bai toan thuc te lien quan ham so mu loga

Một số bài toán thực tế liên quan đến hàm số mũ - logarit
I. Các dạng toán về lãi suất ngân hàng:
1. Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà khơng tính trên s ố ti ền lãi do s ố
tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước khơng đ ược tính vào v ốn đ ể tính lãi cho
kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến gửi tiền ra.
a) Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r % /kì hạn thì
số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n   * ) là:
S n  A  nAr  A  1  nr 

101\* MERGEFORMAT (.)
r
Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r % là 100 .
b) Ví dụ: Chú Nam gửi vào ngân hàng 1 triệu đồng với lãi đ ơn 5%/năm thì sau 5 năm
số tiền chú Nam nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Giải:
S 1.  1  5.0, 05  1, 25
Số tiền cả gốc lẫn lãi chú Nam nhận được sau 5 năm là: 5
(triệu
đồng)
2. Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi khơng rút ra thì đ ược tính vào v ốn
để tính lãi cho kì hạn sau.
a) Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r % /kì hạn thì số
tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n   * ) là:

Sn  A  1  r 

n

202\* MERGEFORMAT (.)

Chú ý: Từ cơng thức (2) ta có thể tính được:

S 
n log  1r   n 
 A
r% n
A

Sn
1
A

303\* MERGEFORMAT (.)

404\* MERGEFORMAT (.)

Sn

1 r 

n

505\* MERGEFORMAT (.)

b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm.
a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm.
5
%
b) Với số tiền 10 triệu đó, nếu chú Việt gửi ngân hàng v ới lãi kép 12 /tháng thì sau
10 năm chú Việt nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn hay ít hơn?
Ví dụ 2:

a) Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đ ồng v ới lãi suất
0,58%/tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì đ ược c ả v ốn
lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng ?
1


b) Với cùng số tiền ban đầu và cùng số tháng đó, nếu bạn An g ửi ti ết ki ệm có kỳ h ạn 3
tháng với lãi suất 0,68%/tháng, thì bạn An sẽ nhận đ ược s ố ti ền c ả v ốn l ẫn lãi là
bao nhiêu? Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, ch ỉ c ộng thêm lãi ch ứ không c ộng
vốn và lãi tháng trước để tình lãi tháng sau. Hết m ột kỳ hạn, lãi sẽ đ ược c ộng vào
vốn để tính lãi trong kỳ hạn tiếp theo (nếu cịn gửi tiếp), n ếu ch ưa đ ến kỳ h ạn mà
rút tiền thì số tháng dư so với kỳ hạn sẽ được tính theo lãi suất khơng kỳ hạn.
Ví dụ 3: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một s ố ngân hàng th ời gian v ừa qua liên
tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng ch ưa
đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong n ửa năm ti ếp theo và b ạn Châu
tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu ti ếp t ục
gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu đ ược c ả v ốn l ẫn lãi là 5 747
478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết ki ệm trong bao nhiêu
tháng?
3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.
a) Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với
lãi kép r % /tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n   *

S
) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là n .
Ý tưởng hình thành cơng thức:
 Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
A
1
S1  A  1  r     1  r   1  1  r 


r
 Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền A đồng thì số tiền là
  1  r  2  1
  A  1  r 2  1
T1  A  1  r   A  A   1  r   1  A 
  
1 r   1 r 
 Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
A
2
S2    1  r   1  1  r 


r
 Từ đó ta có cơng thức tổng qt
A
n
S n    1  r   1  1  r 


r

606\* MERGEFORMAT (.)

Chú ý: Từ cơng thức (1.6) ta có thể tính được:
 S n .r

n log  1r  
 1

 A1 r  
A

707\* MERGEFORMAT (.)

Sn .r

 1  r    1  r 

n

 1


808\* MERGEFORMAT (.)

b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Đầu mỗi tháng ông Mạnh gửi ngân hàng 580000 đồng với lãi suất 0,7%/tháng.
Sau 10 tháng thì số tiền ơng Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi (sau khi ngân hàng đã tính
2


lãi tháng cuối cùng) là bao nhiêu?
Ví dụ 2: Ơng Nghĩa muốn có ít nhất 100 triệu đồng sau 10 tháng k ể t ừ khi g ửi ngân
hàng với lãi 0,7%/tháng thì mỗi tháng ơng Nghĩa phải gửi số tiền ít nhất bao nhiêu?
Ví dụ 3: Đầu mỗi tháng anh Thắng gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đ ồng v ới lãi su ất
0,6%/tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng ( khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh Th ắng
được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên?
Ví dụ 4: Đầu mỗi tháng bác Dinh gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đ ồng sau 1 năm bác
Dinh nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là 40 triệu. Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu

phần trăm mỗi tháng?
4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:
a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r % /tháng. Mỗi tháng
vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng
là bao nhiêu?
Ý tưởng hình thành cơng thức:
Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì s ố tiền có đ ược là
khi rút số tiền còn lại là
1 r   1
S1  A  1  r   X  A  1  r   X
r
Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là

T1  A  1  r 

và sau

2

T2  A  1  r   X   1  r   A  1  r   X  1  r 
và sau khi rút số tiền còn lại là
2

2

2

S2  A  1  r   X  1  r   X  A  1  r   X   1  r   1  A  1  r  
Từ đó ta có cơng thức tổng qt số tiền cịn lại sau n tháng là
n

Sn  A  1  r  

1 r 
X

n

1 r 
X

2

1

r

1

r

909\* MERGEFORMAT (.)

Chú ý: Từ cơng thức (9) ta có thể tính được:
r
n
X  A  1  r   S n 

 1 r  n  1

10010\* MERGEFORMAT

(.)
b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng. M ỗi tháng
vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chiến đến ngân hàng rút 300 nghìn đ ồng đ ể chi tiêu.
Hỏi sau 2 năm số tiền anh Chiến còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu?
Ví dụ 2: Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Mỗi tháng vào
ngày ngân hàng tính lãi, anh Chiến rút một số tiền như nhau đ ể chi tiêu. H ỏi s ố ti ền
mỗi tháng anh Chiến rút là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết?
5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r % /tháng. Sau đúng
một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai l ần hoàn n ợ cách nhau đúng m ột tháng,
3


mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
a) Cơng thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức
tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có
n

Sn  A  1  r  

1 r 
X

n

1

r

11011\*

MERGEFORMAT (.)

S 0 nên
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì n
n

A1 r  

1 r 
X

n

1

r

0
12012\* MERGEFORMAT

(.)
và
n

X

A  1  r  .r

1 r 

n

1

13013\* MERGEFORMAT (.)

b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Chị Năm vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15%/tháng
trong vịng 2 năm thì mỗi tháng chị Năm phải trả số tiền bao nhiêu?
Ví dụ 2:
a) Ạnh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đ ồng với lãi su ất 0,9%/tháng , m ỗi
tháng trả 15 triệu đồng. Sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ?
b) Mỗi tháng anh Ba gửi vào ngân hàng số tiền 15 triệu đ ồng v ới lãi su ất 0,7%/tháng
thì sau thời gian trả nợ ở câu a), số tiền cả gốc lẫn lãi anh Ba nhận được là bao nhiêu?
6. Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng. Cứ
sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r % /tháng. Hỏi sau kn tháng người đó
lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?
S kn

1 r 
 Ak

k

1

r

Cơng thức tính: Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là
14014\* MERGEFORMAT (.)
Ví dụ: Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng. Cứ 3 tháng thì
lương người đó được tăng thêm 7% /tháng. Hỏi sau 36 năm người đó lĩnh được tất cả
số tiền là bao nhiêu?
Giải:
S36 3.106.12.

 1,07 

12

0,07

1

643984245,8

đồng
III. Một sơ bài tốn tăng trưởng (suy giảm)mũ
1. Bài toán lãi kép liên tục
A đồng với lãi kép r % /năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn
Gửi vào ngân hàng
4


lãi sau n năm

 n 
*

là:

Sn  A  1  r 

n

. Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn

r
%
để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là m
thì số tiền thu được sau n năm là
m. n

r

Sn  A  1  
 m
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vơ cực, tức là m   , gọi là hình thức lãi kép
tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi
là:1511Equation Chapter (Next) Section 11612Equation Chapter (Next) Section
1172Equation Section (Next)1813Equation Chapter 3 Section 11913Equation
Chapter 3 Section 12014Equation Chapter (Next) Section 1212Equation Section
n.r
(Next) 2213Equation Chapter 3 Section 1 S  Ae
\* MERGEFORMAT 23323\*
MERGEFORMAT (.)
Công thức (3.1) cịn gọi là cơng thức tăng trưởng mũ (khi r dương), suy giảm mũ
(khi r âm)

Ví dụ 1: gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8%/ năm. Sau hai năm số tiền
cả gốc và lãi là bao nhiêu nếu tính lãi theo các định kỳ sau đây.
a) 1 năm
b) 6 tháng
c) quý
d) tháng
e) tuần.
2. Bài toán tăng trưởng dân số
Dạng 1. Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo cơng thức tăng trưởng mũ

S  Ae n.r .
Với A là dân số tại thời điểm lấy làm mốc, n là số năm, r là tỉ lệ tăng dân số tự nhiên
theo năm. S là số dân sau n năm.
Ví dụ 1: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo cơng thức tăng trưởng mũ. Biết
rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 2013 dân số thế giới vào
khoảng 7095 triệu người. Khi đó dự đốn dân số thế giới năm 2020 sẽ là bao nhiêu?
Ví dụ 2: Biết rằng đầu năm 2010, dân số Việt Nam là 86932500 người và tỉ lệ tăng dân
số năm đó là 1,7% và sự tăng dân số được tính theo cơng thức tăng trưởng mũ. H ỏi c ứ
tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người?
Đến năm nào thì dân số VN tăng gấp đơi so với năm 2010.
Ví dụ 3. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn theo công thức (3.1). A là số vi khuẩn
ban đầu, t là thời gian tăng trưởng, r là tỉ lệ tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu là
100 con, sau 5 giờ là 300 con. Hỏi 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn. Sau bao lâu thì s ố vi
khuẩn tăng gấp đôi ban đầu?

5


Dạng 2. Cơng thức tính tăng trưởng dân số2414Equation Chapter (Next) Section 1

X m X n  1 r 

m n

,  m, n   , m n 

252Equation Section (Next)
MERGEFORMAT (.)
Trong đó:
r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m
Xm
dân số năm m
X n dân số năm n
r % m  n

26426\*

Xm
1
Xn

Từ đó ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số là
27427\*
MERGEFORMAT (.)
Ví dụ: Theo kết quả điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua m ột s ố
mốc thời gian (Đơn vị: 1.000 người):
Năm
1976
1980
1990

2000
2010
Số dân
49160
53722
66016,7
77635
88434,6
a) Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm trong các giai đoạn 1976-1980,
1980-1990, 1990-2000, 2000-2010. Kết quả chính xác tới 4 chữ số phần thập
phân sau dấu phẩy. Giả sử tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm không đổi
trong mỗi giai đoạn.
b) Nếu cứ duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì đ ến năm 2015 và
2020 dân số của Việt Nam là bao nhiêu?
c) Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể t ừ năm 2010, m ỗi
năm phấn đấu giảm bớt x% ( x không đổi) so với tỉ lệ % tăng dân số năm
a  x %
trước (nghĩa là nếu năm nay tỉ lệ tăng dân s ố là a% thì năm sau là 
).
x
Tính để số dân năm 2015 là 92,744 triệu người.
3) Bài toán về thời gian phân hủy của các chất phóng xạ
Bài tốn : sự phân hủy của một chất phóng xạ tn theo cơng thức S = ert. Trong đó A
là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm, t là thời gian phân hủy, s
là lượng chất phóng xạ cịn lại sau thời gian phân hủy t.
Ví dụ 1: Chất phóng xạ radium có chu kỳ bán hủy là 1550 năm. Hỏi tỉ lệ phân hủy là
bao nhiêu?
Ví dụ 2: chất phóng xạ Pu239 có thời gian bán hủy là 24360 năm. Nếu ban đầu có 10g
chất Pu239 thì sau bao nhiêu năm lượng chất phóng xạ cịn lại 1g.
Ví dụ 3: Trong q trình quang hợp của cây xanh sẽ hấp thụ một lượng nhỏ cacbon 14.

Khi cây chết thì cây khơng hấp thụ cacsbon 14 nữa và phân hủy d ần thành Nito 14.
Khi đó gọi P là số phần trăm cacbon 14 còn lại sau t năm(kể từ khi cây ko hấp thu n ữa)
thì
P = 100.(0,5)t/5750(%). Phân tích mẫu gỗ của một cơng trình kiến trúc người ta thấy tỉ
lệ cacbon 14 còn lại là 65%. Hãy xác định niên đại của cơng trình kiến trúc trên.
IV. Một số bài toán ứng dụng hàm số logarit

6


1. bài tốn tìm số chữ số của một số
Số chữ số của một số a khi viết trong hệ số 10 là [loga] +1
Ví dụ: khi viết số 22008 trong hệ cơ số 10 thì gồm bao nhiêu chữ số.
2. Bài tốn tính độ PH của dung dịch
Trong mỗi dung dịch người ta dùng độ pH để đánh giá dung dịch có tính axit hay bazo.
Độ pH của dung dịch được tính dựa vào nồng độ [H3O+](mol/lit), theo cơng thức
pH = -log[H3O+]
pH < 7 thì dung dịch có tính axit.
pH = 7 thì dung dịch trung hịa.
pH > 7 thì dung dịch có tính bazo.
Ví dụ nồng độ [H3O+] trong bia và rượu lần lượt là 0,00008(mol/l) và 0,0004(mol/l).
Hỏi các dung dịch trên có tính axit hay bazo.
3. Bài toán về cường độ âm thanh
Đặc trưng cho độ to nhỏ của âm thanh người ta đưa ra khái niệm mức cường độ âm
thanh, ký hiệu là L, đợn vị đo là (dB) – đề xi ben. Được tính bằng công thức
L(dB) = 10log(I/ I0)
I là cường độ âm (tức là năng lượng truyền đi bởi sóng âm trong một đơn vị thời gian
qua 1 đơn vị diện tích bề mặt vn góc với phương sóng truyền. Đơn vị là W/m 2), I0 là
cường độ âm ở ngưỡng nghe. I0 = 10-12 W/m2.
Ví dụ : tính mức cường độ âm trong các trường hợp sau

stt
Loại âm thanh
I/I0
Độ lớn L
1
Ngưỡng nghe
1
2
Nhạc êm dịu
4000
3
Nhạc mạnh phát ra từ loa
6,8.108
4
Tiếng máy bay phản lực
2,3.1012
5
Ngưỡng đau tai
1023

7