De thi hsg toa 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI cÊp tØnh LỚP 9 thcs NĂM HỌC 2009-2010. Môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang. ĐỀ CHÍNH THỨC. C©u 1 (4 điểm) a) Chøng minh r»ng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hÕt cho 3 víi mäi sè tù nhiªn n. b) T×m sè c¸c sè nguyªn n sao cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph¬ng ? C©u 2 (5 điểm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2  2 x  3 2 2 x 2  4 x  3. b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  x 2  y 2 1  xy  2 2  x  y 3 xy  11. C©u 3 (3 điểm) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n:  x  y  z 2010  1 1 1 1  x  y  z  2010  . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: C©u 4 (6 điểm). P  x 2007  y 2007   y 2009  z 2009   z 2011  x 2011 . Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = R 2 . Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi (C; R1) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại A, (D; R2) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại B. Hai đờng tròn (C; R1) vµ (D; R2) c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai M. a) Trong trêng hîp P kh«ng trïng víi trung ®iÓm d©y AB, chøng minh OM//CD vµ 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đờng tròn. b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đờng tròn cố định và đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N. c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? C©u 5 (2 điểm) Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: xy + yz + zx = 670. Chøng minh r»ng x y z 1  2  2  x  yz  2010 y  zx  2010 z  xy  2010 x  y  z 2. ----------------------------- HÕt -----------------------------Hä vµ tªn thÝ sinh ..................................................................... SBD ............................. Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010. MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 6 trang). I. Một số chú ý khi chấm bài  Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.  Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.  Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.. II. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm C©u 1 (4 điểm) a) Chøng minh r»ng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hÕt cho 3 víi mäi sè tù nhiªn n. b) T×m sè c¸c sè nguyªn n sao cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph¬ng ? ĐÁP ÁN. BIỂU ĐIỂM. a) Theo gi¶ thiÕt n lµ sè tù nhiªn nªn: 2 – 1, 2 , 2 + 1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp.. 0,5 điểm. V× tÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 3 nªn (2n - 1).2n.(2n + 1) chia hÕt cho 3. 0,5 điểm. n. 2. n. n. n.  1  2n  1. MÆt kh¸c (2n, 3) = 1 nªn chia hÕt cho 3 VËy A chia hÕt cho 3 víi mäi sè tù nhiªn n b) Ta thÊy B lµ sè chÝnh ph¬ng  4B lµ sè chÝnh ph¬ng §Æt 4B = k2 (k  N) th× 4B = 4n2 – 4n + 52 = k2  (2n-1-k)(2n-1+k) =-51. 0,5 điểm 1,0 điểm. V× 2n-1+k  2n-1-k nªn ta cã c¸c hÖ  2n  1  k 3  2n  1  k 1  2n  1  k 51  2n  1  k 17 (1)  (2)  (3)  (4)   2n  1  k  51 2n  1  k  17 2n  1  k  1 2n  1  k  3. Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm đợc n = -12, n =-3, n =13, n =4  12;  3; 4;13 VËy c¸c sè nguyªn cÇn t×m lµ n  . 0,5 điểm. 1,0 điểm. C©u 2 (5 điểm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2  2 x  3 2 2 x 2  4 x  3. b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  x 2  y 2 1  xy  2 2  x  y 3 xy  11 ĐÁP ÁN. BIỂU ĐIỂM. 1 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2. a) Ta cã:. 2 x 2  4 x  3 2  x  1  1 1. nên tập xác định của phơng trình là R. 0,5 điểm. Phơng trình đã cho tơng đơng với 2 x 2  4 x  3  4 2 x 2  4 x  3  3 0 2 Đặt y  2 x  4 x  3 1 thì phơng trình đã cho trở thành. y 2  4 y  3 0  y 1    y 3. Víi y = 1 ta cã. 2. 1,0 điểm. (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn). 2. 2 x  4 x  3 1  2 x  4 x  3 1  x=1. 2 2 Víi y = 3 ta cã 2 x  4 x  3 3  2 x  4 x  3 9. 1,0 điểm.  x  1    x 3. VËy ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm x1 = 1, x2 = -1, x3 =3. b) Hệ đã cho tơng đơng với  x 2  xy  y 2 1  2 2 2 2 11 x  xy  y   x  3 xy  y  x 2  xy  y 2 1    x  2 y   5 x  3 y  0 (*). 11 x 2  xy  y 2  11  2 2  x  3xy  y 11 . 1,0 điểm. Tõ hÖ (*) ta suy ra  x 2  xy  y 2 1  x 2  xy  y 2 1    x  2 y 0 (I) hoÆc  5 x  3 y 0 (II). Giải hệ (I) ta tìm đợc (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1) HÖ (II) v« nghiÖm VÆy hÖ cã nghiÖm (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1).. 0,5 điểm 1,0 điểm. C©u 3 (3 điểm) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n:  x  y  z 2010  1 1 1 1  x  y  z  2010  TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:. P  x 2007  y 2007   y 2009  z 2009   z 2011  x 2011  §¸p ¸n. biÓu ®iÓm. Từ gi¶ thiÕt suy ra x, y, z kh¸c 0 vµ 1 1 1 1    x y z xyz. 2 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010. 0,5 điểm.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1 1  1        0 x y z x  y  z     xy xy   0 xy z  x  y  z. 0,5 ®iÓm.  1  1   x  y   0 2   xy xz  yz  z    x  y   xz  yz  z 2  xy  0. 0,5 điểm 0,5 điểm.   x  y    xz  z 2    yz  xy   0   x  y   z  z  x   y  z  x   0. 0,5 điểm.  x  y   y  z   z  x  0.   x 2007  y 2007  x 2007  y 2007 0  x  y 0  x  y  z  y 0   y  z   y 2009  z 2009   y 2009  z 2009 0     2011 2011   z 2011  x2011 0   x  z  0 z  x z  x     . 0,5 điểm nªn P = 0. C©u 4 (6 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = R 2 . Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi (C; R1) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại A, (D; R2) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại B. Hai đờng tròn (C; R1) vµ (D; R2) c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai M. a) Trong trêng hîp P kh«ng trïng víi trung ®iÓm d©yAB, chøng minh OM//CD vµ 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đờng tròn. b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên cung tròn cố định và đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm N cố định. c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? §¸p ¸n. biÓu ®iÓm. 3 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> O. M. C A. D. K. H. B. P. N. a) Nèi CP, PD ta cã  ACP,  OAB lÇn lît c©n t¹i C, O nªn  CPA =  CAP =  OBP do đó CP//OD (1) T¬ng tù  DBP,  OAB lÇn lît c©n t¹i D, O nªn  DPB =  DBP =  OAB nªn OD//CP (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra tø gi¸c ODPC lµ h×nh b×nh hµnh Gäi CD c¾t MP t¹i H c¾t OP t¹i K th× K lµ trung ®iÓm cña OP Theo tính chất 2 đờng tròn cắt nhau ta có CD  MP  H là trung điểm MP Vậy HK//OM, do đó CD//OM Ta phải xét 2 trờng hợp AP < BP và AP > BP, đáp án chỉ yêu cầu xét 1 trờng hîp gi¶ sö AP < BP V× tø gi¸c CDOM lµ h×nh b×nh hµnh nªn OC = DP, DP = DM = R2 nªn tø gi¸c CDOM là hình thang cân do đó 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đờng tròn 2 2 2 2 b) XÐt tam gi¸c AOB cã: OA  OB 2 R  AB nªn tam gi¸c AOB vu«ng c©n t¹i O Vì 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc 1 đờng tròn (kể cả M trùng O) nên  COB =  CMD (1). 4 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010. 0,5 điểm. 0,5 điểm 0,5 điểm. 0,5 điểm.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> XÐt  MAB vµ  MCD cã 1   MAB =  MCD ( cïng b»ng 2 s® MP cña (C)) 1   MBD =  MDC ( cïng b»ng 2 s® MP cña D))   nên MAB đồng dạng với MCD (g.g) Vì  MAB đồng dạng với  MCD suy ra  AMB =  COD hay  AMB =  AOB = 90. 0,5 điểm. 0,5 điểm. 0. Do AB cố định nên điểm M thuộc đờng tròn tâm I đờng kính AB 0 Ta cã ACP BDP AOB 90 nªn 1 0  AMP = 2  ACP = 45 (gãc néi tiÕp vµ gãc ë t©m cña (C)) 1 0  BMP = 2  BDP = 45 (gãc néi tiÕp vµ gãc ë t©m cña (D)) Do đó MP là phân giác AMB Mà  AMB =  AOB =900 nên M  đờng tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB. Giả sử MP cắt đờng tròn (I) tại N thì N là trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định c)  MAP vµ  BNP cã  MPA =  BPN (®®),  AMP =  PBN (gãc néi tiÕp cùng chắn 1 cung) nên  MAP đồng dạng với  BNP (g.g). 0,5 điểm. 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm. 2. PA PM AB 2 R 2  PA  PB    PM .PN PA.PB     2 4 2 (không đổi)   Do đó PN PB R2 VËy PM.PN lín nhÊt b»ng 2 khi PA = PB hay P lµ trung ®iÓm d©y AB. 0,5 điểm. V× tam gi¸c AMB vu«ng t¹i M nªn 1 1 AB 2 R 2 S AMB  AM .BM   AM 2  BM 2    2 4 4 2 2 R DiÖn tÝch tam gi¸c AMB lín nhÊt b»ng 2 khi PA = PB hay P lµ trung ®iÓm. 0,5 điểm. d©y AB CÂU 5 (2 điểm) Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: xy + yz + zx = 670. Chøng minh r»ng x y z 1  2  2  x  yz  2010 y  zx  2010 z  xy  2010 x  y  z 2. §¸p ¸n. biÓu ®iÓm. Trớc tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với  a, b, c  R và x, y, z > 0 ta có a 2 b2 c 2  a  b  c     x y z x yz. 2. (*). a b c   x y z  DÊu “=” x¶y ra ThËt vËy, víi a, b  R vµ x, y > 0 ta cã a 2 b2  a  b    x y x y. 2. 5. (**). Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010. 0,5 điểm.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> . a. .  bx  ay . 2. y  b 2 x   x  y   xy  a  b  2. 0. 2. (luôn đúng). a b  x y  DÊu “=” x¶y ra. áp dụng bất đẳng thức (**) ta có 2. a2 b2 c 2  a  b  c2  a  b  c       x y z xy z xyz a b c   x y z  DÊu “=” x¶y ra. 2. áp dụng bất đẳng thức (*) ta có VT . x y z  2  2 x  yz  2010 y  zx  2010 z  xy  2010. . 2. x2 y2 z2   x  x 2  yz  2010  y  y 2  zx  2010  z  z 2  xy  2010 . .  x  y  z. x 3  y 3  z 3  3xyz  2010  x  y  z . x  x  yz  2010  2. Chó ý:. 0,5 điểm. 2. (1). x  x  xy  zx  1340   0 y  y 2  zx  2010   0 2. =. ,. vµ. z  z  xy  2010   0 2. Chøng minh:. x3  y 3  z 3  3xyz  x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  2. Do đó:.  x  y  z    x  y  z   3  xy  yz  zx     (2) 3 3 3 x  y  z  3xyz  2010  x  y  z  . 0,5 điểm. 2. 3  x  y  z    x  y  z   3  xy  yz  zx   2010    =  x  y  z. (3). Tõ (1) vµ (3) ta suy ra 2.  x  y  z VT  3  x  y  z DÊu “=” x¶y ra  x = y = z =. . 1 x yz. 0,5 điểm. 2010 3 .. Hết. 6 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 7 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>