1DE SO 110

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học : 2009 – 2010 Môn : Tóan Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề ) Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định a và b để đa thức A = x 4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác . Câu 3 : ( 4 ñieåm ) Cho biểu thức : P=. (. x2 6 1 10 − x 2 + + : x − 2+ x +2 x3 − 4 x 6 −3 x x+ 2. )(. a) Rút gọn p .. ) 3. b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 4 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên . Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3ñieåm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất . ------------- Hết ----------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học : 2008 – 2009 Môn : Tóan Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Ta có M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) = ( xyz + xy2 + yx2 ) + ( xyz + xz2 + zx2 ) + ( xyz + yz2 + y2Z ) ( ½ ñ ) = xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) (½ñ) = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) (½ñ) Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) (½ñ) Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Ta có thể viết : A = x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 = ( x2 – 3x + k )2 = x4 + 9x2 + k2 – 6x3 + 2kx2 – 6kx = x4 – 6x3 + ( 9 + 2k )x2 – 6kx + k2 Đồng nhất 2 vế ta có : a = 9 + 2k (1) b = - 6k (2) 2 1=k (3). ( 1/2ñ ) ( 1/2 ñ ) ( 1/2ñ ). ( 1/2 ñ ) (½ñ) (½ñ) (½ñ) (½ñ). Từ (3) ta suy ra : k = ± 1 Nếu k = - 1 ; b = 6 và a = 7 Ta có : A = x4 – 6 x3 + 7 x2 + 6 x + 1 = ( x2 – 3 x – 1 )2 Nếu k = 1 ; b = - 6 ; a = 11 Ta có : A = x4 – 6 x3 + 11 x2 – 6x + 1 = ( x2 – 3x + 1 )2 Câu 3 : ( 4 ñieåm ). ( (x +2)(x x −2) − x −2 2 + x 1+2 ) : x 6+2. a) p = =. x −2( x +2)+ x −2 6 1 1 : =− = (x −2)( x+2) x +2 x−2 2−x. (½ñ) ( 1/4 ñ ). b) Với x ≠ 0 ; x ≠ ± 2 thì biểu thức p xác định /x/. =. 3 4. nên. x. =. 3 4. hoặc. x. ( 1/4 ñ ) + (½ñ). Nếu. x. =. 3 4. =. 3 4. 1. thì. p. =. 2−. 3 4. =. 4 5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> +. Nếu. x. (½ñ). = 1. c) Với p = 7 thì 2 − x =7. 3 4. -.  x=. 13 7. 1. thì. p. =. 2+. ( thỏa mãn điều kiện của x ). ñ) d) Để p có giá trị nguyên thì 2 - x phải là ước của 1 . Từ đó ta có : x = 1 ; x = 3 ; Vậy để p nguyên lúc đó x = 1 ; x = 3 ;. 3 4. =. 4 11. (½ (½ñ) (½ñ) (½ñ). Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Vì a2 + b2 + c2 = 1 nên - 1 ≤ a , b , c ≤ 1 a+1≥0; b+1≥0 ; c+1 ≥ 0 (¼ñ) Do đó : ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) ≥ 0 (¼ñ)  1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0 (1) ( 1/2 ñ ) Cộng 2 vế của (1) cho 1 + a + b +c + ab + bc + ca . Ta có : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 1 + a + b + c + ab + bc + ac ( 1/2 ñ ) Ta biết : 1 + a + b + c + ab + bc + ac = 1 2. ñ). 1 2. ( 1 + a2 + b2 + c2+ 2a + 2b + 2c + 2 ab + 2 bc + 2 ac ) =. ( 1/2 ñ ). ( 1 + a + b + c )2 ≥ 0 ( vì a2 + b2 + c2 = 1 ). ( 1/2 ñ ). Vậy abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3ñieåm ) A M K G B. C N GK. 1 BG. 2. ta có : BK = 3 ; BK = 3. ( 1/2. (¼ñ). AM CN GK 1 Do MN // AC nên AB =BC = BK = 3. (¼ñ). AM+NC 1 Mà AB+BC = 3. (¼ñ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> vì AM + NC = 16 (cm) và AB + BC = 75 – AC 16. 1. Do đó : 75 − AC = 3. ( 3/4 ñ ) ( 3/4 ñ ).  AC = 27 (cm). MN 2 MN 2 Ta lại có : AC = 3 ⇒ 27 = 3 ⇒ MN=18 (cm). Câu 6 : ( 4 ñieåm ). ( 3/4ñ ). A Q ( 1/2 ñ ) H. p. N B M C Gọi p và Q là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB . Ta có tam giác ANQ vuông ở Q có góc A = 600  ANQ = 300  AQ =. 1 2. ( 1/2 ñ ) ( 1/2 ñ ). AN 1. Tương tự đối với tam giác MpB ta có pB = 2 1. 1. 1. BM 1. Do đó : AQ + pB = 2 AN + 2 BM= 2 (AN + NC ) = 2 AC Kẻ MH  QN . Tứ giác MpQH là hình chữ nhật Ta có MN ≥ MH = AB – ( AQ + Bp ) = AB 1. 1 1 AC= AB 2 2. Vậy đọan MN có độ dài nhỏ nhất bằng 2 AB . Khi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AC. ( 1/2 ñ ) ( 1/2 ñ ) ( 1/4 ñ ) ( 1/2 ñ ) ( 1/4 ñ ) ( 1/2 ñ ).

<span class='text_page_counter'>(5)</span>