De 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN KIM SƠN ĐỀ 1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI-8. MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 +2011 x 2+ 2010 x +2011 b) Tìm các số nguyên x ; y sao cho: 3 x3 + xy=3 . c) Tìm các hằng số a và b sao cho x 3+ ax+b chia cho x+ 1 dư 7; chia cho x − 2 dư 4. Câu 2: (1,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: x + y −1 ¿2 − ¿+2 xy A= với 2 2 |x + y +5+ 2 x −4 y|− ¿. x=22011 ; y =16503. b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: B. x 2  2 x  2011 x2 với x>0. Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng: 3. a). 3. 2011 +11 2011+11 = 3 3 2011 +2000 2011+2000. 2 2 b) Nếu m; n là các số tự nhiên thỏa mãn : 4 m +m=5 n + n thì : m-n và 5m  5n  1 đều là số chính phương. Câu 4: (4 điểm). Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD).. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.. a) Chứng minh OM=ON. b) Chứng minh. 1 1 2 + = . AB CD MN. c) Biết S AOB =a2 ; S COD =b2 . Tính S ABCD ? ^ 900 . Chứng minh BD > AC. d) Nếu ^ D< C<. -----------HẾT-------------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. Câu. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 8. Đáp án a/ x 4 +2011 x 2+ 2010 x +2011 = x 4 + x 3+ x2 +2010( x 2 + x +1)−(x 3 −1) = ( x 2+ x +1 ) ( x 2 − x+ 2011 ) b/ 3 x3 + xy=3 ⇔ x ( 3 x 2 + y ) =3 . Do x ; y là các số nguyên nên ta có:. 1. 2. ¿ x=1  x 3  x 3 3 x2 + y =3   2 y  26 ⇔ TH1: (thỏa mãn) hoặc 3x  y 1  (thỏa mãn) ¿ x=1 y=0 ¿{ ¿ ¿ x=−1  x  3  x  3 3 x2 + y =−3   2 y  28 ⇔ TH2: (thỏa mãn) hoặc 3x  y  1  (thỏa mãn) ¿ x=− 1 y=− 6 ¿{ ¿ c/ Vì x 3+ ax+b chia cho x+ 1 dư 7 nên ta có: x 3+ ax+b = ( x+ 1 ) . Q(x)+7. Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25. 0,5. 0,25. do đó với x=−1 thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1). Vì x 3+ ax+b chia cho x − 2 dư 4 nên ta có: x 3+ ax+b = ( x − 2 ) . P(x)+ 4. 0,25. do đó với x=2 thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2). Từ (1) và (2) suy ra a=-4;b=4. a/ Ta có: x 2+ y 2 +5+2 x − 4 y =( x+ 1 )2+ ( y −2 )2 ≥ 0 với mọi x ; y nên ta có: A= x 2+ y 2 +5+2 x − 4 y − ( x + y −1 )2 +2 xy =. 0,25 0,25 0,25. x 2+ y 2 +5+2 x − 4 y − x 2 − y 2 − 1− 2 xy+ 2 x +2 y+ 2 xy=4 x −2 y + 4=2(2 x − y )+ 4 503 Thay x=22011 ; y =16503 =( 24 ) =22012 vào A ta có: A= 2. ( 2 .22011 −22012 )+ 4=4 x 2 −2 x+2011 2011 x 2 −2 . x . 2011+20112 b/ B= = x2 2011 x 2 x −2011 (¿) ¿ ¿2 = . ¿ ¿ 2010 x2 + ( x − 2011 )2 2010 = +¿ 2011 2011 x 2 Dấu “=” xảy ra khi x=2011 .. 0,25 0,25. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Vậy GTNN của B là. 2010 2011. đạt được khi x=2011 .. a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000. Khi đó ta có a=b+c.. 3. 2 2 20113 +113 a3 +b3 ( a+b ) ( a − ab+b ) = = Xét vế phải đẳng thức ta có: 20113 +20003 a3 +c 3 ( a+c ) ( a2 −ac +c 2 ) Thay a=b+c vào a2 −ab+ b2=( b +c )2 − ( b+c ) b+b 2=b2 + bc+ c2 2 2 2 2 2 2 a −ac +c =( b+ c ) − ( b+c ) c+ c =b + bc+ c Nên a2 −ab+ b2=a2 − ac+ c2 . 2 2 20113 +113 a3 +b3 ( a+b ) ( a − ab+b ) a+b 2011+ 11 = = = = Vậy: 20113 +20003 a3 +c 3 ( a+c ) ( a2 −ac +c 2 ) a+c 2011+ 2000. 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,5 b/Ta có 4 m2 +m=5 n 2+ n ⇔ 5 ( m 2 − n2 ) +m −n=m2 ⇔ ( m− n )( 5 m+5 n+1 )=m2 (*) Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1) ⇒ (5m+5n+1)+5m-5n ⋮ d ⇒ 10m+1 ⋮ d 0,25 ⋮. Mặt khác từ (*) ta có: m 2. d2 ⇒ m ⋮ d. Mà 10m+1 ⋮ d nên 1 ⋮ d. ⇒ d=1. Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. B hình vẽ A. 0,25. A. 0,25. B. N. M O. 4. D. OA OB = a/ Ta có AC BD ⇒. OM ON = DC DC. C. D. H. E. Do MN//DC ⇒ OM=ON.. b/ Do MN//AB và CD ⇒. OM AM = CD AD. OM OM AM  MD   1 DC AB AD (1) ON ON + =1 (2) Tương tự: DC AB MN MN + =2 Từ (1);(2) ⇒ DC AB 1 1 2 + = ⇒ DC AB MN. K. C. 0,5 0,5. và. OM DM = . Do đó: AB AD. 0,25. 0,25 0,25 0,25. c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> cạnh đáy tương ứng. Do vậy : Nhưng. OB OA = OD OC. ⇒. S AOB OB = S AOD OD. S AOB S AOD = S AOD S COD. S AOD OA = S COD OC. và ⇒. S 2 =S AOB . S COD =a2 .b 2 nên AOD. 0,5. S AOD =ab . 2 Tương tự S BOC=ab .Vậy S ABCD= ( a+b ). d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K. 0,25 0,25. ^ 900 nên H, K nằm trong đoạn CD Do ^ D< C<. ^ >^ Ta có A ^E D=B C^ D=C D ⇒ AD> AE .. Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC ⇒ DH>KC ⇒ DK > CH.. 0,25. Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có :. 0,25. 2 2 DB 2 BK 2  DK 2  AH 2  CH 2  AC 2 (Do AH BK )  BD  AC. HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>