CHU DE 9UNG DUNG SO PHUC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề: Số phức. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề: Số phức. MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 9. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC....................................................................................................... 3 Bài toán 1. Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình .............................................................................................. 3 Bài toán 2: Ứng dụng số phức vào chứng minh các công thức, đẳng thức lượng giác .......................................... 10 Bài toán 3: Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức .............................................................................................. 20 Bài toán 4. Ứng dụng giải toán khai triển hay tính tổng nhị thức Niutơn ............................................................ 23 Bài toán 5. Ứng dụng giải toán đa thức và phép chia đa thức .................................................................................. 27. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề: Số phức CHỦ ĐỀ 9. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC Bài toán 1. Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình f(x; y)  g(x; y) (1) Xét hệ phương trình:  h(x; y)  k(x; y) (2). Lấy (2) nhân i sau đó cộng (trừ) (1) vế theo vế ta được : f(x; y)  h(x; y).i  g(x; y)  k(x; y).i (*) Đặt z  x  yi , biểu diễn (*) thông qua các đại lương z,z,|z|,... I. Các ví dụ điển hình thường gặp 3 2  2x  6xy  5 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:  . 2 3 6x y  2y  5 3  . Giải Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ hai nhân i ta được 1 3 3  2x3  6xy2  i 6x2 y  2y 3  5  5 3i   x  yi   5   i 2 2   . . . 1 3   z  x  yi là một căn bậc ba của số phức 5   i 2 2   . Ta có: 1 1  3    3  5  i   5  cos  i sin   5   i  có ba căn bậc ba là 2 2  2 2  3 3      .      7 7  13 13  z0  3 5  cos  i sin  , z1  3 5  cos  i sin  , z0  3 5  cos  i sin  9 9 9 9  9 9    . Vậy với z  z0 ,z  z1 ,z  z2 ta được nghiệm của phương trình là:   3 x  5 cos 9  ,   y  3 5 sin   9 .  7 3 x  5 cos 9  ,   y  3 5 sin 7   9 .  13 3 x  5 cos 9    y  3 5 sin 13  9 . 3 2 2 2  x  3xy  3x  3y  3x  0 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:  . 3 2   y  3x y  6xy  3y  1  0. Giải  x  1 3  3y 2 x  1  1     Hệ đã cho tương đương với  2 3   3  x  1 y  y  1. Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ 2 nhân i ta đươc.  x  1. 3.  3y2  x  1  i 3  x  1 y  y 3   1  i   2.   x  1  iy   1  i  z  x  1  iy là một căn bậc 3 của 1  i . 3. Ta có:.    1  i  2  cos  i sin  nên 1  i có ba căn bậc ba là 4 4  Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề: Số phức.      3 3  17  17   z0  6 2  cos  i sin  , z1  6 2  cos  i sin  ,z 2  6 2  cos  i sin  4 4 4 4  4 4     Vậy với z  z0 ,z  z1 ,z  z2 ta được nghiệm của phương trình là:    3  17  x  1  6 2 cos x  1  6 2 cos x  1  6 2 cos       12 , 4 , 12     3  17  6 6 6  y  2 sin  y  2 sin  y  2 sin    12 4 12   .  3x  y  3 (1) x  2 x  y2  Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:  .  y  x  3y (2)  x2  y2 . Giải Cách 1. Lấy (2) nhân i sau đó cộng với (1) ta được. x  yi .  3x  y    x  3y  i  3  x  yi  3  x  yi    x  yi  i  3(*) x2  y 2. x2  y 2. (*)  z . Đặt z  x  yi; x,y  . Lúc đó:. x2  y 2.  3  i  z  3  z   3  i   3  z  2  i |z|2. z.  x  2   x  yi  2  i y  1    x  1  x  yi  1  i    y  1.  z  1  i. .. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:  x,y    2;1 ,  x,y   1; 1 . Cách 2. Ta thấy x  0,y  0 không là nghiệm của hệ phương trình. .  2 3x 2  xy  3x x  2 x  y2  Nhân (1) với x , nhân (2) với y ta được  2  2 xy  3y 0 y  2 x  y2 . trừ vế theo vế ta được x2  y2  3  3x (*). .  3xy  y 2  3y xy  2 x  y2  Nhân (1) với y , nhân (2) với x ta được  x 2  3xy  xy  0  2 2 x  y . cộng vế theo vế ta được 2xy  1  3y (*)  x2  y 2  3  3x Ta được hệ   2xy  1  3y. Đáp số:  x,y    2;1 ,  x,y   1; 1 Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề: Số phức. 3 2 2 2  x  3xy  x  1  x  2xy  y Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:  3 2 2 2   y  3x y  y  1  y  2xy  x. (1) (2). .. Giải Lấy (2) nhân i sau đó cộng với (1) ta được. x. 3.  .  .  . .  3xy 2  x  1  y 3  3x 2 y  y  1 i  x 2  2xy  y 2  y 2  2xy  x 2 i. . .  x3  3x(yi)2  3x 2 (yi)  (yi) 3   x  yi   1  i  x 2  2xyi  y 2  2xy  x 2i  y 2i   x  yi    x  yi   i  1   x  yi    x  yi  i (*) 3. 2. 2. Đặt z  x  yi; x,y  . Lúc đó phương trình (*) trở thành z  1  z   1  i  z  z  1  i  0   z  1 z  1 z  1  i   0   z  1  z  1  i x  1 x  1 x  1    y  0 y  0 y  1 3. 2. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  x; y   1;0  ;.  x; y    1;0  ;  x; y   1;1 .   12   x 1  2 3x  y    :  .  y  1  12   6    3x  y   . Ví dụ 5. Giải hệ phương trình với nghiệm với x,y . Giải x  0  Điều kiện:  y  0 . Đặt u  3x ,v  y  u,v  0  .  y  3x    12  u  1  2 2 3 1 u  vi   u  v2  Hệ đã cho có dạng:  . Đặt z  u  iv . Ta có  2 . z u  v2 v  1  12   6    u2  v2 . Từ hệ đã cho ta có   12  12  u1  2  iv  1  2 3 6 2  u v  u  v2    u  iv 12  u  iv  12 2  2 3  6i  z   2 3  6i 2 z u v. . .  z 2  2 2  3iz  12  0 ,(*). Giải phương trình (*), ta có '  6  6 3i  3 z  3 3. . . . . 3 i. . 2. suy ra các nghiệm:. . 3  3 i,z  3  3  3  3 i. Vì u,v  0 nên ta có: u  3  3,v  3  3 , suy ra nghiệm của hệ là:. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề: Số phức.  x; y    4  2. . 3;12  6 3 .. x  x  y  x  z   3  Ví dụ 6. Giải hệ phương trình trên tập số phức:  y  y  x  y  z   3 .  z  z  x  z  y   3. (Đề thi học sinh giỏi Romania năm 2002) Giải x  x  y  x  z   3, 1  Xét hệ phương trình  y  y  x  y  z   3,  2   z  z  x  z  y   3,  3 . Rõ ràng x,y,z  0 và x,y,z đôi một khác nhau. Từ (1) và (2) ta có x  x  y  x  z   y  y  x  y  z   x  x  z   y  y  z  Hay x2  y2  xz  yz. x 2  y 2  xz  yz  Tương tự hệ đã cho trở thành  y 2  z 2  yx  zx  2 2 z  x  zy  xy. (4). Cộng vế với vế ta được x2  y2  z2  xy  yz  zx. Kết hợp với (4) ta có: x2  yz,y2  zx,z2  xy. Suy ra x2  y2  z2  xyz. Đặt a  xyz thì từ x2  y2  z2  xyz  a và x,y,z đôi một khác nhau nên x  3 a ,y   3 a ,z  2 3 a với 3  1,1    2  0.. . . Mà x  x  y  x  z   3 nên a 1    1  2  3.. . . Ta có 1    1  2  1    2  3  3 nên a=1 Vậy các số phức  x, y,z  cần tìm là các hoán vị của (1,  , 2 ). II. Bài tập rèn luyện x3  3xy 2  1 Bài tập 1. Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực:  . 3 2  y  3x y   3. Hướng dẫn giải Đây là hệ đẳng cấp bậc ba. tuy nhiên, nếu giải bằng phương pháp thông thường ta sẽ đi đến giải phương trình bậc ba:. 3t 3  3t 2  3 3t  1  0. Phương trình này không có nghiệm đặc biệt! Xét số phức. . . z  x  iy . Vì z3  x3  3xy2  i 3x2 y  y3 ,nên từ hệ đã cho ta có.  2 2  z3  1  3i  2  cos  i sin  , tương tự cách làm ở chương 1, ta tìm được 3 giá trị của z là: 3 3  . Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề: Số phức. 3.   2 2  8 8  2  cos  i sin  , 3 2  cos  i sin  , 9 9 9 9    . 3.  14 14  2  cos  i sin  9 9  . Từ đó suy hệ đã cho có 3 nghiệm là:  2  8  14 3 3 3 x  2 cos 9 x  2 cos 9 x  2 cos 9 ; ;   y  3 2 cos 2  y  3 2 sin 8  y  3 2 sin 14 9  9  9 . x4  6x 2 y 2  y 4  3  Bài tập 2. Giải hệ phương trình trong tập số thực:  . 1 3 3 x y  y x  4 . Hướng dẫn giải Xét số phức z  x  iy.. . . Vì z4  6x2 y2  y4  4i x3 y  y 3 x , nên từ hệ đã cho suy ra:    z4  3  i  2  cos  i sin  6 6 . (*). Các số phức thỏa mãn (*):      13 13  2  cos  i sin  , 4 2  cos  i sin  24 24  24 24    25 25  4  37  37   4  2  cos  i sin  i sin  , 2  cos  24 24  24 24    4. Vậy các nghiệm cần tìm của hệ là:    13  25  37  x  4 2 cos x  4 2 cos x  4 2 cos x  4 2 cos      24 ;  24 ;  24 ;  24      y  4 2 sin   y  4 2 sin 13 y  4 2 sin 25 y  4 2 sin 37      24  24  24  24 .  16x  11y 7 x  2 x  y2  Bài tập 3. Giải hệ phương trình với nghiệm với x,y  R :  . 11x  16y y   1 2 2  x  y . Lời giải Điều kiện x2  y2  0. Đặt z  x  iy . Ta có:. x  yi 1  2 . z x  y2. Vì hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, nên hệ đã cho tương đương với:  11x  16y   i y   7i  x2  y2 x 2  y 2   x  iy x  iy  x  iy  16 2  11i 2 7i 2 x y x  y2 16  11i z  7  i  z 2   7  i  z  16  11i  0 z x. 16x  11y. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề: Số phức Phương trình z2   7  i  z  16  11i  0 có hai nghiệm z  2  3i,z  5  2i nên hệ đã cho có các nghiệm.  x; y    2; 3 hoặc  x; y    5; 2  . Chú ý: Muốn giải được các hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng số phức, cần nhớ một công thức cơ bản của số phức, đăc biệt là với mỗi số phức z  x  iy thì ta có x2  y 2 là bình phương mođun và. x  iy 1 z .   z zz x2  y 2   3   10x  1  3 5x  y    :  .  y  1  3   1    5x  y   . Bài tập 4. Giải hệ phương trình với nghiệm với x,y . Hướng dẫn giải Từ hệ suy ra x  0, y  0. Bài hệ này không có ngay dàng giống ví dụ trên, tuy nhiên với mục đích chuyển mẫu số về dạng nình phương mođun của số phức, chỉ cần đặt u  5x ,v  y với u,v  0.    3 3  u  1  2 2    2 u v  Hệ đã cho có dạng:   3 v  1   1 2 2    u v . Đặt z  u  iv . Ta có:. 1 u  iv  . z u2  v2. Hệ đã cho tương đương với:  3 u1  2 u  v2 .    3 3  i   iv  1  2 2  2 u v    u  iv 3 3 3 2  2i  u  iv  3 2  i  z  2 z 2 2 u v. . .  2z 2  3 2  2i z  6  0,(*). Giải phương trình (*), ta có '  34  12 2i  Vì u,v  0 nên z . . 2  6i. . 2. suy ra các nghiệm là z  2  2i,z . 2  2i . 2. 2  2i 2 1 do đó u  ,v  1  x  , y  1. 2 2 10.  1  Vậy nghiệm cần tìm là  x; y    ;1  .  10  x4  y 4  4x3  3xy 2  2x  4y  0  Bài tập 5. Giải hệ phương trình:  . 2 2 2 3 3 2 2x y  3x y  2xy  3y  2x  1  1  2y  4y    . Hướng dẫn giải Hệ phương trình đã cho tương đương với. . .       .  x2  y 2 x2  y 2  3x x2  y 2  2  x  2y   0   2xy x2  y 2  3y x2  y 2  4 x2  y2  2  2x  y   0 . . . Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề: Số phức Nhận thấy x  y  0 là một nghiệm của hệ phương trình  2 x  2y 2 0 x  y  3x  2. 2 2 x  y  Nếu x2  y2  0 thì hệ đã cho viết thành  2xy  3y  4  2. 2x  y  0  x2  y2 . Suy ra:. x2  y 2  3x  2..  2x  y   i 2xy  3y  4  2. 2 0 x y x  y 2   x  2y 2. 2.   x  yi   3  x  yi   2 2. Đặt z  x  yi . x  iy x y 2. 2. . x  iy x y 2. 2.  4.. y  ix x2  y 2.  4i  0. y  ix 1 i ta có phương trình , 2  2 z x y z. 2 4i   4i  0  z 3  3z 2  4iz  2  4i  0 z z z  1  2   z  1 z  2z  4i  2  0   z  3  i  z  1  i z 2  3z . . . x  0 Với z  1 ta được nghiệm của hệ là  y  0 x  3 Với z  3  i ta được nghiệm của hệ là   y  1 x  1 Với z  1  i ta được nghiệm của hệ là  y  1   1   3x  1  2 xy   Bài tập 6. Giải hệ phương trình:   7y  1  1   4 2    xy  . (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1996) Hướng dẫn giải Từ hệ suy ra x  0,y  0. Đặt u  x ,v  y ,  u,v  0  .    2 1  u  1  2 2  3 u v    Hệ đã chho có dạng:   4 2 1 v  1   2 2    7 u v  . Đặt z  u  iv. Ta có:. 1 u  iv  . z u2  v2. Hệ đã cho tương đương với: Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề: Số phức. u  iv . u  iv. . 2. . 4 2. iz. 3 7 u v  2 4 2   z2    i  z  1  0,(*)  3  7   2. 2. 1 2 4 2   i z 3 7. 2. 2  2 4 2   4  Giải (*): Vì     i  4    2 2i  nên các nghiệm:  3 7   21  . 2 2   2  1 2 i  2i      2 i  3 7 3 21  7  21      1 1 2 2  2 2 2 2 z  i  2i      2 i   3 7 3 21  7  21   z. 1. . 2 2. Ta có nghiệm u,v và do đó nghiệm của hệ là: 2. 2 2 2  2 2   1  1 2  2  x   2  hoặc x    &y  2  & y      7  21  21   3  3    7 . Bài toán 2: Ứng dụng số phức vào chứng minh các công thức, đẳng thức lượng giác Phương pháp Cho dạng lượng giác số phức z  r  cos  i sin  ; z1  r1  cos1  i sin 1  ; z  r2  cos2  i sin 2  . Ta có các công thức sau: z1 .z2  r1r2 cos(1  2 )  icos(1  2 ) ;. z1 r1  cos(1  2 )  icos(1  2 ) z2 r2 . Công thức Moa-vrơ : zn  r n cos(n)  isin(n)  a  a 2 . Lúc đó z1  z 2   1   b1  b2. Nếu z1  a1  b1i; z2  a 2  b2i; với a1 , a 2 , b1 , b2  I. Các ví dụ điển hình thường găp Ví dụ 1. Chứng minh rằng: sin 3  3sin   4sin3 ;. cos3  3cos  4cos3. Giải Đặt z  cos  isin  . Ta có: z 3   cos  i sin    cos 3  3cos 2 .i.sin   3cos .  i sin     i sin   3. . 2. .  . 3. .  cos3   3i 1  sin 2  sin   3cos  1  cos 2   i.sin 3 . .  4cos3   3cos   i 3sin   4 sin 3. Mặt khác: z3  cos3  i sin 3 Từ (1) và (2) ta được:. (1). (2) .. sin 3  3sin   4sin3 ;. cos3  3cos  4cos3. Nhận xét: Ta có bài toán tổng quát sau: Biểu diễn cosnx; sinnx theo các lũy thừa của cosx; sinx vơi n là số nguyên dương bất kỳ. Áp dụng công thức Moivre ta có  cos x  i sin x   cos nx  i sin nx n. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề: Số phức Mặt khác, theo công thức khai triển nhị thức Newton:.  cos x  i sin x . n.  C0n cosn x  iC1n cos n 1 xsin x  i 2C2n cos n 2 xsin 2 x  i 3 C3n cosn 3 xsin 3 x  ...  i n 1Cnn 1 cos xsin n 1 x  i n Cnn sin n x. Từ đó suy ra: cos nx  C0n cosn x  C2n cosn 2 xsin 2 x  C4n cosn 4 xsin 4 x  ...  M sin nx  C1n cosn 1 xsin x  C3n cosn 3 xsin 3 x  ...  N. Trong đó:  1 m sin 2m x, n  2m     M , m   m 2m 2m   1 C2m 1 cos xsin x,  n  2m  1  1 m 1 C2m 1 cos xsin 2m 1 x, n  2m   , m     2m N m 2m 1  x,  n  2m  1  1 sin. Cụ thể: Với n  4 ta có:. cos 4x  C04 cos4 x  C24 cos2 xsin 2 x  C44 sin 4 x  8cos 4 x  8cos 2 x  1 sin 4x  C14 cos3 xsin x  C34 cos xsin 3 x  4cos 3 xsin x  4cos xsin 3 x Ví dụ 2. Chứng minh rằng:  3 5 1 a) cos  cos  cos  ; 7 7 7 2. b) sin.  3 5 1   sin  sin  cot . 7 7 7 2 14. Giải   Xét z  cos  i sin . Ta có 7 7.  3 5   3 5  z  z3  z5  cos  cos  cos  i  sin  sin  sin  7 7 7 7 7 7  . Mặt khác: z  z3  z5 . . 1  cos. z7  z z 1 2. . 1  z z 1.    i sin 7 7 2.   2   1  cos 7   sin 7  . 2. . . 1  1 z. 1   1  cos  i sin 7 7. 1 1   i cot 2 2 14. Từ (1) và (2) suy ra:  3 5 1  3 5 1  cos  cos  cos  và sin  sin  sin  cot . 7 7 7 2 7 7 7 2 14. Ví dụ 3. Cho sina  sin b . 2 6 . Tính sin  a  b  . ,cosa  cos b  2 2. Giải Đặt z1  cosa  isina,z2  cos b  isin b . Khi đó:. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề: Số phức. z1  z2 .  6 2   i  2  cos  i sin  2 2 6 6 . z1  z2 .  6 2   i  2  cos  i sin  2 2 6 6 . 2. 2. Mà z1 z1  z1  1,z2 z2  z2  1 nên z1  z2 . 1 1 z1  z2 ,   z1 z2 z1z2. suy ra:     cos  i sin cos  i sin   6 6  6 6 z1z2    cos  i sin 3 3     z1  z2 cos   i sin  cos     i sin    6 6  6  6 z1  z2. Ta lại có z1 .z2  cos  a  b   isin a  b  nên sin(a+b)  sin Chú ý: Ta cũng có kết quả cos  a  b   cos.  3 .  3 2.  1  . 3 2. Ví dụ 4. Tính tổng với n   và a  2k  k    :. A  cos x  cos  x  a   cos  x  2a   ...  cos  x  na  B  sin x  sin  x  a   sin  x  2a   ...  sin  x  na . Giải Đặt z  cosx  isinx,w  cosa  isina. Theo công thức nhân và cộng thức Moivre ta có: zw k   cos x  i sin x  cosa  i sin a . k. zw k   cos x  i sin x  cos ka  i sin ka   cos  x  ka   i sin  x  ka  . Xeùt A  iB   cos x  i sin x   cos  x  a   i sin  x  a   . . . cos  x  2a   i sin  x  2a    ...  cos  x  na   i sin  x  na      .  z  zw  zw2  ...  zw n  z. Vậy A  iB  z. 1  wn 1 1 w. (Vì a  2k nên w  1 ).. 1  cos  n  1 a  i sin  n  1 a 1  w n 1   cos x  i sin x  1 w 1  cosa  i sina. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề: Số phức.   cos x  i sin x . sin. n 1  n 1 n 1  a  sin a  i cos a 2  2 2  a a a sin  sin  i cos  2 2 2. n1 a  n 1 n  1  a a 2  sin a  i cos a  sin  i cos   cos x  i sin x   a  2 2 2 2  sin 2 n1 sin a  na na  2  cos  i sin    cos x  i sin x  a  2 2  sin 2 n1 sin a  na   na  2  cos   x   i sin   x   a   2   2  sin 2 sin. Xét phần thực và phần ảo của hai vế ta được: A. n1 n1 a sin a  na   na  2 2 cos   x; B  sin   x a a  2   2  sin sin 2 2. sin. Nhận xét: Từ hai loại công thức trên, xét các trường hợp riêng: a) Nếu x  0 thì suy ra: . . 1  cosa  cos 2a  ....  cos na . n1 a na 2 cos a 2 sin 2. sin. sina  sin 2a  ...  sin 3a  ...  sin na . n1 a na 2 sin a 2 sin 2. sin. b) Nếu x  2a thì ta có: . cosa  cos 3a  cos 5a  ...  cos  2n  1 a . . sina  sin 3a  sin 5a  ...  sin  2n  1 a . sin 2  n  1 a 2sina. sin 2  n  1 a sina. Ví dụ 5. Chứng minh các công thức: a) sin180 . 5 1 ; 4. b) cos 360 . 5 1 . 4. Giải Ta có:. . . . cos 540  sin 360  cos 3.180  sin 2.180. .  4 cos3 180  3cos180  2 sin180 cos180  4 sin 2 180  2 sin 2 180  1  0. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên đề: Số phức Do đó sin180 là nghiệm dương của phương trình 4x2  2x  1  0. Vậy sin180 . 5 1 5 1 suy ra cos 360  1  2sin 2 180  . 4 4. Nhận xét: Áp dụng công thức sin180 . 5 1 ta tính được biểu thức 4. sin 20 sin180 sin 220 sin 380 sin 420 sin 580 sin 62 0 sin78 0 sin 820 . 5 1 1024. Để làm được bài toán này trước hết ta chứng minh công thức sau:. .  . .  . . 1 sina sin 600  a sin 600  a  sin 3a. 4. Thật vậy:. . sin a sin 600  a sin 600  a. . .  sin a sin 600 cosa  sin a cos 60 0 sin 60 0 cosa  sin a cos 60 0. .  3  3  1 1  sin a  cosa  sin a  cosa  sin a   2  2  2 2    3  3 1 1  sin a  cos 2 a  sin 2 a   sin a  3 1  sin 2 a  sin 2 a   sin 3a.   4 4 4  4. . . .  . . 1 Sử dụng công thức sina sin 600  a sin 600  a  sin 3a. 4. Ta có: sin 20 sin180 sin 220 sin 38 0 sin 42 0 sin 58 0 sin 62 0 sin 78 0 sin 820 . . . .  sin 20 sin 580 sin 620 sin180 sin 42 0 sin 78 0 sin 22 0 sin 38 0 sin 820 . . . . 1 1 5 1 sin 60 sin 540 sin 660  sin180  . 64 256 4. 1 Ví dụ 6. Giải phương trình: cos x  cos 2x  cos 3x  . 2. Giải Đặt z  cosx  isin x thì cos x . z2  1 z4  1 z6  1 ,cos 2x  ,cos 3x  2z 2z2 2z3. Phương trình đã cho trở thành. z 2  1 z 4  1 z6  1 1    2z 2 2z2 2z3.  z6  z 5  z 4  z 3  z 2  z  1  0. (*). Vì z  1 không là nghiệm nên với z  1 ta có:. . . . . (*)   z  1 z6  z5  z4  z3  z2  z  1  0  z7  1  0    2k     2k  Hay z7  1  cos   isin  nên z  cos    i sin   với k  0;6. Vì z  1 nên không nhận  7   7 . giá trị k=3. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chuyên đề: Số phức  3 5 9  m2,x   m2,x   m2,x   m2 , 7 7 7 7 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 11 13 x  m2,x   m2,m  Z. 7 7 x. Vậy nghiệm cần tìm của hệ đã cho  x; y    2;1 hoặc  x; y   1; 1 . Ví dụ 7. Chứng minh rằng sin 3.   1  sin2  . 10 10 8. Lời giải Đặt z  cos.   1  zz  i sin  z  ,sin  . Khi đó: 10 10 z 10 2i 3. 2.   zz zz 3 2 1 2 sin  sin 2         z  z  i z  z  1  (1).   8 10 10  2i   2i  8. . 3. Mặt khác z5  cos. . 5 5  i sin  i  z4  iz3  z2  iz  1  0 (do z  1 ), 10 10. . . nhưng z4  iz;iz3  z nên suuy ra z2  z2  i z  z  1  0,(2). Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 8. Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn các điều kiện cosa  cos b  cosc sina  sin b  sin c  m cos  a  b  c  sin  a  b  c . Chứng minh rằng cos  a  b   cos  b  c   cos  c  a   m. (Đề nghị IMO năm 1989) Giải Đặt x  cosa  isina,y  cos b  isin b,z  cosc  isinc. Ta có x  y  z  cosa  cos b  cosc  i  sina  sin b  sinc   m.cos  a  b  c   i.m.sin a  b  c   mxyz . Do đó x  y  z  mxyz nên. 1 1 1    m. xy yz zx. Vì x  y  z  1 nên x1  x,y1  y,z1  z. Vậy. 1 1 1    m  x.y  y.z  z.x  m  cos  a  b   cos  b  c   cos  c  a  xy yz zx. i sin  a  b   sin  b  c   sin(c  a)  m. Từ đó ta có cos  a  b   cos  b  c   cos  c  a   m. II. Bài tập rèn luyện Bài tập 1. Chứng minh rằng:  2 3 1  cos  ; a) cos  cos 7 7 7 2. b)sin.  2 3 1 3  sin  sin  cot . 7 7 7 2 14. Hướng dẫn giải   Xét z  cos  i sin , ta có z7  cos   isin   1 , nên z là nghiệm khác -1 của phương trình z7  1  0 7 7. z7  1  0 . Ta có: Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chuyên đề: Số phức. . . . . . z7  1  0   z  1 z6  z5  z4  z3  z2  z  1  0  z  z2  z3 1  z 3  1. +) 1  z3  1  cos nên. 1 1 z. 3. . 3 3 3  3 3   i sin  2sin .  sin  i sin  7 7 14  14 14 .  3 3  1 1 3 sin  i cos    i cot  3  14 14  2 2 14 2sin 14 1.  2 3   2 3   cos  i  sin  sin  sin  +) z  z2  z3  cos  cos 7 7 7 7 7 7   Do đó xét phần thực của đẳng thức z  z2  z 3   2 3 1 cos  cos  cos  ; 7 7 7 2. sin. 1 1  z3. ta suy ra được:.  2 3 1 3  sin  sin  cot . 7 7 7 2 14. Bài tập 2. Hãy biểu diễn tan 5x qua tan x Hướng dẫn giải Ta có: cos 5x  i sin 5x   cos x  i sin x . 5. Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton cho vế phải và tách phần thực và phần ảo ta có cos 5x  cos5 x  10cos3 xsin 2 x  5cos xsin 4 x sin 5x  5cos4 xsin x  10cos2 xsin 3 x  sin 5 x. Từ đó suy ra:. tan 5x . 5tan x  10 tan 3 x  tan 5 x 1  10 tan 2 x  5tan 4 x. .. Bài tập 3. Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn sina  sinb  sinc  0 và cosa  cosb  cosc  0. Chứng minh rằng: sin2a  sin2b  sin2c  0 và cos2a  cos2b  cos2c  0.. Giải Đặt z1  cosa  isina; z2  cos b  isin b; z3  cosc  isinc , ta có: z1  z2  z3  0, z1  z2  z3  1 nên. 1  zk  k  1; 2; 3  . zk. Vì thế: z12  z22  z32   z1  z2  z3   2  z1z2  z2 z3  z3 z1  2.  1 1 1  = 02  2z1z2 z3      2z1z 2 z 3 z1  z 2  z 3  z1 z2 z3 . . .  2z1z2 z3  z1  z2  z3   0 Nên cos2a  cos2b  cos2c  i  sin2a  sin2b  sin2c   0 Từ đó ta suy ra đều phải chứng minh. 1 Bài tập 4. Giải phương trình cos x  cos 3x  cos 5x  cos7x  cos9x  . 2. Lời giải Ta có cosx  1 không là nghiệm của phương trình. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chuyên đề: Số phức Đặt z  cosx  isin x với x  0; 2  . Ta có. z  1,z1  cos x  i sin x, 2cos x  z  z1 , 2cos nx  z n  z  n Vậy phương trình đã cho trở thành: 1 1 1 1 1  z3   z5   z7   z9  1 3 5 7 z z z z z9  1  z 2  z 4  ...  z18  z9  z 20  1  z11  z9 z. . . .  z11  1 z9  1  0  z11  1,z9  1. . Nếu z9  1 thì z9  cos0  isin0 nên z  cos. k2 k2  i sin ,k  0; 8. 9 9. k2 Vì x  0; 2  và z  1 nên x  ,k  1; 8. 9. Do đó nghiệm của phương trình đã cho là x  . . Nếu z11  1 thì z11  cos   isin  nên:. z  cos.   k2   k2  i sin ,k  0;10. 11 11. Vì x  0; 2  và z  1 nên x  Suy ra nghiệm cần tìm là x .   k2 ,k  0; 9. 11. . . .   k2  2m k  0;9 ,m  Z. 11. Vậy các nghiệm của phương trình là: x  x. . k2  2m k  1; 8 ,m  Z. 9. . . k2  2m k  1; 8 ,m  Z và 9. .   k2  2m k  0;9 ,m  Z. 11. Bài tập 5. Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện cosa  cos b  cosc  sina  sin b  sinc  0. Chứng minh rằng: a) cos3a  cos3b  cos3c  3cos  a  b  c  ; sin3a  sin3b  sin3c  3sin  a  b  c . b) cos5a  cos5b  cos5c  sin5a  sin5b  sin5c  0 Giải Đặt x  cosa  isina,y  cos b  isin b,z  cosc  isinc. Suy ra x  y  z  cosa  cos b  cosc  i  sina  sin b  sinc   0. . . a) Ta có: x3  y3  z3  3xyz   x  y  z  x2  y2  z2  xy  yz  zx nên lượng giác:.  cosa  i sina    cos b  i sin b    cosc  i sinc   3  cosa  i sina  cos b  i sin b  cosc  i sin c   cos 3a  cos 3b  cos 3c  i  sin 3a  sin 3b  sin 3c   3 cos  a  b  c   i sin(a  b  c)  3. 3. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chuyên đề: Số phức Từ đó ta được: cos 3a  cos 3b  cos 3c  3cos a  b  c  và sin 3a  sin 3b  sin 3c  3sin  a  b  c . . . . b) Với x  y  z  0 thì 2 x5  y5  z5  5xyz x2  y2  z2. . Mặt khác, từ x  y  z  1 suy ra x1  x,y1  y,z1  z. Vì thế: x2  y 2  z2   x  y  z   2  xy  yz  zx  2. . .   x  y  z   2xyz x  y  z   x  y  z   2xyz x  y  z   0 2. 2. Do đó x5  y5  z5  0   cosa  i sina    cos b  i sin b    cosc  i sin c   0 5. 5. 5.  cos 5a  cos 5b  cos 5c  i  sin 5a  sin 5b  sin 5c   0. Vậy nên cos5a  cos5b  cos5c  sin5a  sin5b  sin5c  0. Bài tập 6. Chứng minh rằng:. 1 cos6. 0. 1. . sin 24. 0. 1. . sin 48. 0. . 1 sin120. .. Giải Xét số phức z  cos6  isin6 , có z15  cos900  isin900  i. 0. 0. z2  1 z4  1 z8  1 z16  1 0 0 ,sin120  ,sin 24  ,sin 48  2z 2iz2 2iz4 2iz8. Ta có cos60 . Đẳng thức cần chứng minh trở thành. 2z z2  1. . 2iz2 z4  1. . 2iz4 z8  1. . 2iz8 z16  1. 0. . . Rút gọn và chú ý z  0 ta có z16  1  iz z14  1  0. Hay: z15 z  1  iz15  iz  0  iz  1  i 2  iz  0. (đúng). Vậy đẳng thức được chứng minh. Bài tập 7. Giả sử  và  là nghiệm của phương trình x2  2x  2  0 và cot   y  1 . Chứng minh.  y      y   n.  . n. . sin n sin n . Giải Ta có x2  2x  2  0  x  1  i . Không mất tính tổng quát, lấy   1  i,   1  i . Theo giả thiết. cot   y  1  y  cot   1 . n. n n  cos  1  i  Lúc đó :  y      cot   1  1  i     cos n  i sin n  sin n   sin  . Tương tự :.  y  . n.   cot   1  1  i . n. Do đó  y      y     n. n. n.  cos  1   i   cos n  i sin n sin n   sin  . 1 sin n . .2i sin n . Mặt khác :     2i. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chuyên đề: Số phức.  y      y   n. Từ đó ta có được :.  . n. . sin n sin n . Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Chuyên đề: Số phức Bài toán 3: Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức Cho số phức z  a  bi;a,b  . Lúc đó môđun của số phức z  a 2  b2 Cho các số phức z1 ; z2 ; z3 . Ta có các bất đẳng thức thường dùng sau : z1  z2  z1  z2 ; z1  z2  z3  z1  z2  z3. I. Các ví dụ điển hình thường gặp Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi a,b,c . ta luôn có :. a2  b2  c2  2ac  a2  b2  c2  2ac  2 a 2  b2 . Giải Bất đẳng thức tương đương với. a  c . 2.  b2 . a  c . 2.  b2  2 a 2  b2. Xét z1   a  c   bi; z2   a  c   bi . Ta có z1 . a  c . 2.  b2 ; z 2 . a  c . 2.  b2. . . Mặt khác : z1  z2  2a  2bi  z 1  z 2  4 a 2  b 2  2 a 2  b 2 Áp dụng : z1  z2   z1  z2 ta được. a2  b2  c2  2ac  a2  b2  c2  2ac  2 a 2  b2 Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi  ,  ta có : cos4   cos4  sin 2   sin 2   2. Giải Xét z1  cos2  cos2.i; z2  sin2 ; z3  sin2 .i Ta có :. z1  cos 4  cos 4; z 2  sin 2 ; z 3  sin 2 ;. z1  z2  z3  cos2  cos2.i  sin 2   sin2 .i  1  i  z1  z2  z3  2 Áp dụng : z1  z2  z3  z1  z2  z3 ta được cos4   cos4  sin 2   sin 2   2. Ví dụ 3. Cho a,b,c  0 thỏa mãn ab  bc  ac  abc . Chứng minh rằng: b2  2a 2 c 2  2b2 a 2  2c 2    3 *  ab cb ac. Giải 2. 2. 2.  2 1  2 1  2 bñt  *            3 a 2  b  b2  c  c 2  a  1. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Chuyên đề: Số phức. Xeùt z1 . 1 2 1 2 1 2  i; z 2   i; z1   i. a b b c c a 2. 2.  2 1  2 1  2 Ta coù: z1     ; z2   ; z3  2    2 2  b   a  a b  c  c      1 1 1  1 1 1 Maët khaùc: z1  z 2  z 3       2     i a b c a b c 1.  1 1 1  z1  z 2  z  3     a b c. 2. 2. Theo giả thiết: ab  bc  ac  abc . 1 1 1    1 . Do đó: z1  z2  z  3 a b c. Áp dụng : z1  z2  z3  z1  z2  z3 ta được b2  2a 2 c 2  2b2 a 2  2c 2    3. ab cb ac. Ví dụ 4. Cho a, b, c, d là bốn số thực thỏa mãn điều kiện :. a2  b2  1  2  a  b  ; c 2  d2  36  12  c  d  . Chứng minh rằng :  a  c    b  d   2. 2. . . 6. 2 1 .. Giải Từ giả thiết ta có :. a  1   b  1  1;  c  1  d  1  36. Xét z1  1  a  1  b  i; z2  c  6  d  6  i; z3  5  5i Ta có : z1  z2  z3  c  a   d  b i 2. 2. 2. 2. Vì z1  z2  z3  z1  z2  z3 nên 1 6  5 2 .  c  a   d  b  2. 2.  a  c    b  d   2. 2. . 2 1. . 6. II. Bài tập áp dụng Bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi x  , ta luôn có :. x2  2x  5  x2  2x  5  2 5 Hướng dẫn giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với.  x  1. 2.  22 . 1  x . 2.  22  2 5. Xét số phức : z1  x  1  2i; z2  1  x  2i Lúc đó : z1  z2  2  4i Vì z1  z2  z1  z2 .  x  1. 2.  22 . 1  x . Bài tập 2. Chứng minh rằng với x,y,z . 2.  22  22  42  2 5  ÑPCM . ta luôn có. x2  xy  y2  x2  xz  z2  y2  yz  z2. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Chuyên đề: Số phức Hướng dẫn giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với 2. 2. 2 2  y y 3   z z 3  2 2    x       y  yz  z  x        2 2 2 2        . Xét z1  x . y y 3 z z 3 1 3  i; z2  x   i  z1  z2   y  z   y  zi 2 2 2 2 2 2 2. 2 2  y y 3   z z 3  z1  z 2  z1  z 2   x        x      2   2  2   2   . 2. 2. 2  1   3    y  z    y  z    y 2  yz  z 2 .  2   2 . Vì. Bài tập 3. Chứng minh rằng với mọi x. , ta luôn có :. 1 2 1 2 16 32 1 2 1 2 4 8 x 2  x  x  x  4x  10  x  x   4  2 2. 2 2 5 5 2 2 5 5 Hướng dẫn giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với 1 2 32 64 8 16 x  x  x 2  8x  20  x 2  x  4 24 2 5 5 5 5 2 2 2 2  2  4  8 16   8      x2  4   4  x   22     x         x      5  5     5   5     x2  4 . 4 2 4. Xét z1  x  2i; z 2  4  x  2i; z 3  x   z1  z2  4  4i; z 3  z 4  4  4i. 16 4 8  8i; z 4   x  i 5 5 5. Ta luôn có : z1  z 2  z 3  z 4  z1  z 2  z 3  z 4    x2  4  . 4  x. 2. 2. 2 2 2 2   4  8 16   8    22     x         x      5  5    5   5     2.  12   16   4 2  4 2        4 2  4  ÑPCM   5   5 . Bài tập 4. Chứng minh rằng với x,y,z . ta luôn có. x2  xy  y2  y2  yz  z2  x2  xz  z2  3  x  y  z  .. Hướng dẫn giải. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Chuyên đề: Số phức Bất đẳng thức đã cho tương đương với 2. 2. 2 2 2  y y 3    z z 3  x x 3  x    y    z              2   2  2   2  2   2    . 2.  3 x  y  z. Xét z1  x . y y 3 z z 3 x x 3  i; z2  y   i; z3  z   i 2 2 2 2 2 2. Ta có : z1  z2  z3 . 3 3 x  y  z   x  y  zi 2 2. Vì z1  z2  z3  z1  z2  z3 nên 2. 2. 2 2 2  y y 3   z z 3  x x 3    y     z      x     2   2  2   2  2   2    . . 2. 2 2 9 3 x  y  z   x  y  z  3  x  y  z .  4 4. Bài toán 4. Ứng dụng giải toán khai triển hay tính tổng nhị thức Niutơn Phương pháp Ta nhắc lại công thức khai triển nhị thức Niutơn. a  b. n. n.   Ckn a n k bk  Cona n  C1na n 1b  C1na n 2 b2  ...  Cnn 1abn 1  Cnn bn k 0. Ta lưu ý rằng : m . *. thì i4m  1; i4m1  i; i4m2  1; i4m 3  i. I. Các ví dụ điển hình thường gặp Ví dụ 1. Tính tổng a) S1  1  Cn2  Cn4  C6n  .... b)S 2  C1n  C3n  C5n  C7n  .... Giải Ta có:. 1  i . n.  1  C1n i  Cn2 i 2  ...  C nn i n. .  . .  1  C2n  C4n  C6n  ...  i C1n  C 3n  C 5n  C7n  ... (1) n n  i 2 n sin (2) 4 4 n Từ (1) và (2) suy ra: S1  2 n cos ; 4. 1  i . n.  2 n cos. S 2  2 n sin. n 4. 0 2 4 6 98 50  C100  C100  C100  ...  C100  C100 Ví dụ 2. Chứng minh rằng C100 100  2. Lời giải.. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Chuyên đề: Số phức. 1  i . 100. 0 2 2 100  C100  C1100 i  C100 i  ...  C100 100 i. .  . . 0 2 4 1 3 5 99  C100  C100  C100  ...  C100 100  C100  C100  C100  ...  C100 i. 1  i . 2.  2i   1  i . 100.   2i . 50.  2 50. 0 2 4 50 Vaäy: C100  C100  C100  ...  C100 100  2. Ví dụ 3. Tính các tổng sau 0 2 4 6 14 A  C15  3C15  5C15  7C15  ....  13C12 15  15C15 ; 3 5 7 15 B  2C115  4C15  6C15  8C15  ....  14C13 15  16C15 .. Giải Xét khai triển. 1  x . 15. 0 1 2 2 3 3 12 13 13 14 14 15 15  C15  C15 x  C15 x  C15 x  ...  C12 15 x  C15 x  C15 x  C15 x.  x 1  x . 15. 1  x . 15. 0 1 2 2 3 3 4 13 13 14 14 15 15 16  C15 x  C15 x  C15 x  C15 x  ...  C12 15 x  C15 x  C15 x  C15 x Lấy đạo hàm hai vế.  15x 1  x . 14. 0 1 2 2 3 3 12 12 13 13  C15  2C15 x  3C15 x  4C15 x  ...  13C15 x  14C15 x 14 15 15  15C14 15 x  16C15 x. Thay x bởi i ta được. 1  i .  15i 1  i . 15. 14. 0 1 2 2 3 3 12 12 13 13  C15  2C15 i  3C15 i  4C15 i  ...  13C15 i  14C15 i. . 14 15 15  15C14 15 i  16C15 i. . 0 2 4 6 12 14  C15  3C15  5C15  7C15  ....  13C15  15C15 .  2C. 1 15. . 3 5 7 13 15  4C15  6C15  8C15  ....  14C15  16C15 i. Mặt khác:. 1  i . 15.  15i  1  i . 14. 15.     2  cos  i sin  4 4  15. 14.  15i 2. 14.     cos  i sin  4 4 .  2 2   215   i   15i.27  i   27  27 i  15.27  16.27  27 i  211  27 i  2 2  . Vậy 0 2 4 6 14 11 A  C15  3C15  5C15  7C15  ....  13C12 15  15C15  2 3 5 7 15 7 B  2C115  4C15  6C15  8C15  ....  14C13 15  16C15  2. II. Bài tập rèn luyên Bài tập 1. Chứng minh rằng:.  2  cos n4 n  ...   2  sin 4. S1  C0n  Cn2  Cn4  C6n  C8n  ...  S 2  C1n  Cn3  Cn5  C7n  C9n. n. n. Giải Xét khai triển nhị thức Newton:. 1  i . n.  C0n  iC1n  i 2C2n  i 3C3n  i 4C4n  ...  i n 1Cnn1  i n Cnn. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Chuyên đề: Số phức 1,(k  4m)  i,(k  4m  1) k Vì i   1,(k  4m  2) i,(k  4m  3). 1  i . n. m   nên ta có:. .  C0n  Cn2  Cn4  ...  i C1n  Cn3  Cn5  ..... . (1). Mặt khác, theo công thức Moivre thì:. 1  i . n. .  2. n. n.    cos  i sin   4 4 .  2. n. n n   i sin  cos  (2) 4 4  . Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 1 1 3 1 5 1 Bài tập 2. Tính tổng S  C12n  C2n  C2n  C72n  ... 2 4 6 8. Hướng dẫn giải Chú ý rằng. 1 2k 1 1 C  C2k nên: 2k 2n 2n  1 2n 1. 1 1 3 1 5 1 S  C12n  C2n  C2n  C72n  ... 2 4 6 8 1 1 1 1 4  C22n 1  C2n C62n 1  C8  ... 1  2n  1 2n  1 2n  1 2n  1 2n 1 1 4 6 8 C2  C2n 1  C2n 1  C2n 1  ... 2n  1 2n 1. . Vì 1  i . 2n 1. và 1  i . . 2 4  C02n1  C2n 1  C2n 1. 2n 1. .  2. 2n 1 .  cos . 1  1 2n  1 .  2. 1 2n 1. 3 5  C2n 1  C2n 1  .... . 2n  1 2n  1    i sin   nên: 4 4 . 2 4 6 C02n 1  C2n 1  C2n 1  C2n 1  ... . Vậy ta có S .   ...  i  C. 2n 1.  2. cos. 2n 1. cos. 2n  1  4. 2n  1   . 4 . Bài tập 3. Tính tổng n   A  C0n cosa  C1n cos 2a  Cn2 cos 3a  ...  Cnn 1 cos na  Cnn cos(n  1)a B  C0n sina  C1n sin 2a  Cn2 sin 3a  ...  Cnn 1 sin na  Cnn sin(n  1)a. Giải Đặt z  cosa  isina thì zn  cos na  isin na. Do đó ta có: A  iB  C0n  cosa  i sina   C1n  cos 2a  i sin 2a   Cn2  cos 3a  i sin 3a  ...  Cnn 1  cos na  i sin na   Cnn  cos(n  1)a  i sin(n  1)a . . .  z C0n  C1n z  C2n z 2  C3n z 3  ...  Cnn z n  z 1  z . n. a a a Vì 1  z  1  cosa  i sina  2cos  cos  i sin  nên: 2 2 2. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Chuyên đề: Số phức.  a a a  A  iB   cosa  i sin a   2 cos  cos  i sin   2 2 2    a na na   2 n cos n  cosa  i sin a   cos  i sin  2 2 2  . n. a n2 n2   2 n cos n  cos a  i sin a 2 2 2  a n2 a n2 Vậy A  2n cosn cos a, B  2n cosn sin a 2 2 2 2. Nhận xét: Cho n là giá trị cụ thể, suy ra được nhiều biểu thức lượng giác đẹp. a 7a cosa  5cos 2a  10cos 3a  10cos 4a  5cos 5a  cos6a  2 5 cos 5 cos 2 2. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Chuyên đề: Số phức. Bài toán 5. Ứng dụng giải toán đa thức và phép chia đa thức Phương pháp I. Các ví dụ điển hình thường gặp Ví dụ 1. Chứng minh rằng đa thức  x  1. 4n  2.   x  1. 4n 2. chia hết cho đa thức x2  1 với mọi số tự. nhiên n. Vì x2  1  0   x  i  x  i   0 nên x2  1 có nghiệm là i. Đặt f  x    x  1. 4n  2. f  i   f  i  1.   i  1. 4n  2. f  i   f  i  1. 4n  2.   x  1 4n  2. 4n  2. . Ta có:.  (2i)2n1   2i .  ( i  1)4n2   2i . 2n 1. 2n 1.   2i . 0 2n 1. 0. Giải Trong các bài toán về phép chia đa thức, muốn chứng minh f  x  chia hết cho g  x  , ta chứng minh mọi nghiệm của đa thức g  x  đều là nghiệm của đa thức f  x  . Cách làm này gặp phải khó khăn nế như g  x  không có nghiệm thực, tuy nhiên số phức giáp ta giải quyết vấn đề này.. Vậy i cũng là nghiệm của f  x  , do đó f  x  chia hết cho x2  1. Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 và số thực  thỏa mãn sin   0 , đa thức. xn sin   xsin n  sin  n  1  chia hết cho đa thức x2  2xcos   1 . Giải Xét phương trình x2  2xcos   1  0, '  cos2   1  i 2 sin2  nên có nghiệm x1  cos   isin ,x2  cos   isin  là hai số phức liên hợp.. Đặt P  x   x2 sin   xsin n  sin  n  1  ta có: P  x1    cos n  i sin n  sin    cos   i sin   sin n  sin  n  1   cos n sin   cos  sin n  sin  n  1   0.  . Suy ra P x1  0 hay P  x2   0. Vậy P  x  chia hết x2  2xcos   1. Ví dụ 3. Tìm số nguyên dương n sao cho đa thức x2n  xn  1 chia hết cho đa thức x2  x  1 . Lời giải Các nghiệm cuả đa thức x2  x  1 là: x1 . 1  3i 1  3i ,x2  2 2. Đặt f  x   x2n  xn  1. Vì x1 ,x2 là hai số phức liên hợp, nên chỉ cần tìm n sao cho f  x1   0 (khi đó f  x2  sẽ bằng không).. Ta có: x1 . 1  3i 2 2 nên  cos  i sin 2 3 3. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Chuyên đề: Số phức 2n. n.   2 2  2 2  f  x1    cos  i sin    cos  i sin   1 3 3  3 3     4n 2n 4n 2n  f  x1   cos  cos  1  i  sin  sin  3 3 3 3     2n  2n  4n 2n  1  0 cos  2 cos cos 3  cos 3  1  0 3  3   f  x1   0    sin 4n  sin 2n  0 sin 2n  2 cos 2n  1   0     3 3 3  3  2n  2 cos  1  0  n  3k  1,  k    3. Vậy đa thức x2n  xn  1 chia hết cho đa thức x2  x  1 khi và chỉ khi n là số nguyên dương không chia hết cho 3. Ví dụ 4. Tìm số nguyên dương n sao cho đa thức  x  1  xn  1 chia hết cho đa thức x2  x  1 . n. Lời giải Các nghiệm của đa thức x2  x  1 là: x1 . 1  3i 1  3i ,x2  . 2 2. Đặt f  x    x  1  xn  1. n. 1  3i   1  3i 2 2 do đo  cos  i sin  x1  1   cos  i sin 2 3 3 2 3 3 2n 2n n n f  x1   cos  i sin  cos  i sin  1. 3 3 3 3  n  n   2n n  1  0 cos  2 cos cos  cos  1  0  3  3   3 3 f  x1   0    sin 2n  sin n  0 sin n  2 cos n  1   0     3 3 3  3  n  2 cos  1  0  n  6k  1. 3. Vì x1 . Vậy giá trị cần tìm của n là những số nguyên dương chia cho 6 dư 1 hoặc chia 6 dư 5. Ví dụ 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên:. . . b)  x  1  x2  x  1 4. a) x4  4 ;. 2. Giải. . . a) Ta có x4  4  x4   2i   x2  2i x2  2i 2. . 2 2   x2  1  i   . x2  1  i     x  1  i  x  1  i  x  1  i  x  1  i     . Mà:.  x  1  i  x  1  i    x  1. 2.  x  1  i  x  1  i    x  1. . . 2.  i 2  x2  2x  2  i 2  x2  2x  2. Nên x4  4  x2  2x  2 x2  2x  2. . b) Ta có: Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Chuyên đề: Số phức. . . (x  1)4  x2  x  1. 2. . .   x  1  i 2 x2  x  1 4. . . 2. . . 2 2   x  1  i x2  x  1  .  x  1  i x 2  x  1     . Bằng cách giải các phương trình bậc hai , ta phân tích được thành tích: .  x  1. 2. .  x  1. 2.   ix.   x  1  1  i  x  i   x  1  i .  i x2  x  1  1  i  x  i   x  1  i  2. Mặt khác:.  x  1  i  x  1  i    x  1. .   x. Vậy  x  1  x2  x  1 4.  i 2  x2  2x  2 1  i  x  i  . 1  i  x  i   2x2  2x  1. 2. 2. 2. . .  2x  2 2x2  2x  1 .. II. Bài tập áp dụng Bài tập 1. Có tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho đa thức.  x  1. 2n.   x  1. 2n.  2x2n chia hết cho đa thưc x4  1.. Hướng dẫn giải Các nghiệm của đa thức x4  1 là: 1, i. Đặt f  x    x  1 f  i    i  1. 2n. 2n.   x  1.   i  1. 2n. 2n.  2x2n , ta có f 1  f  1  0 , nhưng.  2i 2n   2i    2i   2  1 n. n.   Nếu n  2m  1,  m    thì f  i   2  0.. n. Nếu n  2m, m   thì f  i   22m1  1  2  0 m   .. . m. . Vậy không tồn tại số nguyên dương n để đa thức.  x  1. 2n.   x  1. 2n.  2x2n chia hết chho đa thức. x4  1. Bài tập 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên:. . . a) x2  1. 2. .   x  3 ; 2. b) 3x2  5x  4. . 2.   5x  3 . 2. Hướng dẫn giải a) Ta có:.  x  1 2. 2. . .   x  3   x2  1 2. 2. . .  i 2  x  3   x2  ix  1  3i x2  3x  1  3i 2. . Vì . x2  ix  1  3i   x  1  i  x  1  2i . . x2  ix  1  3i   x  1  i  x  1  2i . .  x  1  i  x  1  i    x  1. .  x  1  2i  x  1  2i    x  1. . . Vậy x2  1. 2. . 2.  i 2  x2  2x  2 2.  4i 2  x2  2x  5. . .   x  3   x2  2x  2 x2  2x  5 . 2. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Chuyên đề: Số phức. . b) 3x2  5x  4. . 2. .   5x  3   3x2  5x  2 2. . 2.  i 2  5x  3 . 2.   3x2  5 1  i  x  4  3i  . 3x2  5 1  i  x  4  3i     . Ta có: . 3x2  5 1  i  x  4  3i   x  2  i  3x  1  2i . . 3x2  5 1  i  x  4  3i   x  2  i  3x  1  2i . .  x  2  i  x  2  i    x  2 . .  3x  1  2i  3x  1  2i    3x  1. . Vì vậy 3x2  5x  4. . 2. 2.  i 2  x2  4x  5. . 2.  4i 2  9x2  6x  5. . .   5x  3   x2  4x  5 9x2  6x  5 . 2. Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133. Page 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span>