Chuyên đề bài tập : Đường tròn

Giaovienvietnam.com
Chun đề: Đường trịn
Bài tập Vị trí tương đối của hai đường trịn cực hay, có đáp án
Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại O. Vẽ
đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB, đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác COD.
Chứng minh rằng hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc với nhau.
Bài 2: Cho các đường tròn (A; 10), (B; 15), (C; 15) tiếp xúc ngồi với nhau đơi
một. Hai đường tròn (B) và (C) tiếp xúc với nhau tại A’. Đường tròn (A) tiếp xúc
vớ đường tròn (B) và (C) lần lượt tại C’ và B’
a) Chứng minh rằng AA’ là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C). Tính độ
dài AA’
b) Tính diện tích tam giác A’B’C’
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; R’) với R > R’ tiếp xúc trong với
nhau tại A. Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại B và C (B,
C khác A). Vẽ các đường trịn (M) và (N) có đường kính lần lượt là BC và OO’
a) Chứng minh rằng BC = 2 OO’ và AM = 2 AN
b) Từ A vẽ tiếp tuyến AE với đường tròn (N). Chứng minh rằng AE cũng là tiếp
tuyến của đường tròn (M).
Bài 4: Cho đường thẳng xy và đường trịn (O; R) khơng giao nhau. Gọi M là một
điểm di động trên xy. Vẽ đường trịn đường kính OM cắt đường trịn (O) tại A và
B. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc ngồi tại A. Vẽ các
bán kính OB // O’D với B, D ở cùng phía nửa mặt phẳng bờ OO’. Đường thẳng
DB và OO’ cắt nhau tại I.
a) Tính góc BAD?
b) Tính OI biết R = 3 cm; R’ = 2 cm
c) Tính OI theo R và R’


Giaovienvietnam.com
d) Chứng minh rằng BD, OO’ và tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’) đồng

quy.
Bài 6: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với nửa
đường tròn (O) tại C. Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên d.
a) Xác định vị trí tương đối của các đường tròn (A; AD) và (B; BE)
b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính DE.
Bài 7: Xét ΔABC có các góc B, C nhọn. Các đường trịn đường kính AB và AC cắt
nhau tại điểm thứ hai H. Một đường thẳng d bất kì qua A và cắt hai đường trịn nói
trên lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC
b) Tứ giác BCNM là hình gì?
c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, MN. Chứng minh bốn điểm A, H, P,
Q thuộc một đường tròn
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.
Đáp án và hướng dẫn giải
Bài 1:

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC; AC = BD
⇒ ΔBDC = ΔACD (c.c.c)

⇒ ΔCOD cân
⇒ OC = OD dẫn tới OA = OB
Ta có: IA = IB; OA = OB
⇒ Đường thẳng IO là đường trung trực của AB


Giaovienvietnam.com
Tương tự OK là đường trung trực của CD
Mặt khác, ABCD là hình thang cân nên các đường thẳng OI, OK trung nhau, ba
điểm O, I, K thẳng hàng.
⇒ IK = IO + KO hay d = R + R’

Do đó, hai đường trịn (I) và (K) tiếp xúc ngồi.
Bài 2:

a) Theo tính chất đoạn nối tâm của hai đường trịn tiếp xúc ngồi ta có:
AB = 25; AC = 25; BC = 30 và A’ là trung điểm của BC
ΔABC cân tại A có AA’ là đường trung tuyến nên cũng là đường cao
⇒ AA'⊥ BC
⇒ AA’ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B) và (C)
Xét tam giác AA’C vng tại A’ có:
A'A2 = AC2 - A'C2 = 252- 152 ⇒ A'A = 20
b) Ta có:

⇒ B’C’ // BC do đó B’C’ ⊥ AA’
Lại có:

⇒ B'C'= 12
Xét ΔABA’ có B’C’ // BC nên


Giaovienvietnam.com

⇒ A'H = 12
Diện tích tam giác A’B’C’ là:

Bài 3:

a) Ta có: OO’ = OA – O’A = R – R’
BC = AB – AC = 2R – 2R’ = 2(R – R’) = 2OO’
Mặt khác: MC = ½ BC = OO’ = 2ON ; AC = 2O’A
⇒ AM = AC + CM = 2O’A + 2ON = 2(O’A + ON) = 2AN

b) Vẽ MF ⊥ AE, ta có MF // NE
Do đó:


Giaovienvietnam.com
Vậy điểm F nằm trên đường trịn (M) đường kính BC
Mặt khác MF ⊥ AE nên AE là tiếp tuyến của đường tròn (M)
Bài 4:

Vẽ OH ⊥ xy, H là một điểm cố định và OH không đổi
Gọi giao điểm của AB và OM và OH lần lượt là E và F.
Theo tính chất dây chung của hai đường trịn, ta có AB ⊥ OM
Điểm A nằm trên đường trịn đường kính OM nên góc AOM bằng 900
Ta có: ΔOEF ~ ΔOHM (g.g)

Mặt khác: ΔMAO vng tại A có AE là đường cao nên
OM.OE = OA2 = R2
⇒ OF.OH = R2 ⇒ OF = R2/OH
Do OH không đổi nên OF cũng không đổi
Vậy F là một điểm cố định, AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5:


Giaovienvietnam.com

a) Trong tam giác OBA cân tại O có:

Trong tam giác O’DA cân tại O có:

Do OB // O’D nên

Ta có:

Vậy góc BAD bằng 900
b) Áp dụng định lí Ta-let:


Giaovienvietnam.com

c) Tương tự câu b, ta có:

d) Gọi giao của tiếp tuyến chung ngoài và OO’ là I’
Gọi giao điểm của tiếp tuyến chung ngồi với đường trịn (O) và (O’) lần lượt là
G và H
Ta có OG // O’H ( do cùng vng góc với tiếp tuyến chung ngồi)
Theo định lí Ta let ta có:

⇒ I’ trùng với I
Vậy BD, OO’ và tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’) đồng quy
Bài 6:


Giaovienvietnam.com

a) Dễ thấy tứ giác ADEB là hình thang vng
Ta có OC // AD ( cùng vng góc với d), O là trung điểm của AB
⇒ C là trung điểm của DE
Ta có:

(so le trong, AD // OC)

(Do ΔOAC cân tại O)

Kẻ CH ⊥ AB
Khi đó ΔADC = ΔAHC (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ AD = AH
Chứng minh tương tự, ta được BH = BE
Từ đó suy ra AB = AH + BH = AD + BE
Ta thấy đoạn nối tâm của 2 đường tròn (A; AD) và (B; BE) bằng tổng hai bán
kính nên chúng ở vị trí tiếp xúc ngồi.
b) Vì

nên CD = CH = CE


Giaovienvietnam.com
⇒ CH là bán kính của đường trịn đường kính DE. Hơn nữa, CH⊥AB ⇒ AB là
tiếp tuyến của đường trịn (C)
Bài 7:

a) H ∈ (O) đường kính AB nên góc AHB bằng 900
H ∈ (O) đường kính AC nên AHC bằng 900
⇒ B, H, C thẳng hàng.
b) M ∈ (O) đường kính AB nên AMB bằng 900 ⇒ BM ⊥ d
N ∈ (O) đường kính AC nên ANC bằng 900 ⇒ CN ⊥ d
⇒ BM // CN và BM ⊥ MN
⇒ Tứ giác BCNM là hình thang vng.
c) Ta có PQ là đường trung bình của hình thang vng BCNM
⇒ PQ // BM và PQ ⊥ d
Ta có: AQP bằng 900 ⇒ Q thuộc đường trịn đường kính AP
Mặt khác AHP bằng 900 ⇒ H thuộc đường tròn đường kính AP

Giaovienvietnam.com
Vậy 4 điểm A, H, P, Q cùng thuộc đường trịn đường kính AP
c) Xét tam giác ABC có OO’ là đường trung bình nên OO’ // BC và BC = 2OO’
khơng đổi
Trong hình thang vng BCNM: NM ≤ BC
Vậy MN lớn nhất khi MN = BC. Khi đó d // BC.