈

từ x
*
a < y
*
a hoặc a
*
x
∈

1.7 Đònh lí:
các quan hệ thứ tự
≤
, < nửa nhóm cVới ộng (∠ ,+) và vò nhóm nhân (∠ , •) là
được sắp thứ tự tòan phần, tốt và mạnh.

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 24 -

hứng minh:
Với mọi m
C
(chỉ chứng minh cho quan hệ
≤
, đối với quan hệ < cũng tương tự )

• Sắp thứ tự toàn phần:
∈
∠, đặt S = {n
∈
∠ : n
≤
m hoặc m n}.
ước hết ta có 1
≤
Tr
∈
S, thật vậy, nếu m =1 thì điều đó là rõ ràng, nếu m ≠ 1 thì m =
k
+
= k +1 với k
∈
∠ nào đó, tức là 1 < m, từ đó 1
∈
S.
Giả
ả năng xảy ra :
Nếu n = m thì n
+

= m + 1, từ đó m
sử n
∈
S. Có ba kh
≤
n
+
, tức là n
+

∈
-
S.
- Nếu n < m thì m = n + k với k
∈
∠ nào đó, thế thì m = n + 1 = n
+
hoặc
= n + h
+
= (n + h)
+
= n
+
+ h (với h
+
= k), từ đó n
+

≤

m, tức là n
+

∈
m S.
- Nếu m < n thì n = m + k với k
∈
∠ nào đó, suy ra n
+
= (m + k)
+
= m + k
+
,
ø đó m < n
+
, tức là n S.
+
∈
tư
Tóm lại, trong mọi trường hợp đều có n
+
∈
S. Vậy theo tiên đề 3) thì S = ∠.

• Sắp thứ tự tốt: Với mọi A ⊂ ∠, đặt S = {a
∈
∠ : a
≤
x với mọi x

∈
A }
Trước hết ta có 1
∈
S và S ≠ ∠ ( vì nếu x
∈
A thì do x
+
> x nên x
+
S).
∉
Ta luôn tìm được một số b
∈
S sao cho b
+

∉
S, vì nếu không, tức là với mọi b
∈
S
suy ra b
+

∈
S, thì do tiên đ ) ta có S = ∠ . Số b này phải thuộc A. Thật vậy, nếu b
A thì do b S nên ta có b < x với mọi x
ề 3
∉
∈ ∈

A. Từ đó b
+

≤
x với mọi x thuộc A,

iều này mâu thuẩn b
+

tức là b
+

∈
S. Nhưng đ với
∉
S. Như vậy, ta đã chỉ ra rằng,
àn t
x với mọi x
ại số b
A sao cho b
∈
≤
∈
A, nghóa là b là phần tử bé nhất của A.
to

Sắp thứ tự mạnh: Ta sẽ chứng minh các khẳng đònh sau •

a
≤

b ⇔ a + c
≤
b + c , với mọi c

∈
∠
a
b ⇔ ac bc , với mọi c

≤ ≤
∈
∠
Giả sử a
b. Nếu a = b thì rõ ràng a + c = b + c, ac = bc. Nếu a < b thì ta có b = a


≤
-
+ k với k
∈
∠ nào đó. Khi đó
b + c = (a + k) + c = (a + c) + k
⇒
a + c < b + c
bc = (a + k )c = ac + kc
⇒
ac < bc.

- Giả sử a + c
≤

b + c (tương ứng ac
≤
bc). Nếu b < a thì theo chứng min
thuẩn.
h chiều
thuận, b + c < a + c (tương ứng bc < ac). Điều này dẫn đến mâu

2. Vành số nguyên
2.1 Xây dựng tập số nguyên
Xét tập ∠ ×∠ = {(m, n) : m, n

∈
∠} gồm mọi cặp số tự nhiên. Trên tập ∠ ×∠

•
đưa vào một quan hệ tương đương như sau:

(m, n) ~ (p, q) ⇔ m + q = n + p.
Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin
Đại Số Đại Cương
- 25 -

là tập thương của ∠ x∠ đối
ới quan hệ ~ . 9 được gọi là là tập các số nguyên, mỗi phần tử cuả nó gọi là một
• Ta kí hiệu [m, n] là lớp tương đương của (m,n) và 9
v
số nguyên.

2.2 Phép cộng

• Phép cộng giữa hai số nguyên [m, n] và [p, q] được xác đònh bởi

[m, n ] + [p, q] = [m + p, n + q]

• Để đònh nghóa được hợp lí, cần phải chỉ ra rằng đònh nghóa trên không phụ thuộc
vào việc chọn đại diện của [m, n]và [p, q], tức là phải chứng minh rằng, nếu (m, n)
~ (m', n') và (p, q) ~ (p', q') thì (m + p, n + q) ~ (m' + p', n' + q'). Thật vậy, theo đònh
hân
nghóa: m + n' = n + m' và p + q' = q + p',
từ đó, (m + p) + (n' + q') = (n + q) + (m' + p'). Lại từ đònh nghóa suy ra điều phải
chứng minh.

2.3 Phép n
v
• Để đònh nghóa được hợp lí, cũng cần phải chỉ ra rằng đònh nghóa trên không phụ
ện của [m, n]và [p, q] . Giả sử (m, n) ~ (m', n') và (p, q)
~ (p', q'). Khi đó m + n' = n + m' (1) và p + q' = q + p' (2)
mp + nq + m'q' + n'p' = mq + np + m'p' + n'q',

Tức m'p' + n'q', m'q' + n'p').

• Phép nhân giữa hai số nguyên [m, n] à [p, q] được xác đònh bởi

[m, n ]•[p, q] = [ m p + n q, m q + n p]




thuộc vào việc chọn đại di

Nhân (1) và (2) vế theo vế: mp + mq' + n'p + n'q' = nq + np' + m'q + m'p'
Nhân (1) với q nq + m'q = mq + n'q
Nhân (2) với n nq + np' = np + nq'
Nhân (1) với q' m'q' + nq' = mq' + n'q'
hân (2) với n' n'p' + n'q = n'p + n'q' N

ộng các đẳng thức vừa tìm được vế theo vế ta có: C

là (mp + nq, mq + np) ~ (

Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin