Su dung dao ham chung minh BDT

Chuyên đề “Ứng dụng đạo hàm chứng minh Bất đẳng thức”
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
CHỨNG MINH BĐT
Phần I. Đặt vấn đề
A. Lyù do chọn đề tài.
Nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường đối với các khối lớp là nhiệm
vụ cơ bản của mỗi giáo viên, đặc biệt là vấn đề chất lượng đối với học sinh lớp 12.
Là giáo viên tham gia giảng dạy bộ môn toán lớp 12, trong những năm qua tôi luôn
trăn trở là làm thế nào để nâng cao chất lượng bộ môn. Tôi cho rằng người thầy phải
nâng cao chất lượng giờ lên lớp, chú trọng đổi mới phương pháp dạy học, tích cực
kiểm tra và theo dõi sát sao việc học tập của học sinh. Từ đó người thầy uốn nắn,
giải đáp vướng mắc cho các em và điều chỉnh phương pháp dạy học sao cho phù hợp
nhất. Đồng thời người thầy phải thường xuyên ôn tập hệ thống kiến thức, phân loại
bài tập, hình thành phương pháp và kỹ năng giải toán cho các em học sinh.
Trong các môn học ở trường phổ thông cùng với môn Văn-Tiếng việt, môn
Toán có vị trí rất quan trọng. Toán học, với tư cách là môn khoa học nghiên cứu một
số mặt của thế giới thực. Toán học có hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp
nhận thức cần thiết cho đời sống sinh hoạt và lao động. Nó cũng là công cụ cần thiết
cho các môn khoa học khác và để tiếp tục nhận thức thế giới xum quanh, đồng thời
giúp chúng ta hoạt động có hiệu quả trong thực tiễn đời sống. Toán học có nhiều tác
dụng trong việc phát triển trí thông minh, tư duy động lập, linh hoạt, sáng tạo trong
mọi lĩnh vực hoạt động của con người. Toán học còn góp phần giáo dục y chí và đức
tính tốt như: cần cù, nhẫn nại, tinh thần vượt khó,...
Ứng dụng đạo hàm là một mảng kiến thức rất quan trọng trong chương trình
toán học phổ thông. Tuy nhiên, thời gian có hạn trước hết tôi chỉ trình bày chuyên
đề: “Ứng dụng đạo hàm chứng minh Bất đẳng thức”. Nhằm giúp các em học sinh
lớp 12 củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong việc giải các
bài toán sơ cấp, góp phần nâng cao chất lượng bộ môn cũng như chất lượng dạy và
học trong nhà trường phổ thông.
B. Phạm vị ứng dụng.
Đề tài được áp dụng trong chương trình toán lớp 12, Ôn thi Đại học, Cao đẳng

và Bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
Các bài tập ứng dụng đạo hàm rất đa dạng, phong phú, nó đòi hỏi học sinh
phải nắm chăc các kiến thức cơ bản và có kỹ năng tổng hợp nhất định. Cho nên ngay
từ đầu giáo viên ôn tập ngay cho học sinh các bài tập tổng hợp thì nhiều em khó có
thể tiếp thu được bài học, dẫn đến kết quả bài học thấp.
Vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy các bài tập liên quan đến ứng dụng của
đạo hàm để chứng minh BĐT như thế nào để từng đối tượng học sinh có khả năng
tiếp thu được, góp phần nâng cao chất lượng cho học sinh khá, giỏi đạt kết quả cao.
Sau đây tôi xin đưa ra một số nội dung mà tôi đã thực hiện, áp dụng và đạt
hiệu quả nhất định trong giảng dạy.
Dương Văn Đạt – Trường THPT Lak - Page
2
Chuyên đề “Ứng dụng đạo hàm chứng minh Bất đẳng thức”
Phần II. Biện pháp thực hiện.
Để học sinh làm được các bài tập về ứng dụng đạo hàm, trước tiên giáo viên
phải giúp học sinh nắm được các kiến thức cơ bản về đạo hàm, sự đồng biến, nghịch
biến, cực trị và GTLN, GTNN của hàm số.
Phần III. Phân loại bài tập và phương pháp giải.
Dạng I. Hàm số f(x) cho dưới dạng tường minh.
Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức f(x)>0 (hoặc f(x)≥0), ∀x∈K.
Phương pháp:
- Bước 1: Khảo sát hàm số y=f(x) trên tập K
- Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f(x)>0 (hoặc f(x)≥0), ∀x∈K.
Bài tập mẫu
Lời giải
a) Xét hàm số
( ) 1, 0
x
f x e x x= − − ∀ >
, ta có:

'( ) 1 0, 0
x
f x e x= − > ∀ >
⇒ f(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞)
⇒f(x)>f(0)=0, ∀x>0 ⇒
1 0, 0
x
e x x− − > ∀ >

b) Xét hàm số
( ) ln(1 ) , 0f x x x x= + − ∀ >
, ta có:
1
'( ) 1 0, 0
1 1
x
f x x
x x
= − = − < ∀ >
+ +
⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞)
⇒f(x)<f(0)=0, ∀x>0 ⇒
ln(1 ) 0, 0x x x+ − < ∀ >
.
c) Xét hàm số
2
x
( ) osx+ 1, 0
2
f x c x= − ∀ >

, ta có:
'( ) sinx+xf x = −
⇒
''( ) 1 osx>0, x>0f x c= − ∀
⇒f’(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞)
⇒f’(x)>f’(0)=0∀x>0⇒f(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞)
⇒f(x)>f(0)=0, ∀x>0⇒
2
x
osx+ 1, 0
2
c x− ∀ >
d) Hs làm tương tự.
Bài 2. Chứng minh rằng:
a)
(0; )
2
x
π
∀ ∈
thì sinx+tanx>2x.
b) Cho tam giác ABC nhọn, ta có: sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2π
Lời giải
a) Xét hàm số f(x)=sinx+tanx-2x,
(0; )
2
x
π
∀ ∈
, ta có:

Dương Văn Đạt – Trường THPT Lak - Page
3
Bài 1. Chứng minh rằng:
a) e
x
>1+x, ∀ x>0
c)
2
x
osx>1-
2
c
, ∀ x>0
b) ln(1+x)<x, ∀ x>0
d) sinx<x<tanx, ∀ x
(0; )
2
π
∈
Chuyên đề “Ứng dụng đạo hàm chứng minh Bất đẳng thức”
2
1 1 2(1 osx)
'( ) osx+ 2 2 2 0, (0; )
cos x osx 2
osx
c
f x c x
c
c
π

−
= − > − = > ∀ ∈
⇒f(x) đồng biến trên
khoảng (0;π/2)⇒f(x)>f(0)=0, ∀x ∈(0;π/2)⇒
(0; )
2
x
π
∀ ∈
, sinx+tanx>2x.
b) Do tam giác ABC nhọn theo chứng minh trên, ta có:
sinA+tanA>A
sinB+tanB>B
sinC+tanC>C
Cộng vế theo vế, ta được: sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>A+B+C=2π
Bài 3. Chứng minh rằng: ∀ x>0,
2
1
2
x
x
e x> + +
, (ĐH Kiến trúc –HN, 1998).
Lời giải
Xét hàm số
2
( ) 1, 0
2
x
x

f x e x x= − − − ∀ >
, ta có:
'( ) 1
x
f x e x= − −
⇒
"( ) 1, 0
x
f x e x= − ∀ >
⇒f’(x) đồng biến trên (0; +∞)⇒f’(x)>f(0)=0
⇒f(x) đồng biến trên (0; +∞)⇒f(x)>f(0)=0, ∀x>0⇒
2
1
2
x
x
e x> + +
, ∀ x>0
Bài 4. Chứng minh rằng
2
-x 4
) 1 1 , x [0; 1]
2
e
b) -x 1 , x [0; 1]
1+x 2(1 )
x
x
a x e x
x

x
x
−
− ≤ ≤ − − ∀ ∈
≤ ≤ − + ∀ ∈
+
Lời giải.
a) Hs tự chứng minh
b)
-x
e
-x
1+x
≤
, ∀x∈[0;1] (Hs tự giải)
Ta chứng minh:
-x 4
e
1 , x [0; 1]
1+x 2(1 )
x
x
x
≤ − + ∀ ∈
+
như sau:
Theo kết quả trên, ta có
2 2
1 2 2
1 1 2(1 ) 2(1 )

x
e x x x x
x x x x
−
− − −
≤ − =
+ + + +
Ta sẽ chứng minh:
2 4 2 4
2 2 4
4 2
2 2 2 2
1 2 2 2 2
2(1 ) 2(1 ) 2(1 )
2 0, [0;1]
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x
− − − +
≤ − + = ⇔ − − ≤ − +
+ + +
⇔ + + ≥ ∀ ∈
Vậy, BĐT đúng.
Bài 5.
a) Chứng minh rằng: ∀α>1 (hoặc α<0), ∀ x>0 thì x
α
≥αx-α+1
(BĐT Bec-nu-li)
b) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

Dương Văn Đạt – Trường THPT Lak - Page
4
Chuyên đề “Ứng dụng đạo hàm chứng minh Bất đẳng thức”
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
Lời giải
a) Xét hàm số f(x)=x
α
-αx+α-1, ∀ x>0, ta có
f’(x)= αx
α
-1
-α=α( x
α
-1
-1)>0⇔α>1, x>1 hoặc α<0, x<1
Bảng biến thiên
x 0 1 +∞
f’(x)
- 0 +
f(x)
f(1)
Do đó: f(x)>f(1)=0, ∀x>0⇒∀α>1 (hoặc α<0) thì x
α
≥αx-α+1, ∀ x>0
a) Áp dụng kết quả, ta có:
3

3
2
3
3
3
3
3
3 3
( ) 1
2 2
3 3
... 1
2 2
3 3
... 1
2 2
a a a
b b b
b b
c c
c c
a a
= ≥ − +
≥ ≥ − +
≥ ≥ − +
Cộng vế theo vế ta được:
3 3 3
3 3 3
3
( 1)

2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + + −
Ta sẽ chứng minh:
3 1 3
( 1) ( )
2 2 2
a b c a b c a b c
b c a b c a b c a
+ + − ≥ + + ⇔ + + ≥
.
Áp dụng BĐT Cosi, ta có:
3
1 1 3
( ) 3
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ =
Suy ra Đpcm.
Bài tập tự luyện
Bài 6*. Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta đều có:
2 2 2 2
3
sin sin sin 3( )
2
A B C+ + ≤
Bài 7. Chứng minh rằng:
2( 1)

1, ln
1
x
x x
x
−
∀ > >
+
Bài 8. Chứng minh rằng:
ln 1
0, 1,
1
x
x x
x
x
∀ > ≠ <
−
Bài 9. Chứng minh rằng:
2 2
1, ln( 2 2) ln( 1) 1x x x x∀ ≥ + + < + +
Bài 10. Cho hàm số
( ) ( ) , 0, , 1
n n
f x x c x c n n= + − > ∈ >¥
a) Khảo sát hàm số f(x).
b) Chứng minh rằng:
{ }
( ) , 0, \ 0
2 2

n n
n
a b a b
a b n
+ +
≤ + > ∈ ¥
Dương Văn Đạt – Trường THPT Lak - Page
5
Chuyên đề “Ứng dụng đạo hàm chứng minh Bất đẳng thức”
Bài 11. Chứng minh rằng:
2
+2
1 os x , [0; ]
4 4
x c x
π π
≤ + ≤ ∀ ∈
Bài 12. Chứng minh rằng:
2-n
n n
n
os x+sin x 2 , (0; ), , 2
2
c x n n
π
≥ ∀ ∈ ∈ >¥
Bài 13. Chứng mih rằng:
log ( 1) log ( 1), (1 )
x y
x y x y+ > + < <

Bài 14. Chứng minh rằng:
0, lnt t t∀ > <
Bài 15. Chứng minh rằng: e
2x
>2(x
2
+x), ∀ x>0
Bài 16. Chứng minh rằng:
2
2
4 4
sinx , [0; ]
4
x x x
π
π π
≤ − ∀ ∈
Dạng II. Hàm số f(x) không cho dạng tường minh.
Phương pháp:
- Bước 1. Biến đổi bất đẳng thức đưa về dạng f(t)>0 (hoặc f(t)≥0 ) với t=u(x) trên tập
K
- Bước 2. Khảo sát hàm số f(t) trên tập K
- Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f(t)>0 (hoặc f(t)≥0), ∀x∈K
Bài tập mẫu
Bài 17. Chứng minh rằng:
3
1
2sin tanx
2
2 2 2 , (0; )

2
x
x
x
π
+
+ > ∀ ∈
Lời giải
Áp dụng BĐT Cosi, ta có:
1
sinx+ tanx+1
2sin tanx 2sin t anx
2
2 2 2 2 2
x x+
+ ≥ =
Ta chứng minh:
1 3 1 3
sinx+ t anx+1> 1 sinx+ t anx> , (0; )
2 2 2 2 2
x x x
π
+ ⇔ ∀ ∈
Xét hàm số

3
3
2
3
1 3

( ) sinx+ t anx- , (0; )
2 2 2
1 3 1 3 3(2 2cos )
'( ) osx+ 3 0, (0; )
2cos x 2 2 osx 2 2
2 2cos
f x x x
x
f x c x
c
x
π
π
= ∀ ∈
−
= − ≥ − = > ∀ ∈
⇒f(x) đồng biến trên (0;
2
π
)⇒f(x)>f(0)=0, ∀x∈(0;
2
π
) ⇒
1 3
sinx+ t anx+1> 1, (0; )
2 2 2
x x
π
+ ∀ ∈
.

Bài 18. Cho tam giác ABC có A≤B≤C<90
0
. Chứng minh:
2cos3 4cos 2 1
2
osC
C C
c
− +
≥
(ĐH Mỏ, 2000)
Lời giải
3 2
3 2
8cos 8cos 6cos 5
2
osC
8cos 8cos 8cos 5 0
C C C
BDT
c
C C C
− − +
⇔ ≥
⇔ − − + ≥
Đặt t=cosC, do 60
0
≤C<90
0
nên 0<t=cosC≤

1
2
Dương Văn Đạt – Trường THPT Lak - Page
6