HSG Thach Thanh 2017

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6. HUYỆN THẠCH THÀNH. MÔN: TOÁN. ĐỀ CHÍNH THỨC. NĂM HỌC: 2016 – 2017. (Đề thi gồm 01 trang). Ngày thi: 03/04/2017 Thời gian: 120 phút không tính thời gian ghi đề. Câu 1: (4,0 điểm). 1. Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = 68.74 + 27.68 – 68 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]}  151515 179   1500 1616        161616 1710   1600 1717   c) C =  1  1  1   1   1  2  1  2  1  2  1 .....  2  3  4   100  d) D =  2 Câu 2: (2,0 điểm). Tìm số nguyên x, biết: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 x x x x x x x x x x 220           b) 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390. Chứng minh rằng A chia hết cho 11 và 13 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: xy – 2x + y + 1 = 0 Câu 4: (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư 28 . 4n  5 b) Tìm số nguyên n để phân số 2n  1 có giá trị là một số nguyên Câu 5: (5,0 điểm). Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. a) Tính số đo góc mOn 0  b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết m 'Oz 30. c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Câu 6: (2,0 điểm) a) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 1 1 1 1    ...  1  3  5  7  ...  2017 b) Cho A = 1  3 1  3  5 1  3  5  7 Chứng minh A. . 3 4.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN Câu 1: (4,0 điểm). 1. a) A = 68.74 + 27.68 – 68 = 68.(74 + 27 – 1) = 68.100 = 6800 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]} B = 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(72 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]} B = 1000 – 3.{539 – 239} B = 1000 – 3.300 B = 1000 – 900 B = 100  151515 179   1500 1616        161616 1710   1600 1717   c) C =  15.10101 1     C =  16.10101 17 .  15 16.101      16 17.101 . 15 1 15 16    C = 16 17 16 17  15 15   1 16        C =  16 16   17 17  C=0+1 C=1  1  1  1   1   1  2  1  2  1  2  1 .....  2  3  4   100  d) D =  2  1  4   1  9   1  16   1  1000   2   2   2  .....   2 D =  2   3   4   100   3  8  15  9999 . 2 . 2 ..... 2 1002 D= 2 3 4 D=. . 1.3 2.4 3.5 99.101 . . ..... 22 32 42 1002. . (1.2.3.....99)(3.4.5.....101) (2.3.4.....100).(2.3.4.....100). . 1.101 100.2. D= D=.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> D=. . 101 200. Câu 2: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7 2016 : [25 – (3x + 2)] = 63 25 – (3x + 2) = 2016 : 63 25 – (3x + 2) = 32 3x + 2. = 25 – 32. 3x + 2. =–7. 3x. =–9. x. =–3. x x x x x x x x x x 220           b) 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 1 1 1 1 1  220 1 1 1 1 1 x              6 10 15 21 28 36 45 55 66 78  39 1 1 1 1 1 1 1 1  220  1 1 2x             12 20 30 42 56 72 90 110 132 156  39  1 1 1 1 1 1 1 1 1  220  1 2x             3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13  39   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  220 2x                       3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13  39   1 1  220 2x     3 13  39   . 2x.. 10 220  39 39. 2x . 220 10 : 39 39.  2x 22  x = 11 Câu 3: a) A có 90 số hạng mà 90  5 nên: A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390 A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39 + 310) + … + (386 + 387 + 388 + 389 + 390) A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + 36.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + … + 386.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) A = 3.121 + 36.121 + … + 386.121 A = 121(3 + 36 + … + 386).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> A = 11.11(3 + 36 + … + 386)  11  A  11 A có 90 số hạng mà 90  3 nên: A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390 A = (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) + … + (388 + 389 + 390) A = 3.(1 + 3 + 32) + 34.(1 + 3 + 32) + … + 388.(1 + 3 + 32) A = 3.13 + 34.13 + … + 388.13 A = 13(3 + 34 + … + 388)  11  A  13 b) Ta có: xy – 2x + y + 1 = 0  x(y – 2) + (y – 2) + 1 = – 2  (x + 1)(y – 2) = – 3 = 1. (– 3) = ( – 3).1 Ta có bảng sau: x+1 y–2 x y. 1 –3 0 –1. –3 1 –4 3. Câu 4: a) Gọi số cần tìm là a ( a  N,100 a 999 ) Vì a chia cho 8 thì dư 7 và chia cho 31 thì dư 28 nên: a  78   a  2831. a  7  88   a  28  3131. a  18   a  331. a  1  648   a  3  6231. a  658  a  6531. Vì (8, 31) = 1 nên a + 65  (8.31) hay a + 65  248  a = 248k – 65 (k  N*). Vì a là số có 3 chữ số lớn nhất nên k = 4, khi đó a = 248.4 – 65 = 927. Vậy số cần tìm là 927 4n  5 4n  2  7 n(2n  1)  7 7  n  2n  1 2n  1 b) Ta có: 2n  1 = 2n  1 4n  5 7 Vì n nguyên nên để 2n  1 nguyên thì 2n  1 nguyên hay 2n – 1  Ư(7) = {–7; –1; 1; 7}  2n  {– 6; 0; 2; 8}  n  {– 3; 0; 1; 4} 4n  5 Vậy với n  {– 3; 0; 1; 4} thì 2n  1 có giá trị là một số nguyên Câu 5: (5,0 điểm).     a) Vì xOy kề bù với zOy nên: xOy + zOy = 1800  Vì tia Om là tia phân giác của xOy nên:. 1  mOy  xOy 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  Vì tia On là tia phân giác của zOy nên:. 1  nOy  zOy 2   Vì xOy kề bù với zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân giác của   xOy và tia On là tia phân giác của zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, khi đó:    mOy + yOn = mOn. 1 1 xOy zOy   2 + 2 = mOn 1   xOy  zOy   2 = mOn. . . 1 .1800   2 = mOn   mOn = 900   b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó m 'Oz kề bù với zOm  'Oz zOm   m + = 1800 . 300.  + zOm = 1800  zOm = 1500. .   Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó zOm kề bù với mOx    zOm + mOx = 1800   1500 + mOx = 1800 .  mOx = 300.    Vì tia Om là tia phân giác của xOy nên: mOy mOx = 300   Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó yOm kề bù với yOm '    yOm + yOm ' = 1800   300 + yOm ' = 1800. .  yOm ' = 1500. c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6 Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo thành:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> (n + 5)(n + 6) góc Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi góc được tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là:. n.  5  n  6 2 góc. n Vì có 300 góc được tạo thành nên:.  5  n  6 2 = 300  (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25.  n + 5 = 24  n = 19 Câu 6:. a) Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) vì 225 lẻ nên. 100a  3b  1  a 2  10a  b. cùng lẻ (2). *) Với a = 0: (1)  (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225  (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52 3b  1 25  b 8  1  b  9  Vì 3b + 1 chia cho 3 dư 1 và 3b + 1 > 1 + b nên: (3b + 1)(1 + b) = 25.9 *) Với a là số tự nhiên khác 0: Khi đó 100a chẵn, từ (2)  3b + 1 lẻ  b chẵn  2a + 10a + b chẵn, trái với (2) nên b  Vậy: a = 0 ; b = 8 b) Ta có:. 1 1 1 1    ...  1  3  5  7  ...  2017 A = 1 3 1 3  5 1 3  5  7 1 1 1 1    ...  (1  3).2 (1  5).3 (1  7).4 (1  2017).1009 2 2 2 2 A= 2 2 2 2    ...  1009.2018 A = 2.4 3.6 4.8 1 1 1 1    ...  1009.1009 A = 2.2 3.3 4.4 1  1 1 1     ...   1008.1009  A < 2.2  2.3 3.4 1 1 1 1 1 1 1        ...    1008 1009  A< 4 2 3 3 4 1 1 1     A < 4  2 1009  1 1  A< 4 2 3 A< 4.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>

<span class='text_page_counter'>(8)</span>