Su dung vecto trong chung minh BDT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>A. PhÇn më ®Çu. I. Lý do thực hiện đề tài. 1. C¬ së lý luËn. Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chơng trình toán phổ th«ng. Nã cã mÆt trong tÊt c¶ c¸c bé m«n Sè häc, H×nh häc, §¹i sè, Lîng gi¸c vµ Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phơng pháp giải chúng. Chính vì thế, bất đẳng thức là chuyên đề đợc mọi ngời quan tâm đến rất nhiều. Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phơng pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy luËn, dù ®o¸n,… 2. C¬ së thùc tiÔn. Khi học toán, học sinh thờng thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải đợc. Nguyên nhân là học sinh không biết cách lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải.Vì vậy một bài toán đơn giản cũng trở nên “ vô cùng khó” đối với các em. Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lợng dạy và học về bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu đề tài: “Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức”. II. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu. 1. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn. 2. Ph¬ng ph¸p ®iÒu tra thùc tiÔn . 3. Ph¬ng ph¸p thùc nghiÖm s ph¹m. 4. Ph¬ng ph¸p thèng kª. III. §èi tîng nghiªn cøu. Các bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tính chất của vectơ. IV. Tµi liÖu tham kh¶o. 1. S¸ch gi¸o khoa to¸n THPT. 2. S¸ch bµi tËp to¸n THPT. 3. Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức của Giáo s Phan Huy Khải. 4. B¸o to¸n häc vµ tuæi trÎ. V. øng dông. Dïng lµm tµi liÖu tham kh¶o cho gi¸o viªn vµ häc sinh trong viÖc d¹y vµ häc vÒ bất đẳng thức. B. PhÇn néi dung..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> I. Nh¾c l¹i c¸c tÝnh chÊt cña vect¬. 2 2 ⃗a ¿ =|⃗a| ≥ 0 1. TÝnh chÊt 1: . ¿ §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi ⃗a =⃗0 2. TÝnh chÊt 2:. |a⃗|+|⃗b|≥|a⃗ + ⃗b| .. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a⃗ vµ ⃗b cïng chiÒu. 3. TÝnh chÊt 3:. |a⃗ . ⃗b|≤|⃗a|.|b⃗| . §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a⃗ vµ b⃗ cïng ph¬ng.. II. Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức. 1. Sö dông tÝnh chÊt 1. VÝ dô 1. Cho tam gi¸c ABC, chøng minh r»ng: cos2A + cos2B + cos2C − 3 . 2. Gi¶i: Gọi O, R lần lợt là tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta cã: ⃗ OA+ ⃗ OB+ ⃗ OC ¿2=⃗ OA 2 +⃗ OB2 +⃗ OC2 +2( ⃗ OA . ⃗ OB+ ⃗ OB . ⃗ OC+ ⃗ OC. ⃗ OA)≥ 0 ¿ ¿ ¿. Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. VÝ dô 2. Cho tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng: 6cosA.cosB.cosC cos2A + cos2B + cos2C (1). Gi¶i: Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển nhiên đúng vì khi đó vế trái âm, còn vế phải dơng. Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt các vectơ OM , ⃗ ON , ⃗ OP sao cho: ¿ ⃗ |OM|=cos A |⃗ ON|=cos B ⃗ |O P|=cos C ¿{{ ¿. vµ. ¿ ^ (⃗ OM , ⃗ ON)=π − C (⃗ ON , ⃗ OP)=π − ^ A ^ ⃗ ⃗ ( OP , OM)=π − B ¿{{ ¿. ¸p dông tÝnh chÊt (1), ta cã:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ⃗ OM+⃗ ON+ ⃗ OP ¿2 ≥0 ¿ ⇔⃗ OM2 +⃗ ON 2+ ⃗ OP2 +2 O ⃗ M .⃗ ON +2 O ⃗ N .⃗ OP+2 ⃗ OP. O ⃗ M ≥0 2. 2. 2. ⇔ cos A+ cos B+ cos C −2(cos A .cos B . cos C+cos A . cos B . cos C+cos A . cos B . cos C)≥ 0 ⇔ §iÒu ph¶i chøng minh.. 2. Sö dông tÝnh chÊt 2. Ta thờng sử dụng phơng pháp này khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thøc cã chøa tæng cña c¸c c¨n bËc hai mµ biÓu thøc trong dÊu c¨n bËc hai cã thÓ ®a vÒ tæng cña c¸c b×nh ph¬ng. VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: 2 (1) víi mäi a thuéc R. √ a2 +a+1 + √ a2 − a+1. √ 3 ¿2. Gi¶i: (1) ⇔. √ 3 ¿2. 2 2 1 2 1 a+ ¿ +¿ + −a ¿2 +¿ 2 2 ¿ ¿ √¿ √¿. 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt: 1 3 ⃗u=(a+ ; √ ) ; 2 2. 1 3 ⃗v =( − a ; √ ) 2 2. ¸p dông tÝnh chÊt 2, ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. VÝ dô 2. Chøng minh r»ng : √ x2 + xy+ y2 + √ y 2+yz+z 2 + √ z2 + zx+ x 2 √ 3(x+ y+ z) víi x,y,z > 0. Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt: y 3 ⃗u=( x + ; √ y ) ; 2 2. z 3 ⃗v =( y + ; √ z); 2 2. x 3 w =( z + ; √ x) ; ⃗ 2 2. Tõ tÝnh chÊt |u⃗|+|⃗v|+|⃗ w|≥|⃗u + ⃗v + ⃗ w| ta cã ®pcm. Theo cáh này ta có thể chứng minh rất nhanh đợc các bài toán sau đây: VÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi mäi x ta cã:. √ 2sin 2 x +4 +√ 2sin2 x − 2 √ 2 sin x+5 ≥ 17 VÝ dô 4: Cho a, b, c > 0 vµ ab + bc + ca = abc. Chøng minh r»ng:. √b 2+2 a 2 + √c 2 +2 b2 + √a 2+ 2c 2. ab. bc. ca. 3. VÝ dô 5: . . . 3. Sö dông tÝnh chÊt 3. Ví dụ 1. CMR với mọi a, b, c, d ta có bất đẳng thức: (3) |ab+ cd|≤ √ (a 2+ c2 )(b2 + d2 ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Gi¶i: §Æt ⃗u=(a , c ) ; ⃗v =(b ,d ) . ¸p dông tÝnh chÊt 3 ta cã ngay ®pcm. ¿ x + xy+ y 2=3 VÝ dô 2. Gi¶ sö y 2+ yz+ z 2=16 cã nghiÖm. ¿{ ¿ CMR: xy + yz + zx 8 2. Gi¶i: §Æt ⃗u=( y + x ; √ 3 x ) , 2. 2. 3 z ⃗v =( √ z ; y + ) 2 2. ¸p dông tÝnh chÊt (3) suy ra ®pcm. VÝ dô 3. Cho tam gi¸c ABC. §iÓm M thuéc mp(ABC). Chøng minh: ma.MA + mb.MB + mc.MC 1 (a2 + b2 + c2). 2. Gi¶i: Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC. 2 Ta cã GA . MA ≥ ⃗ GA . ⃗ MA=⃗ GA .⃗ MG+ GA T¬ng tù. 2 GB . MB≥ ⃗ GB .⃗ MG+GB 2. GC . MC≥ ⃗ GC ⃗ MG+GC. ⇒ GA . MA +GB . MB+ GC. MC ≥⃗ MG(⃗ GA +⃗ GB+ ⃗ GC)+GA 2+ GB2 +GC2=GA 2 +GB2 +GC2 ⇔. ma.MA + mb.MB + mc.MC 1 (a2 + b2 + c2)(§pcm) 2. 4. Sử dụng tính chất của vectơ đơn vị. Ví dụ 1: Xét ví dụ 1 ở phần 1, ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng cách kh¸c nh sau.: OM , ⃗ ON , ⃗ OP tho¶ m·n: Trªn mÆt ph¼ng ta dùng c¸c vect¬ ⃗ ¿ ⃗ |OM|=1 ⃗ |O N|=1 |⃗ OP|=1 ¿{{ ¿. vµ. ¿ ^ (⃗ OM , ⃗ ON)=2 C (⃗ ON , ⃗ OP)=2 ^ A ^ (⃗ OP , ⃗ OM)=2 B ¿{{ ¿. ¸p dông tÝnh chÊt (1), ta cã: 2 ⃗ OM+⃗ ON+ ⃗ OP ¿ ≥0 ¿ ^ ^ )≥ 0 ⇔ 1+1+1+2 cos( 2 C)+2 cos (2 ^ A)+2 cos (2 B. ⇔ cos 2 A+ cos 2 B+cos 2 C ≥ −. 3 (®pcm). 2. VÝ dô 2. Cho tam gi¸c ABC vµ c¸c sè thùc x, y, z. Chøng minh r»ng:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 yz cos 2 A+ xz cos 2 B+ xy cos 2 C ≥ − (x 2 + y 2 + z 2) 2. Giải: Giả sử đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán kính bằng 1. OA + y ⃗ OB+ z ⃗ OC¿ 2=(x 2 + y 2 + z 2)+2(xy cos 2 C+ xz cos 2 B+ yz cos 2 A ) Ta cã x ⃗ ¿. 0. Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. VÝ dô 3.Cho tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng:. √ 3 cos A +2 cos B+ 2 √3 cos C ≤ 4 Giải: Gọi ⃗e 1 ; e⃗ 2 ; ⃗e3 theo thứ tự là vectơ đơn vị của các cạnh BC, CA, AB. Ta cã: ¿ 2 ⃗e1 + √ 3 ⃗e 2+ ⃗e ¿2=4+3+1− 2¿ ¿. √ 3 cos A +2 cos B+ 2 √ 3 cos C ¿. 0. => √ 3 cos A +2 cos B+ 2 √3 cos C ≤ 4 (§pcm). Theo c¸ch nµy ta cã thÓ chøng minh c¸c bµi to¸n sau: VÝ dô 4. Cho tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng: cos A+cos B+ cos C ≤. 3 2. VÝ dô 5. Cho tam gi¸c ABC vµ sè thùc x. Chøng minh r»ng: cos A+ x (cos B+ cos C)≤. x2 +1 . 2. VÝ dô 6: . . . C. PhÇn kÕt luËn. I. KÕt qu¶ øng dông. Việc sử dụng vectơ để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức đã đợc tôi vận dụng khi bồi dỡng cho học sinh về bất đẳng thức. Kết quả là các em đã có thiện cảm hơn đối với chuyên đề này, không còn lúng túng nh trớc nữa, một số em còn tỏ ra rất hào hứng khi làm các bài toán về bất đẳng thức. II. Lêi kÕt. Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của bản thân tôi. Hy vọng đề tài này sẽ góp phần để việc dạy và học về bất đẳng thức đạt hiệu quả hơn. Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu cha đợc nhiều. Rất mong sự đóng góp ý kiến của ngời đọc. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Thèng NhÊt, ngµy 02/ 3/ 2016 Ngêi viÕt.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Lª ThÞ Thanh Hoa..

<span class='text_page_counter'>(7)</span>