nguyenhamtichphanvaungdunglythuyet42viducogiai

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I: NGUYÊN HÀM Nếu có hàm số f(x) việc đi tính đạo hàm của nó chỉ cần áp dụng các công thức đã biết, công việc có vẻ không khó lắm. Thế nhưng tìm hàm số nào đó có đạo hàm bằng f(x) thì sẽ khó hơn rất nhiều, có nghĩa là ta phải tìm hàm số g(x) sao cho g'  x   f  x  . Hãy cùng nghiên cứu kĩ hơn vấn đề này! Định nghĩa. Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R). Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho F'  x   f  x  thì F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K. Định lí 1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. Định lí 2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng G  x   F  x   C với C là hằng số. Định lí 3. Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Tính chất của nguyên hàm: -  f '  x  dx  f  x   C -  kf  x  dx  k  f  x  dx -.  f  x   g  x  f  x  dx   f  x  dx   g  x  dx. Bảng nguyên hàm Chú ý: Công thức tính vi phân của f(x) là d f  x    f '  x  dx . Ví dụ du  u '.dx ,. dt  t '.dx với u, t là hàm theo biến x. Với u là một hàm số.  0dx  C.  0du  C.  dx  x  C.  du  u  C. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> x. . dx . 1 1 x  C    1  1. u. 1. . du . 1 1 u  C    1  1. 1.  x dx  ln x  C.  u du  ln u  C.  e dx  e.  e du  e. x. x  a dx . x. C. u. ax C ln a. u  a du . u. C. au C ln a.  cos xdx  sin x  C.  cosu du  sinu  C.  sin xdx   cos x  C.  sinu du   cosu  C. 1.  cos. 2. x. 1.  sin. 2. x. 1. dx  tan x  C.  cos. dx   cot x  C.  sin. 2. u. 1 2. u. du  tanu  C du   cotu  C. Các phương pháp tính nguyên hàm . Phương pháp 1. Sử dụng bảng nguyên hàm:.  1   x 4  dx Ví dụ 1: Tính   2  cos x . Lời giải. 1 x5  1 4 4 Ta có    x  dx   dx   x dx  tan x   C 2 cos2 x 5  cos x   1  Ví dụ 2: Tính   2x 2   dx trên khoảng  0;   3 x2   Lời giải 2   2 1  1 2 3 2 3 Ta có   2x   dx  2 x dx   3 2 dx  x   x dx 3 2 3 x  x . 1 2 3 2  x  3x 3  C  x 4  3 3 x  C 3 3. Ví dụ 3: Tính.   3cos x  3  dx x 1. trên khoảng  ;   Lời giải. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ta có.  3cos x  3  dx   3cos xdx   3 x 1. x 1. dx  3sin x . 1 x 1 3x 3 dx  C  3sin x  . C 3 3 ln 3. 1  Ví dụ 4: Tính    e x 1  dx x . Lời giải 1 1  Ta có    e x 1  dx   dx  e  e x dx  ln x  e.e x  C x x .  Ví dụ 5: Tính. Phương pháp 2. Đổi biến số. sin 3 x  cos4 x dx. Phân tích. Để ý khi ta đặt t  cos x  dt  d  cos x    sin xdx , ta cần chuyển tất cả về theo biến t. Muốn như vậy ta biến đổi sin 2 x  1  cos2 x  1  t 2 Lời giải. 1  cos x  sin x dx , đặt t  cos x  dt  d  cos x    sin xdx sin 3 x dx   Ta có:  4 cos x cos 4 x 2. Lúc này:.  cos x   cos x 1  C sin 3 x 1 t2 t 3 t 1 4 2 dx   .dt   t dt  t dt    C    cos4 x  t4   3 1 3 3. Ví dụ 6: Tính. x 1.  2x  1 dx. Phân tích. Khi nguyên hàm có dạng phân thức bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu ta thường dùng phép chia đa thức để giải Lời giải Ta có. x 1. 1 . 3. . 1. 3. 1. x. 3. 1.  2x  1 dx  2  1  2x  1  dx  2  dx  2  2x  1 dx  2  C  2  2x  1 dx. Đặt t  2x  1  dt  2dx  dx  Lúc này: Do đó:. 1. 1 dt. dt 2. 1 dt 1 1  ln t  ln 2x  1  C t 2 2.  2x  1 dx   t . 2  2  x 1. x. 1.  2x  1 dx  2  2 ln 2x  1  C. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> . Phương pháp 3. Nguyên hàm từng phần. Chú ý:  Các loại hàm cơ bản: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ.  Khi nguyên hàm có dạng tích hai hàm nhân nhau ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.  Thứ tự đặt u là logarit, đa thức, lượng giác, mũ (đọc tắt là lô đa lượng mũ), sau khi đặt u thì toàn bộ lượng còn lại đặt là dv. Ví dụ 7: Tính. . ln  sin x  dx cos 2 x Lời giải. cos x  u  ln  sin x   du  sin x dx Đặt  dv  dx  v  tan x  cos 2 x Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có:. . ln  sin x  cos x dx  tan x.ln  sin x    tan. dx  tan x.ln  sin x   x  C 2 cos x sin x. Ví dụ 8: Tính  cos xdx Lời giải Đặt t  x  dt . 1 2 x. dx . 1 dx  dx  2tdt , nguyên hàm viết lại thành: 2t.  2t cos tdt  2 t cos tdt , tiếp tục dùng nguyên hàm từng phần để giải quyết. u  t du  dt  Đặt  , áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta được: dv  cos tdt  v  sin t.  cos. xdx  2 t cos tdt  2t.sin t  2  sin t.dt  2t.sin t  2 cos t  C  2 x.sin x  2 cos x  C. Chú ý: Khi đặt dv  f  x  dx ta tính v theo công thức v   f  x  dx , chắc hẳn nhiều em sẽ hỏi sau khi tính xong sẽ có thêm hằng số C nhưng tại sao ở các ví dụ trên lại không thấy C, thật ra là người ta đã chọn C  0 .. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> PHẦN II: TÍCH PHÂN Định nghĩa. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn:  Liên tục trên đoạn  a; b   F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn  a; b  . Lúc đó hiệu số F  b   F  a  được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu là b.  f  x  dx  F  b   F  a  a. Chú ý:  a, b được gọi là 2 cận của tích phân. b. a  b thì  f  x  dx  0. . a. b. a. a. b. a  b thì  f  x  dx    f  x  dx. . b. b. a. a.  Tích phân không phụ thuộc vào biến số tức là  f  x  dx   f  t  dt  F  b   F  a  Tính chất của tích phân.   . b. c. b. a. a. c.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx với a  c  b b. b. a. a.  kf  x  dx  k  f  x  dx với k là hằng số khác 0. b. b. b. a. a. a.  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx. Chú ý: Để tính tích phần từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm rồi sau đó thay cận b. vào theo công thức  f  x  dx  F  b   F a  . a. 7. Ví dụ 1: Tính tích phân I .  2. A. I  2. x x2  3. B. I  3. dx C. I  0. D. I  1. Lời giải. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Đặt t  x 2  3  t 2  x 2  3  tdt  xdx Đổi cận: x  2  t  1; x  7  t  2 2. 2. t 2 Ta được I   dt   dt  t 1  1 t 1 1. Chọn đáp án D  2. Ví dụ 2: Tính tích phân I    x  cos5 x  sin xdx 0. A.. 7 6. B. 1. C.. 7 8. D.. 7 9. Lời giải  2.  2. 0. 0. Ta có I   x sin xdx   sin x.cos 5 xdx u  x du  dx  Đặt  dv  sin x.dx  v   cos x  2. Khi đó:.  2.  /2. .  x sin xdx   x cos x  0   cos xdx  0  sin x  02  1 0. 0.   t  0 x  Đặt t  cos x  dt   sin xdx . Đổi cận  2 t  1  x  0  2. 1.  t6  1 Khi đó  sin x.cos xdx   t dt   t dt      6 0 6 0 1 0 0. 1. 5. Vậy I  1 . 5. 5. 1 7  6 6. Chọn đáp án A 3. Ví dụ 3: Tính tích phân I   1. A..  ln 3 I 3. 2. B.. 1 2  ln x  dx x.  ln 3 I 3. C..  ln 3 I 3. 3. D..  ln 2  I. 3. 3. Lời giải. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Đặt u  ln x  du . 1 dx x. Đổi cận: x  1  u  0; x  3  u  ln 3 ln 3. . Khi đó: I . 0. u3 u dy  3. ln 3. 2.  ln 3 . 3. 3. 0. Chọn đáp án C 5. Ví dụ 4: Tính tích phân I .  x x 3. 2.  4 dx. 0. A. I . 53 15. B. I . 23 15. C. I . 253 7. D. I . 253 15. 2 2 2 3. D. I . 2 32 3. Lời giải Đặt t  x 2  4 . Suy ra t 2  x 2  4 . Do đó tdt  xdx x  0  t  2; x  5  t  3 3. 3. 2. 2. Suy ra I    t 2  4  t.tdt    t 4  4t 2  dt 3.  t 5 4t 3  63 64 253 I      3  2 5 15 15 5 Chọn đáp án D 1. Ví dụ 5: Tính tích phân I   x 0. A. I . 2 2 2 3. . B. I . . x 2  1  ex dx 2 2 1 3. C. I  Lời giải. 1. Có I   x 0. . . 1. 1. x  1  e dx   x x  1dx   xe x dx  I1  I 2 2. x. 2. 0. 0. Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  tdt  xdx Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2 2. Suy ra I1 .  1. 2. t3 2 2 1 t dt   31 3 2. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 u  x du  dx 1 x 1  Đặt  , suy ra I  xe  ex dx  e  e x  1  2  x x 0 0 dv  e dx  v  e 0. Vậy I . 2 2 2 3. Chọn đáp án C e2. Ví dụ 6: Tính tích phân sau I  . x. e. 2.  1 ln x  1 x ln x. dx. A. I . e4  e2  2  ln 2 2. B. I . e4  e2  1  ln 2 2. C. I . e4  e2  1  ln 2 2. D. I . e4  e2  1  ln 3 2. Lời giải. x. e2. I. 2.  1 ln x  1 x ln x. e. e2. e2. e2. e2. x2 1 1 1 1  dx   dx   dx    x   dx   dx  J  K x x ln x x x ln x e e e  e e2. e2.  x2  1 e4  e2  J    x   dx    ln x   1 x 2  2 e e  e2. K.  e. I. e2. 1 1 dx   d  ln x   ln ln x x ln x ln x e. e2 e.  ln 2. e4  e2  1  ln 2 2. Chọn đáp án C Chú ý:. 1 dx  d  ln x  x. 1  Ví dụ 7: Tính tích phân I   x  e x   dx x  1 2. A. I  e2 1. B. I  e2. C. I  e2  1. D. I  e2  2. Lời giải 2. 2. 1. 1. I   xe x dx   dx  I1  I 2 2 u  x du  dx x 2 x 2 x 2   I  xe  e dx  2e  e  e  e2 Đặt   1  x x 1 1 dv  e dx  v  e 1. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> I2  x 1  1  I  e2  1 2. Chọn đáp án A 1. Ví dụ 8: Tính tích phân I   x 3x 2  1dx 0. A. I . 7 9. B. I . 2 9. C. I . 4 9. D. I . 5 9. Lời giải Đặt t  3x 2  1  t 2  3x 2  1  tdt  3xdx Đổi cận: x  0  t  1, x  1  t  2 2. 2. 1 t3 7 I   t 2dt   31 91 9 Chọn đáp án A  2. Ví dụ 9: Tính tích phân I    x  2  sin 3xdx 0. A.. 7 9. B.. 7 8. C. . 7 9. D.. 7 10. Lời giải u  x  2 Đặt  ta được dv  sin 3xdx. du  dx  cos3x   v   3  2.  2.   x  2  cos 3x  1 Do đó I       cos 3xdx 3  0 3 0 . .   x  2  cos 3x  2  sin 3x  2 7 I       3 9  0  9 0. Chọn đáp án C e. Ví dụ 10: Tính tích phân I   x 1  ln x  dx 1. A. I . 3e2  1 4. B. I . 3e2  2 4. C. I . 3e2 4. D. I . 3e2  1 4. Lời giải. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Đặt: u  1  ln x;dv  xdx . Suy ra du  e. 1 x2 dx; v  x 2 e. e. x2 1 x2 x2 3e2  1 Khi đó: I  1  ln x    xdx  1  ln x    2 21 2 4 1 4 1 1 e. Chọn đáp án D  4. Ví dụ 11: Tính tích phân sau I   x  2  cos 2x  dx 0. A. I . 32  1   16 8 4. B. I . 32   16 8. C. I . 32  3   16 8 4. D. I . 32  1   16 8 2. Lời giải 1 Đặt: u  x, dv   2  cos 2x  dx . Suy ra: du  dx, v  2x  sin 2x 2  4.  4. . 1 1 2   2 1     4 I  x  2x  sin 2x     2x  sin 2x  dx     x  cos 2x  2 2 4 8  4  0 0  0. 32  1 I   16 8 4 Chọn đáp án A 2x  1. 1. Ví dụ 12: Tính tích phân I . . x2  x 1. 1. A. I  2. . 32. . B. I  2. . 34. dx. . C. I  2. . . 3 1. D. I  2. . 3 3. Lời giải Đặt u  x 2  x  1  u 2  x 2  x  1  2udu   2x  1 dx Đổi cận: x  1  u  1; x  1  u  3 3. I.  1. 2udu  u. 3.  2du  2u. 3 1. 2. . . 3 1. 1. Chọn đáp án C 2. Ví dụ 13: Tính tích phân I   1. 5 3 A. I  ln 2  2 2. x2 1 ln xdx x2. 5 1 B. I  ln 2  2 2. 5 C. I  ln 2  1 2. 5 D. I  ln 2 2. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55. .

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Lời giải. 1  du  dx u  ln x  x   Đặt  x2 1   dv  2 dx  v   x  1   x  x  2. 1 1    I   x   ln x   1  2  dx x x   1 1 2. 2. 2. 2. 1 1 5 1 5 3    I   x   ln x   x    I  ln 2   x    ln 2  x x 1 2 x 1 2 2    1. Chọn đáp án A 5. Ví dụ 14: Tính tích phân I   2. A.. 386 15. x2 1 dx x 1. 385 15. B.. C.. 384 15. D.. 387 15. Lời giải Đặt: t  x  1  t 2  1  x  dx  2t.dt Đổi cận: x  2  t  1; x  5  t  2 2. I. t. 1. 2.  1  1 2. t. 2.  2t 5 4t 3  386 .2t.dt    2t  4t  4  dt     4t   3  5  1 15 1 2. 4. 2. Chọn đáp án A  3. 1  sin x dx cos 2 x 0. Ví dụ 15: Tính tích phân I   A. I  3  1. B. I  3  3. C. I  3  2. D. I  3 1. Lời giải  3.  3.  3. 1  sin x 1 sin x dx   dx   dx  I1  I 2 2 2 cos x cos x cos 2 x 0 0 0. I.  3.  1 3  dx  tan x 3 2 0 cos x 0. I1  . Đặt t  cos x  dt   sin xdx. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 1 2. 1. dt 1 2 Suy ra I2    2  1 t t1 1 Vậy I  3 1 . Chọn đáp án A. 1   Ví dụ 16: Tính tích phân I    3 x  1   dx x2 1  1. A. I  4 2  ln 3. B. I  4 3  ln 3. C. I  4 2  ln 2. D. I  2 2  ln 3. Lời giải 1. 1. 1 dx  I1  I 2 x2 1. Ta có: I   3 x  1dx   1. 1. 3 1. 1. Tính: I1   3  x  1 2 dx  2  x  1 2 1. 4 2. 1. Tính: I2  ln  x  2  1  ln 3 1. Vậy: I  4 2  ln 3 Chọn đáp án A 1  ax  b  Chú y:   ax  b  dx  . a n 1 n. n 1. C. 4x  3 dx 2x  1 0. 1. Ví dụ 17: Tính tích phân I   1 A. I  2  ln 3 2. 1 B. I  1  ln 3 2. 1 C. I  2  ln 3 2. 1 D. I  2  ln 2 2. Lời giải. 4x  3 1   dx    2   dx 2x  1 2x  1   0 0. 1. Ta có: I  . 1. 1. 1 1 1 1    2dx   dx  2x 0   ln 2x  1   2  ln 3 2x  1 2 2 0 0 0 1. 1. Chọn đáp án 1. Ví dụ 18: Tính tích phân I    x  e2x  xdx 0. A. I . e2 7  4 11. B. I . e2 7  4 12. C. I . e2 5  4 12. D. I . e2 1  4 12. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Lời giải 1. 1. 1. 0. 0. 0. I    x  e2x  xdx   x 2dx   xe2x dx  I1  I 2 1. 1. x3 1 I1   x dx   3 0 3 0 2. 1. Tính I2   xe2x dx 0. Đặt u  x  du  dx; dv  e2x dx  v  1. 1. x 1 e2 e2x I2  .e2x   e2x dx   2 20 2 4 0 Vậy I  I1  I 2 . 1.  0. 1 2x e 2. e2 1  4 4. e2 7  4 12. Chọn đáp án B  ln x  Ví dụ 19: Tính tích phân I    2  1 xdx x  1 e. e3 A. I  2. e2 C. I  3. e B. I  2. e2 D. I  2. Lời giải ln x  ln x  I    2  1 xdx   dx   xdx x x  1 1 1 e. e. e. e. e. e. e. e. ln x ln 2 x 1 *  dx   ln xd  ln x    x 2 1 2 1 1 x2 e2 1 *  xdx    2 1 2 2 1 => I . e2 2. Chọn đáp án D 1 1  Ví dụ 20: Tính tích phân I     2  ln xdx x x  1 e. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> A. I . 3e  4 2e. B. I . e4 2e. C. I . 3e  4 2e. D. I . 3e  3 2e. 2 3  ln 3 2. D. I . 2 5  ln 3 2. Lời giải e. e. ln x ln x dx   2 dx x x 1 1. Ta có: I   e. e. e. ln x 1 1 + I1   dx   ln xd  ln x   ln 2 x  x 2 2 1 1 1 e. ln x dx 2 x 1. + Tính I 2  . Đặt u  ln x, dv  e. 1 1 1 dx  du  , v  2 x x x e. e. ln x 1 1 1 2 I2     2 dx     1 x 1 1x e x1 e Vậy I . 3e  4 2e. Chọn đáp án A Ví dụ 21: Tính tích phân I . 11 3. 2. A. I . 4 3  ln 3 2. xdx 3x  2.   x  1. B. I . 2 1  ln 3 2. C. I  Lời giải. Đặt t  3x  2  t 2  3x  2  2tdt  3dx  dx  x  2  t  2; x . 2 tdt 3. 11 t 3 3. xdx 2 t2  2 1 1  2  . 2 dt     dt  3 t  1 t  1   x  1 3x  2 3 t  1 3. 1 1  2 t 1  2 3 2  dt   t  ln   ln Suy ra I       3 t  1 t  1 t 1  2 3 2 3 2 3. Chọn đáp án C. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>  2. Ví dụ 22: Tính tích phân I   x  x  cos x  dx 0. A. I . 3   24 2. B. I . 3   2 24 2. C. I . 3   1 24 2. D. I . 3   2 24 2. Lời giải  2.  2. 0. 0. Ta có: I   x 2 dx   x cos xdx  2.  3 2. x Với I1   x dx  3 0 2. 0. 3  24.  2. Với I 2   x cos xdx 0. u  x du  dx  Đặt  dv  cos xdx  v  sin x  2.  2 0. I 2  x sin x   sin xdx  0. Vậy I .     cos x 02   1 2 2. 3   1 24 2. Chọn đáp án C  2. Ví dụ 23: Tính tích phân I    2x  sin x  cos xdx 0. A. I   . 3 2. C. I   . B. I  . 1 2. D. I   . 3 2. Lời giải  2.  2. 0. 0. I   sin x.cos xdx   2x.cos xdx  2.  2. . 2 1 1 I1   sinx .cosxdx   sin x.d  sin x   sin 2 x  2 2 0 0 0. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  2. I 2   2x cos xdx 0. u  2x du  2dx  Đặt  dv  cos xdx  v  sin x  2.  2 0. . I 2  2x sin x  2  sin xdx    2 cos 02    2  I    0. 3 2. Chọn đáp án A  2. Ví dụ 24: Tính tích phân I    x  sin 2 x  cos xdx 0. A. I .  2  2 3. B. I .  5  2 3. C. I .  2  2 3. D. I .  1  2 3. Lời giải  2.  2. 0. 0. I   x cos xdx   sin 2 x cos xdx  I1  I 2. u  x  du  dx Đặt  dv  cos xdx  v  sin x  2 0.  2.  I1  x sin x   sin xdx  0.  2. sin 3 x I 2   sin 2 xd  sin x   3 0. I.     cos x 02   1 2 2  2. 0. . 1 3.  2  2 3. Chọn đáp án A 1. Ví dụ 25: Tính tích phân I    x  1  ex  3 dx 0. A. I  e . 9 2. B. I  e  3. C. I  e . 9 2. D. I  e . 3 2. Lời giải. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>   u  x  1 du  dx   x x dv   e  3 dx  v   e  3x   1.  I   x  1  e x  3x     e x  3x  dx 1. 0. 0. 1. 1 3  9    x  1  e x  3x    e x  x 2   e  0 2 0 2 . Chọn đáp án A Chú ý: v    e x  3 dx   e x  3x   C , chọn C  0 1. Ví dụ 26: Tính tích phân I   2x  x  ln 1  x  dx 0. A. I . 2 3. B. I . 7 6. C. I . 5 6. D. I . 11 6. Lời giải 1. 1. 1. 0. 0. 0. Ta có: I   2x  x  ln 1  x  dx   2x 2dx   2x ln 1  x  dx  I1  I 2 1. 1. 2 2 Tính: I1   2x dx  x 3  3 0 3 0 2. 1. Tính: I2   2x ln 1  x  dx 0. 1  dx u  ln 1  x  du  Đặt   x 1 dv  2xdx v  x 2 . x2 x2 1   Do đó: I2  x ln 1  x    dx  ln 2   dx  ln 2    x  1   dx 0 x 1 x 1 x 1  0 0 0 2. 1. 1. 1. 1. 1. 1 1   ln 2   x 2  x  ln 1  x    2 0 2. Vậy: I . 2 1 7   3 2 6. Chọn đáp án B  2   ln x  dx Ví dụ 27: Tính tích phân I   x  2  x 1  1 2. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 3 4. A. I  ln10 . B. I  ln10 . 1 4. C. I  ln10 . 5 4. D. I  ln10 . 1 4. Lời giải 2x  2  I  x 2  ln x  dx   2 dx   x.ln xdx x  1 x  1   1 1 1 2. 2. 2. 2 d  x 2  1 2 2x 2  ln x  1  ln 5  ln 2 Tính: I1   2 dx     1 x 1 x2 1 1 1 2. 2. Tính I 2   x ln xdx 1. 1  du  dx  u  ln x  x Đặt   2 dv  xdx  v  x  2 2. 2. x2 x 3 I2  .ln x   dx  2ln 2  2 2 4 1 1 Vậy I  ln 5  ln 2 . 3 3  ln10  4 4. Chọn đáp án A e. Ví dụ 28: Tính tích phân I   x  2x 2  ln x  dx 1. 2e4  e 2 A. I  4. 2e4  e2  1 B. I  4. 2e4  e3 C. I  4. 2e 4 D. I  4. Lời giải e. e. e. I   x  2x  ln x  dx  2  x dx   x ln xdx 2. 3. 1. 1. 1. e. e. 1 1 2 x dx  x 4   e 4  1 2 1 2 1 3. e. Ta có:.  x ln xdx  1. e. e  1  2 1 2 e  e2  1 e 1 2 2 1 x ln x  x dx  1 x   2 e  2 x 1   4 1 2  . I   x  2x 2  ln x  dx  1. 1 4 e2  1 2e4  e2  1 e  1    4  4 2. Chọn đáp án B. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 3. Ví dụ 29: Tính tích phân I   x 3x  2 ln  x  1  dx 2. A. I . 45 2. C. I . B. I  8ln 2. 45  8ln 2 2. D. I . 45  8ln 2 2. Lời giải 3. 3. 2. 2. I   3x 2dx   2x ln  x  1 dx  x 3  I1  19  I1 3. 2. 3. I1   2x ln  x  1 dx 2.  3 x2 u  ln  x  1 dx Đặt  , suy ra I1  x 2 ln  x  1 2   x 2d  ln  x  1   9 ln 2   x 1  2 2 dv  2xdx 3. 3. 3.  x2  1  7   9ln 2    x  1  dx  9ln 2    x  ln x  1   8ln 2   x 1  2  2 2 2 3. Vậy I . 45  8ln 2 2. Chọn đáp án C 2. Ví dụ 30: Tính tích phân I   1. A. I . ln 3 2 3. x 2  ln 2 x dx x. B. I . 3 2. C. I . 3 ln 3 2  2 3. D. I . 5 ln 3 2  2 3. Lời giải 2. 2. ln 2 x dx x 1. Ta tách tích phân I như sau: I   xdx   1. 2. 2. x2 3 * I1   xdx   2 1 2 1 2. ln 2 x 1 dx . Đặt t  ln x  dt  dx x x 1. * I2  . Đổi cận: x  2  t  ln 2; x  1  t  0 ln 2. I2 .  0. t3 t dt  3. ln 2. . 2. 0. ln 3 2 3. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Vậy I  I1  I 2 . 3 ln 3 2  2 3. Chọn đáp án C.  x 2  1.x 3  ln x  Ví dụ 31: Tính tích phân I     dx   x2 1   5. A. I   C. I . 1 1 11 ln 5   5 5 3. 1 1 11 ln 5   5 5 3. B. I  . 1 1 11 ln 5   5 5 3. D. I  . 1 1 11 ln 5   5 5 3. Lời giải.  x 2  1.x 3  ln x   dx  2 1   x   5. I. 5. . x 2  1.xdx . 1. 1 2. 5. . 5.  1.  ln x  x 2  1.xdx    2  dx x  1  5. x 2  1.d  x 2  1 . . 1. x2 1. . 5. 3. . 3. 8 3. 1. 5. 5. 1 1 1 1 1  ln x   1  1  x 2  dx   x ln x 1  1   x   dx   5 ln 5  x 1   5 ln 5  5  1 5. Do đó: I  . 5. 1 1 11 ln 5   5 5 3. Chọn đáp án D . Ví dụ 32: Tính tích phân I   x  x  sin x  dx 0. 1 A. I  3   3. B. I . 7  3 12. C. I   3. D. I .  4. Lời giải . . . . I   x dx   x sin xdx   x dx   xd  cos x  2. 0. 2. 0. . 0. . 0. .  x3 3 1    x cos  0   cos xdx     sin x  3   3 0 3 3 0 0. Chọn đáp án A. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 2. Ví dụ 33: Tính tích phân I    4x  3 .ln xdx 1. A. I  16ln 3  4. B. I  14ln 2  6. C. I  14ln 2  6. D. I  16ln 2  6. Lời giải. 1  u  ln x du  dx Đặt   x dv   4x  3 dx  v  2x 2  3x  2 2x 2  3x dx  14 ln 2  0   x 2  3x  Khi đó: I   2x  3x  ln x 1   1 x 1 2. 2. 2.  14ln 2  0   22  3.2   12  3.1  14ln 2  10  4   14ln 2  6. Chọn đáp án C .  2  Ví dụ 34: Tính tích phân I   x  2  sinx  dx x 1  0  A. ln  2  2   . B. ln  2  1  . C. ln  2  1  . D. ln  2  1. Lời giải . . . 2x  2  I  x 2  sin x  dx   2 dx   x.sin x.dx x 1 x 1  0  0 0 . Tính I1   0.  d  x 2  1  2x dx   ln  x 2  1  ln  2  1 2 2  0 x 1 x 1 0. . Tính I2   x sin xdx 0. x  u du  dx  Đặt  sin xdx  dv  v   cos x . . . I2  x.cos x 0   cos xdx    sin x 0   0. Vậy I  ln   2  1    Chọn đáp án B  2. Ví dụ 35: Tính tích phân I   x  2  sin 2x  dx 0. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> A. I .  2 3. B. I . 2 3. C. I .   2 4. D. I .   2 4. D. I . 3 28 2  ln 2 27 3. Lời giải  2.  2. 0. 0. Ta có: I   2xdx   x sin 2 xdx  x.  2.  2 2 0. . 2 2   x sin 2xdx    x sin 2xdx 4 0 0.  2. du  dx u  x  Tính J   x sin 2xdx . Đặt   1 dv  sin 2xdx  v   cos 2x 0  2 . . . 2 2 1 12  1   J   x cos 2x   cos 2x.dx   sin 2x  2 20 4 4 4 0 0. Vậy I . 2   4. Chọn đáp án D. 2x  1 dx 0 1  3x  1. 1. Ví dụ 36: Tính tích phân I   A. I . 28 2 3  ln 27 3 2. B. I . 2 28 3  ln 3 27 2. C. I . 28 2 3  ln 27 3 2. Lời giải Đặt:. 3x  1  t ta được x . t 2 1 2  dx  tdt 3 3. Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2 2 2t 3  t 2  3  28 2 3 dt    2t 2  2t  3   ln Khi đó: I    dt  9 1 1 t 9 1 t 1  27 3 2 2. 2. Chọn đáp án A 2. Ví dụ 37: Tính tích phân I   1. 2. 1 A.  ln x x 1. x 3  2 ln x dx . Đáp án nào sau đây đúng: x2 2. 2. 2. 2. 1 1 1 1 B.  ln x   2 dx C. ln x   2 dx x x x x 1 1 1 1. 2. D.. 1. x. 2. dx. 1. Lời giải 1. 2. 2. 2. 2. ln x x2 ln x 3 ln x I   xdx  2 2 dx   2 2 dx   2 2 dx x 2 1 x 2 x 1 1 1 1. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> 2. ln x dx x2 1. Tính: J  . Đặt: u  ln x, dv . 1 1 1 dx . Khi đó du  dx, v   2 x x x 2. 2. 1 1 Do đó: J   ln x   2 dx x x 1 1 Chọn đáp án B 1. Ví dụ 38: Tính tích phân I   1  x  e x dx 0. A. I  e 1. B. I  e  1. C. I  e  2. D. I  e  2. Lời giải. du  dx u  1  x Đặt  ta có :  x x v  e dv  e dx 1. Suy ra: I  1  x  ex   ex dx  1  x  e x  e x 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. I  e2. Chọn đáp án D.  2  Ví dụ 39: Tính tích phân I   x   ex  dx 2 1 x  0  1. A. I  1  ln 2. B. I  1  ln 2. C. I  2  ln 2. D. I  1  ln 3. Lời giải 1. + Tính được I1   0. 2x dx  ln 2 x2 1. 1. + Tính được I2   xe x dx  1 0. + Tính đúng đáp số I  1  ln 2 Chọn đáp án B 2. Ví dụ 40: Tính tích phân I   x  x 2  ln x  dx 1. A. I  2ln 2  3. B. I  ln 2  3. C. I  2ln 2  3. D. I  2 ln 2  1. Lời giải. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 2. 2. 2. 2. x4 15 I   x  x  ln x  dx   x dx   x ln xdx   I1   I1 4 1 4 1 1 1 2. 3. dx  2 2 du  2  u  ln x x 2 ln x x x2 3  x Đặt    I1    dx  2 ln 2   2 ln 2  2 2 1 12 4 1 4 dv  xdx  v  x  2 Vậy I . 15 3  2ln 2   2ln 2 3 4 4. Chọn đáp án C. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> PHẦN III: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Diện tích hình phẳng.  y  f1  x   y  f2  x  Nếu ta có hình phẳng giới hạn bởi các đường  x  a x  b  (Trong đó f1  x  , f 2  x  liên tục trên đoạn  a; b  ) thì diện tích S được tính theo công thức: b. S   f1  x   f 2  x  dx a. Thể tích khối tròn xoay. y  f  x   Ox * Quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường  x  a x  b  (Trong đó f(x) liên tục trên đoạn  a; b  ) quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay. Thể tích b. Vx của khối tròn xoay được tính theo công thức: Vx   f  x   dx 2. a. x  f  y   Oy * Quay quanh trục Oy: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường  y  a y  b  (Trong đó f(y) liên tục trên đoạn  a; b  ) quay quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay. Thể tích b. Vy của khối tròn xoay được tính theo công thức: Vy   f  y   dy 2. a. Ví dụ 41: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây: y  x 2  x 1 và. y  x 4  x 1 A. S . 2 15. B. S  3. C. S . 4 15. D. S  5. Lời giải. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Ta thấy hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  x 2  x  2 và y  x 4  x 1 nên chưa áp dụng được công thức tính ngay, ta cần phải tìm thêm hai đường x  a, x  b . Ở đây a, b là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Cho x 2  x 1  x 4  x 1  x 2  x 4  0  x  0, x  1 1. S. x. 2.  x 4 dx. 1. 0. 1.  x3 x5   x3 x5  4 S    x  x  dx    x  x  dx           3 5  1  3 5  0 15 1 0 0. 1. 2. 4. 2. 4. Chọn đáp án C Chú ý: Các chú ý dưới đây nhằm mục đích phá dấu giá trị tuyệt đối khi tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối. b.  f  x  dx. - Khi tính tích phân chứa trị tuyện đối. nếu f  x   0 có một nghiệm. a. c   a; b  thì ta có:. b. c. b. c. b. a. a. c. a. c.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx b. - Khi tính tích phân chứa trị tuyện đối.  f  x  dx. nếu f  x   0 có 2 nghiệm. a. c, d   a; b và c  d thì ta có: b. c. d. b. c. d. b. a. a. c. d. a. c. d.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Ví dụ 42: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: y  x3  2x 2 và y  x 2  4 A. S . 27 2. B. S . 25 4. C. S . 27 5. D. S . 23 4. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong y  x3  2x 2 và y  x 2  4 là:  x  1 x 3  2x 2  x 2  4  x 3  3x 2  4  0   x  2. Diện tích hình phẳng cần tìm là:. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 2.  x4  27 S   x  3x  4 dx    x  3x  4  dx    x 3  4x    4  1 4 1 1 2. 2. 3. 2. 3. 2. Chọn đáp án C Ví dụ 43: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  sin x , trục hoành, hai đường thẳng x  0; x  A..     2 4. B..     2 8. C..  quay quanh trục hoành? 4.     1 8. D..     2 8. Lời giải  y  sin x Ox  Hình phẳng giới hạn bởi các đường  x  0 quay quanh trục Ox nên có thể tích:  x    4  4. . . 4  1  4     2 V   sin 2 xdx   1  cos 2x  dx   x  sin 2x   20 2 2 8 0 0. Chọn đáp án B Ví dụ 44: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: y .  x  1 sin 2x, y  0, x  0, x .  khi (H) quay xung quanh trục Ox. 2.   A. V    2   2 . 1  B. V    2   2 2 . 1  C. V    2   2 2 . 1  D. V    1  2 2 . Lời giải  2. V     x  1 sin 2xdx 0.  2. Xét I    x  1 sin 2xdx 0. 1 Đặt u  x  1  du  dx, dv  sin 2xdx  v   cos 2x 2. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(28)</span>  2. . 2 1 1 1 1  1  I    x  1 cos 2x   cos 2xdx    2   sin 2x    2  2 20 2 2 2 2  4  0  2 0. 1  V    2   (đvtt) 2 2 . Chọn đáp án C Ví dụ 45: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y  0; y  x  e x  1 , x  0, x  1 . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay H quanh trục hoành? B. V . A. V  . 3 2. C. V .  2. D. V . 5 2. Lời giải 1. V   0. . x  e  1 x. . 2. 1. x2  dx   x  e  1 dx   xe dx     xe x dx  2 0 2 0 0 0 1. 1. x. 1. x. 1 1 u  x du  dx x x 1 x x 1   xe dx  xe  e dx  e  e 1 +) Đặt     x x 0 0 dv  e dx v  e   0 0. Do đó V   .  3 (đvtt)  2 2. Chọn đáp án B Ví dụ 46: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox, biết (H) được 1  cos3 x  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  và các đường thẳng x  0; x  ? 2 cos x 3. A. V . 3 2. B. V . 3 3 2. C. V . 3 2. D. V . 3 5 2. Lời giải  3.  3. 1  cos x 3 3  1  dx      cos x  dx    tan x  sin x   2 2 cos x cos x 2  0 0. V  . 3. Chọn đáp án B. Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55.

<span class='text_page_counter'>(29)</span>