de thi

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO. BÁO CÁO SÁNG KIẾN BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC SUY RỘNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ PHÁT HIỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11.. Tác giả: NGUYỄN VĂN QUÝ Trình độ chuyên môn: Cử nhân sư phạm Toán Chức vụ: Giáo Viên Đơn vị công tác: Trường THPT Trần Hưng Đạo. Quỳnh Phụ, Ngày 16 tháng 05 năm 2017. NĂM HỌC 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.....................................1 1. Lý do chọn đề tài.........................................................................................1 2. Cơ sở thực tiễn............................................................................................2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu..................................................................................2 4. Mục đích nghiên cứu...................................................................................2 5. Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu.........................................................2 6. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................3 7. Giả thuyết khoa học của đề tài....................................................................3 8. Đóng góp của đề tài.....................................................................................3 9. Hướng phát triển tiếp theo của đề tài…………………………… 4 10. Cấu trúc của đề tài.....................................................................................4 PHẦN II. NỘI DUNG...................................................................................5 1. Kiến thức lý thuyết cơ bản..........................................................................5 2. Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng......................6 2.1 Các công thức lượng giác suy rộng từ công thức sẵn có và các bài toán áp dụng 2.2 Tìm các công thức lượng giác phù hợp giải các phương trình *. 6. lượng giác chứa cung nx ( n  N ) và các bài toán áp dụng 12 3. Tổ chức thực nghiệm và đối chứng 21 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 25 1. Kết luận....................................................................................................... 25 2. Kiến nghị..................................................................................................... 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 26 PHỤ LỤC........................................................................................................ 27.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> PHẦN I. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Lý do chọn đề tài Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu của giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, để thực hiện được điều đó người giáo viên phải tích cực đổi mới phương pháp dạy học từ PPDH theo lối “Truyền thụ một chiều” sang dạy cách học, cách tiếp cận và vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, phải hình thành năng lực và phẩm chất, từ đó dần thay đổi cách kiểm tra đánh giá từ kiểm tra trí nhớ sang kiểm tra, đánh giá năng lực vận dụng kiến thức giải quyết vấn đề để có thể tác động kịp thời nhằm thúc đẩy học sinh sự ham học hỏi, khám phá và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo nâng cao chất lượng của các hoạt động dạy học và giáo dục. Chương trình toán THPT hiện nay, cụ thể là chương trình lượng giác Lớp 11 các phương trình lượng giác đòi hỏi năng lực sáng tạo của học sinh xuất hiện không nhiều trong sách giáo khoa, sách bài tập . Trong nhiều tài liệu tham khảo cũng có đề cập đến các bài tập nâng cao về giải phương trình lượng giác nhưng tôi thấy chỉ có các bài toán vận dụng công thức lượng giác sẵn có trong SGK hoặc các kỹ năng thêm bớt, kỹ năng phân tích nhân tử, những bài tập dạng này chỉ cần kỹ năng thuần túy hướng học sinh vào tư duy đường mòn mà không đòi hỏi tính sáng tạo, tạo hứng thú nghiên cứu cho học sinh. Hơn nữa trong xu hướng dạy học hiện nay là đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đích phát huy năng lực cho học sinh, tạo cho người học hứng thú trong học tập, nghiên cứu khoa học và áp dụng vào thực tiễn cuộc sống chứ không chỉ thuần túy là học để thi. Dựa trên các tài liệu tham khảo do bản thân tự bồi dưỡng, với thực tế giảng dạy và kinh nghiệm tôi đã chọn tìm hiểu và nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11”. Tôi tập hợp các bài toán đòi hỏi năng lực sáng tạo suy rộng công thức lượng giác sẵn có và tìm công thức lượng giác phù hợp để giải lớp các phương trình từ đó cho học sinh tự rút ra các bài học kinh nghiệm và các nhóm tự biên soạn các bài tập vận dụng tượng tự và nộp sản phẩm, 1.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> thông qua các tiết học tự chọn trong phân phối chương trình và các buổi hội thảo chuyên đề nâng cao do ban chuyên môn nhà trường tổ chức. Đồng thời tạo cho các em có cách nhìn tổng quát và sâu sắc hơn về vấn đề vừa được học. Bồi dưỡng năng lực tư duy sáng tạo, qui lạ về quen, năng lực biến đổi lượng giác, năng lực nghiên cứu và tổng hợp được vấn đề cần nghiên cứu. Tôi hi vọng đề tài này được các em học sinh tích cực hợp tác và các đồng nghiệp nhiệt tình giúp đỡ để giúp tôi bổ sung và hoàn thiện tốt đề tài này. 2. Cơ sở thực tiễn Nội dung liên quan đến “Giải phương trình lượng giác” thường được quan tâm trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường ĐH trước đây và kỳ thi THPT Quốc Gia hiện nay và trong kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Mặt khác đây là một phần kiến thức khó, học sinh học phần kiến thức này thường là học theo hình thức ghi nhớ công thức lượng giác, ít khi nghiên cứu tìm tòi sáng tạo. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm ra được 15 công thức lượng giác suy rộng từ đó vận dụng vào giải nhanh các phương trình lượng giác . - Từ các bài tập thực hiện chỉ ra được các bài toán tổng quát, các lớp bài toán vận dụng nhằm hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu. - Kết thúc mỗi dạng bài tập các nhóm đưa ra một hệ thống các bài tập tự luyện và mở rộng các dạng bài tập đó. 4. Mục đích nghiên cứu - Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực chuyên môn phục vụ cho công tác dạy học. - Bồi dưỡng cho học năng lực tư duy sáng tao, tư duy phân tích, tổng hợp từ một dạng toán, từ đó phát triển năng lực tư duy lôgic, khái quát hoá vấn đề. - Bồi dưỡng cho học sinh phát triển năng lực của các hoạt động trí tuệ, rèn luyện đức tính cần cù, cẩn thận, góp phần hình thành những phẩm chất đạo đức, năng lực làm việc cần thiết của một người công dân sau này. 5. Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 5.1. Phạm vi nghiên cứu Học sinh đang học lớp 11, 12; học sinh dự thi học sinh giỏi Tỉnh, học sinh ôn thi THPT Quốc gia. 5.2. Giới hạn nội dung nghiên cứu: Hoạt động dạy học sinh hoạt chuyên đề bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác. 5.3. Vấn đề nghiên cứu của đề tài: Sử dụng phương pháp dạy học nào để nâng cao năng lực tư duy sáng tạo trong học tập bộ môn toán cho học sinh THPT đối với phần Giải phương trình lượng giác. 6. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết về công thức lượng giác, phương pháp giải phương trình lượng giác trong chương trình SGK Đại số và giải tích 11. - Nghiên cứu về phương pháp dạy học đặc biệt là phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh môn toán. - Nghiên cứu về thực tế giảng dạy môn toán hiện nay ở trường THPT Trần Hưng Đạo, khảo sát học sinh, qua sách báo và tài liệu tham khảo môn toán, học hỏi và tiếp thu các ý kiến đóng góp của đồng nghiệp qua các tiết dự giờ. 7. Giả thuyết khoa học của đề tài Trên cơ sơ lý luận của phương pháp dạy học môn toán và thực tiễn dạy học về phương trình lượng giác nếu biết khai thác, vận dụng thành thạo công thức lượng giác sẵn có, biết phân tích đề bài, học sinh sẽ phát huy được năng lực suy rộng, phát hiện công thức lượng giác phù hợp để áp dụng vào giải một số dạng phương trình lượng giác khó, đòi hỏi tính sáng tạo. Từ đó học sinh rút ra cho bản thân các bài học kinh nghiệm, hệ thống hóa dạng toán, tích cực, chủ động, sáng tạo hơn trong việc học tập và nghiên cứu. 8. Đóng góp của đề tài - Bồi dưỡng được cho học sinh năng lực suy rộng các công thức lượng giác sẵn có, tìm tòi sáng tạo các công thức lượng giác phù hợp giải nhanh một số dạng phương. 3.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> trình lượng giác hay và khó phục vụ cho học sinh tham gia các kỳ thi THPT Quốc gia, kỳ thi học sinh giỏi các cấp hằng năm. - Cung cấp cho học sinh cơ sở lý thuyết phương trình lượng giác và các kỹ năng trình bày lời giải bài toán giải phương trình lượng giác. - Giúp cho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và không thấy e ngại khi gặp bài toán khó. - Giúp cho giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm về đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy học . 9. Hướng phát triển tiếp theo của đề tài Vì thời gian có hạn vì vậy ở đề tài này Tôi mới chỉ dừng lại ở nội dung học sinh sử dụng các công thức lượng giác vào giải các dạng phương trình lượng giác, hướng tiếp theo của đề tài Tôi sẽ hướng dẫn học sinh vận dụng các công thức này vào các lớp bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số lượng giác. 10. Cấu trúc của đề tài Phần I: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu Phần II: Nội dung 1. Kiến thức lý thuyết cơ bản. 2. Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng công thức, sản phẩm của các nhóm học sinh tự ra các bài tập tương tự . 3. Tổ chức thực nghiệm và kết quả đối chứng. Phần III: Kết luận và khuyến nghị.. 4.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> PHẦN II. NỘI DUNG 1. Kiến thức lý thuyết cơ bản Các phương trình lượng giác cơ bản:  Phương trình: sin x =a Nếu. a 1. (1). thì phương trình (1) vô nghiệm.  x   k 2  a 1 Nếu đặt sin  a thì phương trình (1) có nghiệm  x     k 2 (k  Z)  u ( x ) v( x)  k 2   u ( x )   v ( x)  k 2 , Phương trình: sin u(x)=sinv(x). (k  Z). Phương trình: sin x 0  x k  sin x 1  x   k 2 2  sin x  1  x   k 2 (k  Z) 2.  Phương trình: cosx =a Nếu. a 1. (2). thì phương trình (2) vô nghiệm.  x   k 2  a 1 Nếu đặt cos  a thì phương trình (1) có nghiệm  x    k 2 (k  Z)  u ( x) v ( x)  k 2   u ( x)  v( x)  k 2 , Phương trình: cos u(x)=cosv(x). (k  Z). Phương trình:  cos x 0  x   k 2 cos x 1  x k 2 cos x  1  x   k 2 (k  Z).  Phương trình: tanx =a. (3).  x   k (k  Z) 2 Điều kiện xác định:. Với mọi giá trị thực của a và tan  =a thì phương trình (3) có nghiệm x   k (k  Z) 5.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Phương trình: tanu(x)=tanv(x)  u ( x) v( x)  k , (k  Z) với   u ( x)   k , v( x)   k 2 2  x   k , k  Z 2 Với ta có phương trình: tan x 0  x k  tan x 1  x   k 4  tan x  1  x   k (k  Z) 4.  Phương trình: cotx =a. (4). Điều kiện xác định: x   k (k  Z) Với mọi giá trị thực của a và cot  =a thì phương trình (4) có nghiệm x   k (k  Z). Phương trình: cotu(x)=cotv(x)  u ( x) v( x)  k , (k  Z) với u ( x) k , v( x) k Với x   k (k  Z) ta có phương trình:  cot x 0  x   k 2  cot x 1  x   k 4  cot x  1  x   k (k  Z) 4. 2. Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng. 2.1 Các công thức lượng giác suy rộng từ công thức sẵn có và các bài toán áp dụng Hướng dẫn các nhóm học sinh chỉ ra được các công thức lượng giác suy rộng từ các công thức lượng giác sẵn, phát hiện phương pháp giải nhanh và chính xác một số dạng phương trình lượng giác. Từ đó rút ra các bài học kinh nghiệm bằng cách tổng *. quát hóa các dạng phương trình lượng chứa cung nx ( n  N ).  Công thức gốc 1: sin 3a=3sina- 4sin3a 6.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> sin 3a 3  4sin 2 a (1.1) sin a  4sin 2 a  3 sin 3a Công thức suy rộng: sin a hoặc (1.2) sin 3a 1  2 cos 2a Hoặc: sin a (1.3). 4sin a 3 1   Hoặc 1  2 cos 2a sin 3a sin a (1.4). Vận dụng: VD1: Giải phương trình sau: 6 cos3x=1+8sin2x.cos3x Lời giải: 6 cos3x=1+8sin2x.cos3x (1) Vì x= k (k  Z) không là nghiệm của phương trình (1) nên áp dụng công thức (1.1) ta có: (1)  2 cos 3 x  3  4sin 2 x  1  2 cos 3 x.. sin 3 x 1  sin 6 x sin x sin x. 2  x k  2k 5m, k , m  Z  6 x  x  k 2   5    6 x   x  k 2  x   k 2  2k 7m  1, k , m  Z  7 7 3  4sin x  .  3  4sin VD2: Giải phương trình  2. 2. 3 x  1. (2). Lời giải: Vì x= k (k  Z) không là nghiệm của phương trình (2) nên áp dụng công thức (1.2) ta có: (2)  sin x.  3  4sin 2 x  .  3  4sin 2 3 x  sin x  sin 3 x.  3  4sin 2 3 x  sin x.   x k  9 x  x  k .2   4  sin 9 x sin x     9 x   x  k .2  x  k   10 5. (k  Z). Bài học kinh nghiệm: 3  4sin x  .  3  4sin Phương trình:  2. 2. 3 x  ....  3  4sin 2 3n x  1  sin(3n 1 x ) sin x. Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 3  4sin x  .  3  4sin 1)  2. 2) 2cos 9x. . 2. 3 x  .  3  4sin 2 9 x  1. 3  4sin 2 x  .  3  4sin 2 3 x  1.   sin 27 x sin x .   2 cos 9 x.sin 9 x sin x  sin18 x sin x  7.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 4sin x 12sin 3 x 36sin 9 x 27    1 3) 1  2cos 2 x 1  2 cos 6 x 1  2 cos18 x sin 27 x. (.  sin x 1 áp dụng. công thức 1.4)  Công thức gốc 2: cos 3x= 4cos3x- 3cosx cos 3 x 4 cos 2 x  3 cos x.  4cos 2 x  3 cos 3 x cos x Công thức suy rộng: (2.1) hoặc (2.2). Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 1+ 6 sin3x = 8 cos2x.sin3x Lời giải: 1+ 6 sin3x = 8 cos2x.sin3x (3)   k ( k  Z ) Vì x= 2 không là nghiệm của phương trình (3) nên áp dụng CT (2.1) ta. có: (3)  2sin 3 x  4 cos 2 x  3 1 cos 3x   1  sin 6 x cos x  sin 6 x sin   x  cos x 2   2     x 14  k 7  6 x  2  x  k 2    x    k 2 (k  Z)  6 x   x  k 2   2 10 5  2sin 3 x.. Ví dụ 4: Giải phương trình Lời giải:.  4 cos. 2.  4cos. 2. x  3 .  4cos 2 3x  3 1. x  3 .  4 cos 2 3x  3 1. (4).   k ( k  Z) Vì x= 2 không là nghiệm của phương trình (4) nên áp dụng CT (2.2) ta. có: (4)  cos x.  4 cos 2 x  3 .  4 cos 2 3 x  3 cos x  cos 3 x.  4 cos 2 3 x  3  cos x.   x k   9 x  x  k 2 4  cos 9 x cos x    9 x  x  k 2    9 x k  (k  Z)  5. Ví dụ 5: Giải phương trình Lời giải:. 2sin 9 x.  4cos 2 x  3 .  4 cos 2 3 x  3  1. 2sin 9 x.  4 cos 2 x  3 .  4 cos 2 3 x  3 1. (5). 8.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>   k ( k  Z) Vì x= 2 không là nghiệm của phương trình (5) nên áp dụng CT (3.2)ta. có: (5)  2sin 9 x.cos x  4 cos 2 x  3 .  4cos 2 3 x  3 cos x.  sin18 x cos x  sin18 x sin(  x) 2  2     x  38  k 19  18 x  2  x  k 2    x    k 2  18 x   x  k 2  2 34 17 . (k  Z). Bài học kinh nghiệm: 4cos Phương trình: . 2. x  3 .  4 cos 2 3 x  3  ....  4 cos 2 3n x  3  1  cos(3n 1 x) cos x. Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng Giải các phương trình sau: 1).  4 cos. 2. x  3 .  4 cos 2 3 x  3 .  4 cos 2 9 x  3  1.   cos 27 x cos x . cos 3 x .  4 cos 2 3 x  3 .  4 cos 2 9 x  3 1 2) cos x.   cos 27 x cos x . 2 tan x tan 2 x  1  tan 2 x  Công thức gốc 3:. Công thức suy rộng :. 1  tan 2 x . 2 tan x 1 tan 2 x  2 tan 2 x (3.1) hoặc 1  tan x 2 tan x. (3.2).       x   k , x   k , (k  Z)  2 4 2   1  tan x  .  1  tan Ví dụ 6: Giải phương trình sau:  2. 2. 2 x  .  1  tan 2 4 x  8. Lời giải: ĐK : cos x 0, cos2 x 0, cos4x 0 , áp dụng CT (3.1) ta có: 1 1 1 1 . .  2 2 2 1  tan x 1  tan 2 x 1  tan 4 x 8 tan 2 x tan 4 x tan 8 x 1  . .  2 tan x 2 tan 2 x 2 tan 4 x 8   tan 8 x tan x  8 x x  k  x k (k  Z) 7. (6) . Ví dụ 7: Giải phương trình sau:. cot x.  1  tan 2 x  .  1  tan 2 2 x  .  1  tan 2 4 x  8 9. (7).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Lời giải: ĐK: sin 8 x 0 , áp dụng CT (3.2) ta có: 2 2 2 . . 2 2 1  tan x 1  tan 2 x 1  tan 2 4 x tan 2 x tan 4 x tan 8 x  cot x  . . tan x tan 2 x tan 4 x tan 8 x  cot x   tan 8 x 1 tan x     8 x   k  x   k (k  Z) 4 32 8.  7   cot x . Ta có. x.   k 32 8. (k  Z). thỏa mãn điều kiện .. n 1 Bài học kinh nghiệm: Với ĐK : sin 2 x 0 ta có:. 2n 1 tan x  1  tan x  .  1  tan 2 x  .  1  tan 2 x  ....(1  tan 2 x)  tan 2n1 x 2. Phương trình :. 2. 2. 2. 2. n. cot x.  1  tan 2 x  .  1  tan 2 2 x  .  1  tan 2 22 x  ....(1  tan 2 2 n x) 2 n 1  tan 2n 1 x 1. Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: 1..  1  tan x  . 1  tan. 2.. cot x.  1  tan 2 x  .  1  tan 2 2 x  .  1  tan 2 22 x  .(1  tan 2 8 x) 16. 2. 2. 2 x  .  1  tan 2 4 x  8.cot 8 x.  tan x 1  tan16 x 1. Ví dụ 8: Bài tập kết hợp các công thức suy rộng từ các công thức gốc 1,2,3 2 Giải phương trình sau: 1) (cot x  cot 3x).(4 cos x  3) 2 (8.1). Lời giải: ĐK: sin3x  0 (8.1). . 2cos x 2cos x cos 3 x 4cos 2 x  3 2  . 2  cot 3 x 1  sin 3 x sin 3 x cos x.     3 x   k  x   k 4 12 3. (k  Z). (t/m). 1   1 2    .  4 cos 2 x  3 2 sin x sin 3 x  2)  (8.2). Lời giải: ĐK: sin3x  0 10.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 2 cos 2 x .  4 cos 2 2 x  3 2 sin 3 x 2 cos 2 x cos 6 x    . 2  cos 6 x sin 3 x cos   3 x  sin 3 x cos 2 x 2   2     x 18  k 9  6 x  2  3 x  k 2     x     k 2  6 x   3 x  k 2 (k  Z)   2 6 3. (8.2) . Bài học kinh nghiệm: Giải những phương trình sử dụng đồng thời nhiều công thức sẽ khó giải hơn vì vậy học sinh phải lựa chọn vận dụng công thức phù hợp cho từng bước giải phương trình. Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:.   tan 3x 1. 2 1. (tan 3x  tan x).(3  4sin x) 2. 2.. (tan 2 x  tan x) . 1  1  tan 2 x  2.  Công thức gốc 4:. cot a  cot b .   sin. 2. 2 x  sin 2 x  1 0 . sin(a  b) sin(a  b) tan a  tan b  sin a.sin b , cos a.cos b. tan a  tan b tan( a  b)  1  tan a.tan b 1 cot a  cot b 1 tan a  tan b   Công thức suy rộng: sin a.sin b sin( a  b) (4.1) , cos a.cos b sin(a  b) (4.2), tan a.tan b . tan a  tan b 1 tan( a  b) (4.3). 1 1 1   0 Ví dụ 9: Giải phương trình sau: sin x.sin 2 x sin 2 x.sin 3 x sin 3 x.sin 4 x (9). Lời giải: ĐK: sin 3x 0, sin 4 x 0 , Áp dụng CT (4.1) ta có: cot x  cot 2 x cot 2 x  cot 3 x cot 3 x  cot 4 x   0 sin x sin x sin x   cot x cot 4 x  x k (k  Z) 3. (9) . 11.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 1 1 1   ...  0 (n  N, n 3) sin x.sin 2 x sin 2 x.sin 3 x sin( n  1) x.sin nx Baì học kinh nghiệm:  cotx=cot(nx). Ví dụ 10: Giải phương trình sau: tan x.tan 2 x  tan 2 x.tan 3x  tan 3x.tan 4 x  3 0 (10) Lời giải: ĐK: cos 3x 0, cos4 x 0, cosx 0, cos2x 0 , áp dụng CT (4.3) ta có: tan 2 x  tan x tan 3 x  tan 2 x tan 4 x  tan 3x  1  1  1  3 0 tan(2 x  x) tan(3 x  2 x) tan(4 x  3 x) tan 2 x  tan x  tan 3 x  tan 2 x  tan 4 x  tan 3 x  0 tan x tan 4 x  tan x  0  tan 4 x tan x  4 x  x  k tan x   x k (k  Z) 3. (10) . Baì học kinh nghiệm:. tan x.tan 2 x  tan 2 x.tan 3 x  ...  tan( n  1) x.tan nx  ( n  1) 0 (n  N, n 3)  tan nx=tanx Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 1 1 1 1    0 1. sin 3x.sin 6 x sin 6 x.sin 9 x sin 9 x.sin12 x sin12 x.sin15 x.   cot 3x cot15 x . 2. tan x.tan 2 x  tan 2 x.tan 3 x  tan 3 x.tan 4 x  tan 4 x.tan 5 x  4 0.   tan 5 x tan x . 2.2 Tìm các công thức lượng giác phù hợp giải các phương trình lượng giác chứa * cung nx ( n  N ) và các bài toán áp dụng. Hướng dẫn học sinh phân tích đề bài phát hiện công thức lượng giác phù hợp với mỗi phương trình lượng giác từ đó giải nhanh, chính xác các phương trình lượng *. giác chứa cung nx ( n  N ). Sau mỗi dạng các em tự rút ra cho mình bài học kinh nghiệm bằng cách tổng quát hóa cho mỗi dạng phương trình lượng giác chứa cung nx * ( n  N ).. 1 1 1   0 Ví dụ 11: Giải phương trình sau: sin 2 x sin 4 x sin 8 x (11). 12.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( 1 1 sin 2a ) , vì vậy các em tìm xem sin 2a được biến đổi thành biểu thức nào?. Ta có :. 1 1 sin a sin(2a  a) sin 2a cos a  cos 2a sin a     =cota-cot2a sin 2a sin 2a sin a.sin 2a sin a.sin 2a sin a sin 2 a. 1 cot a  cot 2a (sin2a 0) Học sinh chốt được công thức : sin 2a (5). Vận dụng công thức (5) với sin 8 x 0 ta có : (11)  cot x  cot 2 x  cot 2 x  cot 4 x  cot 4 x  cot 8 x 0  cot x  cot 8 x 0   cot 8 x cot x  8 x x  k  x k (k  Z) 7. ( t/m). n Bài học kinh nghiệm: Với sin 2 x 0 ta có:. 1 1 1   ...  0  cot x cot(2 n x) (n  N, n 2) n sin 2 x sin 4 x sin 2 x. Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 1 1 1   0 1. sin 4 x sin 8 x sin16 x. ( cot 2 x cot16 x). 1 1 1 1    0 2. sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin16 x. ( cot x cot16 x ). tan x tan 2 x tan 4 x   0 Ví dụ 12: Giải phương trình sau: cos 2 x cos 4 x cos8 x (12). Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( tan a tan a cos 2a ) , vì vậy các em tìm xem cos 2a được biến đổi thành biểu thức nào? tan a sin a sin(2a  a)   cos 2a cos a.cos 2a cos a.cos 2a sin 2a.cos a  cos 2a sin a  cos a.cos 2a = tan2a-tan a tan a = tan2a-tan a ( coa 0, cos2a 0) Học sinh chốt được công thức : cos 2a (6) 13.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Vận dụng công thức (6) , với cos8 x 0, cos4x 0, cos2x 0 ta có : (12)  tan 2 x  tan x  tan 4 x  tan 2 x  tan 8 x  tan 4 x 0  tan 8 x tan x   8 x  x  k  x k (k  Z) ( t/m ) 7. Bài học kinh nghiệm:. n Với cos 2 x 0, ....cos2 x 0. tan x tan 2 x tan 2n  1 x   ...  0  tan 2n x tan x ( n  N, n 2) cos 2 x cos 4 x cos 2n x. Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: tan x tan 2 x tan 4 x tan 4 x    0 1. cos 2 x cos 4 x cos8 x cos8 x.   tan 8 x tan x . tan 2 x tan 4 x tan 8 x tan16 x    0 2. cos 4 x cos8 x cos16 x cos 32 x.   tan 32 x tan 2 x . cos x cos 3x cos 9 x   0 Ví dụ 13: Giải phương trình sau: sin 3x sin 9 x sin 27 x (13). Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( cos a cos a sin 3a ) , vì vậy các em tìm xem sin 3a được biến đổi thành biểu thức nào?. Ta có: 1 1 sin 2a sin(3a  a) cos a sin a.cos a   2 2 sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a 1 (sin 3a.cos a  cos 3a.sin a) 1 =2  (cot a  cot 3a) (sina 0, sin 3a 0) sin a.sin 3a 2. Học sinh chốt được công thức : Vận dụng công thức (7) , với. cos a 1  (cot a  cot 3a) sin 3a 2. sin 27 x 0  x k. ( sin 3a 0).  27 ta có:. 1 (cot x  cot 3 x  cot 3 x  cot 9 x  cot 9 x  cot 27 x) 0 2   cot 27 x cot x  27 x  x  k  x k (k  Z) (t/m) 26 14. (13) . (7).

<span class='text_page_counter'>(17)</span> n 1 Bài học kinh nghiệm: với sin 3 x 0. cos x cos 3x cos 3n x   ...  0  cot x cot 3n 1 x n 1 sin 3x sin 9 x sin 3 x. Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: cos 3 x cos 9 x cos 27 x   0 1. sin 9 x sin 27 x sin 54 x.   cot 3x cot 54 x . cos x cos 3x cos 9 x cos 27 x    0 2. sin 3x sin 9 x sin 27 x sin 54 x.   cot x cot 54 x . cos 2 x cos 6 x cos18 x   0 Ví dụ 14: Giải phương trình sau: sin 3x sin 9 x sin 27 x (14). Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( cos 2a cos 2a sin 3a ) , vì vậy các em tìm xem sin 3a được biến đổi thành biểu thức nào?. Ta có: 1 (sin 3a  sin a) cos 2a sin a.cos 2a 2 1 1 1    (  ) sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a 2 sin a sin 3a. Học sinh chốt được công thức : Vận dụng công thức (8), với. cos 2a 1 1 1  (  ) sin 3a 2 sin a sin 3a. sin 27 x 0  x k. ( sin 3a 0). (8).  27 ta có:. 1 1 1 1 1 1 1 (      ) 0 2 sin x sin 3 x sin 3 x sin 9 x sin 9 x sin 27 x  27 x  x  k 2 1 1    sin 27 x sin x   sin x sin 27 x  27 x   x  k 2. (14) .    x k 13  (k  Z) (t/m) x  k   28 14 n 1 Bài học kinh nghiệm: với sin 3 x 0. cos 2 x cos 6 x cos 3n.2 x 1 1   ...  0   0  sin 3n 1 x sin 3 x (n  N* ) n 1 n 1 sin 3x sin 9 x sin 3 x sin 3 x sin 3 x 15.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: cos 2 x cos 6 x cos18 x cos 54 x    0 1. sin 3x sin 9 x sin 27 x sin 81x.   sin 81x sin 3x . cos 6 x cos18 x cos 54 x cos162 x    0 2. sin 9 x sin 27 x sin 81x sin 243x.   sin 243x sin 9 x . sin x sin 3x sin 9 x   0 Ví dụ 15: Giải phương trình sau: cos 3x cos 9 x cos 27 x (15). Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( sin a sin a cos 3a ) , vì vậy các em tìm xem cos 3a được biến đổi thành biểu thức nào?. Ta có: sin a 1 2sin a.cos a 1 sin 2a  .  cos 3a 2 cos a.cos 3a 2 cos a.cos 3a 1 sin(3a  a) 1   (tan 3a  tan a ) 2 cos a.cos 3a 2 sin a 1  (tan 3a  tan a ) Học sinh chốt được công thức : cos 3a 2. ( cosa 0, cos3a 0). (9). Vận dụng công thức (9), với cos 27 x 0 ta có : 1 (tan 3 x  tan x  tan 9 x  tan 3 x  tan 27 x  tan 9 x) 0 2   tan 27 x tan x  27 x x  k  x k ( k  Z) (t / m) 26. (15) . n Bài học kinh nghiệm: với cos 3 x 0 ta có phương trình:. sin x sin 3x sin 3n  1 x   ....  0  tan 3n x tan x cos 3 x cos 9 x cos 3n x. (n  N* ). Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: sin x sin 3x sin 9 x sin 27 x    0 1. cos 3x cos 9 x cos 27 x cos81x sin 3 x sin 9 x sin 27 x   0 2. cos 9 x cos 27 x cos 81x. (  tan 81x=tan x). (  tan 81x=tan 3x) 16.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> sin 3 x 1 1  tan3x- =0 2 3. cos 9 x 2. (  tan 9x -1=0). cos 5 x cos10 x cos 20 x   3 Ví dụ 16: Giải phương trình sau: cos x cos 2 x cos 4 x (16). Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( cos 5a cos 5a cos a ) , vì vậy các em tìm xem cos a được biến đổi thành biểu thức nào?. Ta có: cos 5a cos 5a  cos 3a  (cos 3a  cos a )  cos a =2cos4a.cosa-2cos2a.cosa+cosa =cosa.(2cos4a-2cos2a+1) cos 5a  2cos4a-2cos2a+1 cos a cos 5a 2cos4a-2cos2a+1 ( cosa 0) Học sinh chốt được công thức : cos a (10) 1 2cos4a-2cos2a+1  cos 5a Hoặc công thức suy rộng: cos a. ( cosa 0, cos5a 0). ( 11). Vận dụng công thức (10), với cos x 0, cos 2 x 0, cos 4 x 0 ta có : (16)  2 cos 4 x  2 cos 2 x  1  2 cos8 x  2cos 4 x  1  2 cos16 x  2 cos8 x 1 3.   x  k   16 x 2 x  k 2 7  cos16x=cos2x     16 x  2 x  k 2  x k   9. (k  Z) ( t/m). n Bài học kinh nghiệm: với cosx 0, cos 2x 0,.....cos 2 x 0 ta có phương trình:. cos 5 x cos10 x cos 5.2n x   ...  n  1  cos 4.2 n x=cos2x (n  N) n cos x cos 2 x cos 2 x. Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: cos 5 x cos10 x cos 20 x cos 40 x    4 1. cos x cos 2 x cos 4 x cos8 x. 2..   cos 32 x cos 2 x . cos10 x cos 20 x cos 40 x cos80 x    4 cos 2 x cos 4 x cos8 x cos16 x.   cos 64 x cos 4 x  17.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> cos 5 x  2 cos 2 x 0 3. cos x. ( 2 cos 4 x  1 0 ). cos 5 x  2 cos 4 x 0 4. cos x. 5.. 2 cos 4 x  2 cos 2 x . ( 2 cos 2 x  1 0 ). 1 1  cos 5 x cos x. ( vận dụng công thức (11) với: cos x 0, cos 5 x 0 ta có: 1 1 1  cos 5 x cos x 1 2 cos 4 x  2 cos 2 x 1  2 cos 4 x  2 cos 2 x 1  1  cos 5 x cos 5 x  1    2 cos 4 x  2 cos 2 x  .   1 0 )  cos 5 x . (5)  2 cos 4 x  2 cos 2 x  1 . Ví dụ 17: Giải phương trình sau: sin 5 x sin10 x sin 20 x   tan x  tan 2 x  tan 4 x cos x cos 2 x cos 4 x (17). Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( sin 5a sin 5a cos a ) , vì vậy các em tìm xem cos a được biến đổi thành biểu thức nào?. Ta có: sin 5a sin 5a  sin 3a  (sin 3a  sin a)  sin a =2sin4a.cosa-2sin2a.cosa+sina sin a =cosa.(2cos4a-2cos2a+ ) cos a sin 5a  2cos4a-2cos2a+tan a cos a sin 5a 2cos4a-2cos2a+tana Học sinh chốt được công thức : cos a. ( cosa 0). Vận dụng công thức (12) với cos x 0, cos 2 x 0, cos 4 x 0 ta có :. 18. (12).

<span class='text_page_counter'>(21)</span> (17)  2 cos 4 x  2 cos 2 x  tan x  2 cos8 x  2 cos 4 x  tan 2 x  2 cos16 x  2 cos8 x  tan 4 x tan x  tan 2 x  tan 4 x.    x k 7  16 x 2 x  k 2  cos16x=cos2x     16 x  2 x  k 2  x k   9. Bài học kinh nghiệm:. (k  Z) ( t/m). n với cosx 0, cos 2x 0,.....cos 2 x 0 ta có phương trình:. sin 5 x sin10 x sin 5.2 n x   ...  tan x  tan 2 x  ....  tan 2 n x  cos 4.2 n x=cos2x (n  N) n cos x cos 2 x cos 2 x. Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: sin 5 x sin10 x sin 20 x sin 40 x    tan x  tan 2 x  tan 4 x  tan 8 x 1. cos x cos 2 x cos 4 x cos8 x.   cos 32 x cos 2 x  2.. cos10 x cos 20 x cos 40 x cos 80 x    tan 2 x  tan 4 x  tan 8 x  tan16 x cos 2 x cos 4 x cos8 x cos16 x.   cos 64 x cos 4 x  sin 5 x cos 5 x  4 3. sin x cos x sin 5 x 2 cos 4 x  2 cos 2 x  1, sin x cos 5 x 2 cos 4 x  2 cos 2 x  1 ( áp dụng các công thức cos x. Ví dụ 18: Giải phương trình sau:. ta được cos 2 x 1 ). sin 2 x sin 2 3 x sin 2 9 x   0 cos 3x cos 9 x cos 27 x (18). Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( sin 2 a sin 2 a cos 3a ) , vì vậy các em tìm xem cos 3a được biến đổi thành biểu thức nào?. Ta có:. 19.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> sin 2 a 1 4 cos a.sin 2 a 1 2sin 2 a.sin a   cos 3a 4 cos a.cos 3a 4 cos a.cos 3a 1 cos 3a  cos a 1 1 1   (  ) 4 cos a.cos 3a 4 cos 3a cos a. Học sinh chốt được công thức :. sin 2 a 1 1 1  (  ) cos 3a 4 cos 3a cos a. ( cos 3a 0). (13). Vận dụng công thức (13) với cos 9 x 0 ta có : 1 1 1 1 1 1 1 (      ) =0 4 cos 3 x cos x cos 9 x cos 3 x cos 27 x cos 9 x  27 x  x  k 2 1 1    cos 27 x cos x   cos 27 x cos x  27 x  x  k 2. (19) .    x k 13   x k   14. (k  Z). Bài học kinh nghiệm:. n 1 với cos 3 x 0 ta có phương trình:. sin 2 x sin 2 3 x sin 2 3n x   ...  0  cos 3n 1 x cos x cos 3 x cos 9 x cos 3n 1 x. (n  N). Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: sin 2 x sin 2 3x sin 2 9 x sin 2 27 x sin 2 81x     0 1. cos 3 x cos 9 x cos 27 x cos81x cos 243x. 2.. sin 2 3 x sin 2 9 x sin 2 27 x   0 cos 9 x cos 27 x cos81x.   cos 243x cos x    cos81x cos 3 x . sin 2 x sin 2 3 x 1 1    0 3. cos 3 x cos 9 x 4 cos x 4.   cos 9 x 1. 4sin x 12sin 3 x 36sin 9 x 27    1 Ví dụ 19: Giải phương trình sau: 1  2 cos 2 x 1  2 cos 6 x 1  2 cos18 x sin 27 x (19). Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( 4sin a 4sin a 1  2 cos 2a ) , vì vậy các em tìm xem 1  2 cos 2a được biến đổi thành biểu thức nào?. Ta có: 20.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> 4sin 3 a 3 1   sin a.sin 3a sin 3a sin a 4sin a 3 1 4sin a 3 1       sin 3a sin 3a sin a 1  2 cos 2a sin 3a sin a sin a 4sin 3 a 3sin a  sin 3a . Học sinh chốt được công thức :. 4sin a 3 1   1  2 cos 2a sin 3a sin a. ( sin3a 0). (14). Vận dụng công thức (14) , với sin 27 x 0 ta có : 3 1 9 3 27 9 27    +  = 1 sin 3x sin x sin 9 x sin 3x sin 27 x sin 9 x sin 27 x   sin x=1  x= +k2 ( k  Z)  t / m 2. (19) . Bài học kinh nghiệm:. n với ta có phương trình: với sin 3 x 0 ta có:. 4sin x 12sin 3x 4.3n  1 sin 3n  1 x 3n   ...   1 1  2cos 2 x 1  2cos 6 x 1  2 cos(2.3n  1 x) sin 3n x  sin x 1. Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 1.. 2.. 4sin x 12sin 3 x 36sin 9 x 108sin 27 x 81     1 1  2cos 2 x 1  2 cos 6 x 1  2 cos18 x 1  2cos 54 x sin 81x.   sin x 1. 2 cos 2 x  3 4cos 4 x  6 8cos18 x  12 8   1  cos 3 x cos 9 x cos 27 x cos 27 x ( cos x 1). sin 2 x.cos 2 x sin 2 3x.cos 6 x sin 2 9 x.cos18 x   0 2 cos 2 9 x cos2 27 x Ví dụ 20: Giải phương trình sau: cos 3x (20). Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? ( sin 2 a.cos 2a sin 2 a.cos 2a cos 2 3a ) , vì vậy các em tìm xem cos 2 3a được biến đổi thành biểu thức nào?. Ta có:. 21.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> sin 2 a.cos 2a 1 2sin 2a.sin 2a.cos 2a  cos 2 3a 8 cos 2 3a.cos 2 a 1 sin(3a  a).sin(3a  a) = 8 cos2 3a.cos 2 a 1 (sin 3a cos a  cos 3a sin a).(sin 3a cos a  cos 3a sin a) = 8 cos2 3a.cos 2 a 1 (sin 2 3a cos 2 a  cos 2 3a sin 2 a). = 8 cos 2 3a.cos 2 a 1 = (tan 2 3a  tan 2 a) 8. Học sinh chốt được công thức :. 8sin 2 a.cos 2a = tan 2 3a  tan 2 a 2 cos 3a ( cos 3a 0 ) (15). Vận dụng công thức (15), với sin 27 x 0 ta có : (20)  tan 2 3 x  tan 2 x  tan 2 9 x  tan 2 3 x  tan 2 27 x  tan 2 9 x 0  tan 2 27 x tan 2 x.   x  k   tan 27 x tan x 26    tan 27 x  tan(  x )   x k   28. Bài học kinh nghiệm:. ( k  Z). n với ta có phương trình: với cos3 x 0 ta có:. sin 2 x.cos 2 x sin 2 3 x.cos 6 x sin 2 3n  1 x.cos 2.3n  1 x   ...  0 cos 2 3 x cos 2 9 x cos 2 3n x  tan 2 3n x tan 2 x. 3. Tổ chức thực nghiệm và kết quả đối chứng 3.1: Hình thức tổ chức thực nghiệm: Để đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy với việc nắm vững kiến thức của học sinh, trước hết tôi theo dõi đánh giá hoạt động của cá nhân học sinh và các nhóm học sinh trong tiến trình dạy học căn cứ vào mục tiêu của buổi học. Kết hợp với cách đánh giá này, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 60 phút. Chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm đối tượng là học sinh lớp 11 trường THPT Trần Hưng Đạo. Nhìn chung, trình độ học sinh các lớp khảo sát thử nghiệm là tương đương nhau về tư duy, về khả năng tiếp thu kiến thức, đội tuyển học sinh giỏi trường chủ yếu ở lớp 11A1. - Lớp đối chứng là: 11A1 năm học 2015- 2016, sĩ số 45 - Lớp thực nghiệm là: 11A2, 11A3 năm học 2015- 2016, sĩ số 44, 38 22.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Giáo viên dạy các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng đều do một giáo viên dạy. Hình thức, nội dung giảng dạy : Lớp đối chứng 11A1: Giáo viên dạy theo nội dung và tiến trình dạy các bài tập như SGK, sách bài tập, sách tham khảo và tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia với phương pháp dạy học truyền thống ( gợi mở vấn đáp). - Lớp thực nghiệm 11A2, 11A3: Giáo viên dạy theo nội dung và tiến trình dạy các bài tập như sáng kiến kinh nghiệm theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy năng lực học sinh ( Dạy học theo nhóm, dạy học dự án, kết hợp với PP gợi mở vấn đáp). Khảo sát mức độ đáp ứng nội dung của học sinh với các tình huống bài tập mà giáo viên đưa ra, sự hứng thú và hoạt động của học sinh trong và sau tiết học, kiểm tra năng lực học sinh thông qua sản phẩm vận dụng sáng tạo của các nhóm. Tiến hành lấy phiếu thăm dò ý kiến học sinh, thực hiện kiểm tra 45 phút ở cả ba lớp, giáo viên chấm bài để thu thập thông tin, từ đó rút ra những bài học kinh nghiệm và tiếp tục điều chỉnh. Đề kiểm tra (Phụ lục 1): Các bài tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách tham khảo, đề thi Đại học, đề thi HSG các Tỉnh trong những năm vừa qua và giáo viên tự biên soạn. Thăm dò ý kiến học sinh( Phụ lục 2) : Lấy ý kiến góp ý từ kênh thông tin học sinh về phương pháp tổ chức các hoạt động dạy học, tính mới, tính hấp dẫn của đề tài. Thời gian tiến hành thực nghiệm trong tuần 7, và 8 của học kỳ I năm học 20152016. 3.2 Xử lý kết quả thực nghiệm bằng thống kê toán học : Để đánh giá và so sánh chất lượng kiến thức của học sinh trong các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng Tôi vận dụng kiến thức nội môn chương thống kê ( Đại số lớp 10 ): Bảng 1: Phân bố tần số kết quả bài kiểm tra. Lớp. Thực nghiệm. Số HS. 82. Điểm TB. Điểm số. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 0. 0. 0. 0. 3. 11. 7. 35. 11. 10. 5. 23. 7,1.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Đối chứng. 45. 0. 0. 1. 3. 3. 10. 15. 11. 2. 0. 0. 5,4. Bảng 2: Bảng phân số tần số, tần suất ghép lớp LỚP THỰC NGHIỆM CÁC LỚP ĐIỂM KIỂM TRA. LỚP ĐỐI CHỨNG. TẦN SỐ. TẦN SUẤT. TẦN SỐ. TẦN SUẤT.  0; 4 . 0. 0%. 4. 9%.  4; 6 . 14. 17%. 13. 28%.  6;8. 42. 51%. 26. 58%.  8;9 . 11. 14%. 2. 5%.  9;10. 15. 18%. 0. 0%. Từ bảng trên ta vẽ được đường gấp khúc tần suất ghép lớp của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. 0; 4 (Chú thích : Lớp 1:   ,. 4; 6 6;8 8;9 9;10  Lớp 2:   , Lớp 3:   , Lớp 4:   , Lớp 5:  ). Bảng 3: Các tham số phân tích Tham số Lớp Lớp TN (82) Lớp ĐC (45). X (Số TBC). S 2 (Phương sai). 7,1 5,4. 17,3 16,9 24. s 2 ( Độ lệch chuẩn). 4,2 4,1.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 3.3 Đánh giá, phân tích kết quả - Điểm trung bình cộng của lớp thực nghiệm (7,1) cao hơn lớp đối chứng (5,4). - Đường gấp khúc tần suất ghép lớp của lớp thực nghiệm với lớp điểm nhỏ hơn 7 nằm bên dưới của lớp đối chứng điều này chứng tỏ lớp các điểm mức trung bình của lớp thực nghiệm ít hơn lớp đối chứng. Đường gấp khúc tần suất ghép lớp của lớp thực nghiệm với lớp điểm lớn hơn hoặc bằng 7 nhỏ hơn 8 nằm bên dưới của lớp đối chứng điều này chứng tỏ lớp các điểm mức khá của lớp thực nghiệm ít hơn lớp đối chứng . Đường tần suất ghép lớp của lớp thực nghiệm với lớp điểm lớn hơn hoặc bằng 8 nằm bên trên của lớp đối chứng điều này chứng tỏ lớp các điểm mức giỏi của 9;10  lớp thực nghiệm nhiều hơn lớp đối. Lớp điểm  của lớp đối chứng là không. có.Điều này chứng tỏ lớp thực nghiệm giải quyết các bài toán mức vận dụng cao là sáng tạo hơn, sự phân tích đề bài tìm công thức vận dụng giải các phương trình lượng giác đòi hỏi có tư duy sáng tạo là tốt hơn lớp đối chứng. Qua kết quả phân tích bằng cả định tính và định lượng, tôi thấy rằng kết quả học tập của học sinh ở lớp thực nghiệm khá hơn lớp đối chứng. Như vậy có thể nói những học sinh được học chuyên đề này có hiệu quả hơn ! Kết luận: Sự khác nhau giữa X TN > X ĐC là có ý nghĩa với xác suất sai lầm ở lớp thực nghiệm thực sự tốt hơn lớp đối chứng . 2 2 Phương sai STN > S DC điều này chứng tỏ độ phân tán điểm của lớp thực nghiệm. ít hơn của lớp đối chứng. Kết quả khảo sát thăm dò ý kiến học sinh về tính hấp dẫn, tính mới của đề tài, phương pháp tổ chức các hoạt động học tập của giáo viên, năng lực đạt được của học sinh. Qua kết quả thăm dò cho thấy: + Tất cả học sinh đều hào hứng với việc học tập thể hiện ở sự tập trung suy nghĩ tìm tòi sáng tạo trong giờ học, tích cực luyện tập, tích cực tự học, tự nghiên cứu, hoàn thành các yêu cầu GV đưa ra. 25.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> + Đa số học sinh hiểu bài phát hiện được công thức và vận dụng nhanh công thức giải đúng kết quả các bài tập được thể hiện bảng kết quả thực nghiệm ở trên. + 100% học sinh đều thích học chuyên đề này và mong muốn thường xuyên được học tập bằng các PP dạy học mới như đề tài đã áp dụng . +100% học sinh đều cho rằng phương pháp tổ chức các hoạt động học tập của giáo viên đã phát huy được tính sáng tạo của học sinh.. 26.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. Kết luận Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số phương trình lượng giác là một chuyên đề toán mà học sinh thường gặp trong các kỳ thi. Đây là một chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11; 12 và học sinh ôn thi ĐH; CĐ; ôn thi học sinh giỏi. Sáng kiến kinh nghiệm này cũng là một tư liệu tốt giúp giáo viên giảng dạy cho đối tượng học sinh: Giỏi; Khá; Qua quá trình giảng dạy; tôi nhận thấy: Sau khi đưa ra cách giải quyết mới như trên học sinh không còn lúng túng nữa và đã làm được phần lớn các bài tập đòi hỏi tính sáng tạo như lớp các bài tập vận dụng trong đề tài. Với kết quả thực nghiệm ở hai lớp dạy là 11A1; 11A2, 11A3 đã chứng tỏ đề tài giúp học sinh phần nào say mê, hứng thú và sáng tạo trong học tập, nghiên cứu. Điều đó làm cho các em tiếp thu bài tốt và khích lệ tinh thần học tập của các em. Thông qua kinh nghiệm này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kinh nghiệm quý báu, giúp tôi hoàn thành tốt hơn công việc giảng dạy của mình. Trên đây là kinh nghiệm của tôi trong dạy học chủ đề: “ Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 ”. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp; và các đồng chí trong hội đồng khoa học của Sở Giáo dục. Tôi xin chân thành cảm ơn. 2. Kiến nghị Qua quá trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tôi thấy để đạt kết quả cao, cần lưu ý một số điểm sau: a) Đối với giáo viên: - Cần tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh, sau mỗi tiết dạy cần có sự rút kinh nghiệm, hướng điều chỉnh cho các tiết 27.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> tiếp theo nhằm giúp các em hứng thú học tập, tích cực hợp tác với các Thày Cô hơn, hiểu bài hơn, tự học tự giác hơn và say mê nghiên cứu môn toán hơn . - Phải lựa chọn các bài tập phát huy được tính sáng tạo cho học sinh, kiên trì áp dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh. Trước khi dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật vững vàng về những kiến thức cơ bản liên quan. b) Đối với nhà trường: Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong trào đổi mới phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy năng lực học sinh, viết và áp dụng SKKN. c) Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo: Với các sáng kiến kinh nghiệm hay, tôi và nhiều đồng nghiệp mong muốn Sở GD và ĐT đưa lên trang “ Trường học kết nối ” để nhiều đồng nghiệp khác tham khảo và áp dụng hiệu quả các SKKN đã được HĐKH ngành đánh giá xếp loại. Cuối cùng xin trân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và các em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành SKKN này.. Quỳnh Phụ, tháng 5 năm 2017 Người viết. Nguyễn Văn Quý. 28.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Các bài giảng về phương trình lượng giác (Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên)) . [2]. Đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố. [3]. SGK Đại số 11 (CT chuẩn, CT nâng cao), NXB GD, 2006. [4]. Tuyển tập các đề thi Olympic. [5]. Tài liệu tập huấn :. DẠY HỌC VÀ KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP THEO ĐỊNH. HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH - Môn. 29. Toán –Cấp trung học phổ thông..

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Phụ lục 1 ĐỀ KIỂM TRA Thời gian làm bài: 45 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 7,0 điểm) Giải các phương trình sau: a).  3  4sin. 2. 3x  .  3  4sin 2 9 x  . sin x sin 3 x. tan x 1  tan 2 2 x  2  b) tan 2 x. c). sin 9 x  4cos 2 x  3  4 cos 2 3x  3 . 1 2. Câu 2 (3,0 điểm) Tìm công thức vận dụng và giải phương trình sau: 2cos 2 x  1 4 cos 6 x  1 8cos18 x  1 8   1  sin 3 x sin 9 x sin 27 x sin 27 x. Hết. 30.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Phụ lục 2 Trường THPT Trần Hưng Đạo. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM. Nhóm Toán. Độc lập – Tự do – Hạnh phúc PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN HỌC SINH. Để không ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy, phong trào đổi mới PP dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh, đề nghị các em học sinh với tinh thần trung thực, xây dựng cho ý kiến về chủ đề “ Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11”, đề nghị các em cung cấp những thông tin dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống mà các em lựa chọn. Nội dung đánh giá. Các mức độ đánh giá. 1. Em học chủ đề này có dễ hiểu không? 2. Em có thích học chủ đề này không?. Rất dễ hiểu. Dễ hiểu. Khó hiểu. Rất khó hiểu. Rất thích. Thích. Không thích lắm. Không thích. 3. Em thấy phương pháp tổ chức dạy học này của Cô giáo có phát huy được tính sáng tạo của em không ? 4. Các dạng bài tập vận dụng có phù hợp với khả năng tiếp thu của em không? 5. Em đã đọc được nội dung chuyên đề này ở đâu chưa?. Phát huy rất tôt. Phát huy tốt. Không phát huy lắm. Rất phù hợp. Phù hợp. Chưa phù hợp lắm. 6. Về nhà em có tự mình ra được các bài tập tương tự và vận dụng công thức giải được BT đó không? 7. Em có thích được học nâng cao các chuyên đề tương tự như thế này không?. Có làm đầy đủ. Có nhưng chưa đầy đủ. Làm được rất it. Không làm được. Rất thích. Thích. Không thích lắm. Không thích. 8. Em có hay đọc tài liệu tham khảo không ?. Thường xuyên. Thi thoảng. Không đọc. Chưa gặp bao Có một phần nhỏ giờ. Có. Không phát huy. Chưa phù hợp Giống hoàn toàn. Những kiến nghị của em đối với Cô giáo và nhà trưởng. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Xin cám ơn sự hợp tác của các em học sinh đã tham gia.. XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 31.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO. Tổng điểm: …………………Xếp loại: ………………………. T.M HỘI ĐỒNG KHOA HỌC. CHỦ TỊCH -HIỆU TRƯỞNG (Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu). 32.

<span class='text_page_counter'>(35)</span>